（基础数学专业论文）koszul型对象与“极小”马蹄型引理的相关研究.pdf

- - zl k o s z u l 一型对象与“极小 马蹄型引理的相关研究 摘要 马蹄型引理在同调代数中起着重要作用，它提供了一种从已知的投射分解 来构造新的投射分解的方法，用“极小”投射分解计算同调群比用一般投射分解更 方便，但有例子表明“极小”马蹄型引理一般不成立在代数和环理论中。扩张是一 种从已知的环与代数构造新的环与代数结构的重要方法本文主要是寻找在分次 情形下使得“极小”马蹄型引理成立的条件，其次讨论了入k o s z u l 代数的单点扩 张全文内容安排如下： 第一章介绍了研究背景及预备知识，并列举了本文的主要定理 第二章是本文的核心内容，给出了“极小”马蹄型引理成立的充分必要条件， 也即是，k o s z u l 型模在满同态下保持核当且仅当“极小”马蹄型引理成立，并给出 了“极小”马蹄型引理的简单应用 第三章给出了扩张代数成为a k o s z u l 代数的等价条件 关键词：k o s z u l 代数( 模) ；d k o s z u l 代数( 模) ；a - k o s z u l 代数( 模) ；“极小”马蹄型引 理；单点扩张 s o m es t u d i e so nk o s z u l t y p e0 b j e c t sa n d “m l n i m a l h o r s e s h o el e m m a a b s t r a c t t h eh o r s e s h o el e m m ap l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nh o m o l o g i c a la l g e b r a ，w h i c h p r o v i d e sam e t h o dt oc o n s t r u c tn e wp r o j e c tr e s o l u t i o n sf r o mt h eg i v e no n e s i ti sn o t e d t h a tu s i n gm i n i m a lp r o j e c t i v er e s o l u t i o n si sm o r ec o n v e n i e n tt h a nu s i n gt h eo r d i n a r y o n e si nc o m p u t a t i o n u n f o r t u n a t e l y , s o m ee x a m p l e ss h o wt h a tt h e “m i n i m a l ”h o r s e s h o el e m m ai sn o tt ob eh o l di ng e n e r a l i na l g e b r aa n dr i n gt h e o r y , t h ee x t e n s i o n m e t h o di sav e r yi m p o r t a n tw a yt oc o n s t r u c tn e w a l g e b r a so rr i n g sf r o mt h eg i v e n o n e s t h em a i na i mo ft h ep a p e ri st of i n dt h ec o n d i t i o n sf o rt h e m i n i m a l ”h o r s e s h o el e m m a t ob eh o l di nt h eg r a d e dc a s e t h e nw ed i s c u s st h eo n e p o i n te x t e n s i o n so fa k o s z u l a l g e b r a s i nt h ef i r s tc h a p t e rw ed e s c r i b et h er e s e a r c hb a c k g r o u n da n dl i s tt h em a i nt h e o r e m s 0 ft l l i sa r t i c l e t h es e c o n dc h a p t e ri st h ec o r eo ft h i sp a p e r , a n dw eo b t a i ns o m es u f f i c i e n ta n d n e c e s s a r yc o n d i t i o n s ，i e k o s z u l t y p em o d u l e sp r e s e r v ek e r n e l so fe p i m o r p h i s m si f a n do n l yi ft h e m i n i m a l ”h o r s e s h o el e m m at ob eh o l d t h e n ，s o m es i m p l ea p p l i c a d o n so ft h e m i n i m a l ”h o r s e s h o el e m m aa l e g i v e n i nt h et h i r dc h a p t e rt h ee q u i v a l e n tc o n d i t i o n st h a tt h ee x t e n s i o na l g e b r a sb e c o m e a k o s z u la l g e b r a sa r eg i v e n k e y w o r d s ：k o s z u la l g e b r a s ( m o d u l e s ) ；d k o s z u la l g e b r a s ( m o d u l e s ) ；入 k o s z u la l g e b r a s ( m o d u l e s ) ；“m i n i m a l ”h o r s e s h o el e m m a ；o n e - p o i n te x t e n s i o n s i i 一 目录 摘要 a b s t r a c t 目录 1 绪论 1 1 研究背景及现状 1 2 预备知识 1 3 主要结果 2k o s z u l 型对象与“极小”马蹄型引理 2 1k o s z u 型对象 2 2 “极小”马蹄型引理 2 3 “极小”马蹄型引理成立的条件 2 4 “极小”马蹄型引理的应用 3a - k o s z u l 代数的单点扩张 3 1 单点扩张代数 3 2 硝的a - k o s z u l 性质 参考文献 在学期间的研究成果及发表的论文 致谢 学位论文独创性声明及授权声明 学位论文诚信承诺书。 m l 2 4 6 6 8 n 埔 m m 筋 如 勉 躬 弘 药 l 1 v ，1q一 1 1 研究背景及现状 1绪论 众所周知，马蹄型引理在同调代数中起着重要作用，它提供了一种从已知的 投射分解来构造新的投射分解的方法，同调代数的一个重要的主题是计算不同代 数的同调群注意到，用“极小”投射分解计算同调群比用般投射分解更方便例 如，考虑有限生成的晶模m 的“极小”投射分解 。 一r j 一户lj k 尸0 b m 一0 ， 也即是，对所有的n 0 ，q n ( m ) ：= k e r & 一1 r l ，其中q n ( ，) 称为 ，的第n 个合冲。q o ( m ) ：= 彳。则对任意半单r 模 r ，有 e ) c t 冀( m ，n ) ：= h n h o m a ( 只，n ) = h o m r ( r ，) ，( n o ) 一个自然的问题是：马蹄型引理在“极小”的情形下( 即“极小”马蹄型引理) 成立吗? 2 0 0 8 年，w a n g 和l i 在文【l 】中给出了一些“极小”马蹄型引理在某些分次模 范畴中成立的充分条件，并且应用“极小”马蹄型引理证明了d k o s z u l 模范畴关 于直和，直和项，模扩张和余核封闭，最后指出寻找“极小”马蹄型引理成立的必要 条件是有意义的和艰难的但作者未能说明d k o s z u l 模范畴是否关于满同态的 核封闭文【2 】中有例子表明d k o s z u l 模范畴一般不保持满同态的核，一个自然的 问题是d - k o s z u l 模范畴何时保持满同态的核? 受上述启发，本文主要是寻找“极 小”马蹄型引理在分次情形下成立的条件，结果发现“极小”马蹄型引理是否成立 与k o s z u l 一型对象是否保持满同态的核有密切的关系，并给出了一些“极小”马蹄 型引理在分次情形下成立的充分必要条件 1 l 绪论 在代数和环理论中，扩张是一种从已知的环与代数构造新的环与代数结构的 重要方法非交换分次代数在代数学，拓扑学和数学物理学等学科的研究中起着 重要的作用1 9 7 0 年，p r i d d y 最初在文【3 】提出k o s z u l 代数的定义受整体维数为 3 的a r t i n s c h o l a r 代数的启发【4 1 ，2 0 0 1 年，b c r g c r 首次把k o s z u l 代数推广到高阶 齐次代数上，引入了非二次k o s z u l 代数的概念，这类代数也常被称为d k o s z u l 代 数【5 1 ，d - k o s z u l 代数有十分广泛的应用1 6 h 1 2 1 近年来，k o s z u l 代数的相关研究非 常活跃，进一步丰富了“k o s z u l ”理论2 0 0 9 年，u 又将d k o s z u l 代数进一步推广， 在文 1 3 1 中引入a k o s z u l 代数的概念遗憾的是，作者未能给出足够的入k o s z u l 代数的例子在文【6 】中作者讨论了单点扩张代数的k o s z u l 性质，给出了单点扩张 代数成为k o s z u l 代数的充分必要条件；在文【2 】中，作者研究了d - k o s z u l 代数的 单点扩张a - k o s z u l 代数是k o s z u l 代数，d k o s z u l 代数的自然推广受上述启发。 本文研究a k o s z u l 代数的单点扩张，得到了些推广的结果 1 2 预备知识 k 指任意域，n 指自然数集，z 指整数集，n n ，t ，歹z g r ( a ) 表示分次 a 一模范畴，g r ( a ) 表示有限生成的分次a 一模范畴，a 【- 1 】表示4 是1 次生成的，其 中【】是平移函子， 定义1 2 1 设k 是某一固定的域若一族k 向量空间和映射_ 【a ，如) 舀：o 满 足如下条件： ( i ) a o 是k 代数； ( i i ) 每个a 是有限维a 1 a o 一双模； ( i i i ) ：a io 知 _ a 州； ( i v ) 下图是可交换图： a q 山a j 。舶a 出a i + j 。山a 七 1 0 t ji l ( 村 a i 。2a j + k 尘生a + 七 j 1 0 t 1 q j 1 绪论 则称 a i ，如) 嚣：0 为正分次k - 代数，记为a = o i o a i 的像记为a a j 定义1 2 2 若正分次k 一代数a = 0 o 月满足以下条件： ( i ) a o = k k ，有限个域k 的直积； ( i i ) 对所有的0 ， o 月是标准的分次代数，则任一有限生成的分次 a 模m = 0 0 磊都有分次a 投射盖 3 1 绪论 从文【1 】中的证明得知，ap a 0m j m 是m 的分次投射盖之一 命题1 2 1 t 1 1 设m = o oj l 以g r ( a ) 如果p 和q 都是m 的投射盖，则 有p 望o 引理1 2 1 t j 对任一分次a 模短正合列0 一一m 一一0 ， 必有分次a 模正合列 0 一k n j m j m j 一0 引理1 2 2 t j 若0 一k m 一一0 是分次a 模短正合列，则 下面的陈述是等价的： ( 1 ) knj m = j k ； ( 2 ) a j q k a j o m 是单同态 定理l - 2 3 x l 若0 一一m 一一0 是标准分次a 模短正合 列，且nj m = j ，那么“极小”马蹄型引理成立 1 3 主要结果 本文得到的主要结果如下： 定理2 3 1 设a 是标准的分次代数若0 _ 一m _ _ 0 是有限生成 的分次月模短正合列，则 ( 1 ) 若m ，是k o s z u l 模，则k 也是k o s z u l 模当且仅当“极小”马蹄型引理对 此短正合列成立： ( 2 ) 若m ，j 7 v 是d k o s z u l 模，则也是d k o s z u l 模当且仅当“极小”马蹄型引 理对此短正合列成立； ( 3 ) 若m ，是, x - k o s z u l 模，则k 也是a - k o s z u l 模当且仅当“极小”马蹄型引 理对此短正合列成立 定理2 4 1 设a 是标准的分次代数，正合列0 一一m 一一0 是有限生成的分次a 模短正合列若“极小”马蹄型引理对此短正合列成立，则 4 i 绪论 p d ( m ) = m a x p d ( g ) ，州( ) 定理2 4 2 假设a 是标准的分次代数，考虑行列正合的左月模可交换图： 。一点。上3 土一。 。1 土一一一。 j ，i 口i ，i ill 其中p ，q 和上，是投射模如果t l ( k 1 ) p ，t 3 ( k 3 ) q ，那么t 2 ( 尬) l 当且 仅当i k = knj m 。其中- ，是a 的j a c o b s o n 根 定理3 2 1 设a 是标准的分次代数，m 是1 次生成的分次a 一模磁是单 点扩张代数，若( 碥) o 有“极小”分次投射分解 c 一( ：) 。( q 了1 ) 一_ ( ：) 。( ：) 一c 硝，。_ 。 则下述条件是等价的： ( 1 ) 硝是a - k o s z u l 代数； ( 2 ) 月是a - z o s z u l 代数，q 2 一1 ( m ) - 6 ( 2 1 a i ) 】是a - k o s z u l 模，且对所有的i ( i = i ，2 ，2 一2 ) ，q 是民0 + 1 ) 次生成的； ( 3 ) 对所有的i 0 ，户：+ l 和q l 是民o + 1 ) 次生成的 5 2 k o s z u l 一型对象与“极小 马蹄型引理 本章通过讨论k o s z u l 型对象是否保持满同态的核，给出了“极小，马蹄型引 理成立的充分必要条件和相关应用 2 1k o s z u l 一型对象 关于k o s z u l 代数的等价定义有很多种，本文采用如下定义： 定义2 1 1 3 1 设a 是标准的分次k - 代数， ，= 0 o 尬是有限生成的分次 一 a 一模如果m 有一个“极小分次投射分解 一p n 一一只一r m 一0 ， 使得每个分次投射a 一模r 是n ( 礼= 0 ，1 ，2 ，) 次生成的，则称m 是k o s z u l 模 特别地，如果平凡月一模凡是k o s z u l 模，则称分次代数a 为k o s z u l 代数 例2 1 1 分次多项式代数是k o s z u l 代数 例2 1 2 整体维数是4 的0 , 1 - 生成的a r t i n s c h e l t e r 正则代数是k o s z l l l 代 数【i5 1 d k o s z u l 代数是k o s z u l 代数的一种自然推广，类似k o s z u l 代数，本文采用 如下定义： 定义2 1 2 嘲设a 是标准的分次k 代数， ，= 0 o 舰是有限生成的分次 a - 模如果m 有一个“极小”分次投射分解 一p n 一一只一r m 一0 ， 使得每个分次投射模p n ( 礼= 0 ，1 ，2 ，) 是6 ( n ) 次生成的，则称m 是d k o s z u l 6 2k o s z u l 型对象与“极小”马蹄型引理 模其中 跏，= 牟“塞釜 是一个1 n 到n 的集合映射，d 是2 的整数特别地，如果平凡4 模月。是 d k o s z u l 模，则称分次代数4 为d k o s z u l 代数 例2 i 31 2 设a = k r 为路代数，其中r 是任意有限的箭向图，贝u 对任意的 d 2 的整数，月均为d k o s z u l 代数 例2 i 4 整体维数是3 的0 ，1 生成的a r t i n s c h e l t e r 代数是d k o s z u l 代数f 4 】 定义2 1 3 设a 是标准的分次k - 代数，m = o 晓。旭是有限生成的分次 a 模如果m 有一个“极小”分次投射分解 _ r 一_ 只一r _ m _ 0 ， 使得每个分次投射a 一模r ( n = 0 ，l ，2 ，) 是6 x ( n ) 次生成的。其中6 x ( n ) 的定义 如下： 设a ：i n _ n 是一个周期函数，记其最小正周期为l 入1 假定a ( z ) 2 ，且a 在 区间【1 ，n it 是严格递增的 引入一个函数 氏：n _ n ， 它具备以下性质： ( i ) 6 x ( 0 ) = 0 6 x ( 1 ) = 1 ，氏( 2 ) = d ，其中d = a ( z ) + 1 ，d 是一个固定的整数； ( i i ) 对所有的n20 ，有6 a ( 2 n + 1 ) 一6 a ( 2 n ) = l ； ( i i i ) 对所有的r , 1 ，有以( 2 n ) 一6 a ( 9 n 一1 ) = a ) 则称m 是a - k o s z u l 模特别地，如果平凡a 模a o 是a k o s z u l 模，则称正分 次代数a = o i o a i 为a k o s z u l 代数 例2 1 5k o s z u l 代数与d k o s z u l 代数都是特殊的入k o s z u l 代数 7 二羔竺型型叁量：堡尘：呈堕型! ! 里 注k o s z u l 一型对象一般不保持满同态的核，也即是，任给a 模短正合列 0 _ 一m 一_ 0 ， 如果m 和是k o s z u l 模，一般不能推出也是k o s 朋1 模下面举例说明： 例2 1 6 设r 是如下箭向图： 1 2 2 一与5 上6 图2 1 设a = k r ( oa i 是标准的分次代数， ，是有限生成的分次a 模，r a d ( m ) 是指j i 彳的分次j a c o b s o n 根，且r a d ( m ) 0 令k = r a d ( m ) ， n = m r a d ( m ) 考虑下面行列正合的可交换图： 图2 5 其中只一一0 和己。一一0 分别是和的“极小”投射分解， q 。一m 一0 仅仅是m 的分次投射分解( 未必“极小”) 1 0 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 2 k o s z u l 一型对象与“极小”马蹄型引理 下证q o m 一0 一定不是分次投射盖假设q o 是m 的分次投射 盖，根据定理2 1 1 1 ，有q o ：= ao 凡m j m ，又因为n = m r a d ( m ) ，故有 l o ：= ap 。j n 皇ao 舶m j m = q o 注意到，投射盖在同构意义下是唯一 的，则有q o = l o 由经典的马蹄型引理知，q o = p ool o ，这可推出p o = 0 注意 到k 0 ，因而t o = 0 是不可能的故此时“极小”马蹄型引理也不成立 2 3 “极小”马蹄型引理成立的条件 引理2 3 1 设月= o i 。a i 是标准的分次代数，x ly oz 是分次 a o 模序列，则0 一a 圆山x 上生月o 。y 骂a 圆山z o 是模正合 列当且仅当。一x o y j o z o 是a o 模正合列 证明( 兮) 直接验证即可 ( ) 注意到山是半单的，显然 引理2 3 2 设0 一k m 一一0 是有限生成的分次a 模短 正合列，则j k = kn ，m 当且仅当有下面行列正合的可交换图： ) 一0 0 _ p o 叫q o 二_ 二。一0 ill 0 一_ m 叫一0 ， lil 000 图2 6 其中p o k 一0 ，q o m 一0 和l o 一一0 分别是k 。m 和的分次投射盖 ol 1 q oll l q ol l q 2 k o s z u l 型对象与“极小”马蹄型引理 证明( 兮) 假设j k = knj m 根据“3 3 ”引理，显然有a o 。模短正合列 0 一k | 3 k m j m n | 3 n 一0 根据定理2 1 ，任一有限生成的a 一模m 有分次投射盖月 。m j m 注意到， 投射盖在同构意义下是唯一的，可令p o ：= a 山k j k ，q o ：= a 山m j m 和 l o ：= a 圆 。j 由引理2 3 1 ，有月一模短正合列 0 一r q o 一三。一0 a 一模短正合列，故有上面行列正合的可交换图2 6 ( ) 假设有行列正合的可交换图2 6 注意到，投射盖在同构意义下是唯一的 根据定理2 1 t ，可令p o ：- - - a o a o 卅j k ，q o ：= a o a 。m j m ，l o ：= a o a o n ， 则有 。一a o 。k s k ao a om j m a o 。 - ，一o 由引理2 3 1 ，有a o 一模短正合列 0 一k j k m j m n | 3 n 一0 故有了k = knj m 引理2 3 3 设a 是标准的分次代数，s n ，0 一k m 一一0 是有限生成的分次月一模短正合列若m 和j v 是s 次生成的，则k 也是s 次生 成的当且仅当j k = knj m 证明( 令) 注意到，j k k 和j j m ，因此j k knj m 是显然的下 只证j k2 n j m 令k = 0 。飓使得k + 。= a i 托设z k nj m 为任 一j 次齐次元，则歹s + 1 故z 虬+ l = r l 亿冬j k ，即j knj m 1 2 2k o s z u l 型对象与“极小”马蹄型引理 ( ) 假设j k = knj m 则有下面行列正合的可交换图： j1j jij jlj jjj 图2 7 其中底序列是3 次生成的半单模序列，因此k 的项是s 次生成的由分次 n a k a y a m a s 引理知，k 的分次投射盖是s 次生成的。故k 是s 次生成的 引理2 3 4 设a 是标准的分次代数，s n n ，0 一一m 一一0 是有限生成的分次4 一模短正合列若对所有的n 0 q n ( m ) 和q n ( ) 都是s n 次生成的，则凹( k ) 也是8 n 次生成的当且仅当“极小”马蹄型引理对此短正合列 成立 证明( 号) 假设对所有的n 0 ，q n ( ) ，q n ( m ) 和印( ) 都是s n 次生成的 由经典的马蹄型引理知，有下面行列正合的可交换图： 0 一只一c 一q 一0 0 ， 图2 8 其中r 一一0 和q 一一0 分别是k 和的“极小”分次投 射分解，c 一m 一0 仅是肘的投射分解，且对所有的n 0 ，有l n 皇 1 3 j10jmlo l10 一 三墅! 三兰! ：型塾墨量：堡尘：里堕型呈! 里 r0q n 对所有的n 0 ，r ，q 乱和l n 均是s n 次生成的，故有短正合列 0 一渺( ) 一妒( m ) 一妒( ) 一0 使得卵( ) ，舻( m ) 和印( ) 和都是5 n 次生成的由引理2 3 3 知，对所有的 n 0 ，均有j 舻( ) = 舻( k ) nj 卵( ，) ，故有短正合列 。一印( k ) s n “( ) 一妒( m ) j a 竹( m ) 一q “( 舢叩) 一o 令r ：= 月。 。渺( k ) j a n ( ) ，己n ：= a 。 。妒( m ) s n 竹( m ) 和q n ：月q q n ( n ) s n n ( ) 注意到a o 是半单的，则有正合列 0 一r l n q n _ 0 由3 3 ”引理，有下面行列正合的可交换图： jjj jjj j jj jjj 图2 9 其中r ，l n 和q n 分别是q n ( ) ，q n ( m ) 和q n ( ) 的分次投射盖，故“极小，马 蹄型引理成立 ( ) 假设“极小”马蹄引理对正合列0 一一m 一一0 成立 对所有的n 0 ，q n ( m ) 和q ”( ) 均是s n 次生成的，则有下面行列正合的可交换 1 4 _ _ _ - - 一 2 k o s z u l - 型对象与“极小”马蹄型引理 0 一只一厶一q 一0 lli 0 _ 一j 7 i ，一一0 ， il1 000 图2 1o 其中只一一0 ，c 一 ，一0 和q 。一一0 是“极小，分次 投射分解，并且对所有的n 0 ，l n 皇roq n 由假设，q n ( m ) 是s n 次生成的，则 roq n 是s n 次生成的，故对所有的n 0 ，r 是s n 次生成的 定理2 3 1 设a 是标准的分次代数，0 一k m 一一0 是有 限生成的分次a 模短正合列则有 ( 1 ) 若m ，是k o s z u l 模，则也是k o s z u l 模当且仅当“极小”马蹄型引理对 此短正合列成立： ( 2 ) 若m ，是d k o s z u l 模则也是d k o s z u l 模当且仅当“极小马蹄型引 理对此短正合列成立；：。 ( 3 ) 若m ，是a - k o s z a l l 模，则也是a - k o s z u l 模当且仅当“极小，马蹄型引 理对此短正合列成立 证明由于a - k o s z u l 模是k o s z u l 模和d - k o s z u l 模的推广，只需证( 3 ) ( 兮) 假设也是a - k o s z u l 模由经典的马蹄型引理，有下面行列正合的可交 换图： 0 _ p 一c 。_ q _ 0 llj 0 一一+ m 一+ 一0 ， jll 000 图2 1 l i5 2 k o s z u l 一型对象与“极小”马蹄型引理 其中只一耳一0 和q 。一一0 分别是和的“极小”分次投 射分解，厶一m 一0 是m 的分次投射分解由假设，对所有的n 0 ，有 r ，l n 和q 。是由氓( n ) 次生成的故有正合列 0 一印( k ) 一印( m ) 一印( ) 一o ， 对所有的讥0 ，使得q n ( ) ，q “( m ) 和q ”( ) 都是民( 礼) 次生成由引理2 3 4 知， 极小马蹄型引理成立 ( ) 假设“极小”马蹄型引理成立也即是，有行列正合的可交换图： 0 一只一c 一q 。一0 jll 0 一k m 一_ 0 ， jjj 0 00 图2 1 2 其中见一一0 ，一m 一0 和q 一 r 一0 分别是k ，m 和n “t t t d , ”分次投射分解，且对所有的佗0 ，l n 掣r c q n 由于m 是a - k o s z u l 模，则对所有的n 0 ，roq n 是民( n ) 次生成的，因此r 是氓( n ) 次生成的故 k 也是a k o s z u l 模 2 4 “极小”马蹄型引理的应用 般地，任给短正合列0 一一m 一一0 则有p d ( m ) m 口z p d ( ) ，p d ( ) ) ，其中p d ( m ) 是m 的投射维数 定理2 4 1 设a 是标准的分次代数，0 一k 一 ，一 r 一0 是有 限生成的分次a 一模短正合列若“极小”马蹄型引理对此短正合列成立，则 有p d ( m ) = m o z p d ( k ) ，p d ( ) ) 1 6 一 2 k o s z u l 型对象与“极小”马蹄型引理 一_ 证明若“极小”马蹄型引理对正合列0 一k m 一一0 成立 则，m 和分别有如下“极小”分次投射分解， 和 一b r r k 一0 ， 一q 2 _ q l q o m 一0 一l 2 _ 己l l o 一一0 且对所有的佗0 ，有q n 鲁rol n 若以( m ) = 0 0 ，则m 有一个无限的“极小，分次投射分解 一q n 一一q 2 一q 1 一q o _ m 一0 注意到，“极小”分次投射分解在同构意义下是唯一的。因此 和 一r 一一恳一p l 一局一k 一0 _ k 一一l 2 _ l 1 _ 厶一l _ 0 至少有一个是无限的“极小分次投射分解故有础( m ) = m a x p d ( k ) ，p d ( j ) ) 若p d ( m ) = 钆 ，则m 有一个“极小分次投射分解 0 _ q n _ 一q 2 一q l _ q o m 一0 因此，k 和n 分别有如下的“极小”分次投射分解 0 一r 一一b p i 一昂一k 一0 ， 1 7 2k o s z u l 型对象与“极小”马蹄型引理 0 _ l n _ _ 如一l l 一一一0 ， 使得r 和l 。至少有一个非零故有p d c m ) = m n z 倒( ) ，p d ( ) ) 文献【1 8 】研究了有投射盖的模类的性质和应用，其中引理2 2 存伞文中起了 重要的作用可惜发现，一般情况下，该引理是不正确的本节通过举反例和理论 推导两方面说明文【1 8 】中的引理2 2 是不真的，并将其修正 文【1 8 】中的引理2 2 的内容如下： 设兄是任意有单位元的环考虑下面行列正合的左r 模交换图： 图2 1 3 其中t 1 ( 局) a ，t 3 ( 娲) c 如果c 是投射模，那么有t 2 ( ) b 文 1 8 中的引理2 2 的证明如下： 假定l 1 2 ，尬a ，k 2 b ，k s c 和a j e 7 ；t 1 ，t 2 ，t 3 ，口1 ，风是包含 同态因为鲍b ，由引理5 18 【1 4 1 ，则有b 注意剑k 1 a = k e r ( ) ，故存在唯一的满同态h ：b 托一g 使得仍= j 1 7 r 其中7 r 是自然满 同态7 r ：b b 所由于c 是投射模，可知曰虬上一c 一0 是可裂的， 故c 是b 所的直和项注意到托1 1 筌娲g 则有鲍k l 8 局由命 题5 1 7 1 1 4 l 有配b 从以上证明过程中看，作者为了证明鲍凰b k ，首先证明了冠鲁 虬g ，并指出c 是b 局的直和项，故有b 托，接着得出托k b 硒作者用了下面一个不正确的结论：假设r 是环，m 是非零尺模如果 k m ，l m ，且笺厶那么必有k ，下面举例说明此结论是不正确 的 1 8 2 k o s z u l 型对象与“极小”马蹄型引理 例2 4 1 设r = k 例是分次多项式代数其中。的次数是1 次，j 是r 的分 次j a c o b s o n 根，贝i j 有r ，rr ，而作为r 一模，有j 兰r 显然，兄r 是不可能 的 下面举反例说明引理2 2 【1 8 】的结果是不真的作为准备首先给出下面一个命 题： 命题2 4 1 设a 是标准的分次代数，有限生成的分次月模m 有投射 盖p om o 如果q 是投射模，q om o 是满同态，那么存 在投射模p 7 使得 ( 1 ) q 笺p0p ，； ( 2 ) k e r 9 皇q 1 ( m ) o p ， 证明( 1 ) 由引理1 7 1 7 【1 4 l 可知( 1 ) 成立 ( 2 ) 考虑正合列 。一q 1 ( m ) _ p o m _ o ， 和 0 一k e r g _ q 工m _ 0 由经典的s c h a n u e l 引理i t 9 1 2 0 有q 1 ( m ) oq 窒k e r g op 由( 1 ) ，有q 鲁pop 注意到。a o 是半单的，因此标准的分次代数a 是半局部环，且对于有限生成的投 射a 一模p 可以从直和中消去1 2 1 l ，故有k e r g 笺q 1 ( m ) op ， 例2 4 2 设a = k i 川是分次多项式代数，m = a ( 矿) ，n = a ( z ) 【_ 1 】， k = k 考虑短正合列0 一一m k 一0 ，通过计算，有短正合列 0 一a - 2 】一a - 1 】一一0 ， 0 一a - 2 1 一a m 一0 1 9 2 k o s z u l 型对象与“极小”马蹄型引理 二二_ = 二二二二：= 二= 一一 和 o a 【一1 】一月一一o ， 它们分别是n ，m 和k 的“极小”分次投射分解由经典的马蹄引理及定义1 2 2 ， 有下面行列正合的可交换图： jlj ：j 1 t ：l t s j 0 一以【- 1 】一a - 1 】oa a 。一o j ，j ，。l jll 考虑下面行列正合的可交换图： o 图2 1 4 0 ljl o q 1 ( ) 3 七盯( ，oj 1 ) i q 1 i ) 一o 。一心j 月。j 。a 一一。， 图2 1 5 显然，有t 1 ( q 1 ( ) ) a - 1 ，t 3 ( f 2 1 ( ) ) a 且a 是投射月模 假设引理2 2 成立，则有t 2 ( k e r c f ( d h ) ) a 卜1 】( d a 事实上，由命题2 4 1 。 有e r ( ，。 ) = q 1 ( m ) 。a - 1 ，其中t 2 ( f 1 1 ( m ) ) a 取a 【- 1 】。月的子模a ， 0 一 一一 2 k o s z u l 型对象与“极小”马蹄型引理 一 则有 月+ t 2 ( k e r ( f ) ) = a + k e r ( fo | 1 ) = a + q 1 ( mo 月【一1 】) = a - - a oa 如果t 2 ( k e r ( f 。 ) ) 月卜- 1 】oa ，由多余子模的定义知，有a = 月| 一1 】oa 而 a = a - 1 】oa 是不a j 能的故引理2 2 1 , 8 不真 注如果引理2 2 1 s 成立，易证“极小马蹄型引理自然成立其归纳推理证明 过程如下： 当佗= 0 时，也即是，任给兄模行列正合图： 0 l 0 一q 1 ( k ) l 0 l q 1 ( ) 一0 l 图2 1 6 其中p o 和q o 是投射盖，f 1 1 ( ) 和q 1 ( ) 分别是k 和n 的第1 个合冲由经典的 马蹄型引理可知，上图可补充完整为下面行列正合的可交换图： l ll 0 一q 1 ( ) 一f 1 1 ( m ) 一q 1 ( ) 一0 lli j ll lj1 0 0 0 1 二 一一 二 2k o s z u l 型对象与“极小”马蹄型引理 图2 1 7 若引理2 2 t l a l f j t 2 立，则可推出q 1 ( ，) ，即l o 是m 的投射盖由于q o 是投射 盖，所以0 一岛一l o q o 一0 是可裂正合列，故有l o 兰r oq o 考虑下面行列正合的可交换图： 0 l 0 一q 2 ( k ) l 只 q l 一0 ll q l ( ) 一q 1 ( m ) 一q l ( ) 一o ， j1 00 图2 18 只和q 1 分别是q 1 ( k ) 和q 1 ( ) 的投射盖，q 2 ( k ) 和q 2 ( ) 是和n 的第二 个合冲当n22 ，同理归纳可证 综上所述，若引理2 2 【- b 】成立，则极小”马蹄型引理自然成立而“极小”马蹄 型引理一般不成立，故引理2 2 【1 8 1 不真下面把引理2 2 t 1 8 1 修正，得到如下结果： 定理2 4 2 设a 是标准的分次代数考虑下面分次4 模正合列可交换图： 一 o 00 舻 0 0 一 一 一 土 一 侈 ?墓p1艺 一 。 一 一 2 k o s z u l 型对象与“极小”马蹄型引理 其中p ，l 和q 均是分次投射模如果q ( k 1 ) p t 3 ( k 3 ) q ，那么t 2 ( k 2 ) l 当且仅当j = knj m 。其中j 是a 的分次j a c o b s o n 根 证明( 兮) 假设有上面的可交换图，注意到，投射盖在同构意义下是唯一的， 可令p ：= ap a o 纠j k ，l ：= ap 舶m j m 和q ：= ao 加j 由上图中间行 可得下面正合列 乜一a 吣k | 3 k a 圆m j m ao a on | 3n 一0 。 因为a o 是半单模，可推出下面a o - 模正合列： 0 一k j k m j m n t3 n 一0 1 这等价于j k = knj m ( ) 显然，有正合列。一k j k m j m 一，一o 对任意 a 模m 。ao 山m j m m o 是投射盖，且在同构意义下是唯一的取 p ：= ao a ok j k ，l ：= a 固山m j m 和q ：= ao 山州，j v 因为月。是半单的， 故有正合列0 一p l q 一0 根据“3 3 ”引理，故有上面可交换 图如果t 1 ( 硒) 尸t 3 ( 飓) q ，则有t 2 ( 娲) l 2 3 3 入- k o s z u l 代数的单点扩张 本章主要讨论了扩张代数翰的a - k o s z u l 性质 声义3 、1 1 设a 是k 一代数， ，是a - k 双模，一般地，称广义的上三角矩阵代