（道路与铁道工程专业论文）超静定曲线梁面内位移精确解.pdf

中文摘要 摘要 近年来，曲线梁桥以其美观流畅的线型和立体方便的交通方式在现代交通中 得到了广泛的应用。但曲线梁桥固有的“弯扭耦合”效应，给设计、施工、桥梁 加固等实际工程带来了较大的难度。随着国内外关于曲线梁桥的研究越来越广泛， 很多实际问题得到了优化和解决，尤其是自重、车辆等竖向荷载对曲线梁桥的静、 动力影响等问题已经有比较成形的理论研究基础。但是，曲线梁桥曲率平面内的 相关研究却很有限，目前现有的设计规范对于平面内受力和位移也没有详细的规 定，由此导致了一些工程事故的发生。 本文也是基于这种考虑，旨在弥补目前相关理论研究的欠缺，对于曲线梁曲 率平面内，集中力作用下所产生的内力和位移进行解析分析，给出显式表达，以 及对于这些解答进行验证。主要内容如下： 1 解析解答 本文应用结构力学的方法，分别推导出单跨( 一次、二次、三次超静定) 、 两跨连续曲线梁，在曲率平面内集中荷载作用下任意位置处的内力和位移解析表 达式；进而推广得到多跨同曲率连续曲线梁桥在集中荷载作用下的位移表达式。 2 理论验证 首先，本文通过将曲率半径取无穷大，应用集中荷载作用下直梁的位移解答 对相同条件下曲线梁桥的位移解析分析结果进行验证。其次，为了更好地模拟出 实际桥梁的受力情形，本文应用a n s y s 有限元软件，用数值模拟的方法再次验证 了位移解析解答结果的正确性。 3 比较分析 为了分析跨长、圆心角、支承条件、荷载位霄等因素对曲线梁桥的位移影响， 本文将各种情况进行分别讨论，得出了同等条件下，曲线梁桥的跨度越大、圆心 角越大、支承条件越简单，曲线梁桥在荷载作用下所发生的位移越大，水平荷载 作用位置处横向位移最大等许多具有现实意义的结论。 关键词：超静定曲线梁桥；横向集中荷载；径向位移解析；多跨曲线梁桥 英文摘要 e x a c ts o l u t i o nf o ri n - p l a n ed i s p l a c e m e n to fr e d u n d a n t c u r v e db e a r n a b s t r a c t c u r v e db e a m sp l a ya l li m p o r t a n tr o l ei nm o d e mt r a f f i cs y s t e m ，w i t hw o n d e r f u l s t r e a m l i n e s h a p e a n dc o n v e n i e n t w a y o fc o m m u n i c a t i o n y e tt h ei n n a t e “b e n d i n g - t o r s i o n ”e f f e c tb r i n g sab i ga m o u n to fo b s t a c l e si nt h ep r o c e s so fd e s i g n i n g , c o n s t r u c t i n g , a n dm a i n t a i n i n go f c u r v e db e a m s a st h es t u d yt h r o u g h o u tt h ew o r l dg o e s w i d e ra n dd e e p e r , m a n yp r o b l e m sh a v eb e e no p t i m i z e da n ds o l v e d ，e s p e c i a l l yt h e v e r t i c a ll o a d so ft h ed e a d w e i g l l to ft h eb r i d g ep e rs ea n dc a r s n e v e r t h e l e s s ，t h ec u r v e d b e a m si n - p l a n ep r o b l e m sh a v en o tb e e ns t u d i e dw i d e l y m u c hl e s ss t u d i e sc o u l db e f o u n di nr e l a t e dc r i t e r i o na n ds t a n d a r d s t h e r e f o r e ，t h ea c c i d e n t si nd e s i g na n d c o n s t r u c t i o nh a v er i s e nf r o mt i m et ot i m e b a s e do nt h ec o u r s ea b o v e ，t h i sp a p e ri sa i m e da tf u l f i l l i n gt ot h el o s so ft h er e l a t e d t h c o r i e s t h i sp a p e r e m p h a t i c a l l ys t u d i e st h a tt h ee f f e c to fc u r v e db e a m ss t r e s s e db y t h e c e n t r i p e t a lf o r c eo fv e h i c l e sr u n n i n ga l o n gt h eb r i d g ei np l a n e t h em a i nc o n t e n t i n c l u d e s ： 1 a n a l y t i c a ls o l u t i o n f i r s to fa l l ，s i m p l i f yt h er e a lb r i d g e si n t os t r u c t u r e sa p p r o p r i a t ef o rc a l c u l a t i o n t h e nu s i n gt h ep r i n c i p l e so fv i r t u a le n e r g y ，i n d u c ea n dd e d u c tr i g h ta n a l y t i c a ls o l u t i o n o fd i s p l a c e m e n t so fr a n d o mp o s i t i o no nc u r v e db e a m sw i t hd i f f e r e n tb o u n d a r y c o n d i t i o n s ，i n c l u d i n gs i n g l e s p a n ( 1r e d u n d a n t ，2r e d u n d a n ta n d3r e d u n d a n tb o ， t w o s p a ns a m ec u r v a t u r ec o n t i n u o u sc u r v e db e a m s ，a n di n t r o d u c et h es i m p l ew a y t o c a l c u l a t et h ed i s p l a c e m e n to f m u l t i s p a ns a m ec u r v a t u r ec o n t i n u o u sc u r v e db e a m s 2 t h e o r e t i c a lt e s t s t a k et h el i m i to ft h ec u r v a t u r er a d i u st om a x i m u m 。a n dt h e nt h ed i s p l a c e m e n t s o l u t i o no fc u r v e db e a m sc o u l db cc o m p a r e dw i t ht h ed i s p l a c e m e n ts o l u t i o no fs t r a i g h t b e a m su n d e re q u a lc i r c u m s t a n c e s f u r t h e r m o r e ，t h i sp a p e ri l l u s t r a t e st h em o d e lo fr e a l 茎茎塑曼 一 b r i d g e su s i n gf e ms o f t w a r ea n s y sf o rc o m p a r i s o n a n dt h ea n a l y t i c a ls o l u t i o n sa r c r e - e x a m i n e da n dp r o v e da c c u r a t e 3 c o m p a r e da n a l y s i s i no r d e rt oa n a l y z et h ee f f e c tt ot h ec u r v e db e a m sd i s p l a c e m e n tb r o u g h tb y d i f f e r e n ts p a n s ，c e n t r a la n g l e s ，b o u n d a r yc o n d i t i o n sa n dl o a dp o s i t i o n , t h i sp a p e rg e t s o m ei m p o r t a n tc o n c l u s i o n st h r o u g hc l a s s i f i e dd i s c u s s i o n ，f o ri n s t a n c e ，t h ec u r v e db e a m d i s p l a c e m e n ti sg e t t i n gb i g g e rw i t hl o n g e rs p a n ，g r e a t e rc e n t r a la n g l e , s i m p l i f i e r b o u n d a r yc o n d i t i o na n dt h em a xd i s p l a c e m e n th a p p e n s a tt h ep o s i t i o no ft h el o a d ，e t c k e y w o r d s ：r e d u n d a n tc u r v e db e a m ；c o n c e n t r a t e dl o a d ；a n a l y t i c a ls o l u t i o n ； m u l t i s p a nc u r v e db e a m 大连海事大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：本论文是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果， 撰写成博士硕士学位论文”超登庭曲线梁亟凼焦整揎碴鲣“。除论文中已经注明 引用的内容外，对论文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方 式标明。本论文中不包含任何未加明确注明的其他个人或集体己经公开发表或未 公开发表的成果。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名历初琴z 矽年： 月多日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连海事大学研究生学位论文提交、 版权使用管理办法”，同意大连海事大学保留并向国家有关部门或机构送交学位 论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连海事大学可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存和汇编学位论文。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于：保密口 不保密矾请在以上方框内打“、，”) 论文作者签名：勿叼军 导师签名； 日期：加7 年；月 超静定曲线梁面内位移精确解 第1 章绪论 1 1 课题背景 本课题受国家自然科学基金项目资助，项目编号：5 0 5 7 8 0 2 1 。 进入2 1 世纪，随着我国经济的高速发展和人民生活水平的日益提高，巨 大的交通需求对基础交通设施的建设提出了更高的要求，除了满足经济适用 等基本功能外，环保美观等因素也成为设计建设考虑的重点。立体化、现代 化的城市交通体系已经成为一个城市发展水平的重要标志。在实际建设中，t 地形、地貌的局限和使用功能的要求等对城市交通的发展提出了现实的外界条件 的限制。由于曲线梁桥支撑条件灵活、占地面积小、对行车视线障碍小、造型 美观立体等优点，在立体化的交通体系中得以广泛地应用1 1 j 。 曲线梁桥线形变化多，结构受力复杂，除承受弯矩、剪力外，还有较大扭转 和翘曲的作用，弯扭耦合的影响较大【2 1 ，结构的复杂性给曲线梁桥的设计和施工提 出更高的要求。近年来，关于曲线梁桥事故的报道屡有发生，破坏形式也多种 多样。各国的专家学者对由竖向荷载( 白重、车辆荷载、雪荷载) 引起的竖 向破坏进行了全面的研究，相关的理论分析得到了快速的发展。但由于水平 面内复杂的结构特点，导致对应的曲线梁桥横向平面内的结构受力分析却进 展缓慢。据有关部门的数据统计，曲线梁桥横向位移过大导致跨段断裂破坏 的事故发生也不在少数| 3 】，其原因主要是缺乏可靠的理论方法和设计规范【4 1 ， 致使设计中存在着一定的不合理性。设计中的缺陷经常会造成严重的经济损 失和社会影响。 1 2 课题研究的目的和意义 本课题研究的目的主要针对当前曲线桥梁研究现状、给出超静定曲线梁 和多跨曲线梁曲率平面内的内力和位移的计算方法。另外，分别采用逼近直 梁解答和有限元仿真方法对各种情况下的解析解答进行检验。课题的研究意 第】章绪论 义在于补充现有的曲线梁桥的设计理论，将理论更好地应用于实际工襁，以 保证莛线梁桥绉构静安全耐久馕，减少事故戆发生。 1 。3 本文的烹受内容 本文以结构力学理论为基础，主要应用力法及康功原理，经过大嫩推导 验证，得出了备种超静定曲线粱在横向集中荷载作用下，任意位置处横向位 移豹解析计算公式，主要包括： 1 在攮蠢集审麓载馋蕉下，嚣壤铰支次超静定鏊线粱骜载作震位霉骧及镁意位 置的径向位移解析解答。 2 在横向集中荷载作用下，一端铰支端固定二次超静定曲线梁荷载作用俄嚣以 及任意位鬣的径向位移解析解答。 3 。在辏囊集串癸载终廷下，嚣壤瓣定兰次踅静定蔻线荣筠襞律爱垃壹| 宝乏及经意爱 置的径向位移解析解答。 4 在横向集中衙载作用下，两跨一次超静定连续曲线粱桥荷载作用位置以及任意 位置的径向位移解析解答。 5 。多跨n 次趟静定连续趣线粱辑农横囱集中替载作用下豹经商经移求解分糖。 本文褥凄戆超静定曲线粱水警位移解褥公式，凌容冗手涵盖各释逑赛条 件下，可行的实际情况，具有较火的理论和实用价假。并且应用有限藏软件 对各种影响因綮加以汇总分析，得出了很多有意义_ 自勺结论和规律，将理论更 好她用于指导实际。 l 。4 论文结构 根据本课蹶研究内容，本文熏袋分成以下六章内容： 第一章为绪论，介绍了本课题的研究背景、目的和意义，研究内容簿。 第二章为曲线梁的研究现状，介绍7 目前关于曲线粱研究的各种常用理 论，霾蘑这蘩豹毒； 究农平。 第三章为横向荷载作用下单跨越静定益线梁的饺两位移解析分析，攘学 出不同支承条件下的曲线梁在横向集中荷载作用下径向位移的解析公戏，主 2 超静定曲线梁面内位移精确解 要描述了位移公式的求解原理和推导过程。 第四章为超静定曲线梁位移解析解验证。采用当曲率为零时，本文解析 解与直梁位移解的一一对应的关系，验证了解析解答的正确性。并使用有限 元分析软件a n s y s 对解析解答进行数值模拟方面的分析验证。 第五章为超静定曲线梁径向位移影响因素。主要分析总结了曲线梁的曲 率、跨长、圆心角、荷载位置、支承条件等因素对曲线梁横向荷载作用下径 向位移的影响，得出许多有理论价值的结论。 第六章为横向荷载作用下连续曲线梁的径向位移解析分析，针对实际工 程中应用较广的连续梁，应用类似的理论进行分析，得出了两跨一次超静定 连续曲线梁桥在水平集中荷载作用下，任意位置的径向位移解析公式，并推 广为n 跨连续曲线梁桥在横向荷载作用下的位移计算公式。 第七章为结论与展望，总结了本论文研究得出的结论，并对曲线梁桥今 后的设计研究方法提出了建议。 1 5 本章小结 本章首先阐述了课题的研究背景、目的和意义，简要介绍了现阶段关于曲线 梁桥的研究方向，指出了现有曲线桥结构设计方法的不足。介绍了本文的主要内 容、论文结构。 第2 章曲线梁桥研究现状 第2 章曲线梁桥研究现状 2 1 曲线梁桥研究现状 国内外学者对曲线梁桥的理论研究可以追溯到上世纪3 0 年代对扭转构件的研 究，尤其是开口、闭口薄壁杆件约束扭转的研究对曲线梁桥后来的研究发展奠定 了坚实的基础【2 5 1 。2 0 世纪5 0 6 0 年代开始，国外一些学者对混凝土曲梁进行了一些 试验和理论的研究。到2 0 世纪7 0 年代，国际上开始大量地建造混凝土曲线梁桥， 因而也逐步加深了对它的研究。高岛春生在曲线梁桥【6 l 一书中介绍一种考虑纵 曲线梁与横梁之间的相互作用。2 0 世纪8 0 年代中后期曲线梁桥在我国得到了很大 的发展。奚绍中教授最早重视对薄壁杆件扭转问题的研究，8 0 年代李国豪教授、 李乔教授对曲线箱梁的空问理论和翘曲扭转理论进行了细致的研究和分析。此外， 李国豪教授及李明昭教授对矩形、梯形曲线梁理论进行了研究。夏淦 墩授导出了 任意线型变曲率曲梁的基本微分方程。黄剑源教授【8 i 等对薄壁断面曲梁、斜支承曲 线连续梁和斜支承曲线箱梁进行了深入的研究1 9 1 。进入2 l 世纪以来，研究理论更加 成熟、丰富，并且上升到了新的高度【l o l 。k a p a n i a l l l 】基于刚截面假设从几何学角度 得到更精确的曲线梁理论。j i a n g t l 2 l 建立了水平曲线梁的空间位移模型h o d g e s l l 3 l 给出有初始弯曲和扭转各向异性梁的内察理论。p i o v a n l l 4 1 建立了考虑剪切影响的各 向异性薄壁曲线梁理论模型。虞爱民【i 5 1 分别分析了在水平方向和竖直方向分布 力作用下曲线梁的应力和位移的理论解，导出了一般曲线梁剪应力和径向应力的 计算公式，给出剪应力及径向应力的显示解。l i l l 8 1 研究了薄壁结构中减体重与应 力分布之间的关系，得出了薄壁曲线梁应力会因为厚度而重分布的结论。c h i a n g t l 9 1 分析了泊松比在曲线梁分析中的影响。 国内外许多专家和学者针对不同的曲线梁的结构形式，提出了许多计算理论 和分析方法【2 02 ”，归纳起来大致分为如下三类：解析法、半解析法和数值法。下 面将此三类方法的基本原理及特点简单加以介绍。 2 1 1 解析法 4 超静定曲线梁面内位移精确解 曲线粱的解析法是基于一定的假设，根据结构力学和弹性力掣盟l 的理论建立 方程来求解曲线梁桥内力的方法，其中包括经典约束扭转理论简介、单纯扭转理 论和翘曲扭转理论，现分别介绍如下： 1 1 经典约束扭转理论1 2 3 2 42 5 】 1 9 3 9 年乌曼斯基提出了第一种约束扭转理论，该理论以闭口薄壁杆件在约束 扭转时的纵向位移沿杆件长度方向的变化与自由扭转时相同为条件，即假定 五：) - 争，其中日为扭转角，从而推导出闭口薄壁杆件的扭转角控制微分方程由 - ： 于未考虑翘曲影响，且所假定的函数与实际情况相差比较悬殊，乌曼斯基于1 9 4 0 年又提出了第二种约束理论。1 9 4 8 年詹涅罩杰和巴诺夫柯假设位移函数 一；，) - 一五：) ) ，根据交分原理提出了第三约束扭转理论1 9 5 9 年前苏联学者伏 拉索夫从周边可变形截面杆的约束扭转理论出发，以广义坐标原理为基础，考虑 截面畸变的影响，建立了第四种约束扭转理论，推导出周边不变形闭口截面杆的 约束解析方法。 在约束扭转理论的研究和应用方面，我国有不少学者作了大量工作，并取得 了丰硕的成果。薄壁结构的约束扭转研究成果为预应力混凝土曲线箱梁的广泛应 用奠定了理论基础。 2 1 单纯扭转理论 单纯扭转理论是最初用于分析曲线梁桥的一种理论。这种理论把曲线梁桥当 作集中在梁轴中心线处的弹性杆件处理，并认为受到荷载后梁横截面仍然保持平 面( 既不发生翘曲) ，且横截面形状保持不变( 既不发生畸变) 【硐。单纯扭转理 论概念清楚，计算简便，为广大工程技术设计所接受。这种理论一般能应用于跨 长大于横截面尺寸四倍以上的所有实体截面及箱形截面的混凝土曲线梁，此时所 引起的误差一般在工程设计容许范围内。 目前较常用的基于单纯扭转理论的结构力学方法以及m r 法，且都是建立在 单纯扭转理论基础上的。另外不考虑翘曲影响的传递矩阵法、三力矩方程法、力 矩分配法等也属于单纯扭转理论的范畴。其中结构力学方法的特点是能够利用公 第2 章曲线粱桥研究现状 式直接计算曲线梁桥的内力与变形，不但简单明了，而且能够得到满足使用要求 的唯一精确解。 按单纯扭转理论分析曲线梁需满足下面的基本假定： 1 横截面各向尺寸与跨长相比很小，忽略截面变形，按梁轴线的曲线形状计 算； 2 平截面假定，即曲线梁变形后横截面仍保持为平面； 3 刚性截面假定，即曲线梁变形后截面的周边形状保持不变； 4 截面剪切中心轴线与曲线梁截面形心轴线相重合； 通常只要跨长达到横截面各尺寸的3 4 倍以上时，第一项假设就一定能满足。 横截面的宽度以两片外梁或外侧腹板之间的距离计算。 一般来说，曲线梁除了圆形或正方形的截面以外。变形后截面不可能保持平 面。然而对于钢筋混凝土或预应力混凝土结构来说，由于薄壁效应不显著，则横 截面的翘曲变形不大，第二项也能满足。 另外，对于通常用布置较密的横隔板( 梁) 加强的曲线梁桥，横截面的畸变 较小，第三相假定也能满足。 鉴于实际曲线梁的曲率半径一般较大，即使对于非对称截面，截面剪切中心 与形心的偏离值与曲率半径相比也很小，因此第四项假定在实际计算中也是容许 的。 3 1 翘曲扭转理论 翘曲扭转理论：当曲线梁的截面为开口薄壁或分离式闭口薄壁截面等形式时田 嚣捌，翘曲扭矩在总扭矩中将占有相当大的部分，所以此时必须考虑翘曲扭转的影 响。考虑翘曲扭转影响的弹性薄壁曲杆理论也将曲线梁视作单根薄壁曲线梁进行 分析，因此适用于宽跨比b l 较小的窄弯梁桥或多主梁桥中的单根弯梁桥的力学分 析。弹性薄壁曲杆理论是在弹性薄壁直杆理论的基础上提出的。曲线梁桥的一个 主要受力特点就是弯扭耦合，即在竖向荷载作用下曲线梁桥中同时产生弯矩和扭 矩，在扭矩荷载作用下同时产生扭矩和弯矩，并且同时相互影响。该特性不但使 超静定曲线梁面内位移精确解 曲线梁桥的分析比直梁桥更复杂，而且曲线粱桥中扭矩一直存在并且数值很大。 因此在曲线梁桥中，扭矩引起的截面翘曲与畸变一般均较之直梁桥大。考虑截面 畸变影响的弹性薄壁曲杆理论，主要归功于v l a s o v 和d a b r o w s k i 3 0 3 1 l 。我国著名桥 梁专家李国豪教授f 3 2 1 和李明昭教授【3 3 1 对矩形、梯形曲线箱梁理论作了有价值的研 究工作。 理论和工程实际证实，在钢筋混凝土和预应力混凝土结构中，由于截面翘曲 反应所引起的正应力和剪应力，与基本弯曲和扭转的应力值相比甚小，因此一般 采用单纯扭转理论来分析已经足够。但对于由薄壁截面构成的钢结构来说，鉴于 薄壁结构效应明显，因此用翘曲扭转理论进行分析。 2 1 2 半解析法 ( 1 ) 梁格系理论 梁格系理论是将桥梁上部结构用一个等效梁格来代替，分析这种等效梁格后 再将其结果还原到原结构中就可得到所需的计算结果。此法易于理解、便于使用、 应用范围广，而且是比较精确的方法，因此在各种类型的桥梁分析中得到了广泛 的应用。一般来说，等效梁格的网格越密，计算结果的精确度就越高。分析梁格 的方法也有很多种，高岛春生【6 】在曲线桥梁一书中介绍了一种考虑纵曲线梁与 横梁之间相互作用的方法。 ( 2 ) 梁系理论 将曲线梁桥沿主梁梁宽方向用纵向竖缝分开，在切口处代入赘余力函数，竖 向剪力、水平剪力、弯矩等，并以正弦级数形式表达函数内力和位移，利用能量 原理或其他方法求解赘余力函数，进而求得各主梁的内力和位移。这一方法适用 于肋板式曲线梁，对于有横梁的弯格子梁桥也近似适用。 ( 3 ) 正交异性板理论 由于曲线主梁、横梁的几何特性不同，加上桥面板在各个方向的构造不同， 正交异性板理论将曲线梁( 板) 转换成极坐标下的正交异性板，这种各项异性实 际上是构造上的各项异性。正交异性板理论不仅考虑了板的双向作用，也考虑了 泊松比v 的影响。因此其精度通常能够满足曲线梁桥和弯格子梁桥的设计精度要 第2 章曲线梁桥研究现状 求。由于这一理论需要求解比较复杂的微分方程，所以这项工作还需要作进一步 的研究。 ( 4 ) 板梁组合系理论 此方法是用纵向水平缝沿板粱交结处把各主梁梁肋与桥面板分离隔开，桥面 板作为支承在各柔性曲线主梁上的多跨弹性支承连续曲板。弯梁和扇形桥面板的 挠度都以正弦级数形式表达，用位移函数来表示弹性支承反力，代入边界条件后 得出1 6 个板的刚度常数，再利用弯梁的微分方程，找出外力与梁变位的关系，最 后建立板和梁交界处的平衡方程组，反求内力。板梁组合系理论不仅适用于肋板 式弯梁桥，而且也适用于整体式扇形桥面板用主梁加劲肋的组合式弯梁桥的分析。 ( 5 ) 折板理论 将梁视为相互连结的多块板的组合，对于板平面内的应力和位移用弹性力学 的平面应力求解，对于平面外的内力和位移用薄板理论计算。折板理论通常可采 用直接刚度法和调和分析相结合的方法来编制程序，便于使用。折板理论可以用 于分析各种型式的等截面曲线梁桥，但是对于变截面的曲线梁桥便有些困难【川。 ( 6 ) 夹层板法 夹层板法是将结构模拟为夹层板进行分析的一种方法。夹层板法最初用于直 线梁桥的分析，其基本原理也同样适用于弯箱梁桥。将多室弯箱梁用三层组合的 夹层板代替时，夹层板的边缘表示上下翼缘的影响，内层仅传递剪力影响，这种 剪力影响表示剪切性能和弯箱梁结构横向框架的性能。该方法较适合于单箱多室 弯箱梁的分析，应用范围有一定的局限性。 ( 7 ) 多角形曲线桥理论 该方法是用多边形的折线来代替曲线。这一方法具有计算比较简单的优点。 只要折线取得越多，弯矩和剪力就能和精确解较好的符合，而扭矩则偏差较大。 ( 8 ) 内力横向分布理论 有关横向分布理论的概念和原理已为我国广大桥梁工程技术人员所熟知，这 一理论概念清晰且便于使用。该理论采用类似于直线梁桥的荷载横向分配的方法， 8 超静定曲线梁面内位移精确解 即把曲线桥的空丑j 分析近似分解成横桥向和纵桥向两个方面来分析，这样可使分 析工作大为简化。目前国内外已有多种横向分布的计算方法，每种方法都有各自 的特点和适用场合。 ( 9 ) 能量法 能量原理用于分析结构系统已有很长的历史，国内外曾有不少学者探讨过利 用能量原理来分析曲线梁桥。其中我国学者张翔，贺栓海等提出的一种能量方法 是从曲线梁的总势能出发利用变分原理进行分析，分析连续弯梁时还利用了结构 力学中的力法原理。概念清晰，计算简单，能适用于中间为任意类型支座的连续 梁。 2 1 3 数值计算法 ( 1 ) 有限条元法 1 9 6 8 年张佑启首先提出了有限条元法，之后在结构分析领域里的应用越来越 广。有限条元法综合了正交异性板的弹性力学解和有限元法两者的优点，从最初 用于分析简支梁到分析连续梁，从直梁到曲线梁，从一般有限条到有限层，有限 棱柱，从静力分析到动力分析，发展迅速。有限条元法假定结构由被称作“条元” 的有限元组成，条日j 由节缝联结，条和节缝均在跨内由一端延续到另一端，每条 结线有4 个自由度，即3 个线位移和一个转角位移。由于它与有限元法具有同样 高的精度，而且原理简单，电算时间和内存量都比有限元法少，输入数据简单不 易出错，因此在许多场合可以取代有限元法，目前有限条法已成为规则结构分折 的一个非常有效的工具。当然，有限条法也有一定的局限性，例如不能很好的解 决变高度梁和不规则结构的分析问题【3 53 酊。有限条法可以成功的用于几乎所有形 式的等截面曲线梁( 截面可以为矩形，t 形，i 形或箱形等) 桥的分析，横隔板为 正交或斜交以及具有各种不同规则的中间支撑的简支，固支或连续等桥梁的分析。 近几年来的样条有限条法更扩大了其应用范围，使得非简支曲线桥的分析更为简 便。 ( 2 ) 有限单元法 9 第2 章曲线梁桥研究现状 有限单元法是目前分析结构问题中最有效又最通用的方法之- - 1 3 ”8 1 ，被广泛 应用于曲线桥梁的分析。有限单元法将曲线梁结构离散成什么样的单元是分析问 题的关键，用于分析曲线桥梁的各种单元大致可分为面状单元和线状单元两大类。 曲线桥结构大多做成薄壁空间结构，由多片薄板组成，因此面状单元即薄板单元 的有限元法得到了广泛的应用【3 9 l 。 1 9 7 0 年，m e y e r 和s e o r d e l i s 一改过去在分析桥体结构时常常采用的每节点5 个自由度的单元模式( 忽略了绕垂直轴的转动位移) ，而对于四边形平板单元的 每个节点考虑6 个自由度( 3 个平移和3 个转动位移) 编制了程序可用于分析任意 形式的曲线桥特别是弯箱梁桥结构。1 9 7 1 年，s a w k o 和m e r r i m a n 将曲线桥式为扇 形正交异性板，并采用扇形有限单元求解，采用扇形单元有以下优点，可以正确 的满足圆弧形的边界条件，可以表达出具有曲率的正交异性板性质，比三角形单 元收敛得快，精度高于一般四边形单元。1 9 7 1 年，c h u 和p i n j a r k a r 对弯箱梁桥提 出了一种有限单元法，该法将顶板，底板理想化为水平扇形板，腹板用一竖向圆 柱壳单元表示，考虑了板和壳单元的薄膜效应与受弯作用，所提出的方法适用于 不带内横隔板的弯箱梁桥，当然也适用于弯板桥和弯t 梁桥。1 9 7 2 年，s h o r e 和 l a n s b e r r y 提出了完全相容的环形段有限单元，共有如下六种单元形式：描述梁肋 的圆柱壳单元；模拟纵梁或横梁的直梁单元：描述翼板和车道板的扇形单元；描 述实心横隔板的四边形单元；描述车道板斜节段的三角形单元：用于弯纵梁的圆 弧形曲杆单元。按此法编制的程序可以分析绝大多数弯桥结构。有限单元法的精 度主要取决于单元模型( 形状和位移模式等) 和划分网格线的精细，而单元模型 的选择更为关键。在分析曲线桥这种空间结构时，为了避免采用大量的单元去克 服分析工作中的困难( 空间作用引起的应力或不规则形状的影响) ，往往愿意采 用四边形的单元。由于沿梁的竖向只要用一个沿纵向切割的四边形单元就足以描 述梁的性能，而采用三角形单元则需要数个单元刁能达到同样的目的，因此曲线 桥的分析采用能够四边形单元更为有利。是采用平板单元还是采用壳单元是分析 时需要做出抉择的另一个问题。由于曲线桥腹板的曲率半径往往比单元尺寸大得 l o 超静定曲线梁面内位移精确解 多，因此，采用平板单元来代替具有一定曲率的腹板，一般均能满足要求。大量 的计算实例也表明了这一点，采用6 个自由度的四边形单元( 共2 4 个自由度) 能 够适应绝大多数曲线桥的结构分析。假定采用小变形的线弹性理论，这平板单元 的薄膜和受弯性能似乎不祸联，而壳单元是相互耦合的，这样就可使计算工作大 为简化。 鉴于采用面状单元时计算时间较长，占用计算机内存较多，数据处理比较复 杂，放在工程设计中的应用受到一定限制，因此不少专家学者致力于研究比较简 单的线状单元。例如黄剑源提出的每节点4 个自由度的薄壁曲线梁单元，( 即挠 度，挠曲角，扭转角和翘曲位移) 和张叔辉提出的每节点有9 个自由度的新型薄 壁箱梁单元( 有限段) 均属于线状单元。后者提出的每节点处保留通常的6 个自 由度外，还引用3 个附加的位移自由度，用来考虑截面的翘曲与畸变作用。但是 当曲线桥的宽跨比较大时，线状单元就不能很好的模拟曲线桥结构的性能，所以 应根据面状单元和线状单元的特点加以应用【删。 2 2 本章小结 本章着重介绍了曲线梁桥现存的研究方法和理论，并对各种方法的优缺点加 以简要说明。综合上述介绍，虽然到目前为止，曲线梁桥的研究理论非常丰富， 但各种理论都具有一定的假设条件，与实际工程的偏差较大，由此导致各种理论 在实际应用中具有各自的局限性。其中，有限元法的应用最为广泛，该方法具有 很多优点，可处理单跨连续、变半径、变截面、不同支承条件等各种情况。而且 随着近年来计算机软、硬件及现代计算方法的高速发展，有限元数值模拟的应用 前景也会越来越广阔【4 1 1 。 第3 章横向集中力作用下单跨超静定曲线梁的解析分析 第3 章横向集中力作用下单跨超静定曲线梁的解析分析 本章应用结构力学【4 2 l 的方法，将单跨超静定曲线梁简化为力学计算模型，应 用力法，求解出多种不同边界条件下曲线梁在横向集中力作用下的内力和径向位 移f 4 3 】的解析解答。应用直梁验证的方法，将曲线梁曲率半径取无穷大，用对应直 梁解答验证曲线梁解析解答的正确性。 3 1 两端铰支曲线梁的内力与位移 一 图3 1 一次超静定曲线粱结构简图 f i g3 1ac u r v e db e a mw i t h1r e d u n d a n t 3 1 1 解题方法与步骤 ( 1 ) 理论方法 超静定结构分析的基本方法有两种，即力法和位移法。下文简单介绍前 者。力法发展较早，1 9 世纪末已用于分析连续梁。应用力法需满足下列条件： a 力的平衡： b 位移的协调： c 力与位移的物理关系。 力法的基本指导思想是先割断结构的某些多余约束，以多余约束力作为 基本未知量，取静定结构作为基本结构进行计算。计算时，先利用平衡条件 算出基本结构的内力，从而算出多余未知力作用点上的位移，这些位移都表 示成多余未知力的函数。然后利用位移协调条件建立方程，确定出多余未知 超静定曲线梁面内位移精确解 力。由此，求出整个结构的内力和位移。 ( 2 ) 解析思路 1 首先将实际问题作力学简化，将一次超静定曲线梁简化为如图3 1 所示的 计算模型。由于本例是一次超静定曲线梁，应用结构力学的原理将一次约束 端简化为水平轴向力z 作用下的活动铰支座，基本结构如图3 2 所示。 2 再根据结构力学求出超静定曲线梁的支座反力，及多余未知力作用方向上 产生的位移。 3 应用力与位移的关系列出一元一次方程，解出支座反力置 4 最后根据虚功原理建立虚功方程，求出荷载作用位置处及任意位置处位移 表达式。 0 图3 2 一次超静定曲线梁基本结构简图 f i g 3 2e l e m e n t a r ys t r u c t u r eo fc u r v e db e a mw i t h1r e d u n d a n t 3 1 2 集中力p 作用下超静定曲线梁的内力 1 ) 赘余力作用下的静定曲线梁内力及对应的位移 令m 、n 、v 分别为曲线梁在荷载作用下任意截面处的弯矩、轴力、剪 力，下标1 代表单位荷载引起的内力。角度均以曲线梁右侧为起始端，妒为 曲线梁圆心角，口为外荷载p 对应圆心角，舻为任取梁截面对应的圆心角，r 为 曲率半径，含下标的n 、r 为支座切向、径向反力。 a x ，。1 作用于基本结构上时( 图3 3 ) ，静定曲线梁的支座反力为j 第3 章横向集中力作用下单跨超静定曲线粱的解析分析 0 图3 3 x i - 1 作用于基本结构内力图 f i g 3 3e l e m e n t a r ys t r u c t u r ew i t hx l - 1 川1 l 置l 丸= 咖詈 ( 3 1 ) - - t a n 詈 曲线梁右端赘余力墨作用在静定曲线梁时，曲线梁任意截面的内力为： m 。r ( 1 - c 傩妒) 一肋，z 要咖妒 1 一c o 叫抛嗟s 加妒 ( 3 2 ) 一s i l t 伊一芝哪妒 应用结构力学中力法原理，由单纯扭转理论，可以知道，内力中弯矩与 轴力对位移的贡献最大，而剪力对位移的贡献相比之下可以忽略不计。所以 可以写m 黾u - l 警出+ l 酱a s ( 3 3 ) 式中a 为曲线粱横截面面积，e 、，为曲线梁弹性模量和横截面竖轴的惯性矩。 b 外荷载p 作用于基本结构上时( 图3 4 ) ，静定曲线梁的支座反力为： 1 4 超静定曲线梁面内位移精确解 圈3 4p 作用于基本结构内力图 f i g 3 4e l e m e n t a r ys t r u c t u r ew i t hp v 且i u - 等 ( 3 4 ) 一掣 当所求得任意截面的圆心角妒位于外荷载位置疗右侧时，即妒 口时，静定 曲线梁在外荷载p 作用下任意截面的内力为： m 。塑业掣一p r s i n ( 妒一 s m o n n p s i n 妒s ! 。n ( 妒- o ) + 风伽( 妒一日) ( 3 6 ) j l ，l 口 。瓤。廷 第3 章横向集中力作用下单跨超静定曲线粱的解析分析 。丝雩掣型一胁( 妒一 s t n q ) 结合上面的结论，可以求出外荷载p 作用下，曲线粱在尸方向的位移： 妒辟凼+ 譬d s ( 3 7 ) 赘余力和支座反力 通过求得的各系数和自由项，建立力法典型方程， 6 1 1 2 1 + a 1 p ，0 ( 3 8 ) 解得， x 1 - _ 生8 n 0 ( 3 9 ) 将( 3 3 ) 和( 3 7 ) 代入，继而求得未知支座反力z ，的表达式如下： ，p ( e i + e a r 2 ) ( ( 妒一s 加口+ 夙i n ( o - o ) ) + 2 pr 2 e a ( 1 - c o s o c o s ( o o ) + c o s ) 1 - ：弋一 1 2 e l 【+ s i n e ) + 2 e a r 2 ( 2 妒+ o c o s 驴一3 s i n o ) ( 3 1 0 ) 通过平衡方程，在外力p 作用下，一次超静定曲线梁的各支座反力均可求得， 表达如下： n l - x t r l ；e s i n _ _ _ o o z l t a 妒( 3 11 ) 一p s i n ：五( o r - o ) 一x 印n 妒5 z n 毋 3 ) 一次超静定曲线梁在外荷载p 作用下的内力计算 在外荷载p 作用下，曲线梁被荷载分为左右两个部分。因此，当求解曲线梁 内力问题时，可将外荷载p 左侧的截面内力与荷载p 右侧的截面内力两种情况分 开讨论。 由图3 5 所示，先求荷载p 右侧的内力。应用静力平衡，可以解出荷载右侧 截面内力， 1 6 超静定曲线粱面内位移精确解 图3 5p 作用下一次超静定曲线梁内力图 f i g 3 51r e d u n d a n ts u p p o r tc u r v e db e a mw i t hp m m x l ，( 1 一c 妒) + 如憎加妒 m x l c o s c p - 心5 m 妒 ( 3 1 2 ) 一x l s i n 矿+ & c o s c p 当所求截面位于荷载p 左侧时，求解过程中需考虑外力尸的作用，结果为： m 彪一x l ，( 1 一c o 口妒) + ，丐m 妒一p r s f h ( 妒一日) m x l c o s q 口一凡s 伽妒+ a 胁( 伊一口) ( 3 1 3 ) k 一x 1 s i n q 口+ 伽伊一p c o s ( 一0 ) 3 1 3 外荷载x - p 一1 作用下超静定曲线梁内力计算 1 ) 一次超静定曲线梁赘余力的解答 图3 6 荷载为单位1 时作用丁一次超静定曲线梁简图 f i g 3 61r e d u n d a n ts u p p o nc u r v e db e a mw i t hx p - 1 1 7 第3 章横向集中力作用f 单跨超静定曲线粱的解析分析 当荷载z p 1 作用在原外荷载尸的位置时( 如图3 6 ) ，解题过程与上述 过程相似而且我们注意到原外荷载p 作用下求得的未知支座反力墨的表达式为 荷载p 的一次方程，所以当x - p 一1 时，未知支座反力z ：的表达式即为原值除以 荷载p ，支座反力表达式的其余部分均未发生变化。即： x ；- - 6 i x 。l p p ( 3 1 4 ) 2 1 外荷载x 一尸一1 作用下超静定曲线梁内力解答 图3 7x p - 1 作用于超静定曲线梁图 f i g 3 71r e d u n d a n ts u p p o r tc u r v e db e a mw i t hx p - 1 同理，在外荷载x 。p 。1 作用下( 如上图3 7 ) ，同样曲线梁被荷载分为左 右两个部分。因此，求解曲线梁内力时，我们同时也分为两种情况来考虑。即外 荷载x p - 1 左侧的截面内力与荷载p 右侧的截面内力两种情况。 先求荷载z 。p 1 右侧的内力。应用平衡方程，可以解出荷载右侧截面内力， 如下： 肘二- 工，( 1 一c 仍妒) + 群r s i n q 口 峨一x ；c o s 妒一s i n q 口 ( 3 1 5 ) v ；a 。x i s i n c p + c o s c p 求解荷载x 。p 1 左侧截面内力时，求解过程中需考虑外力x p - 1 的作 用，综合应用平衡方程进行求解，结果为： 超静定曲线梁面内位移精确解 肘二。z ，【1 - c o s q d ) + r r r s i n _ i o r s i n ( 9 0 - 0 ) v 二- x ；c o s c ：- 5 胁伊+ s 折( 妒一日) ( 3 1 回 吃一z 鼻肌伊+ 彤c o 口妒一c o s ( 妒一日) 3 1 4 一次超静定曲线梁位移分析 1 ) 荷载作用点处的位移 应用力法原理， 、 ，i a 岸出+ 群出 ( 3 1 7 ) 上式可具体写成： 舢一f 警