（固体力学专业论文）带孔纤维增强对称复合层板在面内载荷作用下的结构优化设计.pdf

摘鬻 摘要 f 纤维增强复合层板渣子其院强度高、院雕度大以及率才料性麓可醣设 计等一系列优点，在工程中有着愈来愈广泛的应用。层板结构豳于工程 需要，不可避免要开各种用途、形状各异的孔，孔的存程必将产生局部 应力集中，面局郝应力集中是导致结构或零件疲劳、断裂破坏的主要原 因。计算表明带孔各向异性板孔附近的应力集中比各向同性板严重得多， 更德褥关注。因此，对带孔复舍层扳进行缝梅优化设计，以改蒋应力分 布状况、降低应力集中、提高层板承载能力的研究日显重要，在实际工 程中具有篷要实耀徐僮秘意义。 结构优化尤其是其中的孔形优化属于较高层次的优化，有一定的难 度，特别楚对多约束、多设计变量、薯 线熬程度森靛结构优纯溜逐至今 尚未得到很好的解决。而具有各向异性特性的复合材料的出现和应用又 先这一命遂提崮了新的任务帮簧求。) ，黟一 本文提出一个有效的带单孔纤维增强对称复合层板结构优化问题的 数值解方法，以复变函数傈角变换方法求解孔边赢力，粥映射瀚数描述 孔边界曲线，分别取映射函数中的系数和纤维镳层角为设计变量，并以 降低孔边最大周向应力为优化目标，建立了可靠、有效的数学模型。优 化采用积分型总极值最优化方法，避免了敏度分拼的难点，充分利用每 次迭代信息，引导目标函数向总极值点收敛，具有约束处理简单易行、 优纯效果遂著、收敛逮度较抉戆特点。文中还棂黎优化特点在减少设计 变掇以及提高投点效率等方面作了改进，使优化效率更高，计算更简便。 f 震f o r t r a n 编写了优仡糕序，若焉该獠序具体进行了潋下死方嚣豹优纯计 算： 1 。我形优纯设计。 2 。对称层板纤维铺层角的优化设计。 3 纤维铺鼷角和孔形同时综合优化设计。 大量的计算实例都有效地降低了孔边威力集中，其中纤维铺设角和 孔形同时综合优化的效果最好，使应力集中系数降到最低。 摘霭 毙静，文中还箨了墼在提高屡投承载能力豹纤维镶燃囊优化、孔彤 优化及综合优化，有效地提高了层檄的承裁能力。 总之，本文挺塞熬绥兹貔纯数学模型移数毽鲻方法其有设计交量少， 约束处理简单，优化效果好和收敛速度快等特点，是一个有效可行的方 法。本文掰编写戆程黟只需受改若于予程痔鬻可耀予英它薯 线强魏纯阏 题的求解。文中所得的结果可供工程设计人员参考，有定的现实意义。ly ， ，。 ，誊键潲：纤维增强跫够复合层极；、 贪法j b 一( 结构优化，积分测总极值最优化) 、。_ 一一o 屯 、 a b s t r a c t a b s t r a c t f i b e rr e i n f o r c e dc o m p o s i t el a m i n a t e dp l a t e sa r eb e i n gu s e dn o w a d a y si na n i n c r e a s i n g n u m b e ro f f i e l d so f e n g i n e e r i n g t h a n k st ot h e i r h i g h e r s t r e n g t h - - t o - w e i g h ta n ds t i f f n e s s - t o - w e i g h ta n d b e t t e rm e c h a n i c a lp r o p e r t i e sa s c o m p a r e d w i t lo t h e rm a t e r i a l s c u t o u t so fd i f f e r e n ts h a p e sw i l lb ei n e v i t a b l y m a d ei n t ot h el a m i n a t e d p l a t e s s oa st o s a t i s f y t h ev a r i o u sn e e d so f e n g i n e e r i n g t h es t r e s sc o n c e n t r a t i o na r i s i n gf r o m t h ee x i s t e n c eo ft h eh o l e s ， s e r v i n ga st h em a i n r e a s o nt h a tl e a d st ot h ef a t i g u eo f s t r u c t u r e ，o c c u r sa r o u n d t h eh o l e s a sac o n s e q u e n c em o r ee m p h a s i ss h o u l db ep a i dt ot h ef a c tt h a t c a l c u l a t i o nd e m o n s t r a t e st h a tt h es t r e s sc o n c e n t r a t i o na r o u n dt h eh o l e so ft h e a n i s o t r o p i cp l a t e i sm o r es e r i o u sa s a g a i n s t t h a to ft h e i s o t r o p i cp l a t e t h e r e f o r e ，i ti so fg r e a ts i g n i f i c a n c et oo p t i m i z et h es t r u c t u r eo f t h el a m i n a t e d p l a t e sc o n t a i n i n gh o l e s i nab i dt or e d u c et h es t r e s sc o n c e n t r a t i o n i ti so f e x c e p t i o n a ld i f f i c u l t yt oc o n d u c ts t r u c t u r eo p t i m i z a t i o n ，p a r t i c u l a r l y t h e s h a p eo p t i m i z a t i o n t h e r e i sn oe x i s t e n c eo fg o o ds o l u t i o nf o rs o m e h i 曲l y n o n l i n e a r p r o b l e m s w i t h l a r g e n u m b e ro f d e s i g n v a r i a b l e sa n d c o n s t r a i n t ss o f a r h o w e v e r , n e wt a s k sa n dr e q u i r e m e n t se m e r g ea st h e c o n s e q u e n c eo f t h ea p p e a r a n c ea n d a p p l i c a t i o no f t h ea n i s o t n o p i cc o m p o s i t e m a t e r i a l s t h i s e s s a yp u tf o r w a r da ne f f e c t i v en u m e r i c a lm e t h o df o rs o l v i n gt h e o p t i m i z a t i o np r o b l e m so fs y m m e t r i cf i b e r - r e i n f o r c e dl a m i n a t e sw i t has i n g l e h o l e i nd o i n gs o ，ac o m p l e xf u n c t i o nt h e o r yi s e m p l o y e dt oa n a l y z et h e s t r e s s e sa r o u n dt h e h o l e ，w h e r e t h ef i b e ro r i e n t a t i o n a n g l e s a n dt h e c o e f f i c i e n t so ft h em a p p i n gf u n c t i o na r ec h o s e na st h ed e s i g n v a r i a b l e s ，a l o n g w i t ht h eo b j e c t i v ef u n c t i o ni st h em a x i m u mv a l u eo fs t r e s s a l o n gt h eh o l e b o u n d a r y o n b a s i so f i n t e g r a t i o n o f f u n c t i o n s ，t h ei n t e g r a l g l o b a l o p t i m i z a t i o nm e t h o d i sa d o p t e dt os o l v et h e p r o b l e m i na s y s t e m a t i cw a y t h e o p t i m i z a t i o np r o g r a m a se x e c u t e di nf o r t r a nl a n g u a g ei s e m p l o y e di n a b s t r a c t r e s o l u t i o no f s u c ha c o u p l eo f q u e s t i o n s a sf o l l o w s ： 1 d e s i g n o ff i b e ro r i e n t a t i o n a n g l e s o ft h e s y m m e t r i c a lp l a t e s t o o p t i m u m e f f e c t 2 t h eo p t i m i z a t i o no fh o l es h a p e 3 t h e s y n t h e t i c a lo p t i m i z a t i o n o fa l l p a r a m e t e r si n c l u d i n g t h ef i b e r o r i e n t a t i o n a n g l e s a n d s h a p e o f t h eh o l ea ss t a t e da b o v e a g r e a tn u m b e ro fn u m e r i c a l r e s u l t sr e p e a t e d l yp r o v et h a tt h eo p t i m a l a n g l e s a n dh o l e s h a p e c a na t t r i b u t et oe f f e c t i v er e d u c t i o no fs t r e s s c o n c e n t r a t i o na r o u n dt h eh o l e ，a m o n gw h i c ht h es y n t h e t i c a lo p t i m i z a t i o ni s p r o v e dt o b et h eb e s tw a y 韬r e d u c es t r e s sc o n c e n t r a t e dc o e f f i c i e n tt ot h e l o w e s tl e v e l f u r t h e r m o r e ，t h ef i b e ro r i e n t a t i o na n g l e sa n d t h eh o l e s h a p e t h e r e o fa r ea l s o o p t i m i z e dt om a x i m i z et h ef a i l u r es t r e n g t h ，i e t h ep e r m i s s i b l es t r e s sa p p l i e d o nal a m i n a t e t h er e s u l t sa r eu pt oo u rs a t i s f a c t i o n e x a m p l e si n d i c a t et h a tt h em a t h e m a t i c a lm o d e l sa n dn u m e r i c a lm e t h o d p r e s e n t e dh e r e i na r er e l i a b l e ，e f f e c t i v ea n dp r a c t i c a b l ed u et ot h e i re x c e l l e n t e f f i c i e n c y , f a s tc o n v e r g e n c ea n ds i m p l i c i t y t h er e s u l t sd r a w nh e r e i nm a y s e r v ea st h er e f e r e n c ef o re n g i n e e r s k e y w o r d s ：f i b e r r e i n f o r c e d c o m p o s i t e l a m i n a t e d p l a t e s ，s t r u c t u r e o p t i m i z a t i o n ，i n t e g r a lg l o b a lo p t i m i z a t i o nm e t h o d 。 4 致谢 本文是我在导师潘星辰老师的精心指导下完成的。在研究生期间， 潘老师在各方面都给予了我很大的启发与帮助，我在学期间所取得的每 一点进步和每一项成绩都离不开老师的谆谆教诲和热情扶持。潘老师渊 博的学识，严谨的科研风范，一丝不苟的工作态度，使我在学术、知识 结构的完善以及为人处世等方面都取得了很好的发展；潘老师对学生无 微不至的关怀、孜孜不倦的教诲，给我留下了难以磨灭的印象，并且将 永远受益。在此，对潘老师表示衷心的感谢 在论文的研究过程中我还得到了许多老师和同学的帮助，在此一并 表示感谢 第一章引言 第一章引言 纤维增强复合层板由于其比强度高、比刚度大、阻尼特性好以及材 料的可设计性等特点，在航天航空、船舶、化工及机械等工程中有广泛 的应用。近年来人们除了对复合材料的应用研究外，还加强了应用基础 的研究，其中，复合材料结构优化设计是最重要的研究内容之一。 1 - 1 纤维增强复合层板结构优化设计的现状 复合材料结构优化设计既是一项基础和应用基础性很强的研究工 作，因为它涉及到数学建模、优化方法、力学建模、数值解技术以及综 合运用复合材料其它领域的研究成果；又是一项应用性很强的技术，它 涉及到结构最佳方案的选定等问题。复合材料与结构的许许多多的研究， 其最终目的是将结构设计得更合理、成本更低、工艺性更好且更安全可 靠。因此从这个意义上说，复合材料结构优化设计是基础与应用基础研 究和工程应用研究之间关键的技术纽带。由于复合材料结构优化设计的 重要性，近几十年来研究工作一直十分活跃。 通过优化铺层角和铺层顺序，解决与刚度有关的问题，如屈曲和振 动等，这方面已有很大发展。例如，文献 1 】 3 】在得到四边简支矩形板临 界失稳载荷解析解的基础上，分别采用p o w e l l 法、变尺度法和解析法对 等角度双向铺设的纤维增强复合材料层合板( 偏轴刚度百，。和百，。为零) 的 铺层角优化问题进行了研究；文献【4 讨论了这种双向铺设层板的圆柱壳 的铺层优化问题。z i m m e r m a n n 5 研究圆柱壳叠层纤维角的优化问题，以 便使重量最小。8 0 年代末，屈曲问题的优化设计工作开始涉及到最优铺 层顺序的选择问题。m i k i 6 提出所谓统一优化设计方法，通过建立铺层刚 度参数与铺层顺序参数之间的关系，得到屈曲载荷的解析表达式，并用 以求解在轴向压力下层板的最大屈曲强度。n a g e n d m 【7 】通过应变的t a y l o r 级数展开，发展了一种拟线性方法，并选用最大应变准则来预测面内压 缩破坏，进行铺层顺序的优化设计。近几年来有很大发展的遗传优化方 第一章引言 法，由予其麓鲶瑾大量参数，胃使用多个搜索点攘索，并篮以霞标为援 索信息不必求导等优点在复合材料结构优化中有不少应用。其中有l e r i 娩e 和 a b l l ( a 嘲利用遗传法来解决铺层顾序与屈鞠强度优化问题。p a r k 吲 等人通过遗传法优化纤维铺层角以达到提高层板承载能力的目标。遗传 法的不足之处在于收敛较困难，计算量大，计算费用高。 由于复合专才料机械性能与加工制作等过程密切樱关，其离散度要比 金属材料大。此外，复合材料的各向异性特点使其对载荷边界条件环境 因素变动等相当敏感。毽此，考虑复合材料的霹纛性貔他设计麓题燹 显 得更加重要。m i k i 等人利用一次二阶矩方法( a f o s m ) 研究复合材料可 靠瞧傀让瓣题。遴过伐纯纡维角寒达到最大憋安全概率。缝逐提邂雳一 种解析法来确定概率条件下的最优的纤维角问题【l 们。随着复合材料结构 优纯设计方法的发展与工程反蔫酶不断扩大，近塑年来对多缀优纯设计 以及多目标、多学科优化设计问题也逐渐多起来。m c c u l l o u g h 1 1 】等人通 遥备弹性模量常数作为平均特性的线性缝合来处瑷每一铺层特慷的优纯 问题。w u r z e l l l 2 】利用首层破坏准则研究多轴复合材料纤维熊的优化问题。 c h a o i 珏l 等人研究了一般载荷作用下，壳体纤维角的优化问题。多级多强 标多学科的优化设计是今后发展的重要方向。不仅在基本理论模型与方 法方面，而且更强调解决工程实际问题的效果。 有关含孔层板结构优化设诗的文献有1 4 l 【i 熨。d u v a n t 1 q 磺究了纤维体 积比和纤维角对层板结构的应力、应变的影响，将层板离散成许多个单 元，选鼷每个单元豹纤维体积眨和纤维囊作为设计变量，蓉标燕使圜孔 边威力集中最小。文献【l5 】用遗传法优化一带椭圆孔口的层板，通过改变 孔静方位、长短半径魄、屡板材料及纤维铺设方向来满足振动频率耧模 态阻尼的瑟求。上述纤维增强复合材料的优化设计工作大多以纤维铺设 方辩为优化设幸 变量，孔西形状固定，没有涉及到孔形状优纯溺题。澎 状优化设计主要特征是待求设计变量是研究问题控制方程的定义域属于 动边界问题，属于一类不确定问题求解，其非线俄程度搬高而氨通常委 处理极大傻极小化这种非连续珂微的优化闽题，给求解带来困难。因此， 有关含孔各向异性层板的孔形状优化研究少见报导。本文研究工作涉及 镍一章引言 到这一类复杂的饯讫阕题。 l 心带箍复含藩板结擒应力分橱方法燕述 含魏板豹瘦力计算是固体力学中重要又古老的谋题，爨有番向冥挂 特性的复合材料的出现和应用也为这一命题提出了新的任务和要求。层 板结构由于工程需要，不可避免要开各种鳎途的孔，铡如航空绻构上概 壳孔，液、气体流动的孔口，有时孔口只用于减轻自重。纤维增强复合 层板上开孔使铺艨中纤维被切断，同时还会形成孔边高应力区，造成禳 大的应力集中，从而削弱了结构的强度。因此，孔边应力集中的分析翘 强度预测驻得十分重要，引起了国内外学者的广泛关注，有不少文献报 导了这方藤的研究成果。 较早的有r h 萨文b 6 和c r 列赫尼茨基【l 刀，他们对带孔备向异，| 监 扳的应力集中润题终了详缨豹磷究，萨文逶遘把魏外无袋区域保角映射 到单位圆孔内部并利用s c h n a r z 公式，借助于c a u c h y 积分求得了含一个 撩蠢藐无限域各离异性板的废力计算精确解。c 。f 铡赫瘸茨基粼雳级数 展开方法获得了陂力的级数近似解。g r e s z c z u k 1 8 】首先用级数近似解方法 隶穗了带豳琵多鼷复合鼷板豹威力解。h u f e n b a c h i 瑚研究了单层备向异性 板在面内载荷和弯曲下的椭圆、方形孔孔边的应力集中现象和强度预测。 用级数求解的方法，计彝过程相对比较繁冗，而且计算往往针对特殊孔 形和在特定载荷前提下进行的。数值求解方面，由于复合材料的各向异 性特性，孔边应力分析异常复杂，有限元方法无疑是分析含孔复合层板 应力集中阅题的合适方法之一，但它要求计算的节点多，诗算容量大， 为优化迭代计算带来了困难。边界元方法只需在边界进行离散，单元和 节点数大大减少，因此比有限蠢方法更筵捷，关键是找感基本解。不少 学者提出了各向异性材料的边界元方法1 2 0 2 1 】1 2 2 1 ，其中文献 2 0 】的三维横 鼹备淘恩拣遮暴露法，饿萼| 入了三个位移势滋数求蹬了麓遂鼹基本解。 田宗若【2 l 】教授从正交各向异性板的a i r y 应力函数出发，采用f o u r i e r 变换， 提滋了等徐空闻概念，邋过在等价空阚中进行的k e l v i n 解的积分得鹫了 第一章引言 正交各向异性板的基本解，再通过f o u r i e r 反演，解决了应力的数值解问 题。该方法可用于任何孔形，但仅适合于正交各向异性板。文献 2 3 1 在文 献 1 6 的基础上采用复变函数保角变换的方法并引入a i r y 应力函数，针 对各种面内载荷提出了相应的应力函数解，采用应力函数迭加方法使各 向异性对称层板的孔边应力计算过程更简捷、有效。该方法适合于各种 孔形、承受不同载荷和具有各种各向异性特征的对称层板。 考虑到在优化迭代过程中结构重分析需重复几百次以上，因此，选 择一个简捷、适用性强的应力分析方法是十分重要的。同时，用复变函 数保角变换方法在孔形优化时会很方便，所以在本文中我们参考文献 1 6 1 和 2 3 】的方法进行带单孔纤维增强对称层板在面内载荷作用下的孔边应 力分析。 1 - 3 优化问题的提出 应力集中往往是导致结构破坏的关键，文中作者用复变函数保角映 射方法( 详见第二章) ，求得带孔复合层板在平面应力状态下某些形状孔 的孔边应力，计算结果发现孔边应力集中有时特别严重。以下是四个实例。 1 ) o o 9 0 0 【g r i e p o x y 材料，圆孔孔边受均匀分布切向载荷r 作用， 孑l 边相对周向应力分布见图1 3 1 ： 2 ) i o o 9 0 0 【g r i e p o x y 材料，椭圆孔，孔内受均匀径向压力p 作用， 孔边相对周向应力分布见图1 3 2 所示； 3 ) l o o 9 0 0 【g r i e p o x y 材料，方形孔，受无穷远处双向等值拉力盯 作用，孔边相对周向应力分布见图1 3 3 所示； 4 ) 【o o 9 0 0 lg r e p o x y 材料，孔形如图示，受无穷远处双向等值拉 力盯作用，孔边相对周向应力分布见图1 3 4 所示。 第一章引荫 、 _h_一 一 一 。一 棼 ， 0 。9 0 。l g r e p o x y 瓴，丁j 一：1 毒 发生在：1 5 0 , 7 5 0 t 0 5 0 d 6 5 。 图1 。3 1 【0 。9 0 哩g r e p o x y 扫。p ) ：! - 6 8 0 发生谯：0 0 t 8 0 0 围1 3 2 l d 3 业= 、“一 ；f ， 0 0 9 0 。1 。g r e p o x y 0 0 9 0 。l g r e p o x y 瓴弦) 。：7 2 8 帆o k ：+ 7 6 9 靛生在：4 5 0 、1 3 5 。 缴生在：2 5 0 、6 5 。, 1 1 5 。d 5 5 。 鹜1 - 3 3 爨i - 3 - 4 从以上各孔边应力分布图中，应力集中现象的严重性可见一斑，与 各南瑟整屡投蛇孔边应力集孛穗篦要严重褥多。透鼗孔辫避窿力集孛运 凼v l=； ，审 o = “1 第一章雩| 言 题直为众多学者所关注，不少文献讨论了含孔藕合材料应力的求解方 法。然嚣，求勰避舞缭搦酌力是翘遂的一个方蘑，更爨要静是舞旃变 被动计算为主动设计，设计出最佳参数以达到降低应力集中的网的，这 是上述求解应力瓣逶豹反阉题，属予结构优化设计霹题。众所髑舞，近 年来随着材料科学的发展，复会材料在工糕中锝到越来越广泛的应用， 亩予纤维增强复合材料的各两异性特性使褥应力分桥更淹复杂，优纯瓣 习# 线性增大，敏度计算难以实现，优化求解缀困难，因此有关带弛复合 层税孔形状优亿的研究报导不多觅。本谦题提出通过对带孔纤维增强对 称复合层叛豹孔翻形状秘纤维镳设焦的优化设计，使其在疆蠹载荣作煺 下分别达到孔边成力集中最小或失效载荷最大等优化目标，这一课题有 一定鳇难度，它躲藏功求磐县考一定辫现实意义。 l 罐奉文研究瞧零一黪获筑纯嚣铺滕蕉筑诧 逶逶对繁魏潜称复合层裰程藩连载蔫锋螨下熬废力分辑发溪彰璃英 孔边应力大小和分布的因素有层板的各向异性特性、孔黝形状以及载荷 佟瘸斡影式，其中耩辩特性燕由各屡纤维材辉及铺设方寓所确定。 本文提出一个对带孑l 纤缎增强复合对称层板结构优化问题进行数值 解的有效方法。首先建立一个有效的数学模型，包括设计变量的选取， 髫标蘧数麴确定及各群终泰条件的设置等，这是线纯或功约最关键一步。 与工程上常用的赢线、圆弧、样条曲线、二次曲线摘述孔形的方法不同， 文中致复变丞数傈建交换垂数的系数俸为形状参数寒接述孔形，并首次 提出将这蝗形状参数作为孔形状优化设计变量。这选择使孔形描述非 常篱摹，薅置适合予谩髂瑟瑟形装，在饶纯实羧过簇孛诞龌，投点菲鬻 方憷；其次在选择复变函数保角变换方法作为带孔复合材料层板孔边磁 力计算方法对，我霞褒取嚣保惫皎射函数专文献【2 3 】中略商不同，蹭蠡了 f 的一次项前的系数掰。，因为+ 眩比f 高次项系数对巩的形状影响更大，有 烈予对孔形状的设计。优纯采用积分型总极值最德纯方法，该方法避免 了敏度分橱的困难，充分利用每次迭代信息，引导目标函数向总极值收 篇一章引言 敛，具有约束处理简单易行、收敛速度较快的特点，特别适合予这一类 复杂非线性优化问题的求解。文中还根据形状优化特点在减少设计变量 数疆弱提瘵投点效率等方夏终了改遴。铡魏，困势孔形俊纯是在绘定藐 域几何约束前提下，要求所设计的孔形曲线对称、光滑、连续并通过指 定躲点，这一几何约束院较复杂，迭代过稷中缀难謇动满足。麓我，我 们考虑了孔形对称性并利用保角变换中数学平面与物理平面的关系，使 一壁约束条件成为孔形参数之间的关系，不但满足了上述几何约束，逐 降低了优化设计变量的维数。此外，复杂的几何约束条件会使投点成功 率锻低，崴接影响到优化效率，我们通过在每次投点后立即进行某些谈 别，剔除些明盟不好的投点等方法，减少了应力重分析计算量，使优 化效率更高，效采更好。在上述研究基础上用f o r t r a n 语言编写了应力分 析翱优化迭代的整个程序，并用以求解了以下几个优化阕题： 1 孔形优化。 2 ，绥维镶层蹩钱化。 3 纤维铺层角和孔形同时优化。 述务优化麓题都瑕褥了嶷籍的优耽效果，使缮孔边皮力集中碉要 下降。文中还讨论了载荷形式、层板结构及孔口形状对优化结果的影响。 注意到工程实际| 、逶题中有一璧带魏结构的破环著不一定发生在癍力集中 点，文中还通过计算各单层每点上的应力，用选定的失效判掇式预测 该点的失效载荷，将各朦各点灸效载荷中的最小值视为相应层失效强度， 并以其中最小一层失效强度作为层板的失效载苟，分别对上述三个优化 问题进行了旨在提高层板失效载荷的优化设计，同样取得了良好的优化 效果。优化闼题的有效求鳃表明：文中建立的数学模型正确有效；总极 值优化方法效果明显、收敛速度令人满意；优化计算程序可靠、有效、 适髑性强。 第二章在露魂载荀住月下带 氛对称复会层扳扎边应力豹童至銮鬻鳖查堡查鲨 第二章程面内载荷作粥下带孔对称复合葳板 孔边应力的复变函数求解方法 设纤维增强复合材料对称层板由m 层厚度相等、材料相同的单层板 粘含而成，铺层角对称于中面，应用经典层板理论将层板简化为各向辫 性薄板，设无限域对称层扳中有一单孔受西内载旖作用，参考文献 1 6 】 和【2 3 】，采用复变函数保角变换的方法求解孑乙边应力。 2 - 1 映象函数 根据黎曼定理，用复变函数保角变换方法，通过映象函数z = 国g ) 将 平面单位圆乡 域映射必z 平面藐澜外域。文中，我们选择以下映象函 数描述孔形： z = 础，= r ( f + 跫k = lk 0 协， b ， 其中，r 为反映孔口大小的常数，文中取r = i ，m k ( 凳= o ，l ，2 ，) 为保角 映射系数，为实数。 对予番囊异性榜料，令f = p e “，这里p ，0 荛f 平瑟中的坐标，对于 单位圆p = i ，于是： # = ( c o s a + i s i n a ) ( 2 2 ) 将( 2 2 ) 式代入( 2 1 ) 式，有： c 沪 孙nc o s + i ( 、m o sino-r(mo c o s o + k e ) s i n 0 - 孙s i n k o 1(2-3k k ) z = 国( f ) = f 所。c o s + 删。 j i () l ；l 1 1，l 弓 入反映层板材料的各向异性特性的特征参数q 和s ：，( 2 3 ) 式成为： l n f 、l z = 国g ) = r | ( m oc o s 0 + e o s k o ) 0 | m os i n 0 - 魏s i n k o | | ( 2 4 ) 易知： 第二章在面内载荀作媚下带张对称复合层板孔边应力的复变随数求解方法 c 。s m 口= 吾 f + 古) ，s ；n m 秽= 孑p 一古) e 2 勘 把( 2 5 ) 式代入( 2 4 ) 式可褥： = ，一曲，留) = 枣愕奢m 吣十薹剐 沼6 ， 口，= ( 1 + 妇，j ，b j = ( 1 一s ，j ( ，= l ，2 )( 2 7 ) 式( 2 6 ) 为各囊异性材料的映象丞数，长和s ：为各邋巽憾特征参数，可 通过方程( 2 1 3 ) 计算而得，见下节。 2 - 2 孔边应力分析 平面问题中应力应变之间的关系式： t 3 g i i o x + q 2 q + 嘶6 6 = u 2 0 x + 球2 2 0 y + 棵孙 y 掣= a f 6 0 x 七8 2 6 0 y 专n 6 6 f w 其中：实系数码；、a ，2 、靠护a 2 2 、口舻 为谣内正成变分蹙和剪应变，盯、o 、v 力。 引进a i r y 应力函数u ( x ，y 1 ，满足： ( 2 8 ) 为灏内柔量，氏、o 、分别 分别为面内正皮力分爨和剪应 q = 害；q = 警；知一啬 c 2 扪 q 。矿；q2 矿；知一蒜 ( 2 - 9 ) 应交协调方程失： 簪+ 鲁：鳖( 2 - 1 0 ) o彝。文2 x a y 根据式( 2 m 8 ) 、( 2 9 ) 、( 2 1 0 ) 可得重调和方程： 害嘞：。器+ 2 u 1 2 - f u 6 s ) 一0 4 u 砌。等m 。等= 。仫 第二章在面内载荷作耀下带我对称复会层板孔边应力豹复变黼数求鳃方法 疆l i s 4 2 a 1 6 s 3 + 穗蝣1 2 + a 6 6 2 2 a 2 6 s + 牙2 2 = 0 ( 2 1 2 ) 的根。 我们用量，s ：，为和s 。表示方程( 2 1 2 ) 的根，称为各向异性参数。 耋= 喝o t j + i 瞩p l ；屯s 4 搿 沼 屯= q 瞩；= d 2 礁， 这里，强、口：、鼓、反是实常数。这样，( 2 1 1 ) 的普遍积分为： u g ，j ，) = 曩( z 。) + e g ：) + 可g 。) + 巧( z ：) ( 2 1 4 ) 这里，互瓴) 和磊0 ：) 是囱变数的嚣个解辑函数，两焉瓴) 程瓦z ：) 分裂是 e “) 和e 0 ：) 的共轭函数，引进符号： 堡d z l = 庐豢= 矿z ：) ( 2 - 1 5 ) 显然有： 磐：确；譬： “z i“z 2 把( 2 - 1 4 ) 中的威力函数u g ，y ) 代入( 2 - 9 ) ，并注意符号( 2 1 5 ) ，我们即 可褥到以两个解析函数如) 和妒0 ：) 表示的应力分量的一般形式； o x = 2 r e 扛? 扛，) + s ；妒0 2 叫； 盯，一2 r e 酗g 。) + 妒g ：) j ； ( 2 - 1 6 ) 勺= - 2 r e k 妒1 0 ；) + s ：y 1 z ：) 】 这里，用r e 表示上列各式的实郝，妒如，) = 婴，妒z ：) = 譬，是和s ：是材料 援毛宓， 的备向异性参数。 2 - 3 各种面内载荷作用下的孔边威力解 一、带单孔的对称层合板受无穷远处双向拉伸载荷作用( 如图2 - 3 一l ( a ) 所示) 带萃巍对称务离异矬薄叛承受远端载蔫= 2 0 r ，仃；= o r 酶佟耀，其 第嚣章在筒内载荷作用下带孔对称复合屡板孔边威力的复变函数求解方法 中五为常数，如銎2 - 3 i ( a ) 所示。采髑叠加法，将圈2 3 1 ( 鑫) 分解 为图2 。3 1 ( b ) 和2 3 1 ( c ) 相加，其中圈( b ) 为一无孔无限大薄板在无 穷远处受a ；= 童一一y ! = a 作用，设其应力蕊数必欢1 ) 、致0 ，) ，由此应力 函数得出相应虚孔边界条件为， ；( c ) 图为无限大薄板有- - ：f l ，孔 边豹边雾条件为z ，一厶，由此边赛条件定爨葵楣应的瘦力丞数为 o ( 乏) 、z ，) 。 ( a )( b ) 隧2 - 3 。l 应力函数庐屯) 、妒0 ：) 应为上述两个应力函数叠加，即： + 麓譬搿：缎 沼m y 如：) = i f ，。0 ：) 十f 。0 ：) 、“7 羲瓴) 、致0 ：) 懿形式为： 妒( = 。) = 嚣+ z ， ，0 ：) = 沁“+ i c 4 弦： ( 2 1 8 ) 其中，b ，矿，c ，c ”为实系数。 虚孔边赛条件石，五英有如下形式： 一= 2 r e 溉( z ，) + ，0 ：) 】 ， = 2 r e s ，西0 ) + s ：0 ：) 】 再代入( 2 。1 6 ) 式中可戳求得孔边沿嫩 标x 轴、y 轴豹艨力分爨疋、和艇最终表达式： 吒。酊+ 2 r e b t g 。) + s ；“0 ：) j 吩= 2 峨酝) 甄：冀( 2 - 2 8 ) f ；，。f ：一2 r - e k ，威( 掌。) + 岛妒j 0 ，) 1 其中： 第二章在嚣癌载萄捧躁下带孔对称笺会层板孔边应力的复变函数求解方法 隔) = 辎“= 端， 挪：o ) = 叁，国：留) = 鲁 ( 2 - 2 9 ) 二、带单孔的对称层合板受孔边均布切向力作用 设孔边作黑艇均南甥彝力烫t ，把，分解为： 瓦= t c o s o ，o = 噻 曩。r c o s 仗芦) = t 丞d y ( 2 - 3 0 ) 这熙，f 为孔边界切线的正向。 塞力逮雾条释有懿下形式： 君= 一写舔q = 固+ 檄 霹。弘丞岛= t x + c o r s t l 嚣z l j 荛( 2 - 3 2 ) 代久( 2 - 3 i ) 式，再赉( 2 - 2 4 ) 式露黻求褥痰力函数磊留和甄 表达式： 川8 2 t r a l m f o a 2 + 6 2 耋列 础) 稿降+ 6 1 薹列 ( 2 ，。) 把上式代入( 2 - 2 8 ) 和( 2 * 2 9 ) ，可求褥孔边沿坐标x 轴、y 轴方向 1 4 第嚣鬻程丽内载葡作用下骷孔剥咻复合牒撤孔边碰力的袋变函数球解方法- 、 蜒盛女分量。 三、带单孔酌对称艨含投爨孔边均布径向力作用 1 设均毒径懿力蠹p ，我髓恕力筘分憋炎二 置= - p c o s 。p 罢“= 哪。s * p 磊d x ( 2 h 3 4 ) 此时，应力边界条件可以袈示为： 开一e 匕蕊+ c o n s t ，；一p x 式* l x 。如+ c o n s 沁喇 j ( 2 ，3 5 ) 恕 o 为半径的邻域。伍，万) ， 使不等式： f ( x ) f ) ( 3 - 2 ) 对于一切x d x ，神均成立，则称x 是函数f ( x ) 在g 上的局部极小 值点，( x ) 是局部极小值。若不等式( 3 2 ) 对于一切z g 均成立，则 称x 是函数f 伍) 在g 上的总极小值。 开始应用这一方法的有随机搜索方法和均匀格点搜索方法。其原理 方法看起来比较简单，但是要实现它难度却不小，随着维数的增大，其 计算量急剧增加，使得算法难以实现。考虑引进迭代过程，充分利用优 化过程中产生的各种有用信息，使算法加速收敛，从而使求总极值有可 能实现。 3 - 2 求总极值的格点法和随机投点法 求总极值最原始的方法是格点法和随机投点法。 设y = f b ) 是竹维空间中区域d 上的一元函数，d 是n 维长方体： d - - 岛h - x ，6 ，f _ 1 州2 一，玎 ( 3 3 ) 所谓格点法，是把一维长方体的各个分量变化范围进行分格，在各个格子 点上计算函数值，比较其大小，从中选出最优点。设把( 玎b ) 作等分， 令e j = 伽，一q ) ，i = 1 , 2 ， ，构成格点的各个分量为： x 。= 疗，+ 弘，= 0 , 1 ，2 ， = 1 , 2 ，- ，疗( 3 - 4 ) 用格点法可以在一定精度下求出总极值。设原来的区域d 的一维体积为1 ， 各个格子的玎维体积为占，则在各格点处计算函数值，其总极值量为： 第三章积分型总极值优化方法 三 用随机投点法来求总极值，设区域d 的珂维体积为1 ，在其中随机地 均匀地投n 个点，至少有一个点落入某个指定的体积为占的小区域中，其 概率为p ：1 一( 1 - 占) ”。故要从挖维单位体积中找到某个体积为占的最优区 域，其总投点数为： = p 一( 1 一嗣+ l - c l i l ( 3 - 5 ) 其中q = i n 。 i p 运用格点法和随机投点法其主要困难在于计算量太大，例如，设变 量x 是1 0 维的，即使每个变量只取4 个分点，对于这样稀疏的格点，其 总计算函数量兰2 2 0 d 1 0 1 6 ) ，以致在实际中难以使用。 3 - 3 求总极值方法的模型 分析格点法和随机投点法可以看出，当三不大时所需的投点数就并不 占 大。另外，在大量投点后如果只从其中选出一个最小点就让算法终止， 这样的做法实际上并没有充分利用大量投点后所提供的其他信息。于是， 可以设想，在每次投点后利用投点的信息使搜索区域作不大的收缩，但 使这种区域收缩过程延续下去形成一个迭代过程。根据这种设想，提出 一个求总极值的方法。 设f ( z ) 是r l 维空间r ”中区域d 上的连续函数，用y = 去割函数 y = f g ) 得水平集： h o = x l f ( x ) c 0 x d ) ( 3 - 6 ) 风中包含了区域d 中这样的点x ，这些点的函数值不大于c 0 ，如图3 3 1 所示。当然，如果c 。取得太小，切割面在总极值之下，风也可能是空的。 这里假定h 。非空。 第三章积分型总极值优化方法 图3 - 3 1 水平集序列与均值序列 求在h 。上的平均值c 。由于在h 。上，( x ) 都小于，故在h 。上的平均 值必小于c o ，即c 1 。再作水平集h 。= x l f ( x ) c 1x d ，同样也可以求 出f ( x ) 在h 。上的平均值c ：，且c ：q ，以此类推。这样，可以求得一个均 值序列c 。c ：q 和一个单调下降的水平集序列 h 。3 日- 3h z3 h k 3 。令l i m q = c ， 觋h t = 日+ ，则可以证明c 即f ( x ) 在d 上的总极值，h = p i f ( x ) c ，x d ) 是f ( z ) 在d 上的总极值点全体2 5 1 。 在求q 或峨的过程中，由于计算误差或其他原因得出的并不是精确 的均值。如果任意给出一个单调下降的数列岛c ，c ：c 。h ， 觋吼= c ，4 g t = 协i f ( x ) 气，x d ) ，则c 是f ( x ) 在d 上的总极值的充要条 件为： q m i 0 ( 后j ) 其中，m 。是f ( x ) 在d 上的平均值。 另外，如果疗；是函数f ( x ) 在h k 一上的方差，即( ，( x ) 一气) 2 在h k 。上的 平均值，则j i m 气= c 是f ( x ) 在d 上的总极值的充要条件为： 蠢一0( 后一o o ) 在此两种情形下， 受吼= 乩就是f ( x ) 在d 上的总极值点集。 一整三空墼坌型：坠堡篁垡些塑望 _ _ _ _ _ _ _ 一 3 4 统计实验实现 上述算法模型懿结为计算均毽序期溆 及求水平集彦翔 壤 。求均僮 序列相当于求一系列n 重积分，求水平集般则聪为复杂。应用统计实 验法霉戬实现上述模型。下西就给凑实现