（基础数学专业论文）leibniz代数中的一些结果.pdf

摘要 本文给出了莱布尼兹代数( l e m 代麦妗的定义及一些基本概念和性质 证明了完全 l e i b 代数的导代数是完备的。进一步讨论了完备l e i b 代数的可分解性，并且得到了这种 分解在不计分解顺序的情况下具有唯一性最后给出l e b 超代数和二次l e i b 代数的概 念，同时得到了二次l e i b 代数的分解定理 本文的主要结论是； 定理l ：设l 是一个右零化子为零的完全l e i b 代数，则导代数d e r l 是完备的 定理2 ：设l 是完备的l e i b 代数，刚有分解 l ；l 1 0 k o 0 l 。， 这里每个l 。都是单完备的l e i b 代数并为l 的理想。进一步，若h 只有分解l 。= k o o ) ， 则l 的分解除这些理想的次序外是唯一的 定理3 ：设( l ，b ) 是二次l e i b 代数这时有l 的直和分解 l = o 名1 k 使得对所有的1 i r 有 ( 1 ) l 。是l 的非退化理想， ( 2 ) k 不包含l 的非平凡的菲退化的理想， ( 3 ) 对于所有的 j ，k 和l j 是正交的 关键词：l e i b 代数；完备l e i b 代数；单完备l e i b 代数；分解及唯一性；l e i b 超代 数；二次l 曲代数 a b s t r a c t t h j sp a p e rp r o v e st h a td e v 8 j o na l g e b r a so fp e r f e c tl e i b n i za 培e b r aw i t h0r i 曲t a n 豇i h 主l a t o ri sc o m p k t e 帆dd i s c u s s e st h ed e c o m p 0 8 i t i o no fc o m p l e t el e i b n i 2a l g e b r ab y p r o v i d m gs o m ee i e m e n t a 口d e 丘n i t i o n sa n dp r o p e r t i e so fl e i b n j z 甜g e b r a f 缸幽e r ，t h i s k i n do fd e c o m p o s i t i o ni su n i q u e n e s su n d e rt h ec o n d i t i o no fd i s r e g a r d i n gt h ed e c o m p o s i t i o no r d e r o i lt h eo t h e rh a n d ，s o m ee l e m e n t a 口d e 丘i t 主0 so fl e i b n i zs u p e r a l g e b r a a n dq u a d r a t i cl e i b i za l g e b r aa r ep r o v i d e da n dt h ed e c o m p 吲t i o no fq u 8 d r a t i cl e m n i z 甜聆b r aw ep r o v e d t h em a i nr e s u l t si nt h i sp a p e r 雒et h ef o u o w i n g ： t h e o r e m l ：l e tlb eap e r e c tl e 七a l g e b r a 、以t hz e r or i 曲ta m m m a t o r ( i 息【l ，l = l z ( l ) = o ) t h e nw eh a v et h ed e r i v a t i o n “g e b r ad e r l i sc o m p l e t e t h e o r e m 2 ： l e tlb eac o r n p l e t el e i ba l g e b r a ，t h c nw eh a v e l = l 1 0 l 2 0 0 l n w h e r ee v e r yl ti ss i i n p i ec o m p l e t el e i ba l g e b r aa n di 8a ni d e “o fl ，a r mi fl io n i yh a v e t h ed e c o m p o s i t i o nk = l to o ) ，w ec a np r o v et h j sl c i n do fd e c o m p o s i t i o 工li su n i q u e n e s s u n d e rt h ec o n d i t i o no fd i s i 电g a r d i gt h ed e c o m p o s i t i o no r d e r t h e o r e m 3 ：l e t ( l ，b ) b eaq u a d r a t i cl e i b8 l g e b r a t h e n l = o ：i k s u c h t h a t f o r “l t 曼r ( 1 ) ki san o n _ d b g e n e r a t ei d e a l ， ( 2 )k c o n t a i n sn 。n o n t r i v i a ln o n - d e g e e r a t ei d e a lo fl ， ( 3 ) f o r 越 j ，l ；a n d b ”e o r 也o g o n b l k e yw o r d s ： l e i b m za l g e b m ，c 。m p l e t el e i b n i za l g e b r a ，s i m p l el e l b n i za l g e b r a d e c o m p o s i t i o na n du 且i q u e n e s s ，l e i b n i zs u p e r a l g e b r a ，q u a d r a t i cl e i b i za l g e b r a i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致 谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：盏两 日期：婴! ：垫望 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位 论文的规定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机 构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人 授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编 学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：盏豇指导教师签名：握熟墼 日期：蛆厶盎雪日期：2 受垒墨：三2 学位论文作者毕业后去向： 工作单位：翻蠹盘亟酝盐签苤鋈阮 通讯地址： 电话： $ 编：生篷坦! ! 引言 李代数是一类重要的非结台代数最初是由1 9 世纪挪威数学家m s ，李创立李群时 引进的一个数学概念，经过一个多世纪许多数学家的不懈努力，特别是1 9 世纪末和2 0 世纪的前叶，法国数学家6 c a r t a n 给出变数和参变数在复数域中的全部单李代数的一个 完全分类；他和德国数学家k i l l i n g 都发现，全部单李代数分成4 个类型和5 个例外代 数，6c a r t a 还构造出了这些例外代数，他和德国数学家w e y l 还用表示论来研究李代 数，后者得到一个关键性的结果，挛代数本身的理论才得到完善，并且有了很大的发展 随着时间的推移，李代数在数学及古典力学和量子力学中的地位不断上升，到了2 0 世 纪8 0 年代，它不仅被理解为群论问题线性化的工具，丽且还成为有限群理论及线性代数 中许多重要问题的来源，因此得到了更进一步的发展和完善无论就其理论的完整性还 是就其应用的广泛性来说，李代数都已成为一个非常重要的数学分支，它的理论和方法 已经渗透到数学和理论物理的许多领域李超代数是在李代数的基础上发展起来的它 有很深的理论背景，是为了在物理学中建立相对论的费米子和玻色子的统一理论而提出 的，是李代数的自然扩张现在，对于李超代数的研究已经比较完善，特别在模李超代数 的情况下的研究也取得了长足的进展( 文献 i 8 1 ) 由李( 超) 代数的定义我们不难知道李( 超) 代数具有( 超) 对称性，而在文献 5 j 中， j 一l l o d a y 给出了一种非对称的李代数，它的括号运算满足l e i b i l i z 等式： 陋，b ，= 1 l = 【陋，y 1 ，翻一 陋，z ，可1 ， 因此被叫做l e m m z 代数l e i b l l i z 等式加上反对称性正是j a b i 等式的变形故李代数 是反对称的l e 沁n i z 代数事实上，这样的代数最早被b l o c h ( 文献f 4 ) 研究过，当时叫做 d 一代数l e i b r 出代数的概念是l o d a y 在研究l i e 代数同调的相似类即不具有交换性的 日q 做李代数的l 曲l 】i z 同调( 最早由c u v i e r 和l o d 8 y 提出) 的时候提出的( 文献 5 】 f 6 】) ， 他是在结合了矩阵代数的循环同调和霍赫希尔德同调的性质的情况下研究的l e i b n i z 代 数 我们知道李代数在数学物理中有着重要的地位，作为李代数的推广，人们也越来越 重视对l e i b l l i z 代数的研究，但困其产生的比较晚，所以到目前为止，我们虽然得到了一 些l e i b n i z 代数的理论，但是还很不完善，并且大多数有关l e i b n i z 代数的研究都是讨论 它的同调问题的对于l e i b n j z 代数的结构理论及分类问题a y u p o v ，s h a 和o m i r o v ， b a 在文献 7 】，f 8 】， 9 l 中得到了幂零性和低维分类闯题的一些结果，还得到一些中 心扩张的结果；l o d a p p i r a s h i l i 建立了l e i b m z 代数的泛包络代数( 文献 6 1 ) ；刘东在他 的关于研究l e i b n 沁代数的博士论文( 文献 1 3 】) 中主要讨论了李代数和l e i b n i z 代数之 间的联系，通过一些李理论的方法研究了某些无限维l e i b n i z 代数的结构和表示理论， 如：中心扩张问题，决定了某些无限维代数的所有平凡的l e i b n i z2 一上循环，给出了有限 根系阶化的l e i b n j z 代数的定义，获得了a ，d ，e 型的有限根系阶化的l e i b 出z 代数的结 构，给出了a ( m ，n ) ，c ( n ) ，d ( m ，n ) ，d ( 2 ，l ；a ) ，f ( 4 ) ，g ( 2 ) 型有限根系阶化的l e i b n i z 超代 数的一般结构，构造了g 2 型的t o r o i d 8 ll i e 代数以及放射l e i b n i z 代数的这种顶点算子 的表示除此人们对l e i b i i i z 代数的分类问题及结构理论的其它方面如单性完备性等等 得到的结果还比较少，而我们知道单性完备性在李( 超) 代数的研究中占有极其重要的地 位，故本文就是在此背景下，以李代数为基础，将其关于完备的一些性质推广到l e j b n i z 代数上，并且获得了一些结果 本文结构如下：第一节介绍l e i b n i z 代数的定义及其一些基本概念和性质；第二节证 明完全l e i b n i z 代数的导代数是完备魄第三节给出并证明了完备l e i b i l i z 代数的分解及 难性；第四节简单介绍l e i b n i z 超代数，给出二次l e i b n i z 代数的定义并证明它具有分 解性 本文对于完备l e i b n i z 代数和二次l e i b i z 代数分解及唯一性的研究均是在有限维 上进行的，域的特征为任意，用l e i b 代数简记l e i b n j z 代数 2 1 预备知识 在这一部分中，我们简要介绍相对与李代数概念一般推广的l e i b 代数的概念及性 定义1 1域f 上的一个代数l 如果满足下面的莱布尼兹等式 b ，b ，叫】= 【睁，引，司一 k ，。】，y 】协，g ，z l 其中卜，一】为定义在l 上的乘法，则称l 为l e i b 代数 注意： 如果一个l e i b 代数l 上的 一，一1 运算满足： z ，9 1 = 一 ，。1比，l 尉由莱布尼兹等式( 1 ) 可以推出下面的j a c o b i 恒等式 陋，恒，。 】+ b ，k ，胡 + k ，k ，引 = ov z ，z l 因此，李代数是l e i b 代数的特例 例1设a 是域f 上的结合代数，设f 一线性映射d ：a a 满足 d ( 口( d 6 ) ) = d a d 6 = d ( ( d ) 6 ) ，讹，6 a 在a 上定义乘法运算 _ ，一】o 陋，6 】d = 。( d 6 ) 一( d 6 ) o ，6 a 则a 成为一个l e i b 代数( 见参考文献( 1 1 ) 特别的，当d = 。d 时，a 为李代数 例2 设l 是一个单李代数，m 是一个不可约的反对称的l e i b l 一模( - e ，陋，仇 = o 对比l ，m m 成立) 这时空间q = l + m 上若有乘法运算 如+ m ，口+ n 】= ，擎 + b ，o 其中。，g l ，n ，n m 则q 便构成一个非李代数的l e i b 代数( 参见文献【1 l 】) 定义1 2 设l 是l e i b 代数，j 是l 的子空间，若满足【l ，j 】j ，则称j 是l e i b 代数l 的左理想；若满足f j ，叫sj ，则称j 是l e i b 代数l 的右理想；若j 既是左理想 又是右理想，则称j 是l e i b 代数的双边理想，简称理想 3 铡3 设l 是l e i b 代数， i ：= t d ( ( z ，。1 ：z l ) ， 则i 是l 的理想( 见参考文献 1 1 】) 注意：当l 是李代数时，i = o ；当l 是非李代数的l e i b 代数时，i o 所以对于 任意的非李代数的l e i b 代数l ，如上定义的i 是l 的一个固有非零理想 定义l ，3设l ，l 2 ，k 均为l e i b 代数的理想，且有线性子空间的直和分解： l = l 1 - 广l 2 阜t牛l 。， 则称l 是理想l l ，l 2 ，l n 的赢和，记为 l = l 1 0 l 2 0 o l 。= 0 墨l l ；，( 2 ) 此时，我们也称l 有理想直和分解( 2 ) 定理1 1 设l e i b 代数l 有理想直和分解( 2 ) ，则下面结果成立t ( 1 ) ( k ，b j = 0 ，当i j 时； ( 2 ) 若j 是k 的理想，则j 也是l 的理想； ( 3 ) 若k 有理想直和分解 l i = o 碧- 如， 则l 有理想直和分解 l = o 冬l o 凳1 ， 证明过程仿照参考文献【1 】中定理1 6 1 ，在此证明略 定义1 4l e i b 代数l 的 右零化子定义为： z ( l ) = z l i l ，z 1 = o ) ， 左零化子定义为： x ( l ) = ( z l l b ，l 】= o ， 中心定义为： g ( l ) = z l f l ，叫= o ，k ，l = o 显然，z ( l ) ，g ( l ) 是l e i b 代数l 的理想，i ：= i d ( 陋，z 1 ：z l ) 包含在z ( l ) 中不难 验证l l ( i ) 也是l 的一个固有理想 4 事实上，比玩( i ) ，g l ，2 i ，有 i 毛k ，胡】= l 【z ，硝，引一i i z ，蚋，硝= o 所以陋， 瓦( i ) ，即阮( i ) ，l 玩( i ) 因此玩( i ) 是l 的右理想同理玩( i ) 是的左 理想郎有z l ( i ) 是l 的理想。那么我们就把o ，i ，z l ( i ) ，l q 做l e i b 代数l 的平 凡理想 当l 是李代数时，i = o ，z c ( i ) = l 这与李代数的平凡理想定义一致 定义1 ，5设l = l lo l 2 ，且l ：司l ，i = 1 ，2 ，定义 z l ，( l 2 ) = l 1 i 【l 2 ，胡= o ) 为l e i b 代数l 2 在l e i b 代数l - 中的右零化子 易知邑，( l 2 ) 是l - 的理想 事实上：v z 玩。( l 2 ) f l l ，z l 2 ，有 z ， 。，】 = f z ，z ，掣 一 名，鲈】，z = o 所以kg 】况，( l 。) ，即 瓦，( l 2 ) ，l - 】瓦。( l 。) 同理【l l ，况。( l ：) 】玩，( l 2 ) 从而 z l ( l 2 ) 是l 1 的理想 定义1 6 l e i b 代数l 上的线性映射d ：l l 叫做导子，如果满足 d ( b ，引) = d ( z ) ，引+ 陋，d 0 ) ， 比，l( 3 ) 用d e r ( l ) 表示l 的所有导子的集合显然l 上的任何右乘算子：l l 定义为 r ；( 2 ) = k ，叫，z l 都是l 的导子 定义1 7 如果l e i b 代数l 上的线陛映射a 妇：l l ，v z l ，满足 a d z ( ) = b ，z 】，v 茁，可l 则易知a d 。是l 的导子，称为l 的内导子用a d l 表示l 的所有内导子的集合 定理1 2设g l ( v ) 是一般线性李代数，取v 为l e i b 代数l ，则d ( l ) 为李代数 l e i b 代数l 的导子集d e r ( l ) 是g l ( l ) 的子代数又若d d e r l ，。l ，则 d ，。d z 】= 甜d ( z ) 因而a d l 是d 目( l ) 的理想。 5 证明 容易验证d ( l ) 是d ( l ) 的线性子空间又设d l ，d 2 d e r l ，z ，9 l ，则由 d l ，d 2 】( 陋，掣】) = d l d 2 ( k ，引) 一d 。d - ( b ，引) = l 【d 】，d 2 ) 。，胡+ 睁，【d l ，d 2 f 知【d 1 ，d 2 1 d e 儿故d e r ( l ) 是g l ( l ) 的子代数 又设d d e r l ，岱l ，则 【d ，a d 卅( g ) = ( d a d z a d z d ) 可= d 恒，胡一【d b ) ，翻= 倍，d ( z ) 】= a d d ( 。) ( ) 因而a d l 是d e r ( l ) 的理想 定义1 8设两个l e i b 代数l 1 ，l 2 ，若l l 到l 2 的线性映射，满足； ， z ，胡= ，( ) ，( g ) ，v 。，g l 则称，是l - 到l 2 的同态映射或同态 若l l 到l 2 的同态，还是满映射，即 ，( l 1 ) = l 2 则称，是满同态，并称l z 为l 的同态像 设，为l - 到l 2 的同态，则称 ，一1 ( 0 ) = l 1 1 ，( z ) = o ) 为，的核，也记作k e r ， 定义19若，为l e i b 代数l 1 到l e m 代数l 2 的线性同构，又是l e i b 代数的同 态，则称，为l l 到b 的同构，并称l z 与l z 同构，记为l l 型l 。 定理1 3 设j 是l e i b 代数l 的理想，则l 到l j 的线性自然映射7 r ： 7 r ( 工) = z 十j ，妇l 是l 到l j 的满同态，也称f 为自然同态 又若，是l 到l 1 的满同态，则k e r ，是l 的理想，并且有l k e r ，到l - 的同构映 射7 满足 so m = | 6 这里w 表示l 到l k e r ，的自然同态 证明过程仿照参考文献【1 1 中定理1 3 1 ，在此证明略 定义1 1 0 若l e i b 代数l 满足条件： z ( l ) = 茹l i 【l ，z 】= o = 0 ，d e r l = a d l 则称l 为完备l e i b 代数 7 2 关于完备l e i b 代数的一个结果 在这一节中，我们主要讨论一类l e i b 代数的导代数的完备性 引理2 1设l 是一个右零化子为零的完全l e i b 代数，即 l ，l 】= l ，z ( l ) = ( z lj 【l ，z 】= o ) = o 设d d e r ( d e r l ) 如果d ( a d l ) = o ，贝0d = 0 证明 设w d e r l ，窑l ，在l i e 代数d e r l 中，由( 3 ) 式知 d ，a d 。 = a d d ( 。) a d l ( 4 ) 注意d ( d ) d e r l ，并且d ( a 屯) = 0 ，我们有 a d d ( d ) ( 。) = f d ( d ) ，a d 。】= d ( 【d ，a d 。d 一 d ，d ( a d ；) 】= d ( a d d ( 。) ) = o ( 5 ) 由题设l 的右零化子为零和( 5 ) 式知，对比l ，d ( d ) ( 。) = o ，这就意味着作为l 的导 子d ( d ) = 0 但是d 是任意的，我们就能得到d = o 证毕 定理21设l 是一个右零化子为零的完全l e i b 代数，则导代数d e r l 是完备的。 证明假设v d z ( d e r l ) 则对比，l ，i a 以，d ( ) = o 因此，i d ( y ) ，司= d ( 溉胡) 由( 3 ) 式，b ，d ( z ) 】一o ，地，口l 由l e i b 代数l 的右零化子为零，知d ( z ) = o ，再由z 的任意性有d = o 故z ( d e r l ) = o ( 6 ) 因为l 是完全的，所以对v l ，都有 z = 乩，叭l ， o j 其中i 是有限数集这时 弛= a 屯，溅】 琏f 则对v d d e r ( d e r l ) ，我们有 d ( a d 。) = d ( a d 。a 屯 ) = ( d ( a 屯) ，a 屯。 + 【a d 。，d ( 砸。 ) ，讵， 设d 。= d ( a d ) ，包= d ( a d ) d e 儿则由( 4 ) 式知， d ( a 屯) = e ( a 电( 蚓一a 屯( * ) ) = a 8 。( 。，( 训 d i ( “) a d 。： j tj 8 这就意味着，j9 l ，s d ( a d 。) = a 屯由于z ( l ) = o ，所以是唯一的。定义l 上 的一个线性变换d ：。一g 使得 d ( a d 。) = a d d ( 。) ( 7 ) 对比，l ， 们d 忙，v ；= d ( a d 忙，钢) = d ( ( a 也，a d 。d = d ( a d v ) ，a d 。j + a d ”，d ( 8 d 。) 】 = 【a d d ( 口) ，a d z 】+ 【a d ”，a d d ( 。) 1 = a d 忙，d 佰) 】+ a d l d 扛) 潮= = a d h 忙) ，们+ 忙，d 皓) 1 ( 8 ) 由( 8 ) 式和z ( l ) = o 知， d ( i 。，们) = 【d ( z ) ，f + l z ，d ( p ) 】，魄，”l 因此，d d e r l 由( 4 ) 式和( 7 ) 式知， d ( a d 。) = a d d 扛) = d ，a d 。l ，v z l 即； ( d + a d d ) ( a d l ) = o 由引理2 1 知，d + a d d = 0 ，故d = 一a d d 是d e r l 的内导子。 综合( 6 ) 式知；定理2 1 得证 推论2 1设l 是一个中心为零的完全李代数，即 【l ，l = l ，e ( l ) = z l i 【l ，叫= o ) = ：0 ， 则导代数d e r l 是完备的 推论2 ，1 是参考文献 1 2 】中的一个重要结果，它是在研究单李代数导子塔的长度问 题时得到的定理2 1 是推论2 1 在l e i b 代数上的一个推广，因此它也是关于l e i b 代数 的导代数的一个重要结果 9 3 完备l e i b 代数的分解及唯一性 我们知道，完备李代数具有分解及其唯一性，故在这一节中，我们主要研究完备的 非李代数的l e i b 代数的分解，以及这种分解的唯一性 3 1 完备l e i b 代数的分孵 定义3 1 1设l 1 ，l 2 ，k ，均为域f 上的l e i b 代数又矗是k 到l + 1 的同 态如果 妇 + l = 五( l 1 ) ，i = l ，2 ，t - ， 则称序列 l 1 j ll 2 j 马l 3 l ；kl + l 一 为正合序列 定义3 1 2 设a ，b 与l 均为域f 上l e i b 代数。若有l 的理想n 与。同构，而商代 数l n 与b 同构，则称l 是b 通过。的扩张，n 称为扩张的核 设 是4 到n 的同构，p 是l 刘5 的满同态，k e r 肛= n ；又 是从 o 到a 的映射 i ( o ) = o ；0 是b 到 o 的零映射，o ( 6 ) = o ，v 6 b 则序列 o 上口土l b 上o 为正合序列反之上述序列为正合序列，则l 是h 通过a 的扩张 定义3 1 3 设l e i b 代数l 是l e i b 代数b 通过l e i b 代数a 的扩张，n 为扩张核 如果有l 的理想m 为n 在l 中的补子空间，则称此扩张为平凡扩张 定理3 1 1设l 是完备l e i b 代数，则通过l 的任意扩张均是平凡扩张，且 n = l 0 磊( l ) 证明不妨将l 与扩张核等同起来，即假定l 是。的理想由定义2 4 下面的讨 论知z 。( l ) 是。的理想由于l 完备知，z ( l ) = o 则l n z 。( l ) = o 设v 。n ，则由 a d 。( l ) = 儿z 1 l 知a d 。i l d e r l ，但是l 完备，故a d 。1 l 是l 的内导子那么即 j z l l ，s a 屯i l = a 屯。于是有【l ，z z 1 1 = o 即z z l 玩( l ) ，故n = l o 玩( l ) 显然磊( l ) 与a l 同构，因而与b 同构，由此知n 是b 通过l 的平凡扩张。 1 0 引理3 ，1设l e m 代数l 分解为两个理想的直和，即 l = l 1 0 l 2 ， 则有 ( 1 ) z ( l ) 有分解 z ( l ) = z ( l 1 ) oz ( l 2 ) ， ( 2 ) 若z ( l ) = o 则 a d 6 = a d l lo a d 2 ， d e 儿= d e r l l 0 d e r l 2 ， ( 3 )l 完备# 辛l 1 与l 2 都完备。 证明 ( 1 ) 因为陋( l 1 ) ，z ( l ) 】f l ，l j l 1 ，且 f l z ，f z ( l ) ，z ( l ) 】f f l l ，z ( l t ) ，z ( l ) 】一 f l z ，z ( l ) ，z ( l 1 ) ) = o ， ( 1 0 ) ( 1 1 ) ( 1 2 ) 所以【z ( l - ) ，z ( l ) z ( l 1 ) ，即z ( l ) 是z ( l ) 的右理想；又因为队，l 2 = l z ，l 。】= o 所以瞄( l ) ，z ( l 1 ) 】z ( l 1 ) ，即z ( l 1 ) 是2 ( l ) 左理想从而z ( l 1 ) 是z ( l ) 理想同理 z ( l 2 ) 也是z ( l ) 理想而z ( l 1 ) n z ( l 2 ) = o ，所以 z ( l 1 ) oz ( l 2 ) z ( l ) 现设。z ( l ) 以及z = z 1 + z 2 ，z ，l ；，t = 1 ，2 由于【l 1 ，l 2 1 = o 我们有 【l l ，z 1 = l l ，z z 2 = l 1 ，口 一 l 1 ，z 2 = o 故z l z ( l 1 ) 同理z 2 z ( l 2 ) 因此( 1 0 ) 式成立 ( 2 ) 对d d e 儿l ，将其扩充到l 的线性变换如下： d ( q + z 2 ) = d ( z i ) ，v 厶，i = 1 ，2 显然d d e 儿这样可以认为d e r l l d e r l 易知 d d e r l l = = d z 2 = o ，v 茁2 l 2 类似的，d e r l 2 d e r l 且 d d e r l 2 车= 亭d = o ，v 姐l 1 因而我们有 d e r l l + d e r l 2 d e r l ， 及 d e r l ln d e r l 2 = 0 现证对i = 1 ，2 ，有d ( l 。) k ，v d d e r l ，设甄l i ，i = l ，2 则 d z l ，z 2 j = d ( 扛1 ，z 2 ) 一陋l ，d z 2 】= 一陋l ，d 施 l 1n l 2 = o 即 d z l ，。2 = 陋l ，d 。2 = o 从z ( l ) = o 及z ( l ) = z ( l 1 ) oz ( l j ) 知，z ( l 1 ) = z ( l 2 ) = 0 所以d z 2 = 0 ，即 d d e r l l 也就是d ( l 1 ) l 1 同理由 d z 2 ，嚣l j = d ( 地，z 1 】) 一陋2 ，d z l = 一陋2 ，d z l j l l n l 2 = o 知d ( l 2 ) l 2 下证对于i = l ，2 ，d e r l 。是d e r l 的理想设d l d e 儿l ，d d e 儿，z 2 l 2 ，于是 【d ，d l 】( z 2 ) = d d l ( z 2 ) 一d l d ( z 2 ) = o 所以 d ，d 1 d e r l l 同理 d l ，d 】d e r l l 即d e r l lqd e r l 类似有d e r l 2q d e r l 最后证d e r l l + d e r l 2 = d e r l 事实上，若v d - d e r l ，令z = z 1 + z 2 ， 其中。，k ，i = 1 ，2 定义d 】，d 2 如下： d l ( n + 。2 ) = d ( z 1 ) ，d 2 ( 研+ z 2 ) = d ( z 2 ) 易知d 1 铷= o ，d 2 z l = o 即得d l d e r l l ，d 2 d e 儿2 ，且d = d l + d 2 从而d e r l = d e r l lo d e r l 2 那么立即有a 屯= 8 d l 。oa d l 2 ( 3 ) 如果l 是完备的，则z ( l ) = o ，d e r l = 8 d l 因而由结论( 1 ) 知z ( k ) = o ( t = 1 ，2 ) 又由结论( 2 ) 知 8 d 己10 8 d 如= d e r l io d e r l 2 而由证明过程我们知d e r m ) k ，t = 1 2 故有d e r l 。= a d l i ，i = 1 ，2 从而k 0 = l ，2 ) 是完备的。 现假设l ；0 = 1 ，2 ) 是完备的由结论( 1 ) 知 z ( l ) = z ( l 1 ) o z ( l 2 ) = o ， 再由结论( 2 ) 知 d e r l = d e r l lod e r l 2 = a d l l0a d 如= a d 工， 所以l 是完备的证毕 我们知道，单李代数是李代数中的一个重要理论，相似的单l e i b 代数的定义也是重 要的由于非李代数的l e i b 代数有一个固有的非零理想i ( 见例3 ) ，因此a b d y l c a 8 s y m o v a 和d z h u m a d i l d a e v 在文献【1 1 中给出了单l e i b 代数的一种定义： l e i b 代数l 叫做单l e i b 代数如果它只有如下理想：o ，i ，l 但是，对于l e i b 代数l 来说，i 是l 的个固有理想，那么易知z l ( i ) 也是l 的一个 固有理想，所以在本文中如下定义单l e i b 代数： 定义31 ，4l e i b 代数l 口q 做单l e i b 代数如果它只有如下理想：o ，i ，z l ( i ) ，l 特别的，当i = 0 时，上面的定义就与单李代数的定义一致 由参考文献 2 可知，对于任意完备李代数l ，它都能分解为理想的直和，其中每个 理想都是单完备的下面我们就只考虑完备的非李代数的l e i b 代数的分解及其唯一性 定义31 ，5 l e i b 代数l 叫做不可分解的，如果它只能分解为平凡理想的直和否 则l 叫做可分解的 注意：当完备l e i b 代数l 对i ( 定义如例3 ) 有理想直和分解时，由定理3 1 ，1 及引 理3 1 易知分解形式必为 l = 1 0z l ( i ) ( 1 3 ) 定义3 ，1 ，6如果完备l e i b 代数l 的完备理想只可能是平凡理想，则称l 是单完备 l e i b 代数 定理3 1 2( 1 ) 一个完备l e i b 代数l 是单完备的钳l 是不可分解的 ( 2 ) 任何完备l e j b 代数都髓分解为理想的直和，其中每个理想均是单完备l e i b 代 数。 证明( 1 ) = 寺设l 是单完备的l e i b 代数假设l 是可分解的，则由引理4 1 知， 由l 分解的理想都是完备的，这就与l 是单完备的矛盾因此假设错误，故l 是不可分 解的 一显然 ( 2 ) 设l 是任意一个完备的l e 沁代数 若l 是单完备的，则由结论( 1 ) 知l 是不可分解的，从而结论( 2 ) 显然成立 若l 不是单完备的，则d i m l 2 对l 的维数进行归纳 1 3 当d i m l = 2 时，易证结论( 2 ) 成立假设d i m l n 时结论( 2 ) 成立，则出m l = n + 1 时，由l 不是单完备的可知，l 必有非平凡的完备理想，不妨记为j ，1 d i m j n 设 玩( j ) 为j 在l 中的右零算子则由定义1 5 下面的讨论知，z 工( j ) 是l 的理想。由 定理3 1 1 结论知，l = j o 乙( j ) 是玩( j ) 通过j 的平凡扩张再由引理3 1 ( 3 ) 知， j ，邑( j ) 是完备的由于1sd i mj n ，lsd i m 况( j ) n 则由归纳假设知，j ，况( j ) 可分解为理想的直和，且每个理想均是单完备l e i b 代数。由此，完备l e i b 代数l 都能 分解为理想的直和，其中每个理想均是单完备l e i b 代数得证 3 2 完备l e i b 代数分解的唯一性 引理3 21设l e i b 代数l 有分解如( 9 ) 式。a 是l 的子代数，且l l a 则 d = l l o ( l 2 n 口) 且d q l = = 辛( n l 2 ) 司l 2 证明容易验证l 2 no 是。的理想，那么易知o = l - 0 ( l z nn ) 成立 由定理1 1 立即可得n q l 斜( l 2 nn ) 司l 2 定义3 2 ，1 如果l e i b 代数l 的自同态妒满足 妒( i 。，f ) = 【垆( 。) ，g 】= 扛，妒( g ) ，比，g l 则称妒是l 的l 一自同态 例4设l e i b 代数l 有分解l = l l0 l 2 ，k ( 2 一l ，2 ) 是l 的理想，对此分鳃，设 l 到l 1 的投影为7 r ，则w 是l 的l 自同态。 事实上，对v 。= z l + z 2 l ， 掣= 可1 + ! 2 l ，z t ，玑l 。，i = = 1 ，2 有 7 r ( 【。，9 ) = ”( 。) ，胡= i ，( g ) 】，地，”l 引理3 2 ，2 设妒是l e i b 代数l 的k 自同态贝g 存在n 使得 ( 1 )l 有理想直和分解 l = k e r 妒8 0 i m 妒。， ( 2 ) 进一步，若l 只有分解l = l o o ) ，则有 = o ，妒a u t l 1 4 证明( 1 ) 记妒的极小多项式为，( 柚= a 9 ( 土) ，这里a 与9 ( ) 互素于是存在 多项式( 入) ， ) 使得 ( a ) 9 ( a ) + 甜( a ) a 2 = l 因此 可= 缸( 妒) 9 ( 妒) 可+ 钉( 妒) 妒掣，v 工 丽且 ( 妒) 9 ( 妒) 可l 蝌妒2 ，口( 妒) 妒。掣i m 妒 这样我们得到 l = k e r 妒+ i m 妒k 如果k e r 矿n i m 矿，则有o l 使得妒= o ，g = 矿g o 所以 掣= 钍( 妒) 9 ( 妒) 妒2 挈o + 盯( 妒) 妒。可二“( 妒) ，( 妒) 加= o 因此 l = k e r 妒 i m l p 从妒是l 的l 自同态，易知矿也是l 的l 广自同态由此可知k e r 矿是l 的理想。下 证i m 扩是l 的理想设9 i m 扩，则有g o l 使得9 = 妒于是对于任何z l ，我 们有 k ，引= p ，妒蜘】= 妒2 ( k ，自 ) i m 妒。； 陌，z j = 妒。如，卅= 妒2 ( 【o ，叫) i m 妒2 即i m 扩是l 数理想。由此结论( 1 ) 得证。 ( 2 ) 如果只有分解l = lo o ，则由( 1 ) 知k e r 矿= l 或i m 扩= l 前者意味着 矿= o ；后者意眯着矿a u t l ，所以妒a u t l ，得证 引理3 2 3设l 是只有分解l = lo o 的l e i b 代数又妒1 ，忱，胁与 耋1 慨u = 1 ，2 ，n ) 都是l 的【广自同态，且 妒1 + 妒2 + + + 妒n = i d 贝有i 使得妒i a u t l 证明我们对n = d i m l 进行归纳来证明。当n = 1 时，显然成立当n 22 时，因为妒1 + 忱= i d ，所以妒1 ( 吼+ 妒2 ) = ( 妒l 十妒2 ) 妒1 ，于是吼仰= 妒2 l p l 现在假设 1 5 奶，妒2 毛a u t l 由于l 只有分解l = l o o ) ，利用上一引理的结论( 2 ) ，我们有。0 = l ，2 ) 使得涝= o 取 l + 乜则 j d = ( 机+ 妒z ) = g ) 妒：。况= o 1 = u 由此推出矛盾，即 i 。1 a u t l 或忱a u t l 当n 2 时，令妒= ；碧峨故妒，均是 l 的工广自同态，且妒+ = i d 因而，利用n = 2 时的讨论得a u t l 或妒a u t l 当a u t l 时，此引理成立；当妒a u t l 时，有妒，_ p l 妒- 。，_ p 。一1 妒一1 也都是l 的 l 一自同态，且蝌协妒一1 = i d - 由归纳假设，有 使得妒t 妒一1 a u t l ，因此蛾a u t l ， 定理3 2 1设l 是一个右零化子为零的l e i b 代数又设l 有理想直和分解： l 盎4 1 04 2 0 o 口m ( 1 4 ) 与 l 26 1 0b 2 0 - ob 。 ( 1 5 ) 其中n l ，a 2 ，和b l ，b 2 ，k 的理想直和分解都只有本身和 o ) ，则 并且，如必要经过重新排列后有 啦= b l ，t = 1 ，2 ，一，m 证明 对nd i m l 用归纳法证明当札= 1 时，即l 只有分解l = lo o ) 所以 m2n = 1 ，0 1 = 6 1 = l 现在假设n 1 ，自然也有m 1 对于分解( 1 4 ) ，将l 在a 1 上