（基础数学专业论文）二阶线性常微分方程解的存在与唯一性.pdf

摘要 二阶线性常微分方程应用广泛。为了弄清一个实际系统随时间变化的规律，需 要讨论微分方程解的性态。我们知道，在一定的条件之下，一阶线性常微分方程的 柯西问题的解是存在并且唯一的，但它并不能由此告诉我们二阶线性常微分方程柯 西问题的解同样具有存在唯一性。本文中我们将用逐步逼近法和泛函分析中的压缩 映射原理两种方法来证明二阶线性常微分方程柯西问题的解是存在与唯一性。并对 这两种方法进行一个简单的比较。 关键词：二阶线性常微分方程；存在性与唯一性；逐步逼近法；压缩映射原理 a b s t r a c t 2 - o r d e rl i n e a ro r d i n a r yd i f f i e r e n t i a le q u a t i o n sh a v eb e e nw i d e l ya p p l i e d t or e v e a l t h er u l et h a tar e a ls y s t e mc h a n g e si nt e r m so ft i m e ，w en e e dt oe x p l o r et h ep r o p e r t i e so f s o l u t i o n st od i f f e r e n t i a le q u a t i o n s w eh a v ek n o w nt h a t1 - o r d e rl i n e a r o r d i n a r y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n st oc a u c h yp r o b l e md o e se x i s ta n dh a v et h e i ru n i q u es o l u t i o nu n d e r c e r t a i nc o n d i t i o n s h o w e v e r ，w ea r en o ts u r ea b o u tt h a tt h e r ee x i s ts i m i l a rr e s u l t sa b o u t 2 - o r d e rl i n e a ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n st oc a u c h yp r o b l e m i nt h i st h e s i s ， w eu s e t h ea p p r o x i m a t em e t h o da n dc o n d e n s i n g - m a p p i n gp r i n c i p l ei nf u n c t i o n a la n a l y s i st o s h o wt h a tt h e r ed oe x i s tu n i q u es o l u t i o n st o2 - o r d e rl i n e a ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t oc a u c h yp r o b l e m w eh a v ea l s om a d eac o m p a r i s o nb e t w e e nt h et w om e t h o d st h a ta r e u s e d k e y w o r d s ：2 - o r d e rl i n e a ro r d i n a r yd i f f i e r e n t i a le q u a t i o n s ：e x i s t a n c ep r o b l e m ；u n i q u e p r o b l e m ：a p p r o x i m a t em e t h o d ；c o n d e n s i n g m a p p i n gp r i n c i p l e i l 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究 所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包 含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出 重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到 本声明的法律后果由本人承担。 论文作者签名： 雩雨乞磐 日期：2 甜年- l 月弓，日 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存学位论文的 印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以允许采用影印、缩印、 数字化或其它复制手段保存学位论文：在不以赢利为目的的前提下，学校可以公 开学位论文的部分或全部内容。( 保密论文在解密后遵守此规定) 作者签名：雾石毛磐 特狮签名：韶硎 日期：炒g - 厂- 多 日期：印口善r ； 1 问题的提i j 1 问题的提出 常微分方程是由人类生产实践的需要而产生的。其雏形的出现甚至比微积分的 发明还早。纳皮尔发明对数、伽利略研究自由落体运动、笛卡儿在光学问题中由切 线性质定出镜面的形状等等，实际上都需要建立和求解微分方程。牛顿和莱布尼茨 在建立微分方程与积分运算时就指出了它们的互逆性，实际上是解决了最简单的微 分方程) ，= ，( z ) 的求解问题。此外，牛顿：莱布尼茨也都用无穷级数和待定系数法 解出了某些初等微分方程。 在微分方程发展的早期，人们求解方程用的都是初等积分法。然而，1 8 4 1 年 法国数学家刘维尔证明了意大利数学家黎卡提1 7 2 4 年提出的黎卡提方程的解一般 不能 d ，y ；p ( x ) y 2 + g ( x ) y + ，0 ) ( p ( x ) 乒o ) 通过初等函数的积分来表达，从而让大家明白了不是什么方程的通解都可以用积分 手段求出的。从1 8 世纪下半叶到1 9 世纪，人们从求通解的热潮转向研究常微分方 程定解问题的适定性理论，此阶段为常微分方程发展的适定性理论阶段。 1 9 世纪2 0 年代，柯西建立了c a u c h y 问题，即微分方程初值问题解的存在和唯 一性定理。1 8 7 3 年，德国数学家李普希兹提出著名的“l i p s c h i t z 条件，对柯谖的 存在唯一性定理作了改进。在适定性的研究中，还有皮亚诺和皮卡，他们先后于1 8 7 5 年和1 8 7 6 年给出常微分方程的逐步逼近法，皮亚诺在仅仪要求f ( x ，y ) 在0 0 ，y o ) 点 邻域连续的条件下证明了c a u c h y 问题解的存在性。 如今，常微分方程在所有自然科学领域和众多的社会科学领域都有着广泛的应 用，凡是与变化率有关的问题几乎都可以用微分方程模型来研究。特别是二阶线性 常微分方程应用广泛。例如，数学摆的无阻尼微小自由振动方程：窖+ 孕驴。o ； d f 。l 电振荡中关于电流的微分方程：l 筹+ 尺妄+ 吉f = o 等等，对这些方程解的研究至 d f 。d fc 关重要。为了弄清一个实际系统随时间变化的规律，需要讨论微分方程解的性念。 微分方程的定性理论已经有一些结论，比如说在一定的条件下，一阶线性常微分方 程c a u c h y 问题的解是存在并且唯一的，具体来讲，有如下定理【1 1 ： 湖北大学硕上学位论文 定理1 考虑导数已解出的一阶微分方程 罢一肫y ) ，y ( x o ) 碱， ( 1 ) 其中f ( x ，y ) 在矩形区域尺：i x - x oj s a ，l y y 。js6 内连续，而且对y 满足l i p s c h i t z 条 件( 即在区域尺撇l f ( x ，y ，) - f ( x ，y ：) l s 三i y 。一y 2 l ，其中常数 o ) ，则( 1 ) 在区 间，= 一j l l ，x o + 】上有并且只市一个解，其中常数 叫p ，砉，z 1 ) ，肌m a 脚x f ( x i 我们采用皮卡( p i c a r d ) 的逐步逼近法来证明这个定理。为了简单起见，只就 区间s z s + 乃来讨论，对- 7 = x o h x x o 的讨论完全一样。 此证明方法的主要思想：首先证明求微分方程的初值问题的解等价于求积分方 程 y y o + ff ( x ，y ) a x ，如 的连续解。然后去证明积分方程的解的存在唯一性。 任取一个连续函数y 。 ) 代入上面积分方程右端的y ，就z 。，1 4 函数 y - o ) 2y 。+ 厂o ，y 。 ) ) 出 显然y 。o ) 也是连续函数，如果y 。 ) 蛋y o o ) ，那么y o ) 就是积分方程的解。否则，我 f l s ( 把y 。o ) 代入积分方程右端的y ，得到 y z ) 2y 。+ f ( x ，y o ) ) d r 如果y 2 ) lm o ) ，那么y l ) 就是积分方程的解。否则，我们继续这个步骤。一般 地作函数 y 一 ) 2y 。+ f ( x ，y “0 ) ) 如 ( 2 ) 这样就得到连续函数序列： y 。o ) ，咒o ) ，奠o ) ， 如果只+ 。o ) 童只，那么只0 ) 就是积分方程的解。如果始终不发生这种情况，我们 2 1 问题的提出 可以证明上面的函数序列有一个极限函数驴o ) ，即 l i r a y 。 ) = 驴 ) 存在，因而对( 2 ) 取极限时，就得到 l i m y 。o ) 2y 。+ ! i r a f , ( x ，y “o ) 渺月+ = y o + ：1 i mf ，y “ ) ) 出 ，曲i n = y 。+ 广厂o ，驴 ) ) 出 , j x o 即 驴( x ) 5y 。+ ( 厂o ，驴o ) ) 出 这就是说，伊 ) 是积分方程的解。这种一步一步地求出方程的解的方法就称为逐步 逼近法。由( 2 ) 确定的函数y 。 ) 称为初值问题( 1 ) 、( 2 ) 的第咒次近似解。在定理的 假设丁，以上的步骤是可略实现的。证明了存在性再证唯性即可。一般地，车常 微分方程讲义上翻用逐步逼近法分五步给出了这个定理证明。 1 ) 把初值问题( 1 ) 化成等价的积分方程 引理设y = 妒 ) 是方程( 1 ) 的定义于区间sz + j i l 上，满足初始条件 的解，则y 一妒 ) 是积分方程 驴( ) = y o y = y o + ffq ，y ) d x ， 的定x y x o 主x 墨x o + 上的连续解。反之亦然。 证明因为y = 驴o ) 是方程( 1 ) 的解，故有 掣童厂( x ，妒o ” 以x 两边从到x 取定积分得到 驴( 石) 一q ( x o ) 量j = ：厂o ，q ( x ) ) a x 把伊( ) = y 。代入上式，即有 x os xs x o + h ( 3 ) x os z sx o + 驴( x ) 置y o + cf ( x ，驴( 石) ) 出 x os x sxo+x ，o 一 3 湖北大学硕士学位论文 因此，ya 驴 ) 是( 3 ) 的定义于s zx 0 + j i l 上的连续解。 反之，如果yt 驴 ) 是( 3 ) 的定义于s xx o + j l l 上的连续解，则有 驴( x ) 一y 。+ f ( x ，驴( z ) ) 出sx 墨+ h ( 4 ) 微分之，得到 掣一f ( x ，缈 ) ) 以x 又把x 一代入( 4 ) ，得到 驴( ) 一y o 因此，y 一甲o ) 是方程( 1 ) 的定义于s z s + 上，且满足初箩条件伊( ) 一y 。的 解。 2 ) 用逐步逼近法构造p ic a r d 序n - ， 现在取o ) = y 。，构造皮卡( p i c a r d ) 逐步逼近函数序列如下： ) = y o o ) ，y 。+ f o f ( 亭，纸一，( 亭) 矽亭 s x s 而+ ( 5 ) 0 = l2 ，) 对于所有的，l ，( 5 ) 中函数纸 ) 在x os x s x o + 上有定义、连续且满足不等式 i c p ( x ) - y 。ls 6 ( 6 ) 证明： 当以1 1 时， ) 2 y 。+ f of ( 亭，y 。矽亭。显然蚜( x ) 在s x s + j i l 上有 定义、连续且有 l 仍( 垆y 。l = k 雕，y 。) d 亭卜j ：| 胎，y 。) 憎 s m ( x - x o ) s m hs b 即( 6 ) 当刀= 1 时成立。我们可以用数学归纳法证明对于任何正整数咒，( 6 ) 都成立。 为此，设( 6 ) 当忍一七时成立，也即 ) 在s z 而十j l 上有定义、连续且满足不等 式 i 吼( x ) 一y 。is 匆 1 问题的提出 这时， 纯+ ，( x ) 5y 。+ f of ( $ ，魄( 亭) ) d 亭 由假设，( 6 ) 当玎= k 时成立，知道+ 。( x ) x os 工 x o + j i l 上有定义、连续且有 h ( x ) 一y 。i 墨( 1 厂( 亭，饩( 亭) 恬sm ( x x o ) m h sb 即( 6 ) 当，l ：k + 1 时也成立。由数学归纳法得( 6 ) 对于所有珂均成立。 3 ) 证明p i c a r d 序列 吼( 誓) ) 一致收敛到积分方程( 3 ) 的解 证明：我们考虑级数 ( x ) + 荟【吼 _ 敛一，o ) 】 它的部分和为 x o5 x s x o + h ( 7 ) 甄( x ) + 荟 败( x ) 一t ) 。钇 因此，要证明函数序列 o ) ) x os 工 x o + j i l 上一致收敛，只须证明级数( 7 ) 在 x os z s + j i l 上一致收敛。为此，我们进行如下的估计。由( 5 ) 有 及 竹o ) 一 ) fs ( i 厂皓，( 亭) ) i d 亭s m ( x x o ) i 仍 ) 一竹 ) is = ：i 厂停，红值) ) 一厂皓，( 宇) ) l d 亭 利用l i p s c h i t z 条件及( 8 ) ，得到 1 妒z ) 一吼o ) l s 恢 ) 一皓) l d 亭 s 幔雌一x o ) d 亭= 等。喵) 2 假设对于币整数咒，不等式 唧l s 等 一。 成立，则由l i p s c h i t z 条件，当x os xx 0 + 庇时，有 + 。( x ) 一纸( x ) ls 三l 厂( 亭，皓) ) 一厂( 亭，皓) ) p 亭 ( 8 ) 湖北大学硕士学位论文 s 砭i ( 亭) 一一。( 亭) p 亭 墨m 州l f 知争硝咖器+ 1 于是，由数学归纳法得知，有如下的估计 吣h 驯s 等 训 氯+ 身( 9 ) 从而可知，x os 石s + j i l 时 哏i s 等 ( 1 0 ) 的右端是正项收敛级数j ( 1 0 ) 专膨一- h k - 白 k ! 的一般项。由维尔斯特拉斯( w e i e r s t r e s s ) 判别法知，级数( 7 ) 在s x x o + j i l 上 一致收敛，因而序列 o ) ) 在s x x o + 上一致收敛。 现设 j l i m 纸o ) = 驴o ) 则妒( 石) 也在x os xx o + j i l 上连续j 且由( 6 ) 又可知 l 够( x ) 一y 。ls 易 4 ) 驴 ) 是积分方程( 3 ) 的定义于墨石 x 0 + 上的连续解 证明：由l i p s c h i t z 条件 l f ( x ， ) ) 一，o ，缈o ) ) is i 纸0 ) 一妒g ) l 以及 纸 ) ) 在s 工 x o + j i l 上一致收敛于驴( x ) ，即知序列 六( 戈) ) - - f ( x ，o ) ) ) 在s 石 x o + j l l 上一致收敛于f ( x ，驴o ”。因而，对( 5 ) 两边取极限，得到 l i m p ( x ) 一y o + l i m = 厂( 亭，一。( 亭) ) d 亭 n _ o ， 6 = y 。+ c ! 翼厂( 亭，一。( 亭) ) d 亭 ，知 _ 一 = y 。+ f 厂( 亭，驴( 亭) ) 刀宇 j x n 即 缈( x ) 2y 。+ 雕，妒( 驯亭 这就是说：妒o ) 是积分方程( 3 ) 的定义于s xs + j i l 上的萼续解。 5 扛明积分方程( 3 ) 解的唯性 证明：设妒( 砷是积分方程( 3 ) 的定义于s z s 而+ 矗上的一个连续解，我们首 先证明妒 ) 也是序列 ( x ) ) 的一致收敛极限函数。为此，从 o ) = 纸o ) 。+ = ：厂售，一售) ) 穆，o 苫1 ) 妒( x ) - y 。+ ( 厂( 亭，缈( 亭) ) d 亭 我们可以进行如下的估计 i ( x ) 一1 | f ， ) js j = ：j ，皓，妒皓) ) l d 宇sm ( x 一而) l 吼( x ) 一缈o ) is j = ：i ，( 亭，皓) ) _ 厂皓，妒( 亭) 州d 亭 s 砭l ( 亭) 一妒( 孝) 船 s 吆( 亭一矽亭二等。训2 现设i 纸一， ) 一妒 ) ls 百m l n - 1 一) 4 ，则有 i ( x ) 一缈 ) is ( 1 ，( 亭，一。皓) ) 一，皓，缈皓) ) f d 亭 s 嗄札( 亭) 一矽( 即亭 s 瓤争彬母器广2 故由数学归纳法得知，对所有的正整数，l ，有下面的估计式 l 删毗) l s 羔。训州 7 湖北大学硕士学位论文 因此，在x os x s x o + i l 上有 l 纸( x ) 一妒o ) is 丽m l 办州 丽m l i i l ”1 是收敛级数的公项，故，lq 时若 ”1 _ o 。因而 ( x ) ) 在 ( ，l + 1 ) !( 咒+ 1 11 “、7 。 x os zs ：c o + j i l 上一致收敛于妒( 石) 。根据极限的唯一性，即得 伊( x ) 一妒 ) x o s z s x o4 - h 综合以上五步，即得到存在唯一性定理的证明。 定理1 告诉我们，在一定的条件下，一阶线性常微分方程的解存在唯一。那么， 对于二阶线性常微分方程c a u c h y 问题的解是否具有存在唯一性? 如果是，它需要 什么前提条件呢? 本人在一阶常微分方程的基础上给出，在类似的条件下，二阶常 分方程c a u c h y 问题的解存在且唯一性。有如下结论： 定理2 考虑如下二阶线性常微分方程的初值问题 窘+ p o ) 罢+ 口o ) y 一而g ) ? y ) = 蜘) 一y 。 ( 1 1 ) 其中 p o ) ，g ) ， o )均在的邻域j x - - x o i sa内连续。 记 厂 ，y ，y ) 一h ( x ) - q ( x ) y p ( x ) y 。若函数f ( x ，y ，y ) 在始值( x o ，y 。，y 。) 的邻域g 内对 所有变量连续，且对y 和y 的一阶偏导数有界，则( 1 1 ) 在l x 一：c o i 墨a 内存在唯一的 解。 下面我们将采用两种方法来证明定理2 。第一种是经典的逐步逼近法，它比较 直观，只需要用到数学分析的基础知识，但比较繁琐，而且对解的光滑性要求比较 高一些。第二种方法是采用泛函分析中的压缩映射原理来证明同样的结果定理2 ， 该方法从某种意义上来说可以函盖第一种方法。而且此方法可以在更加广泛的空间 上讨论以上初值问题解的存在与唯一性。 8 2 用逐步逼近法证明主要结论定理2 2 用逐步逼近法证明主要结论定理2 我们用逐步逼近法分五步证明定理2 - 2 1 问题的转化 通过引进向量和矩阵记号，我们把二阶线性微分方程初值问题转换为一阶线性微 分方程组的初值问题。 令吒 ) 一) ，o ) ，屯 ) = y ) ，则由 ( 暑) 2 ( 一未，一之，) 仨暑) + ( 最，) 并满足条件墨) 一y ( x o ) 一y 。，屯) = y ( x o ) 。y 。 记x g ，= ( 乏暑) 负怄，2 ( 芝受j ) 3 ( 艾) 。k 同时记觯荆= 一甜z 叫 三，) 则二阶线性常微分方程( 1 1 ) 的初值问题等价于如下初值问题 x - a ( x ) x ( x ) + z ( x ) = f ( x ，x ) 满足初值条件x ( x o ) 一x 。 为方便起见在实数域上的二维空间r 2 上任取x 一“，x ：) r ，定义x 的范数 l x | 暑m a x k l ，i z ：1 ) ，则i x x 。l = m a x r y 。i ，y 一y 。| 】嘲。容易得到如下结论： ( i ) 向量函数f ( x ，x ) 在区域r 上连续； ( i i ) 向量函数f ( x ，x ) 在区域r 上满足l i p s c h i t z 条件。 这样定理2 的证明就转化为证朗如下定理： 定理2 考虑如下初值问题 x 。一彳 ) x 0 ) + z ) = f ( x ，x ) ，x ( x o ) = x o ( 1 2 ) 若函数f ，x ) 在区域q ；x - - x o is 口，x - x 。is 6 内连续，且对x 满足l i p s c h i t z 条件， 则( 1 2 ) 在区间，= x o 一 l ，x o + j l z 】上有并且只有一个解，其中常数 9 湖北大学硕士学位论文 办 m ；n ( 口，_ ，b 丢) ，m 。鹏x ) j 2 2把初值问题( 1 2 ) 化成等价的积分万程 x l x o + j = ：，o ，x ) d x q 3 引理如果x 一墨0 ) ，x g l 是初值问题( 1 2 - ) 的解，则x x ) ，x e t 龊( 1 3 ) 的解。反之亦然。 证明：设x x o ) ，x ，是( 1 2 ) 的解， 。 则有x 一v ( x ，x ) ) ，x ，且x ) ；k ， 从而有fx ( x ) d x 芦fv ( x ，x ( x ) ) d x ， ，j f 。，j o 整理得x o ) 一x ( x o ) 。j = ：f ，x o ) ) 出， 即x ) # x o + f x ，x ( x ) ) d x ，( x e ，) ， 则说明x - x ( x ) ，x ，是积分方程( 1 3 ) 的解。 反之，设x x ) ，x e i 是积分方程( 1 3 ) 的解， 即x o ) - x 。+ o f ( x ，x 厶) 皿，( x e t ) 对上式等号两边同时对x 求导，有x o ) ；f ( x ，x 0 ) ) ，x ， 且当x 一时，x ( x o ) _ x 。+ f ：f o ，x ( x ) ) d x = x 。， 则说明x = x ) ，x e i 是( 1 2 ) 的解。引理成立。 故要证明定理2 。，只需证明积分方程( 1 3 ) 在区间，上有并且只有一个解。 2 3用逐步逼近法构造p i c a r d 序列： 我们引进如下叠代过程 。 x n + l ( x ) ；x 。+ f o f ( , x 。“) x 扭，( x ，) ，( 咒目o ，1 ，2 ，) ，其q ox ( x o ) = x 。， 当，l ；o 时，x l ( x ) tx 。+ j = ：f o ，x 。o ) 边，o ，) 在，上连续可微， 且满足不等式i x ，o ) 一x 。lsk f o ，x 。o ) 边i sm k 一l ， 1 0 2 用逐步逼近法证明主要结论定理2 其中m 为f ( x ，x ) 在闭区域q 上的最大值。 则i 墨一x 。ls m k 一而ls 胁s m 鲁= 6 ，其中h m i n ( 口，万b ) ， 即( z ，置 ) ) q ，i ；lf ( x ，x 。o ) ) 在，上是连续的。 则又有x ：o ) = x 。+ j = ：f ( z ，x ，o ) 渺，o ，) 在，上连续可微， 且满足不等式l x ： ) 一x o ls 【j = ：f 。，x ls m 卜一x o l s m hs 6 由此类推，可知构造的p i c a r d 序列完全位于闭区域q 中，且p i c a r d 序列 x 。o ) ) 在，上 是连续的，并满足不等式i x 。( x ) - x 。ls mi x - x o l 。 2 4 证明p i c a r d 序列 以g ) ) 一致收敛到积分方程( 1 3 ) 的解 由于善 一+ - 一x n = 。1 i m + 。篇yr 。x k + 1 - - x k 】= 。l i m 。x 1 - 置， 则可知序列 以 ) ) 的收敛性等价于级数薹【e + j x n 的收敛性，故只需证明级数 荟 k - 吐】一致收敛即可。 下面，用归纳法证明不等式i 以+ ，一以is 等鱼言高乒在，上成立，其中为u p s c h i t z 常数。 当删时，胁m 删i s 等掣；m 卜l 显然成立。 冀设当刀= 尼时，不等式x , + d x ) - 五g ) | s 等坚告；成立，那么 当以= k + 1 时， 湖北大学硕士学位论文 i 瓦+ ：o ) 一以+ 。 ) i = | 凰+ j = ：f ，t + ， ) ) 出】一 甄+ f ，以o ) ) 出】 ；k f ，以+ 。 ) ) 一f o ，x 。o ) ) 出l s k l i x m o ) 一以。) l 出i 出丝f 出生二墨贮出l 。m 型兰二叠匕 l p h + 1 ) ! l + 2 ) 1 m ( lx x o ) “2 + 2 ) ! 即可知，当万一k + 1 时，不等式也成立。 又由于 薹垒丢；鲁 _ e 工k 喇一2 卜一i 一 ! j 说明薹坚告享裂在f 上收譬， 由维尔斯特拉斯( w e i e r s t r e s s 判别法嗍知，荟 e + t e 在，上一致收敛， 因此，p i c a r d 序歹0 以 ) j 在，上一致收敛。 不妨令m ( x ) 一。1 i m + 。x 。o ) ，) ，则m ( 彳) 在，上连续， 对e + t o ) ；x 。+ j = ：o f ( x ，以o ) 皿等号两边同时令甩趋向于+ ，则有 西( x ) 一x o + l i m ：，o 芦。0 ) ) 咖 ? i - - + q o ，五。 容易证明f ，鼍o ”在，_ l z - - 致收敛， 因此， m ) 一x 。+ l i r aff o 以o ) ) 出 n + + ，, 1 7 0 l x o + ( 熙f o ) ) 出一x o + f ( x , d p ( x ) ) d x 即说明x m o ) 是积分方程( 1 3 ) 的一个解。 2 5 证明积分方程( 1 3 ) 解的唯一性 我们用反证法来证明。设积分方程( 1 3 ) 在，上有两个不同的解x 一西。g ) 和x = 西： ) ， 令，一 j c o d ，+ d 为它们的共同存在区间，d 为常数且ds j i l ， 2 用逐步逼近法证明主要结论定理2 则田( 1 3 ) 天口， j m t i x ) 一：( z ) i s k l ，_ - o ”一f 。，m z ) ) i 出f ( 1 4 ) “屺i m 。 ) 加z ( x ) d x l 由于在区间j 上，l m 。o ) 一m ：0 ) l 连续有界，不妨取其中一个上界k ， 则有l m 。 ) 一m z o ) is k 脚l _ 世k 一l 将官回代( 1 4 ) 式右端右 i 西。o ) 一m ： ) is k k 一而l 出i ；k 垒上专产监 再将该式代入( 1 4 ) 式右端，归纳可得 吨郎嗟竽 由于- 。p 工卜剖一i 收敛吲，故令托一+ ，有( 兰生二墨! ! - o ，z ! 由此可知m 。( x ) zm ：o ) 即说明积分方程( 1 3 ) 的解是唯一的。 由初值问题( 1 2 ) 与积分方程( 1 3 ) 的等价性即知初值问题( 1 2 ) 的解存在且唯一 从而我们也完成了定理2 的证明。 1 3 旷一 掣 x 名 湖北大学硕士学位论文 3 用压缩映射原理证明定理2 定义设】，是度量空间，r 是y 到y 中的映射，如果存在一个数口，0 口 m 时， d 0 ，) s d ( ，+ 1 ) + d o + 1 ，+ 2 ) + + d o 吒一1 ，k ) s ( 口4 + 口m + 1 + + 口”一1 ) d ( x o ，五) 。a 一生a ，五) 1 _ 。一i 矗，工， 一a 、”。1 7 因0 口 1 ，所以1 一口” m ) ( 1 7 ) l a 所以当m 呻，刀一时，d ( ，) _ o ，即 ) 是y 中柯西点列，由y 完备，存在x 】， 使呻工沏呻o o ) ，又由三点不等式和条件( 1 5 ) ，我们有 1 4 3 用压缩映射原理证明定理2 d ( 工，t x ) sd ( z ，) + d ( ，戤) s d o ，) + a d ( x 一1 ，x ) t 上面不等式右端当m o o 时趋向于0 ，所以d o ，t x ) ；0 ，即x = t x 。 下证唯一性。如果又有z y ，使t z = z ，则由条件( 1 5 ) d ( x ，z ) = d f f x ，r z ) sa d ，z ) 因为口 1 ，所以必须d 0 ，z ) = 0 ，即x = z 。定理得证。 f 面我们用压缩映射原理来证明二阶线性常微分方程柯西问题解的存在与唯 一性： 定理2 考虑如下二阶线性常微分考程的初值问题 窘+ p 罢+ 口。) y - - h o ) j y 瓴) = 瓴) 一y 。一 ( i 1 ) 其中p o ) ，q o ) ，办o ) 均在x o 的邻域i x - - x 。i s 口内连续。 记 f ( x ，y ，y ? ) = j i l ) 一西g ) y p ( x ) y 。若函数f ( x ，y ，y ) 在始值( x o ，y 。，y o ) 的邻域g 内对 所有变量连续，且对y 和y 的一阶偏导数有界，则( 1 1 ) 在卜- x o | s 以内存在唯一的 解。 我们分二步来证明： 3 1 问题的转化 通过引进向量和矩降记号，我们把二阶线性微分方程初值问题转换为一阶线性 微分方程组的初值问题。 令毛 ) ；y ( x ) ，x 2 ( x ) 一y ) ，贝0 由 ) = ( - 品矧1 m 三) ) 并满足条件t ) ty ( x o ) ；y o , x ：x 。) = y ( x o ) ；“ 记x ，2 ( 羔罢；) ，则x ，2 ( 乏瓮j ) 2 ( 艾) 2 x 。 1 5 湖北大学硕上学位论文 同时记觯删2 捌徘，恼) 则二阶线性常微分方程( 1 1 ) 的初值问题等价于如下初值问题 x 一彳 ) x ) + z ( x ) tf ( x ，x ) 满足初值条件x ) 一k 为方便起见在实数域上的二维空间r 2 上任取x 一“，艺) r ，定义x 的范数 i x l m a x k l ，i x ：l ，则i x 一戤| | 矗a x i y y 。i ，y 一y 。1 ) 。容易得到如下结论： ( i ) 向量函数f ( x ，x ) 在区域r 上连续。 ( i i ) 向量函数f ，x ) 在区域尺上满足l i p s c h i t z 条件。 这样定理2 的证明就转化为证明如下定理： 定理2 考虑如下初值问题 x 一a ( x ) x ( x ) + z ) = ， ，x ) ，x ( x o ) 一x o ( 1 2 ) 若函数f 0 ，x ) 在区域q ： x - x o i s a ，i x - x o is6 内连续，且对满足l i p s c h i t z 条件， 则( 1 2 ) 在区间，一一 ，x o + j l 】上有并且只有一个解，其中常数 。厅 0 ，使得地 1 ，考虑空间c 一h , x o + 。 在这个空间上定义算子r 如下： t x ( x ) 2 ( f o ；x ( t ) ) d t + x 。 容易验证丁是从空间c 一h , x o + j 1 1 到其自身的映射。 简单计算可得 d ( t x 。，t x ：) 一扛m a 。x ：。y 卜。 f o ? 。( f ) ) 一f o ，x ：o ) ) 以i s 麓【j = ：l x 。o ) 一x ：o ) i 也l 墨l h k m 拍a xl x o ) 一x ：o ) l l h d ( x 。，x 2 ) 由于o 地 1 且空间c x o - h ? x o + 完备，由压缩映射原理知问题( 1 8 ) 在区 间，一k j i l ，+ j i l 】上有并且只有一个解a 因此，定理2 。得到证明。 那么由定理2 与定理2 的等价性即知定理2 成立，也就证明了二阶线性常微分 方程柯西问题解的存在- q 唯一性。 从上面的证明也可以看出，后一种方法比较简洁地完成了同样的证明。而且存 在与唯一性的证明是一步完成的。如果我们要探讨该问题比较弱一些的解的话，后 一种方法有更大的潜力。 1 7 湖北大学硕+ 学位论文 参考文献 【1 】丁同仁，李承治常微分方程教程 m 北京：高等教育出版社，2 0 0 1 重印 【2 】程其襄，张奠宙，魏国强等实变函数与泛函分析基础 m 第二版北京：高 等教育出版社，2 0 0 5 年重印 【3 】黄振友，杨建新，华踏红等泛函分析 m 北京：科学出版社，2 0 0 3 7 【4 】刘玉莲，傅沛仁数学分析讲义 m 北京：高等教育出版社，2 0 0 4 重印 【5 】刘培德泛函分析基础 m 修订本武汉：武汉大学出版社，2 0 0 4 重印 【6 】王高雄，周之铭，朱思铭等常微分方程 m 第二版北京：高等教育出版社， 1 9 8 6 年重印 【7 】王连祥，方德植等i 数学手册 m 北京：高等教育出版社，2 0 0 5 重印j 【8 】谢炜，陈以平，公维风等b a n a c h 空间中常微分方程初值问题解的存在性与可 解性【j 】湖北民族学院学报( 自然科学版) ，2 0 0 5 ，2 3 ( 3 ) ：2 1 6 2 2 0 【9 】汪漩b a n a c h 空间一阶常微分方程终值问题解的存在唯一性【j 】西北师范大学 学报( 自然科学版) ，2 0 0 3 ，3 9 ( 1 )