（通信与信息系统专业论文）基于非线性提升小波的图像压缩.pdf

摘要 随着互联网的普及和图像应用范围的不断扩大，对图像压缩编码算法提出了新的要求，即不仅 要求具有高的压缩比，还要求有许多新的功能，如渐进编解码、无损压缩等。传统d c t 变换和第一 代小波变换对图像数据进行变换后的结果是浮点数，压缩前需要进行量化处理从而引入误差，难以 实现真正的无损压缩。第二代小波构造方法一提升方法( l i f t i n gs c h e m e ) 能够实现整数小波变 换，不需要对变换后的数据进行量化处理，可以实现真正的图像无损压缩。同时，嵌入式零树小波 编码能较好地实现渐进编解码、无损压缩等功能。近年来，在嵌入式零树小波编码( e z w ) 算法的基 础上出现了许多新的改进算法，如s p i h t ( s e t p a r t i t i o n i n g i n h i e r a r c h i c a l t r e e s ) 编码算法等。 本论文主要研究了提升小波的基本原理和利用提升方法构造第二代小波的方法，以及图像小波 零树编码的原理和实现方法。对s p i h t 算法在静态图像压缩编码中的性能和实现方法进行了研究， 并针对图像的有损压缩对非线性提升小波的实现结构进行了改进。论文主要讨论了阻下两个问题： 1 深入研究了图像小波零树编码的思想和原理，对文献中没有提及的子孙树的生成算法以及扫描 步骤的有效实现结构进行了研究，在实现s p i h t 算法的过程中，寻找一种存放不重要节点列表 的数据结构以及相应的子孙树生成算法，该结构可以显著降低算法中的扫描次数，提高编码效 率。 2 深入研究了提升小波的基本原理和利用提升方案构造第二代小波的方法，并对使用非线性算子 ( 如最大值，最小值等) 构造的非线性提升小波的性质和特点进行了分析。结合s p i h t 编码算 法，我们通过计算机仿真实验对这类非线性提升小波在图像有损压缩和无损压缩方面的性能进 行了对比分析。实验结果表明，这类小波在图像无损压缩方面有着良好的性能。同时，针对图 像有损压缩，提出了一种改进的非线性提升小波实现结构。仿真实验结果表明，该实现结构应 用在图像有损压缩时，恢复图像的峰值信噪比和主观视觉效果均有明显提高。 关键词小波变换，提升方法，非线性小波，图像编码无损压缩，零树，s p i h t 算法 a b s t r a c t w i t ht h ee x t e n s i v ea p p l i c a t i o no f i n t e r n e ta n di m a g ep r o c e s s i n g ，s o m en e wr e q u i r e m e n t so ni m a g ec o d i n g ， s u c ha sh i g hc o m p r e s s i o nr a t e ，p r o g r e s s i v ec o d e c ，a n di o s s l e s sc o m p r e s s i o n ，a r et ob es m i s f i e d g e n e r a l l y ， t h et r a n s f o r mc o e f f i c i e n t s g e n e r a t e db y t r a d i t i o n a ld c tt r a n s f o r ma n dt h ef i r s t g e n e r a t i o n w a v e l e t t r a n s f o r ma r er e a ln u m b e r s w h i c hm e a n st i l a tw eh a v et oq u a n t i z et h e mt oc e r t a i ni n t e g e r sb e f o r ew e c o m p r e s st h et r a n s f o r m e ds i g n a l i nt h i sc a s ee f f i c i e ml o s s l e s sc o d i n gi s n o tp o s s i b l eb e c a u s eo ft h e n u m e r i ce i t o r sg e n e r a t e db yq u a n t i z a t i o n t h el i f t i n gs c h e m e ，t h es e c o n d - g e n e r a t i o nw a v e l e t t r a n s f o r m ， c a ne a s i l yy i e l dt h ei n t e g e rw a v e l e tt r a n s f o r m w i t h o u tt h eq u a n t i z a t i o ns t e p t h u sc a na c h i e v ee x a c t l o s s l e s sc o m p r e s s i o n m e a n w h i l e ，e z w ( e m b e d d e d z e r o t r e ew a v e l e t s ) a l g o r i t h mp e r f o r m sw e l lo nt h e s e f u n c t i o n si n c l u d i n gp r o g r e s s i v ec o d e c ，l o s s l a s sc o m p r e s s i o n , a n ds oo n , w h i c he s t a b l i s hi t s h i g hs t a t u si n i m a g ec o d i n g i n r e c e n ty e a s ，m a n y n e w l yi m p r o v e da l g o r i t h m sb a s e d o ne z wh a v eb e e nd e v e l o p e ds u c h 船s p i h t ( s e tp a r t i t i o n i n gi nh i e r a r c h i c a lt r e e s ) a l g o r i t h m i nt h i sp a p e r ，w em a i n l yi n v e s t i g a t et h et h e o r yo ft h el i f t i n gw a v e l e tt r a n s f o r ma n dt h ew a yt oc o n s t r u c t t h e s e c o n d - g e n e r a t i o nw a v e l e tt r a n s f o r mu s i n gl i f t i n gs c h e m e w ea l s os t u d yt h ew a v e l e tz e r o t r e e c o d i n gm e t h o d a f t e rt h a t , w ea p p l ya l lt h e s es t i l li m a g ec o m p r e s s i o na n d a n a l y z ei t sp e r f o r m a n c e t h e p a p e rm a i n l y c o n s i s t sf i v ep a r t s ： i w es t u d yt h ei d e aa n dt h ei m p l e t i o no f t h ew a v e l e tz e r o t r e ec o d i n gm e t h o d ，f o c u s i n go nt h ea l g o r i t h m o f b u i l d i n gp a r e n t - c h i l d r e n t r e ea n de f f e c t i v ed a t as t r u c t u r ei nt h es o r t i n gp a s s ，w h i c ha r en o tm e t i o n e d i nt h er e f e r e n c e s d u r i n gt h ei m p l e t i o no fs p i h tc o d e c ，w ef i n dam e t h e r dp r e s e n t i n gl i sd a t aa n d t h ec o r r e s p o n d i n g c h i l d r e n - p a r e n tt r e ea l g o r i t h m ，w h i c hc a ns p e e du p t h es o r t i n gp a s ss i g n i f i c a n t l y 2 w ed e e p l y i n v e s t i g a t e t h e t h e o r y o fl i f t i n gw a v e l e tt r a n s f o r m ，t h em e t h o do fc o n s t r u c t i n g s e c o n d - g e n e r a t i o n w a v e l e tt r a n s f o r m u s i n gl i f t i n g s c h e m e a n dw ea l s o a n a l y z e s o m e c h a r a c t e r i s t i c sa n dp r o p e r t i e se r a f a m i l yo f n o n l i n e a rl i f t i n gw a v e l e t sb a s e d o ns o m e s i m p l eo p e r a t o r s ， s u c h m a x - l i f t i n ga n dm i n - l i f t i n g w a v e l e tt r a n s f o r m u s i n gs p i h ta l g o r i t h m w et e s tt h e i r p e r f o r m a n c eo nb o t hi o s s l e s sa n dl o s s yi m a g ec o m p r e s s i o n i ts h o w s t h a tt h i sf a m i l yo fn o n l i n e a r w a v e l e tp e r f o r m sw e l li nl o s s l e s sc o m p r e s s i o n m e a n w h i l e ，w e i m p r o v et h e s t r u c t u r eo ft h e n o n l i n e a rw a v e l e tt r a n s f o r m t h es i m u l a t i o ns h o w st h a tt h i si m p r o v e ds t r u c t u r ec a nr e m a r k a b l y i n c r e a s ep n s ra n dv i s u a le f f e c t so f t h ei m a g ew h e ni ti si m p l i e do nl o s s yc o m p r e s s i o n k e y w o r d s ：w a v e l e tt r a n s f o r m s ，l i f t i n gs c h e m e ，n o n l i n e a rw a v e l e tt r a n s f o r m ，i m a g ec o d i n g ，l o s s l e s s c o m p r e s s i o n ，z e r o t r e e , s p i h ta l g o r i t h m i i 第一章绪论 1 1 提升小波简介 第一章绪论 小波分析是近年来从数学界到工程界都十分关心的一种分析方法，与传统的傅立叶分析相比， 小波分析在时域和频域同时具有庭好的局部化特性更便于我们分析信号的局部特征。小波的有效 性体现在用少量的小波系数就能获取数据集合中一些本质的特征。 传统小波是由同一母函数经过平移和伸缩运算而得到的一组函数。小波函数被定义为在r ( r ) 空间上的母小波甲( x ) 的二进伸缩与平移，即小波函数为：、壬，j , k ) = 甲( 2 7 x 一j ) 。有人称之为第 一代小波。为了处理图像信号，m a l l a t 将多分辨率分析推广n - - - 维情况。二维小波变换与一维小波 变换类似，分别对行和列进行一维小波变换。 但是，在实际应用中，第一代小波也存在一些问题： 1 信号经过第一代小波变换后的结果是浮点数。由于计算机有限字长的影响，往往不能实现 精确的信号重构。 2 对图像的尺寸有要求，并不能对所有尺寸的图像进行变换。 3 对内存的需求量较大。不适于用专用d s p 芯片实时实现。 4 第一代小波不能满足一些实际应用( 如对不规则采样数据、曲线、曲面等进行分析) 的要求。 实际应用需要我们将第一代小波普适化。1 9 9 4 年，w s w e l d e n s 提出一种不依赖于傅立叶变换的 新的小波构造方法提升方法【2 。它包含三个步骤：分裂、预测和更新，将输入信号切分为奇偶 两个序列后，交替使用奇( 偶) 序列对偶( 奇) 序列进行预测和更新得到更为简洁的数据表现形式。 同时，s w e l d e n s 和d a u b e c h i e s 还证明了任何具有f i r 结构的双正交小波变换都可以由l a z y 小波经 过有限步交替提升和对偶提升过程得到。进一步分析可以证明，任何具有f i r 结构的双正交小波变 换都可以由任意给定的双正交小波经过有限的提升和对偶提升获得【1 】。这样，提升结构使我们可以 用一种极其简单的方法去解释小波的基本理论，而第一代小波变换都可以通过e u c l i d e a n 算法得到其 等效的提升结构。同时，我们也可以根据自己实际情况来构造不同的小波。提升方法既能够保持原 有的小波特性，又能够克服平移伸缩不变性所带来的局限。它得到了小波变换的快速算法，并可实 现原位运算，有人称之为第二代小波。 与第一代小波相比，第二代小波具有许多的优越性，这体现在 1 提升小波的实现结构非常简单。 2 与传统小波相比，提升小波提高了运算的速度和效率。 3 ， 提升小波支持原位运算，从而节约了存储空间，适合嵌入式系统使用。 第一章绪论 4 使用提升小波可以方便的实现整数到整数的小波变换。 5 利用提升方法，我们可以方便的构造些非线性小波变换。比如在提升步骤中引入非线性 算子。利用提升方法，我们还可以构造自适应小波变换。 6 提升方法可以不依赖于傅立叶变换实现小波构造。 7 提升小波能很好地克n d , 波变换的边界问题。 1 2 图像j j 、波变换零树编码算法简介 在嵌入式零树编码算法e z w ( e m b e d d e d z e r o t r e ew a v e l e 0 1 6 】出现前，图像压缩，特别是有失真 压缩的计算复杂性与编码效率是同步增长的。然而，在1 9 9 3 年，j m s h a p i r o 所提出的e z w 算法 突破了该限制，编码十分有效，计算效率又高。近年，a m i rs a i d 和w i l l i a ma p e a r l m a n 提出的s p i h t ( s e tp a r t i t i o n i n gi nh i e r a r c h i c a lt r e e s ) 算法 1 7 1 在此基础上进一步提高了编码性能。而且，即使不使 用算术编码，s p i h t 算法仍可与许多复杂算法的性能相当。这两种方法都基于有效树量化 ( s i g n i f i c a n c et r e eq u a n t i z a t i o n ：s t q ) 技术。 e z w 利用了一幅图像的小波交换在不同级之间的相似性。s h a p i r o 假定：如果在低分辨率上的 一个小波系数是不重要的，所有在同一空间位置和方向上的系数也极有可能是不重要的。实验结果 表明，这个假定是相当有效的。s h a p i r o 把小波系数组织成一系列的四叉树形结构。零树根节点意味 着所有在此子树上的小波系数都是不重要的，因而除了要对树根进行编码外，其他的节点都不需要 编码。为了获得很低的比特率，零树根符号的概率必须很高。扫描从最低频率子带l l 3 ( 假定是三 级分解) 开始，结束于h i l l 。在移到下一子带之前，要把当前子带的系数全部扫描完，所有的父节 点先于子节点被扫描。显然，这种扫描方式在编码端和译码端都是一样的。 s p i h t 算法继承了e z w 算法的特点，但在两个方面有本质的不同；分割系数的方式和如何传输 有效系数的位置信息。s p i h t 算法把对有效系数位置的传输隐含在算法的执行过程之中，并因此可 以在允许峰值信噪比下降0 3 - - - 0 6 d b 时不采用算术编码，使编码速度更快。 s h a p i r o 和s a i d 在使用零树编码时都是假定在一棵子树中的系数可能会同时很小，在小波变换 下，这种假设与实际情况符合的很好，因而两种算法都获得了很好的性能。对小波变换解相关能力 的分析表明，小波变换具有很强的去相关能力，变换域系数的能量大部分集中在低频子带上，通过 采用子树结构对系数进行划分，把那些可能很小的系数组织在一起，形成一系列零树，对零树只需 用很少的比特进行编码，大幅度地提高了编码性能。 1 3 论文结构安排 第二章，阐述了数据压缩的基本方法，包括数据压缩的一般方法和压缩系统的性能评价方法等。 并介绍了子带编码实现的基本方法及特点。 第三章，一对第一代小波的基本理论，包括小波的定义，连续小波变换和离散小波变换以及小波 变换的基本性质进行简要描述，并对多分辨率分析的概念进行了讨论，最后介绍了一维小波变换和 二维小波变换的m a l l a t 快速算法。 2 - 第一章绪论 第四章，酋先对图像小波编码的基本思想和一般方法进行了论述，分析并讨论了图像小波变换 过程中的边界延拓方法。其次介绍了图像小波变换零树编码的思想、零树的概念、嵌入零树小波 ( e m b e d d e d z e r o t r e e w a v e l e t ，e z 算法和算法流程，并指出了e z w 算法在实现过程中存在的一些问 题。介绍了一种新的且性能更优的实现方法，即基于分层树集合分割排序( s e tp a r t i t i o n i n gi n h i e r a r c h i c a lt r e e s ，s p i h t ) 编码算法。对s p i h t 算法的一些基本特点，如渐进传输，分集排序等进 行了深入讨论，给出了s p i h t 算法的实现方法和步骤。最后，简要介绍了三维s p i h t 算法的基本思 想。 第五章。在深入研究s p i h t 算法原理的基础上，着重分析了实现s p i h t 算法的方法对文献中 没有提及的子孙树的生成算法以及扫描步骤的有效实现结构进行了研究。寻找到一种存放不重要节 点列表的数据结构以及相应的子孙树生成算法，该结构可以显著降低算法中的扫描次数，提高编码 效率。 第六章，首先介绍了l a u r e n t 多项式的概念以及对l a u r e n t 多项式进行带余除法的算法。其次引 入了多项矩阵的概念并详细阐述了通过提升方法构造提升小波的具体步骤和方法。然后介绍了将第 一代小波变换通过e u c l i d e a n 算法得到其等效的提升结构的方法和步骤。根据提升小波的构造方法以 及提升结构中预测算子和更新算子既可以是线性的，也可以是非线性的特点，可以利用一些简单的 非线性算子，如求最大值和最小值等，构造出基于最大值，最小值和中位数的提升小波变换。由于 非线性算子的引入，使得这些非线性提升小波有着一些与众不同的特点，例如可多级变换而不增加 低频子带的数据动态范围以及可较好的保存变换图像的几何特性等。本文分析了这一族提升小波变 换的性质，并对其主要特点进行了分析和总结。 第七章，首先通过试验，实现了基于最大值、最小值非线性提升小波，并分析了他们的一些基 本性质，同时与( 5 ，3 ) 小波的提升结构进行了对比。其次，运用s p i h t 算法，分析了基于最大值、最 小值非线性提升小波在图像的有损和无损压缩方面的性能。实验表明，基于最大值、最小值非线性 提升小波结构简单，易于实现，并且在图像无损方面有着较好的性能。在此基础上我们对非线性提 升小波进行了改进，通过对高通子带和低通子带进行不同比例的缩放，使能量更多的集中在低通子 带中。仿真实验证明，这种改进的结构可以有效提高这类小波在图像有损压缩方面的性能，使得在 相同的压缩比率情况下所得到的恢复图像有更高的信噪比和更好的主观视觉效果。 第二章数据压缩 2 1 数据压缩技术简介 第二章数据压缩 2 1 1 数据压缩的一般方法 所谓“数据”，通常是指信源所发信号的数字化表示或记录。“数据压缩”则是考虑以更少的 数码来“进一步表示”这样的原始数据。因此，数据压缩的方法一般包括图2 - 1 所示的三个主要步 骤： 原始数据一模型参数一、量化符号一压缩码流 叫建模表达卜一一建模表达叫建模表达卜+ 图2 一l敷据压缩的般步骤 1 ) 建立一个数学模型，以便能更紧凑或更有效的“重新表达”规律性不那么明显( 或本质性 不那么突出) 的原始数据。 2 )设法更简洁的表达利用该模型对原始数据建模所得到的模型参数( 或新的数据表示形式) 。 由于这些参数可能会具有无限的( 或更高的) 表示精度，因此可以将其量化为有限的精度， 将其称为“二次量化”。 3 )对模型参数的量化表示或消息流进行码字分配，以得到尽可能紧凑的压缩码流。此时的编 码要求能够“忠实的”再现模型参数的量化符号，称之为“熵编码”。 2 1 2 数据压缩的分类及方法 数据压缩方法种类繁多，可以分为无损压缩和有损压缩两大类。 无损压缩利用数据的统计冗余进行压缩，可完全恢复原始数据而不引入任何失真，但压缩率受 到数据统计冗余度的理论限制，一般为2 ：1 到5 ：1 。这类方法广泛用于文本数据、程序和特殊应用场 合的图像数据( 如指纹图像、医学图像等) 的压缩。由于压缩比的限制，仅使用无损压缩方法不可 能解决图像和数字视频的存储和传输问题。 有损压缩方法利用了人类视觉对图像中的某些频率成分不敏感的特性，允许压缩过程中损失一 定的信息；虽然不能完全恢复原始数据，但是所损失的部分对理解原始图像的影响较小，却换来了 大得多的压缩比。有损压缩广泛应用于语音、图像和视频数据的压缩。 在多媒体应用中常用的压缩方法有：p c m ( 脉冲编码调制) 、预测编码、交换编码( 主成分交 换或k - l 变换、离散余弦变换m t 等) 、插值和外推法( 空域亚采样、时域亚采样、自适应) 、统 计编码( h u f f m a n 编码、算术编码、s h a t m o n - f a n o 编码、行程编码等) 、矢量量化和子带编码等； 混合编码是近年来广泛采用的方法。新一代的数据压缩方法，如基于模型的压缩方法、分形压缩和 小波变换方法等也己经接近实用化水平。 d 第二章数据压缩 经常使用的无损压缩方法有s h a n n o n - f a n o 编码、h u f f m a n 编码、游程( r u n l e n g t h ) 编码、l z w 编码( l e m p e i - - z i v - - w e l c h ) 和算术编码等。 2 1 3 信号压缩系统的性能评价 记模拟信源输入信号为算( f ) ，其抽样值为孔；波形解码器恢复数字信号为y k ，经重建滤波器后 输出信号为_ y ( f ) ，显然，信号的逼真度可以为原始信号与重建信号之差值 e ( t ) = 工( f ) 一y o )( 2 1 ) 的函数。例如平稳过程e ( f ) 的方差，可简单称之为均方误差( m s e ) 。 2 = e f ) - 如 2 ( 2 2 ) 对于限带模拟信号的奈奎斯特抽样，信息没有损失，从分析方便出发，将质量评测点置于时间 离散子系统的输入、输出端。波形编码器的输入样值坼与波形解码器输出样值儿的差值以及均方误 差分别为 = 一m ( 2 3 ) = e ( 2 4 ) 可以证明，按照( 2 2 ) 定义的连续时间误差和( 2 4 ) 定义的离散时间误差在数值上相等。因此，对 编码波形质量的客观评价与优化设计更多的在离散时间域上进行，其标准客观度量是抽样信号方差 蠢对重建误差方差西的比值，称为信噪比( s n r ) ： s n r ( d b ) = 1 0 l 0 9 1 0 ( 蠢蠢)( 2 5 ) 对于图像编码而言，由于显示系统本身有降质且难以产生理想的二维重建波形，因而实际系统 中连续图像的数字样本，并非是所显示图像的奈奎斯特抽样。因此定义图像编码的m s e 为： m s e ：击m n ( t _ m (26)mn x 智智一“7 、 用_ 中的最大值。来代替( 2 5 ) 中的信号方差蠢，可得到峰值信噪比( p s n r ) ： p s n r ( d b ) = 1 0 l o g t o 夸 对于8 b i t 的图像而言，。的值可达2 5 5 ，则p s n r 可直接表示为： ，p s n r ( d b ) = l o l o g - o 等 ( 2 7 ) ( 2 8 ) 第二章数据压缩 2 2 子带编码 2 2 1 主要特点 子带编磴j ( s b c ：s u b b a n dc o d i n g ) 利用m 个带通滤波器( b p f ：b a n d - p a s sf i l t e r s ) 把信号频带分 解成若干子带，通过移频将各个子带信号转到基带后按照奈奎斯特速率重新取样，再对取样值进行 通常的数字编码并复合成一个统一的传输码流。接收端首先将总码流分解成相应的子带码流然后 解码并将信号从基带重新搬移回到原来的子带频率位置，再将所有子带的滤波器输出相加就可合成 接近于原始信号的重建信号。图2 - 2 为子带编码的基本结构框图。 图2 - 2子带鳊码一般原理框图 图2 - 2 表示了一种对不同频带信号在时域并行处理的结构。当编码率较低时，子带编码就开始 显现出很大的灵活性。对于图像编码其价值主要体现在； 1 ) 客观质量高。对于8 b i t p e l 的灰度静止i w 像，在码率0 , 6 7 2 o b i t p e l 的压缩范围内，自适应 s b c 恢复图像的s n r 要比a d c t 、v q 、差分v q 以及非自适应s b c 等方法高。 2 )主观效果好。当编码率低的时候，s b c 在图像景物边缘处的量化噪声看起来不那么讨厌 而且没有变化编码的“方块效应”。 3 )复杂度不高。可以做到和变换编码差不多，且适应并行处理。 4 )便于渐进编码。可现传输并重建低频子带图像，再逐步提高高频子带，使恢复图像渐渐清 晰。由于高频子带数据的丢失一般会严重影响对图像内容的本质理解，因此s b c 具有“可 丢包”结构，特别适合作为a t m 或i p 网络中的图像编码方式。 5 )适宜于“多分辨率”设备与系统。为了适应不同分辨率的i o 设备和不同速率的通信系统， 或者为了提高图像库中对编码图像的存取和处理效率，常希望编码图像的分辨率能在不同 的图像尺寸之间相互转换，子带分解的思想对于图像的多分辨率表示具有典型意义。 2 2 2 基本实现 由图2 - 2 可见，对信号的子带编码由m 个带通滤波器实现这是子带编码的关键。 6 第二章数据压缩 2 _ 2 2 1 整数半带通滤波器组 首先，假定图2 - 2 中各滤波器为理想的m ( m = 1 2 ，m ) 个带通滤波器，能将其输出信号的频 带限制在既= 一只一i 范围内。如果各个子带的下限频率恰为其带宽的整数倍，即有( 2 9 ) 成立。 一l = 既，研= 1 ，2 ，m ，= 0 ，1 2 ( 2 9 ) 则可直接以取样频率五= 2 对该子带信号进行带通取样，不会产生混叠失真。满足( 2 9 ) 的子 带滤波器组叫整数子带滤波器组，此时的总带宽为： w 口= 以= 一f o ( l r z ) ( 2 1 0 ) m = l 已经用全带奈奎斯特频率正= 2 b 取样的p c m 数字信号，各个子带信号可以通过相应的b p f 加抽 取( 即降低取样率) 而得到，省去了用于“下变频”的调制器。同理，相反的“上变频”的过程也 可以通过内插( 即提高取样率) 加相应的b p f 来实现。因此，如果没有特别的理由，我们总是采用 整数子带滤波器组。 其次，由图2 - 2 ，虽然可以并行实现m 个b p f 以提高处理速度，但从技术与经济的角度来考虑， 常常还是有希望只用一对( 甚至一个) 数字滤波器来时分复用的实现整个b p f 组。对于这样一个最 基本的二频带分析，综合滤波器组，常采用低通和高通各占1 2 频带的半带( h a 曲a n d ) 滤波器组，其好 处是简单直观，通过级联可以实现与人类的听觉、视觉特性相匹配的倍频程分解及任何m = 2 子 带分解，便于设计正交镜像滤器( q m f ：q u a d r a t u r em i r r o rf i l t e r ) ，且低通和高通有可能复用。 图2 - 3整数半带分析和综合滤波框图 图2 - 3 给出了整数半带数字滤波器组分析与综合系统的原理框图。一维信号x ( 盯) 分别通过两个 冲击相应为( ，z ) 和啊( 仃) 的半带滤波器，分解成低频分量确( 功和高频分量毛( 玎) 后，都经过2 ：1 抽 取器重新取样，使得抽样后两个子带信号x o ( n ) 和鼍( h ) 的总数据量与原全带信号x ( n ) 的相同。这 又意味着将这上、下两个子带信号的频谱峨( p ”) 和且( p “) 均以全带信号频谱2 倍的重复率进行周 期重复。综合端l ：2 内插器的作用是在其输入的每个取样间内都插入一个零值，使每个子带信号都 能与全带信号同长，频谱的重复周期也和全带信号一致，而最终的子带信号插值和频谱搬移则分别 由综合滤波器岛( 功和蜀( h ) 完成。将综合滤波器组的输出相加，便得到最后的重建信号y ( 疗) 。 由图2 - 3 的结构不难得出，利用整数半带分析滤波器组的级联，可以构成一裸“二叉树”的子 带分解结构，其中以下两种情形比较典型： 1 ) 如果在每个子带的输出端都添加一个滤波器组形成新的一级，则利用l 级总共2 l _ 1 个半 带滤波器组，可实现 = 2 个等宽子带的分解。 - 7 第二章数据压缩 2 )如果只在每个低频子带的输出端添加新的一级，则利用l 级共l 个半带滤波器组可实现l 个倍频程子带的分解。 2 2 2 2 二维子带分解 将上述一维整数半带分解可推广至二维乃至多维。假定二维的分析滤波器是可分离的，那么对 于图像数据可按照行列分离计算：先在一个方向上( 比如行) 上2 分原图像，得到高) 、低( l ) 两个 子带；再在另一个方向上2 分各个子带，即可将原图像一分为四，得到与二维子带相应的分解子图 像。这实际上是利用两级( 3 个) 整数半带滤波器组，构成一级m = 4 的分析滤波器组，或等效的， 构成一棵“四叉树”( q u a d r a 仃e e ) 的子带分解结构。如图2 - 4 所示。 ( 运行处理)( 置列娃理) 图2 - 4二维干带分解的等效四叉树结构 l ku 2l kl h 2 l l il l m l h il h i h l 2h 王2l l 2h h z l l il l il h tl h t l bl h 2l l 2 l h 2 h l lh l i h h ， h h , h l 2h h 2h l 2h h 2 h l lh l lh h l h h l ( ”倍频程分解 图2 - 5 利用等效四又树两赧分解的频谱分布 - 8 第二章数据压缩 继续分解则与一维情形类似，可以有基于四叉树的二维等宽子带分解( 如图2 - 5 ( a ) ) ，或二维倍 频程子带分解( 如图2 - 5 ( b ) ) ，其坐标原点均在图像左上角，而子带后面的数字则用来表示分解的 级数。 对于任何一级分解，滤波器组分解前后总的数据量不变，即分解是无冗余的。此外，对原图像 的分解还具有方向性- 即对高频分量儿h ，y h l 和) 切分别对应于垂直方向、水平方向和对角线方 向的图像边缘。 2 2 3 正交镜像滤波器组 我们知道，理想的滤波器是不可实现的，实用中图2 - 3 的两个半带滤波器的过渡带只能以有限 的速率滚降，这就应该允许两个滤波器的通带有所重叠，否则就会产生频谱间隔，漏掉一些信号能 量。但此时经过2 1 抽取后，就会在每个子带中产生以数字频率三为轴的混叠分量，如图2 6 所示： 翌 万卯 2 图2 6 q m f b 频响及混叠示意 为了保证信号的完全重建即系统可逆，统一考察整个分析与综合系统，可得到信号完全重建的 条件： g o ( 口问) h o ( p ”) + g l ( e ”) h i ( e ”) = 2 g o ( 8 m ) ( p 一”) + g l ( e 扣) ( e j ( 一”) ：0 ( 2 1 1 ) 式中风( e j a ) 、蜀ew ) 和g o ( e 扣) 、g i ( e j - ) 分别是分析滤波器( n ) 、啊( ) 和综合滤波器 g o ( n ) 、g ，( 刀) 的频率响应函数。 对于满足式( 2 1 1 ) 的完全无失真滤波器组的设计，通常采取如下步骤 1 ) 指定h 0 0 问) 作为公共的低通滤波器原型，其幅频特性尽可能逼进理想低通，即 9 - 第二章数据压缩 1 1 ，0 兰 缈炉 ： 三 【2 ( 2 1 2 ) 根据( 2 1 1 ) 第二式的前提，用该原型低通来表达其余3 个滤波器，这通常可采用正交镜像滤 波器组( q m f b ：q m tb a n k ) 的设计方法。 将q m r b 的设计结构带入( 2 1 1 ) 第一式，得到基于玩( e 。) 的等价约束条件。 将约束条件与( 2 1 2 ) 联立，用适度规模的数字滤波器逼进。 l o 动 筇 第三章小波分析 第三章小波分析 3 1 小波变换及其基本性质 3 1 1 连续小波变换 w j ，( f j 的连续小波变换( 有时也称为积分小波变换) 定义为： 吗( 口，6 ) = i 口re 巾) y 睁p ，删 或用内积形式： 吁( 口，6 ) = ( 厂，虬，) 式慨刊i 2 y ( 等) 要使逆变换存在，妒o ) 耍满足允许性条件： q = e 铎 式中矿0 ) 是y ( ，) 的傅里叶变换。 这时，逆变换为 巾) 2 1 胁( ，) 喝( 啪) 曲阡d a c y 这个常数限制了能作为“基小波( 或母小波) ”的属于r 仁) 的函数y 的类，尤其是若还要求 是一个窗函数，那么y 还必须属于r 伍) ，即妒o ：枷 m 。故矿( o ) 是r 中的一个连续函数。p 在原点必定为零，即 矿( o ) = o 弦= 0 ( 3 5 ) 从上式可以发现小波函数墅然具有振荡性。 连续小波变换具有如下性质： 性质1 ( 线性) ：设厂o ) = a 笞o ) + 廓( f ) ，则眄( 口，6 ) = a 门：( 口，6 ) + 户喝0 ，b ) 性质2 平移不变性) ：若厂( f ) 争w t ：q ，6 ) ，则厂o f ) 七胛，0 ，b f ) 。在实际应用中， 尽管离散小波变换要用得广泛一些，但在需要有平移不变性的情况下，离散小波变换是不能直接使 句 0 0 n b 第三章小波分析 性质3 ( 伸缩共变性) ：若厂( f ) 。o ，6 ) ，则，缸) h 去矽_ o 日，c 6 ) ，其中c ，。一 性质4 ( 冗余性) ：连续小波变换中存在信息表述的冗余度。其表现是由连续小波变换恢复原 信号的重构公式不是唯一的，小波变换的核函数矿。j o ) 存在许多可能的选择。尽管冗余的存在可以 提高信号重建时计算的稳定性，但增加了分析和解释小波变换结果的困难。 3 1 2 连续小波变换的离散化 由于连绥小渡受抉存在冗汆，凼而必殒猜楚，为重构信号，需针对燹抉域的耍量a , b 进行何种 离散化，以消除变换中的冗余，在实际中，常取6 = 可k ，d = 古； 七z ，这时 y 础( ，) = 矿，。( f ) = 2 2 y ( 2 t 一i ) 常简写为： ，。e ) 。变换形式为：f 刀j ( 方，砉) = ( 厂，y ) 。为了能重构信号( f ) ，要求杪”l 如： 是r 伍) 的r i e s z 基。 一个函数妒上2 忸) 称为一个r 函数，如果p m 。z 在下述意义上是一个r i s e z 基： 蚧，工后z 的线性张成在r ) 中是稠密的，并且存在正常数a 与b ，0 a b 0 0 ，使 讹圳纠善圭嘶。心m 矧枷有二重剃鼢可槲蚓舭骄于 阮。耻妻z 。j c j , 。l c o 的成立。 假定y 是一个r 函数，那么存在l 2 伍) 的一个唯一的r i e s z 基砂”l 加z ，它在意义 ( ”少枷) = 0 ，瓯，k ，l ，聊z _ h - 与讥 对偶。这时，每个，( ，) 口似) 有唯一级数表示： 巾) = ( ) y “( f ) ( 3 6 ) 特别地，若沙肚j ， 。：构成r 似) 的规范正交基时，有吩= 矿”，重构公式为： 巾) = ( 厂，吩，舫。( f ) ( 3 7 ) - 1 2 苎三皇尘婆坌堑 一一一 一 3 2 多分辨分析与m a l l a t 算法 3 2 1 多分辨分析 m a l l a t 使用多分辨分析的概念统一了各种具体小波基的构造方法，并由此提出7 现今厂泛使用 的m a l l a t 快速小波分解和重构算法。 空间三2 僻) 的多分辨分析是指构造该空间内一个子空间列 巧 。，使其具有以下性质： 1 单调性( 包容性) ：c kc kl ：z c 1 i _ 1c t 2 c r 1 2 逼近性：c l o s e u = r ) ，n = o t s = 1j j 3 伸缩性：妒( f ) 庐( 2 f ) 一。 4 平移不变性：( f ) ( t - 2 h 七) 巧，v k z 5 r i e s z 基存在性：存在( ，) 碥，使得移( 2 一j t 一i 址。：构成巧的r i e s z 基。 令 巧 愆是l 2 ( r ) 空间的一个多分辨分析，则存在一个唯一的函数妒o ) r 忸) 使得 办i = 2 叫2 ( 2 一。卜- 七l j 】 z 必定是巧内的一个标准正交基。其中o ) 称为尺度函数。 若妒o ) 生成一个多分辨分析，j l v a 也属于n 。，n ：n i n n 娩l ，。：k z e a l 的一个r i e s z 基，所以存在唯一的，2 序列协( ) ) ，它描述尺度函数的两尺度关系： 庐( r ) = 2 h ( k ) o ( 2 t k ) ( 3 8 ) k = - - 由性质( 1 ) 可知+ l 一，w z ，所以 巧= 一+ i o + i ( 3 9 ) 反复应用上式，得 r ( r ) = 0 ( 3 10 ) 同样，象o ) 生成碥- f 4 ，存在一个函数y ( ，) 生成闭子空间，且有双尺度方程 y ( f ) ：4 ：2g ( 七) 庐( 2 f - j 】 ) ( 3 1 1 ) 。- 田 上式称为小波函数双尺度方程。由上面的讨论可知，尺度函数与小波函数的构造归结为系数 弘( l k ( j ) ) 的设计，若令o ) ：宝马掣；一“，g ( ) ：妻墨络一埘，则把尺度函数和小波函 女- 哪二t z - q 二 数的设计可以归结为滤波器日0 l g 0 ) 的设计。构造正交小波时滤波器日) 与g 0 ) 必须满足以 下三个条件； 1 3 第三章小波分析 联合求解上式可得 由上式立刻可得 l ( ) j 2 + 日( + 石) 2 = 1 i g ( 卯) 1 2 + i g ( 甜+ 石) 1 2 = 1 j 7 ( ) g ( 国) + 日( ) g ( 国+ 石) = 0 g ( c o ) = e - m h ( o ) + r c ) g ( 七) = ( 一1 ) 1 。 ( 1 一七) ，k e z 所以，要设计正交小波，只需要设计滤波器日0 ) 。 3 2 2 一维m a l l a t 算法 ( 3 ，1 2 ) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) m