（基础数学专业论文）dirac算子的特征值问题及其边值问题的kramer解析核.pdf

ab s t r a c t in t his p aper ， we 面cu88t he d as 汕。t l o nofself- 嘀oi ntb o u ll d a r yc ond itions fo r r e g u l ard ir aco p er at 诩. 从 飞al sos t u dy t h e m u 】 t ip li c l t y o f t hee l g e n v al ues o f d 仕 ac 叩er at o rsand t b e a p p l l c a t i 姐oft h e kramers a m p i 过 g the o r e 幻 比 todirac p r o b l e m s 初t h coupled b oundar y con di t ion. t hem ai n r e s u l te朋fo llowing: f ir st ， we g l ve七 bec a n o nicalr e p r es e ntatio 朋ofs el f- adj o int b oun d a rycon ditio 朋for d i r aco p e r a t 哪 le . 部 p ar at edse lf-adjo i n t b oundar y c 0 n d it io n a n d cou p 】 e d s el 卜 adjoi nt b o und a 刁c 叨d i t 1on s eco n d ， j ubt ast hec as e o f 日 e p ar at e d s e lf-adjo int b o u n d a r y con d i t i o n ， 耽 p r ove t h e e q uality b et wee n t heg e o m e t r i c mul ti p li c i t y and a 】 g e b r ai c m ul t 婚 li c ity o f e l g e n v a l ues o f t h e d ir a c ope r a t o r wit h co ui)le d s el 公 adjoi ntb o u n d a ryc o n d it i on. t hi rd， u n d e rt he con d ition oft he equ al ity b e t w e en 七 he g e o m et ri cmu ltipl icity 幼d a l g e b r aic m u l t i 川 ic ity ofei g e 刀 佗l ues ofr egul ardirac 叩er ato rs ， we show that七 he kramerana ly t i c 挽me lse x is t ， for whi ch， t here咐st s atle ast one eigenva l ueofm u l t i- p l i d ty2 for d ir a c oper a t o r s w 1 t h cou p 1 e db oun d a r y c ond i t io n . k e ywo r d s : d i r a c o p e r a t o r ，b o u n d a r y condi t i o n ， e l g e n val此，m ul t i p l i c ity ， e l g e 川 比 n c 七 l o n ，s e l 苏 adj o i 毗， k r a 立 比 r anal yti c 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果， 尽我所知， 在 本学位论文中， 除了加以标注和致谢的部分外， 不包含其他人已经发 表或公布过的 研究成果， 也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历而使用过的材料。 与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均 己在论文中作了明 确的说明。 研 究 生 签 名 :耐乌 。色 毫 加 司 年7 月7 日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电 子和纸质文档， 可以 借阅 或上网公布本学位论文的全部或部分内容， 可以向 有关部门或机构 送 交并授权其保存、 借阅或上网公布本学位论文的 全部或部分内容。 对 于保密论文 ，按保密的有关规定和程序处理。 研 究 生 签 名 : 卫 担 唤 一加 刃 年7 月7 日 第 一 章引言 d ir ac算子主要来源于量子力学的d ir ac方程 在量子力学中，d ir ac方程是自 旋 为盖 的 相 对 论 粒子的 基 本 运 动 方 程 . 量 子力 学 是 研究 微 观 粒 子 系 统 变 化规律的 理 论，对这一理论有着广义和狭义两种理解:狭义量子力学的研究对象是低能无衰变 的粒子以及这样的粒子构成的系统，理论是非相对论的. 广义量子力学的研究对象主 要是有无穷多个自由度的场，这时粒子可以产生、湮没和相互转化，系统的粒子可 以 不守 恒， 理论是相 对论的 . ( 见11 0 ) . 1 电子自旋 为了 解释 光谱分 析中 碰 到的 矛 盾， g.e 刀 hi e nbe 次 与 s. a. g oud si ni t ( 1 9 2 5 ) 提出了 电子自 旋的假设，他们根据的主要实验事实是: 1)碱金属原子 光谱的 双线结 构. 2 ) 反常 z ee m an效应. 最初提出的电子自 旋概念具有机械的性质，他们认为，与地球绕太阳的运动相 似，电 子 一方面 绕原 子核 运 转( 相应 地有 轨道角动量 ) ， 一 方 面电 子又在自 转，即 本 身 存 在 着固 有 磁 矩( 相 应 地 有自 转 角 动 量) . 1)电 子具有的自 转角动量5 ， 在空间任何方向 上的 投影只能取两个数值: 2 ) 每个电子具有自 旋磁矩ma， 它和自 旋角动量5的关系是 m.= 二 5; 从= 一 二 5. 召c声 从二 式中一 e 是电 子的电 荷， 拼是电 子的 质量 电子具有自 旋角动量这一特性纯粹是量子特性，它不可能用经典力学来解释. 自 旋角动量也是一个力学量，但是它和其他力学量有根本的差别: 一般理学量都可以 表示为坐标和动量的函数，自 旋角动量则与电子的坐标和动量无关，它是电子内部 状态的表征，是描写电子状态的第四个变量. 用自 旋 量 子 数、描 述 电 子 的自 旋 运 动 ， 其 值 也 是 量 子 化 的 ， 且 只 能 取。 。 =盖 或。 ， =一 赓 ，表 示 电 子 有 两 种 不 同 的自 旋 方向 而 原 子 中 电 子 任 何 一 个 运 动 状 态 都 可以用主量子数、角量子数、磁量子数、自 旋量子数这四个量子数来描述 前三个量 硕士论文引言 子数描述电子的空间状态- 轨道，而自 旋量子数描述了电子的自 旋状态.所以电子 自 旋 为盖 即 指 电 子 的第 四 个自 由 度 的 量 子 数 为丢 ( 见laj l ) z d扮 ac方程 5 比r 6 d inger 方程是量子力学的基本方程，是非相对论性的.在此方程中，时 间与空间坐标显然处于不平等的地位圆l!10 1 、 暴 。 一 ( 斋 二 ， + v ) ( 1 甲 1 ) 这 时 算 符 h 一 聂 ? 2 + v 就 是 数 学 上 研 究 的 的sc hr o di nger 算 式 ， 特 别 地 ，当 考 虑 的 空 间 是 一 维 时 ， h二 一 聂 d z + v 就 是5 o ur m-lfo uv ille算 式 . s chr阳 in g er 方 程 描 述 的 粒子， 概率( 或 粒子数) 是守恒的 ，在这里没有粒子产生和湮灭， 但涉及到粒子数 不同的 量子 态时， 非 相对论的 s hr 6 d in ge r 方程就无能 为力. 1 926 年，klei n- g or don提出了相对论中描述自由电子的波动方程， 即k l ei n- g ord o n 方程 一 护 护 . 万 ; 万 叻= 砚 少乙 ( 一 价 产 ， 2 十 。 2 子 ) 劝( 1 . 2 ) 在此方程中出 现了 波函数对时间云 的二阶导 数，这是与s cb i 6 d in g e 访 程明显不同的. 如果与非相对论性的 s c h r 记i n g e r 方程一样，把k lein- g or d on方程看成是描述单粒子 的波动方程，则不仅对于描述 粒子的产生、湮没或转化无能为力，而且将遇到新的 困 难间! 1 0 : 1) 按 照 kl e i 卜 g or do n 方 程 ， 可 推 出 非 相 对 论中 粒 子 的 几 率 守 恒 表 达 式 : 妾 p + v 夕 二0在非相对论中粒子的几率守 恒表达式中， p 表示粒子的几率密度，即粒 子在空间的位置概率;虽然由kle in 一 g ord 姐方程推出了相同的形式;但上面方程中 风 几 幼之0 不一定 成立;所以 很难把p ( r ， t)解释为 粒子在空间的 几率密度. 2 )总能量 有负特征值， 而且没有下限， 这将造成严重的困 难，因 为量子理 论 中存在自 发跃迁的 概念， 因 而这个系统所有的定态解将不断地跃迁到的一 00能级. 5) 这是 一对时间的 二 阶方 程， 解此方 程时 除了 需要起始时 刻的叻外，还需 要 裂作 为 初 始 条 件 4 )用此方 程计算氢原 子， 结果 其能级与实 验值符合的 不好【23】 . 为了克服k lein 一 g or d o n 方程遇到的负概率困难，d ir ac寻求波动方程的另一形 式，他参照非相对论量子力学中p auli 描述电子的二分量波函数理论，认为电子的波 硕士论文引言 函数应写成多分量形式，即 ( 咖( ， ， 亡 ) ) ( 如 ( r ， t ) ) 了了音.、. - 劝 电子的空间概率密度定义为 万 ， ( 。 t ) 一 e面而叻 峨 ( : ， ， ) 二 劝 (。 。 ) + 叻 (: ， 。 ) 这里侧， ， 幻 + 表示 诚气 幻 的复 共扼转置，即 叻 ( ， ， 幻 + =( 一而 ( 于 j ) ， 二 硒 万 ( 石 订 ) 则由 ( 1 .5 ) 式定 义的 风 ， ， 0 是正定的. 1 9 28年， dir ac 提出了自 由电 子的波动方程组形式 la 一石 : 叭吸 r ， t ) c o 石+ e 【、 ， 哟 + 臀内 闪 一 “ 或写成向量形式 _a， _， _ 仇二劝“卜幼 。. v+m了 川劝 口 ( 1 . 3 ) 这就是自 由 电 子的 di rac方 程.其中 诚r 川为 多 分 量 波函 数. 0 =( qi， az， 叱) ， al， 处， a3沂 都是共扼对称的 n xn矩阵且满足: 心。 盆 =咤二 1， 价 勺十 内久=0 ， ( 尹j) a 口+伽 =0 1)11)111) 如果粒子所处的势场为v ，则 d ir 朗方程为 刃句 11工 。 最 ， 一 【一 、 v 十 仍 尸 “ + q v 其中劝 阮幼 为多 分 量波函 数， a ， ， az， 叱渭都是 共扼对 称矩阵且满 足(i)(ii ) ( 111 ) . 令 h=一 云 触 。 甲十 m 尸 尸 +q v 称 h为d ir ac算式. 自 从dir 即方程提出以 后， 得了很大的进展，主要集中在特征值估计、 对算式 h的研究就从未间断过， 本性自 伴 上【27 l 31 1 13 3 ! .特别地， 也获 当取 硕士论文引言 n =4时， 、十了、!.百11.11 咋000000刁 00 0i 一艺 0 00 00 1d 0 一1 00 显然a i ， a : ， 。 3 ， 尸满足( 1 ) ( 11 ) ( 1 五 ) 这时算式可化为 ( 这里只考虑算式的数学意义 j . w亡 j 山n a n n已经给出部分结果 h 一 艺妈马十 口 ， =1 ，因此各项的系数不再考虑 ) 对这一算式的研究 口 1 1 当 空间 是 一 维 且 n = 2 ， 势 场 为v ( 习时 ， a =al， 口 均 为2 x 2 矩 阵 . 取 、.，/声 0-l 月1u 沙/育.、 一- 口 、.夕/ 了加卜 一- 口 这时算式( l s ) 即为 v+饥产 0 v一爪尸 ( 1 . 6 ) /才且、 + d-血 八j叮 0-1 了了.、 ch 一一 h 3 算子的特征值 量子力学关于力学量有如下假设: (l)量 子 力 学 中 每 一 个 力 学 量f( 如 动 量 、 坐 标 、 能 量 等 ) 都 用 一 个 算 符户来 表 示，称为力学量算符. ( 2 ) 当力学量f有相应的 本征方程 f 劝=久 砂 . 称叻为 本征函数， 人为 本征值. 如对力学量f 进行测量， 测得的 值只能是该力学量的 本征值 无 硕士论文 引言 (s)当 微 观粒子的 状 态是 力学 量 f 的 本 征 态时 ， 力学 量f 有确定 值这时 如 对 f 进行 测量，钡 叨 得的值就是该本征态对应的本征值. 由 于假设力学量算符的本征值就是测量该力学量所可能得到的数值，自 然它们 应该为实数. 由量子力学的数学描述，每个量子系统都有一个h ilber 七 空间h与之对 应，而系统的可观测量与空间h中的自 伴算子对应. 从数学角度出发，研究的自伴 算子特征值的重数问题，对处理量子力学中力学量的本征值问题有意义. 例如， 量子力学中 的不含时 s chr6 d in ger方程 h 倔 =e 叻 e(l.7 ) 其 中h二 一 聂 d z + v 为 sc 城d in ger算 子 ， 而叻 。 是 波 函 数 ， 即 对 应 于 特 征 值e 的 特征函 数 从 数学上 讲， 对于任何e值， 方 程( 1 .)都 有解 在束缚态 边条件 下， 只 有某些e值所对应的解才是物理上可以 接受的 这些e值称为体系的能量本征值， 而 相应的 解劝 以 约称为 能 量本征函 数. 对于方程 h 崛 =召 叻 e ，算子 h 的某个特征值 e的重数是r 时， 即方 程( 1 .4 ) 布个线性无关解与召 对应;在量子力学中，对应于能量的某个本征值 e ，有r 个不同的本征函数. 此时称粒子能级有简并，且简并度为r . 即属于本征值 e 的 本征态 有 r 个. ( 见【 10 】 ) . 在量子力学中，处理力学量本征值问题时，特别是上述提到的能量的本征值问 题，常常出现本征态简并. 因 而从数学角度研究清楚算子特征值的重数问题，将有利 于处理物理学中力 学量的 本征 值问 题. ( 见【 1 01) . 4 本文结构 在第二章中，主要结果是对于dir ac算子的一般自 伴边条件，找到与其等价的两 种 标准形 式， 其思 想来 源于文 【 25 1 . 文【2 匀在 给出s tu r oli o u v i l le 的 一般自 伴 边 条 件 的等价分类时，其证明过程并不完整. 在第二章中， 我们对d l r a c 算子一般自 伴边条件 的等价形式给出完整的证明. 第三章的主要目的就是给出一维常型d ir ac算子的特征值的代数重数与几何重数 的 等价 性; 其主 要思 想来 源于 文l 司 、 价 4 1 、 份 5 1 . 其中 文价 封 主 要 研究s t ur m-li ouvl ue 边值问 题的 实、 复 边条 件( 包括自 伴及非自 伴边条 件) 的几何刻画， 用几 何分 析的 方 法证明了 分离自 伴边条件下， stur价l io u vi lle算子特征值的几何重数与代数重数的 等 价性 文1 15 ) 、125 分 别给出 混合型自 伴 边条 件、 极限圆 型的st urm- l io u v in e 算子 特征值几何重数与代数重数的等价性. 硕士论文 引言 作为第三章中结论的应用，在第四 章中，我们研究了kramer 一 s a n l p l in g 定理 对带有混合型自 伴边条件的d ir ac算子边值问题的应用.主要结果是利用k rame卜 5 翻pling定 理的 解析形式给出 dir 朗 算子边 值问 题的kramer解析核.此 类对微分算 子边值问 题的 研究， 来源于文11 司中 对k r alner 一 s a m p l 吨 定 理解析形式的 描 述，以 及文11 周 、 1 36 1 中 对与自 伴边值问 题相关的k ram er-s amp l 吨 定理及l agrange 插值级 数的 研究 . 在 文 【 18 、 l 例 、 俘 01 、 睁 司 中 ， w n . e ve rit 七 、 gn 朗 ri- r ouds 幼等人 研 究了k ra m er 一 sampl in g 定理对带有自 伴边条件的st ur价li o uvil le问题的 应用:不仅 合理定义了stur m-li ouv ili e 边值问题的k r amer解析核，而且给出解析核的解析插 值函 数以 及由 此插 值函 数所决定的 l agra n g e 插 值级 数 由 文11 5 、1 1 9 1 、 1 2 01 、件 4 关于 sturm-li ou论le边值问题给出的结果可知，由边值问题所定义的k r amer解析核相 当于微分算子边值问 题中的 g r ee n 函数( 见lsj)由 于g r ee n 函 数的性质能反映出非齐 次微分方程解的性质，所以 研究算子边值问题的解析核是有意义的. 第 二 章预备知识 本章，我们给出一些基本概念、结论和常用的符号，介绍了在自 伴边界条件 下d ir ac算子的谱只有可列个特征值以 及在不同自 伴边界条件下dir 留算子的特征值 和相应特征函数的渐近式. 主要结果是把常型 d ir 即算子的自 伴边条件简化成两种等 价的标准形式. 从物理角度， 研究的 di r ac方程是 ( 1. 叼 式， d ir 算式如 ( l s ) 式. 当 考虑算式的 数学意义时， (l4 ) ( 1. 5) 式各项的 系数不再考虑. 为了更一般的讨论 算式(l .6 ) 的性 质，我们引入下面的定义 定 义 2. 1 份 9 1 称 形 如l = b 法+ 尸 ( x)的 算 式 为 区 间1 上 的 一 维 d ir a 创 潭 式 ， 其 中 、.矛厂 0件 口 1、 ，尸 (二。 一 ( () o j0 0-l 了声矛it、 -一 b 、.矛/ 功功 了!、 可 幻， 试 习是区间1 上的 实连续函 数 定义 2 一2 129 称勿 =匆为 珑 rac方 程， 是 量子 力学的 基 本 方 程.其中9 = 当 二 1 =a ， 习时， 方 程加上边界条件即构成常型d ir 特征 值问 题，此时称l 为常型dir ac算子. 当 二 任 1 ( 1 为卜 ， 的 ， (a ， 句 ， a ， 十 co ) ， ( 一 co河， ( 一 00， 十 co) ) 时 ，方 程加 上适当 的 边界 条件则构成奇型d ir 朗 特征值问 题，此时称 l为奇型dir ac算子. 命题2. a z s一 维正则 d ir ac 算 式 在ia 河上的自 伴 域为: 存 在一个2 x 4 矩阵 bla坛 bl如 鲡咖 八f妙 -一 b a 、.，!护 、./产 叭脚 了了.、 一一 夕 0 一- 使得 一 夕 二 ，一 (，一 石， 八场时了 0只 /了.、 仁 e ， a o k ( a ， b ) =2 ， a e a 今 =b e b . ， 其 中ti( 习为l 在空 间护( 刀生 成的 最 大 算 子， 其 定 义 如 下 侧ti (l) = fl 了 。 护 ( 乃 ， 了 。 a 口 二 (i)， lj。 护 (i) ， 硕士论文 预备知识 ti( 功f =l j ， f 刀 扭 习) 注 在这里， 了 是二维列向 量，且 印 ，一 伽ia+ 、 2)刁 一 显 然护( 1)是一 个 h il b ert空间， 其 上内 积是 (了 ， ) 一 关 (、 。 + 、 。 “ ， v ， l z“ ， f 任 a ci 二 (i ) 是指人任 a ci 二 ( 1) ， =1 ， 2 由 于了 a g 倪 ( 1) ， 则d 了 在1 上几乎 处处有意义，故l 了 在1 上几乎处 处有意义， ， 仍( l) 是l 所能作 用的 最大区 域， 因 而称ti( 助为 最大算子，由 于 r 。 耐乃在护( 乃中稠， 故ti( 助是稠定线性算 子 命题2. 4 28 1设l为区间1 上的 dir ac 算式， ti( l) 限制在 宁“ 耐 1)上得到 算子的最小延拓称为l在空间护( 刀生成的 最小算子， 记为to( 助，即to( 助= ti( 助印伽 均 . 也 就 是 说 侧to(l) ) 二f了 任 护(i)， 日 人任 q 汁 ( 耐) ， 使 得1加人二 了 ， h ml 人=好， ， 乙 . ， 曰 ，n 份嗦 月 鱿， to( l ) 了 二9 ，了 任 刀 ( to(l) ， 定义2 5 sj 复 数久 称为 d 云 ac 算子的 特征 值， 如果方 程l ， =场对应于这个怎 有一非 平凡解， 满足 边界条 件a ， ( a)十抑(b)二0 ， 则 称入 为 方程的 特征 值， ， 为与 入相应的特征函数 对于 st 二 一 li ou ville 算子的自 伴边条 件的 等价分 类，文价 5 的 证明 过 程并不 完整 . 在此，我们对d ir ac算子一般自 伴边条件的 等价形式给出 完整的 证明， 并用于第三章中 讨论特征值的重数 定 理 2. 6 根据a ， b的 奇异性， 对上述一 般自 伴边界 条件 a ， ( 。 ) +b ， ( b ) =0( 2. 叼 可分为以下两种标准形式 (l ) 如果a奇 异， 则b奇异且( 2. 4 ) 可 表示成以 下 标准 形式 sin a ， 1 ( a ) 一 cos q ， 2 ( a ) =0 硕士论文预备知识 句6) 22 了吸、了j.、 s i n 内1 ( b ) 一c os口 协 ( b ) =0 ，0 5a ， 刀三， (:)如果a 非 奇 异， 则b非 奇异 且(a.4 ) 表 示 成以 下标 准形 式 ， ( b ) =。 劝 脚 ( a ) ， ， 其中 一 二勺三二 ， k任s l ( 2 ， r ) 、.lr.少 .且 一- kll灿 /付卜妙all =得 k r.少、.0， -.一一一 习 石 ( 2 ， r )， 札 r ， 似( 幻侈， 乃 证明(l )由 iai， a1 2 ) =a( 勿 1 ， 吻) 由a e a 巾 =b e b * ，得 b = 0 . 即( b i l ， b i : ) = b 伽1 ， b 2 2 ) . 则( 2 .2 ) 此时 变成 絮 1 ( a ) 夕 2 ( a ) 由， 的k( a ， b ) =2 ，得( a i l ， 内 2 ) 尹( 0 ， 0 ) ， ( b2 1 ， b2 2 ) 笋( 0 ， 0 ) . 则 上 式可 化成 标 准形式 el l， 、01 空“ 7 蒸 下 忑 “ (a) + 了 不 氧 不 如 (a)一 ” 窟 橇 二帅 ，+ 蒲 镜如 ( =伽. 由 cl l 碗 一c1 2 互 汀=1 及劲而 一 勿 1 而 =1 ， 得 甘 (” ， ， 一 华 ， ( 无 1 ; 无 二 一 棍 1 无 1 2 ) 二 i e 城 (， ， 一 加 ， ) ( k ， i k2 : 一 k z ， k 1 2 ) = 1 ， 所以 e 俪 : 一 ” : ) 二。 一 (” “ ， ) ， 即 爪 1 = 水 : .综上刀 1 1 不妨设 = 仇2= 刀 21 = 飞2. 当矩阵c中某个元素为零时， c l l c 2 2一c1 2 瓦 汀=1 ， 得 cl z 瓦 药二一 1 . 0 = 1 ， 即 时有 电 = 此时刀 =0， cl ， 二而. 由c2 1 而 一勿 2 面 二0 ，得 勿 =丽 一1 ， 万 即可 倒由 勿 1， c 为 实 数 矩阵 当icl=一 1 ， 取c= 住 k ， 此 时， =晋 ， c 为 纯 虚 数 矩阵 卜 上面我们得出了 d ir ac 算子自 伴边界条件的 标准形式， 作为它的 一个应 用， 下面我 们来刻画最小算子的 所有实自 伴延拓. 定义2. 7设5 是hilb e rt 空间 h中的稠定、对称的线性算子， 线性算子t的定 义域为公 ( t). t称为 算子5的一 个实自 伴延拓， 如果t是5的 一 个延拓，且 满足 ( 1 ) 9 ， ( 乃蕴含 着歹 任 ， ( t) (:)t (y)= 巧. 推论2 名设 凡如是与方程 l ，=人 狱相关的最小算子;令 5是 凡 。 在h 此ert空间h中的 一 个自 伴延 拓，且5的自 伴边界 条件为a 叭 a)+b ， (0)=0， 其中， 。k ( a ， b ) =2 ， a e a . =b e b 气 若 算子5的 定义 域， ( 5)是由 下面两类边界 条件之一给定 (i) 分 离 边界 条 件(z.5 ) ; ( 1 1 ) 混 合边界条 件( 2 6 ) ， 且刀 =0 则5是氏认在h中的 一实自 伴延拓. 证明从自 伴 边界条 件的 标 准形 式(z.句 与( 2. 6 ) ， 及方 程l ， =勺系数的 实 值 性可直接得出结论. 硕士论文预备知识 我 们称由 形如(z.5 ) 的 矩阵定 义的 d ir ac 算子自 伴域为分离边条件自 伴域， 这 时d l r ac算子 的自 伴域可写为 一 ， 二 乃 石， sin叩: ( a ) 一cos a 刀 2 ( a ) sin口 ， 1 ( b)一c 璐口 脚( b ) ( 2 . 8 ) 、.夕!夕 00 一一- 对于分离型自 伴边条件下的d ir ac算子，关于其谱有以 下结论 定 理 2. 9 【28 形川分离 型自 伴边条 件 下 d ir 算子的 谱只 有可 列个 单重 特征值， 且 这 些 特 征值没 有有限 的 聚点 .记 此时 的 特征 值为 仆好， 有 、 一 + 吕 + 0 (畏 )， d”j 贝 ， 、.刃尸了 其 中 0 = 口 一 a +盖 f0加 ( 劝+ r ( 动 1 击 设 对 应 于 凡的 特 征 值 为 。 。 ( x ) ( x ) 、( 忿 ) = 吸(x) = 一 (; 一 ) + 0 (轰 )， 。、 、 一 。 ) + 0 (壳 )， 其中 盘= 若 ( 二 ， 凡) 二 凡 二 一 告 fox沙 ( 月+ 以 月 血 我们称由形如( 2. 6 ) 的矩阵定义的 dir 二 算子自 伴域为混合型边条件自 伴域. 令 a 二0 ， b =二 ，这时dir 配算子的自 伴域可写为 一 。 一 (几 (l， ( 2 9 ) 、.几了.， 00 -一一一 kl i 沪， ， ( 0 ) +无 1 2 尹脚( 0 ) + ， 1 ( 二 ) 肠 1 产协(0 ) +坛已 与， ( 0 ) +脚 ( 二 ) 对于混合型自 伴边条件下的d i r a c 算子， 关于其谱有以下结论 定 理2. 10 川对 于 混 合型自 伴 边条 件 下 d ir ac 算子的 谱只 有 可列个 特征 值， 这些 特 征值没有有限的聚点. 令此时的特征值列为仆。 脚 有 “ 一 zn + 去 万 则 十 ， (二 )l * 十 吕 一 奏 十 ， (二 )1 * + 募 + 奏 ，一 z c o s 夕 al c co 叭 骊舜面 、 一 、 + 去 和。 ，一 z cos 夕 alcco 叭 了 哀 万 示 ) + 0 (真 )， ) + 0 (畏 )， 设对应于凡和脚的特征向 量分别为 功 1 ( 二 ， 沪 2 ( 二 ，冲(之 脚， 则有 价 ， ( : ， 凡) = 。 ， +co s 石 ( 二 ， 巍) 一a z _ 一-产，几 下二 尸 - 下， 丁- 一 ，犷 - - c o 吕 c 。 日 1 心 t 万， 心 ” )一 “1 1 。 ， ) 一 。 ， + 、 ; (二 ， ) 一 。 2 + 0 ( 生 ) ， 硕士论文预备知识 功 2 恤， 人 。 ) = 尹十 c o 5 石 ( 二 ， 氛 ) 一。 ， 。 ， ， 一一 一 了 丁 丁 了 不二一 艾 不 厂 一叶 一 不 一 一吕 u l t 心 l 多 田廿 1 、 万， 弓 n ) 一 “i j ， 氛 ) 一 a i + ai n 功 : ( 二 ， 丙) =一 竺 等 器 黯头 碧 z c os 竺 蕊 黯 弩 尸 云 兴 5， x ， 氛 ) 一 。 1 卜co 。 “ (二 ，“ ， 一 、 ， + 0 (失 )， “ ? ，“ ， 一 、 + 0 (畏 )， 功 2 ( x ， 脚) = 其中 心 (x ，; ) 一 + sin ; (? ，; ) 一 + 0 (畏 )， a 口=a r c c o s we 下 弓 芬 二 = 于 未a之 丫月+ 万 cos a z +ai n a i b=s l noz一 c 0 8 al ， 。 一 2。 + 去 万 ; 一 2。 十 去 万 沙 (了 ) 十 ， (了 ) * 十 子 - ， (了 ) + : (了 )1 ， 十 琴 + azc c os( 一zc 。 日 夕 arc cos ( 一zc o s 口 01= a r 朗 扭 kl1 了 岭 : 十 k 孔 血2二 a r csl n 肠1 了 峪 ， + k 头 ， 二 ， 入 ) =人 公一夙劝+以 月 1 击 第 三章一维常型dir 配算子的特征值重数 本章， 我 们将有 关s turm-l louv 业 算子 特征值重数的 有关结果( 见【1 司 ) 推广到 d ir ac算子上来. 特征值的几何重数是指特征空间的维数，即与特征值对应的线性无关的特征函 数的个数. 对于dir ac算子的特征值来说，这个数是1 或2 .代数重数通过某个特征函 数给出定义: 这个特征函数满足其零点是d ir 即 算子的 特征值，零点的阶数就定义为 相应特征值的代数重数. 关于 dir 朗 算子特征值重数问 题，大部分文献( 如【13 l ，) 在处理特征值在不 同 边界条件下的几何重数与代数重数问 题时，采取分开的讨论. 文!29 研究了常 型d ir ac算子在分离自 伴边界条件，特征值的两种重数之间的关系. 而对于混合型自 伴边条件下，dir ac算子特征值几何重数与代数重数之间关系的研究却没有见到过. 本 章对混合型自 伴边界 条件下的常型 dirac算子， 给出 了 其特征值与整函 数截 )零点 的 关系， 并且解决了 特征值的几何重数与代数重数的等价性问 题. 考虑d l r ac算子 l如下 ;) “ c 穿 ， 。二 ) ，一 ( 3 . 1 ) 0-1 /才.飞、 - 岁 l 对于算子 l在分离自 伴边界条件 = o 2竹日 3引刁 si n a 玩 ( a ) 一cos a 如 ( a ) si n 刀 ， 1 ( b ) 一005 尸 脚 ( b ) = 0 下的 特征 值的 重数问 题， 在文【29 中 ， 通过构 造 特征 值所 满 足的 特征函 数方 程、 反证方法， 证明了特征值久 其几何重数与代数重数均为1 . 即给出d 址 a 司 潭 子特征值的 几何重数和代数重数的等价性 下面考虑算子 l在混合型自伴边条件 夕 ( b ) =e ， 刀 k 絮 ( a )( 3 . 3 ) 下的边值问 题的特征 值的 几何重数与代数重数等价性问 题. 其中刀 ( 一 二 ， 司 ， ke 5 石 ( 2 ， r ) ， 硕士论文 一维常型 d 七 ac 算子的特征值重数 设试二 ， 习 沪 1 ( 劣 ， 入 ) 沪 : ( 公 ， 人 ) 夕 沙 ， 久 ) = 夕 1 ( x ， 久 ) 凡( x ， 人 ) 是 方程( 3. 1) 的 两个解， 且满足初 、.了/ 了/.、 一- 始条件 、1/ nl.1 /f.、 一- 护 ( a ， 入 )口 ( a ， 入 ) 、.布/声 1土n /1、 一一 由朗斯基行列式 曰.且 - 、1.1、.了 入人 劣劣 j电2.、 el氏 w ，。(一 )一 沪 : (x ， 入 ) 尹 2 ( x ， 入 ) 知沪 沂是d ir ac 方 程(:.1) 的 两个线性 无关向 量解， 令 沪 1 (t ， 入 )夕 1 ( 亡 ， 久 ) 沪 2 ( 云 ， 入 )几 ( 忿 ， a ) 了矛.t、 一- 、lr产 入 今 子 了.、 番 则垂 (t ， 习是矩阵方程y，。 ， 习=( 尸 .一入 b ) y 。 ， 习满足初始条件y (a ， 入 ) =1 的 解， 称 重是方程的基本解矩阵，其中 、1/ 0-1 j/了.龟、 一一 b 、.口/尹 以0 叩( t ) /了.、 - 、，于声 孟 护胜、 p 相应于s turm- li o u v il le问 题( 1 1 5)， 关于dir 方程， 我们也有如下引理 引 理3 . 1令占 林 ) =de 亡 ( a+b 。 ( b ， 入 ) ) ，则久 是( 3 . 1 ) ( 3 . 2 ) 或( 3 1 ) ( 3 3 ) 的特征值 充要条件是截 习=0. 证明 令， 二即十dg ， 其中c ， d 为实数. 则 a 叭 的十b 抓 b) 絮 1 ( a ) 处( a 、 十b 即1 ( a ， 人 ) +d 氏 ( a ， a ) c 尹 2 ( a ， 久 ) +d 氏 ( a ， 入 ) +b 印: ( b ， 人 ) +d o i ( b ， c 沪 2 ( b ， 久 ) +韶2 ( b ， 、1.1/ c.d /了.、 、性、.了/ 、1/ 甲 ; ( a ， 人 ) 沪 2 ( a ， 久 ) 色(a ， 入 ) 几( a ， 入 ) +b 沪 1 (b ， 久 ) 沪 2 ( b ， 人 ) 夕 1 ( b ， 人 ) 几 ( b ， 入 ) 了曰、 一一 、.矛2 c，己 /1、 、!/ 、.矛/ 沪 ， ( b ， 入 ) 沪 2 ( b ， 习 0 ; ( b ， 人 ) 口 2 ( b ， 久 ) b + a /j.、 硕士论文一维常型d ir ac 算子的特征值重数 因为与特征值 入对应的特征函数存在的充分必要条件是方程 0 - 、.了/ cd 了矛.t、 、皿，jj 、.声了 沪 ; ( b ， 入 )氏 ( 吞 ， 久 ) 沪 2 ( b ， 久 )02 ( b ， 久 ) 产了百.、 b + 了价曰、 关于c ， d 有非零解，即 n 一一 、.户了 、.夕2 入久 u口 叭几 甲 1 ( b ， 久 ) 沪 2 ( b ， 久 ) 所以由 函 数占 ( 习的 定 义， 得人 是(a . 1) ( 3 .2 ) 或(a1 ) ( 3 .3)的 特征 值充要 条 件是占 ( 习=0. 由 上面引理3 1 ， 通过定义关于特征值入 的整函 数占 ( 习，找到了 d ir 朗算子在一 般自 伴边界条件下 特征值所满足的特征函数方程.特别地，对于混合自伴边界条件 有 注 在混合自 伴边界 条件下， a二产k，b=一 1 . 则问 题( 3 习( 3 .s)的 特征值入 所满足的特征函数方程为 占 ( 久 ) =己 c 艺 ( 砂 叮 k一币 ( b ， 入 ) ) =0 .( 3 4 ) 类似与文献份 5 冲对st urln 一 li ouvi lle问 题特征值的代数重数定义，对于琉a c 算 子的一般 自伴边值问题，下面给出其特征值的代数重数概念. 定义 3. 2 方程占 ( 习=0 的 根的 重 数 称为 一 般自 伴边值问 题 l 絮=久 沙 a ， ( a ) +脚 ( b ) =0 的特征值 人的代数重数. 引理3 . 1 给出了d ir ac算子在一般自 伴边界条件下， 特征值 入 所满足的代数方程. 本章主要解决的是混合自 伴边界条件下特征值的重数问题，为了便于问题的讨论， 下 面我 们首 先通过方 程 ( 3 . 1) 的 两 个线 性无 关 解沪 旧 及混 合自 伴 边界 条 件， 找到 d ir a c 算子在混合自 伴边界条件下，特征值 久所满足的代数方程. 令 d( 习 b ( 人 ) k i i 62 ( b ， 久 ) 一碗 : 6 1 ( b ， 人 ) +灿沪 1 ( b ， 久 ) 一k i : 沪 : ( b ， 人 ) k i i 氏 ( b ， 久 ) +无 1 : 尹 2 ( b ， 人 ) 一棍 2 钾 1 ( b ， 习一肠 1 6 : ( b ， 人 ) a ( 入 ) =k i i 沪 2 ( b ， 人 ) 一杨 1 沪 1 ( b ， 久 ) ，c ( 人 ) =棍 2 01 ( b ， 久 ) 一k1 2 凡 ( b ， 人 ) 硕士论文一维常型d ir ac 算子的特征值重数 b : ( 入 ) =k l i 几 (b ， 久 ) 一 k2 1 6 1 ( b ， 人 ) ， 则d 林 ) =b l 。 ) + b z 林 ) ， b 林 ) =b ， ( 入 ) 一 凡( 劝 b z ( 入 ) 几( 的 a ( 习 肠 ， 沪 1 ( b ， a ) 一 k i ， 沪 2 ( b ， 入 ) . 易证 k 一 ， 垂 ( b ， c ( 久 ) bl( 久 ) ( 3 .5 ) 、，.下了尹 月/产.、 一一 、，少 入 推 论 3 名 人 为 混合 边 界 条件问 题 ( 3 . 1) ( 3 .s)的 特征 值 充 要 条 件 是 证明 利用de 云 k二1 ，函 数d ( 习的 定义 及w 沪 旧 ( : ， 劫二1 ， d ( 入 ) =z cos 勺 . 得 de !“x 一 6，入，一 1 ( e 切 瓦 : 一 功 1 1 ( b ， 入 ) )( 产k ; : 一 功 1 2 ( b ， 入 ) ) ( e 切 棍 ， 一 功 2 1 ( b ， 入 ) )( 。 切 肠 : 一 沪 2 : ( b ， 入 ) ) 训1训 ( e ， 刀 k i ， 一 沪 ， ( b ， 入 ) )( 尹k i z 一 夕 1 ( b ， ( 产棍 1 一 甲 2 ( b ， 入 ) )( e 切 k 二一 几 伍 ， 一一 ie 脚( k i i 场一 棍 i k i z ) 一 产( k i i 内+ 杨 2 尹 1 一 k ， : 沪 : 一 k o 0 1 ) +( 沪 1 内一 0 1 沪 2 ) 1 。 2 切一砂 勺 d ( 人 ) +1 . 由 注( 3. 4 ) ， 得 叔 习二护 甸 一 尹d ( 幻十l 上式两边同除以尹，得 。 一 勺( 劝二沪十 。 一 切 一 d(入 ) =z c os (n)一 d(a). 所以由引理3 1 ，知久 为混合边界条件问 题( 3. 1 ) ( 3 .a)的 特征值充要条件是d ( 习二 z cos 叮 ， 引理 3 .4 设入为问 题(a . 1 ) ( 3. 3 ) 的特征值，其几何重数为 2 的充要条件 e 切 k= 到b ， 习 此时刀 = 0 或 二 证明由引理3. 1 的证明知，特征值 入的几何重数为2 的充分必要条件是 a=一 b 全 ( b ， 入 ) . 由于混合边界条件抑( 司十b 斌 的=。 中的a ， b非奇异，则 夕 ( 石 ) =一 b 一 i a 夕 ( a ) 把a=一 b 侧b ， 习代入上式， 即， ( b)二。 ( b 八) ， ( a ) . 与混 合边界 条 件( 3 3 ) 对比 ， 得 =中 (b ， 人 ) 硕士论文一维常型d l r ac 算子的特征值重数 即 特征值入 几何重数为 2 的 充分 必要条 件是产k=到b ， 习 . 由 定理 2 . 10 ，知 d ir ac 边 值问 题(3 .1 ) ( 3. 3 ) 的 特征 值 均是 实的 ， 则 此时 ， =。 或 兀 对于 前面 定义的 关于 函 数d ( 习 ， 下 面通过计算d，( 习 ， 建立 一些 包含d ( 习及 d，( 劝的 等式， 然后给出 dir ac 算 子 边 值问 题( 3. 1 ) ( 3 .3 ) 的 特征值 几何重 数与 代数重数 是等价的. 弓 1 理3.5 。 ，(* ) 一 丈 ， (*)， (一 *)。(一 * ) + c (* )， (一 *) 一 ， (*)。2(一 * )!。 4c (、 。 ，(*卜 丈 (。 (* )。(一 * 卜 zc (* )， (一 * )* + (4 一 。 2(* )关 。2(一 入 )己 4 a ( 久 ) d ， ( 入 ) 二 证明令 一 丈 “(。 (* )* (一 *) + 2、 (*