（基础数学专业论文）关于半群的若干研究.pdf

西南大学硕士学位论文摘要 关于半群的若干研究 基础数学专业硕士研究生裴俊 指导老师郭聿琦教授 摘要 本文主要研究了几类特殊半群的结构和性质，确定了一个完全单半群能表示 成其三个( 或四个) 真正规子集并的充要条件是它的结构群以易易( 或磊磊) 为同态像，将群中的相应结果推广到完全单半群之上给出了双单z 链逆半群的 结构刻画以及半环上的华定理全文共分为四章 首先给出半群的一些基本概念，介绍了同余，直极限，逆极限以及半环的相关 定义和性质然后利用完全单半群的结构定理和正规子集的性质研究能表示成真 正规子集并的完全单半群再从双单u 逆半群出发，研究了双单z 链逆半群的结 构最后讨论了半环上的华定理 关键词：正规子集；核；并；双单z 链逆半群；同余；半环；华定理 西南大学硕士学位论文 a b s t r a c t s o m es tu d i e so i ls e m i g r o u p s m a j o r ：a l g e b r a i ct h e o r yo fs e m i g r o u p s n a m e ：p e ij u n s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rg u oy u q i a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w em a i n l yi n v e s t i g a t es o m ep r o p o s i t i o n sa n ds t r u c t u r eo fc e r t a i n k i n do fs e m i g r o u p s w es h o wt h a tac o m p l e t e l ys i m p l es e m i g r o u pw h i c hc a nb e r e p r e s e n t e da st h eu n i o no fi t s3 ( o r4 ) n o r m a ls u b s e t si fa n do n l yi f 磊z 2 ( o r z z z 3 ) i st h ei m a g eo fi t se v e r y7 tc l a s sa n dg e tag e n e r a l i z e dr e s u l to fc o r r e s p o n d i n g r e s u l t si ng r o u p s ，a n dc h a r a c t e r i z et h eb i s i m p l ez - i n v e r s es e m i g r o u p sa n dh u a t h e o r e mi ns o m ek i n do fs e m i r i n g s t h i sd i s s e r t a t i o nc o n s i s t so ff o u rc h a p t e r si n a 1 1 f i r s t l y ，s o m eb a s i sc o n c e p t so ns e m i g r o u pa r ep r o p o s e d t h e n ，w ei n t r o d u c e t h ec o n g r u e n c e ，d i r e c tl i m i t ，i n v e r s el i m i ta n d s e m i r i n g s s e c o n d l y ，w em a k eu s e o ft h es t r u c t u r et h e o r e mo fc o m p l e t e l ys i m p l es e m i g r o u p sa n dp r o p e rn o r m a ls e t s t os t u d yt h es e m i g r o u p sw h i c hc a nb er e p r e s e n t e db yi t sp r o p e rn o r m a ls e t s t h e n ，w ec h a r a c t e r i z et h es t r u c t u r eo fb i s i m p l ez - i n v e r s es e m i g r o u p s l a s t l y ，w eg i v e ag e n e r i z a t i o no fh u at h e o r e mi ns e m i r i n g s k e y w o r d s ：n o r m a ls e t ，k e r n e l ，u n i o n ，b i s i m p l ez - i n v e r s es e m i g r o u p s 。c o n - g r u e n c e ，s e m i r i n g ，h u at h e o r e m u 独创性声明 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果，文中已加 了特别标注。对本研究及学位论文撰写曾做出贡献的老师、朋友、同 仁在文中作了明确说明并表示衷心感谢。 学位论文作者：。雾使 签字日期：衫口年厂月哆日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院( 筹) 可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：口不保密， 口保密期限至年月止) 。 学位论文作者签名：辔彳良导师签名：算至珂 签字日期：刃口年夕月多日 签字日期：。知r a 年宇月1 3 日 西南大学硕士学位论文前言 上- j - 刖吾 半群代数理论是一个相对年轻的代数学分支，在学科内部和外部的巨大推动 下，经过半个多世纪的系统研究，已经成为 代数学”的一个独具、特色的学科分 支，它与群论的关系类似于环论与域论的关系同时，半群代数理论在自动机理论， 计算机科学，组合数学，代数表示论，算子代数等方面都有广泛的应用 在有限群论研究当中，很多学者给出了能表示成若干个子群( 或正规子群) 并 的群结构的刻画，如c o h njhe 在文献f 5 1 中的研究p e t r i c h 在文献1 1 提出刻画 没有真核的完全单半群，这个问题和群论中的单群联系较为紧密相应的能够最多 表示成若干个真核( 真正规子集) 并的完全正则半群也应该具有一些较好的结构和 性质，基于完全正则半群是完全单半群的半格，本文考虑了完全单半群这一特殊情 形 在半群代数中，幂等元方法是研究正则半群的核心方法1 9 7 3 年，印度数学家 k s s n a m b o o r i p a d 成功的建立了双续集理论，在此基础上一举解决了困扰人们 多年的正则半群结构的问题，将幂等元的方法发展到了一个新的高度但是对于一 些特殊双续集所对应的半群，我们知道的仍然很少，例如一致双续集对应半群在 m u n n 等人对u 链研究的基础之上，我们迸一步考虑了z 链的情形希望将来能继 续开展r 链以及一致双续集对应半群的研究 文献中【6 】记载了华罗庚的一个著名定理，后人称为华定理华定理在半群中 也出现了很多相似的结论，例如【7 1 ，f 8 1 给出了很多有意义的结果郭聿琦教授在此 基础上还开展了一类遗传半群的研究，如文献 9 1 在拟环中华定理也有相应的推广 形式基于半环是一个特殊的双半群，我们考虑了华定理在一类半环中的推广 本文就上述半群中的相关课题展开研究第一章是预备知识在第二章中，我 们讨论了能表示成真正规子集并的完全单半群，给出了这类半群结构刻画的一个 充要条件在第三章中，我们刻画了z 链半群的结构和性质，讨论了这类半群上几 个重要的同余第四章，给出了一类半环中的华定理，特别的，将华定理从环中推广 到半环中 1 西南大学硕士学位论文第1 章预备知识 1 预备知识 在本章中，我们主要介绍整篇文章中经常使用的概念及记号第1 节给出了半 群代数理论的一些基本概念第2 节对我们研究中涉及同余和正规子集的有关知 识做一个简单介绍在第3 节中，我们简单介绍一下直极限和逆极限的相关知识 第4 节，我们介绍一下半环的相关概念 关于半群代数理论的系统介绍可参考h o w i e 的书 2 】或者【3 1 关于范畴的知识 可参考或者 1 0 】或【1 1 1 关于正则半群和完全正则半群方面的知识可参考p e t r i c h 的书 1 】本文中没有具体给出定义的概念和符号都是标准的，都可以在这几本书或 文章中找到 1 1半群与正则半群 令s 是一个非空集合称二元组( s ) 为一个半群，如果“力是s 上的一个满 足结合律 ( v a ，b ，c s ) ( a 6 ) c = a ( b c ) 的二元运算在不引起混淆时，我们也常常简称s 为半群，将a b 简记为口6 ，其中 a ，b s a s 称为s 的幂等元，若 口2 = o 若半群s 中仅含有幂等元，则称s 为带半群s 中的全体幂等元组成的集合记为 e ( s ) 称半群s 中元素a 是正则元，如果存在z s 使得a = a x a 如果半群s 的 每一个元都是正则元，则称s 是正则半群如果z s 使得a = a x a ，z = x a x 则 称z 是a 的逆元，a 的全体逆元组成的集合记为y ( n ) 如果存在z v ( a ) 使得 a x = x a ，则称s 是完全正则半群，此时s 的每一个彤类都是一个子群记a 在 日。中的逆元为口o 1 2 同余及正规子集 令x 是一个集合，称集合x x 的子集为x 上的二元关系，简称关系称集 合x 上的关系p 为等价关系，如果p 满足 ( 1 ) x p ； ( 2 ) ( z ，y ) p 号( y ，z ) p ； ( 3 ) ( z ，y ) p ，( y ，名) p 令( z ，z ) p 2 西南大学硕士学位论文1 3 直极限与逆极限 x 上的所有等价关系构成的集合记为锻，其中x 是x 上的相等关系称等价关 系p 是半群s 上的同余，如果p 还满足 ( v s ，亡，8 ，亡7 s ) 【( s ，t ) p ，( s 7 ，亡) 纠兮( s s ，t t ) p s 上的所有同余关系构成的集合记为够( s ) 对于p 够( s ) ，称集合 k e r p = ，无论p - 1 们取g 中的 哪个元，都容易验证u 讧1 2 ，3 ( kn 日m ) = 日m 从而有s = 虬u 鲍u 蚝 口 定理2 4 设s 是完全单半群s 能表示成其四个真正规子集的并的充分必要 条件是s 的每一个“类都以群磊x 忍为其同态象 证明必要性设k 1 ，鲍，妫，甄是s 的四个真正规子集且s = k 1u 娲u 娲u 甄，由引理2 1 知关于任意e e ( s ) ，k 1 n 日e ，尬n 皿，蚝n 也，甄n 日e 都是风的 真正规子群，于是见能表示成这四个真子群的并，由文献【5 】知也只能以磊x 磊 为其同态象 充分性假设完全单半群s 的每一个“类都同态于群历磊固定s 的一个幂等元e ，记i = 三。ne ( s ) ，a = rne ( s ) ，g = 巩，p f g = 乃假设 1 = - 1 ( ( ( 0 ，1 ) ) ) ，2 = - 1 ( ( ( 1 ，0 ) ) ) ，3 = 1 ( ( ( 1 ，1 ) ) ) ，4 = - 1 ( ( ( 2 ，1 ) ) ) 取 托n 吼= ( e ，z ，e ) l x 胍) ，若，a ，g i ，h l ，n 疡ne ( s ) ，取甄n 嘶= ( e ，z ，删z m ) ，kn 日9 = ( 夕，z ，e ) i z 凡) ，甄n 玩= ( e ，p 嚣z ，) i x m ) ，其 中i = 1 ，2 ，3 ，4 类似于定理1 中充分性的证明可知所取的西满足引理2 1 中的( c 1 ) 和( c 2 ) 故s 能表示成四个真正规子集的并 口 由于一个半群的正规子集是该半群上某些同余的核，于是我们可以得到以下 两个推论 7 西南大学硕士学位论文2 2 三个和四个正规子集的情形 推论2 5 设s 是完全单半群s 最少只能表示成三个同余p 1 ，p 2 ，p s ，的核 的并的充分丛要条件是s 的每一个w 类以群z 2 玩为同态象，其中k e r p i 叠 e ( s ) ，s ) ，i = 1 ，2 ，3 推论2 6 设s 是完全单半群s 最少只能表示成四个同余p 1 ，晚，p s ，p 4 的 核的并的充分必要条件是s 的每一个咒类以群历磊为同态象，其中k e r p i 芒 e ( s ) ，s 】，i = 1 ，2 ，3 ，4 8 西南大学硕士学位论文第3 章双单z 链逆半群 3 1引言 3双单z 链逆半群 一致双续集是一类特殊的双续集，一致双续集对应的正则半群是一类令人感 兴趣的半群但是即使是对于一致双续集这样简单的情形，其对应的正则半群仍是 未知的本章主要考虑幂等元集是z 链的情形，即考虑双单z 链逆半群的情形 3 2双单z 链逆半群的结构和性质 易知以全体双单逆半群为对象，半群同态为态射可构成一范畴，我们称该范畴 为双单逆半群范畴，记为& s j 引理3 1 设e o = e o ，e 1 ，e n ，) ，其中e o e l 是一半格则岛 上的m u n n - 半群是双循环半群( n n ，) ，其中”运算规定如下 ( m ，礼) ，g ) = ( m n + t ，口一p + 亡) ， 其中t = m o 忱 n ，p ) 易知( 0 ，0 ) 是单位元j 【( 1 ，o ) ，( o ，1 ) ) 为其生成元 类似于引理3 1 在【2 】中的证明可得 引理3 2 设e = 卜，e 一竹，e 一1 ，e o ，e l ，e 竹， 其中 e n e 一1 e o e 1 e n 是一半格则e 上的m u n n - 半群同构于半群 s = ( z z ，) ，其中”- 如下规定 ( m ，n ) ，g ) = ( m 一佗+ t ，口一p + 亡) ， 其中t = m a x n ，p ) 注3 虽然e 上的m u n n - 半群码与岛上的m u n n - 半群强有相同的运算 规则，但两者存在很大的差异，显然死r 中没有单位元及类似的生成元 由引理3 1 易知，有如下事实： 事实3 3 设黾为最= e i ，e i + 1 ，) ，i z 上的m u n n - 半群，其中q e 件1 则强是双循环半群，其单位元是( i ，t ) ，生成元集为 f ，ti 十j 夕， f ，iq - j ，i ， 进一步t ，歹z ，强，氇间有唯一同构妒玎不妨设i 歹，则 妒巧：强_ 吃，( m ，礼) h ( m + 歹一i ，n + 歹一i ) ，且危记为到 强的嵌入映射 事实3 4 在乃上定义二元关累p 如下： ( m ，n ) p ( p ，口) 仁净p m = 口一n 则p 是码上的最小群同余且r e p 型z ，其中z 为整数加群 9 西南大学硕士学位论文3 2 双单z 链逆半群的结构和性质 定理3 5 设是半格e = ，e n ，e 一1 ，e o ，e l ，e n ，) ，其中 e n e _ l e o e l e n ，上的m u n n 半群 ( 7 7 1 , ，n ) 留p ，g ) 牟兮m = p 进一步，由力生成的同余贸+ = z z ，且包含在刀中的最大同余驴= ，其中e 是相等关系对偶地，关于2 关系有类似的结论 证明若( 7 7 1 , ，n ) 留0 ，口) ，则存在( ，s ) ，( r 7 ，s 7 ) zxz ，使得 ( m ，哟= p ，g ) ( r ，8 ) = 一口+ m a ：c q ，r ) ，8 一r + r n a x q ，r ) ， 0 ，g ) = ( 7 n ，他) ( r 7 ，8 ) = ( m n + m l l x n ，s 一r + m a z n ，7 t ) ) 进而，m = p g + m a z q ，r p ，p = m n + m ( z x t 1 ，r m ，故m = p 若m = p ，则( m ，佗) = ( 7 n ，口) ( 口，n ) ，( m ，q ) = ( m ，n ) ( 佗，g ) ，故( 7 7 1 , ，n ) 勿0 ，口) 下证露+ = zxz 由于留曰，故 ( m ，p ) 留。m ，p + 1 ) 号( t f l , ，p ) ( p + 1 ，死) 留+ ( m ，p + 1 ) p + 1 ，佗) ( 注意r t , z 的任意性) 爿( m + 1 ，n ) 留+ ( m ，7 1 , ) 弓( m + 1 ，n ) m + 1 ，n ) 叨( m ，礼) ( n + 1 ，n ) ；( m 一1 ，m ) ( m + 1 ，n ) 曰+ ( m 一1 ，m ) ( m ，n ) 号( m + 2 ，n ) j e ( m + 1 ，佗) ；( m ，n ) 留+ ( m l ，n ) = = 争l ( m ，n ) r m ，n ) 号彩留。 由于勿留，乡留，故zxz = 9 = 20 勿勿+ 即证得留= zxz 若( m ，p ) 留o ( 仇，g ) ，则( m ，p ) ( t ，扎) 驴( m ，口) ( 亡，佗) ，其中t = m a x p ，口) 即( m p + t ，n ) 历o ( m 一口+ t ，扎) 又由于( m p + t ，n ) ? ( m g + ，n ) ，故m p + t = m g + 亡，p = g 因此铲= n 定理3 6 设码是半格e = ，e n ，e 一1 ，e o ，e l ，e n ，) ，其中 e r i e 一1 e o e l e n ，上的m u n n 半群则没有双循环 半群同态像 证明假设：码一强是满同态设( t ，t ) 是满足( 亡，t ) = ( 0 ，0 ) 的最小幂 等元，即e p ( x ，z ) = ( 0 ，o ) ，则z t 易知关于任意z t ，咖( z ，z ) = ( 0 ，o ) 这样的最 小幂等元( t ，t ) 是存在的，否则码的同态像只能是群 设( ，y ) 是满足砂( 可，可) = ( i ，i ) 的幂等元，其中i 0 且i z ，显然箩 t 另 设慨，) 是满足妒( 可，掣) = ( i ，i ) 的最大幂等元，而 4 , ( u l 一1 ，耖1 一x ) c d ( u l ，可1 ) = ( 可1 ，u 1 ) 咖( y l l ，1 1 ) = ( 1 ，1 ) ， 于是1 = t + 1 而 、咖( 伽一1 ，抛一1 ) 西( 抛，耽) = 西( 抛，耽) 咖( 抛一l ，仇一1 ) = ( 2 ，2 ) ， 1 0 西南大学硕士学位论文3 2 双单z 链逆半群的结构和性质 于是多( 抛一1 ，耽一1 ) = ( 1 ，1 ) 或者( 0 ，o ) ，易知( 抛一1 ，y 2 1 ) = ( 1 ，1 ) ，从而 y 2 = t + 2 类似利用该性质及所设的最大性可知 0 + i ，t - 4 - i ) = ( i ，i ) 从而西限制在强上是到t s o 的同构映射于是 ( ，t + 1 ) = ( 0 ，1 ) ， + 1 ，t ) = ( 1 ，0 ) 由于强一。是由( t i ，t i - 4 - 1 ) ，( t i + 1 ，t i ) 生成的双循环半群且强一。3 强 从而( 亡一i ，t i + 1 ) ，妒 一i + 1 ，t i ) 生成强，于是 一i ，t i + 1 ) = ，t + 1 ) ，( 亡一i + 1 ，t i ) = + 1 ，亡) 由上述结果可得若m a x m ，p 】t 或m t 2 x n ，g 】t 且 m p = n 一口= 专( m ，n ) 七e r 妒，g ) ； 若t 1 2 a x ( f l 口，p t 且m a x n ，口) t ，则 ( m ，n ) = ( p ，g ) 弓( m ，n ) 七e r 妒0 ，g ) 因此可知( t 一1 ，t + 4 ) k e r ( t 一3 ，t + 2 ) 而 ( t + 1 ，t 一2 ) 一1 ，t + 4 ) = ( t + 2 ，t + 4 ) ， ( t + 1 ，t 一2 ) 一3 ，t + 2 ) = ( t + 1 ，t + 3 ) ， 但是 咖o + 2 ，t + 4 ) = ( t + 2 ，t + 4 ) ， ( t + 1 ，t + 3 ) = ( t + 1 ，t + 3 ) ，( t + 2 ，t + 4 ) ( t + 1 ，t + 3 ) 与k e r 咖是同余矛盾故这样的同态不存在 口 记k = ，址1 ，西，) ，其中t ，歹z ，甄= ( i ，i + 1 ) ，( i + 1 ，i ) 】i 在k 上定义二元关系 如下： k 铮i 歹 易知 是k 上的拟序( 且为偏序) 容易验证f ：k 一0 6 ( 绍s ) ，kh 勉，强是k 生成的双循环半 群；f ：m d r khm o r ( 勿s j ) ，( k ，) hx a ，其中甄g j 是一共变函 子整数集z 按其大小关系 自然成为一个拟续集( 且为偏序) 易知 g ：z _ o b ( 2 j ) ，ih 强；g ：m o r z 叫m o r ( 留s j f ) ，( jhm 其中 i j ，是一反变函子 1 1 西南大学硕士学位论文3 2 双单z 链逆半群的结构和性质 定理3 7 设s = ( z z ，) ，仇：强_ s 是到s 的嵌入同态则 坳( 危，x 巧) = ( s ， 仇) ，即殆同构于 强) 的直极限 证明考虑上述共变函子f ，当匠g j g t ，显然有黝= 1 ：和旒= 勋t 拗由于仇是强到s 的嵌入同态，于是仇= 仍x 玎现设一双单逆半群b 及一 族黾到j e 7 的同态映射 q ：i z 关于任意i ，j z 满足q = 白x 嵇，其中i j 因硒是强到，的嵌入同态且u z 黾= s ，于是对于任意z s ，存在j z 使得z 殆，定义对应p ：s b ，p ( z ) = 白( z ) 利用坳是嵌入映射，易证0 是使 得图( 1 ) 交换的唯一态射因此条件( a ) ，( b ) 都满足，故纽( 强，硒) = ( s ， 仇) ) 口 定理3 8 设n 危是 强：t z ) 的直积p i ：i - i 黾一强，oh 啦是投 射定义集合 一 t = n i l 强：p i ( a ) = 叻霸( a ) ，z 歹) ， 则垃( 强，妒玎) = 概) ) ，且t 兰t s 证明取a 兀强，使得p ( a ) = ( i ，i ) 由事实3 3 知a t ，故t 彩任 意取定i z ，不妨设i = 0 关于任意( m ，n ) z z ，若a t ，p o ( o i = ( m ，n ) ， 则由事实3 3 关于任意歹 o ，p j ( a ) = ( m + j ，n + 歹) ； 0 ，鳓( o ) = ( m 一歹，n 一歹) 由此易知t 的元素当且仅当由该元素的任意某个分量所唯一决定建立对应 妒：t s 一正( 仇，n ) ha 满足p 0 ( 口) = ( m ，n ) ，由引理3 2 知，q o 为半群同构故 t 竺t s 由t 的定义易知其满足条件( a ) 的对偶现设( ， g ) ，其中，d 6 ( 留s ) ，g ： ，一强满足关于任意i j ，g = 白定义0 ：t _ ，ah b 满足 关于任意i 互鼽( n ) = 6 ( 6 ) 易验证0 是使得图( 1 ) 交换的唯一态射故 炮( 强，妒巧) = ( t ，协) ) 口 1 2 西南大学硕士学位论文第4 章半环上的华定理 4 1引言 4 半环上的华定理 1 9 5 4 年华罗庚在环中提出了下面这个结论设r = ( 冠+ ，) 是一个环， e n d ( r ，+ ) 如果对于任意的a ，b r 都有s ( a b ) = ，( o ) ，( 功或，( 6 ) ，( 口) ，则 ( v a ，b r ) f ( a b ) = ，( n ) ，( 6 ) ， 或 ( v a ，b r ) f ( a b ) = ，( 6 ) ，( n ) 这个结论后来被人们称之为华罗庚定理c m r e i s 和h j s h y r ( 参见文献【7 】) ，郭 聿琦和王正攀等人( 参见文献【8 】) 分别给出了半群中一系列的类华定理在本章当 中，我们将考虑特定半环中的类华定理 4 2 半环上的华定理 我们首先给出半环上的华定理，然后在给出它的具体证明 定理4 1 设s = ( s ；+ ，) 是一个半环，酽关于加法+ 可消，特别的( s ，+ ) 是 一个可消半群，e n d ( s ，+ ) ua n t i e n d ( s ，+ ) 如果对于任意的a ，b s ，f ( a b ) = ，( n ) ，( 6 ) 或，( 6 ) ，( n ) ，刃芦么 ( v a ，b s ) f ( a b ) = ，( o ) 厂( 6 ) ， 或 ( v a ，b s ) f ( a b ) = ，( n ) ，( b ) 特别的，当上述定理中的s 是环时，我们就能得到了华定理 注4 显然如果s 是加法+ 可消半群，铲一定关于加法可消但是反之未必 例如，设( s ，+ ) 是一个含有0 元的不可消半群，( s ) 是一个n u l l 半群( 即任何两个 元的乘积都为o ) 则( s ；+ ，) 是一个半环，且酽关于加法+ 可消 现在我们给出定理4 1 的证明 证明首先我们证明尽管( s ，+ ) 不一定是交换半群，但是铲却关于+ 交换 对于任意a ，b ，c ，d s ，由左右分配律我们可以得到 ( a + 6 ) ( c + d ) = ( a + b ) c + ( a + b ) d = a c + b c + a d + b d ， ( a + 6 ) ( c + d ) = n ( c + d ) + 6 ( c + d ) = a c + a d + b c + b d ， 于是 a c + b c + a d + b d = a c + a d + b c + b d 】3 西南大学硕士学位论文4 2 半环上的华定理 再由铲的可消性，可得6 c + a d = a d + b c 如果存在z ，y s 使得，( z y ) = f ( y ) f ( x ) ，( z ) ，( y ) ，为了证明本定理的结 论，我们需说明关于任意a ，b s ，f ( a b ) = 厂( 6 ) 厂( 口) 以下仅考虑f e n d ( s ，+ ) 的情形，因为以下证明中只需，在+ 下给，( o ) ，f ( b ) 一个确定的位置即可， a n t i e n d ( s ，+ ) 的情形可类似证明 假设8 ，t s ，( s t ) = ，( s ) ，( 亡) ，( 亡) ，( s ) 首先我们考虑( 。+ 可) ( z + y ) 在， 下的象，于是有 ，( ( z + 秒) ( z + 可) ) = ( 厂( z + 秒) ) 2 = ( ，( z ) ) 2 + f ( x ) f ( y ) - i - f ( y ) f ( x ) + ( ，( 可) ) 2 ， ，( ( z + y ) + y ) ) = ，( z 2 + x y + y x + 可2 ) = ( ，( z ) ) 2 + l ( x y ) + ，( 可z ) + ( ，白) ) 2 ， 于是 ( ，( z ) ) 2 + f ( x ) f ( y ) + f ( y ) f ( x ) + ( ，( ) ) 2 = ( ，( z ) ) 2 + f ( x y ) + f ( y x ) + ( ，( y ) ) 2 ， 由消去律我们又可以得到f ( y x ) = ， ) ，( y ) 进一步的，我们可以得到关于任意的a ，b s ，f ( x a ) = ，( o ) ， ) ，厂( 幻) = ，( 可) ，( 6 ) 因为如果假设存在a o s 使得f ( x a o ) = f ( x ) f ( a o ) f ( a o ) f ( x ) 那么 f ( x ( y + 0 0 ) ) = f ( x y + x a o ) = f ( y ) f ( x ) + f ( x ) f ( a o ) 又因为f ( x ( y + a o ) ) = f ( x ) f ( y + a o ) 或f ( y + a o ) f ( x ) 从而f ( x ( y + a o ) ) = f ( x ) f ( y ) - l - f ( x ) f ( a o ) 或f ( y ) f ( x ) + f ( a o ) f ( x ) 考虑这仅有的两种情形 ( 1 ) f ( x ( y + a o ) ) = ( x ) f ( y ) + f ( x ) f ( a o ) ； ( 2 ) f ( x ( y + a o ) ) = f ( y ) f ( x ) + f ( a o ) f ( x ) 由消去律( 1 ) 可推出f ( x ) f ( y ) = ，( y ) 厂( z ) ，而( 2 ) 可推出f ( x ) f ( a o ) = f ( a o ) f ( x ) ， 无论哪种情形都与前面的假设矛盾从而证明了关于任意a s ，f ( x a ) = ，( o ) ，( z ) 同理，关于任意b s ，( b y ) = ，( 可) ，( 6 ) 对偶的，可以得到a ，b s ，f ( a t ) = ，( o ) ，( 亡) ，( s 6 ) = ，( s ) ，( 6 ) 由上面的结论 我们立即可以得到 f ( x t ) = f ( t ) f ( x ) = ，( z ) ，( 亡) ，f ( s y ) = f ( y ) f ( s ) = f ( 8 ) f ( y )( 奉木) 我们再考虑( s + z ) + y ) 在，下的象，于是 ，( ( s + z ) + ! ，) ) = f ( s t + s y + x t + x y ) = f ( s ) f ( t ) + f ( s ) f ( y ) + ， ) ，( ) + ，( ) ，( z ) ， 又因为，( ( s + z ) ( 亡+ y ) ) = f ( s + x ) f ( t + y ) 或，( t + 秒) ，( s + z ) 因此，( ( s + z ) + 可) ) = f ( s ) f ( t ) + ，( s ) ，( t ) + ，( z ) ，( ) + ，( z ) ，( y ) 或，( ( s + z ) ( + y ) ) = f ( t ) f ( s ) + ，( ) ，( s ) + f ( t ) f ( x ) + f ( y ) f ( x ) 考虑仅有的两种情形 ( c 1 ) ，( ( s + z ) ( 亡+ 秒) ) = f ( s ) f ( t ) + f ( s ) f ( t ) + f ( x ) f ( t ) + f ( x ) f ( y ) ； ( c 2 ) ，( ( s + z ) ( 亡+ 可) ) = f ( t ) f ( s ) + f ( t ) f ( s ) + f ( t ) f ( x ) + f ( y ) f ( x ) 由( 木木) 及消去律( c 1 ) 可以推出f ( x ) f ( y ) = ，( 可) 厂( z ) ，而( c 2 ) 可以推出 f ( s ) f ( t ) = ，( ) ，( s ) ，无论哪种情形都与假设矛盾因此，关于任意a ，b s ，f ( a b ) = ，( 6 ) ，( o ) 口 1 4 西南大学硕士学位论文结束语 结束语 本文在以下几个方面得到了一些有意义的结果： ( 1 ) 给出了能表示成三个或者四个真正规子集并的完全单半群的结构 ( 2 ) 刻画了双单z 链逆半群的结构和性质 ( 3 ) 给出了华定理在半环中的一个推广 由于时间和精力有限，暂时没有给出能表示成若干个真正规子集并的完全正 则半群的结构和性质由于知识水平限制，r 链以及一致双续集所对应的半群没有 给出相应的讨论，但是z 链半群刻画的基础上，相信将来可以进一步研究其结构和 性质另外由华定理衍生出来的遗传半群类中还有很多问题值得我们去考虑 由于作者水平有限，本文难免存在一些疏漏敬请读者批评指正 1 5 西南大学硕士学位论文参考文献 参考文献 【1 】p e t r i c hm ，r e i n ynr c o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i g r o u p s ，n e wy o r k ：j o h nw i - i e y , 1 9 9 9 【2 】h o w i ej m ，a ni n t r o d u c t i o nt os e m i g r o u pt h e o r y , a c a d e m i cp r e s s ，l o n d o n ， 1 9 7 6 【3 】3 h o w i ej m ，f u n d a m e n t a l so fs e m i g r o u pt h e o r y , o x f o r du n i v e r s i t yp r e s s ，n e w y o r k ，1 9 9 5 【4 】h a l m o sp r ，n a i v es e tt h e o r y v a nn o s t r a n d ，n e wy o r k ，1 9 6 0 5 】c o h njh e o nn - s u i ng r o u p s m a t hs c a n d ，7 5 ( 1 9 9 4 ) ，4 4 - 5 8 【6 】j a c o b s o nn ，l e c t u r e si na b s t r a c ta l g e b r a ，v 0 1 1 ( 1 9 6 4 ) ，p 7 4 d v a nn o s t r a n d c o m p a n y , i n c 【7 】c m r e i s a n dh j s h y r j ，a n o t eo nap r o b l e mo fh u a ，s e m i g r o u p f o r u m ，v 0 1 1 4 ( 1 9 7 7 ) ，7 - 1 3 8 】g u o ，y q ，zp w a n ga n dk ps h u m ，j ，t h i e r r i nt h e o r e mi ns e m i g r o u p sa n d i t sg e n e r i z a t i o n ，p u m a ，v 0 1 1 2 ，n o 4 ( 2 0 0 2 ) ，p 3 8 3 - 3 8 8 【9 】y u q ig u o ，k p s h u m ，m k s e n ，s c i e n c ei nc h i n as e r i e sa ：m a t h e m a t i c s ，v o l u m e 4 9 ( 2 0 0 6 ) ，n u m b e r3 【1 0 】n