（道路与铁道工程专业论文）分形理论在沥青混合料中的应用研究.pdf

摘要近年来，我国高速公路事业飞速发展，沥青路面在高速公路中的比重越来越大，对于沥青混合料的研究也越来越深入、细致。沥青混合料从原材料选择、级配设计直至成型，在诸多体积和性能形态方面都表现出统计自相似性，传统的经验指标很难准确的描述和评价，因此借助于分形理论进行定量分析。分形是研究自然界中大量存在的统计自相似特征的新的理论工具，在描述和评价一些具有层次连续性、不规则性或随机性等特征的现象方面表现出很强的功能。分形理论成为近年来沥青混合料研究的一个热点问题。利用分形理论的重要参数分维数对沥青混合料进行描述，推导出粒径分布函数和矿料级配的分形表示方法。对三种级配进行分形试验研究：s m a 1 3 、a c 1 3 c 、o g f c 1 3 ，采用广韶高速公路公司提供的花岗岩、石灰岩、矿粉，在试验研究和理论分析的基础上提出了矿料级配的分形评价模式。分别采用油石比6 o 和6 3 对s m a 一1 3 粗、中、细三种级配进行试验，分维数对稳定度、矿料间隙率、空隙率、饱和度、劈裂强度、残留稳定度等参数有不同的影响。表明了分形理论可以用在沥青混合料方面的研究，可以进一步的指导级配的设计。通对s m a 1 3 九种级配走向的分形分析，分维数对马歇尔试验体积指标、动稳定度指标的影响，提出s m a 级配走向选择的初步性原则。以四种抗滑级配作为研究对象：s m a 1 3 、a c 1 3 c 、o g f c 1 3 、a c 1 3 f ，对沥青路面抗滑性能采用分形进行分析和评价。分析断面构造分维数与矿粉含量、细集料以及构造深度的关系。断面分维数在一定程度上兼顾了路面的宏观和微观构造，并从构造大小和分布密度两方面对路面的粗糙程度进行评价。因此，断面构造分维数比构造深度更适宜评价路面抗滑性能的大小。关键词：分形理论，沥青混合料，级配，分维数，构造深度a b s t r a c ti nr e c e n ty e a r s ，e x p r e s sh i g h w a yd e v e l o p sa tf u l ls p e e di no u rc o u n t r y , a s p h a l tp a v e m e n to nt h eh i g h w a yi nt h ei n c r e a s i n g l yl a r g e ，t h es t u d yo fa s p h a l tm i x t u r em o r ed e p t h t h e r ea r es om a n ys e l f - s i m i l a r i t yc h a r a c t e r i s t i c si na s p h a l tm i x t u r ef r o mt h es e l e c t i o no fr a wm a t e r i a l s ，t h ed e s i g no fg r a d a t i o n ，u n t i lt ot h ec o n s t r u c t i o no fp a v e m e n t t r a d i t i o n a li n d e x e sb a s e do ne x p e r i e n c ea r cd i f f i c u l ti nd e s c r i b i n ga n de v a l u a t i n g ，s ow ec a nt u r nt ot h ef r a c t a lt h e o r yt og i v et h e maq u a n t i t a t i v ea n a l y s i s f r a c t a li san e wt h e o r e t i c a lt o o lt os t u d yl o t so fs t a t i s t i c a ls e l f - s i m i l a r i t yc h a r a c t e r i s t i c si nn a t u r e ，a n di th a sap o w e r f u lf u n c t i o ni nd e s c r i b i n ga n de v a l u a t i n gt h o s ep h e n o m e n ac o n t i n u o u si ns c a l e ，e r o s ei ns h a p eo rs t o c h a s t i ci nd i s t r i b u t e f r a c t a lt h e o r yh a sb e e nr e g a r d e da sah o t s p o t i s s u eo fa s p h a l tm i x t u r es t u d y t h ef r a c t a lm e t h o di su s i n gt h ef r a c t a lt h e o r yo fa ni m p o r t a n tp a r a m e t e ro ff i a c t a ld i m e n s i o nt od e s c r i b ea s p h a l tm i x t u r et od e r i v ep a r t i c l es i z ed i s t r i b u t i o nf u n c t i o na n dm i n e r a la g g r e g a t eg r a d a t i o n g r a d a t i o no ft h et h r e ep i l o ts t u d yo ff r a c t a l ：s m a _ 13 、a c 13 c 、o g f c 13 ，g u a n g - s h a oe x p r e s s w a yu s e dt op r o v i d et h eg r a n i t e ，l i m e s t o n e ，s l a g , e t c ，t h em i n e r a la g g r e g a t eg r a d a t i o ne v a l u a t i o no ft h ef r a c t a lm o d e lb a s e do nt h ep i l o ts t u d ya n dt h e o r e t i c a la n a l y s i s a s p h a l t a g g r e g a t er a t i oi su s e db y6 o a n d6 3 o fs m a - 1 3c o a r s e m e d i u ma n df i n et h r e eg r a d a t i o n sf o rt h et e s t f r a c t a ld i m e n s i o nm a yh a v ed i f f e r e n ti n f l u e n c e so nm a r s h a l ls t a b i l i t y , v o i d si nm i n e r a la g g r e g a t e ，p e r c e n t a g eo fv o i d s ，s a t u r a t i o nc l e a v a g es t r e n ga n dt h r e s i d u a ls t a b i l i t yo fa s p h a l tm i x t u r e r e s u l t si n d i c a t ef r a c t a lt h e o r yt h a tc a nb eu s e ds t u d yo fa s p h a l tm i x t u r ea n dg u i d e dt h ed e s i g no fg r a d a t i o n t h r o u g ht h es m a 13w i t hn i n ed i r e c t i o n so ff r a c t a la n a l y s i s ，f r a c t a ld i m e n s i o nm a yh a v ei n f l u e n c e so nd y n a m i cs t a b i l i t ya n dm a r s h a l lt e s tv o l u m et a r g e t s ，t h et r e n do fs m ag r a d a t i o ni sm a d et h r o u g ht h ep r i n c i p l eo fs e l e c t i o n g r a d e di nf o u ra n t i s l i d ef o rt h es t u d y ：s m a - 1 3 、a c - 1 3 c 、o g f c 一1 3 、a c - 1 3 f ，a n t i s l i d i n gp e r f o r m a n c eo fa s p h a l tp a v e m e n to nt h eu s eo ff r a c t a la n a l y s i sa n de v a l u a t i o n a n a l y i n gt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e ns t r u c t u r a ls u b - s e c t i o nd i m e n s i o nw i t hs l a gc o n t e n t ，f i n ea g g r e g a t ea sw e l la st e x t u r ed e p t h t os o m ee x t e n t ，s u b s e c t i o nd i m e n s i o nt a k e si n t oa c c o u n tt h em a c r o a n dm i c r o s u r f a c es t r u c t u r e ，a n df r o mt h es i z ea n dd e n s i t ys t r u c t u r eo fb o t ht h er o u g h n e s so ft h ep a v e m e n te v a l u a t i o n t h e r e f o r e t h es t r u c t u r a lf r a c t a ld i m e n s i o ni sm o r es u i t a b l ef o rp e r f o r m a n c ee v a l u a t i o no fa n t i - s l i d i n gt h a nt e x t u r ed e p t h k e yw o r d s ：f r a c t a lt h e o r y ；a s p h a l tm i x t u r e ；g r a d a t i o n ；f r a e t a ld i m e n s i o n ；t e x t u r ed e p t h长沙理工大学学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。作者签日期：2 0 0 9 年5 月2 1 日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。本学位论文属于l 、保密口，在年解密后适用本授权书。2 、不保密团。( 请在以上相应方框内打“4 ”)作者导师2 0 0 9 年5 月2 1 日2 0 0 9 年5 月2 1 日1 1 研究的目的和意义第一章绪论伴随着经济的快速发展，公路建设的发展日新月异。同时，公路建设的发展又推进着经济的又好又快发展。纵观道路的发展历程，我国的路面类型可以分为柔性路面、刚性路面、半刚性路面三类。其中，半刚性基层沥青路面以其独特的优势在我国的高等级公路建设中的应用越来越广泛。沥青混合料是由适当比例的粗集料、细集料及填料组成的符合规定级配的矿料，与沥青结合料拌和而制成的符合技术标准的一种复合材料。矿料起骨架作用，沥青与填料起着胶结和填充的作用，沥青混合料经过摊铺、压实成型后成为沥青路面。沥青混合料之所以成为现代道路路面结构的主要材料之一，它具备以下几个特点：第一：沥青混合料具有良好的力学性能和路用性能，铺筑的路面平整无接缝，减震吸声，行车舒适。第二：路面具有一定的粗度，且无强烈的反光，晴天无尘，雨天不泥泞，有利于行车的安全。第三：沥青路面可以全部采用机械化施工，有利于施工的质量控制，施工后即可开放交通。第四：便于分期修筑和再生利用。由于沥青路面的广泛采用，所以对沥青混合料的研究越来越细致、深化。沥青混合料的技术性质主要决定于材料组成和结构。沥青混合料是一种复杂的材料，它含有很多组成部分，如粗集料、细集料、矿粉与沥青以及外加剂等等，粗集料分布在沥青与细集料形成的沥青砂中，细集料有分布在沥青与矿粉构成的沥青胶浆中，形成具有一定摩擦力和粘结力的多级网络结构。由于各组成材料的比例的不同，压实后沥青混合料内部矿料的分布状态、剩余空隙率也呈现出不同的特征，形成不同的结构，而具有不同结构的沥青混合料在使用的过程中则表现出不同的路用性能。在进行科研研究时，对于这些材料，传统的方法都是以一些物理指标和力学指标去表征。这些组成部分对沥青混合料的强度、高温性能、低温性能、耐疲劳性能等方面有什么影响，它们之间以什么样的比例组成能达到最佳性能等问题，一直没有得到一个明确答案。沥青混合料结构同样也是极其复杂的，如矿物颗粒的大小及其不同粒径的分布、颗粒的相互位置、沥青在沥青混合料中的分布特征和矿物颗粒在沥青层中的性质、空隙率及其分布、闭合空隙率与连通空隙率的比值等。这种空间分布受材料、施工工艺等因素的影响，具有很大的变异性，因此力学性能上具有较大的不确定性。这种非确定性、模糊性、非线性充分反映了材料的复杂性。沥青混合料是由骨料、填充料和胶结料按照一定的比例构成的空间网状体系。由于原材料品质和加工方式的多样性、筛孔的间断性、成型过程中的变异性等因素的影响，使得实际的原材料几何形状和粒度分布、混合料空隙构造、级配、表面特征以及性能试验数据等呈现出一定的不规则性而和理想模型之间存在一定的差异。这种表面上的不规则性尽管难以用一个准确的数学公式加以描述和评价，在统计意义上却表现出一定的尺度范围内的自相似特征。分形理论作为一种新的理论，是非线性科学的前沿和重要的分支，又是一门新兴的横断学科。在物理化学、材料科学、地质勘探、信息科学等研究领域中十分活跃，是研究自然界和非线性系统中出现的不光滑和不规则几何形貌及复杂物理现象的有力数学工具，数学基础是分形几何【2 1 。分形维数( 在分形理论中，也有学者称为分数维数) 简称为分维，其变化是连续的，它定量描述分形结构自相似的程度、不规则程度或破碎程度。自相似原则和迭代生成原则是分形理论的重要原则。它表征分形在通常的几何变换下具有不变性，即标度无关性。由自相似性是从不同尺度的对称出发，也就意味着递归。分形形体中的自相似性可以是完全相同，也可以是统计意义上的相似【l l 。近十几年来，建立在分形理论基础上发展起来的分形几何学，为解释和描述自然界中的这种规律提供了新的思路和方法。由于分形理论着力描述自然界中的各类复杂而不规则现象的内在联系，而被广泛地应用于科学领域，随着分形理论的不断发展，其在科学研究中的重要性将更趋明显。沥青混合料中，级配、混合料的空隙率特征、路表特征，在一定的尺寸范围内都存在一定的随机和统计自相似性，传统的理论很难区分这种不规则性和自相似性带来的各种变化，因此引入分形理论从一个新的角度来描述和解释这种不规则性。在这样的现状下，将分形理论应用于沥青混合料方面的研究，显然具有优越性。1 2 分形理论的产生和发展分形理论使人们能以新的观念，新的手段来处理这些难题，透过扑朔迷离的无序的混乱现象和不规则的形态，揭示隐藏在复杂现象背后的规律，局部和整体之间的本质联系。分形所涉及的领域极为广泛，包括哲学、数学、生物学、物理学、材料科学、医学、农学、气象学、天文学、计算机图形学等，可以说如今的分形无处不在。分形理论在某些学科的成功尝试，极大地激发了科学研究工作者的兴趣，他们把分形理论逐渐扩展到其它的学科领域，更进一步的促进了分形学的发展。无论是国内还是国外都不定期的召开一些关于分形的学术会议，一时间关于分形理论的学术论文如火如荼的发表在各种期刊杂志上【l 】。美籍法国数学家曼德尔御罗特于l9 6 7 年在美国权威的科学杂志上发表了一篇具有启发性的文章：英国的海岸线有多长? ，引起了世人的关注，提出分数维概念，说明海岸线的长度不是固定的，而与所使用的码尺长度有关，使学术界认识到了自然界中分形的存在。自然界中的分形与概率统计、随机过程关系密切，确定性的古典分形集加入随机性，就会产生出随机康托集、随机k o c h 曲线等各种随机分形。19 6 8 年，曼德尔布罗特研究布朗运动这一随机过程时，将其推广到与分形有关的分数布朗运动【1 1 。1 9 7 4 年他又提出了分形渗流模型。19 8 8 年，柴叶斯( t c h a y e s ) 给出了详细的数学分析。1 9 8 4 年，扎乐( u z a h l e ) 通过随机删除而得到十分有趣的分形构造，随机分形能更真实地描述和模拟自然现象。1 9 7 5 年，曼德尔布罗特( b m a d e l b r o t ) 根据拉丁文形容词“f r a c t u s ”，并对其加以改造，成为现今广为人知的“f r a c t a l ”，它的含义是不规则的，琐碎的，支离破碎的等。我国则把它翻译成“分形”。曼德尔布罗特使用“f r a c t a l ”来描述大自然中各种不规则的事物形态，比如：曲折绵长的海岸线，错综复杂的血管，延绵起伏的山脉等。他们具有一个共同的特征，那就是他们的形态是不光滑的，粗糙的，是无法用传统的数学，物理学描述的，这就是分形。同年，曼德尔布罗特用法文出版了第一部分形著作分形对象：形、机遇和维数。之后，曼德尔布罗特又对该著作加以修改，加入了他对分形几何的新的思想、观点。l9 8 2 年，曼德尔布罗特又出版了自然界的分形几何，在这该著作中他为分形重新加以定义。在这期间，又有很多科学家投入到分形的研究领域，促使分形得到长足的发展，其中有19 8 2 年特里科特( c t r i c o t ) 引入填充维数，19 8 3 年格拉斯伯格r p g r a s s b e r g e r ) 和普罗克西娅( i p r o c a c c i a ) 提出根据观测记录的时间数据列直接计算动力系统吸引子维数的算法。l9 8 5 年，曼德尔布罗特提出并研究自然界中广泛存在的自仿射集，它包括自相似集并可通过仿射映射严格定义。l9 8 2 年德金( f m d e k k i n g ) 研究递归集，这类分形集由迭代过程和嵌入方法生成，范围更广泛，但维数研究非常困难【。1 9 8 9 年，钟红柳等人解决了德金猜想，确定了一大类递归集的维数。随着分形理论的发展和维数计算方法的逐步提出与改进，19 8 2 年以后，分形理论逐渐在很多领域得到应用并越来越广泛。然而，建立简便盛行的维数计算方法，以满足应用发展的需要，还是一项艰巨的任务。动力系统中的分形集是近年分形几何中最活跃和引人入胜的一个研究领域。动力系统的奇异吸引子通常都是分形集，它们产生于非线性函数的迭代和非线性微分方程中。1 9 6 3 年，气象学家洛伦兹( e n l o r e n z ) 在研究流体的对流运动时，发现了以他的名字命名的第一个奇异吸引子，它是一个典型的分形集。19 7 6 年，法国天文学家伊侬( m h e n o n ) 考虑标准二次映射迭代系统时获得伊侬吸引子。它具有某种自相似性和分形性质【2 】。1 9 8 6 年劳威尔( h a l a u w e r i e r ) 将斯梅尔的马蹄映射变形成劳威尔映射，其迭代下不稳定流形的极限集成为典型的奇异吸引子，它与水平线的截面为康托集。19 8 5 年，格雷波基( c g r e b o g i ) 等构造了一个二维迭代函数系统，其吸附界是维尔斯特拉斯函数，并得到盒维数。19 8 5 年，迈克多纳( s m m a c d o n a l d ) 和格雷波基等得到分形吸附界的三种类型：( 1 ) 局部不连通的分形集；( 2 ) 局部连通的分形拟圆周；( 3 ) 既不局部连通又不是拟圆周。前两者具有拟自相似性l 。多重分形( m u l t i f r a c t a l s ) 是与动力系统奇异吸引子有关的另一类重要分形集，其概念首先由曼德布罗特和伦依( a r e n y i ) 引入。法默( j d f a r m e r ) 等在19 8 3 年定义了多重分形广义维数。19 8 8 年博尔( t b o h r ) 等人将拓扑熵引入多重分形的动力学描述与热力学类比。19 8 8 年，阿内多( a a r n e o d o ) 等人将子波变换用于多重分形研究。费德( j f e d e r ) 、特尔( t t e l ) 等人进行了多重分形子集及标度指数的研究。阿姆特里卡等研究了多重分形的逆问题，提出广义配分函数，给出广义超越维数，对过去的维数进行了修正。李( j l e e ) 等发现了多重分形热力学形式上的相变【4 1 。1 9 9 0 年，伯克( c b e c k ) 得到广义维数的上下界和极限并研究了多重分形的均匀性量度。曼德布罗特研究了随机多重分形及负分维。l9 9 1 年科维克( z k o v a c s ) 等引入双变量迭代系统，最大特征值和吉布斯势导出维数、熵、李雅普洛夫指数，提供了对多重分形相变分类的一般方案。对于多重分形相变分类的一般方案。对于多重分形目前虽已提出不少处理方法，但从数学的观点上看，还不够严格，部分问题的数学处理难度也较大。分形理论真正发展起来才十余年，并且方兴未艾，很多方面的理论还有待进一步研究。近些年来的研究表明：近年分形理论的应用发展远远超过了理论的发展，并且给分形的数学理论提出了更新更高的要求。各种分形维数计算方法和实验方法的建立、改进和完善，使之理论简便，可操作性强，是分形的科学家们普遍关注的问题。而在理论研究上，维数的理论计算、估计、分形重构、动力学特征及维数研究将会成为数学工作者们十分活跃的研究领域。多重分形理论的完善、严格以及如何用这些理论来解决实际问题可能会引起科学家们广泛的兴趣，而动力学特征、相变和子波变换可能会成为其中的几个热点。到目前为止，人们对于分形理论的研究仍然在不断的进行中。随着分形理论的发展和完善，分形理论在沥青混合料方面的应用将不断扩大，其结果将进一步丰富和完善沥青混合料方面的理论研究及应用。伴随着科学技术的不断发展，计算机应用的日益广泛，人们认识新的事物能力不断提高，分形理论在不远的将来会有更大的发展空间。分形理论在各个学科间的应用将会给人们带来全新的认识。1 3 分形理论在土木工程材料方面的研究现状目前，在土木工程材料方面，分形理论应用于对结构表面裂缝的预测。例如，对混凝土材料微孔结构或构件断裂面粗糙度的分形特性分析，建立分形维与材料特性的关系是流行的研究方向。对脆性及半脆性混凝土断裂问题，要经过萌生、扩展和动态断裂的复杂过程。研究表明，裂纹具有分形特征，可用分形定量描述和区分混凝土在损伤演化期间形成的不规则微裂纹。通过分形插值对混凝土裂纹的监测点运算来构造迭代函数系统，其迭代函数吸引子的图像为分形插值函数的图像。曹茂森等将分形理论用于钢筋混凝土结构损伤裂缝的分析。损伤的结构表面裂缝在集中荷载空间内表现为简单分形，单位时间内结构损伤演化相对较大，具有拟动态特性，裂缝分布具有局部性、非均匀性和密度生长方向的可预测性，而标度结构损伤的物性参数一般为固有频率振型、阻尼等指标。基于钢筋混凝土梁试件在集中荷载下的逐级加荷载试验，模拟其在集中荷载空间内的损伤演化行为，探索损伤状态裂缝分布的分形特性并对损伤状态的分形维序列和物性参数序列的关系进行分析，以期建立描述结构损伤的分形特征因子。在匀布荷载空间内表现为多重分形，单位时间内结构损伤演化微小，具有拟静态特性，长期发育的裂缝分布具有随机、不确定意义上的全局均匀性；而标度结构损伤的物性参数一般为强度、密实度、碳化深度等静态指标。结构损伤耦合了荷载因素的随机性和材料本身的非线性【2 1 。其复杂性在结构内部表现为材料强度和密实度等物性参数的非均匀性，并进一步呈现为结构表面互相混杂、交织的裂缝分布。目前，沥青混合料设计常用的级配理论主要有最大密度曲线理论和粒子干涉理论。大密度曲线理论主要描述了连续级配的粒径分布，用于计算连续级配，粒子干涉理论则可用计算连续级配和间断级配。现有级配设计方法主要是以最大密度曲线理论为基础发展而来，只强调级配达到最大密实度，没有考虑骨架结构的形成与否，也没有评判是否形成密实骨架结构的指标，由此设计的级配也就难以形成骨架密实结构。魏矛斯提出的粒子干涉理论认为沥青混合料要达到最大密实度，前一级颗粒之间的空隙应由次一级颗粒填充，剩余空隙再由更次一级颗粒填充，但填隙的颗粒粒径不得大于间隙的距离，否则大小颗粒之间势必发生干涉现象【6 1 。传统的级配理论都是以欧几里德几何学为基础，而分形理论是近年来随着材料科学的发展，将分形几何理论应用于路面材料研究是出现的一种新方法。国内在沥青混合料级配设计领域，分形级配理论研究比较少，分形理论在道路工程的研究还处于发展阶段，但从材料学科角度研究路面材料的微细观结构有其独特之处，是路面材料发展的必然趋势。沥青混合料是一种多相不均质材料，由集料( 包括粗集料和细集料) 、矿粉及沥青组成，从结构上来说，存在着矿质集料、沥青结合料、孔隙在空间上的分布，这种空间分布受材料、施工工艺等因素的影响，具有很大的变异性，因此力学性能上具有较大的不确定性。这种非确定性、模糊性、非线性充分反映了材料的复杂性，这正是分形的特点。沥青混合料不论是材料的组成，还是在工作过程中裂纹的出现和发展，以及所表现出来的疲劳现象等均具有分形的性质。鉴于沥青混合料的具有分形方面的特性，国内外的研究者逐渐将分型理论引入沥青混合料的研究和评价以及试验的数据处理中，并将表征不规则分形体的分维数同路面的性能建立联系，并取得了很大的成绩。1 9 9 0 年，c a r r 等用分形的方法研究了集料颗粒形状特征，并用分维值表征集料颗粒的形状或棱角性；l9 9 2 年，他又用通过对集料颗粒不同的透视图轮廓线分形维数研究，获得了粗集料( 大于1 m m ) 颗粒表面积方法。19 9 1 年，l e b l a n c 等使用分形的方法对路面病害图像进行了分析和生成，分形的概念被用于路面病害数据的压缩和再生。在养护管理系统中对这些病害数据的压缩和再生进行技术处理，由于放弃了常用的记录详细而冗长具体数据的做法，而只需记录相应的迭代运算法则，所以节约了大量的存储空间。p e r d o m 和b u t t o n 在其所从事的一项细集料对于沥青路面抗车辙特性的研究中，借助分形分析的方法对于破碎和未破碎集料的形状和表面构造进行了分级评定【1 3 】。1 9 9 2 年，r i b b l e 等为了研究与水泥混凝土配合比设计相关的集料特性标准，通过分形的概念研究了集料颗粒的宏观构造和微观构造以及他们对于混凝土工作性的影响，认为构造粗糙的颗粒具有较大的分维值，集料的分维数同混凝土的工作性有直接的关系。1 9 9 3 年，l i 等采用分形分析定量而客观地描述了集料的形状，测定结果与集料颗粒是否旋转和移位无关( 而投影法则与此有密切关系) ，认为该技术有应用于集料传送带上进行自动化定量控制的潜力1 1 7 1 。1 9 9 6 年，m o h a n y e g g o n i 等研究表明，集料越粗糙、破碎集料的百分比越大，矿质混合料的分维数就越大；同时，混合矿料的分维数和沥青混合料的抗永久变形能力关系密切，当粗集料颗粒构造的分维数增加时，沥青混合料的静态蠕变和动态蠕变都相应减少【l5 1 。沥青混合料是一种具有复杂结构的非均质、多相和多层次的复合材料体系，其宏观表现的不规则性、不确定性、模糊性和非线性等特征，是其微观结构复杂的反映，用传统的测试方法难以解决。因此，采用分形理论分析沥青混合料的微观、细观、宏观层次自相似等特征对路用性能的影响是一种有效的途径。在国内，近年来分形理论的研究主要集中在地质地形、图形、材料等领域。分形在路面材料及评价方面有些研究内容集中在路面材料( 包括水泥混凝土和沥青混凝土) 的骨料粒度分布、车辙研究、力学性质、抗滑研究、级配走向、行车舒适性( 平整度) 和疲劳性能等方面，主要是利用分形特征参数一分维数来揭示试验数据分布所具有的分形特征。这些研究尽管切入点不同，表达形式各异，但对促进分形概念在路面材料领域的研究和应用具有积极的意义【2 1 。1 4 本文研究内容针对分形理论在沥青混合料的国内外研究现状，本文拟从以下几个方面进行研究：1 沥青混合料的分形特征分形理论是研究非线性领域的新的理论，自相似原则和迭代生成原则是分形理论的重要原则。而沥青混合料不管是原材料的形状、各部分的组成、表面特性，还是对其性能的评价都具有明显的不规则性，传统的理论很难区分这种不规则性带来的各种变化。利用分形理论探讨了集料的分形、粒径分布函数和矿料级配理论的分形推导以及级配的分形评价模式。2 沥青混合料分形与试验研究分维作为分形的定量表征和基本参数，是分形理论的重要原则。分维即分形维或分维数，通常用分数或带小数点的数表示。对同样材料的三种沥青混合料( a c l3 ，s m a 13 ，o g f c 13 ) ，调试三种混合料，讨论分维数与级配的相关性。以广韶高速公路改扩建工程的上面层s m a 13 进行粗、中、细三种级配研究，分6别以6 3 和6 o 对三种级配进行性能试验( 马歇尔试验，冻融劈裂、车辙试验等) ，将分维数与稳定度、d s 、矿料的间隙率、孔隙率、饱和度、劈裂强度建立关系，进行评价。3 级配的分形特征研究矿料的级配是一个具有分形特征的散料体系，利用分形的特征参数一分维数反映其本质特征。本文主要是对s m a 九种级配进行分形分析。借助于矿料级配的分形维特征及相应的马歇尔试验对其走向进行研究，尝试分析级配走向与潜在性能的关系，从分形维的角度给出了适应于不同地区的矿料级配的选取原则。4 分形理论与路面的抗滑性能的研究分析影响路面抗滑的因素，主要对路面的断面构造采用分形的分析方法，揭示分维数与构造深度、细集料的含量、矿粉的含量等等的关系。开辟路面抗滑的新的研究方法。7第二章分形理论与沥青混合料的研究2 1 分形理论概述自然界的不规则事物是传统的欧式几何无法描述的，而伴随着分形理论的出现逐渐地解决了这一难题，分形理论为解决自然界的这种不规则性提供了思路和方法。分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科。分形的概念是美籍数学家曼德尔布罗特首先提出的。1 9 6 7 年他在美国权威的科学杂志上发表了题为英国的海岸线有多长? 的著名论文。海岸线作为曲线，其特征是极不规则、极不光滑的，呈现极其蜿蜒复杂的变化。我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有什么本质的不同，这种几乎同样程度的不规则性和复杂性，说明海岸线在形貌上是自相似的，也就是局部形态和整体形态的相似。在没有建筑物或其他东西作为参照物时，在空中拍摄的l o o 公里长的海岸线与放大了的1 0 公里长海岸线的两张照片，看上去会十分相似。事实上，具有自相似性的形态广泛存在于自然界中1 1 2 1 。如：连绵的山川、飘浮的云朵、岩石的断裂口、布朗粒子运动的轨迹、树冠、花菜、大脑皮层等等。曼德布罗特把这些部分与整体以某种方式相似的形体称为分形。1 9 7 5 年，他创立了分形几何学。在此基础上，形成了研究分形性质及其应用的科学，称为分形理论。分维，作为分形的定量表征和基本参数，是分形理论的又一重要原则。分维，又称分形维或分数维，通常用分数或带小数点的数表示。长期以来人们习惯于将点定义为零维，直线为一维，平面为二维，空间为三维，爱因斯坦在相对论中引入时间维就形成四维时空。对某一问题给予多方面的考虑，可建立高维空间，但都是整数维。在数学上，把欧氏空间的几何对象连续地拉伸、压缩、扭曲，维数也不变，这就是拓扑维数。然而，这种传统的维数观受到了挑战。曼德布罗特曾描述过一个绳球的维数：从很远的距离观察这个绳球，可看作一点；从较近的距离观察，它充满了一个球形空间；再近一些，就看到了绳子；再向微观深入，绳子又变成了三维的柱，三维的柱又可分解成一维的纤维。那么，介于这些观察点之间的中间状态又如何呢?自相似原则和迭代生成原则是分形理论的重要原则。它表征分形在通常的几何变换下具有不变性，即标度无关性。由自相似性是从不同尺度的对称出发，也就意味着递归。分形形体中的自相似性是指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度都是相似的，或者某种系统或结构的局域性质或局域结构与整体类似。可以是完全相同，也可以是统计意义上的相似。标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构。如k o c h 雪花曲线、谢尔宾斯基地毯曲线等。这种有规分形只是少数，绝大部分分形是统计意义上的无规分形。分形理论既是非线性科学的前沿和重要分支，又是一门新兴的横断学科。作为一种新的方法论和认识论，其启示是多方面的：一是分形整体与局部形态的相似，启发人们通过认识部分来认识整体，从有限中认识无限；二是分形揭示了介于整体与部分、有序与无序、复杂与简单之间的新形态、新秩序；三是分形从一特定层面揭示了世界普遍联系和统一的图景。分形理论广泛应用于数学、物理、化学、计算机科学、电子图像处理技术、生物科学、材料科学等学科，取得了重大的研究成果。另外，关于分形理论的论文在各种学术期刊上相继出现，又促进了分形理论的纵深发展。纵观分形理论所具有的优势，其在科学研究领域的重要性将会更加的明显。2 1 1 分形的定义曼德尔布罗特曾给出了一个分形的数学定义：一个几何对象，它的豪斯道夫维数严格大于其拓扑维数。这不仅有些抽象，而且也不是一个令人满意的定义，因为还有好多分形，没有被该定义涵盖。后来曼德尔布罗特又给出了一个比较通俗的定义：部分与整体以某种形式相似的形【l4 1 。分形理论作为一种新的理论，到目前来说还没有一个严格和明确的定义。现在一般用法尔科内的分形集几何学对分形集合f 的描述来判断某一对象是否是分形：( a )f 具有精细的结构。即在任意小的尺度之下，它总有复杂的细节；( b ) f 是如此的不规则，以至它的整体和局部都不能用传统的几何语言来描述：( c ) f 通常具有某种自相似性，这种自相似性可以是近似的，也可能是统计意义上的；( d ) f 在某种意义下的分形维数通常都大于它的拓扑维数；( e )在多数令人感兴趣的情形下，f 以非常简单的方法定义，或许以递归过程产生【4 1 。以三分康托集为例，其详细的构造过程为：第一步，把闭区间【0 ，1 】平均为三段，去掉中间的1 3 部分段，则只剩下两个闭区间 0 ，1 3 和 2 3 ，1 。第二步，再将剩下的两个闭区间各自平均分为三段，同样去掉中间的区间段，这时剩下四段闭区间：【0 ，1 9 】，【2 9 ，1 3 】，【2 3 ，7 9 和1 8 9 ，l 】。第三步，重复删除每个小区间中间的l 3 段。如此不断的分割下去，就越来越接近于分形。图2 1 是分割四次的图形。三分康托集的h a u s d o r 雠数是0 6 3 0 9 。o：鬻委誊；簿：嚣鬻搿鬣鏊i 鬟篱鬻耋葚童譬 。j ? 参菇萋簿翁豢蒸霪_孽! 整零；i 黪! ，囊，囊j 囊囊羹妻篆誊_ 曦哆! i i ：l i图2 - 1 三分康托集的构造过程以k o c h 曲线为倒，它是将长度为l o 的直线三等分后，中问一部分用夹角为6 0 。的两段等长线段( l o ，3 ) 。代替后，进行反复迭代后形成的，迭代的次数越大，曲线的嵌套结构越复杂，就越接近典型的分形结构t 不同迭代次数( n = 0 3 )时的曲线如图2 - 2 所示。圈2 - 2 三级k o c h 曲线目前，对于分形的判断常采用自相似分形的幂律定义，( ) ：( 当) ”m0 或，( ) 邶“( 2 - 1 )式中：f ( c ) 一代表某一几何图形的长度、面积、或体积；f o 一几何图形为整形( d = ” 为线段的维数) 时的长度、面积、或体积6 一长度尺码；e 一无量纲尺码长度；d 一分形维数；d 一分形的拓扑维数，对于分形曲线，d = l ；对于分形曲面，d = 2对于三维分形体，d = 3 。当用一个长为6 的盒子去覆盖某几何图形f 时，如果所需要的盒子数n 。( f ) 满足一下的幂律，则认为它是一个分形：m ( f ) = 万叩( 2 - 2 )2 1 2 分形的维数维数是几何对象的重要特征量，维数包含了集合的几何性质的许多信息。一个图形维数的大小，表示它占有空间的大小。尤其是在分形中，它对如何准确地描述图形起到了很大的作用。分形维数是判断两个分形是否一致的度量标准之一。豪斯道夫维数：欧氏维数都是整数。然而，现实生活中遇到的物体的维数常常不是一个整数值。1 9 1 9 年，波恩大学数学家豪斯道夫从测量的角度获得豪斯道夫维数的定义，它为不规则物体的描述提供了数学依据。在表述豪斯道夫维数之前，先介绍豪斯道夫测度【5 】。如果u 为n 维欧氏空间rn 中任何非空子集，u 的直径定义为j u l = s u p l x - y i ：x ，y u ) ，即u 内任何两点距离的最大值，式中s u p是上确界的缩写。如果 ui ) 为可数( 或者有限) 个直径不超过6 的集够成的覆盖f 的集类，即fcu u ；，且对于每一个i = 1 ，椭- o 0 ，定义r 一、h ；( f ) = i n f t 芝l u r ：妙，) 为f 的穰盖( 2 3 )l i = lj式中的i n 馄下确界的缩写 3 1 。考虑所有直径不超过6 的f 的覆盖，并试图使这些直径的s 次幂的和达到最小。当6 减少时，式2 3 中能覆盖f 的集类是减少的，所以下确界日；( f ) 随着增加且当6 _ 0 时趋于一个极限( 集合的上确界与下确界直观地被认为是集合的最大值与最小值) 。记作h5 ( f ) = 粤碑h ；( f )d u( 2 4 )x 4 rn 中的任何子集f ，这个极限都存在，但极限值可以是( 并且通常是) 0 或0 0 。h 3 ( f ) 被称为f 的s 维豪斯道夫测度。长度、面积和体积的比例性质是当它们的比例放大九倍时，曲线的长度放大九倍，平面区域的面积则放大九2 倍，三维物体的体积则放大矿倍。同理，豪斯道夫测度也符合这一规律。一个s 维的豪斯道夫测度对物体放大了九5 倍。计盒维数：研究表明，豪斯道夫维数尽管有严格的定义和求解过程，但即使对于简单的分形体，其求解过程也是复杂而困难，因此其价值更多的体现在理论推导和数理逻辑方面。而计盒维数是通过试验方法来测定的，由于其数学计算和经验估计相对容易一些，因此在实际中应用较多 3 1 。设f 是n 维空间r n 上任意非空的有界子集，m ( ，) 是直径最大为6 ，可以覆盖f 的集的最少个数，则的下、上盒维数可分别定义为：( 2 5 )( 2 - 6 )如果这两个值相等，则叫这个共同的值为f 的计盒维数，记为：d 砌。f ：l i m l o g n 8 ( f ) ( 2 7 )。6 - , , 0 一l 0 9 3在实际中，计算集合f 的计盒维数时，首先构造一些边长6 为的方形盒子，其次计算不同时盒子与f 相交的个数n 。( f ) 。计盒维数因此得名，这个维数可以用双对数坐标中图形的斜率来进行估计。严格意义上的自相似体，将其划分为n 个形态和大小完全一致的小图形，每一个小图形的线尺度是原图形的1 r 倍，自相似体的d 值：d ：l n n ( r )( 2 8 )l n ( 1 r )2 2 分形理论对集料形状的分形描述沥青混合料各方面的性能起着重要的作用的是粗集料。高等级公路面层的粗集料颗粒形状在沥青路面规范中要求含糊，即“表面粗糙、形状近似立方体”，并且用颗粒的针片状含量、破碎面等方面进行约束。这些方法在科学研究中的缺陷在于耗时长，工作量大，准确到个体集料很难。定量的研究集料整体、个体的形状，利用分形技术和图像处理技术的有机结合，通过集料的d 值来表征集料的不规则程度。该方法首先对集料边界提取和识别，进而计算斜率密度函数，最后得到集料形状分布的d 值。2 2 1 集料的边界识别和提取集料的边界识别和提取，通过将集料样品的黑白照片数字化成栅格分布的像1 2、，一) 一 | 万 i 万舻一驴舻一驴m 一崦一塑一堕一坐一堕一躲i 墨籼=fp口一一b堕瓦塑而素图像来实现的。每个像素点根据颜色的不同在0 2 5 5 范围内赋予不同的灰度水平，0 表示纯黑，2 5 5 表示最亮的浅色h g l 。使图片中集料形状能够清晰地呈现，集料照相时必须选择与集料颜色对比明显的背景色，通过数字化后集料图像中较大的像素颜色变化梯度曲线可以发现集料在图像中的区域，发现集料边界的轮廓，如图2 - 3 。集料形状轮廓一旦决定，根据平面长度尺寸计算一些形状参数；根据集料轮廓区域以内相邻像素灰度水平的变化比率也可以判断集料颗粒的表面构造，表面越粗糙，变化比率越明显。间嘲a 集科区域讥别b 集_ i 斗边界提取图2 - 3 集料边界的识别和提取2 2 2 斜率密度函数斜率密度函数是沿某一形状边界采集角度的变化频率，对于封闭边界来说，采集起终点重舍，角度变化范围在0 2n 之间。斜率密度函数曲线的本质可以反映集料颗粒的形状特征曲线越是参差不齐，集料颗粒的棱角性越丰富。图2 - 4 是几种标准形状的典型曲线。ov - iz 址ic 口摹幢的辄r 蛐图2 4 几种标准形状的s d f 曲线i32 2 3 集料形状的分维数既然图形边界的斜率密度函数曲线可以良好地反映集料形状，因此集料形状分维数的计算可以采用计盒法求斜率密度函数曲线的维数来确定f 5 0 】。计算时用一系列不同边长6i 的小正方形盒子去覆盖斜率密度函数曲线，记录每次覆盖所需要的