（流体力学专业论文）二维两相重力流的高分辨率数值模拟.pdf

壑 丫6 5 3 0 3 3 复口人学硕 上 论文 摘要 在浅水近似下， 本文第一部分介绍了 多孔介质底面上的两相重力 流的控制方程和其边界条件。 在数值边界条件上， 本文采用了特征插 值的方法， 为了检验数值方法， 本文引入了一组精确解。 本文给出了 二步l a x 格式，二阶t v d格式，三阶e n o格式，五阶we n o格式 的数 值结果， 在时间 差分上 采用的 都是二 阶t v d - r u n g e - k u t t a 方 法。 数 值实践表明 对于实际 应 用， 结 合二 阶t v d - r u n g e - k u t t a 方 法的 二阶 t v d格式是一个经济有效的选择。 在本文的第二部分介绍了二维两相重力流的数值模拟。 在自由边 界上 采用了y o u n g 的v o f 方 法， 在内 部网 格的 空间离 散和时间离 散 上采用的仍旧是二阶t v d格式。计算结果和前人的结果基本相符。 数值试验表明y o u n g 的v o f 方法描述自 由 边界 是十分精确和有效的 个数值方法。 关 键词: 两 相 重力 流 ， 多 孔 介 质， 高 分 辨 率 格式 ， t v d - r u n g e - k u t ta 方 法， v o f 方法 馨 复旦大学硕士论文 nu me r i c a l s i mu l a t i o n o f t wo di me n s i o n a l t wo - p h a s e gr a v i ty c u r r e n t s w i t h h i g h r e s o l u t i o n ab s t r a c t b ase d o n s h a l l o w - w a t e r a p p r o x im a t i o n s t h e g o v e r n i n g e q u a t i o n s f o r t w o d i m e n s i o n a l t w o - p h as e g r a v i ty c u r r e n t s o v e r a p o r o u s s u b s t r a t e a n d s o m e a p p r o p r ia t e b o u n d a ry c o n d i t i o n s a r e in t r o d u c e d . b a s e d o n c h a r a c t e r i s t i c in t e r p o l a t i o n s t h e n u m e r i c a l b o u n d a ry c o n d i t i o n s a r e p r o p o s e d a n d a s e r i e s o f e x a c t s o l u t i o n s a re c o n s t ru c t e d . a n a l y s i s o f n u m e r i c a l r e s u l t s b y t w o - s t e p l a x s c h e m e , s e c o n d o r d e r t v d s c h e m e , t h i r d o r d e r e n o s c h e m e a n d f i ft h o r d e r we n d s c h e m e c o m b i n e d w i t h s e c o n d a n d t h i r d o r d e r t v d - r u n g e - k u tt a m e t h o d i s g i v e n . i t i s f o u n d t h a t f o r p r a c t i c e a p p l i c a t i o n s t h e s e c o n d o r d e r t v d s c h e m e c o m b in e d w i t h t h e s e c o n d o r d e r t v d - r u n g e - k u tt a m e t h o d i s a n e c o n o m i c a l a n d s u it a b l e c h o i c e . b y u s e o f y o u n g s v o f m e t h o d c o m b i n e d w i t h t h e s e c o n d o r d e r t v d s p a c i n g d i s c r e t i z a t i o n t h e t w o d i m e n s i o n a l t w o - p h as e g r a v it y c u r r e n t s a r e s i m u l a t e d . n u m e r i c a l r e s u l t s o f t h i s p a p e r a r e i n a g r e e m e n t w it h t h o s e p r o v i d e d b y o t h e r w o r k s . n u m e r i c a l e x p e r im e n t s s h o w t h a t t h e y o u n g s v o f m e t h o d i s q u i t e a c c u r a t e a n d e f f i c i e n t i n t h e n u me r i c a l s i mu l a t i o n o f a fr e e s u r f a c e fl o w . k e y w o r d : t w o - p h a s e g r a v i t y c u r r e n t s , p o r o u s s u b s t r a t e , h i g h r e s o l u t i o n s c h e m e t v d - r u n g e - k u t t a t i m e d i s c r e t i z a t i o n , v o f 馨 复旦人学硕 : 论文 第一章 绪论 两相重力流现象在自 然界和工业生产以及日 常生活中普遍存在，只要一种流体主要 从水平 方向 流入另 一 种不同 密度的 流体， 这种现 象就 会发 生。 s i m p s o n ( 1 9 9 7 ) h u p p e r t ( 1 9 9 8 ) z 对 此已 经 有了 不同 程度的 研究。 研究这 一 问 题具有很强的 现实意义。 例如， 海洋学问 题，原油的突然泄漏问 题， 江河 入海口 的泥沙沉积问题， 以及近些年日 益突出的环境污染问 题等等， 这些问题的解决都可以 归结为两相重力流问题。 通 常， 流体 组成 上的 或 者 温 度上 的 差 异 都 可 能 产 生 重 力 流3 ， 流 体中 悬 浮的 微 小 颗 粒也有可能是原因之一。 当 然， 上述三种诱因的 混合情况也会产生重力流。 重力流流动的 区域可以 简化为长方形的二维区域或者轴对称的柱形区域， 流动过程中还可能会受到 地形 的限制， 比 如坝体， 多孔介质等。 其中的部分情况前人已 经作了比 较好的 研究，比 较经典 的一种情况如 f 图所示: g z p a h px z p ; : 竖 a j i i;j . 、 a 1 i 水 乎 方 向 . 8 表 示 重 力 p a 表 ,: w 度 小 的 流 体 p表 二 畜 度 大 的 h表小初始时刻轻流体的高度， 表示重施体初始边界. t o 时两种流体静l t . 密度大的流体被小密度流体包围， 在x = 1 处有一个挡板把两种流休仆 馨 复旦大学硕士论文 隔， x 1 时 流 动 底面可能为多 孔介质 底面。 瞬时 将挡板 抽去，在重力作用 卜 ，重流体将向前流动。 前人对此类问 题的研究 多数都是不可渗透底面边界，对于 可渗透底面只有 t h o m a s m a r i n o ,; ) ( c + 1 ,1 + i + 2 q +l ， 十 c ;+ i,i - ， 一 c - 1.j + ， 一 2 c 一 ， 一 c - 1 .1 - 1 ) 欲 ( c + i,j + ， 十 2 c ,; + 1 + c - 1 , + ， 一 c + 1,j - ， 一 2 c ,j - ， 一 c 7- i j 一 ， ) 1 8 y 弋峨 根据法向 可以 确定 运动界 面与x 轴的 夹角刀。 近 似的 直 线段 在网 格中的 位置 有1 6 种情形， 通过简 单的 对称和翻转， 可以 化为4 种情形。 利 用刀和网 格内 体积函 数可以 确定属于 哪一 种类型， 然后计算直线的斜率与 位置， 构造该网格内的界面， 并计算在一个时间步内 流过四 周边界到相邻网格的流体体积量，并修改本网格和四周相邻网格的9 11 4 本 体积函数值。 现有的v o f 方法计算流体通量大多基于上风概念的 d o n o r - a c c e p t 格式， 本文的贡献是 把t v d 格式用于流体通量的计算。 一 s- 馨 复旦大学硕七 论文 第二章多孔介质底面上的两相重力流的数值模拟 第一节模型建立和公式推导 1 ,建立模型 木文研究的无量纲模型亦如图1 所示， 当0 5 x :_ 1 时， 底面是不可渗透底面， x ? 1 时， 为多孔边界。 流体的向前流动的动力是重力，为了方便，定义当量重力加速度: 8 = ( p 一 p . ) g l p o( 1 . 1 ) 在笛卜 儿坐标 x , y , z ) 卜 ， 速度相应为 u , v , w ) 。如前章作的假定， 我们认为横向 速度 v = 0 . 在柱坐标 r , 9 , z ) f 相应速度为 u , v , w ) .同 样， 我们假定速度与b 无关，即v = _ 0 . 根 据我们的 假定， 流 动只在0 _ x 5 x 、 和z _ 1 时， 有 向f 渗 流 速 度w ( x , z = 0 , t ) ， 用巩表 示， 小 孔里 的 雷 诺 数 为r e - = w b d l y ， 其 值比1 0 还 小 ， d 为圆 孔的 直 径。 利 用d a r c y 法 则， 我 们认为 馨 复旦大学硕士论文 h ( x , t ) w h二 ( 1 . 3 ) : 是 一 个 与 二成 正 比 ， 又 依 赖 于 多 孔 底 面 属 性 的 量 。 对 于 一 个 给 定 条 件 的 情 形 ， : 为 常 数 。 g 在本文中，7 - 为给定的常数。 特别的， 0 0 0 , 接1 来， 我们建立流动方程。 取 控制 体x 1 - x - x 2 , o 5 z _ h ( x , t ) ， 由 t t 2 l 时间 段质 量 守恒得， f, (h(x, t2) - h(x, t, )dx = j,: (.hl二 一 、 一 “1二 一 工;)dtx2 一 j h dtdzt 了 2。 ah + a (uh ) + h dtd cat ax t一 “ 几，x , ，x 2 的 任 意 性 得 a， 、 +-( u 力) = a x 曲助一次 若把无量纲值记为 u , h , x , t则上式化为 h a h + u h a t a t x o a ， 、 -( u n a x 、 = - 压 h 上 式中 ，x o ,气，u, t 均为 特征 量 ， 其 中 u 一 抓画 : 一 x o / u 。( 1 . 4 ) 令又=t/ r ( 5 ) 则有 馨 复旦大学硕士论文 a h a t 润 0 +( # h) =-i t 力 a x ( 1 . 6 ) 再由动量守恒方程得 。(.h it )dx = p , f,u h i x ,t, x2 一 。 犷u h d xdt +t 州 x,x2 1,2 尸 儿 i x 2 d t 同 上 推 导 ， 并 利 用 a p = 。 , a h ， 可 得 吧 卫赶 了龙 ，。 、 。， ， 、。 ( l h 2 ): _o t u n )._a t u n )。_ ， 2 _。 n u t i c 一二 了 一丫 尸 一二夏 一一 下尸u 6 一，万一一 一一尸亡 or ox6 :z 而方程可一步化成无量纲形式 a ( u h ) 十 a t a ( u h ) a x 。 (生 人 ， ) + - 一 二 二 一 r u h a x ( 1 . 7 ) 稍加整理，上述方程可写成下面的矩阵形式 i klu一 !一0 ( 1 . 8 ) 砚，. resleseses + ，.11.j 仪叭 f，wel 当0-x_1 时，a二0。 2 、边界条件和初始条利 对边界条件，这里引用 b e n _i a m i n ( 1 9 6 8 ) , h u p p e r t .卜 f ,: 一 川 a n d if + f ;_2 一 2 f , .卜 比。 + f ,= 。 一 2 川 th e n f - = 丝f . 。 卫 f . + 生 f 6 - 6 ， 一 3 一 厂 if if , , 、 一 川 尸 + 再 迭 代 一 次 ， 求出 最 后结 果呵 + , ，可 二 ; 。 v + , u i,+ ， 的 解法 和h 0, _ ，可 + ,u r _ , 是 完 全 一 样 的， 这 里 不 再 赘 述。h o “ 的 求 解思 想与h + , 馨 复旦大学硕士论文 可 “ 相同。 只不过 用的 是厂这一特征线。 另外，心=- 0 , ( n = 0 ,1 ,2 . . .) 。 求解过程 更简单。由于篇幅限制，这里只列出基本方程。 2 * 7 _ 2,h一 告 二步l a x 格式边界问题的解法与t v d 完全一致，不另作讨论。 第四节数据结果分析 计算结果表明 本文采用的高 阶格式t v d , e n o , w e n d 在处理有大梯度变化的 解时相比 二步l a x 具有明 显的 优势，在处理比 较平滑的 解时差别不是 很大。f 面的数据分析能很好的说明 这一点。 对于式 3 . 3 ，时间离散采用止阶 t v d r u n g e - k u t t a方法，我们考虑a= 刀= 1 0 0 匆= 1 / 6 4 , a t 二 1 / 2 5 6 时， 图3和图4分别显 示了 四 种格式在t = 4 时h , “ 的 分布 情次， 其中 ( a ) , ( b ) , ( c ) , ( d ) 分别表示二步l a x 格式， 二阶t o格式， 三阶e n o 格式和五阶w e n d 格 式的 结果: 1 匕 i 6 i . 1 1 2 l 聋 !h o 妇 o毛 口 2 0 八 : e o x 图 3 1 6 1 馨 复旦大学硕士论文 s u n 0. 州 n 月 o 2 a s t 0 图 3 ( c ) 2 1 . 5一i . 之 0. 5 工 0 0246r1 0 图3 ( d ) e c a c t s o l u t i o nn u me r i c a l s o l u t i o n 14 1 3 1 二 4 时h的 . ) s m a= 刀= 1 0 0 , w h e re 妙 = 1 1 6 4 ,d t = 1 ! 2 5 6 图 叹 a ) 叮 自 馨 复旦大学硕_ i 论文 2. 5 0 . 5 图4 ( b ) 2. 5 1 5 花 1 0 . 5 图 4 ( c ) 2. 5 1 0 . 5 o 8 1 0 图4 ( d ) e x a c t s o l u ti o nn u me r i c a l s o l u t i o n 图 ( = 4 时。 的 图 象 . 其 中 。 = 刀= 1 0 0 , 妙= 1 / 6 4 , a t = 1 / 2 5 6 可以明显的 看到， 本文采用的计算格式能 较好的捕捉大梯度变化， 而二步l a x格式则会产生很 大的数值振荡，这种数值振荡并不是由于物理上的振荡引 起，而是由于数值格式本身引 起的 匕 图中 还看到， 速度。 的精确解是很 平滑的， 但是 其数值解却有一个比 较大的振荡， 这土要是 因为 速度。 和高度力 是藕合的，高 度力 有一个大的梯度变化 速度u 因 此也受到影响。 另外 馨 复旦大学硕士论文 当a t 缩小为1 / 5 1 2 时， 图5 和图6 分别给出了h 和l 在这四 种格式下算得的结果。 可以 看到本 文采用的数值格式的数值振荡会随着差分网 格的缩小 而趋向于。 ， 但二步l a x格式并没有这种 特点 图5 ( a ) 0 . 5 图5 ( b ) 图又 0 馨 复旦大学硕士论文 s 0 时 o s q 1 u. 2 u x l “ 阳5 ( d ) e n a c t s o l u t i o nn u me ric a l s o l u t i o n 图 5 1 = 4 时h的 图 最 . 其 中 a = 刀= 1 0 0 , 匆= 1 / 1 2 8 , a t = 1 / 5 1 2 2s 之 n . 5 1 1 . 5 图6 ( a ) 25 2 1 .5 a o5 x 0 0681 0 图6 ( b ) 2 1 豁 复旦大学硕十论文 图6 ( c ) 图叹 d ) e x a c t s o l u t i o nn u me ri c a l s o l u t i o n 图6 t = 4 时u 的 m 象 u . 其 中 a = 刀= 1 0 0 , w h e re 妙二 1 i 1 2 8 , o t 二 1 / 5 1 2 我们也看到t v d , e n o , w e n o三种格式在描述构造的精确解时。 差别并不大。 通过误差 分析， 这一点可以 看得更清楚。图7 图8 分别给出了 用这四 种格式计算h 和u 时的平均误差， 其中平均误差为 。 : = 青 琴 ” 一 h(i)l e r r . 二生 爹 。 一 。 (，) ! n n u 为精确解，u ( i) 为数值解 产生这种现象的原因可以这样来解释. t v d格式在极值点只有一阶精度， 而e n o格式具有均 匀一致的三阶精度， 在极值点也是的。 只要使用适当的限 制器， t v d格式产生的 数值上的 振 荡可以 变得很 小甚至消失， 比如s u p e r - b e e 限 制 器; 可是e n o格式允 许这种小的 数值振 荡的 存在， 虽 然这 种振荡会随 着差分 网 格的 缩小而 趋向于。 ， 但是 这并不意味着在 大 梯度变化附 近 产生的数值振荡， 高阶格式e n o和w e n d产生的会比t v d产生的更小。 本文中构造的 精确 解在其平滑区域儿乎是线性的， 所以 儿乎所有的 数值误差都来源于 梯度变化人的 这一区 域。 在 泣 馨 复旦大学硕士论文 平滑区域本文采用的二种格式儿乎是一致的 文中构造的精确解时，反而会更精确一点。 和w e n o格式会比t v d格式有更高的精度 。因此t v d格式比e n o , w e n d格式在处理本 但是可以相信，在处理带有波动的问题时，e n o 今白1.盆0 ocuo 次j召0七。 0 . 0 6 0 . 0 4 0 1 2 3 4 t 0 . 0 2 哎妇毋0七。 0 . 0 0 1 0 一t wo - s t e p l a x 1 2 3 - - 一 一 t vd _e no 二weno 图7 ( a ) ，.10 n曰n曰0 器j召jo七。 ooj4 on曰 0 .0 0 ， 、州 1 , .i n jo工州公 0 一- 一 t w o - s t e p l a x - - 一一t vd 图7 ( b ) _ _ e no 二 于 . 二we no 豁 复旦大学硕士论文 图7 四 种 格 式 的午误 差 ， 参 数 。= 刀= 1 0 0 , w h e r e匆= 1 / 6 4 , a t 二 1 / 2 5 6 0 . 1 2 0 . 0 8 0 . 0 4 0 . 0 0 0 . 0 3 0 . 0 2 0 . 0 1 0 . 0 0 司jojjo匕。 1 2 / 灵j召jo匕公 1 2 一一t w o - s t e p l a x - - - - - t v d _e n o . . . . . . we n o 图8 ( a ) 0 . 1 2 0 . 0 8 声 0 . 0 4 0 . 0 0 ;j召jojj。 1 2 0 . 0 3 0 . 0 2 3 4 t 五少 。叮 0 . 0 1 0 . 0 0 八_ ;: p :、了 浮写 . .y 器j召0七。 1 2 t w o - s t e p l a x - - - - - t v d _ ._ e n o 。 . . . we nd 图8 ( b ) 图8 l t 4 k# 式 fth i , - i 差 , v 数 a = 刀= 1 0 0 , 匆= 1 / 1 2 8 , a t = 1 / 5 1 2 馨 复旦人学硕 卜 论文 在 时间差分上， 二阶t v d r u n g e - k u tt a 比 一阶t v d r u n g e - k u tt a 有 轻微的精 度 提高。 因 此在处理实际问 题时， 空间上的二阶t v d方法和时间上的二阶 t v d r u n g e - k u tt a 方法是一个 简单有效的选择。 图9 和图1 0 给出了方程2 . 6 用此方法算得的数值解， 其中a= 0 . 1 ， 其图象 和二步l a x格式计算的结果相符， 但是没有 任何由 数值格式带来的 数值振荡。 叭一 7 3 =-一- - - 一.- 0匀676543210 之 _ x 图 9 - a 7 5,- 14 0 从十朴共七挂 七 日10 ,2 x 图 9 一 b 图9h 的 图 象 兄二0 . 1 ， 其中细 = 1 / 2 0 0 , a t = 1 / 4 0 0 . 2 ， 馨 复旦大学硕_ t 论文 x 图 i o t a ) 75 0 ， 则 u，5 = u ;,， 十 。 .5 m i n m o d 伙， 一 u +j 一 ， u ;.i - ， 一 u i.i - z ) ， 否 则 一 3 0. 馨 复曰 人 学硕士论文 。 思 十 。 ， = u ; ， 、 ， + 0 .5 m in m o d ( u , 十 : 一 u ,i , u l,; + z 一 u ,i 十 .) 叱+ 0.5 二 嵘0.5 + 陈0.5 嵘。 ， 一 昨+ 0 .5 m in m o d ( g ,z 一 昨， ， 咋， 一 咋x ) 嵘 “ 一 昨 一 0 .5 m i n m o d ( 竹 一 咋 ， ， 味 ， 一 叶 ) 心一 o .5 * (v ,.1 iv .i i)v j 压强p的 推进采 用s i m p l e 方 法， 把守 恒型 无粘动量 方程 代入连续 性方 程， 即 把 u 丁 ， = u , ， 一 ( f , + o s ,， 一 f 5 1， g - 0 .5 , ,1 + 0 ， 一 暇 二 “ a x ) y ) a t 一 t 此,， 一 ( 故 v 1+ ， 二 v ， 一 州 圣 o s ,;z ,- 0 .5 , 八r g?-; 一 z ,. i 一 一 t 匆 p n r + 1 一 p 一一 八 f a y 代入 u 尸 一 u ,-i i i 一十=0 八x 可得 片一 “ 凤1.， 十 /8 p 1 ， + y p , + ， 十 断 片一 1 + 聪的 形 式 其 中 。 ， / j , y , ; , f , 为 己 知 数 然后利用s o r 迭代求解压力p 2 、 数值边界条41 对于二维情形， 数值边界有三个: 左边界， 底面边界和自 由 边界。 下面对三个边界 的处理一一进行处理。 对于左边界，我们采用延拓的方法。 利用物理上的 对称性， 我们得到: c 0 .i 二 c l .i c - i j = c 2 .j u _ , , = - u , , , 3 1 馨 复旦大学硕士论文 u - 2 .i = - u 2 .1 v o j =v , j vi二性j p o , = p i , p - i .l =p 2 ,; 对于底面刚性边界，我们也采用延拓的方法， 只 ,o - 吼 i ,; , - i 二 c , , u , ,o = u o u ; 一 i 二u , ,2 v , ,_ = - v o v - z 二 - v , ,2 p , ,o = p i ,i p , ,_ 二几， 2 对于自 由 面我们采用y o u n g s v o f方 法。 自 由 边界 上的网 格内 的 线段 位置 有1 6 种 情形， 经过简单的对称翻转， 化为如下4 种情形， 其中阴影部分为流体， 侧 凡 一 一xl 学习 y t y o y0 图 1 2边界网格的四种情况 对于: 情况 设 直 线段 与 网 格 边 界的 交点 处x ,y 的 坐 标 非别 是x 0 , y o ，k 是 直 线 段 斜率 一 3 之 复旦大学硕士论文 x 0 = x , 一 v - 2 ( 1 一 c ,; ) d x ) y l k y o = y ; + k ( x , 一 x , ) : _ 丁 v ,4 t(x o 一 x ,-, - v ,a t l 2 k ) ” y ; 一 y ; 一 ， l c , .i l i x 0 y 一 1 x o v , a t a x v 3 a t y , - y ; - , 一 x ,_ 。 一 ( a y 一 v , 4 t ) l 2 k v , o t f分别表示边界网格的上边界，下 边界，右边界，左边界的体积流量， v i i v 2 i v 3 1 v 4 分 别表示对 应的网 格边流动速度. 对于情况b , c , d 也有类似体积流量，不再赘述。 第三节数值结果分析 计算结 果表明y o u n g s v o f方 法对自 由 界 面的 捕 捉具有良 好的效 果。 对于界 面的 弯曲 甚 至卷曲 都能 很好的模拟。 在差分网 格比较稀疏的情况下也能对界面捕捉的很好， 而且计算量 也不大。 一 卜 面， 本文对模型问题进行了 数值计算， 流动界面的结果显示在图1 3 - 2 1 。 其中图 1 8 - 2 1 网 格加密一倍后的计算结果. 馨 复旦大学硕士论文 初始图 形， r = 0，妙= 0 .0 5 , a x = 0 . 1 , a t = 0 .0 5 匆 y ( 1 0 - ) 2 0 x ( 1 0 - 1 ) 1 0 2 0 30 4 0 5 0 6 0 7 0 6 0 9 0 1 0 0 图 1 3 t =0 . 3 ，a y = 0 . 0 5 , a x = 0 . 1 , 4 t = 0 . 0 5 t s y y ( mx i 0 ) 印印7 0 8 0 图 1 4 1 0 0 4dj 0 3 d 2 0 嘟 复旦大学硕士论文 r = 0 . 5 ，妙 = 0 . 0 5 , 酞 = 0 . 1 , a t = 0 . 0 5 匀 y ( 0 .5 x 1 0 - ) 巧 x ( 1 0 - 1 ) 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 1 0 0 图 1 5 t=1 ，匆 = 0 . 0 5 , a x = 0 . 1 , r a t= 0 .0 5 e y y ( 0 .5 x 1 0 - ) 2 6 x ( 1 0 - 1 ) 1 0加3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 1 0 0 图 1 6 1!.j 复旦大学硕士论文 t = 2 ，却 = 0 .0 5 , 酝 = 0 . 1 , 夕二 0 .0 5 匆 y (0 5 、 1 0 一，) 2 5y (0 .5 x 1 0 -) x ( 1 0 - ) 1 02 二j】4 0 5 0 6 0 7 0 b o 9 0 1 0 o 图 1 7 t 二 4 ,匀 = 0 .0 5 , 公 = 0 . 1 , 夕= 0 . 0 5 勿 y ( 0 . 5 x 1 0 - ) 2 6 x ( 1 0 - 1 0 2 0刃4 0印6 0 7 0印9 0 1 0 0 图 1 8 餐 复旦大学硕士论文 网 格加 密一 倍之后t = 0 .5 。匆 = 0 . 0 2 5 , o x = 0 .0 5 , e t 二 0 .0 5 a y 一! l一拍 y ( 0 .2 5 x 1 0 - ) 。 卜 一 卞 一 一 resl 刃岛 ” ! 益一 一 盎 _l ， _ 一 一 土 一一上 . 月“曰 二 x二 一 图 1 9 t= 细 = 0 .0 2 5 , 公 = 0 .0 5 , a t = 0 .0 5 勿 y ( 0 .2 5 x 1 0 - ) “ 行一 一 一 f 一 一一， 尸一一 一 . 一一1一les，;.刁es心 衡es蔽we.副一补一，or x ( 0 . 5 x 1 0 - 图 2 0 3 7 复旦大学硕士论文 t = 2 ，a y = 0 . 0 2 5 , a x = 0 . 0 5 . a t = 0 . 0 5 d y y ( 0 .2 5 x 1 0 - ) 刘一知外洛 x ( 0 . 5 x 1 0 - ) 10玉一 云孙 一玄们 一一一 万口一田一 而 图 2 1 图2 2 和2 3 是引 文 2 9 * u 3 0 的 考 虑 粘 性的 数 值 模 拟 结果。 可 以 看到 他 们 与 本 文 的 结 果 在定性上是一致的。 图2 2 一 3 9， 馨 复旦大学硕士论文 图 2 3 第四节 结论 v o f 方法通过求解 v o f 由数， 实现对运动界面的追踪. v o f 函数是有物理意义的 它 是网 格中一种流体所占整个网格的体积比。 这个方法能 对自由 面进行细致的描述， 比 如自 由 面的 斜率。曲率等，更主要的是计算量相比m a c 或者之前的一些方法需要较少的 存储量， 对于 二维或者三维问 题尤其明显，是一种经济有效的 方法。 在目 前v o f 的多 种界 面重 构技术中， y o u n g 的 方 法是 一种简单而实 用的 方法。 它只 在 单 个网 格内 用直线段近似界面， 计 算和 编程比 较容易， 而 且多 种数值 试验表明， y o u n g 的 方 法计算出 来的自由 面的效果比较理想， 没有产生由 数值方法本身带来的不符合物理实际的结 果。 0 复旦大学硕士论文 【 参考文献】 川 s i mp s o n j .e . g r a v i t y c u r ren t s i n t h e e n v i r o n me n t a n d t h e l a b o r a t o ry m . u k c a m b r i d g e u n i v e r s i t y p r e s s j . 1 9 9 7 . ( 2 1 h u p p e r t h .e . q u a n t i t a t i v e m o d e l i n g o f g r a n u l a r s u s p e n s io n fl o w s j . p h i l t r a n s . r . s o c . l o n d . , a , 1 9 9 8 , 3 5 6 :2 4 7 1 - 2 4 9 6 3 s p a r k s r . s .j ., b o n n e c a z e r . t . , h u p p e r t h .e . , l i s t e r j .r . , h a l l wo r d t h m.a ma d e r , h . a n d p h i l l i p s j . c . s e d i m e n t - l a d e n g r a v i t y c u r r e n t s w i t h r e v e r s i n g b u o y a n c y j e a r t h . p 妞n e t . s c i . l e ft . , 1 9 9 3 , 1 1 4 :2 4 3 - 2 5 7 . 4 t h o ms l . p , ma r i n o b . m. a n d l i n d e n r e g r a v i t y c u rr e n t o v e r p o r o u s s u b s t r a t e s j . j . f l u i d me c h . , 1 9 9 8 , 3 6 6 : 2 3 9 - 2 5 8 . 5 u n g a r i s h m. a n d h u p p e r t h . e . h i g h - r e y n o l d s - n u m b e r g r a v i t y c u rr e n t s o v e r a p o r o u s b o u n d a ry : s h a l l o w w a t e r s o l u t i o n a n d b o x - m o d e l a p p ro x i m a t i o n s j . j . f l u i d me c h . , 2 0 0 0 , 41 8 : 1 - 2 3 . 6 1 h a r t e n a . h i g h r e s o l u t i o n s c h e m e s f o r h y p e r b o l i c l a w s . j . c o m p u t e p h y s , 1 9 8 3 , 4 9 : 3 5 7 - 3 9 3 . 7 c h a k r a v a r t h y s r a n d o s h e r s . h i g h re s o l u t i o n a p p l i c a t i o n s o f t h e o s h e r u p w i n d s c h e m e f o r t h e e u le r e q u a t io n s . a i a a p a p e r p re s e n t e d a t 6 a c f d c o n f e r e n c e 1 9 8 3 8 s w e b y p k . h i g h r e s o l u t i o n s c h e m e s u s i n g fl u x l im i t e r s f o r h y p e r b o l i c c o n s e r v a t i o n l a w s . s i a m j n u m e r a n a l , 1 9 8 4 , 2 1 : 9 9 5 - 1 0 1 1 . 9 j a m e s o n a . p o s i t i v e s c h e m e s a n d s h o c k m o d e l in g f o r c o m p re s s i b l e fl o w s . i n t e r n j n u m e r me t h o d s i n f l u i d s , 1 9 9 5 , 2 0 : 7 4 3 - 7 7 0 . 1 0 1 t o r o e f . r ie m a n n s o l v e r s a n d n u m e r i c a l m e t h o d s f o r f l u i d d y n a m i c s , s p r i n g e r - v e r l a g , 1 9 9 7 1 1 h a rt e n ， o n h i g h - o r d e r a c c u r a t e i n t e r p o l a t i o n f o r n o n - o s c i l l a t o r y s h o c k c a p t u r i n g s c h e m e s , i n o s c i l l a t i o n t h e o ry . c o m p u t a t i o n a n d m e t h o d s o f c o m p e n s a t e d c o m p a c t n e s s . c d a f e r m o s e t a l e d s , s p r i n g e r - v e r l a g , n e w y o r k , 1 9 8 6 , 7 1 - 1 0 5 . 1 2 1 h a rt e n a , e n g q u i s t b , o s h e r s a n d c h a k r a v a t h y r . s o m e r e s u l t s o n u n i f o r m l y h ig h o r d e r e s s e n t i a l l y n o n - o s c i l l a t o ry s c h e m e s . a o o l i e d n u m e r i c a l ma t h -. t i - l o s t 。 翻 吧 复旦大学硕士论文 2 : 3 4 7 - 3 7 7 . 1 3 h a re n a a n d o s h e r s . u n i f o r m l y h i g h o r d e r a c c u r a t e e s s e n t i a l l y n o n - o s c i l la t o ry s c h e m e s , s i a m j n u m e r a n a , 1 9 8 7 , 2 4 : 2 7 9 - 3 0 9 . 1 4 1 h a rt e n a , e n o s c h e m e s w it h s u b c e l l r e s o l u t i o n . j c o m p u t e p h y s , 1 9 8 9 , 8 3 : 1 4 8 1 5 h a rt e n a , e n g q u i s t b , o s h e r s a n d c h a k r a v a t h y r . u n i f o r m l y h i g h o r d e r a c c u r a t e e s s e n t i a l l y n o n - o s c i l l a t o ry s c h e m e s , i i i , j c o m p u t e . p h y s , 1 9 8 7 , 7 1 :