（基础数学专业论文）全平方数集上自然数分解的指标的均值问题.pdf

山东师范大学硕士学位论文 全平方数集上自然数分解的指标的均值问题 张璐璐 ( 山东师范大学数学科学学院，济南，山东，2 5 0 0 1 4 ) 摘要 毂论甲的一个经典l 司越是研究目然数分解指标的均值l 司越，兵计冗具硐亘要 的理论意义对任一整数礼2 ，令：a ( 佗) = 者稀为自然数他的指标分解这里 7 ( n ) = 1 7 p i n p ，久( 1 ) = 7 ( 1 ) = 1 许多人研究了入( 佗) 的均值问题 d ek o n i n c k 和d o y o n 6 】首先证明了 ) = x - f c 毒+ 0 ( 去) n x v e 1 u 6w 和 三一( 礼) = z + d ( 去) ，n z 一 这里c = p 老0 7 5 5 3 6 这两个渐近公式表明入托) 的平均阶是1 d ek o n i n c k 和k 毛t a i f 证明了 a ( n ) 2 剪+ d ( 忐) x n x + y 。 和 e h a - 1 ( 佗) 2 耖+ d ( 去) ， x n x + u 这里y = x 1 5 l 0 9 3z 当y = 面时，他们证明了对任意的自然数r 1 ，存在可计算 的常数c l ，c r ，d 1 ，西有 一坳) = 何+ 勺最删最) z n e x + v x j 2 1 。 和 ， 一一 一r 1 ( 牡面+ 而最+ d ( 最) x n x + v - i j 2 1 。 后来他们证明了 。 乏砸h + j = l 弓毒+ d ( 赤) 7 l z v b v o 山东师范大学硕士学位论文 和 r 一(啦z+弓丧+d(南)，nx i = i 。b 。b 这里弓，弓0 1 ) 为可计算常数 翟文广【2 0 】利用s e l b c r g 方法研究了入( 佗) 的高次均值的渐近公式并改进了d e k o n i n c k 和k 毛t a i 的结果 对任意固定的的自然数k 1 ，他证明了 f = 一即) l o g k z d z - t - 0 + ) ， 三r 锄) 一+ 喜妒( 0 ) z z 蕊d z 删矗如) ，n 气霉 j 2 1 这里 日( 2 耳( 1 一如+ 南) ( - l r u 0 ，我们有 n x 一协) = 端2 + 扣z 茹丽d z + 扣z 。丽d z + p k - - 1 ，z 霉丽d z 憾， 其中 r 七( z ) ：d ( x l 4 e 一6 l o g 鲁茁l o g l o g 一吾z ) ， a k , j ，b k ，j ：c k ，j 为可计算的常数 余项中z 的幂次 由( ( s ) 函数的非零区域决定，目前很难改进但在黎曼假 山东师范大学硕士学位论文 设下，我们可以对余项- r k ( x ) 寻求更好的上界利用解析方法和指数和得到了 定理2 在黎曼假设下，对任一固定的整数k 1 ，有 矗k ( z ) = d ( z + e ) 法 关键词：自然数的分解指标；全平方数；d i r i c h l c t 卷积方法；指数和；解析方 分类号： 0 1 5 6 4 3 山东师范大学硕士学位论文 t h em e a nv a l u eo ft h ei n d e xo fc o m p o s i t i o n o fa ni n t e g e ro v e rt h es e to fs q u a r e - f u l ln u m b e r s ，l u l uz h a n g t h es c h o o lo fm a t h e m a t i c a ls c i e n c e ，s h a n d o n gn o r m a lu n i v e r s i t y j i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，p r c h i n a a b s t r a c t t h em e a nv a l u eo ft h ei n d e xo fc o m p o s i t i o no fa ni n t e g e ri so n eo ft h em o s ti m - p o r t a n tc l a s s i c a lp r o b l e m s ，i t ss t u d yh a sp r e t t yg o o ds i g n i f i c a n c ei nt h e o r y f o re a c h i n t e g e rn22 ，l e ta ( n ) = 虹l 0 9 7 ( n ) ，w h e r e - y ( n ) = i - i p i 凡p ，w ew r i t e 入( 1 ) = 7 ( 1 ) = 1 m a n yp e o p l es t u d i e dt h em e a nv a l u eo fa ( n ) d ek o n i n c ka n dd o y o n 6 lf i r s tp r o v e d a n d n o入( 佗) = z + c 去+ d ( 去) n za = z + d ( 毒) ， w h e r ec = p 耦0 7 5 5 3 6 t h e s et w oa s y m p t o t i cf o r m u l a si m p l yt h a tt h e a v e r g e ro r d e ro f 入( n ) i s1 d ek o n i n c ka n dk a - - 7 p r o v e d ，娶入( n ) 2 + d 面y ) 霉 n s 茹+ 譬 u a n d 川n ) 2 剪+ d ( 面y ) ， x n 1 a n d 4 t h e r ee x i s tc o m p u t a b l ec o n s t a n t se l ，c r ，d l ，d rs u c ht h a t ，三层坳) = 历+ 勺最+ d ( 最) j = l善 t i z + 面。o 一 入。1 ( n ) = 石+ 王 n 茎z + , 7 r j = x也蕞+ d ( 卫l o g + x x 山东师范大学硕士学位论文 a n d t h e nt h e yp r o v e d 入( 几) n z 一+ 弓隶+ d ( j - - 1 v o a - 1 m ) = z + r n 卫 j = l l o g 什1 z 索+ d (1 0 9 7 + 1 x w h e r ec ：，4 ( j 1 ) a r ec o m p u t a b l ec o n s t a n t s u s i n gt h es e l b e r gm e t h o dz h a iw e n g u a n g 2o 】p r o v e dt h eh i g h e rm o m e n t so f 入( 礼) a n df u r t h e ri m p r o v e dt h er e s u l t so fd ck o n i n c ka n dk 矗t a i f o re a c hi n t e g e r 七1 ，h ep r o v e d 入知( 他) = z i k ( h ，z ) 1 0 9 kz 出+ d ( z h n x 。 w h e r e i k ( f ，z ) = a “( n ) n z= z + 勘删( 0 ) z z 丽d z l + d ( 抄c ) j = v 二v o ( - 1 r u 0 ，s u c ht h a t a 以( 佗) ，2 ( 礼) = n z器2 + 磐z z k - 1 ，z + k ， j = o 。 d z z 3 4 l o g jz d z z l 2 l o l z + 风( z ) ， + j = o tt d z z 2 3 l o g jz 山东师范大学硕士学位论文 w h e r e r k ( z ) ：o ( x 1 4 e - 6 l o g 鲁x l o g l o g - 吾x ) ， a k ，j ，巩，j ，c 南，j a r ec o m p u t a b l ec o n s t a n t s t h ee x p o n e n t j 1 i nt h ee r r o rt e r md e p e n d so nt h en o n e - z e r od o m a i no f ( ( s ) ， w h i c hc a nn o tb ei m p r o v e dn o w b u tu n d e rt h ea s s u m t i o no ft h er i e m a n nh y - p o t h e s i s ，w ec a ns e e kb e t t e ru p p e rb o u n df o rt h ee r r o rt e r mr k ( z ) u s i n ga n a l y t i c m e t h o da n de x p o n e n t i a ls u mw eg e t t h e o r e m2u n d e rt h ea s s u m p t i o no ft h er i e m a n nh y p o t h e s i s ，t h e n 风x ) = o ( z 吉如) k e y w o r d s ：i n d e xo fc o m p o s i t i o no fa ni n t e g e r ；s q u a r e - f l f l ln u m b e r ；d i r i c h l e t c o n v o l u t i o nm e t h o d ；e x p o n e n t i a ls u m ；a n a l y t i cm e t h o d 6 c l a s s i f i c a t i o n ：0 1 5 6 4 山东师范大学硕士学位论文 符号说明 文中未加说明的字母均表整数以下是文中用到的符号的通用意义，个别地方 有不同含义则将明确说明 n c ，c o ，a ，q ，6 p i x ， z ) 妒( z ) n 兀p l 磊l + l n s n n n ( ( s ) e f ( x ) g ( x ) r e 全体自然数，即正整数组成的集合 固定正常数 表示素数( 不可约数) 分别表示实数z 的整数部分和小数部分 【z ) 一圭 表示对不超过实数z 的正整数佗求和 对所有的素数p 求积 表示1 麟s j i v i e 1z , , l 表示n 仃s2 n 表示r i e m a n n - z e t a 函数 表示任意小的正常数，在不同式中不必相同 丑pf ( z ) = = o ( 夕( z ) ) 表示复数u 的实部 7 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得( 注：如没有其他需要特 别声明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名：揪璐毋皂 导师签字。 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人 授权学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用 影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文( 保密的学位论文在解密后适 用本授权书) 学位论文作者签名： 张于魑蕊 签字日期：2 0 0 f 年年月3 日 二j 山东师范大学硕士学位论文 全平方数集上自然数分解的指标的均值问题 问题介绍 1 引言 任意自然数n 2 ，令； a ( n ) 2 南为自然数n 的指标分解，这里7 ( 佗) = 兀咖p ，a ( 1 ) = 7 ( 1 ) = 1 从自然数分解的指标中我们可以看出其素因子的可乘性 自然数分解指标的均值问题是数论中的重要问题之一，许多人研究了a ( n ) 的渐近 性质 d ek o n i n c ka n dd o y o n 6 1 首先证明了 乏坳) - - - - x + c 去+ d ( 去)t l z u 一o 一 和 一 圣a 。1 ( n ) = z + d ( 去) ， 一 n 气正 一 这里c = p 老0 7 5 5 3 6 这两个渐近公式表明入( n ) 的平均阶是1 d ek o n i n c k 和k 磊t a i 7 证明了 ，三。入( n ) 2 耖+ d ( 忐) 茹 几z + 掣 u 和 a 。( 佗) = 3 ，+ d ( 忐) ， x n x + y 。 这里y = x l 5 l 0 9 3z 当y = 何时，他们证明了对任意的自然数r l ，存在可计算 的常数c 1 ，c r ，d l ，西有 。，互侄) = 西+ c j 最+ 0 ( 岳) j = l z n s z + 、z u口 和 f 一 一 。，薹在r 1 ( 垆正+ 吗最+ d ( 最) j = lz t l s z + 、肛 口口 后来他们证明了 三洳一+ 弓丧+ d ( 南) ，j = l tlzb一b w 8 山东师范大学硕士学位论文 一(垆z+弓隶+o(赤)，nxj = l vb一。b一 这里c 知g 1 ) 为可计算常数 后来翟文广1 2 0 利用s e l b e r g 方法研究了入( 佗) 的高次均值的渐进公式，对任意 固定的自然数k 1 ，有 妒( n ) = 。厶( 如) 1 0 9 kz d z + 争f ) 一(咖z+驴k日(0)z王袅+d(疹()nxf = 1 ”b 这里 日( u ) 2i i ( 1 一扣+ 寿) ( 一1 r “ 0 ，我们有 n一胁)=端2+砉z蕊+z王丽x d z k d z r 七( 毗( 牡端胆+ 三上丽而+ 荟z 两再 + 驴k - 1 z 。丽d z 懒， 这里 n k ( z ) ：o ( x l 4 e - 6 l 。g 暑卫l 。g l 。g 一吾z ) ， 9 山东师范大学硕士学位论文 a k ，j ，b k , j ，c k ，j 为可计算的常数 注记：这里余项中z 的指数 是由e ( 5 ) 函数的非零区域决定的因此我们可 以研究在黎曼假设下余项会有怎样的上界 利用解析方法和指数和估计，证明了 定理2 在黎曼假设下，对任一固定的整数k 1 ，有 r k ( x ) = d ( z 言和) 2 基本引理 下面是本文需要用到的一些基本引理 引理2 1 设f ( u ) 为【a , b 】上三次连续可微函数，则 ，( n ) = ，( 乱) a 池一，( 6 ) 妒( 6 ) + 厂( 口) 妒( 口) + 矽1 ( 6 ) ，7 ( 6 ) 一妒1 ( o ) ，7 ( 口) 一砂l ( ) ，( u ) d u ， a 一 0 ，有 l f l ；( s ) = o o o g tl o gl o g r ) ， 这里盯1 一c l o g 一；t l o g l o g 一吾，t o ts t 证明见a i v i c 1 ，第十二章4 引理3 引理2 3 设k 1 为任一固定整数，我们有 ( ( k ) ( s ) = o ( ( 1 0 9t ) ( 2 3 ) ( 缸+ 1 ) + ) ， 这里盯1 一c l o g 一詈t l o g l o g 一吾t ，t o t t 证明见a i v i c 1 1 ，第十二章4 引理4 引理2 4 设n 王，( 礼) = m ( z ) + d ( e ( z ) ) ，这里m c 1 【1 ，o o ) ，对任意固定 的整数j 0 ，我们有 f ( n ) l 。一几= m 亿) l 。g z + o ( e ( x ) l 。z ) - n x 。 1 0 证明利用a b e l i a n 求和公式易证 引理2 5 对任意的4 0 之2 ，有 妒( t ) = 口( 尼) e ( + d ( 6 ( 1 ) e ( 砒) ) + d ( 索) ， l _ l h l _ h o l 0 ，0 h t 冬h 2 ，令 l ( 日) = a i h a l + 马日_ 川， i = 1j = l 则存在唯一个h ，h i h 玩，使得 l ( 日) ( a 霹) 南+ a h q i + 马日一 ，一-1ii=1 j = l i = 1 证明参见【1 5 】引理4 1 引理2 8 设口为复变量，且r v 一1 ，有 f ：e ( 一u ) + 望一圹砂( y ) + u 妒l ( 耖) s v - 1 + d ( y 肌2 ) = e ( 一u ) + 一圹砂( y ) + u 妒l ( 耖) s 1 + d ( y m 卅) n s v 证明利用a b e l i a n 求和公式易证 引理2 9 设f ( ) = n te ( ，( 赡) ) ，8 1 为任一固定实数，我们有 n - a u e ( ，( 扎) ) n - a r u m + e 时绝对收敛 证明因为7 ( 礼) ，2 ( 凡) 均为可乘函数，由欧拉乘积我们得到 g c s ，u ，= 耳c 1 + 学+ 学+ 学+ 学+ ， = i 。i ( z + 声p i t + 蒡+ 蒡+ 声p u + 蒡+ 蒡+ ) = i 。i ( ，一嘉) - 1 ( - 一击) ( 1 + 嘉+ 嘉+ 击川 训2 ) 耳( + 去+ 击+ 万1 + 一万1 一寿一南) = ( ( 2 s - u 州3 ) p 击+ 矛1 + 一芦1 一毒一南) = ( ( 2 s - u ) ( ( 3 州4 s 叫即击+ 万1 + + 芦1 一嘉) = 坠篙篙产型i 。i ( - + 击一嘉+ 击+ ) 1 2 山东师范大学硕士学位论文 一( ( 2 s - u ) 川( ( 3 。s - u ) 、( ( 4 s - u ) g ( s ，札) ，一 ( ( 4 s 一2 乱) l s 札j 其中g + ( s ，让) 表示为d i r i c h l e t 级数时在r s = 盯 - t - e 时绝对收敛 引理3 2 设i 1 0 ，i 2 0 为任一固定整数，我们有 l o g nm l o g 砣扎 m 2 n 3 z = x l 2 p i 。( 1 0 9x ) + x l 3 q i 2 ( 1 。gz ) 一l o g i lm l 。g i 2 ( 景) 1 3 妒( ( 嘉) 1 7 3 ) m z 1 6 一l o g t 。27 1 , l 。g i l ( 嘉) 1 2 妒( ( 嘉) 班) 一l o g 1 砒g 2 ( 景) 们妒( ( 嘉) 1 3 ) + d ( ) ， n x 1 5n z 1 o 其中r ，( 1 0 9 z ) ，q i ：( 1 0 9 z ) 是与l o g x 有关的多项式 证明设u ，t ，是复数，且l u l ，川 e ，由双曲求和得 fm q 矿：fm uf+ f fm u fm uf ：jt ：1t j ：j m 2 n 3 z m x l l b n s ( 素) 1 3 n z l 5 m ( 素) 1 2 m x 1 5n x 1 5 = + 一 ( 3 1 ) 首先处理l ，由引理2 8 得 拈( ( _ 卅堂寰兰。m 一警州嘉) l 3 ) + 0 ( ( 嘉) 学) n ( 寿) v 3 从而 = ( ( 一t ，) m 1 + 羔m p ；( 1 刊 1 m z 1 5 工。v m o ，t l i 4 0 g 屯s ) = 业掣， 则存在绝对常数c x 0 ，我们有 9 0 ( n ；i 3 ，i 4 ，i 5 ) = x l 4 只i 3 + i 4 ( 1 0 9x ) + a c 岷钏5 ) ( z ) n 0 为常数 根据留数定理易知，被积函数在8 = 1 4 的留数为x l 4 只。+ i 4 ( 1 0 9 x ) j 我们有 熹z 坩g 轧氟5 ) s - 1 删s = z 1 4 p i 3 - - i 4 ( 1 。g z ) + j r l + 1 2 + 1 3 ， ( 3 7 ) 1 4 山东师范大学硕士学位论文 这里 = 互1 ，。，f 。一a - ；r i rg 0 ( i 3 , i 4 , i 5 , s ) s l z 8 d s ， = 熹e g 。( i 3 , i 4 , i 5 , s 矿韬d s 一 1 1 32 t j 二d 五 g o ( i 3 ，趣，i 5 ，s ) s 一1 2 3 d s 。 首先处理( 3 8 ) 中第一个和第三个积分式子 根据引理2 2 ，2 3 有 i l l + 吲小。( i 3 , i 4 , i 5 , a - i t ) i 。x 仃l a - i t i - 1 如 ( 1 0 9t ) 2 卢。3 + 2 n ) + 1 0 弘枉t 。1 矿打 _ ，n x l 4 t 一1l o g i 3 + 2 i 4 + 警托t 最后处理( 3 8 ) 中第二个积分式子 根据引理2 2 ，2 3 有 ，i r 2 l ( ，一r 厂1g o ( i 3 j o 由( 3 6 ) 一( 3 1 0 ) 式，有 n 0 有 4 一l s + 2 针鼾z 4 e 印( 一去1 。g 。g l 。g 一 矾 z 口l o g t 3 + 2 4 + 孚+ t z 1 4 e x p ( 一c 1l o g zl o gl o g 一百1z ) ( 3 1 2 ) 由( 3 6 ) ( 3 1 2 ) 知，引理得证 1 5 山东师范大学硕士学位论文 命题1 设忌1 为任一整数，存在绝对正常数占，我们有 l o g 七7 ( 礼) 庀( n ) 扎o ：z 1 s r k ( 1 。g z ) + z l 3 r ；( 1 。g z ) + x 1 4 r ：- 1 ( 1 。g z ) + o ( z l 4 e - 6 l o g 鲁x l o g l o g - 吾z ) ， 其中砭( 1 0 9 x ) ，r ；( 1 0 9 x ) ，域= i l ( 1 0 9 x ) 是与l o g x 有关的多项式 证明设复数i u i 1 5 + e 时绝对收敛 设五( z ) 0 = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ) 为定义域内解析函数，对任一固定自然数k ，由l e i b n i z 公式得 ( 0 ) ，2 p ) 厶( z ) ( z ) ，5 ) ) ( 七) l + i 2 + i a + t 4 + 如 。i l ! i 21 i a ! i 41 i 5 = 甩 硝0 ) 允2 ( z ) 矗i 3 ( z ) 蠢4 ( z ) 矗6 ( z ) ( 3 1 4 ) 对( 3 1 3 ) 式应用( 3 1 4 ) 式和引理2 1 0 ，并令u = 0 得 o o 其中 0 0 l o g 七7 ( 札) ，2 ( 佗) _ - 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