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哈尔滨理t 大学理学硕十学位论文 几类映射的不动点迭代序列的若干收敛性质 摘要 不动点问题一直是人们关注的重点问题之一，有关这方面的研究也取得 了显著的成绩。在不动点问题研究的众多方向中，关于构造渐近不动点序列 的迭代收敛问题以及其在控制、非线性算子和微分方程等方面的理论结合及 应用成为研究的主流问题，对这方面问题的研究在实际运用中起到至关重要 的作用。本文主要研究了i s h i k a w a 迭代序列、m a n n 迭代序列和三步迭代 序列，以及介绍了带误差的i s h i k a w a 迭代序列、m a n n 迭代序列和三步迭 代序列的收敛性方面的若干性质，及其在几类映射下的具体结论。 本文主要包括以下三方面内容：第一部分是i 三一口) 一致l i p s c h i t z 渐近 非扩张映射的不动点迭代问题；第二部分是渐近非扩张型映射的不动点迭代 问题；第三部分是严格伪压缩映射的不动点迭代逼近问题。 首先，讨论了( 一口) 一致l i p s c h i t z 渐近非扩张映射的不动点迭代问题。 给出了此映射带误差的i s h i k a w a 迭代序列、m a n n 迭代序列和三步迭代序列 的收敛性条件，并给出了严格证明。用新方法研究了b a n a c h 空间中( 一口) 一致l i p s c h i t z 渐近非扩张映射不动点的迭代逼近问题，去掉了定义域和值 域的有界性假设。 其次，研究了渐近非扩张型映射带误差的三步迭代序列的收敛性问题， 在一致凸的b a n a c h 空间中给出了带误差的三步迭代序列逼近渐近非扩张型 映射不动点的强收敛定理，并在一致渐进正则条件下证明了三步迭代序列强 收敛其不动点。其结果把i s h i k a w a 迭代序列和m a n n 迭代序列推广到三步迭 代序列上，改进了一些相关结果。 最后，主要讨论了严格伪压缩映射的不动点迭代逼近问题，给出了在 h i l b e r t 空间中的非空有界闭凸集上l i p s c h i t z 严格伪压缩映射的带误差的 i s h i k a w a 和m a n n 迭代序列的一些收敛性定理。其结果把非扩张映射推广到 l i p s c h i t z 严格伪压缩映射上，改进了一些相关结果。 关键词不动点；渐近非扩张型映射；渐近非扩张映射：i s h i k a w a 和m a n n 迭代序列；严格伪压缩映射 哈尔滨理_ t 大学理学硕士学位论文 s o m ec o n v e r g e n c ep r o p e r t i e so ff i x e dp o i n t i t e r a t i v es e q u e n c e sf o rs o m e m a p p i n g s a b s t r a c t t h ep r o b l e mo ff i x e dp o i n ti so n eo ft h em o r ei m p o r t a n tp r o b l e m st h a t p e o p l er e g a r d ，a n dt h ec o r r e s p o n d i n gr e s e a r c hh a s g a i n e dm a n yg r e a t a c h i e v e m e n t s a m o n gm a n yd i r e c t i o n so ft h ef i x e dp o i n tr e s e a r c h e s ，i tb e c o m e s m a i np r o b l e mt h a tt h ec o n v e r g e n c ep r o b l e ma b o u tm a k i n ga p p r o x i m a t i n gf i x e d p o i n ts e q u e n c e sa n di t sa p p l i c a t i o ni nc o n t r o l ，n o n l i n e a ro p e r a t o ra n dd e r i v a t i v e e q u a t i o ne t c t h er e s e a r c ho ft h i sp r o b l e mw i l lp l a ya l li m p o r t a n tr o l ei ni t s a p p l i c a t i o ni nr e a l i t y i nt h i sp a p e r , t h ei s h i k a w a ，m a n na n dt h r e e s t e pi t e r a t i v e s e q u e n c e sa r ed i s c u s s e da n ds o m ep r o p e r t i e so ft h ec o n v e r g e n c eo ft h ei s h i k a w a ， m a n na n dt h r e e - s t e pi t e r a t i v ep r o c e s s e sw i t he r r o r sa n dt h e i rd e t a i lc o n c l u s i o n u n d e rs o m em a p p i n g sa r ei n t r o d u c e d t h et h e s i s m a i n l yc o n s i s t s o ft h r e ep a r t s t h ef i r s ti st h ec o n v e r g e n c e p r o b l e m so ff i x e dp o i n ta b o u t u n i f o r m l y ( l - a ) - l i p s c h i t za s y m p t o t i c a l l y n o n e x p a n s i v em a p p i n g ；t h es e c o n di st h ec o n v e r g e n c ep r o b l e mo fu n i f o r m l yl l i p s c h i t za s y m p t o t i c a l l yn o n e x p a n s i v et y p em a p p i n g s ；t h el a s ti st h ec o n v e r g - e n c et h e o r e m so fas t r i c t l yp s e u d o - c o n t r a c t i v em a p w ef i r s td i s c u s st h ec o n v e r g e n c ep r o b l e m so ff i x e dp o i n ta b o u tu n i f o r m l y 【一口) 一l i p s c h i t za s y m p t o t i c a l l yn o n e x p a n s i v em a p p i n g t h er e s u l t sa r eg i v e n b yt h ec o n v e r g e n c ep r o b l e mo fi s h i k a w a ，m a n na n dt h r e e - s t e pi t e r a t i v ep r o c e s s e s w i t he r r o r s ，a n dw ep r o v ei t b yu s i n gan e wm e t h o d ，t h ei t e r a t i v ea p p r o x i m a t i o n p r o b l e m s o ff i x e d p o i n t s f o r u n i f o r m l y( l - c t ) - l i p s c h i t za s y m p t o t i c a l l y n o n e x p a n s i v em a p p i n gi n b a n a c hs p a c e sw e r es t u d i e d ，a n dt h eb o u n d e d a s s u m p t i o no fd o m a i na n dr a n g ew a sd r o p p e d s e c o n d ，w es t u d yt h ec o n v e r g e n c ep r o b l e mo ft h r e e s t e pi t e r a t i v es e q u e n c e a p p r o x i m a t i o n t of i x e d p o i n t so fu n i f o r m l yl l i p s c h i t z a s y m p t o t i c a l l y n o n e x p a n s i v et y p em a p p i n g sw i t he r r o ri nu n i f o r m l yc o n v e xb a n a c hs p a c e ，a n d w ep r o v et h ec o n v e r g e n c et h e o r e m so ft h r e e s t e pi t e r a t i v es e q u e n c ew i t he r r o r i i 哈尔滨理t 大学理学硕：l 学位论文 g 目= 目l 目= $ e i i l 目e l e = = ! ! = = ! ! ! ! = = ! = ! = e = = e = = = = = = = = = 自l e = g j i 目l e 自自= = = ! ! l a p p r o x i m a t i o na s y m p t o t i c a l l yn o n e x p a n s i v et y p em a p p i n g , t h ef i x e dp o i n t p r o p e r t i e so fi s h i k a w aa n dm a n ni t e r a t i v es e q u e n c e sa r ee x t e n d e dt ot h r e e s t e p i t e r a t i v es e q u e n c e a n dw ei m p r o v es o m er e c e n tc o r r e s p o n d i n gr e s u l t s a tl a s t ，w eg e ts o m ec o n v e r g e n c et h e o r e m sf o ri s h i k a w aa n dm a n ni t e r a t i v e s e q u e n c e sw i t h e r r o r so fas t r i c t l y p s e u d o c o n t r a c t i v em a pi nan o n e m p t y b o u n d e dc l o s e dc o n v e xs u b s e to fah i l b e r ts p a c e t h ef i x e dp o i n tp r o p e r t i e so f n o n e x p a n s l v em a p p m ga r ee x t e n d e dt os t r i c t l yp s e u d o c o n t r a c t i v em a p t h e r e s u l t si m p r o v e da n de x t e n d e ds o m er e c e n t l yr e s u l t s k e y w o r d sf i x e dp o i n t ，a s y m p t o t i c a l l yn o n e x p a n s i v et y p em a p p i n g ，a s y m p t o t i c a l l yn o n e x p a n s i v em a p p i n g ，i s h i k a w aa n dm a n ni t e r a t i v es e q u e n c e s ，s t r i c t l yp s e - u d o c o n t r a c t i v em a p i h 哈尔滨理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文几类映射的不动点迭代序列的 若干收敛性质，是本人在导师指导下，在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间独 立进行研究工作所取得的成果。据本人所知，论文中除已注明部分外不包含他人 已发表或撰写过的研究成果。对本文研究工作做出贡献的个人和集体，均已在文 中以明确方式注明。本声明的法律结果将完全由本人承担。 作者签名：盾鬻国 日期： 沙留年月i 箩日 哈尔滨理工大学硕士学位论文使用授权书 ：几类映射的不动点迭代序列的若干收敛性质系本人在哈尔滨理工大学攻 读硕士学位期间在导师指导下完成的硕士学位论文。本论文的研究成果归哈尔滨 理工大学所有，本论文的研究内容不得以其它单位的名义发表。本人完全了解哈 尔滨理工大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门提交 论文和电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权哈尔滨理工大学可以采用影 印、缩印或其他复制手段保存论文，可以公布论文的全部或部分内容。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用授权书。 不保密诬。 ( 请在以上相应方框内打4 ) 作者签名： 导师签名： 屈箭国 多移 日期：加g 年弓月i 罗日 日期：弼年弓月嗲日 哈尔滨理t 大学理学硕：l ：学位论文 第1 章绪论 1 1 本研究课题的学术背景 不动点问题广泛引起关注和深入研究初始于b a n a c h 压缩原理的提出和证 明，随后有关不动点问题的研究越来越多。人们分别从空间性质，算子以及算 子满足的条件这三方面对不动点问题进行更深一步的研究，得到了相当丰富的 成果l l - 9 1 。在不动点问题研究的众多方向中，关于构造渐近不动点序列的迭代及 其收敛问题以及其在控制、非线性算子和微分方程等方面的理论结合及应用成 为研究的主流问题，对这方面问题的研究和解决会在实际运用中起到至关重要 的作用。 设c 是b a n a c h 空间x 的非空子集，映射t ：c 专c 称为渐近非扩张的，如 果存在一列j 下数 包j 满足l i m 七。= l ，且使得 0t ”x - t ”yi i 乞| | x y0 ，v x ，y c ，n = l ，2 ，3 此类映射于1 9 7 2 年由g o e b e l 和k i r k 引入【l o l ，这一概念与b a n a c h 空间中不动 点的理论紧密相关。他们证明了定义在一致凸b a n a c h 空间e 上的非空有界闭 凸子集d 上的渐近非扩张自映射r 在d 上存在不动点。 1 9 7 4 年，k i r k 又引入了渐近非扩张型映射的概念，许多作者研究了该型 映射在不同空间里的不动点的存在问题。 1 9 9 1 年s c h u 引入了下述迭代序列】：设x 是一线性赋范空问，c 是x 中 的非空凸子集，t ：c 专c 是一自映射，v x , c ，i s h i k a w a 迭代序列 毛l 定义 为 ( 朋嚣1 j 兄2 ( 1 - 吃) 毛+ 吃p l n _ l 、 7 【+ l = ( 1 一吒) + 口。r 以j 特别，若在( 膨酪) 中令吃= 0 ，v n l ，则得到m a n n 迭代序列 毛 为 f 删1 i x a c 力l 、 7 【i = ( 1 一吒) + 口。t “毛j 借助上述迭代程序，s c h u 在h i l b e r t 空间和b a n a c h 空间中得到了渐近非 扩张映射的强弱收敛定理【1 2 l 。1 9 9 4 年，t a n 和x u 在一致凸b a n a c h 空间上建立 了渐近非扩张映射的m a n n 和i s h i k a w a 迭代格式的弱收敛定理【1 3 i 。借助于x u 哈尔滨理工大学理学硕：卜学位论文 的不等式【1 4 】，r h o a d e s 在1 9 9 4 年将定理推广到了更一般的一致凸b a n a c h 空间 中【1 5 1 。关于迭代构造渐近非扩张映射的不动点的研究t a n 与x u 证明了在满足 o p i a l s 的条件或具有f r e c h e t 可微范数的一致凸b a n a c h 空间中修改了的 i s h i k a w a 迭代程序 + i = a n t ”( 吃r ”毛+ ( 1 一瓯) 毛) + ( 1 一吒) 毛，刀l 是弱收敛的【1 6 1 。进一步，借助t a n 与x u 以及t a k a h a s h i 与k i m 的思想【1 7 1 ，曾 将t a n 与x u 推广到了非空闭凸子集的情形【i 司。 刘齐侯又阐述了b a n a c h 空间上渐近准非扩张映射丁的带误差的i s h i k a w a 迭代序列收敛于丁的不动点的充分必要条件。 许多作者研究了渐近非扩张映射的迭代逼近不动点的问题，其中文献研究 了一致凸b a n a c h 空间中渐近非扩张映射r 的p i c a r d 迭代序列在渐近正则条件 下弱收敛于丁的不动点【1 9 2 0 l ，而文献研究了i s h i k a w a 迭代序列的弱收敛以及在 较强条件下的强收敛于不动点的问题【2 。 许多学者己经对一步迭代与二步迭代有了广泛的研究，最主要的例子就是 m a n n 迭代和i s h i k a w a 迭代，最主要的用途是用来求解h i l b e r t 空问与b a n a e h 空间上的非线性算子方程。 自n o o r 引入三步迭代以来瞄之4 1 ，不少人对此进行了研究。 n o o r 对三步迭代方法作了介绍和分析【2 5 i ，他借助校j 下解与辅助原理的方 法研究了h i l b e r t 空间变分不等式逼近解的问题，类似的思想要追溯到 g l o w i n s k i 和l e t a l l e e 介绍的所谓的b 方案【2 6 1 ，它是应用拉格朗日乘法来寻找 两个和更多个极大单调算子和式的零点。 g l o w i n s k i 和l e 嘲l e 将三步迭代原理应用于弹性内摩擦塑性力学问题的近 似根的求解，液晶原理以及特征值计算，而且他们还指出三步逼近用数值进行 起来效果更佳。 h a u b r u g e 完成了对g l o w i n s k i 和l e t a l l e 所建立的三步迭代序列收敛性的 分析1 2 7 1 ，并应用这种迭代方法得到了一种解变分不等式，可分凸规划以及凸函 数和式极小化问题的新方法一分裂型算法。他们还证明了在某些条件下由三步 迭代可得到高度平行算法。 1 9 8 7 年c h i d u m e 证明了，若k 是。( ，。) 空间( p 2 ) 的有界闭凸子集，且 t ：k 专k 是l i p s c h i t z 严格伪压缩映射，则m a n n 迭代序列强收敛于丁的不动 点。 1 9 9 5 年d e n g 和d i n g 证明了s 一一致光滑b a n a c h 空间( j 1 ) 强收敛到r 的 不动点。t a n 与x u 研究了m a n n 迭代程序与i s h i k a w a 迭代程序，并证明了p 一 哈尔滨理工大学理学硕二l 学位论文 一致光滑b a n a c h 空间( 1 满足l i m 厶= l ，且使得 0t 4 x - p0 厶i ix pl i ，v x c ，v p f ( r ) ，n = 1 ，2 其等价形式为： | | t ”工一p i i 1 1 1 + 1 1 1 1 i x - - p i l ，v x e c ，跏p ( r ) ，( 只d 为t 的不动 点的全体) ，其中，屯 o ，佃】，l i m k = 0 。 定义2 3 设c 是b a n a c h 空间e 的非空闭凸子集，t ：c 专c 是一映射， 口。 ， 瓯 满足：o a - a n 6 l ，0 a 吃6 l ；饥 ，以) 是c 中两个有 界序列，i l u n l l 0 ，使得下式成立 哈尔滨理工大学理学硕十学位论文 忪一y l p - s ，x , y ，是刮| 半忖一万 则称e 是一致凸b a n a c h 空间。 定义2 6 映射r ：d d 称为( l - a ) 一致l i p s c h i t z 的，如果存在常数o f 0 及三 0 ，使得l i t “x - t ”y l i l i i x - y l r ，v x ，y d ，v n n 。 引理2 1 删设非负序列娩) ，蛾) ，伽。 满足 a n + i ( 1 + 吃) + ，v nen , 吃 o o ，屹 0 ，l i ms u pi i 矗i 阵口， l i m s u pl | 只i i - - - a ，l i 巴| l 口。+ ( 1 一) 以l i = 口，则l i m0 毛- y i l = 0 。 n 一 n - - - 0 9 引理2 3 设e 是一实b a n a c h 空间，c 是e 中非空闭凸子集，z ：c 专c 是 渐近非扩张映射，设 是由定义2 3 定义的带双误差的i s h i k a w a 迭代序列， 则 i | 一玩临i l 毛一r 0 + 厶( 1 + 厶一。) i i 一i p 叫10 + 厶0 吒一i t 肛1 一10 + 厶( 1 + 厶一1 ) l i u 川 证明由r 是渐近非扩张的，则有 i i 一巩i 闰i 一t ”“+ | i 丁”一巩i 庠 0 矗一r + 厶i iz ”1 一| i 以及 l l 一t 驴。i i l i 一毛一。l l + 毛一i t ”1 毛l l 成立 由定义2 3 可知 l i 一靠ii i 爿i ( 1 一一1 ) 一i + 一l r ”1 只一i + “卜i 一靠ll 阵 8 毛一i z ”只一10 + 0 一li i 和 毛- i 一丁刀- 1 毛i 闰i 毛一l t ”1 卅i i + 厶一ii j 一l 一毛i i 成立 综上 i i 毛一巩i 闰l 一t “毛l i + q 0 + 厶一。) l | 靠。一r 卜1 以一ii i + 厶i i 吒一。一t ”1 靠l0 + 厶( 1 + 厶一) 0 一ii i 证毕。 引理2 4 设c 是b a n a c h 空间e 的非空闭凸子集，t ：c - - h c 是渐近准非扩 哈尔滨理工大学理学硕：仁学位论文 张映射，i ；if ( t ) 非空，吒o ，砖 佃，d ，对由下式定义的带误 n = l 差的三步迭代序列 + i = ( 1 - a 。) + a n t 4 以+ u n 以+ i = ( 1 一包) 矗+ 吃丁”乙? 屹 i = ( 1 一巳) + q r “+ w 一 d ，吒，吃，巳是【o ，1 】中的序列，则跏，( d ，v n n i k + 。- p l l ( 1 + k ) 2 i k - p l i + 吒阮( 1 + 吒) 2 1 1 w 1 l + a ( 1 + k ) l l v 1 l + l l u 1 l 证明由+ 。的定义及丁的渐近准非扩张性有： i k + 一叫l = i i ( 1 一吒) 毛+ 吒p 儿+ 一叫i = 1 1 ( 1 - a ) ( x 一p ) + 口。( 丁”以- p ) + u 。o ( 1 一) 0 ( 毛一p ) l l + a 1 l t “以一p l l + l l u i i ( 1 - a 。) i l ( 毛- p ) l l + a 。( 1 + k ) i 帆一p l l + l l u 。0 同理有： i v - p l l = l l ( 1 - b ) x + 吃丁”乙+ - t , t l = | | ( 1 一包) ( 毛一p ) + 吃( r “z , - p ) + v 。l l ( 1 - b o ) l l ( x 。- p ) l l + b 1 l t ”乙一p t l + l l v = l l ( 1 一色) i i ( - p ) l l + b ( 1 + k ) l l z , 一p l l + l l v i i 同理有： 乙一pi i = l i ( 1 一q ) 毛+ p 毛+ 一p0 = o ( 1 一q ) ( 毛一p ) + q ( 丁“一p ) + i i ( 1 一q ) l i ( 一p ) 0 + 乞f lr “矗一pl i + i i i i ( 1 - c , ) l l ( 毛- p ) l l + c ( 1 + k , ) l l 毛一p l i + i i 屹i 峰 ( 1 + 乞屯) 毛i i 吒一p l l + i i 0 综合上式有： 0 毛+ - pl l - ( 1 - a ) l l ( 毛- p ) l l + a n ( 1 + k ) l l 以- pl i + 0 临 ( 1 - a ) i i ( x , , - p ) l l + a ( 1 + 颤) ( ( 1 一包) l i ( - p ) l l + b 。( 1 + k ) l lz 一pl l + l lv 。i i ) + 0 i i - ( 1 + 乞) 2i i - pi i + 吒饥( 1 + 毛) 20 i i + a 。( 1 + 屯) i i i i + l lu 。0 引理2 5 设c 是b a n a c h 空间e 的非空紧凸子集，t ：c 寸c 是渐近非扩张 哈尔滨理工人学理学硕二l 学位论文 映射且厶1 ，( 厶一1 ) 佃，ed ，设 ， “： ， 屯 是c 中看界序 列， a n ， 瓯) ， 巳) ， 以 ， 瓦 ， ， 口= ， 跣 ， t ) 是【0 1 】中的序 列且满足吼+ 既+ q - - a n + 跣+ c 二= z + 菇+ = l 对由下式定义的带误差的三步 迭代序列 ， 以) ，z n ) i 吒+ l = a n x + 吃p 儿+ q 以= 口：毛+ 反p 乙+ 以 l z n = 破+ e r ”毛+ 域 c 有些列结论成立： ( 1 ) l i m i i 丁”以一毛i | = 0 ； ( 2 ) l i m i l p 乙一毛l l - 0 。 证明砌p ( t ) ，有i l “- p 删i 口。+ 吃丁”+ 巳一p ，将以和乙的 表达式带入，然后根据渐进非扩张映射的性质可以得到下式： l | 毛+ l pi i _ l l + 3 l 2 , ( 4 一1 ) ji i 一p l l + o 。 其中 吒= 鬈2 t 巳。i j 域- p l i + 厶反蠢l l 屯- p l i + 巳i i u n - p l l 由于( 厶一1 ) 棚，c ，q o o ，t o o ，c 二 o o ，由引理2 1 知 l i m l 一p l l 存在，令l i m i l 一p l i = d ， m = m a x 1 1u n p i i ，i lu ：- pl l ，i | 以一po ，l i 毛- pl l ：n l 则 d = l i m l i + i pi l = l i m0 + 吃p 咒+ c n u n p0 = n 一 詹 。l i ml l ( 1 一吃) 一p q ( 飞) + 包 r ”几一p q ( 矗飞) j | 又由于 而- p - c , ( 一) i i q l 一p | i + c ；( 0 一p0 + 0p u n0 ) 马l 一p0 + 2 c ；m 于是，l i m s u p i l 毛- p - c 。( 毛一) l i d ，从而 0 r 以一p q ( 一) 0 厶l k p l l + 2 c , , m 因此，l i m s u p l l r “咒一p q ( 毛一) i i d ，根据引理2 2 有 l i m i i 矗一p q ( 一) 一丁”咒- p - c , ( x , - u 。) l l = o 哈尔滨理t 大学理学硕j ：学位论文 所以 ；i m i | r ”只一矗i l _ 0 又因为 i k + i p i i = i l a 。+ 吃r ”只+ c 。u n p 0 ( 1 一饥一q ) i k 一叫i + 钆厶i l 靠一叫l + q i l 一叫l 所以，我们有 监掣誓型+ 掣沌刊 - i - ，业鼍掣 吃厶厶 “ 吃厶 因为 l i m i 岐d 蜘l l i m i 岐d 删i ：0 ”。 吃 。胂。 a z l i m l c ( 1 l u - p l l - t l x , , - e 1 1 ) i - i l i m 丛监1 坚趔l _ o ”4 。 厶 ”一 a l 所以，l i m l k - p l i l i m i n f l l v n - p l i 。又由于 i 帆一p l l = 0 口：+ 跣r ”z , n + c ：域一p 0 ( 1 一t ) e i k p i i + 跣厶t i l “：- p l l + c , , l l u ：一叫i 从而，l i ms u p l 帆- p l l l i m l k - p l i ，这就证明了l i m l l v - p l l l i m l k - p l i = d ， 注意到 d = l i m 1 帆一纠i = l i m i | 以+ 瓦r 乙+ t 以一别i = 。l i m 。l l ( 1 一吃) 一p t ( 一“：) + 瓦 丁4 乙一p 一( 一“：) 因为 i i - p - c ：( k 一“：) l i i l 毛一p o + 2 c ：肘 o p z - p - g 。( 毛一以) 厶l k 一叫i + 2 t m ( 1 一) 罡i e p f i + ( 2 + 厶c 二) m 所以，可以得到 。l i m s u p l k p 一( 一越) i | d ，溉s u p l l r ”z 一p 一( 矗一“：) o d 从而，根据引理2 2 可以得到 驯b p 一蠢( 一以) 一e t “乙一p t ( 一“帅= 0 即h m i k r 乙i l = 0 。引理2 5 证毕。 哈尔滨理工大学理学硕一l ：学位论文 2 2 主要结果 定理2 1 设e 是一致凸b a n a c h 空间，c 是e 中非空闭凸子集，r 是 c 专c 的具有不动点的半紧的( l - a ) 一致l i p s c h i t z 渐近非扩张映射，厶1 且 ( 厶一1 ) 收敛，则由定义2 3 所定义的i s h i k a w a 迭代序列k ) 有界， l i m i l 一玩l 0 且纯) 收敛于丁的不动点。 证明设r 的不动点为g ，则r q = q 且p g = g ，由定义2 3 有 l l + l gi | 爿i ( 1 一) 毛+ 吒p 只+ l i a 。0 r ”一g0 + ( 1 一吒) i i 一g0 + 0 u 。i l 口。厶i i 以一g0 + ( 1 一) l l 一g i l + 0 u nl 峰 厶【( 1 一屯) i i 毛一g0 + 吃厶l l 一引l + 1 1 i i 】+ ( 1 一) 磊一g0 + i i u 。i | = 1 一口。+ 口。厶( 1 一吃+ 吃厶) 】l i 一gi i + 厶l l i | + l i i l 再由二。( 厶一1 ) 收敛以及引理2 1 可知l i m | i 一q0 存在，令c = l i mi i - q | i ， i h j i n - - h a 0n - - - b o o 因为 i l 丁”只一g + l l 厶8 只一gi i + l i l i 厶( 1 一吃+ 吃厶) i l 毛一gi i + 厶1 1 l i + 0u 。 此时有 l i m s u pl ir 只一霉+ 临l i m s u p ( l 。l i 儿一g i | + “。) = l 碘s u p i i 以一q | i c ( 2 - 1 ) h - - - 0 0一- - - 0 0月呻田 以及 l i m s u p i l 矗一g + l 厶i l l i m s u n i 一q0 + 0 u 。l i ) = c ( 2 - 2 ) 而 溉i l 口。( r “以一g + ) + ( 1 一a 。x x , 一q + u ) 1 1 2 舰i l “一g i l _ c 由式( 2 1 ) ，式( 2 2 ) 及引理2 2 可知 l i m i l p 只一毛l l = 0 ( 2 3 ) 由定义2 3 知 i i 儿一gi i 爿i ( 1 一以) + 吃r “毛+ 屹一qi i - - - ( 1 一吃) 8 一ql i + r 毛一g + i 阵( 2 柳 ( 1 一吃) 0 毛一q i i + 玩厶i i 一q i l + 0 l i 由式( 2 - 4 ) 得 哈尔滨理工大学理学硕一 ：学位论文 l i m s u p | i 虼一gi 阵l i m s u p ( 1 一吃+ 包厶) i l 一g0 + l l v 1 l 】= c n 一- k o o 再由定义2 3 得 | | 一gl i 刊l ( 1 一) + 口。t ”以+ 一g 临 a 。0 r ”只一g i l + ( 1 一a 。) l l 一g0 + i i 0 吒厶1 1 只一g l i + ( 1 一a n ) | i 一g i i + l i 0 由式( 2 6 ) 得 ! ! 益! 二垡! l 二8 叠二垡0 ! ! 益! 二垡l l 二! ! 益二垡0 b a n i i i 以一训一忱一圳+ 坳 所以 c l i m i n f0 虼一g0 再由式( 2 1 ) 可得 l i r a0 只一g l l = c 即 l i r a i l ( 1 一吃) ( 吒一g + ) + 吃( r ”毛+ 屹一g ) 0 = c 又因为 i ip + 屹一g ) i i q ip 一gi l + 0 i 阵厶0 一gi l + i lk 所以 l i r a s u p0r ”一g + 屹i 匿c 由式( 2 2 ) ，式( 2 7 ) ，式( 2 8 ) 及引理2 2 有 l i m l i 毛一r i l _ 0 由于 0 毛一p 0 q l 一p 只i l + 0r 兄一r 毛临 i l 一p 以0 + 厶0 只一毛i 匿 i i 一r “只i i + 厶包吒一丁”毛i l + 厶1 1 l l 由式( 2 - 3 ) ，式( 2 9 ) 可知 l i r a 0 毛一r 毛0 = 0 由式( 2 - 3 ) ，式( 2 - l o ) 及引理2 3 知 1 i ml l 一巩i | - 0 因为r 是半紧的，所以 毛 在c 中有收敛的子列 。设 l i m x = g ，g c k - + o ( 2 - 5 ) ( 2 - 6 ) ( 2 - 7 ) ( 2 - 8 ) ( 2 - 9 ) ( 2 - 1 0 ) ( 2 - 1 1 ) 哈尔滨理r t 大学理学硕士学位论文 由式( 2 3 ) 司知： ! 巴i i p 一吒0 = 0 ( 2 - 1 2 ) j m 因此 i k + 一x , i i = f l a , r + ( 1 一) + 一： 咿唯y 鼍一xl l + l l u 唯与o ( 2 - 1 3 ) 由式( 2 - i i ) ，式( 2 1 2 ) 可得： 0 p 凡一n = l l r 一+ 一硎 l f p 一x , i i + i h p l i - - ) o ，( 七一) 即 l i m o r 一叫l = 0 - - h a 0 又由式( 2 - 1 1 ) ，式( 2 - 1 3 ) 可得： l h h p l l - l h + 一+ k p l l i h 。一x , , l l + l h 一别i - - 0 ，( k 专) 即 ! 鳃q 2 p 类似，可得： ：鳃幢2p 因此有： 口飞h l i t y ，鼍+ 1 l = l l ( 1 一a n k + ) x m + 卅t m y 鼍+ 帆一_ + 临 i h 帕一州i i 卅i + 专o ，( k 专) ( 2 - 1 4 ) 于是得： 旷柚y ，。_ h i l 岭o ，( k - o o ) 由式( 2 - ii ) ，式( 2 一1 3 ) ，式( 2 - 1 4 ) 有： 0 丁“一n = l i t q 一吒+ + + 一+ 一p l - - - l i p “h 一埘| | + i + 一l i 叫k 一叫i - - ) 0 ，( k - - o o ) 于是由以上各式有： 0 i p 一驯hp p h + r 飞h + 一p q h + p h p h + t 啊潮y 一t 4 q x + t 鸭h x 一r pl i i 眵一r hi i + j t 飞h + 一t 1 l + l l r + 一r | | + l l 丁飞h 一t 飞h y , i i | q l t h 一r ? l l 哈尔滨理工大学理学硕十学位论文 i p 一丁 + i i + t l 岷+ 一“l r + l i h h 一l r + 上i 吒一x , l l 口+ l i l t 一p i i 口- - - o ，( 后专o d ) 因此p 是t 的不动点，也就是说子列 ) 收敛于t 的不动点p ，即 ! i l n f - p l i - 0 。由于r 是渐近非扩张映射，而且f ( t ) 非空，因此r 是渐近准 非扩张映射，由引理2 4 可知 i k + - p l l _ 0 + k ) 2i k 一训+ ( 1 + 吒) j i | i + i k 而且 包 佃， 佃，屹 - i - o o 故由引理2 1 可知：l i m | k - p l l 存在，因此 l i m l l x 一p l i = 0 即 l i m 毛= p 所以序列 强收敛于丁的不动点。 推论2 1设e 是一致凸b a n a c h 空间，c 是e 中非空闭凸子集，r 是 c 专c 的具有不动点的半紧的一致l i p s c h i t z 渐近非扩张映射，厶l 且 ( 厶一1 ) 收敛，则由定义2 3 所定义的i s h i k a w a 迭代序列 ) 有界， l i m l i 矗一玩i i = o r ) 收敛于r 的不动点。 证明因为f ( 丁) 非空，所以丁为渐近准非扩张映射，且是( l 1 ) 一致 l i p s c h i t z 的，由定理2 1 的证明可知该结论成立。 注若在定理2 1 中，令吃= 0 ，我们就可以得到m a n n 类型迭代序列的收 敛结论。 定理2 2 设e 是一致凸b a n n c h 空间t ：c - - c 是具有不动点的( 三一口) 一 致l i p s c h i t z 渐近非扩张映射，c 是e 的非空紧凸子集，厶o ，( 厶一1 ) + o o ，ec ，设 ) ， “： ， 域 ，是c 中有界序列， 口 ， 屯 ， 巳 ， 口： ， 跣 ， t ) ， ) ， 坟 ， 是【o ，l 】中的序列且满足下列条件： ( 1 ) q + 屯+ 巳= 口：+ 瓦+ - - a ：+ 瓦+ t = l ； ( 2 ) 菇，跣【口，6 】c (