（信号与信息处理专业论文）基于小波变换的医学超声图像去噪方法研究.pdf

原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名：2 塞盎a 盐。日期：勉定占五堂! ! 目 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：盘盔型垫导师签名：玉f ! 堡 日 山东大学硕士学位论文 摘要 近年来，随着小波理论的不断完善。小波分析己经渗透到各学科领域。 在小波变换域中去除图像中的噪声是近年来的研究热点之一。许多小波图 像去噪算法已经被陆续提出。本文针对医学超声图像中噪声的特点，提出 了一种基于非参数自适应估计理论的超声图像去噪算法。 由于超声图像的噪声情况复杂，这就对其去噪方法提出了更高的要 求。超声图像去噪的目的不仅要平滑噪声，还要尽可能地保留原始图像的 细节特征。细节特征是医生诊断器官是否有病变的重要依据。为了在去除 噪声的同时能够更好地保护边缘及有用的细节信息，本文在以下两个方面 作了深入的研究：一，在平稳小波变换域中对超声图像进行去噪研究：二， 基于非参数自适应估计理论来确定小波的阈值 平稳小波变换是在正交小波变换基础上提出的一种非正交小波变换 方法，与正交小波变换的区别在于每次分解过程中不进行下采样，因此每 一层的大小仍和原图像一样。正交小波变换在每次分解时对信号进行二抽 取，不具有小波域的时( 空) 移不变性，在经过阈值处理，重建图像时易 j 出现伪峰值点等“不平稳现象”，不利于图像边缘的精确重构。平稳小波 变换克服了正交小波变换的这弱点，通过在所有尺度下保留所有系数、 牺牲正交性豹方法使其具有了平稳性，并且使图像信号消噪后保持良好的 边缘特征 在利用b i r g m a s s a r t 提出的非参数自适应密度估计理论来确定小波 的阈值时，未知的概率密度函数不必属于任何一个给定的模型，其中的最 佳模型能够大致达到模型中估计冒险和模型与未知概率密度的距离之间 的最佳平衡。当模型具有好的估计特性时，选择合适的惩罚函数，可以得 到自适应的估计量，这种自适应估计量能够在概率密度平滑往未知的情况 下，得到与平滑度已知时同样程度的估计本文使用的自适应估计量为惩 罚投影估计量。本文的阈值选取策略并不是选取大于某个确定阙值的系 数，而是首先确定要保留的系数个数，然后取那些值最大的系数。当该阈 值方法用于小波域时，即使是仅仅保留每层最大的几个系数，也可以得到 山东大学硕士学位论文 - _ - _ - - _ _ _ _ _ - _ i _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ - _ - - _ _ 目- - - _ | - _ - _ _ - - - _ - _ _ - _ _ - - _ _ _ _ 一 准确的估计效果。 本文结合非参数自适应估计理论，提出一种平稳小波交换域中的超声 图像去噪方法。实验表明。本文的算法具有较强的去噪能力，并且可以很 好地保持超声图像的边缘特征，与传统的摹于d o n o h o 阈值方法的去噪方 法相比较，具有更好的去嗓效果。 关键词：非参数；自适应估计；二维平稳小波变换；超声图像老噪 山东大学硕士学位论文 - _ _ _ _ _ l l _ - _ - - i l - _ - ii _ i i _ a b s t r a c t r e c e n t l y ，w i t ht h ei m p r o v e m e n to fw a v e l e tt h e o r y ，w a v e l e ta n a l y s i sh a s p e n e t r a t e di n t om a n yf i e l d s i m a g ed e n o i s i n gi nw a v e l e td o m a i ni so n eo ft h e f o c u sm e t h o d s n o w a d a y s ，t h e r eh a v eb e e nm a n yn e wi m a g ed e n o i s i n g a l g o r i t h m sb a s e do nw a v e l e t ，i nt h i st h e s i s ，c o n s i d e r i n gt h ec h a r a c t e r i s t i c so f n o i s e si nu l t r a s o n i ci m a g e s ，w ep r o p o s ean e wu l t r a s o n i ci m a g ed e - n o i s i n g a l g o r i t h mb a s e do nt h en o n p a r a m e t r i ca d a p t i v ee s t i m a t i o n d u et ot h ec o m p l e x i t yo fn o i s ei nu l t r a s o n i ci m a g e s ，i tr a i s e sah i g h e r r e q u e s tf o rd e n o i s i n gm e t h o d s t h e r ea r et w od e m a n d si nu l t r a s o n i ci m a g e d e n o i s i n g f i r s t ，t h en o i s en e e d st ob es m o o t h e do u t ；a n di nt h em e a nt i m e ， c h a r a c t e r i s t i cd e t a i l si nt h eo r i g i n a li m a g e ss h o u l db ep r e s e r v e da sm u c ha s p o s s i b l e ，s i n c et h e yc o n s t i t u t es i g n i f i c a n te v i d e n c ei nt h em e d i c a ld i a g n o s i so f ah u m a n o r g a n t om e e tt h ea b o v ed e m a n d s ，w eh a v ed o n ei n - d e p t hs t u d i e so n t w oa s p e c t s ：o n ei ss t u d y i n gt h ed e - n o i s i n gm e t h o d so fu l t r a s o n i ci m a g e si n s t a t i o n a r yw a v e l e td o m a i n ，a n dt h eo t h e ri sc o n f i r m i n gt h ew a v e l e tt h r e s h o l d b a s e do nn o n p a r a m e t r i ca d a p t i v ee s t i m a t i o n t h es t a t i o n a r yw a v e l e tt r a n s f o r mi san o n - o r t h o g o n a lw a v e l e tt r a n s f o r m d e r i v e df r o mt h eo r t h o g o n a lw a v e l e tt r a n s f o r m ，t h ed i f f e r e n c eb e t w e e nt h e m i st h a tt h e r ei sn 0s u b s a m p l i n gi ns t a t i o n a r yw a v e l e tt r a n s f o r m ，e v e r yl a y e ri s o ft h es a m es i z ea st h eo r i g i n a li m a g e 。f o ro r t h o g o n a lw a v e l e tt r a n s f o r m ， s i n c ei ti m p l e m e n t ss u b s a m p l i n gi ne a c hd e c o m p o s i n g ，i td o e sn o tm e e tt h e s h i f t i n gi n v a r i a n c ei nw a v e l e td o m a i n ，a n dt h u sa f t e rp r o c e s s i n gb yt h r e s h o l d m a yc a u s ei n s t a b l ep h e n o m e n a ，s u c ha sp s e u d op e a k s ，e t c i tg o e sa g a i n s tt h e a c c u r a t er e c o n s t r u c t i o no fe d g e s w h i l et h es t a t i o n a r yw a v e l e tt r a n s f o r mh a s o v e r c o m et h i sw e a k n e s so fo r t h o g o n a lw a v e l e tt r a n s f o r m ，i tr e a l i z e ss t a b i l i t y t h r o u g hp r e s e r v i n g a l lc o e f f i c i e n t so f fe a c hs c a l ea n ds a c r i f i c i n gt h e o r t h o g o n a l i t y a l s o ，t h es t a t i o n a r yw a v e l e tt r a n s f o r mc a na c h i e v eq u a l i t ye d g e c h a r a c t e r i s t i c si nt h er e c o n s t r u c t e di m a g e 当奎銮：罂圭兰竺鲨耋 w h e nc o n f i r m i n gt h ew a v e l e tt h r e s h o l du s i n gn o n p a r a m e t r i ca d a p t i v e e s t i m a t i o np r o p o s e db yb i r 9 6 - m a s s a r t ，t h eu n k n o w np r o b a b i l i t yd e n s i t yd o e s n o tn e e dt o b e l o n g t o a n yg i v e nm o d e l sa n dt h e b e s tm o d e ls h o u l d a p p r o x i m a t e l yr e a l i z et h eb e s tt r a d e o f fb e t w e e nt h er i s ko fe s t i m a t i o nw i t h i n t h em o d e la n dt h ed i s t a n c eo ft h eu n k n o w nd e n s i t yt ot h em o d e l w h e nt h e m o d e l sh a v eg o o da p p r o x i m a t i o np r o p e r t i e s ，a na d e q u a t ec h o i c eo fp e n a l t y c a np r o d u c ea d a p t i v ee s t i m a t o r si nt h es e n s et h a tt h e ye s t i m a t ead e n s i t yo f u n k n o w ns m o o t h n e s sa tt h er a t ew h i c ho n ew o u l dg e ti ft h ed e g r e eo f s m o o t h n e s s w e r ek n o w n i nt h i st h e s i s ，w eu s eap e n a l i z e dp r o j e c t i o n e s t i m a t o ra st h ea d a p t i v ee s t i m a t o r t h et h r e s h o l dc h o o s i n gi nt h i st h e s i si s n o tc h o o s i n gt h ec o e f f i c i e n t st h a ta r el a r g e rt h a nac e r t a i nt h r e s h o l d ，b u t c o n f i r m i n gt h en u m b e ro ft h ec o e f f i c i e n t st h a ta r et ob ep r e s e r v e df i r s t ，a n d t h e nc h o o s i n gt h ec o e f f i c i e n t sw h o s ev a l u e sa r et h el a r g e s t t h et h r e s h o l d m e t h o di nt h i st h e s i sc a nb ea p p l i e dt ow a v e l e td o m a i n ，t h e nw ec a ng e t a c c u r a t ee s t i m a t i v ee f f e c t b yp r e s e r v i n go n l y t h ef i r s ts e v e r a l l a r g e c o e f f i c i e n t so ne a c hl a y e r c o m b i n i n gn o n p a r a m e t r i ca d a p t i v ee s t i m a t i o n ，w ep r o p o s ei m p l e m e n t i n g u l t r a s o n i ci m a g ed e - n o i s i n gi n s t a t i o n a r yw a v e l e td o m a i n t h ee x p e r i m e n t i n d i c a t e st h a tt h ea l g o r i t h mw e p r o p o s e dn o to n l y h a ss t r o n g a b i l i t yi n d e - n o i s i n g ，b u ta l s oc a nk e e pt h ee d g ec h a r a c t e r i s t i c so fu l t r a s o n i ci m a g e s p e r f e c t l yw e l l c o m p a r e dw i t ht h et r a d i t i o n a ld e - n o i s i n gm e t h o db a s e do f f d o n o h ot h r e s h o l d ，t h e a l g o r i t h mw ep r o p o s e di n t h i st h e s i sh a sb e t t e r d e - n o i s i n ge f f e c t s k e yw o r d s ：n o n p a r a m e t r i ce s t i m a t i o n ；a d a p t i v ee s t i m a t i o n ；2 - ds t a t i o n a r y w a v e l e tt r a n s f o r m ；u l t r a s o n i ci m a g ed e n o i s i n g 4 山东大学硕士学位论文 1 1 课题研究的意义 第一章引言 超声图像具有实时性强、安全性高、价格便宜、方便等优点，在医学 诊断与治疗中得到广泛应用。但存在于超声图像中的斑点，降低了图像的 可分辨性，严重影响了图像质量，尤其是使边缘与细节变得模糊，增加了 医学诊断与治疗的难度。因而，研究这种特殊斑点的特性，并且在此基础 上进一步研究如何抑制这种斑点，并保留与增强图像边缘和细节特征，对 于准确地进行边缘检测、图像识别、分割与定位，以及诊断器官是否有病 变都具有十分重要的意义。 近年来，小波变换f l 】作为一种高效的时频域信号分析工具，在超声图 像处理中的应用日益广泛。小波分析属于调和分析的一种，是近年来发展 起来的新的数学分支。传统的信号分析是建立在傅里叶变换( f o u r i e r t r a n s f o r m ，简写为f t ) 的基础之上的。傅里叶分析使用的是一种全局的 变换，无法表述信号的时频局域性质，而小波变换是一种信号的时间- 尺度 ( 时间频率) 分析方法，它具有多分辨率分析( m u l t i r e s o i u t i o n a n a l y s i s ， 简写为m r a ) 的特点，而且在低频部分具有较高的频率分辨率，在高频 部分具有较高的时间分辨率，被誉为信号分析的显微镜，也是医学图像处 理所使用的重要工具之一。学者们提出了各种基于小波变换的图像去噪方 法，例如d o n o h o 的阙值去噪方法【2 】等，取得了较好的效果。小波去噪方 法的高效性主要得益于小波变换具有以下特点：小波变换系数的集中性。 在小波域里，对应边缘的高频分量的能量集中在少数系数上，而噪声一般 能量比较分散，因此，在小波域里可以从幅度上将对应信号的系数同对应 噪声的系数区分开，因此阈值处理的方法在小波域里得到了成功的应用。 然而，在各种小波去噪方法当中，噪声去除和边缘保护依然是难以兼 得的两个方面举例来说，d o n o h o 等所提出的硬阈值去噪法【2 i 能较好地消 除噪声，却容易抹去图像的细节；x u 等所提出的子带相关去噪法p 】能较好 地保留图像边缘，却容易残留噪声。因此，如何合适地选择阈值以得到这 山东大学硕士学位论文 两方面的最佳平衡，虽然已有很多的文章阐述，但始终是个难题。 综上所述，如何改进现有的超声图像去噪方法，在保证有效去除噪声 的同时尽量保留图像中的边缘及细节特征，具有较强的现实意义及研究价 值。 1 2 超声图像去噪的研究现状 对于超声图像中的斑点，存在两种不同的观点。一种观点认为它是一 种噪声，影响了图像的清晰度与质量，因而试图用各种方法来平滑这种斑 点1 4 1 “。另外一种观点则认为它是一种结构性的信号，反映了成像介质的 结构信息，因此，可根据其特性来区分正常与异常组织，确定病变部位等 d s - 2 s 。这两种观点是从不同的角度提出的，尽管相差很大，但其目的是一 致的，都是为了更好地进行病变识别、定位、诊断与治疗。 本文作者更倾向于第一种观点。根据医学超声图像的成像机理，本文 认为，超声图像中的斑点，一方面是超声信息在形成过程中受设备或者周 围环境因素的影响而产生的噪声；另一方面。类似于在激光和雷达成像时 遇到的现象一样，是由于超声波波束通过细微的不均匀介质时引起的散射 所导致的一种随机干涉现象而形成的噪声。这些斑点降低了超声图像的质 量，使超声图像的可解释性和判读性变差。 为了去除超声图像中的噪声，提高图像分辨率，改善图像质量，以便 于更好地提取有益于医疗诊断的信息，持第一种观点的许多学者研究和运 用了多种图像处理的方法，根据处理模式的不同，主要分为两个方向。 一类是将获得的超声射频信号中组织信号的模糊化原因归咎于成像 系统的冲激响应函数和被测组织的反射分布函数的卷积，通过实测数据对 该系统冲激响应函数进行估计，再运用反卷积的方法消除成像系统对需要 的组织信号的模糊作用，同时抑制加性噪声。文献 2 6 1 ，【2 7 ，【2 8 1 ，【2 9 】 和【3 0 】中分别提出了一维，二维及三维的同态反卷积方法，一维、二维噪 声鲁棒性( n o i s e - r o b u s t ) 盲反卷积方法，这些方法在系统冲激响应的估计 中都采用了倒谱技术，并假设在倒谱域中，系统冲激响应与组织信号分布 在不同的带限内，以此通过简单的低通滤波和反变换即可得到脉冲回波信 号的估计。然而，在实际的超声图像中，我们无法预知脉冲回波信号与组 6 当奎奎兰至圭兰簦鲨塞 织信号是否确实局限于不同的带限内。在选定的冲激响应频带内有可能包 含组织信号的部分信息，而导致反卷积过程中的偏差【3 1 】，1 3 2 1 ，【3 3 】运 用了经典的w i e n e r 反卷积，提高了图像的分辨率，并很好地去除了图像中 的噪声，但同时也失去了部分图像的细节信息( 例如组织的被膜分界) ， 而超声图像中的诲些细节信息很可能会影响到医生对病情的正确诊断，介 入性超声治疗的准确定位等，因此在提高分辨率的同时也应尽量保留这些 细节信息。 另一类是对图像中的噪声进行抑制、处理或对图像进行区域操作，以 提高图像质量。例如，【3 4 】中采用图像插值的方法，沿纵轴或横轴分别进 行小波变换后，利用极值点匹配的方法进行插值，然后进行小波反变换得 到插值后的图像，图像可以较好地保持运动目标轨迹的连续性。类似的一 些方法都能在一定程度上增加图像的清晰度，但在分辨率的提高上相对较 低。 “ 滤波是降噪的常用方法3 孓3 7 1 ，如l o u p a s 提出的自适应权系数中值滤波 钔，k a r a m a n 提出的自适应斑点抑制滤波【5 l ，k o o 提出的区域增长均值滤波 p s 】等，这一类滤波方法的共同特点是，它们都基于斑点的局部统计特征( 如 均值、方差等) 与同质区域的特性进行滤波。针对超声信号的对数压缩特 性，根据斑点的统计特征，d u t t 提出了一种自适应斑点抑制滤波方法17 1 ， g h o f r a m i 设计了种基于n a k a g a m i 分布的斑点滤波方法【8 1 。虽然它们能较 好地抑制斑点，但一些微小的边缘与细节也随之被平滑了。 近年来，人们提出了小波降噪方法。现有的小波降噪方法中，阂值去 噪法以其算法简单而被广泛应用，其基本思想是将图像变换到小波域， 由 于小波变换具有种“集中”的能力，因此可以使一个信号的能量在小波 变换域集中于少数系数上，那么相对来说，这些系数的取值必然大于在小 波变换域内能量分散于大量小波系数上的噪声的小波系数值，这就意味着 对小波系数进行阈值处理，舍去小于某一阈值的各尺度上的所有小波系 数，可以在小波变换域中去除低幅度的噪声，再进行逆小波变换，从而得 到降噪图像其流程图可描述为图l - l 。d o h o n o 在1 9 9 5 年提出了一种可变 阈值降噪方法1 9 1 ，x i a n g 与z h a n g 将其应用到超声图像降噪处理中_ ，z h a n g 等人提出了一种多尺度非线性处理方法【l l 】，文献【1 2 】在d o h o n o 与z o n g 等人 山东大学硕士学位论文 _ 一i i i i i - - _ - _ - _ _ _ _ - _ 一 的基础上提出了一种经过自适应权系数中值滤波预处理后的多尺度非线 性阈值处理方法。这些小波降噪方法虽然对噪声的抑制能力较强，但在保 留图像边缘与局部细节方面的性能并不理想。 带噪图像 离散序列 小波变换 线性或非线性 去噪处理 图1 - 1 小波去噪框图 1 3 主要研究工作及本文概况 驾嬲 _ 一降噪图像 小波变换il ：二： 针对超声图像去噪目前存在的问题，我们将非参数自适应估计理论与 平稳小波相结合，提出了一种新的基于非参数自适应估计理论的医学超声 图像去噪方法，实验证明，这种方法具有较强的去噪能力，并且可以很好 地保持超声图像的边缘特征。 我们主要做了以下研究工作： 1 为使超声图像去噪后能够更好地保留原始图像的边缘与细节特征， 克服正交小波变换中易引入伪奇异点等的不平稳性，选择在平稳小波变换 域中对超声图像进行去噪处理。 2 将b i r 9 6 一m a s s a r t 非参数自适应密度估计理论确定小波闽值的策略 应用于超声图像去噪，实验表明，该方法在超声图像去噪中优于常用的 d o h o n o 提出的阈值方法。 在内容安排上，本文共分五章。具体安排如下； 第一章为引言，首先介绍了本文课题研究的意义，然后介绍了超声图 像去噪的研究现状，最后介绍了本文的主要内容和全文的结构安排。 第二章详细介绍了小波分析的基础理论知识，包括：连续小波变换、 离散小波变换、二进小波变换、多分辨率分析、正交小波变换的快速算法 一一m a l l a t 算法和二维正交小波变换，为以后章节中图像的小波去噪奠定 了理论基础。 第三章主要介绍小波变换在图像去噪中的应用，在阐述了小波去噪的 8 山东大学硕士学位论文 基本原理的基础上，介绍了小波去噪算法的分类。 第四章简单介绍了超声图像的相关理论知识，便于第五章的讨论 第五章结合非参数自适应估计理论，提出了在平稳小波变换域中对超 声图像去噪的阈值选择方法；详细介绍了算法所用到的两个知识点：平稳 小波变换和非参数自适应估计；给出了本文算法的实验结果。并将实验结 果与d o n o h o 阈值算法的实验结果进行了比较与讨论。 最后是对本文工作的总结和展望。 9 山东大学硕士学位论文 第二章小波分析理论 2 1 从傅里叶变换到小波分析 小波分析属于时频分析的一种，是从傅里叶分析中发展而来的，但是 又优于傅里叶分析。傅里叶分析作为一种经典的方法曾经被广泛地应用， 但由于其自身是一种全局的变换，反映的是信号整个时域对频率的贡献， 也就是说傅里叶变换的积分核平滑了信号的突变成分，无法确定信号发生 变换的时间位置和变化的剧烈程度，亦即无法表述信号的时频局域性质， 而这种性质恰恰是实际应用过程中非平稳信号最根本和最关键的性质。后 人对傅里叶分析进行了改革，提出了一系列分析和处理非平稳信号的新的 信号分析理论。其中包括短时傅里叶变换和小波变换【”l ，短时傅里叶变换 虽然在一定程度上克服了标准傅里叶变换不具有局部分析能力的缺陷，但 它也存在着自身不可克服的缺陷。即当短时窗函数确定后，窗口的形状就 确定了，所以它是一种单一分辨率的信号分析方法。若要改变分辨卒，则 必须重新选择窗函数。而作为傅里叶分析思想发展的小波分析方法是一种 窗口大小( 即窗口面积) 固定，但窗口的形状可变，时间窗和频率窗都可 改变的时频局部化分析方法：即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低 的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率， 很适于探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并展示其成分，在时频域都有 表征信号局部特征的能力，具有多分辨率分析的特点，所以被誉为分析信 号的显微镜。本章主要介绍小波分析的基础知识。 2 1 1 傅里叶变换 f o u r i e r 变换是利用积分将一个函数厂( r ) ( 一o o f 佃) 变为另一个函数 夕0 ) 。设函数厂( f ) 满足 1 ，( f 枷 佃，我们定义其f t 如下： 夕0 ) = e “，m 当必) 满足适当条件时，它具有逆变换f t 一： ( 2 1 ) 山东大学硕士学位论文 i _ _ _ _ - l _ _ - - l _ l _ i _ _ l _ _ _ - l _ - - i i _ l _ i - _ _ l _ i _ _ _ _ _ _ _ _ _ l i i i _ _ l _ 胸一几) = 去d e ”如 ( 2 2 ) 于是我们可以德到信号的总能量e 与其各频谱分量2 - 阃的关系： e = 三肪嘞 = 击圈夕( 叫2 咖 = 去f 旷叫2 砌 = 羹e 撕 ( 2 3 ) 这里规定= 圭旷叫，称为能谱密度，简称能谱，它是单位频带内的 二万o o 信号分量，表示信号的各个分量能量在频域上的分布。上式说明了信号的 总能量等于各频谱分量的能量总和 从傅里叶变换的定义来看，其实质是将一个任意时域的函数厂( f ) 表示 成一组标准正交函数p “b r 的加权和。它是将时域信号变换到频域，在 频域内再对信号进行分析和处理。它是一种全局变换，不能反映信号的局 部特征而在实际问题中，我们所关心的恰是信号在局部时间范围中的特 征，这正是傅里时变换难以奏效的弱点。为了克服f o u r i e r 变换这方面的局 限性，在上世纪4 0 年代提出了4 窗口”f o u r i e r 变换的概念，它虽然在一定 程度上解决了f o u r i e r 变换缺乏局部性的特点，通过窗函数在时域上的滑动 来得到对信号的时频局部化分析，但同时也存在一些较严重的缺点；对不 同频率成分，在时域上取样步长为一固定常数，而且窗函数也固定不变。 而实际中我们需要的是对于高频信息，时间间隔要相对小以得到较好的精 度，对于低频部分，时间间隔要相对宽以给出完全的信息，所以在2 0 世纪 8 0 年代开始发展起来的小波变换，一方面继承了f o u r i e r 变换的许多长处， 同时又在一定程度上克服了f o u r i e r 变换缺乏局部性的弱点。 当耋奎兰罂主主竺鎏奎 2 1 2 小波及小波分析 设l 2 ( 冠) 是一个可测的，平方可积的一维函数空间，震为实数集，小波 是由j ：g 碚= o 的函数g ) 通过平移、伸缩而产生的函数族叫g ) ： 妒础制 缈( 生) ，a , b e r , a 0 a 协4 ， 妒础( 0 ： 口1 1 缈i 型l ， ( 2 4 ) ， 其中，口称为伸缩因子( 又称尺度因子) ，6 称为平移因子。我们称o ) 为 分析小波( a n a l y z i n gw a v e l e t ) 或连续小波( c o n t i n u o u sw a v e l e t ) ，称缈g ) 为小波母函数，当且仅当小波母函数 f o u r i e r 交换矿0 ) 满足以下可容许性 条件： 【咝如 。( 2 - 5 ) 在以上讨论的基t l t _ e ，函数s ( 4 在- r ( r ) 上的连续小波变换定义如下： 既。= 础爿口一肜g 矽( 孚) 矗 c2 剐 小波变换对函数厂g ) 在小波基上的展开具有多分辨率的特性，这种特 性是通过伸缩因子口和平移因子b 来得到的。根据4 ，6 的不同，可以得到小 波变换下不同时、频宽度的信息，从而实现对信号g ) 的局部化分析 小波变换包括连续小波变换( c o n t i n u ew a v e l e tt r a n s f o r m ，简写为 c w t ) 和离散小波变换( d i s c r e t ew a v e l e tt r a n s f o r m ，简写为d w t ) 。下 面首先介绍连续小波变换。 2 2 连续小波变换 连续小波变换理论建立在群论的基础上。 平方可积函数( f ) e r 乜) 的连续小波变换定义为 町) = 忑1h 叹t - 口b ) t c 2 用内积表示为 夥( 口，6 ) = ( 厂吵。，) 1 2 当耋奎主罂圭兰簦兰耋 式中( ，) = 1 4 ( t - 口b 、1 ，a e r + , b e r , 口为小波基缈砧( f ) 的尺度，而6 则指 明它沿时间轴的平移量。 为了能由连续小波系数重构加) ，妒( ，) 须满足小波容许性条件： 。= 拳 s ， 其中痧是p ( f ) 的傅立叶变换。 当y ( ，) 满足小波容许性条件时，由小波系数町( 口，6 ) 可以恢复出信号 ( 0 ，即连续小波变换的逆交换存在，且有如下定义： 即) 。专e f 矽( 口，枫- 拳必 ( 2 - 9 ) 、一 由容许性条件可以推出矿( o ) = 0 ，或等价地 r ( f 陟：0 (2-10)01 0 ) o 弦= o ) 由母小波咖) 通过平移和伸缩而得到。根据傅立叶变换的性质： 若( ，) 一夕如) ，贝1 1 f ( a t ) 寸三爿詈1 。设母小波( f ) 的有效时宽和有效频宽分 a、口， 别为，和，e ，甜) 为y ( f ) 的时域和频域中心，则连续小波变换的时频窗 口为： b + a t * - 胁鸭】降卞1 ，等+ 纠( 2 - 1 1 ) 上式表明尺度a 能够改变时频分辨率：对高频信号，取a 1 ， 小波变换函数具有较强的频域分辨力，频域窗口窄一些。这表明连续小波 变换的局部化特性是变化的，具有“变焦”特性。时间频率公式的重要性 在于，虽然窗的面积是由4 ，p 给出的常数，但是对于大的中心频率吭， 窗变窄；对于小的中心频率，窗变宽，参见图2 - 1 所示。这正是时间频率 分析中最希望的。 当奎查兰翟圭兰鳘鎏塞 图2 1 时间频率窗( 口1 a 2 ) 连续小波变换在信号的奇异性检测中特别有用连续小波变换母小波 的选择具有很大的灵活性。可视具体应用来定。 2 3 离散小波变换 在实际运用中，尤其是在计算机上实现时，连续小波必须加以离散化， i $ 1 此有必要讨论连续小波v o 。( ，) 和连续小波变换町0 ，6 ) 的离散化需要强 调指出的是，这一离散化都是针对连续的尺度参数口和连续平移参数6 的， 而不是针对时间t 的。 在连续小波中，考虑函数 瞅冲l 妒( 等) ( 2 1 2 ) 这里，口r ，b r 且口0 。为方便起见，在离散化中，总限制a r 取正值， 这样容许性条件就变为 。= r 訾 1 ( 由于_ ，可取正、负，所以这个假定无关紧要) 所以对应的 离散小波函数，j ( r ) 即可写成 1 4 山东大学硕士学位论文 ( f ) = 毒哎尘专盘) = 口0 一知k 扯概) ( 2 - 1 4 ) 而离散化小波变换系数则可表示成 c 肚= e ，( f 瓦黜= ( ，y ) ( 2 1 5 ) 其重构公式为： ，( f ) = c 妒卅( ，) ( 2 1 6 、 其中c 是一个与信号无关的常数。 如何选择和6 0 ，才能保证重构信号的精度呢? 显然，栅格点应尽可 能密( 即和6 0 尽可能的小) ，因为如果栅格点越稀疏，使用的小波函数 蚧j ( ，) 和离散小波系数c j , k 就越少，信号重构的精确度也就会越低。 ， 2 4 二进小波变换 为了讨论频率值口离散化时原信号的精确重构问题，我们首先将频率 轴【o ，佃) 按照小波函数妒( f ) 所对应的窗口半径屯进行如下划分： 【o ，帕) _ 舀【2 一，2 川) ( 2 1 7 ) 频率参数口，取二进制整数口，= 2 ，频率窗口为 陪一等，等+ 等 = z 一，t o - a ，) ，2 1 + ) ) cz 砌， 其中国为矿) 所确定的窗e l 中心。 定义2 1如果存在两常数a 、b ，且0 a b 0 0 ，使得 o 4 l 雌c o 】曰 ( 2 - 1 9 ) 几乎处处成立，则称妒e 上2 似) 是一个二进小波。式( 2 - 1 9 ) 称为二进小波 的稳定性条件。当a = b 时，称为最稳定条件 现在我们说明二进小波首先是允许小波，即有定理2 1 。 定e 1 2 1二进小波妒o ) 是允许小波，且 山东大学硕士学位论文 胁2 r 咝如，r 蛙堂咖矧n 2 ( 2 - 2 0 ) j o 国 j o 0 3 进一步地，当a = b 时，有 。= 蜡如圳眦( 2 - 2 1 ) 下面我们说明( ，) 在二进小波的前提下，只需知道其小波变换 ，0 ，6 ) 在乃= 2 j 处的( 频率) 信息，就可以重构f 为此，我们定义 - 吖，( 6 ) = 厂b ，b ) ( 2 2 2 ) i a j , b ( f ) = 2 一；( 2 f 一2 7 6 ) ( 2 2 3 ) 并引入另- - - - 进, 1 、波矿( f ) ( 称为二迸对偶) 满足 2 赫 2 4 ) 眵( 2 。】2 则可以建立下面的定理。 定理2 2 设( f ) 为二进小波，则当i r ( 足) 时，f 可以通过 ，( 6 ) 既，盼，z 重构。 前面，在允许小波的情形下建立了利用小波变换关于时间域与频率域 的所有信息重构原信号的问题。而在二进小波的前提下，则得到小波变换 频率域离散、时间域连续情况下信号的重构算法。下面讨论时间域与频率 域均离散的情形下信号的精确重构问题。此时，允许小波与二进小波都不 能实现信号的精确重构，需要对二进小波作迸一步的限制。为此，引入框 架的概念。 首先设时间参数b = 2 j 勋o ，k z ，且6 0 称之为采样率，令 y ( f ) = 2 嘭缈( 2 一，f 一舫o ) ，则框架可以按照下列方式定义。 定义2 2 对于采样率为b o 的小波函数妒j j ，如果对于任意 f r 似) ，有 4 i 。z l f 。 小删2 ( 2 - 2 5 ) 1 6 山东大学硕士学位论文 1 i _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ - _ - _ - _ _ _ _ _ _ _ _ - - - _ _ _ _ _ - 对常数o a s 口( m 成立，称移j j 生成r ) 的一个框架，当a = 占时成为 紧框架。 以下说明，在紧框架的前提下确实可以利用小波变换在时间域与频率 域离散化信息精确重构原信号。 定义线性算子丁为： 黟= 似a 鼽硒，厂r ( 2 2 6 ) k e z 根据框架的定义直接推得t 是一个一对一的有界线性算子， 中的开映射原理，t 的逆存在且有界，并且有 似，) 2 磊) | 2 设g = 黟，于是有 a i i t 。1 9 8 2 = j 4 l 圳2s ( 驴，) = g ，r 。g ) 删一9 4 利用泛函分析 ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 因此，驴。g s 去心l ，即有肛。i s 吉因此对于每个r 忸) ，推得 f = r 。o 力= ( ，的m r 。朋， ( 2 2 9 ) j , k e z 定义奶j = 丁1 缈，j ，并称之为对偶小波，则式( 2 - 2 9 ) 构成，的重构公式 进一步地，构成r ( 景) 框架的小波定是二进小波，并且有定理2 3 。 定理2 3设小波函数y r ( r ) 并构成d ( r ) 的一个框架，框架界 0 0 。则下述命题等价： ( 1 ) 讥j j 是r ) 的一个线性无关的框架。 ( 2 ) 妒 j 是r 积) 的一个r i e s z 基。 利用r i e s z 基的概念，现在我们可以解决根据信号，的小波变换 既，0 ，6 ) 在时间与频率参数离散化的情况下精确重构原信号的问题。 2 5 多分辨率分析 多分辨率分析也称为多尺度分析，它融合了子带编码中滤波器组和计 算机视觉领域中金字塔算法的思想。 在计算机视觉领域，采用在不同的分辨率下处理图像中不同信息的方 法。将图像在各种分辨率下的细节提取出来，得到一个拥有不同分辨率 r ，o e z ) 的图像细节序列。其中，分辨率时图像细节定义为：在分辨率r ，下 对图像的逼近和在分辨率，i 。下对图像的逼近之差。这种多分辨率的表示提 供了一种图像信息简单的分层描述，在不同的分辨率下，图像的细节刻画 7 不同尺度的物理结构1 4 0 1 在租分辨率时，这些细节表示了大的结构信息， 很自然地应该先分析这些信息，然后逐渐增加分析精度。这种由粗到细的 分析过程己经广泛应用在视觉匹配和模式匹配中，并且与人眼的视觉处理 相似。 m a l l a t 将计算机视觉领域内的多分辨率分析的思想巧妙地引入到小波 分析中，从而统一了在此之前各种小波基的构造方法，并给出了一种子带 滤波器结构的离散小波变换与重构快速算法。 1 8 定义2 4 空问r 伍) 中的多分辨率分析是指r 僻) 中满足下述性质的 系列闭子空间以l e 2 ； ( 1 ) 一致单调性：v j e z ，巧+ c l ( 2 ) 渐近完全性：n 巧= o tu _ = r ( r ) i i “ ( 3 ) 伸缩规则性：w e z ，( 2 ，) 巧- i 邝) o f ( 2 一t ) g v j “ ( 4 ) 平移不变性： v ( ，七) z 2 ，( f