（基础数学专业论文）banach空间的局部嵌入.pdf

摘要 摘要 b a n a c h 空间的局部嵌入问题与研究空间结构、粗嵌入及空间上算子的因 子分解有密切关系本文目的是引入超弱紧集的概念并研究下面这几类局 部集合的嵌入问题及其应用：r n p 集、c o n t r o l l a b l er n p 集【1 】、c o n t r o l l a b l e p c p 集【l 】、弱紧集及超弱紧集全文围绕着“超弱紧集的嵌入 这一中心 问题展开研究，共分密切相关的七章： 第一章简要回顾了空间嵌入研究的发展概况并给出了本文研究的目的 和意义 第二章通过改进著名的d a v i s f i g i e l - j o l m s o n p e l z y 元s l 【i 引理【2 】得 至l j b a n a c h 空间的每个弱紧集均可一致嵌入进某个自反b a n a c h 空间，这从本 质上改进了文献【2 】的结果作为它的应用我们建立了弱紧集版的o d e u s c h l u m p r e c h 定理【3 】和h t l j e k - j o h a n i s 定理【4 】另外还得到每个c o n t r o l l a b l e p c p 集以及每个c o n t r o l l a b l er n p 集均可分别一致嵌入进某个p c p 空间 和r n p 空间 第三章利用推广的有限表示的概念，引入了一个可视作超自 反b a n a c h 空间概念的推广和局部化的概念超弱紧集，主要证明了一 个b a n a c h 空间是超自反的等价于其闭单位球是超弱紧的 第四章本章目的是去得到超弱紧集的下面一个特征：一个有界闭凸集 是超弱紧的当且仅当其不具有有限树性质 第五章在超弱紧集有限树特征的基础上，通过推广和开发e n f l o 再赋范 定理【5 】证明的一系列方法和技巧，最后我们得到了超弱紧集的两个凸函数 特征：g 一致凸函数特征和一致凸函数特征 第六章首先给出了超弱紧集版的g r o t h e n d i e c k 弓l 理，然后通过第二章 改进的d a v i s f i g i e l j o h n s o n p e l z y 元s k i 引理和上章建立的超弱紧集的凸函数特 征，最后证明了b a n a c h 空间中的每个超弱紧集均可一致嵌入进某个自反且相 对一致凸空间作为它的应用给如了超弱紧集与超b s p 的关系 第七章研究了超弱紧集在再赋范成为致凸集的几何性质并针对历 史上出现的几类一致凸集给出了几个注记 关键词嵌入问题；因子分解；b a n a c h 空间 厦门大学博士学位论文 a b s t r a c t l o c a l e m b e d d i n gp r o b l e m so fb a n a c hs p a c e sa r ec l o s e l yl i n k e dt ot h es t u d yo ft h e s t r u c t u r eo fs p a c e s ，c o a r e m b e d d i n g sa n d o p e r a t o rf a c t o r i z a t i o n t h ep u r p o s eo ft h i s t h e s i si st oi 1 1 t l ? o d u c ean o t i o no f s u p e r - w e a k l yc o m p a c t s e t sa n df o c u so ni n v e s t i g a t i n g t h e i re m b e d d i n gp r o b l e m sa n da p p l i c a t i o n so ft h ef o l l o w i n gs e v e r a lc l a s s e so fs e t s ： r n ps e t ，c o n t r o l l a b l ep c ps e t 【1 】，c o n t r o l l a b l er n ps e t 【1 】，w e a k l yc o m p a c ts e t a n ds u p e r - w e a k l yc o m p a c ts e t t h et h e s i sc e n t e r sa r o u n dac e n t r a lp r o b l e m s u p e r - w e a k l yc o m p a c ts e t s e m b e d d i n g s ”t ob e g i nw i t h ，a n di tc o n s i s t so fc l o s e l yr e l a t e d s e v e n c h a p t e r s c h a p t e r1p r e s e n t sas u r v e yo ft h es t u d yo fe m b e d d i n gp r o b l e m so fb a n a c hs p a c e s a n dg i v e st h ea i ma n dm e a n i n go ft h es t u d yo ft h et h e s i s c h a p t e r2 ，b yi m p r o v i n gf a m o u sd a v i s f i g i e l j o h n s o n p e l z y c l s k il e m m a , o b t a i n s t h a te v e r yw e a k l yc o m p a c ts u b s e t so fb a n a c hs p a c e sc a nb eu n i f o r m l ye m b e d e di n t o s o m er e f l e x i v eb a n a c hs p a c e ，w h i c hi sa ne s s e n t i a li m p r o v e m e n tt ot h er e s u l to f 【2 】 a si t sa p p l i c a t i o n ，b u i l d sw e a k l yc o m p a c ts e tv e r s i o n so f o d e l l s c h l u m p r e c ht h e o r e m a n dh 6 j e k j o h a n i st h e o r e m o t h e r w i s e ，o b t a i n se v e r yc o n t r o l l a b l ee c ps e ta n de v e r y c o n t r o l l a b l er n ps e tc a nb eu n i f o r m l ye m b e d e di n t os o m ee c ps p a c ea n dr n p s p a c e ，r e s p e c t i v e l y c h a p t e r3 i n t r o d u c e san o t i o no fs u p e r - w e a k l yc o m p a c ts e to fb a n a c hs p a c e si n t e r m so fag e n e r a l i z e dn o t i o no ff i n i t er e p r e s e n t a b i l i t y , w h i c hi sag e n e r a l i z e da n d l o c a l i z e ds e t t i n go fs u p e r - r e f l e x i v eb a n a c hs p a c e s ，a n dm a i n l ys h o w st h a tab a n a c h s p a c ei ss u p e r - r e f l e x i v ei fa n do n l yi t sc l o s e du n i tb a l li ss u p e r - w e a k l yc o m p a c t c h a p t e r4i n t e n d st ob u i l dt h ef o l l o w i n gc h a r a c t e r i z a t i o no fs u p e r - w e a k l yc o m p a c t s e t s ：ab o u n d e da n dc l o s e dc o n v e xs e ti ss u p e r - w e a k l yc o m p a c ti fa n d o n l yi td o e sn o t h a v ef i n i t ef l e ep r o p e r t y c h a p t e r5 ，o n t h eb a s i co ff i n i t et r e ec h a r a c t e r i z a t i o no fs u p e r - w e a k l yc o m p a c t s e t s ，b ye x t e n d i n ga n dd e v e l o p i n gas e r i e so fm e t h o d sa n dt e c h n i q u e si nt h ep r o o fo f e n f l o ，sr e n o r m i n gt h e o r e m ，f i n a l l ye s t a b l i s h e sc h a r a c t e r i z a t i o n so ft w oc o n v e xf u n c - t i o n so f s u p e r - w e a k l yc o m p a c ts e t s ：c h a r a c t e r i z a t i o no fe - u n i f o r m l yc o n v e xf u n c t i o n a n dc h a r a c t e r i z a t i o no fu n i f o r m l yc o n v e xf u n c t i o n a b s t r a c t _ 一一 c h a p t e r6 f i r s tv e r i f i e st h a tg r o t h e n d i e c k ，sl e m m af o rw e a k l yc o m p a c ts e t s i sa g a i nv a l i df o rs u p e r - w e a k l yc o m p a c ts e t s ，t h e nb yt h ei m p r o v e dd a v i s f i g i e l - j o h n s o n p e l z y c z s k il e m m ai nc h a p t e r 2a n dc h a r a c t e r i z a t i o n so fc o n v e xf u n c t i o n so f s u p e r - w e a k l yc o m p a c ts e t so b t a i n e di na b o v ec h a p t e r ，f i n a l l yg i v e st h a te v e r ys u p e r - w e a k l yc o m p a c ts e tc a l lb eu n i f o r m l ye m b e d e d i n t os o m er e f l e x i v ea n dr e l a t i v e l yu n i - f o r m l yc o n v e xs p a c e a si t sa p p l i c a t i o n ，e s t a b l i s h e sa r e l a t i o nb e t w e e ns u p e r - w e a k l y c o m p a c ts e t sa n ds u p e r - b a n a c h s a k e sp r o p e r t y c h a p t e r7i n v e s t i g a t e ss o m eg e o m e t r i cp r o p e r t i e s o fs u p e r - w e a k l yc o m p a c ts e t su s d e rr e n o r m i n gu n i f o r m l yc o n v e xn o r m ，a n dg i v e ss o m er e m a r k sa b o u ts e v e r a l c l a s s e s o fu n i f o r m l yc o n v e xs e t sw h i c h h a v ea p p e a r e di nt h el i t e r a t u r e k e y w o r d s e m b e d d i n gp r o b l e m ；f a c t o r i z a t i o n ；b a n a c hs p a c e 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研究成 果本人在论文写作中参考的其他个人或集体的研究成果，均在 文中以明确方式标明本人依法享有和承担由此论文产生的权利 和责任 声明人( 签名) ：番钦盈l 椤年7 月歹日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定厦 门大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文的纸质 版和电子版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许 论文进入学校图书馆被查阅，有权将学位论文的内容编入有关数 据库进行检索，有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的 学位论文在解密后适用本规定 本学位论文属于 i 、保密() ，在年解密后适用本授权书 2 、不保密( ) ( 请在以上相应括号内打“) 作者签名： 导师签名： 黍触 移鹚 第一章绪论 第一章绪论 1 1b a n a c h 空间嵌入问题研究发展回顾 b a n a c h 空间嵌入问题，它包括b a n a c h 空间插值、局部理论、同胚和再赋 范理论、映射可微性、等距延拓和逼近、“万有一空间、o r l i c z 空间构造问 题等等，自泛函分析诞生，就受到人们高度关注，构成了泛函分析中最本 质最深刻的组成部分之一并与其他数学分支结合、应用最广泛的研究领域 之一近十年间，人们发现用以通过几何空间( 如非紧完备黎曼流形、有 限生成群等) 的大尺度几何结构探索指标代数( f l p r o e 代数) 的艮理论群的 信息，从而建立几何空间的几何、拓扑与分析之间的联系，并应用于解决 其他重要问题，如n o v i k o v 猜想、g r o m o v l a w s o n r o e n b e r g 正标量曲率猜测、 群c 。代数幂等元问题等的粗几何，尤指粗b a u m - c o n n e s 猜想和粗n o v i k o v 猜 想，与“粗嵌入”竟有如此本质内在的联系它们可以归结为有界几何 ( 即这样一个离散度量空间q ，使得存在一个函数f ：q _ n ，满足：q 中任 何一个以r 0 半径的球所包含q 的点都不超过f ( r ) ) 是否能够“粗嵌入 到 一个h i l b e r t 空间或者一致凸空间，这实质上是“嵌入研究领域的目前泛函 分析界高度关注的一个崭新课题( 见【6 - 2 7 1 ) 一般而言，经典“嵌入一是指( 1 ) 将一般度量空间等距或同胚地映入 某个b a n a c h 空间；( 2 ) 将某一个或某一类b a n a c h 空间( 线性、l i p s c h i t z 或连 续) 同胚的映入某个( 类) 性质更好的b a n a c h 空间的子空间；或者( 3 ) 将 一个b a n a c h 空间某个具有良好拓扑性质和几何性质的集合“线性 同胚的 映入某个具有同样良好性质的空间；以及( 4 ) 从某一集合出发构造某类具 有我们所期望性质的b a n a c h 空间( 1 ) 早期以寻求“万有( u n n e r s m ) 空间为代表，进入上个世纪5 睥代，则以著名的d v o r e t z k y 定理为代表例 如：著名的b a n a c h m a z u r 万有定理告诉我们，每个可分的度量空间都可以等 距于c 0 ，1 1 的一个子集更一般的结论是：每个度量空间q 都等距于z o o ( q ) 的 某个子集( 见【1 2 】) ；而d v o r e t z k y 定理则告诉我们，每个无限维b a n a c h 空间 都几乎等距地包含着任意有限维的h i l b e r t 空间它还包括范数的等距延拓和 逼近、再赋范理论等( 详见【2 8 3 0 】) ；( 2 ) 以广泛应用于偏微分方程、调 和分析等领域的“插值空间理论( 例如，见【3 l ，3 2 】) ，b a n a c h 空间的分类 厦门大学博士学位论文 理论和l i p s c h i t z 映射的可微性理论研究为代表( 例如，见【3 3 - 3 7 1 ) ； ( 3 ) 以著名的d a v i s f i g i e l j o h n s o n p e l z y r 毫s k i 嵌入定理( 见【2 ，3 8 ，3 9 】) 为代表， b 1 b a n a c h 空间的每个弱紧集都可以弱一弱同胚于某个自反b a n a c h 空间的子集； ( 4 ) 以b o u r g a i n 为求解非线性偏微分方程( s c h r o d i n g e r 方程) 而构造的一 类b a n a c h 空间( 因此获得1 9 9 4 年f i e l d s 奖， 4 0 - 4 9 】) 和g o w e r s 等为解决“无条 件基等重要问题而构造的一类空间( 因此获得1 9 9 8 年f i e l d s 奖，【5 嘶8 】) 以及o r l i c z 空间构造等为代表 局部嵌入理论：即把b a n a c h 空间具有某些良好性质( 例如，弱紧 性、r n p 、不具有有限树性等) 的子集，“线性 的嵌入具有同样良好性质 ( 如，相应的自反、r n p 、超自反) 的空间局部嵌入问题早在7 0 年代就引 起了人们的关注，最具代表性的成果应归于d a v i s f i g i e l j o h n s o n p e l z y c z s k i 弱 嵌入定理，虽然它在算子分解、弱紧生成空间的刻画等问题上起着重要作 用，但由于没能从“弱 到“强”，三十多年来，“局部嵌入问题 的进展 没有取得理想的效果笔者在本文证明- d a v i s f i g i e l j o h n s o n p e l z y c 。s k i 弱嵌 入定理也是强一强嵌入的，另外也证明t g h o u s s o u b m a u r e y s c h a c h e r m a y e r 关 于c o n t r o l l a b l er n p 集和c o n t r o l l a b l ee c p 集的弱嵌入定理( 见【1 ，1 2 ) 也是 强一强嵌入的虽1 b a n a c h 空间的每个c o n t r o l l a b l er n p 集和c o n t r o l l a b l ep c p 集均 可分别强一强嵌入进某个r n p 空间和p c p 空间 随着几何群论和粗几何的发展，g r o m o v 【6 】提出了“粗嵌入 的概念 给定两个度量空间q 1 ，q 2 ，称映射，：q 1 _ q 2 为粗映射，如果厂1 把，( q 1 ) 中 的有界集映成q l 中的有界集；称q 1 和q 2 粗等价，如果同时存在q 1 _ q 2 和q 2 一q 1 的粗映射；称q 1 可以粗嵌入到q 2 ，如果存在q 2 的一个子空间 与q 】粗等价在粗几何中，象“嵌入是一个等价不变量那样， “粗 嵌入仍然是一个粗等价不变量，因此能反映一些度量空间的本质性 质2 0 0 0 年，y u ( 郁国梁) 证明了粗b a u m - c o n n e s 猜想对可粗嵌入进h i l b e r t 空 间的有界几何空间成立；最近他又和k a s p a r o v 合作证明了粗几何的n o v i k o v 猜 想对于可粗嵌入进一致凸空间的有界几何空间成立这样粗几何和嵌入问题 受到了人们更加广泛的关注，一方面，y u 利用局部化技术结合其他工具对 “一致可嵌空间证明了粗b a u m - c o n n e s 猜测，从而对相当广泛的空间类证 明了n o v i k o v 猜测，另一方面，g r o m o v ，h i g s o n ，y u 用膨胀图上的r o e 代数中 的鬼投影元给出了粗b a u m c o n n e s 猜测的反例鬼投影的出现使人们意识到 对粗b a u m c o n n e s 猜测的研究将长期、复杂而艰巨的工作因此，寻求更多 的“一致可嵌空间成为这一研究领域的重大课题之一 2 第一章绪论 随着“粗嵌入一研究的深入，人们意识到局部嵌入问题的研究会有助于 粗嵌入的发展既然每个度量空间都是某个b a n a c h 空间的子集，有关b a u m - c o n n e s 猜想的度量空间( 有界几何) 都是可数离散的，而粗嵌入只是关系 “无穷远 处的表现，我们就完全有可能把有界几何中的每一点“拉回 至l j b a n a e h 空间的单位球内部，考察以这些点为顶点做成的闭凸集的嵌入性 质，之后加以“还原一鉴于已证明了只要每个有界几何粗嵌入进一致凸空 间或等价的超自反空间，粗b a u m c o n n e s 猜想成立，这样一个自然的想法是 研究那类象超自反空间的单位球那样具有某种“超刀性质的集合，搞清它们 的性质尤其它们的嵌入问题将有助于“一致可嵌空间 的寻求本文基于 此，引入了一类具“超 性质的集合超弱紧集，并给出了很好的嵌入结 果“b a n a c h 的每个超弱紧凸集均可强一强一致嵌入进某个自反且相对一致凸空 间 当然超弱紧集作为超自反空间概念的推广和局部化，其本身研究就具有 独立意义众所周知，自7 0 年代初j a m e si 入超自反空间概念以来，超自反 空间的研究已取得了丰富成果【1 2 ，3 0 ，6 9 - - 7 3 其代表是1 9 7 2 年e n f l o 【5 】证明 了这类空间可视作一致可凸化空间的特征，有时也称为e n f l o 再赋范定理后 来利用秧p i s e r 【7 4 还证明了可一致凸化的空间均存在具有指数型模的( 一致 凸) 等价范数e n f l o - p i s e r s 时超自反空间的再赋范结果被认为是再赋范理论 最为经典和深刻的结果，是再赋范理论的里程碑而利用有限表示，j a m e s 【6 9 给出了超自反的有限树特征；p i s i e r 【7 4 、b r u n e l s u c h e s t o n 【7 5 给出了超 自反与超r a d o n n i k o d l 7 m 性质、超k r e i n m i l m a n 性质、超b a n a c h s a k e s 性质等 也均是等价的；不需要有限表示的概念，j a m e s 和s c h 邑f f e r 【7 2 】给出了超自反 空间一个“围长( g i r t h ) 一几何特征；以及最近程等【7 6 利用连续一致凸函 数，c e p e d e l l o 【7 7 】利用一凸函数给出了超自反空间的凸函数特征；特别的， 利用程立新教授最近开创的从研究b a n a c h 空间单位球面的球覆盖性质出发研 究b a n a c h 空间几何性质的方法( 见【7 6 ，7 8 】) ，在【7 9 中我们给出了超自反空 间一个球覆盖特征本文不打算对此展开，这里我们只给出其结果 定理1 1 1 设x 是一个b a n a c h 空间则x 是超自反的当且仅当在其上存在一等 价范数及两个正值函数，g ：n _ r + 满足对每个礼n 和x 的每个竹维子空 间y ，都存在y 的一个最小球覆盖使得 ( i ) 剧= 扎+ l ； ( i i ) r ( b ) ，( 佗) ；并且 ( i i i ) b 是夕( n ) 离开原点的 3 厦门大学博士学位论文 但是我们应该看到在许多情况下整个空间的一致凸性或超自反性的假设 是不自然的，因为有时我们仅仅需要局部化的条件例如，飚r k 【8 0 】非扩张 映射的不动点定理说明只要一个有界闭凸集c 具有正规结构和弱紧性便可保 证其上的非扩张映射具有不动点对比弱紧集可视作自反空间概念的局部化 和推广，我们自然会想到研究超自反空间的局部化集合，但遗憾的是我们至 今还未见到一个可真正视作超自反空间的局部化概念，具体的说 问题1 1 2 怎样用一个自然的方法去局部化和推广超自反性的概念，或更精 确的说去引入一种超弱紧性的概念其可视作超自反性概念的局部化和推广? e n f l o 对超自反空间深刻的再赋范定理使我们期望引入的超弱紧性能再赋 范具有某种凸性，或等价地， 问题1 1 3是否b a n a c h 空间中的每个超弱紧凸集c 均可找到一范数使其限制 在c 上是一致凸的? d a v i s f i g i e l j o h n s o n p e l z y f i s k i 弓i 理表明b a n a c h 空间的每个弱紧集均可嵌 入( 在弱拓扑意义下) 进一自反b a n a c h 空间，对比的及进一步，我们问 问题1 1 4 是否b a n a c h 空间中的每个弱紧( 超弱紧) 凸集c 均可强一强一致嵌 入进自反( 超自反) b a n a c h 空间? 若不能则产生下面问题 问题1 1 5b a n a c h 空间中的每个超弱紧凸集g 可强强一致嵌入进多 “好”b a n a c h 空间? 本文正是围绕上面的问题展开研究除了问题1 1 4 的后半部分是否定的 以外，本文研究结果表明，对其他几个问题我们给出了肯定答案具体一点 说，我们用单形和推广的有限表示给出了超弱紧集的概念，并证明了超弱紧 性正是可一致凸化空间的局部版特征，即解决了问题1 1 3 最后证明了问题 1 1 5 中的“好”空间可取为自反且相对一致凸空间( 详见本文定理6 1 4 ) 需要指出的是最后这个问题的解决我们经过了艰辛的过程，它也是本文的主 要结果之一因其推导过程较为复杂，我们有必要来阐述一下它的证明思 路：首先在超弱紧集上成功地建立了一系列局部版的经典定理，如j a m e s 表 示定理、j a m e s 有限树特征定理、e n f l o 超自反空间的再赋范定理以及超弱紧 4 第一章绪论 集版的g r o t h e n d i e c k 弓l 理，并给出了其重要的凸函数特征，然后利用我们改进 的 d f j p 己j i 理，最后证明了相应于超弱紧凸集的 d f j p 规划给出的插值空间 正是我们想要的自反且相对一致凸空间 上面这些问题的解决不仅使这类具“超性质 的局部集合形成了一套相 对完整的理论体系而且这些理论尤其嵌入理论对于粗嵌入来说会起到承上启 下的作用 1 2 本文的主要内容 b a n a c h 空间的局部嵌入理论与研究空间结构、有界几何的粗嵌入及算子 的因子分解有密切关系本文目的是在b a n a c h 空间中引入超弱紧集的概念并 围绕着这类具“超性质 集合的嵌入问题展开研究全文共分密切相关的七 章： 第一章简要回顾了空间经典嵌入研究的发展概况以及近十年来粗嵌入的 研究现状给出了本文研究的目的和主要内容 第二章通过改进d a v i s f i g i e l j o h n s o n p e l z y 无s b 引理得至l j b a n a c h 空间中的 每个弱紧集均可强强一致嵌入进某个自反b a n a c h 空间；每个c o n t r o l l a b l e p c p 集以及每个c o n t r o l l a b l er n p 集均可分别强一强一致嵌入进某个e c p 空 间和r n p 空间作为弱紧集嵌入结果的应用给出了弱紧集的再赋范定理 第三章到第六章这四章内容研究的主要目的是最终得到超弱紧凸集的 嵌入定理：b a n a c h 空间x 中的每个超弱紧凸集均可嵌入进某自反且相对一致 凸b a n a c h 空间y 详细的说，第三章引入了超弱紧集的概念，并说明其为超 自反空间概念的推广和局部化，所利用的工具是集合的有限表示第四章和 第五章目的是刻画超弱紧凸集的特征，得到了其有限树和凸函数特征所利 用的工具是推广的j a m e s 表示定理、j a m e s 有限树特征以及充分利用e n f l o 再赋 范技巧第六章首先建立了超弱紧集版的g r o t h e n d i e c k 弓l 理，并结合前面建立 的超弱紧集的凸函数特征证明了对应于超弱紧集的 d f j p 规划给出的插值空 间正是自反且相对一致凸空间作为嵌入结果的应用我们建立了超弱紧集与 超b s p 之间的关系 第七章研究了超弱紧集在再赋一致凸范数下的的几何性质，并对历史上 出现的几类一致凸集给出了注记 5 厦门大学博士学位论文 第二章弱紧集的嵌入问题 本章讨论了几类局部集合弱紧集、r n p 集、c o n t r o l l a b l er n p 集 及c o n t r o l l a b l ep c p 集的嵌入问题 本章共分三节第一节给出了本章用到的定义第二节通过改进d a v i s f i g i e l j o h n s o n p e l z y c z s k i 【2 】引理给出了上面几类集合的嵌入结果第三节利 用上节给出的弱紧集的嵌入定理将o d e u s c h l u m p r e c h t 【3 】对可分自反空间的再 赋范特征以及h d j e k j o h a n i s 【4 】对一般自反空间的再赋范特特征分别推广到可 分弱紧子集和一般弱紧子集上，从而得到了弱紧子集和可分弱紧子集的广义 再赋范特征 2 1 概述 泛函分析中一类经典的问题是寻求自反b a n a c h 空间的特征此类 问题的最早结果是由m i l i m a n 【8 1 ，1 9 3 8 和p e t t i s 【8 2 ，1 9 3 9 定理给出的一致 凸b a n a c h 空间是自反的，但一致凸性对自反性显然太强了许多年来泛函 分析学者一直未解决下面问题：是否存在一较弱的的几何性质其与自反 空间等价( 详见o d e l l 【3 】) m i l i m a n 在1 9 7 1 年引入了2 r o t u n d ( 2 r ) 范数和 弱2 一r o t u n d ( w 2 r ) 范数【8 3 ( 详细定义看下面) 他认为( 没有证明) 可分 自反空间一定可赋弱叫2 r 范数并且问具有局部一致凸范数( 此条件根据 【3 】可省去) 的自反空间是否可赋2 r 范数对可分b a n a c h 空间，上面的问 题( 也可参见【2 9 ，p 只1 7 7 】，问题i v 6 ) 直到1 9 9 8 年才由o d e u 和s c h l u m p r e c h t 【3 】给出了肯定答案( 见定理2 3 2 ) 而对一般自反b a n a c h 空间，最近 ( 2 0 0 4 年) h 甸e k 和j o h a n i s 【4 】通过在c 0 ( 圪) 上研究d a y 范数所具有的凸性性质 解决了其再赋范特征( 见定理2 3 3 ) 至此，这个困扰泛函分析学者几十 年的问题便被彻底解决作为自反b a n a c h 空间概念局部化和推广的弱紧集， 自然要问：o d e l l s c h l u m p r e c h t 定理和h 6 j e k j o h a n i s 定理在弱紧凸集上是否成 立? 笔者将在本章第二节给出肯定回答 g h o u s s o u b m a u r e y 在文 8 4 ，8 5 等研究了岛嵌入和风嵌入， 为 寻求r n p 集合的嵌入问题，g h o u s s o u b m a u r e y s c h a c h e r m a y e r 【l 】引入 6 第二章弱紧集的嵌入问题 了c o n t r o l l a b l ep c p 集和c o n t r o l l a b l er n p 集并讨论了它们的嵌入问题我们 先来回顾有关定义 对两个集合g 和日，我们用 d i s k ( g ，h ) = i n f d i s t ( x ，h ) ：z g ) 和d i s t m ( g ，h ) = s u p d i s t ( x ，h ) ：z g ) 分别表示集合g 和日的最小距离和最大距离 定义2 1 1 【1 ，8 4 ，8 5 ( 1 ) 一个集合称为是p c p 的如果其所有有界闭子集均包含其弱范连续 点； ( 2 ) b a n a c h 空间x 的一个有界闭凸子集c 称为是强伽+ g 5 ( 特别强w 玩) 集 如果存在可分b a n a c h 空间z 使得x 可等距同构于z + 的一个闭子空间， 且满足虿c = u n 其中为矿中的w + 紧( 特别的，叫+ 紧凸) 集而 j l d i s t ( k n ，x ) 0 ； ( 3 ) b a n a c h 空间x 的一个有界闭凸子集c 称为是一个c o n t r o l l a b l ep c p 集 ( 特别的，c o n t r o l l a b l er n p 集) 如果虿c 可表示成一列叫宰一g 6 集( 特别 的，w * - - 6 集玩) 的并而且存在一常数厶 0 使得 d i s t m ( ，x ) l d i s ( ，x ) ，n n g h o u s s o u b - m a u r e y 【8 4 】证明了可分b a n a c h 空间的有界闭凸子 集c 是p c p ( 特别的，r n p ) 的当且仅当它是一个w * - g 6 集( 特别的，w 幸 凰集) 2 2 弱紧集嵌入自反空间 我们先来回顾d