（基础数学专业论文）光滑曲面上三次覆盖奇点解消的基本闭链.pdf

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d 3 ) 设最是吼的例外曲线，邑是最在又中的完全原象，令= 盯1 口七那么 西1 = 口+ ( d 1 ) 一2 啦磊+ 1 ， 西2 = 仃+ ( 玩) 一屈毛+ 1 1 2 1 一些记号 2 记号及主要结果 在接下来的讨论中，我们将用7 r 代替1 中的亓我们将引入幺来表示例外曲线局的 分歧情况，定义如下： 1 - 若晟全分歧，则定义矗= 3 ，此时，矿( 最) = 3 冠，1 2 若最简单分歧，则定义岛= 2 ，此时，丌( 最) = 2 只，1 + 晟，2 3 若最不分歧，且，矿( 最) = 只，1 + 只，2 ，则定义鼠= 1 ，如果晟，l 还满足如下情况之一： ( 3 a ) 只，1 不可约； ( 3 b ) r ，1 可约，即只，1 = a + 岛，但是a ，q 和只，2 在基本闭链的计算中是不可换 的 4 若最不分歧，但是，矿( 耳) = e ，2 ，则定义岛= 0 ，如果最，1 还满足如下情况之一： ( 4 a ) 只，2 不可约； ( 4 b ) 置，1 = a + 岛+ 岛，且g ，q ，g 在基本闭链的计算中是可换的 s = ( s 巧) = ( 局易) 是例外曲线的相交矩阵m = ( 佻j ) 是满足磊= 嘞岛的 一个矩阵显然，m 是上三角的记舰为m 的第一行构成的1 礼矩阵勺为第歹项为 1 其余项为0 的行向量 根据上述定义我们不难发现： 1 - 当矗= 3 时 只矿( 饬) 2 言矿( 蜀) 矿( 马) 2 2 当龟= 2 时 1 只，矿( 局) = 主矿( 最) 矿( 马) = 1 只，2 矿( 弓) 2 言矿( 邑) 矿( 易) 2 3 当岛= 1 时 只，1 矿( 易) = 三7 r ( 易) 矿( 易) = 2 d 只，2 矿( 易) = 丢，r 幸( 最) 万( 易) = 1 2 4 当毛= 0 时 最矿( 马) = 丌( 最) 矿( 马) = 3 特别的，由于晶= m u 弓，我们有 七= 1 丌+ ( 易) = m u 矿( 马) = 喜帅陋+ ( 降 + 1 ) t ，2 七= 1 o 、o。 7。 并将之记为f 其中 字 表示不超过字的最大整数 在文中，我们将用 z ：= ( 乃，乃，1 + 勺，2 乃，2 ) j = 1 来表示奇点典范解消后的基本闭链，其中刁，1 ，乃，2 0 记 p ：= f z = ( 岛，乃，+ 岛，2 乃，2 ) 歹= 1 如管耋 表示d 中支集在b 中的全体曲线的和构成的除子( 包括重数) 例如，设d = g + 2 g ，b = s u p p ( 岛) ，则 d i b = 2 岛 1 3 2 2 主要结果 本文的主要结果是如下定理： 定理设我们有如下交换图： y 记号如前所述则 1 若z 2 = 一3 则z = f 2 若z 2 = 一2 ( a ) 如果e 1 = 3 ，则存在t ，歹 1 ，使得 弱 z = 善丌( 矗) + 三7 r ( 磊) + 三7 r 幸( 岛) ； ( b ) 如果s 1 = 2 ，且z f l ，2 = 一1 ，则存在歹 1 ，使得 z = 三矿( 岛) l 岛+ 三丌。( 岛) l b ，+ 万+ ( 矗) l 励； ( c ) 如果s 1 = 2 ，且z 只，2 = 一2 ，则存在l ，j ，七 1 ，使得 z = ，r 幸( 晶) 一 壶丌( 矗) + 三丌。( 易) l b ，一 丢丌( 岛) + 三丌( & ) + 吾丌+ ( 磊) | 励 3 若z 2 = 一l ，则存在荟，歹 1 ，使得 ( a ) 如果巧= l ，则 z = 三7 r c 易，+ 三丌幸c 磊， l b ，+ 昙7 r + c & ，+ 三7 r c 毛， l b 。，+ 7 r 幸c 岛，l b 。，； ( b ) 如果岛= o ，则 z = 喜7 r 。( a ) + 言7 r + ( 易) + 吾7 r 幸( 岛) 其中，b 1 ，岛，b 1 7 ，岛7 ，b 3 7 ，b 1 ，岛在后文中将有详细定义 1 4 3 引理及初步分析 3 1 三个重要引理 在这一小节，我们将给出三个文章中经常用到的引理 f 引理1 设 g ，岛，g ) 是负定的，即相交矩阵( c ；c q ) 负定，d = 鼢q ，且对于每 一个歹，都有d gs0 ，则d 是有效除子 证：不妨假设d = a b ，其中a ，b 均为有效除子，且没有公共分支由d 0 o ，所以 d b 0 ，注意到负定性，我们有 0 a b = d b + b 2 0 所以可得b 为零除子 由引理1 我们可以得到如下引理： 口 引理2 设 g ，伤，g ) 是负定的，即相交矩阵( q g ) 负定，d = 翰a ，且对于每 t = 1 一个j ，都有d 岛= o ，则d = o 证：不妨假设d = a b ，其中a ，b 均为有效除子，且没有公共分支由引理l 可得b 为 零除子另外，一d = b a 也满足引理1 条件，同样，我们可以得到a 为零除子 口 引理3 设z 是一个负定除子d 的闭链，若z 7 驴 证：由假设我们可知z z 7 0 z 2 = 【z 7 + ( z z 7 ) 】2 = z 2 + 2 2 7 ( z z 7 ) + ( z z ) 2 z 7 2 + 2 2 7 ( z 一) 2 引理得证 1 5 口 3 2初步分析 f = 矿( 矗) 显然是一个闭链，所以基本闭链z f 由引理3 和f 的负定性，我们有 一3 z 2 0 - 并且，z 2 = 一3 当且仅当z = f 故今后我们一般设z 0 ，且 一3 z 2 0 注意到 z 2 + 2 z p + p 2 = ( z + p ) 2 = 严= 一3 且z 2 o ，p 2 0 ，故我们有 zp=q 在接下来的讨论中我们将分别讨论 z 2 = 一2 ，p 2 = 一1 ， z 2 = 一1 p 2 = 一2 这两种情形下的基本闭链表达式 1 6 这个情形下，根据( 2 ) ， 4z 2 = 一2 ，尸2 = 一1 f p = ( z + p ) p = p 2 = 一1 ， 这说明p 中含有矿( 最) 中的分支，所以目是分歧的并且我们可以知道，t 1 ，1 = 1 ，1 2 = 0 4 1e 1 = 3 此时，日全分歧，又因为 z 2 = ( 磊，1 z 只，1 + 名，2 z e ，2 ) = 一2 i = 1 并且每一个z 只，1 ，z 最，2 均非正，所以除了至多两个之外，别的都为0 4 1 1 z 易，1 = 一2 ，乃，1 = 1 根据( 2 ) ， 0 = z p 如，1 z b ，l = 一2 如，l 0 ， 有岛，1 = 0 再由( 1 ) ，有 m 巧勺= 龟l + 红1 = 1 ， 即m 1 j = 勺= 1 ( 注意此时歹1 ) 另外，我们有如下等式： p 丌幸( e 1 ) = ( f z ) 7 r + ( 墨) = f 7 r ( 日) = 一3 ， p 7 r ( 马) = ( f z ) 7 r ( 易) = 一z 7 r 搴( 马) = 2 ； p 7 r ( 最) = ( f z ) 7 r 牛( 最) = o ，( 七1 ，歹) 按照最开始的记号上述三个等式可以化成： 如巧= 2 ， t ；1 如跏= o ，( 南1 ，歹) 1 7 3 一 = & 如 n： 注意到s 的对称性，且m s = ( 一1 ，0 ，o ，0 ) ，上面的方程组等价于 ( t 一3 地) s = 2 白 因为s 一1 = 一胪m ，? 一3 舰= 一2 勺( 胪m ) 特别 矛盾 4 1 2z 易，2 = 一2 ，龟2 = 1 岛= 3 m 巧一2 妣2 l t ! j 3 m 巧一2 ( m l l 2 + 仇1 j 2 ) = 3 4 = 一1 ， 根据( 2 ) ，有巧，2 = 0 再由( 1 ) ，有 m 巧( 字 + 1 ) 一懒乩 即m 巧= 1 ，勺3 ，( 注意此时歹1 ) 我们还可以得到类似于4 1 1 中的方程组，可以同 样导出矛盾 4 1 3z 乃，1 = 一1 ，勿，1 = 2 根据( 2 ) ，有，1 = 0 再由( 1 ) ，有 1 若勺= 2 ，m 巧= l ，我们有 m l 歹勺= ，1 + 巧，1 = 2 p 7 r ( 日) = ( f z ) 7 r + ( 毋) = f 7 r + ( 蜀) = 一3 ， 尸7 r ( 易) = ( f z ) 7 r ( e ) = 一z ( 2 乃，l + 乃，1 ) = 2 ， p 7 r + ( 鼠) = ( f z ) 7 r ( 最) = o ，( 七l ，歹) 有类似于4 1 1 的矛盾 2 若勺= 1 ，m u = 2 ，我们有 p 7 r + ( 岛) = ( f z ) 7 r ( 岛) = f 7 r 。( 毋) = 一3 ， p 7 r 幸( 马) = ( f z ) 7 r ( 马) = 一z ( b ，1 + 乃，2 ) = 1 ， p 7 r ( 取) = ( f z ) 7 r ( 风) = o ， ( 忍1 ，歹) 】8 于是新的方程组等价于 特别的， ( t 一3 尬) s = 勺 岛= 3 m 巧一嘶2 = 3 m 巧一( m 1 1 2 + 仇u 2 ) 一哟2 1 i 勺 = 1 一( ，毛村) 1 i j 如果岛= 1 ，则m l i = o ( v l t 歹) ，这与m 巧= 2 矛盾所以岛= o ，即存在某个 蕾，使得嘞= 1 ，且若七1 ，茁，j ，有m 巧= 0 此时m l i = 1 仍依据上面的方程组，我们有 仁3 一( 三0 = 3 m 1 一( m l t m 巧+ 佻i 疬巧) = 3 3 = 0 也就是说，矿( 马) 和矿( 易) 都包含在z 中 考虑除子 d ：= z 一言7 r 。( 矗) 一丢7 r ( & ) 一昙7 r ( 岛) 它不含矿( 置) ，矿( 最) ，丌( 易) 的任何不可约分支，并且对于任意的忌1 ，t ，歹， 由引理2 可知d = 0 即 d 兄，1 = d 见，2 = 0 z = 詈7 r + ( & ) + 丢7 r + ( 毛) + 吾丌( 易) 4 1 4 z 乃，2 = 一1 ，乃，2 = 2 根据( 2 ) ，有巧，2 = o 再由( 1 ) ，有 m 巧( 学 + 1 ) 嘞2 2 乩 1 9 即m 巧= 2 ，勺3 ，( 注意此时歹1 ) 我们有 一p 7 r ( 蜀) = ( f z ) 7 r ( 墨) = f 7 r ( 易) = 一3 ， 尸7 r 幸( 马) = ( f z ) 7 r 幸( 易) = 一z ( 白黾l + 乃，2 ) = 1 ， p 7 r 幸( 取) 专( f z ) 7 r + ( 最) = o ，( 七1 ，j ) 得到的方程组与4 1 3 中相同，故我们有类似于4 1 3 的结果，即 z = 喜万事( 晶) + 三7 r 幸( 磊) 吾万+ ( 岛) 4 1 5 z 乃，1 一1 ，乃，1 = 1 ，z 日，1 = 一1 ，钿，1 = 1 ，j 口 根据( 2 ) ，有岛，1 一t 口，l = 0 再由( 1 ) ，有 m 巧勺= 勺，1 + 岛，1 = 1 ， 即m 巧= 勺= 1 ，同理，m l 口= 岛= 1 ，( 注意此时j ，口1 ) 这时我们有 p 7 r ( 易) = ( f z ) 7 r + ( 日) = f 7 r ( 日) = 一3 ， p 丌( 弓) = ( f z ) 7 r + ( 易) = 一z ( 弓，1 + 易，2 ) = l ， p 7 r + ( 岛) = ( f z ) 7 r 。( 日) = 一z ( 日，1 + 日，2 ) = 1 ， p 7 r 专( 风) = ( f z ) 7 r 宰( 风) = o ，( 后1 ，j ，g ) 即 ( 丁一3 尬) s = 勺+ 勺 特别 岛= 3 m l j 一( 毗2 + m 幻l 1 t ! 三j1 t 口 = 3 m 巧一( m 巧2 + 呦2 + m um 1 口) 2 + 仇巧) 1 钛j1 t 口 = 一( 毛2 + 三m 柏) 姐1 t j1 i 口 所以巧= o 且= o ( v 1 i 歹) 同理，q = o 且= o ( v 1 z g ) 考虑除子 d ：= z 一詈7 r 幸( 矗) 一三7 r ；( 岛) 一三7 r 奉( 岛) 它不含丌( 局) ，矿( 马) ，矿( 岛) 的任何不可约分支，并且对于任意的七1 ，j ，g ， d 最，l = d 最，l = 0 由引理2 ，可知d = 0 即 z = 吾丌+ ( 岛) + 三7 r ( 岛) + 三7 r ( 岛) 4 1 6 z 乃，1 = z 弓，2 = 一l ，句，l = ，1 = 1 根据( 2 ) ，有屯1 = 屯2 = o 再由( 1 ) ，有 仇巧勺= 乃，1 + 岛，1 = l ， 即m 1 j = 勺= 1 ，( 注意此时歹1 ) 这时我们有如下方程组： 尸丌+ ( 日) = ( f z ) 7 r ( 易) = f 7 r ( 易) = 一3 ， p 丌( 弓) = ( f z ) 7 r ( 弓) = 一z ( 乃，1 + 乃，2 ) = 2 ， p 丌( e k ) = ( f z ) 7 r 事( 取) = o ，( 七1 ，歹) 与4 1 1 中的情况相同，故可类似的得到矛盾 4 1 7z 兄1 = 一1 ，颧1 = 1 ，z 日，2 = 一1 ，为，2 = 1 ，歹口 根据( 2 ) ，有屯l = t 口，2 = o 再由( 1 ) ，有 即m 巧= 勺= 1 ，且有 m 巧勺= 铉1 + 屯1 = 1 ， ( 学 + 1 ) 诋汛一 即m l g = 1 ，s 口3 ，( 注意此时歹1 ) 这时我们有如下方程组： p 7 r ( e 1 ) = ( f z ) 7 r ( 墨) = f 卉。( 蜀) = 一3 ， 尸7 r 。( 易) = ( f z ) 7 r + ( 局) = 一z ( 乃，1 + 乃，2 ) = 1 ， 尸7 r 宰( 岛) = ( f z ) 丌+ ( 岛) = 一z ( 白日，1 + 日，2 ) = 1 ， 脚( 最) = ( f z ) 7 r 4 ( e k ) = o ，( 七1 ，歹，口) 与4 1 5 中的情况相同，故可类似的得到类似的结果，即 z = 詈丌+ ( a ) + 吾丌+ ( 易) + 三丌+ ( 岛) 2 1 4 1 8z 乃，2 之一1 ，2 = 1 ，z b ，2 = 一1 ，气2 = 1 ，歹g 根据( 2 ) ，有，2 = 口，2 = o 再由( 1 ) ，有 m u ( 学 + 1 ) 嘞2 鸲2 乩 即m 1 j = 1 ，勺3 ，同理，m 1 口= 1 ，白3 ，故此时歹和口均不能为1 这时方程组为 p 7 r ( 毋) = ( f z ) 7 r + ( 毋) = f 7 r ( 局) = 一3 ， p 7 r + ( 马) = ( f z ) 7 r 事( 弓) = 一z ( 勺无1 + 乃，2 ) = 1 ， 所宰( 局) = ( f z ) 7 r ( 岛) = 一z ( 岛岛，1 + 日，2 ) = 1 ， 尸7 r ( e 七) = ( f z ) 7 r + ( 最) = o ，( 七1 ，歹，g ) 与4 1 5 中的情况相同，故可类似的得到类似的结果，即 z = 吾7 r 宰( 晶) + 吾7 r 幸( 岛) + 三7 r ( 岛) 4 21 = 2 此时，易简单分歧，我们将依然采用类似于4 1 的方法进行讨论，但是这里的讨论将 变得复杂首先，我们将证明一个引理，以简化讨论 引理4 若e 1 = 2 ，且矛= 一2 ，则一2 z r 2 0 证：因为我们有f r ，2 = 一l 0 ，且注意到尸中不包含r ，2 ，所以 z 日，2 = 竭，2 一鹧：2 0 而z 日2 一2 可直接由z 2 = 一2 得到 口 有了这个引理，这里的讨论将不再会出现象4 1 的8 种情况 4 2 1 z 日，2 = 一2 ，z 1 ，2 = 1 这部分的证明将在后面给出 4 2 2 z 乃，2 = 一1 ，乃，2 = 2 由z 乃，2 = 一l ，我们可知，j = 1 ，而这又和，2 = 2 矛盾 2 2 4 2 3 z = z 巴2 = 一1 ，铉1 = 镪2 = 1 由z 兄2 = 一l ，我们可知，歹= 1 ，而又由( 2 ) ，有芒l 。1 = 0 ，与假设矛盾 4 2 4 z 巴1 = _ 1 ，龟1 = 1 ，z 日，2 = _ 1 ，2 i g ，2 = l ，j 口 同样，我们有g = 1 由( 2 ) ，有1 = 0 再由( 1 ) ，有 m l j 勺= ，1 + 岛，1 = 1 ， 即m 巧= 勺= 1 我们有如下方程组： 尸矿( 局) = ( f z ) 7 r 。( 马) = 砌幸( 目) 一z ( 2 乃，1 + 乃，2 ) = 一2 ， p 矿( 马) = ( f z ) 矿( 易) = 一z ( 乃，1 + 乃，2 ) = 1 ， 尸7 r ( 最) = ( f z ) 矿( 最) = o ，( 七1 ，歹) 即 ( ? 一2 尬) s = 白 特别的。 岛= 2 仇巧一眦2 1 t j = 2 m u 一( m 1 1 2 + m 巧2 ) 一m l l 2 = 一2 1 i 勺 所以岛= 蚴= 0 ，( v 1 茁 歹) 下面我们将分步计算此时z 的表达式 s t e p l 我们先证明在除子z 一乃，1 中，只，1 和凡，2 是不连通的 若不然，我们考虑z 一乃，l 中与r ，2 相交的任一不可约曲线c ，由条件，我们有 ( f z ) 只，2 = f f l ，2 一z 只，2 = o ， 而f z 中不含只，2 ，故f z 中不含c ，也就是说，c 在z b ，1 中的重数和其 在f 中的重数是一样的做有限步的递推，我们可以得到：对z 一只，与局2 连通 的任何不可约曲线c 毋 l 上述结论都成立( 注意到这是因为( f z ) c ：o ) 而 若r ，1 和日，2 在除子z 一乃，1 中连通的，则在除子z 一乃，1 中必有一条不可约曲线 满足上述条件且与日，1 相交，所以日，1 在z 一乃，1 中的重数和其在f 中的重数一 样显然矛盾 s t 印2 由上，我们知道，在z 一黾l 中有若干连通分支我们把含日，l 的那个分支并上毛1 之后的支集记为历，其余分支并起来的支集记做玩我们要证明 z l 疡= fj 协 即要证明岛的每一个分支上都有上式成立显然，由s t 印1 的证明，我们知道在含 有毋，2 的分支上，等式成立设b 是岛中除了含有f l ，2 的分支之外的任一分支，c 是b 中与乃，1 相交的曲线，a 是毋中与乃，1 相交的曲线，则由 ( f z ) 乃，1 = f 乃，1 一z 毋，i = 1 可失，倘若f z 中含有c ，则一定不含g ，也就是说c 在z 一乃1 中的重数和其 在f 中的重数相同采用s t 印1 中的方法，我们又可以导出：日，1 在z 一乃，1 中的重 数和其在f 中的重数一样，显然矛盾所以f z 中不含c ，再用s t 印1 中的方法 归纳可得出我们要的结论 s t e p3 考虑除子 。= z 一三丌( a ) f b ，一三7 r 事( 岛) l b ，一7 r 幸( a ) f 玩 。 i b l 。 l b li b 2 则由前面的讨论，d 中不包括日，1 ，乃，1 和支集在玩上的曲线，但是根据d 的表达 式，不难发现满足s u p p ( c ) 岛且不为毋，1 ，弓，l 的曲线g ，我们有 d c = 0 z = 三7 r 事( a ) l b ，+ 三丌( 岛) l b ，+ 7 r 幸( 晶) l 励 4 2 5 z 乃，2 = 一1 ，勺，2 = 1 ，z 日，2 = 一1 ，铂，2 = 1 ，歹口 不妨设此时口= 1 由( 2 ) ，有，2 = 亡1 ，2 = o 再由( 1 ) ，有 。m 巧( 学 + 1 ) 一懒乩 即m 1 j = l ，勺3 我们有如下等式： p 7 r ( 日) = ( f z ) 7 r ( 局) = f 7 r + ( 局) 一z ( 2 乃，1 + 马，2 ) = 一2 ， p 7 r ( 易) = ( f z ) 丌幸( 弓) = 一z ( 勺乃，1 + 乃，2 ) = 1 ， 尸7 r ( 毋) = ( f z ) 7 r 4 ( 取) = o ，( 七1 ，歹) 与4 2 4 中的类似，故我们采用类似的方法( 将4 2 4 中的b 1 换成黾2 讨论) ，我们可以 得到，此时 z = 三矿( 矗) i 岛+ 丢丌( 岛) f 历+ 矿( a ) i b 2 其中，b 1 为z 一弓，2 中含只，1 的那个分支并上乃，2 之后的支集，岛为z 一乃，2 中不含毋，1 的那些不可约分支支集的并 2 5 这个情形下，根据( 2 ) ， 5z 2 = 一1 ，尸2 = 一2 f p = ( z + p ) p = p 2 = 一2 ， 这说明p 中含有矿( 最) 中的分支，并且毋是全分歧的我们可以知道，t 1 ，1 = 2 ，t l ，2 = 0 又因为 z 2 = ( 气1 z 只，1 + 乞，2 z 只，2 ) = 一1 i = 1 并且每一个z 最1 z 尻2 均非正，所以除了某一个相交数为一1 之外，别的都为0 此时，。一 共有两种情况需要讨论 5 1z 弓，1 = 一1 ，刁，1 = 1 由( 2 ) ，有岛，l = o 再由( 1 ) ，有 m 巧白= 刁，1 + 岛，1 = 1 即m u = 勺= 1 ( 注意此时歹1 ) 并且，此时红2 = 1 ，所以f z 中不包含毛2 注意到 ( f z ) 乃，2 = f 乃，2 一z 乃，2 = o ， 而日，l 和乃，2 在f 一乃，1 中是连通的，所以采用4 2 4 中s t 印1 的方法，我们得到f 一乃，1 中不包含日1 显然矛盾 5 2z 乃，2 = 一1 ，乃，2 = 1 由( 2 ) ，有屯2 = o 再由( 1 ) ，有 哪( 学 + 1 ) 嘞2 恺2 乩 即m 1 j = 1 ，勺3 ( 注意此时j 1 ) 我们有如下等式： p 7 r + ( 局) = ( f z ) 7 r + ( 易) = f 7 r ( 易) = 一3 ， p 7 r + ( 马) = ( f z ) 7 r + ( 易) = 一z ( 勺乃，1 + 易，2 ) = 1 ， p 7 r ? ( 鼠) = ( f z ) 7 r + ( 最) = o ，( 尼1 ，歹) 于是新的方程组等价于 r 一3 尬) s = 勺 特别的， 岛= 3 仇巧一2 = 3 m 巧一( m 1 1 2 + m 巧2 ) 一嘞2 = 1 一啦2 5 2 1 岛= 1 的情况 此时岛是简单分歧的，且= o ( v 1 t 歹) 下面我们将分步计算此时z 的表达 式 s t e p1 我们先证明在除子z r ，l 中，乃，i 和毛2 是连通的 这个结论比较显然，从涨开的过程中就可以看出因为在易和马中间一定有某一 条岛= o 的例外曲线日使得乃，l 和乃，2 是通过b ，2 连通的 我们把z 一日，1 中含有弓，1 和乃，2 的那一个分支的支集记做b 1 ，把z 只，1 中不 含乃，1 和乃，2 的那些分支并上日，l 这整个的支集记做岛 s t e p 2 我们要证 、z l 玩= 昙矿( a ) l 玩 令 。= z j 岛一昙矿( a ) f 励， 显然，d 中不包含f 1 ，1 ，且对于任一满足s u p p ( c ) 易且不为r ，1 的曲线c ，我们 有 由引理2 d = 0 。c = c c z l 励，一c 墨丌c 矗，l 二 = z c 一言7 r ( a ) c s t e p3 设磊= z i 励，注意到蚴= o ( v 1 o 所以综合以上各步，我们可以得到：z d 2 是支集在s u p p ( 丌( 弓) ) 上的有效除子 s t 印7 我们要证：z 一现是矿( 易) 的基本闭链 由上，我们不难看出任一支集在s u p p ( 矿( 岛) ) 的曲线都会在z d 2 中出现，且通 过前面的讨论，我们可以发现：对于任一cc 丌( 易) ， 若s u p p ( c ) cb 1 ，则 c ( z d 2 ) = c z = 0 若s u p p ( c ) c 岛7 ，贝0 c ( z d 2 ) = c z = o如果c 只，2 c ( z d 2 ) = c z 0如果c = e ，2 若s u p p ( c ) c 岛7 ，则 c ( z 一仍) = c z = 0 如果c 乃，2 c ( z d 2 ) = c z = 一1 如果c = 马，2 所以，z d 2 是7 r 。( 易) 的闭链又z d 2 矿( 岛) ，由引理3 ，( z d 2 ) 2 一2 注意 到勺= 2 意味着矿( 易) 的基本闭链自交数不超过一2 ，所以，z d 2 恰好是矿( 岛) 的基本闭链 s t e p 8 注意到( z 一伤) 2 = 一2 和上一步的计算，我们可以得到， ( z d 2 ) 2 = 磊，2 只，2 ( z 一玩) + 乃，2 ( z d 2 ) ， 即 忍，2 月，2 ( z 一现) = ( z d 2 ) 2 一呢2 ( z p 2 ) = 一1 故忍，2 = 1 ，冠，2 ( z d 2 ) = 一1 采用4 2 5 中的结果，可得 z i b 3 ，= ( z d 2 ) i 玩， = 7 r + ( 岛) i b 3 ， 、j ，- 一o z f 历，= ( z 一见) i b 。， 2 三丌+ c 易，+ 三7 r 十c 最， l b ， 并且，根据4 2 5 的证明过程，我们可以知道，噩恰好是涨开易和易的那条例外 曲线，所以m l 产2 - s t e p 9 考虑除子 珧：= z 一吾丌+ c 晶，三丌事c 邑， l 晚， 则风中不包含日，1 和e ，2 ，不且难发现对于满足s u p p ( c ) 岛且不为r ，1 ，只，2 的曲线c ，我们有 d o c = 0 由引理2 可得，d o = 0 即 z i 玩，= 墨矿( a ) + 昙矿( o ) l 玩， 综上，我们得到了这个时候基本闭链z 的表达式： 、 z = 三7 r + c 易，+ 主丌c 磊， l b 。，+ 吾7 r 幸c a ，+ 三丌c 邑， l b 。，+ 7 r c 岛，i b 5 2 2 如= 0 的情况 此时，存在一个l ，使得1 l 歹且哟= 1 ，= o ( 坳1 ，主，歹) 此时m l = 1 我们 还有 屯= 3 她一慨呦 1 l sj = 3 m l i 一( m l l m 巧+ 仇i m 巧) = 3 2 = 1 所以晟是分歧的 若最全分歧，则考虑除子 d ：= z 一昙7 r 。( 晶) 一三7 r ( 毛) 一言霄( 易) 则d 不含有矿( 易) ，矿( 易) ，矿( 玛) 中的不可约分支，并且对于那些不包含在 矿( 易) ，矿( 岛) ，矿( 易) 的曲线c ，我们有d c = o 由引理2 可知d = o ，即 z = 三7 r ( a ) + 吾丌幸( 最) + 三7 r ( 岛) 若蜀简单分歧，则考虑由f 1 ，1 到r ，2 的道路：g = f 1 ，l ，侥，q = 只，2 ，且由于 m “= m 1 j = 1 ，我们可以设上面的道路不包含矿( 马) 中的曲线由于( f z ) q = o ，且 f z 中显然含有只1 ，所以f z 中含有岛，还由4 2 4 中s t 印1 的归纳方法，可知 f z 中含有r 2 ，但这是不可能的，因为只，2 在f 中的重数为1 5 3 补证4 2 1 的情况 回忆此时的条件为： s l = 2 ；z 2 = 一2 ，p 2 = 一1 ；z 日，2 = 一2 ，魂，2 = 1 我们分两种情况讨论 5 3 1 日，1 和r ，2 连通 此时z 一日2 由若干个连通分支构成，不妨设那个含有只，l 的分支的支集为 b ，z i b = 磊我们要证明 s u p p ( p ) = b 3 1 首先我们证明尸也是一个基本闭链这个是比较明显的，因为r 2 不在p 中，且对于 任一支集在s u p p ( p ) 中的曲线，都有 p c 7 = ( f z ) = f o ， 所以p 是闭链又因为此时尸2 = 一1 ，所以由引理3 可得结论 显然，毋，1 是在p 中的，设c 是一条与日，1 相交的曲线由于p c = 0 ，所以尸中含有 g 继续用4 2 4 中s t 印l 的归纳方法，我们可以知道在这一分支内的任一曲线都会出 现在p 中所以s u p p ( p ) = b 此时我们有如下的方程组： p 丌+ ( 且) = ( f z ) 丌幸( 且) = f 丌辜( 最) 一z ( 2 日，1 + r ，2 ) = 一3 + 2 = 一l ， p 7 r 。( 最) = ( f z ) 7 r ( 最) = o ， 1 ) 即 ( t 一尬) s = o s 可逆，所以t = 尬 历一日，1 也由若干连通分支组成，我们证明这些分支中只有一个分支与毋。2 相交这 是比较容易的因为 p 日，2 = f 日，2 一z r 2 = 一1 + 2 = 1 ， 即p 中只有一条曲线与日2 相交，所以，那个包含这条曲线的唯一分支即所要求的 我们考虑那个与日2 相交的那个分支z 7 ，设其支集为b ，则从涨开的过程中可以发 现，这一分支中的曲线都是底曲面上一些例外曲线的严格原象的不可约分支我们把这 些例外曲线中下标最小的记为易则助有如下性质： s u p p ( 矿( 岛) ) = b 7 ，m 1 j = 1 ，呦= o ( v 1 1 ；同 理，若勺= 1 或2 ，由于屯l ，岛，2 o ，仍有岛= ( 3 一勺) 岛，1 + 易，2 1 并且，我们可以知道 兄1 在p 中的重数为1 考虑除子 d ：= p l b ， 则d 显然是一个闭链，所以一定包含矿( 岛) 的基本闭链乃又因为乃，1 在p 中的重 数为l ，所以由前面两个小节的讨论，历2 = 一1 也就意味着存在唯一的一条曲线 3 2 冠，2 矿( 易) ，使得呦= 1 且 只，2 乃= 一1 0 我们证明，巳1 必然通过最，2 与r ，1 连通我们注意到乃，1 不含在p 一历中，并且 兄1 ( p 一乃) = 兄1 p 一巳1 历= o ， 所以与乃，1 相交的任何曲线都不在p 一乙中若乃，1 可以不通过冠，2 与蜀，1 连通，我们 用4 2 4 中s t e p l 的归纳方法，可以得到毋，1 不含在p 一乃中，这显然矛盾 另外。我们注意到。 p 日，2 = ( f z ) 日，2 = 1 ， 所以p 中的那条与日，2 相交的曲线重数为1 ，也就是说，这条曲线不含在p 一乞中，同样 的方法，我们可以知道，日，2 必然通过只。2 与r ，1 连通 由这两条，我们可以推出，岛= o ，也就是说，这时的乃是符合5 2 2 的那种基本闭 链即 111 乃= 主丌( 岛) + 去丌( & ) + 去矿( & ) 其中m 体= 1 ，m 航= 1 ，且硼七= 0 ( z 惫) 并且，从5 2 2 的证明中，我们可以看 出，b 是涨开晶和易的那条例外曲线，而晟是涨开日和最的例外曲线于是，我们 可以得出，仍1 蠡= 2 ，m “= 3 类似于刚才连通性的证明，用归纳法，我们还可以发现p 一历中不含有r 2 且 p 一只。2 有若干连通分支我们把含有日，1 的那个分支的支集并上s u p p ( 只，2 ) 记为b 1 ， 把其余的分支支集的并记为岛打 用证明连通性中的方法，再加上归纳，我们可以知道，在p 一历中不含有包括弓，l 的 那个分支上的曲线若存在一个连通分支，其支集b c 岛中，但 ( 尸一弓) j 矽o ， 则注意到p 一乃中不含有e ，2 ，故对于支集在b 中的任一曲线c ，都有 由引理2 可导出矛盾 我们考虑除子 c 【( 尸一2 j ) i b ”】= c ( p 一乃) = o ， 。：= p 一巴丌+ c 晶，+ 三丌阜c 邑， l 见，一乃i 玩， 由前面的推理，我们知道d 中不包括支集在岛 中的曲线，不包括日，l 和最，2 ，并且对于 其他的支集在日中的曲线，都有d = 0 由引理2 可知d = 0 即 p = 丢丌c a ，+ 三矿c 最， l 毋。+ 忍l 玩， 于是 z = f p = 7 r ( & ) 一 三丌( 矗) + 三7 r