（基础数学专业论文）一类带强制超临界项的plaplacian方程解的存在性.pdf

兰州大学2010 届硕士学位论文 摘要 本文研究了一类带有强制超临界增长项的p - l a p l a c i a n 方程 r 巾r 竺毗嚣 d i r e c h l e t 边值问题解的存在性，其中，一a p u = 一d i v ( i v u l p v u ) ，r p + = 恶，a 为实参数，q 是r n ( 佗3 ) 中的有界光滑区域，：q r r 运用直接 变分法得到一个全局极小解，通过山路引理得到一个山路型解 本文所研究的问题源于无穷维动力系统对于发展方程全局吸引子复杂性的 认识，其中超临界项i u l r _ 2 u 是个好项，与一般变分法中的超临界项相差一个符 号 关键词：p 拉普拉斯；超临界；山路引理；直接变分法 1 兰州大学2010 届硕士学位论文 a b s tr a c t t h i sp a p e rd e a l sw i t hac l a s so fp - l a p l a c i a ne q u a t i o n a p u + l 让l 一2 让= a ，( z ，u ) ， z q ， 牡= 0 ，z a q ， w i t hd i r e c h l e tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ，w h e r et h en o n l i n e a rt e r mi sc o e r c i v ea n d s u p e r c r i t i c a l ，一p 仳= - d i v ( 1 v u l n v u ) ，r p + = 恶，入i sa r e a lp a r a m e t e r ，q i sab o u n d e ds m o o t hd o m a i ni n p 3 ) ，f ：q r _ r w eo b t a i n e dag l o b a l m i n i m i z e rb yu s i n gd i r e c tv a r i a t i o n a lm e t h o da n de s t a b l i s h e dam o u n t a i n - p a s s s o l u t i o nb yu s i n gm o u n t a i n - p a s sl e m m a t h ep r o b l e mo ft h i sp a p e rc o m e sf r o mi n f i n i t ed i m e n s i o n a ld y n a m i cs y s t e m ， w h e r ew en e e d e ds t u d y i n gt h ec o m p l e x i t yo ft h eg l o b a la t t r a c t o ro ft h ee v o l u t i o n e q u a t i o n s ，ag o o ds u p e r c r i t i c a lt e r mi u | r 2 让i sd i f f e r e n tf r o mc l a s s i c a l l ys u p e r - c r i t i c a lt e r m 一川7 2 让 k e yw o r d s ：p - l a p l a c i a n ；s u p e r c r i t i e a l ；m o u n t a i n - p a s sl e m m a ；d i r e c t v a r i a t i o n a lm e t h o d 2 原创性声明 本人郑重声明：本人所呈交的学位论文，是在导师的指导下独立 进行研究所取得的成果。学位论文中凡引用他人已经发表或未发表的 成果、数据、观点等，均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容 外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本 文的研究成果做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标 明。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：篓戎缝日期：论文作者签名：主虱丝日期： k 10j 芎2 5 关于学位论文使用授权的声明 本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归 属兰州大学。本人完全了解兰州大学有关保存、使用学位论文的规定， 同意学校保存或向国家有关部门或机构送交论文的纸质版和电子版， 允许论文被查阅和借阅；本人授权兰州大学可以将本学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用任何复制手段保存和 汇编本学位论文。本人离校后发表、使用学位论文或与该论文直接相 关的学术论文或成果时，第一署名单位仍然为兰州大学。 保密论文在解密后应遵守此规定。 论文作者签名：篓感建导师签 第一章 引言 我们知道，从经典力学到场论，物质的运动规律都遵循“h a m i l t o n 最小作用 量原理”，即存在某个泛函，使得对应的运动方程是它的e u l e r 方程因此，求这 些e u l e r 方程的解便转化为求对应泛函的临界点，我们把这一方法称为“变分方 法” 变分法是一门古老而又年轻的学问，迄今已有两三百年的历史，在此不能一 一述及，只扼要而述之1 8 世纪是变分法的草创时期，建立了极值应满足的e u l e r 方程并据此解决了大量具体问题1 9 世纪人们把变分法广泛应用到数学物理中 去，建立了极值函数的充分条件2 0 世纪伊始，h i l b e r t 在巴黎国际数学家大会 讲演中提到的2 3 个著名数学问题中就有三个与变分法有关，变分法的思想贯穿了 r c o u r a n t 和h i l b e r t 所著的数学物理方法一书而h m m o r s e 的大范围变 分法则是2 0 世纪变分法发展的标志( 见m o r s e 理论) 变分法在纯数学中有很多应用：例如运用变分方法解决等周问题，闭测地线 等几何问题：变分法提供了有限元方法的数学基础，是求解边界值问题的强有力 的工具 变分学也有很丰富的实际背景，其研究的问题很多来源于描述物理现象问题 的稳态情况对于稳态问题的研究，可以为其相应的发展性问题奠定基础，在正 则性和解的存在性等方面为其对应的发展性方程提供方法指导尤其在研究发展 方程所决定的系统的长时间行为时，为了对描述动力学行为的全局吸引子有个比 较明确的认识，我们研究方程稳态解的多重性，即从发展方程所对应的椭圆方程 解的多重性入手来认识全局吸引子的复杂性 1 兰州大学2010 届硕士学位论文 1 1 研究背景概述 在无穷维动力系统的研究中，对发展方程在相空间中产生的动力学行为的研 究的第一步就是建立方程在适当的空问中解的存在唯一性，而发展方程的解及其 存在性、唯一性、正则性等和其稳态方程的解的存在性、唯一性、正则性是密切 相关的 考虑以下初边值问题 a p u + i u r 2 u = 入i u r 2 u + ，( u ) ， t 正( z ，o ) = 仳o ，z q ， ( 1 1 1 ) 仳= 0 ，z a q ， 其中f ：r r 是奇函数，2 8 p 0 ，q 是瓞n ( 礼3 ) 中的有界光滑 区域 相应于问题( 1 3 1 ) 的稳态方程 一p “+ i 训一2 u = 刈训8 2 仳+ ，( u ) ，z q ， ( 1 1 2 ) 【 u = 0 ， z 夙2 其中，：r _ r 是奇函数，2 8 p 0 ，q 是p 3 ) 中的有界光滑 区域 显然稳态方程( 1 1 2 ) 的解包含在发展方程( 1 1 1 ) 所确定的全局吸引子之中， 文章 6 】运用易指标定义全局吸引子维数的概念，并对维数做了估计，有别于已 有的豪斯道夫维数和分形维数的概念，揭示了全局吸引子的几何性质 由无穷维动力系统理论可知，发展方程的解最终会衰退到稳态方程的解，从 而稳态方程的解的多重性反应了全局吸引子结构的复杂性一般的，解越多，全 局吸引子越复杂基于此，本文运用变分方法研究形如( 1 1 2 ) 的一类强制超临界 项的p - l a p l a c i a n 方程： r + i 训卜= 川lz 篡 c r ， 其中，一p u = - d i v ( 1 v u p - 2 v u ) ，a 为实参数，q 是r “m 3 ) 中的有界光滑区 域，：q r _ r 其中超临界项l 仳i 卜2 u 是个好项，不同于习惯上的超临界问题： 2 丝况 兰州大学2010 届硕士学位论文 一p u m l r 一：二妄，( z 乱) ，z ：专三： ( 发) 其中，一a p u = 一d i v ( 1 v u p _ 2 v 札) ，入为实参数，q 是r “( n 3 ) 巾的有界光滑区 域，：qx r r 注意到只有一个符号的差别，但由此而产生的困难是完全不同的在后一种 情形下，s o b o l e v 紧嵌入定理失去作用基本没有什么好的办法求解问题，1 9 7 3 年 j o s e p h 和l u n d g r e e ( 见【7 】) 在p = 2 ，区域为径向对称区域时，将偏微分方程化为 常微分方程进行研究 3 兰州大学2010 届硕士学位论文 1 2p - l a p l a c i a n 方程研究概况 考虑p - l a p l a c i a n 方程 ! - - a p u = ( 掣) ，征q ， ( 1 2 1 ) l 乱= 0 ， z a q ， 、。 其中，一p 牡= 一d i , ( i w i _ 2 v 妨，q 是瞅机3 ) 中的有界光滑区域，入为实参 数， ：q r r 满足以下假设： ( 1 ) i ( z ，u ) l c ( 1 + i 让i 七) ，c 0 为常数， ( 2 ) 对所有的钍r ， ( ，：q _ r 可测， ( 3 ) 对a e 的z 舻， ( z ，) ：r r 连续 为叙述方便，给出问题( 1 1 3 ) 的分类如下： 1 关于 的增长性将问题( 1 2 1 ) 分为三类 ( 1 ) 当k 矿一1 时，称问题( 1 2 1 ) 是超临界的 其中当1 p 扎，p 佗我们分别定义p + = 恶和p + = 0 0 2 根据 ( z ，) 在无穷远点附近的行为将问题( 1 1 ) 分为两类 ( 1 ) 当l i r a 一l 必u p - ii ! - 0 时，称问题( 1 2 1 ) 是p 次线性的，当p = 2 时称为 次线性的 ( 2 ) l i r a u 。o o l 掣i 0 0 时，称问题( 1 2 1 ) 是p 超线性的，当p = 2 时称为 超线性的 记 1， ， e ( 让) 2 ；上i v uj p d z - 上最( z ，让) 如， 其中最( z ，u ) = 片 ( z ，t ) 疵 为寻找方程( 1 2 1 ) 的弱解u 聪p ( q ) ，依变分原理，泛函e 的临界点就是 方程( 1 2 1 ) 的弱解，这样，方程的解的存在性和多重性问题就转化为其所对应 的e u l e r 泛函的临界点的存在性和多重性问题 s t r u w e 的专著f 2 2 】，张恭庆的专著 3 5 1 中都详细介绍了运用直接变分法和极 小极大方法研究方程( 1 2 1 ) 的多重解的存在性 直接变分法中最基本的就是极值理论，当泛函e 有下界时，用极小化序列方 法，即取泛函e 的极小化序列 ) c 孵p ( q ) ，在一定的紧性条件下证明极小 4 兰州大学2010 届硕士学位论文 化序列让n 有收敛或者弱收敛( 弱+ 收敛) 的子列，将其极限记为u ，则u 就是泛函 e 的一个极小值点，同时也是问题( 1 2 1 ) 的弱解 极小极大方法始于1 9 1 7 年b i r k h o f f 在有限维时寻找函数的稳定点的研究，其 想法就是在一定条件下，先构造性的得到临界值，继而通过临界值的存在得到临 界点的存在近3 0 年来，人们以超线性椭圆边值问题、椭圆型共振问题等为背景， 建立并发展了无穷维空间上的一系列极小极大定理，其中最重要的极小极大方法 的结果是1 9 7 3 年a m b r o s e t t i 和r a b i n o w t z 【2 1 2 的山路引理以及后来围绕这一引 理的各种变形和推广 以下分类简要叙述一些结果，使大家对椭圆性方程的研究有一个概括性的浏 览 次临界问题( 1 2 1 ) 解的存在性和不存在性，解的唯一性和多重性，解的正则 性以及渐近行为等方面取得了较多的结果参考s t r u w e 的专著【2 2 】，张恭庆的专 著 3 5 】 在次临界次线性情形，问题( 1 2 1 ) 可以通过直接变分法，上下解方法或者拓 扑度方法得到解决，可以在很多文献中看到 在次临界超线性情形，文献【2 】证明了当0 0 ，问题( 1 2 ) 没有正解；在相同区域的假设之下，当1 p 0 ，qcr n 为有界区域，泛函值低于= 1 0 n _ 。时重新得到失去的紧性， 找到山路型临界点，其中s 是最佳s o b o l e v 嵌入常数克服了p o h o z a e v 解的不 5 兰州大学20l0 届硕士学位论文 存在性的结果，说明解的存在性不但依赖于区域的拓扑性质，也依赖于非线性项 的具体表示形式 超临界问题：即，( ，入) 具有超临界增长，此时一般的传统的变分法不再适 用，只有在比较特殊的情形，得到了一些结果主要从区域的几何性质和拓扑性 质与解的存在性的关系两个方面得到一些结果 在径向对称的区域上，最早在1 9 7 3 年由j o s e p h 和l u n d g r e e ( 见【7 】) 把偏微分 方程转化为常微分方程，用常微分方程的技巧研究超临界问题的解得存在性此 后人们沿着这个思想做了很多这方面的工作，1 9 8 7 年，b u d d 和n o r b u r g 在文献 【5 1 得到了在三维时一个奇异解和无穷多个正解的存在性；m e r l e 和p e l e t i e r 在 【1 2 1 将结果推广至维数大于3 ，并且证明了奇异解的唯一性但很多结果基本局 限于径向对称区域或者全空间 在区域为球时，超临界问题的研究结果见文献【3 7 】，其中p = 2 ，y ( x ，i t ，入) = a u q + u p ，0 0 ，得到分别存在唯一的正常数入1 ，a 2 ，a 3 使 得当a ( 0 ，入1 ) 时，问题( 1 2 ) 有唯一的正解；当a = a 2 时，问题( 1 2 ) 有唯一的 奇异解和无穷多个正解，当入( a 2 ，a 3 ) 时，问题( 1 2 ) 至少有两个解；在球上的其 他结果见文献【2 0 ，2 7 】，将这种方法推广至有界区域上的结果见文献【1 3 ，2 6 ，3 4 】， 全空间上的结果见文献1 2 4 ，得到奇异解结果见文献【1 6 ，2 9 ，3 0 1 利用区域的拓扑性质来解决超临界问题，在区域的合适的拓扑之下来保证解 的存在或者不存在性，见文献【9 】，其思想主要来源于临界情形时b a h a x i 和c o r o n 找到的一种能保证解的存在性的“非平凡拓扑” 此外，在超临界情形，还有一些结果，如在约束子流形中得到解的存在性，见 文献【1 1 】 1 3 本文研究问题及主要结果 本文研究问题： 一p u + i “j r 一：二耋，( z u ) z ：乏： c 只， 其中，一p u = 一d i v ( j v u p v u ) ，a 为实参数，q 是r n ( 佗3 ) 中的有界光滑区 域，f ：qxr _ r 6 兰州大学2010 届硕士学位论文 本文研究问题模型：问题( 1 3 1 ) 稳态方程的一种特殊情形 r 仆r 乱m 8 = 牡r 2 嚣 其中l s t 0 ，- - a p u = - d i v ( i v u l p 一2 v u ) ，q 是r n ( n 3 ) 中的有界光滑区域 在本文中，通过证明方程所对应的泛函在b a n a c h 空间x = 峨p ( q ) f q ( q ) ，_ r p + = ：笔( 临界s o b o l e v 指数) 上强制，下半弱连续而得到一个全局极小 型的解，然后增加一个参数入，得到一个山路型解 本文主要结果如下： 定理1 设f 满足以下条件： ( 1 ) i f ( x ，牡) i c o + i u i 知) ，c 0 为常数，k 矿= 恶， ( 2 ) 对所有的u r ，( ，缸) ：q _ r 可测， ( 3 ) 对a e 的z r n ，f ( x ，) ：r _ r 连续， 则方程( p 1 ) 存在一个全局极小解 定理2 设f 满足以下条件： ( 1 ) 对所有的u r ，( ，u ) ：q _ r 可测， ( 2 ) 对a e 的z p ，( z ，) ：酞_ r 连续， ( 3 ) 存在常数q ，岛 0 使得 i ，( z ，甜) i c l ( 1 u 1 8 1 + u l k ) ，c 2 l u l 8 2 乱s ，( z ，让) ， 其中s 一1 0 护( q ) = u l u ：q _ 尉拘可测函数且矗川p d x 。o ) 在范数 l 仳i p = ( j u j p 如) ； i ，q 下构成一个b a n a c h 空间，其对偶空间为( q ) ，；1 + 专= 1 w 1 p ( q ) = 乱l “汐( q ) ，v u 护( q ) ) 在范数 u l p = i 钆i p + l v uj p f 构成一个b a n a c h 空间 叼p ( q ) 是c 字( q ) 在f i t ，p 范数之下的完备化的b a n a c h 空间，其对偶空间记 为一1 ( q ) 驴空间的插值不等式若j - ( q ) nl 8 ( q ) ，且令l r p 8 ( 3 0 ， 0 a 1 ，一1 ：垒+ 坐， p r8 则 l ，i p i ，i ，a l 川。1 。 定理2 1 1 ( s o b o l e v 嵌入定理) 设qc p 是有界光滑区域，则 ( 1 ) 当p 0 ，q 0 ：i l = p 哥e ( u ) a ； ( 3 ) j u l x ：i l u x l i p j l e ( u 1 ) p + = 恶，q 是r n ( n 3 ) 中的有界光滑 区域，：q r _ r 定理3 1 1 1 3 6 1 设x 是自反的b a n a c h 空间，e ：x r 满足： ( 1 ) e 是强制的，即当恢一c k ) 时，e ( u ) _ ， ( 2 ) e 是下半弱连续泛函，即当让nj 仳时，e ( u ) l i m i n f , ，_ + o oe ( ) ， 则存在让耐n x ，使得e ( 乱佩n ) = i n x e ( u ) 引理3 1 2 【2 2 】设，：q r r 满足条件： ( 1 ) 对所有的让r ，( ，铭) ：q _ r 可测， ( 2 ) 对a e 的z r 佗，( x ，) ：r _ r 连续， ( 3 ) 对某个8 1 ，lf ( x ，“) i c ( 1 + i u l 8 ) ， 则对坳：1 p 矿= n n p 。( 临界s o b o l e v 指数) ，则x 在范数l i 札恢= ，+ i v 铭l p 之下是一个自反b a n a c h 空间 证明首先证明x 是b a n a c h 空间，x 为赋范线性空间是显然的，故只需要 证明空间x 完备就可以了设 u n ) cx 为c a u c h y 点列，只需证明3 u x 使得 在x 中依范数收敛于某牡x 即可 由x 上范数的定义知点列u n 为l m ) ，孵p ( q ) 中的c a u c h y 点列，因为 l 7 ( q ) ，懈p ( q ) 都是完备的，故存在u ，坳在上，( q ) 中， u 竹_ 嘶 ( 3 1 1 ) 在吲护( q ) 中， u n _ 缸p( 3 1 。2 ) 1 0 兰州大学2010 届硕士学位论文 由嵌入定理2 1 1 及h s l d e r 不等式可知，在护( q ) 中乱n _ 邯，_ 撕， 依p ( q ) 中极限的唯一性，牡= 钍，= u p ，故在x 中，u n _ u 其次证明空间x 的自反性在嵌入7 ：也b - - - - - - - + ( u ，v u ) 意义下，视空间x 为 空间上，( q ) 妒( q ) 的闭子空间，因为( q ) p ( q ) 是自反的b a n a c h 空间，故x 是自反的b a n a c h 空间 引理3 1 4 如果x ，y ，z 均为b a n a c h 空间，则空间z = x o y 在范数 1 u l l z = i l u i x + l l u l l y 是一个b a n a c h 空间，其对偶空间z + = x + + y + 证明首先证明x + + y + cz 4 显然，若，x + + y 4 ，则存在f l x + ，尼y + 使 得，= + 厶，那么对于任意的u z ( + 厶，u ) i i ( ，让) i + i ( ，2 ，u ) l i i l i x i l u l l x + i i 厶l i y 0 u i i y ( | f | l x + 0 尼l | y ) l l u l l z 从而x + + y + cz + 其次，如果，汐，则由h a h n - b a n a c h 泛函延拓定理，| 是f 在x 上的延拓从 而矛cx + cx + + y + ，所以我们得到定理的结论 引理3 1 5 当1 s p + = 老 紧嵌入口( q ) 证明设在x 中，ju ，由引理3 1 4 可知在懈p ( q ) 中“n 一，在( q ) 中一 当1 8 矿= 恶紧嵌入( q ) 定理3 1 6 设f 满足以下条件： ( 1 ) i ，( z ，t i ) i c ( 1 + m 七) ，c 0 为常数，k p + = 器， ( 2 ) 对所有的u r ，( ，u ) ：q r 可测， 1 1 兰州大学2010 届硕士学位论文 ( 3 ) 对a e 的z 舻，f ( x ，) ：r _ r 连续， 则方程( 3 1 ) 存在一个全局极小解 证明记 e ( 乱) = ；1zi v u i p 如+ 昙上l 珏1 7 如一上f ( z ，珏) 如 其中，f ( x ，u ) = fs ( x ，亡) 班则泛函e ：x = 蟛p ( q ) n ( q ) _ r ，r p + = 卫i l , - - p ( 临界s o b o l e v 指数) 的全局极小是方程的解 由引理3 1 3 知x 在范数i l 札i i x = i u l ，+ i v u l p 之下是一个自反b a i l a c h 空间 因为 e ( u ) = 三v u l p 出+ 昙zi 缸i 如一上f ( z ，u ) 如 三v u l p 出+ 兰r 上川如一饧z l 牡i 知如一c t 三ll w l p 如+ 吾上川7 如一c ( 上) 詈如c ( 3 工3 ) 所以当i l u l l x 一。时，e ( u ) 一+ ，故泛函e 满足强制性 下证下半弱连续性： 设在x 中，u n u ，由引理3 1 4 可知在嘣p ( q ) 中位n 一“，在l ( q ) 中一u ， 显然：厶i v 仳l p d x + i 1 厶i u l d x 是下半弱连续的，故只需证明厶f ( x ，u ) d x 弱连 续即可，下面给出证明 由f 为c a r a t h e o d o r y 映射很容易得到f 也是c a r a t h e o d o r y 映射 设在x 中，u 住一饥，因为k 矿= 恶，入是实参数，q 是r n 3 ) 中的有界光滑区域，：qxr _ r 记 毋( 钍) = 三上i v 缸i p 如+ 石1 上m 如一入上f ( z m 如， 其中，f ( x ，u ) = f f ( x ，t ) d t 引理3 2 1 【1 9 】存在正常数c l ，c 2 使得对任意的，叼瞅 ( 1 ) 当1 p + 是自反的b a n a c h 空间，不妨假定序列u n 在空间x 中是弱收敛的 令 ，( u ) = 三l i v u l p 如 1 3 兰州大学2010 届硕士学位论文 ，( u ) = 1l 钍l d z k ( u ) = 一上f ( 叩，入) 如 则 e = i + j - t - k 1d e = d i + d j 七d k 以下对于p ，r 的取值进行分类讨论，在不等式的放缩中，主要的工具是引 理3 2 1 中的不等式( 3 2 1 ) $ f 1 1 ( 3 2 2 ) 情形1 ：当l p ? - 2 时 l v u m v u n 曙 c 【( i v u 仇l p 一2 v u m i v u n l p 一2 v ，v 一w ) l 呈( i v u m f + i v u 住i ) 堡 c 【( i v u m l p 一2 v u m i v 乱n l p 一2 v u n ，v u m v u 住) 】暑【( i v u m l + i v 乱n i ) 】堡笋 j q j s 2 a ( i v u mp 一2 v u m i v u n i p 一2 v u 竹，v 一v u n ) 】暑 = o ( d j ( ) 一d i ( u n ) ，u m u n ) 羞 所以 ( d ，( u m ) 一d ，( ) ，弛帆一) c i v n v u n 廖 类似于以上推理有 i u m 一l r c 【( i 铭m i r 一2 u m i r 一2 ，一珏。) 】黑( 1 仳m l + l 乱n 1 ) 堡等垃 c ( 1 u m l 一2 u m i f r 一。钆n ，一心n ) 】吾【( 1 u m l + i 钍n i ) 】掣 j 0 j 1 2 sc 1 【( 1 u m l 7 2 u m l u 1 7 2 u 忭，u m 一“n ) 】暑 = a ( d j ( ) 一d j ( u n ) ，u r n 一乱n ) 主 所以 r ( d j ( u m ) 一d j ( u 。) ，一u n ) e i 一u n 悟 1 4 兰州大学2010 届硕士学位论文 于是 c ( 1 u m u 。l i + v u m v u n 偿) ( d 取( u m ) 一d b ( u n ) ，一u n ) 一( d k ( u m ) 一d e ( u n ) ，让m t l n )( 3 2 3 ) 情形2 ：当1 p 2 r 时 ( d ，( u m ) 一d i ( u n ) ，让m u n ) c l v u , , , v u n 唐 ( d j ( u m ) 一d j ( u n ) ，u m 一) = ( i 。i p 一2 一i u n p 一2 乱n ，u r n 一) c 2 it 上仇一让n 曙 于是 c ( i 仳m 一i ：+ i v u m v u n l 砉) ( d 毋( 乱m ) 一d b ( ) ，也m 一) 一( d k ( u m ) 一d e ( u n ) ，u r n u n )( 3 2 4 ) 情形3 ：当2 p 0 使得 l ，( z ，u ) i c - ( 1 u 1 8 1 + i 乱i 七) ，c ，l u l 。一2 让( x ，u ) ， 其中8 1 0 ：i i 牡i i = 以亨e ( u ) a x ； 由条件( 4 ) 和s o b o l e v 嵌入定理知，对于任一充分大的a ( 待定) ， b ( 让) = ；1 上i v u | p 如+ ：lf u 1 7 如一z f ( z ，乱，a ) 如 三上i v “i p 如+ lf a 训r 如一a 上( f 让1 8 + 蚌1 ) ) 出 考l v 训；+ 言i u i r c ( i v u l ；+ i v 乱喀+ 1 由条件( 4 ) 知，p 0 ，q a 0 ：i i u 0 = 以= 令e ( “) 口 ； ( 4 ) 3 u o x ：0 u o l i p a 且上玖( 乱o ) 1 ，由条件( 5 ) ，当入充分大时，则 欧( 仳。) = ；1zi v 钍0 | p 如+ 吾z l r 出一上f ( z ，乱。，a ) 如 三zi v 咖i p 如+ 兰r 上i 如一岛az 1 8 如 0 定义 p = 仞伊( f o ，1 】；x ) ；p ( o ) = o ，p ( 1 ) = 乱o ) 1 7 兰州大学2010 届硕士学位论文 则由定理2 2 3 ( 山路引理) p = i n fs u pe ( 让( t ) ) n 入 p e p t e f o 1 】一“ 一 是泛函取的非平凡的临界值故问题存在山路型解 又在此假设之下由定n 3 1 6 得到方程存在一个非平凡的全局极小解，其临界 值为负数；由本定理得到的山路型解的临界值为正数，而e ( 0 ) - - 0 ，所以这两个解 是非平凡的 1 8 第四章总结及展望 本文应用了直接变分法求出了一个全局极小解，通过对参数的适当调节又得 到了一个山路型解。只求出了两个解的存在性，对于解的其它信息如解的符号变 化情况、解的正则性等没有给出相应于文献 2 l 】 1 7 】【1 4 】 1 8 】的结果 其中文献【2 1 】分别在正负锥上得到两个解：一个局部极小解，一个山路型的 解，求出一个变号解；【1 7 1 是强极大值原理；【1 4 】是l i e b e r m a n 的关于正则性的一 篇文章；【1 8 】克服了空间中的正锥没有内点的缺点，得到在c 1 拓扑下的局部极 小是可昧p ( q ) 拓扑下的局部极小 本文设想今后继续要做的问题有以下几个方面： 1 在对超临界项更一般的假设之下得到类似于文献【1 8 】中的结果，c 1 拓扑下 的局部极小不变号解是x = 孵p ( q ) f - ) 口( q ) 拓扑下的局部极小常号解；并在一 定条件下寻找不同于局部极小和全局极小的其它常号解和变号解； 2 在比较特殊的区域上，假定非线性项有某种对称性，运用临界点中的各种 指标理论，如亏格、畴数等等得到问题的多解性； 3 将研究椭圆问题的方法应用于其相应的发展性方程，研究无穷维动力系统 所关心的一些问题 1 9 参考文献 【1 la a m b r o s e t t i ，h a i mb r e z i s ，c o m b i n e de f f e c t so fc o n c a v ea n dc o n v e xn o n l i n e a r i t i e si ns o m ee l l i p t i cp r o b l e m s ，j o u r n a lo ff u n c t i o n a la n a l y s i s ，1 2 2 ，5 1 9 5 4 3 ( 1 9 9 4 ) 【2 】2a m b r o s e t t i ，a 一r a b i n n o w i t z ，p h ，d u a lv a r i a t i o n a lm e t h o d si nc r i t i c a lp o i n tt h e o r y a n ga p p l i c a t i o n s j f u n c t a n a l 1 4 ( 1 9 7 3 ) 3 4 9 - 3 8 1 【3 】a a m b r o s e t t i ，c r i t i c a lp o i n t s a n dn o n l i n e a rv a r a t i o n a lp r o b l e m s ，b u l l s o c m a t h f r a n e e1 2 0 ，m e m o i r en o 4 9 ( 1 9 9 2 ) 【4 】a a m b r o s e t t i ，j g a r c i aa z o r e r o ，i p e r a la l o n s o ，m u l t i p l i c i t yr e s u l t sf o rs o m en o n - l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s ，j f u n c t a n a l 1 3 7 ( 1 9 9 6 ) 2 1 9 2 4 2 【5 】5c b u d d ，j n o r b u r g ， s e m i l i n e a r e l l p t i ce q u a t i o n a n d s u p e r c r i t i c a l g r o w t h ，j d e 6 8 ( 1 9 8 7 ) ，1 6 9 - 1 9 7 【6 1c h e n g k u iz h o n g ，w e i s h e n gn i u ，e s t i m a t eo nt h ez 2i n d e xo ft h eg l o b a la t t r a c t o r s o fac l a s so fp - l a p l a c i a ne q u a t i o n ，s u b m i t t e d 【7 1d d j o s e h ，t s l u n d g r e n ，q u a s i l i n e a r d i r e c h l e tp r o b l e m sd r i v e n sb yp o s i t i v e s o u r c e ，a r c h ，r a t i o n a lm e c h ，a n a l 4 9 ( 1 9 7 3 ) 2 4 1 2 6 9 【8 】8d g d ef i g u e i r e d o ，o nt h ee x i s t e n c eo fm u l t i p l eo r d e r e ds o l u t i o n so fn o n l i n e a r e i g e n - v a l u ep r o b l e m sn o n l i n e a ra n a l y s i st m a 1 1 ( 1 9 8 7 ) ，4 8 1 4 9 2 【9 】9d p a s s a s e o ，n o n t r i v a ls o l u t i o n so fe l l i p t i ce q u a t i o n sw i t hs u p e r c r i t i c a le x p o n e n t i nc o n t r a c t i b l ed o m a i n s ，d u k em a t h j 9 2 ( 2 ) ( 1 9 9 8 ) 4 2 9 - - 4 5 7 【1 0 】e n d a n c e r ，an o t eo na ne q u a t i o nw i t hc r i t i c a le x p o n e n tb u l l l o n d o nm a t h s o c v o l2 0 ( 1 9 8 8 ) ，6 0 0 6 0 2 【11 】f m e r l e ，l a p e l e t i e r ，a s y m p t o t i cb e h a v i o u ro fp o s i t i v es u l u t i o no fe l l i p t i ce q u a - t i o nw i t hc r i t i c a ls n a d s u p e r e r i t i c a lg r o w t h ，i ，t h e r a d i a lc a s e ，a r c h r a t i o n a l m e c h m a t h 1 1 2 ( 1 9 9 0 ) ，1 -