马尔柯夫预测法.ppt

2019/12/10,华北电力大学工程造价刘梅,1,第八章马尔柯夫预测法,8.1马尔柯夫链简介8.2商品销售状态预测8.3市场占有率预测8.4期望利润预测,2019/12/10,华北电力大学工程造价刘梅,2,8.1马尔柯夫链简介,一、马尔柯夫预测法含义马尔柯夫是俄国著名的数学家。马尔柯夫预测法（MarkovForecastingModel）是以马尔柯夫的名字命名的一种特殊的市场预测方法。马尔柯夫预测法主要用于市场占有率的预测和销售期望利润的预测，是一种预测事件发生的概率的方法。它是基于马尔柯夫链，根据事件的目前状况预测其将来各个时刻（或时期）变动状况的一种预测方法。马尔柯夫预测法是对地理、天气、市场进行预测的基本方法，它是地理预测中常用的重要方法之一。,2019/12/10,华北电力大学工程造价刘梅,3,二、马尔柯夫过程与马尔柯夫链1、马尔柯夫过程与无后效性事物的发展状态总是随着时间的推移而不断变化的。在一般情况下，人们要了解事物未来的发展状态，不但要看到事物现在的状态，还要看到事物过去的状态。马尔柯夫认为，还存在另外一种情况，人们要了解事物未来的发展状态，只须知道事物现在的状态，而与事物以前的状态毫无关系。例如，产品明年是畅销还是滞销，只与今年的销售情况有关，而与往年的销售情况没有直接的关系。后者的这种情况就称为马尔柯夫过程，前者的情况就属于非马尔柯夫过程。马尔柯夫过程的重要特征是无后效性，即事物第n次出现的状态，只与其第n-1次的状态有关，它与以前的状态无关。,2019/12/10,华北电力大学工程造价刘梅,4,2、马尔柯夫链数学中，时间和状态都是离散的马尔可夫过程称为马尔柯夫链（或马氏链）。马尔柯夫链是与马尔柯夫过程紧密相关的一个概念。马尔柯夫链指出事物系统的状态由过去转变到现在，再由现在转变到将来，一环接一环像一根链条，而作为马尔柯夫链的动态系统将来是什么状态，取什么值，只与现在的状态、取值有关，而与它以前的状态、取值无关。因此，运用马尔柯夫链只需要最近或现在的动态资料便可预测将来。马尔柯夫预测法，就是应用马尔柯夫链来预测市场未来变化状态。,2019/12/10,华北电力大学工程造价刘梅,5,定义8.1.1设随机时间序列满足如下条件：(1)每个随机变量Xn只取非负整数值。(2)对任意的非负整数及，当(8.1.1)时，有(8.1.2)则称为马尔柯夫链。为状态空间，是随机变量Xn在对应的时间可能取到的值。,2019/12/10,华北电力大学工程造价刘梅,6,三、状态转移概率1、状态转移概率在马尔可夫链的每一步，系统根据概率分布，可以从一个状态变到另一个状态，也可以保持当前状态。状态的改变叫做状态转移，与不同的状态改变相关的概率叫做状态转移概率。称条件概率（8.1.3）为马氏链在时刻m处于状态Ei的条件下，在时刻m+k转移到状态Ej的状态转移概率。由于链在时刻m从任何一个状态Ei出发，到另一个时刻m+k，必然转移到诸状态中的某一个，所以,2019/12/10,华北电力大学工程造价刘梅,7,当转移概率只与i，j及时间间距k有关时，即时，称转移概率具有平稳性，同时也称此链是齐次的或时齐的。本章只限于讨论齐次马氏链。,定义8.1.2称(8.1.4)为k步转移概率。特别地，当k=1时，称为一步转移概率，记为,2019/12/10,华北电力大学工程造价刘梅,8,例8.1.1某地区有甲、乙、丙三家食品厂生产同一食品，有1000个用户(或购货点)，假设在研究期间无新用户加入也无老用户退出，只有用户的转移。已知2002年5月份有500户是甲厂的顾客，400户是乙厂的顾客，100户是丙厂的顾客。6月份：甲厂有400户原来的顾客，上月的顾客有50户转乙厂，50户转丙厂；乙厂有300户原来的顾客，上月的顾客有20户转甲厂，80户转丙厂；丙厂有80户原来的顾客，上月的顾客有10户转甲厂，10户转乙厂。试计算其状态转移概率。,2019/12/10,华北电力大学工程造价刘梅,9,解：由题意得6月份顾客转移表8.1.1。,由表8.1.1可知，6月份有430户是甲厂顾客；360户是乙厂的顾客；210户是丙厂的顾客。于是：,2019/12/10,华北电力大学工程造价刘梅,10,定义8.1.3称,为一步转移概率矩阵。一步转移概率矩阵具有如下性质：,（8.1.5）,2、状态转移概率矩阵,2019/12/10,华北电力大学工程造价刘梅,11,定义8.1.4称,为k步转移概率矩阵。k步转移概率矩阵也具有与一步转移概率矩阵类似的性质：,（8.1.6）,2019/12/10,华北电力大学工程造价刘梅,12,3、多步转移概率的确定为了确定齐次马氏链的n步转移概率，首先介绍所满足的基本方程。设是一齐次马氏链，则对任意的，有该方程就是著名的切普曼-柯莫哥洛夫方程，简称C-K方程。C-K方程基于下述事实，即“从时刻m所处的状态Ei，即X(m)=Ei，经时段u+v转移到状态Ej，即X(m+u+v)=Ej”这一事件可分解成“从X(m)=Ei出发，先经时段u转移到中间状态Ek(k=1,2,.)，再从Ek经时段v转移到状态Ej”这样一些事件的和事件。,2019/12/10,华北电力大学工程造价刘梅,13,C-K方程也可写成矩阵形式：,利用C-K方程我们容易确定n步转移概率。在上式中令u=1，v=n-1，得递推关系：,从而可得,就是说，对齐次马氏链而言，n步转移概率矩阵是一步转移概率矩阵的n次方。,2019/12/10,华北电力大学工程造价刘梅,14,例8.1.2某经济系统有三种状态E1，E2，E3(比如畅销、一般、滞销)。系统状态转移情况见表8.1.2。试求系统的2步转移概率矩阵。,解：按照与例8.1.1相同的步骤可得一步状态转移概率矩阵,2019/12/10,华北电力大学工程造价刘梅,15,8.2商品销售状态预测,马尔柯夫链预测方法的最简单类型是预测下一期最可能出现的状态。可按以下步骤来完成：第一步，划分预测对象(系统)所出现的状态。从预测目的出发，并考虑决策者的需要适当划分系统所处的状态。第二步，计算初始概率。在实际问题中，分析历史资料所得的状态概率称为初始概率。设有N个状态E1，E2，EN。观测了M个时期，其中状态Ei(i=1，2，N)出现了Mi次。于是就是Ei出现的频率，这里用它近似地表示Ei出现的概率。即,2019/12/10,华北电力大学工程造价刘梅,16,第三步，计算状态转移概率。仍然以频率近似地表示概率进行计算。首先计算状态(由Ei转移到Ej)的频率从第二步知道Ei出现了Mi次，接着从Mi个Ei出发，计算下一步转移到Ej的个数Mij，于是得到并令第四步，根据转移概率进行预测。由第三步可得状态转移概率矩阵P。如果目前预测对象处于状态Ei。这时就描述了目前状态Ei在未来将转向状态Ej(j=1，2，N)的可能性。按最大概率原则，这里选择中最大者对应的状态为预测结果。即当时，可以预测下一步系统将转向状态Ej。,2019/12/10,华北电力大学工程造价刘梅,17,例8.2.1某商店在最近20个月的商品销售量统计记录见表8.2.1。试预测第21个月的商品销售状态。,解：第一步，划分状态。按盈利状况将销售状态划分以下几种：(1)销售量100千件，属畅销。,2019/12/10,华北电力大学工程造价刘梅,18,第二步，计算初始概率pi。滞销状态的为M1=7一般状态的为M2=5畅销状态的为M3=8所以：p1=7/20p2=5/20p3=8/20第三步，计算状态转移概率矩阵。在计算转移概率时，最后一个数据不参加计算，因为它究竟转到哪个状态尚不清楚。可得：,所以,从而,2019/12/10,华北电力大学工程造价刘梅,19,第四步，预测第21个月的销售情况。由于第20个月销售量处于畅销状态，而经由一次转移到达三种状态的概率分别为由可知第21个月的销售量将处于“畅销”状态。因此，第21个月销售量超过100千件的可能性最大。,2019/12/10,华北电力大学工程造价刘梅,20,8.3市场占有率预测,在市场经济的条件下，各企业都十分注意扩大自己的市场占有率。因此，预测企业产品的市场占有率，就成为企业十分关心的问题。若假设：市场的发展变化只与当前市场条件有关；没有新的竞争者加入，也没有老的竞争者退出；顾客总量保持不变；顾客在不同品牌之间流动的概率保持不变。就可用马尔可夫预测法对市场占有率进行预测。当然，假设与市场实际存在差距，只要预测对象基本符合假设条件，就可以运用此法得出相对科学的预测结论。,2019/12/10,华北电力大学工程造价刘梅,21,根据马尔可夫链的基本原理，一般情况下，本期市场占有率仅取决于上期市场占有率S0和转移概率P。因此要预测k月后的市场占有率，其矩阵为S0Pk。如：有甲、乙、丙3家工厂生产同种产品，它们在市场上的现时占有份额为式中：又知，市场占有率转移概率矩阵为,2019/12/10,华北电力大学工程造价刘梅,22,同理，已知本期市场占有率，即可求出下期的市场占有率。比如，第k期的市场占有率为或即第k期的市场占有率等于初始占有率与k步转移概率矩阵的乘积。,由马氏链预测模型的基本原理，建立市场占有率预测的数学模型为：,写成矩阵形式为,2019/12/10,华北电力大学工程造价刘梅,23,例8.3.1已知市场上有A，B，C三种牌子的洗衣粉，上月的市场占有分布为(0.3，0.4，0.3)，已知转移概率矩阵为：试求本月份和下月份的市场占有率。,解：第一步，求本月份市场占有率，即,第二步，求下月份的市场占有率，即,2019/12/10,华北电力大学工程造价刘梅,24,如果市场的顾客(或用户)流动趋向长期稳定下去，则经过一段时期以后的市场占有率，将会出现稳定的平衡状态。所谓稳定的市场平衡状态，就是顾客(或用户)的流动对市场占有率不起影响，即各厂丧失的顾客(或用户)与争取到的顾客相抵消。这时的市场占有率称为终极市场占有率。如何求出这种稳定的市场占有率以及预测长期趋势呢?为此，先讨论马尔柯夫链的遍历性。对固定的状态Ej，不管链在某一时刻从什么状态出发，通过长时间的转移，到达状态Ej的概率都趋近于常数，这就是所谓的遍历性。,2019/12/10,华北电力大学工程造价刘梅,25,定义8.3.1设为齐次马尔柯夫链，其状态空间为E，如果对于所有，转移概率存在极限或则称此链具有遍历性。又若，则同时称为链的极限分布。齐次马氏链在什么条件下才具有遍历性？如何求出它的极限分布？我们只考虑有限链的遍历性，其充分条件为：,2019/12/10,华北电力大学工程造价刘梅,26,定理8.3.1设有限状态齐次马氏链的状态空间为，P是它的一步转移概率矩阵，如果存在正整数m，使对任意的，都有则此链具有遍历性；且有极限分布，它是方程组的满足条件的唯一解。,2019/12/10,华北电力大学工程造价刘梅,27,在定理的条件下，马氏链的极限分布又是平稳分布。意即，若用作为链的初始分布，即，则链在任一时刻的分布永远与一致。,例8.3.2讨论如下转移概率矩阵的遍历性。,2019/12/10,华北电力大学工程造价刘梅,28,在市场占有率预测中，当用户转移概率矩阵P满足遍历性时，经过充分步长转移后市场占有率将达到平衡状态。此时，各厂的用户占有率不再发生变化。所代表的就是终极市场占有率。例8.3.3设东南亚各国主要行销中国大陆、日本、中国香港三个产地的味精。对目前市场占有情况的抽样调查表明，购买中国大陆味精的顾客占40，购买日本、中国香港味精的顾客各占30。顾客流动转移情况如表8.3.1所示。设本月为第一个月，预测第4个月味精市场占有率和长期的市场占有率。,2019/12/10,华北电力大学工程造价刘梅,29,解：第一步，先预测第4个月的市场占有率。一步转移概率矩阵为：第4个月的市场占有率为：,2019/12/10,华北电力大学工程造价刘梅,30,第二步，预测长期的市场占有率。由转移矩阵可知其满足遍历性，故长期的市场占有率（即其极限分布）与平稳分布一致。设，由，即,以及,建立线性方程组，并联立求解，得,所以，终极市场占有率为：中国大陆产的味精占50，日本、中国香港产的味精各占25。,2019/12/10,华北电力大学工程造价刘梅,31,8.4期望利润预测,企业产品的期望利润预测是指产品在销售状态发生转移时,对利润变化的预测。一般地,在期望利润预测中,产品销售状态的转移带来的利润也必将发生转移,称之为带利润的马尔柯夫链。设产品销售状态有三种：畅销、平销、滞销,其一次状态转移概率矩阵P与其相应的状态转移利润矩阵R为：,2019/12/10,华北电力大学工程造价刘梅,32,其中，表示与P中的pij相对应的利润数额，表示盈利，表示亏本，表示不亏不盈。根据已知的销售状态转移概率矩阵和利润矩阵，可以对未来的期望利润进行预测。则经过一次销售状态转移的期望利润：,2019/12/10,华北电力大学工程造价刘梅,33,那么,经过k步状态转移后期望利润为,其中：,假定:初始状态不管处于三种状态的任何一种状态,其期望利润均为零（此时，称一步转移的期望利润为即时期望利润），即,（8.4.3）,2019/12/10,华北电力大学工程造价刘梅,34,例8.4.1某企业产品的销售转移情况及利润转移情况如表8.4.1和表8.4.2表所示。求：(1)试求该企业即时期望利润。(2)求三个月后该企业的期望利润。,2019/12/10,华北电力大学工程造价刘梅,35,解：由已知得：状态转移概率矩阵与利润分布矩阵为：,(1)即时期望利润为：,(2)三个月后期望利润为：,2019/12/10,华北电力大学工程造价刘梅,36,例8.4.2根据市场调查的资料,产品连续畅销的概率为0.5