（基础数学专业论文）关于概率拟度量空间完备性的注记.pdf

关于概率拟度量空间完备性的注记 专业：基础数学 研究生：柴英明指导老师：张德学教授 摘要：1 9 7 3 年，l a w v e r e 引入了强化范畴的柯西完备性的概念，并且证明把度 量空间看成1 0 ，0 0 1 q 上的强化范畴，则强化范畴意义下的柯西完备性和通常由柯西 序列描述的完备性等价。本注记指出若概率拟度量空间取对称拓扑和双柯西列且 三角函数左连续，则强化范畴意义下的柯西完备性和由柯西序列描述的完备性等 价。最后我们引入了9 完备的概念来讨论了一类特殊的概率拟度量空间， 叩f u z z y 度量空间的完备化问题 备。 关键词：概率拟度量，概率度量，f u z z y 度量，c a y c h y 完备，强化范畴，9 完 an o t eo nt h ec o m p l e t e n e s so fp r o b a b f l i s t i cq u a s i - m e t r i cs p a c e s m a j o r ：f u n d a m e n t a lm a t h e m a t i c s g r a d u a t es t u d e n t ：y i n g m i n g c h a i s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o r d e x u e z h a n g a b s t r a c t ：i n1 9 7 3 ，l a w v e r ei n t r o d u c e dt h en o t i o no fc a u c h yc o m p l e t e n e s sf o r ( e n r i c h e d ) c a t e g o r i e sa n dd e m o n s t r a t e dt h a ti nt h ec a s eo fm e t r i cs p a c e s ( v i e w e da 8 c a t e g o r i e se n r i c h e do v e r 【0 ，o 。p ) t h i sn o t i o ni se q u i v a l e n tt ot h eu s u a lc o m p l e t e n e s s o fm e t r i cs p a c e sb yc a u c h ys e q u e n c e s i nt h i sn o t ei ti ss h o w nt h a t ，w h e nt h et r i a n - g kf u n c t i o ni sl e f t - c o n t i n u o u s ，t h ec a u c h yc o m p l e t e n e s so fp r o b a b i l i s t i cq u a s i m e t r i c s p a c e sv i e w e da se n r i c h e dc a t e g o r i e si se q u i v a l e n tt ot h eb i c o m p l e t e n e a sw i t hr e s p e c t t ot h es y m m e t r yt o p o l o g y i nt h el a s ts e c t i o n t h ec o m p l e t a b i l i t yo fas p e c i a lk i n do f p r o b a b i l i s t i cq u a s i - m e t r i cs p a c e s ，t h ef u z z ym e t r i cs p a c e ，i sd i s c u s s e d t ot h i se n d ，t h e c o n c e p to f9 - c o m p l e t i o ni si n t r o d u c e d k e y w o r d s ：p r o b a b i l i s t i cq u a s i - m e t r i c ，p r o b a b i l i s t i cm e t r i c ，f u z z ym e t r i c c a u c h y c o m p l e t e ，e n r i c h e dc a t e g o r y , 9 - c o m p l e t e 四川大擘硕士荦住论文 声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。据我所知，除了文中特别加以杯注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得四川大学或其他教育机构的学 位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在 论文中作了明确的说明并表示谢意。 本学位论文成果是本人在四川大学读书期间在导师指导下取得的，论文成果 归四川大学所有，特此声明。 作者签名：坚量蚴作者签名：刁! ：鉴：1 日期：幺啤。2 导师签名： 日肌* 一 2 1 ! 趔叁堂塑主芏垡堕查 1 1 引言 1 9 7 3 年，l a w v e r e 弓 入了强化范畴的柯西完备性的概念，并且证明把度量空间 看成i o ，m p 上的强化范畴，则强化范畴意义下的柯西完备性和通常由柯西序列 描述的完备性是等价的 而概率拟度量空间也可以看作强化范畴，只不过度量是把集合中的两个元素 对应为一个实数，而概率拟度量是把集合中的两个元素对应为一个分布函数，那 么概率拟度量空间作为强化范畴的柯西完备性和由柯西序列描述的完备性是否 等价? 本文目的就是探讨这一问题 我们证明了若0 是分布函数集+ 上一左连续三角函数( t r i a n g l ef u n c t i o n ) ， ( x ，f o ) 是一概率拟度量空间，n ( x ，f o ) 作为强化范畴是柯西完备当且仅 当( x ，f 0 ) 中任一双柯西列在对称拓扑下收敛 由于概率拟度量空间可完备化，而作为特殊的概率拟度量空间的f u z z y 度量 空间却存在不可完备化的例子，所以我们最后对f u z z y 度量空间的完备化问题进 行了讨论，并引入了9 完备的概念 内容安排如下： 在第二节中介绍了连续格与概率拟度量空间的基本概念，证明了+ 是连续 格：又介绍了概率拟度量空间的对称拓扑和双柯西列，证明了对称拓扑可以化为 与双柯西列更为对应的一种形式，并证明了它们都是第一可数的h a u s d o r f f 拓扑； 最后介绍了概率拟度量空间的双完备性与双完备化，证明了概率拟度量空间可双 完备化 第三节介绍了强化范畴的柯西完备与柯西完备化 第四节是本文主要结果证明了双完备性与强化范畴的柯西完备性等价，由 此得出了概率拟度量空间的双完备化的一种范畴论描述 第五节介绍了一类特殊的概率拟度量空间，b p f u z z y 度量空间的完备化问题， 为此我i t l l 入了9 完备化的概念 四川大学硕士学位论文 2 概率拟度量空间的双完备性 我们先介绍一些连续格和分布函数集上三角函数( t r i a n g l ef u n c t i o n so nt h e s e to fd i s t r i b u t i o nf u n c t i o n s ) 的一些基本概念 设q 为完备格，若q 中元素p ，口满足对于任给定向集d ，g v d d d ，有d d 使得p d ，贝u e e , pw a yb e l o wg ，记作p g ( 或q p ) 若完备格q 中任给元素q ， 有q = v p n i p 口) ，则称q 连续 性质2 1 【4 】设是连续格q 中的w a yb e l o w 关系，则有 ( 1 ) p q 号p 吼 ( 2 ) t 正p q 口考口， ( 3 ) p r ，q r 哥p v 口r ， ( 4 ) p q 哥存在r q ，使得p r q 例2 2a + = 伯：【o ，o 。】- 【0 ，1 】| g 是在( o ，0 0 ) 上左连续非减的函数，q ( o ) = 0 ，g ( o o ) = 1 ) 郇) ： 1 0 坯鸭 【0 ，t = o 规定+ 中偏序为：若任给t 1 0 ，o 。】，p ( t ) g ( t ) ，则p 吼若p q 但p q ， 贝怕 - 一磊1 矛盾， 又 魁( 靠) l n n ) 显然是嚣的一个邻域基 所以7 - ( x ，f ) 是第一可数的h a u s d o r f f 拓扑口 性质2 9 设( x ，只o ) 是概率拟度量空间，序列 z 。) 相对于拓扑7 ( x ，f ) 收 敛到z ( 记作一。) ，当且仅当，任给6 e o ，存在n o n ，当n n o 时，6 f ( ，z ) ，6 f ( z ，) 定义2 1 0 设( x ，只o ) 为概率拟度量空间，若任给6 o ，存在n o n ， 当m ，n n o 时，有d f ( 。，霉。) ，则称序列 ) 为双柯西列；若( x ，f ) o ) 中任 意双柯西列收敛，则称( x ，只o ) 双完备；若( x ，f ，o ) 同构于双完备的概率拟度量 空间僻+ ，f ，o ) 的一个稠密子集，则称( x + ，f + ，o + ) 是( x ，f ，o ) 的完备化 定义2 1 l 设 z 。) ， ) 是概率拟度量空问( x ，f ，o ) 中的双柯西列，定义 z 。) 一 蜘) 当且仅当w o ，3 n o n ，当仍，竹n o 时，f ( ，) 6 k f ( y 。，) 6 易知一是等价关系 记【t z 。= ) l ) 为概率拟度量空间( x ，f o ) 中的双柯西列，且 骱) 一 岳。) ，x = f 善。川 z 。) 为概率拟度量空间( x ，只o ) 中的双柯西列) v x ， i a z d 为值为z 的常值列的等价类 四川大学硕士学位论文6 定义d ( 【 z n ) 】 【 ) 】) = v 。l 。f ( 孤，玑) ， 写。) 】 【 蜘) 】x ，则d 是良 定义的这是由于若 。) 一 z ：) ，则 v 八f ( x k ，玑) = 印。v 八f ( ，玑) n lk nn lk n = v 八f ( ，钆) 。v 八f ( x k ，挑) n 一 lk n n lk “ v 八( f ( z 0 ) o f ( x k ，玑) ) n 1 七” v 八f ( z k ，y k ) n l k n 性质2 1 2 僻+ ，d ，o ) 是，f ，o ) 的完备化 证明 ( 1 ) ( x ，d ，o ) 是概率拟度量空间 由d ( 【 z n ) 】，【 。n ) 】) = v 。l k 。f ( 瓢，) = v 。1 k 。e o = e o ， 和 d ( 【 。) ) 】) = v 八f ( x k ，讥) n 2 1 女“ v 八( f ( z k ，) o f ( ，玑) ) n l 膏“ v 八f ( x k ，张) o v 八f ( z k ，弧) n lk nn 1 “ = d ( 【 。) 】 【 磊) 】) od ( 【 ) l f 鲰) 】) 即得 ( 2 ) t ：x - - - 4 x ，l ( 。) = 是等距嵌入 由f 0 ，y ) = v 。，1 ，。f ，可) = d ( 【司，m ) 即得 ( 3 ) i 】是x 的稠密子集 任给【 。) 】x + ，有p 。】一i z 。) 】 ( 4 ) ( x ，d ，o ) 双完备 设f z ：) 】是( x + ，d ，o ) 中的双柯西列，固定m ，则【 碟x 由 【x 】在x 中稠密，存在z 。x ，使得d ( 陋。】，【 z ：i ) 1 ) k ，d ( 【 z ? ) 】，陋。】) “下面证 明 z 。) 是( x ，f o ) 中的双柯磋列，并且【 z ? ) 】一【如。) 】 四川大学硕士擘位论文 w o ，s m o n ，使得6 o o 印对于，j 喁n 当m 1 ，竹功m 3 时，d ( 【 z ：1 ) 】，【 z ) 】) “。 于是当m 1 ，r n 22m a x t o o ，m 6 ) 时， f ( z m 。，z m 。) = d ( p m 。】，b m 。】) d ( 【z m ，】，【t z ? 1 ) 】) od ( 【 礤1 ) 1 ，f z 孑2 ) 】) od ( 【 z ? 2 ) 】，p 。 ) o o 矗 所以 。) 为( x ，f o ) 中双柯西列 w 印，s m o n ，使得6 西o e 0 对于最n o ，j ”瑶n ，当m 芝 m 时，d ( p 。】，【 h ) 焉。，d ( 【 。n ) l ，陋。j ) 焉。 于是当m m a x t o o ，喝) 时， d ( f z ? ) i ，【 $ 。) 】) d ( 【 z ：) 】，扛。1 ) od ( 【茁。】，【 茁。) 】) 最n oo 蠡。6 d ( z 。) 】，【 z ? ) 】) d ( 【 耳；) 】，i z 。】) od ( 陋。】，【 瑶) 】) o 文n o 6 所以【 瑶) 】一“z 。) 】口 7 四川大学硕士学位论文 3强化范畴的柯西完备性 在本节中，我们回顾一下l a w v e r e 【9 】9 介绍的柯西完备的概念这方面的内 容还可参考【1 】和【7 】 交换的有单位元的q u a n t a l e 【2 ，1 0 l 是三元组( q ，o ，e ) ，其中q 是完备格，e 是q 中的元素，o ：q q 一n ，称1 e r l s o r , 是交换的和结合的满足：( 1 ) 0 是非减 的，( 2 ) 任给p q ，函子p ( 一) ：q q 存在右伴p = 争( 一) ：q q ，( 3 ) e 是。 的单位元，即任给p q ，p o e = p 双边运算辛：q q q ，净( p ，q ) = p ： q 称为c o t e n s o r 由q 是完备格，故函子po ( 一) 存在右伴等价于 对并分配，即q 的一任意子集缸) 斛，有po ( v i e ig ) = v 甜白。口) 下面介绍一下关于t e n s o ro 的一些性质 性质3 11 1 0 】设( q ，固，e ) 是交换的q u a n t a l e ，： 是。的c o t e n s o r ，则 ( 1 ) p 0q r 错p q 号r ， ( 2 ) p ： q = v r ：p p r q ， ( 3 ) p 辛p = e ， ( 4 ) 0 = g ) o ( q 辛r ) 0 = r ) ， q 上的强化范畴或称q 范畴指一集合a 以及一个二元函数a ( 一，一) ：a a n 满足：( 1 ) 任给a a ，e a ( a ，n ) ，( 2 ) 任给a ，b ，c a ，a ( a ，b ) o a ( 6 ，c ) a ( a ，c ) q 函子指，：a b 使得对任意的o ，b a ，有a ( a ，b ) 口( ，( o ) ，( 6 ) ) ， 其中a b 为q 范畴 例3 2 【1 0 】设q 为交换的q u a n t a l e 对a ，b q ，令q ( n ，6 ) = a 号b ，则( q ，= ) 是q 范畴 例3 3 设q = 【0 ，o 。p 为扩张的非负的实直线，取对偶序，则。为最大元，令+ 为通常的加法，对于o o ，令叠十o o = o o ，v z 1 0 ，o o 】叩，则( q ，+ ，0 ) 是q 范畴 例3 4 设q = 【o ，o o 】为扩张的非负的实直线，取通常的序，令为通常的乘 法，对于o 。，令z o o = o 。，v z ( 0 ，o 。l ；0 0 0 = 0 ，则( q ，1 ) 是q 范畴 例3 5 若。是+ 的左连续三角函数，则( + ，o ，翮) 是交换的q u a n t a l e 概率 拟度量空问僻，f o ) 是交换的有单位元的q u a n t a l e ( + ，o ，旬) 上的强化范畴 设x 为q 范畴若函子对( ，g ) ，f ：x o p - - - - eq ，g ：x 。q 满足： 8 四川大学硕士擘住论文 ( 1 ) v = e x ( ，( 茁) o 夕( 茹) ) e ， ( 2 ) 任给z ，y x ，f ( x ) o9 ( ) x ( z ，掣) ，则称( ，9 ) 为柯西对 易证，q 范畴x 中任给z ，序对( x ( 一，而，x ( z ，一) ) 是柯西对 定义3 6 ( l a w v e r e ，【9 】) 若q 范畴x 中每个柯西对( ，g ) 是可表的，即存在x x ，使得f = x ( 一，z ) 且9 = x ( z ，一) ，则称x 柯西完备 记口= f ( ，g ) i ( ，g ) 是q 范畴x 上的柯西对) 定义 d ( ( ，m ) ，( 厶，9 2 ) ) = v ( 夕t 0 ) o ，2 ( 。) ) ，( ，1 ，g - ) ，( f z ，g z ) d ， e x 则有 命题3 7 d 是q 范畴 证明 ( 1 ) 口( ( ，口) ，( ，9 ) ) = v 。x ( 9 ( z ) o ，( z ) ) = v 。x ( ，( z ) og ( z ) ) e ( 2 ) 口( ( ，l ，m ) ，( f z ，啦) ) = v0 - 0 ) o ，2 ) ) z e x vv ( 9 1 0 ) o x ( z ，) o ，2 ( ) ) y e x x vv ( 吼 ) o f s ( z ) v g s ( y ) 。，2 ( ) ) y e x x e x = v ( 9 ，( z ) 。，3 ( z ) ) ov ( 9 3 ( ) o 五( ) ) = e x y e x = 口( ( ，9 1 ) ，( f s ，卯) ) o d ( ( f s ，舶) ，( f 2 ，g z ) ) 在范畴论中我们知道d 柯西完备，若取q = + ，这结果也可由下一节 的4 2 ，4 3 得到在范畴论里柯西完备的d 称为x 的柯西完备化 9 四川大擘顽士学位论文 4 等价性 1 0 本节证明主要结论：概率拟度量空间的双完备性与作为强化范畴的柯西完备 性等价 定理4 1 设僻，只o ) 为概率拟度量空间，则x 双完备当且仅当它作为( + ，o ，o ) 上的强化范畴柯西完备 证明充分性：设( x ，f o ) 柯西完备， z 。) 为x 中的双柯西列任给z x ， 令 ，( z ) = v 八f ( 置z t ) ， n x k ” 9 ( 。) = v 八f ( x k ，z ) n l ” 假设 ( 1 ) f ：x 。p 。+ 和g ：x + 都是+ 函子， ( 2 ) ( f ，g ) 是x 的柯西对 成立，则由( x ，f o ) 柯西完备，存在x o x 使得f ( x ) = f ( z ，粕) ，g ( y ) = f ( x o ，y ) 即 v 八f ( x k ，z o ) = f ( x o ，z o ) = 邱= v 八f ( x o ，z t ) ， n 1 i n n lk “ 于是根据性质2 9 。一蛳，所以( x ，只o ) 双完备下面证明( 1 ) ，( 2 ) ( 1 ) 证明任给z ，y x ，因为 f 0 ，y ) o f ( y ) = lk n v 八( f ( 。，耖) f ( y ，吼) ) n lk n v 八f ( x ，x k ) n 1k n = ，( z ) ， 所p a f ( x ，y ) f ( y ) = ，( z ) 因此f ：x o p + 是+ 函子类似可证9 x + 是+ 函子 ( 2 ) 证明只需证+ 函子，和g 满足： ( i ) v 。x ( ，( z ) o9 ( ) ) e 0 ， ( i i ) ，( z ) o g ( y ) f ( z ，) 四川大擘硕士学位论文 ( i ) 任意自然数m ，“如例2 2 定义因为 ) 是双柯西列，因此存在m o n 当n ，k 2 m o 时，有f ( z 。，现) 所以 且 g ( ) = v 八f ( x k , ) v 八f ( ) v 八= n 一 l k 一 n n m oi nn , n ok n ，( ) = v 八f ( 茁。，钆) v 八f ( ，) v 八碥= n 2 1k nn m ok 2 “n _ m o “ 所以v z e x ( ，( z ) o ，( z ) ) v 。n ( 乳。踮) = 岛 ( i i ) 由 ，( z ) 。9 ( ) = v 八f ( x ，z t ) 。v 八f ( x j , ，) n 1 知2 nn l 知” v 八( f ( z ，巩) 。f ( 可) ) n 1 膏“ v 八f ( x ，f ) n l 七“ = f ( x ，) 即得 必要性：设( x ，f o ) 是双完备的，( ，g ) 是柯西对我们先证明存在双柯西 列 。) ，使得f ( x ) = v 。 1h k nf ( z ，z k ) ，g ( 卫) = v 。 l k 。f ( z ，z ) ，。x 由v 。x ( ，( ) 0 9 ( $ ) ) e o 得，任意礼n ，存在z 。x 使得 11 ( ，( ) 。g ( z r 。) ) ( i ) 1 一i 因为，( 。) o9 ( ) 是非减的，所p a f ( x 。) og ( z 。) 如，因此 v 八( ，( z t ) 。g ( 。一) ) v 八靠= 缸 n lk nn l i “ 任给自然数仇，n ， f ( x 。，。) ，( z 。) og ( z 。) ，( 茹。) 0 9 ( z 。) o ，( z 。) o g ( x 。) 0 死k i n f m ，n 06 m i n 。，n 四川天学硕士擘位论文 列 又因为 “o 如 是定向的，并且v m e n ( 酝o “) = s o ，所以 ) 是双柯西 其次 反过来 = v 八j f ( 卵t ) 。v 八( 他t ) 。夕( z t ) ) l n 2 l nn 1 “ v 八( f ( z ，“) 。f ( x k ) 。g ( z k ) ) n l 2 ” va ，( z ) n 1 七” = ，( ) ， v 八f ( 而矾) 芝v 八( ，( z ) 。g ( z t ) ) n l n n 1 i “ f c x ) o v 八g ( z t ) n 1k n f c x ) ovac f c x k ) 0 9 0 ) ) n 1k “ = f ( x ) 0 8 0 = ，( z ) ， 所以，( z ) = v 。2 la k 2 。f ( z ，。k ) 同理可证9 0 ) = v 。2 1 k 孤f k ，z ) 因为僻，f ，0 ) 双完备，故存在z o x 使得z 。一z o 因此根据性质2 9 9 ( z o ) = v 八f ( x k ，跏) = 印，( 跏) = v 八f ( x o ，茁* ) = s o f 所以，( z ) = ，( 刁g ( x o ) f ，知) ，f ( z ，铂) = f 0 ，x o ) o ，( z o ) ，0 ) ，于 是，( 。) = f ( z ，z o ) 同理可证g ( z ) = f ( ，z ) 所以( ，g ) 可表r - i 四川大学硕士学位论文 引理4 2 设 ， ) 是( f x ，审) 中的双柯西列，令 ，1 ) = v 八f 0 ，z m ) ，2 0 ) = v 八f ，瓠) 2 1 ! “ z 1 1k n g z ( z ) = v 八f ( x k ，z ) ，虫( z ) = v 八f ( y t ，z ) 。1 i n 口1 “ 则 z 。) 一 ) 当且仅当 = g l ，2 = 9 2 证明设 。) 一 ) w o ，3 n o n ，当祀n o 时，f ( ，) 6 由 得 故 同理 v 八f ，瓠) = 印 n 1k n = va f ( 。，矾) o 印 = v 八f ( 瓢) 。v 八f ( x k ，玑) v 八( f ( e 巩) 。f 0 k ，讥) ) v 八f ( 毛鲰) n 2 1k 一 n 所以 v 八f 扛，姚) = v 八f 0 ，z t ) n 1 1 2 n n lk ” 即 = ，2 ，同理可证g l = 9 2 1 3 四川大学硕士学位论文 反之，设，l = ，2 ，g l = 9 2 ，由 v 八f ( x k ，鲰) v 八( 0 ) 。g l ( 批) ) n 1 nn 1k n = v 八( ( z t ) o 啦( 挑) ) n lk n v 八( ( 钆) 。g l ( z b ) o ，2 ( 瓠) 。虫( 雏) ) n i 膏8 v 八( ( z t ) 。g - ( z t ) ) 。v 八( ，2 ( 讥) 。现( 讥) ) n 1 t nn l 知“ = 印。钿 得v 。2 1a k 劲f ( x k ，y k ) = o ，同理可得v n 1a 。f ( y k ，z k ) = e o w 邱，j 以使得5 印，e n 为 a k n f ( 巩，弧) 是定向的，所 p a 3 n o n ，使得 k 1 0 f ( 巩，y k ) 于是当礼n o 时，f ( ，鼽) 5 ，同 理j n ，当n 礼时，f ( ，) 6 取m o ；m 3 9 _ 【 n o ， ，则当佗r n o 时， 有f ( x 。，骱) 6 且f ( 骱，) 6 所以 ) 一 ) 所以【 与( ，g ) 一一对应口 引理4 3 设 z 。 ， ) 为( f x ，o ) 中双柯西列，比x ，若 ( 。) = v 八f 0 ，) ，2 扛) = v 八f 0 ，弧) ， z 2 l nl n g ，( z ) = v 八f ( x k ，z ) ，卯( $ ) = v 八f ( y k ，z ) ， z 1k n$ 1k ” 则d ( ( ，9 1 ) ，( ，2 ，夕2 ) ) = v 。，1a ，。f ( 瓢，玑) 1 4 四川大学硕士学位论文 证明 d ( ( ，仇) ，( ，卯) ) =v ( g l ( x ) o ，2 ( z ) ) x e x = v iv 八f ( x k ，z ) 。v 八f ( 舢t ) l vva ( f ( x l , ，z ) of ( ，瓠) ) x g x n 2 1 i “ vv 八f ( x k ，讥) z e x n 2 l 2 “ = v 八f ( x k ，蜘) d ( ( ，l ，9 ，) ，( ，2 ，耽) ) = v ( g x ( z ) o ，2 ( ) ) z c ：x = v iv 八f ( z k ，茁) 。v 八f ( z ，挑) i z e xn l 2 n n 1 t r n vv lv 八( f ( 瓢，可) f ( y ，z ) ) o v 八f ( z ，讥) i y g x z e x 。n l 量nn l “ vv iv 八f ( z l , ，掣) 。v 八f ( 训t ) 。f ( 训) l i i e x = r e xn lk n n 1 2 “ w o ，3 n 6 n ，当i f , ，n 几6 时，有f ( i ，) 6 ，f ( ，鲰) 6 因此 d ( ( ，l ，g - ) ，( ，2 ，啦) ) v 八f ( x k ，) 。v 八f ( ，鲰) 。f ( ，) n r t sk n 2 n 6k n 6 0 6 0 f ( ，) ， 于是 d ( ( ，g - ) ，( ，2 ，9 2 ) ) v1 6 。6 。vf ( z 。，蜘。) i d i d ：t om _ n 6 v1 6 0 6 0 v 八f ( 瓠) i = v 舻od ) 。v 八f ( x k ，弧) 四川大擘硕士学位论文 所以d ( ( ，9 1 ) ，( 矗，虫) ) = v 。 1 。f 0 k ，讥) 口 设僻，d ，o ) 为概率拟度i t 空n ( f , x ，o ) 的双完备化，由4 1 ( x ，d ，o ) 柯西 完备，又由4 2 ，4 3 ，d 与( x ，d ，o ) 同构，故d 柯西完备，所以口是x 的柯西完 备化由此我们得到下面这个定理 定理4 4 概率拟度量空间( f ，x ，o ) 的双完备化恰好是作为( + ，o ，e o ) 上强化 范畴的柯西完备化 1 6 四川大学硕士学位7 - t 59 完备化 概率拟度量空间可完备化，而作为特殊概率拟度量空间的f u z z y 度量空间却 存在不可完备化的例子这里似乎存在着矛盾，原来它们的完备化的意义是不同 的，为了弄清它们的关系，我们引入了9 完备化的概念 定义5 1 1 3 若x 为集合， 是连续的三角摸，m 是x 2 ( 0 ，o 。) 上的f u z z y 集， 任给z ，y ，z x ，t ，s 0 ，满足下面条件，则称三元组( x ，m ， ) 是f u z z y 度量空间， ( 1 ) m ( x ，y ，t ) 0 ， ( 2 ) m c x ，y ，t ) = 1 当且仅当z = y ， ( 3 ) m c x ，y ，t ) = m ( y ，z ，t ) ， ( 4 ) m ( x ，y ，t ) m ( y ，z ，s ) m ( x ，。，t + s ) ， ( 5 ) m ( x ，y ，一) ：( 0 ，o o ) 一【o ，1 】连续 设是1 0 ，1 】上一连续三角模，着v p ，q a + ，令pq ( t ) = 8 u p r + 。( p ( r ) + q ( s ) ) ， 则0 是左连续的三角函数设( x ，m ，$ ) 是一f l l z z y 度量空间，比，y e i x ，t ( 0 ，o o ) ，令f ( z ，) ( o ) = o ，f ( z ，们( ) = 1 ，f ( z ，y ) c t ) = m c z ，y ，) ，则f u z z y 度量 空间( x ，m ， ) 可看作特殊的概率拟度量空问这时f u z z y 度量空n ( x ，m ，+ ) 的拓 扑和柯西列正好是概率拟度量空间的对称拓扑和双柯西列因此它作为f u z z y 度 量空间完备化和作为概率拟度量空间的完备化是一样的但它作为概率拟度量 空间的完备化中可能存在元素z ，y 使得m ( x ，y ，t ) 在( 0 ，o 。) 不连续，而这对它作 为f u z z y 度量空间来说正是不可完备化的，由此我们引入9 完备化它可以处理 一些类似空间的完备化问题。 定义5 2 设( x ，只o ) 是概率拟度量空间，9 + 若( x ，f o ) 的完备 化僻+ ，f ，o ) 满足，任给$ ，y x + ，有f ( z ，y ) 9 ，则称( x ，f o ) 可9 完 备化，僻+ ，f + ，o + ) 称为( x ，只o ) 的9 完备化 令够= q ：( 0 ，o o ) - - - - - 4 ( 0 ，1 ) l q 连续非减) u 常值函数c ：( 0 ，o o ) 1 令= q ，：【o ，( 3 0 】- - - - - - 4 【0 ，1 l q ( 0 ) = 0 ，q ( o o ) = 1 ，q l ( o ，。) 够) 若取9 = 够，则9 完备化即为f u z z y 度量空间的完备化，若取9 = + ，则9 完 备化即为概率拟度量空间的完备化 根据性质2 1 2 及d 的定义我们很容易给出一个概率拟度量空间是可9 完备 1 7 四川大学硕士学位论文 化的充分必要条件 定理5 3 设( x ，eo ) 是概率拟度量空间，毋a + ( x ，f o ) 可9 完备化当 且仅当对任意的柯西列 ) ，( p d ，v 。 la ，。f ( x k ，y k ) 9 2 0 0 4 年g r e g o r i 和l b m a g u e r a 给出一个判定f u z z y 度量空间是否可完备化的 充分必要条件 定理5 4 【6 】f u z z y 度量空间( x ，m ，+ ) 可完备化当且仅当对任意柯西列 z 。 和 鼽) 满足下面两条： ( 1 ) t l i h m ( x 。，蜘，t ) 连续， ( 2 ) 若存在s 0 使得l i i n n m ( ，y n ，s ) = 1 ，则 0 ，l i m 。m ( x 。，t ) = l - 因此在f u z z y 度量空间情况下这个充分必要条件与我们给出充分必要条件等 价。由此我们给出了判定f u z z y 度量空间是否可完备化的另一充分必要条件 用定理5 4 判断一些f u z z y 空间比如下面两个重要的例子的完备化问题，需要 几页的篇幅，而用我们给出的定理5 3 则很简单 例5 5 设度量空间( x ，d ) ，若。柏= a b ，m ( x ，y ，t ) = 薛赤而，则( x ，m ， ) 称为 由d 诱导的标准f u z z y 度量空间 3 】取f ( z ，y k ) ( t ) = m ( x k ，班，t ) ，对，m ，s ) 中 的柯西列 z 。) ， 铷) ，由于 n v l f ( 巩m ) ( 。币函珐而而酣， k n 。，、n 1v 七_ f ， ，尬t ) 可完备化，即标准f u z z y 度量空间是可完备化的f u z z y 度量空间 2 0 0 2 年g r e g o r i 和r o m a g u e r a 给出一个不可完备化的f u z z y 度量空间的例子 例5 6 【5 】考虑序列 ) 。3 ， ) 。3 ，n n ，令a = z 。：n 3 ) ，b = ： n 3 ) ，且a n b = 0 取x = a u b ，o b = m a x 0 ，a + b 一1 ) ， m ( ，归m ( y m 胁牡卜( 面南一m a x i m , n ) ， m ( x , n ，t ) = m ( ，z m ，t ) 2 表+ i ， m ，竹3 ，则( x ，m ，+ ) 是f u z z y 度量空间令f ( z 。，鲰) ( t ) = m ( x 。，鲰，t ) ，由于 v 八f ( 讥) = v 八( i 1 + i 1 ) = o g 够， 所以( x ，m ， ) 不是可汐完备化的，即它是不可完备化的f u z 巧度量空间 四川大擘硕士学位论文 参考文献 1 】f b u r c e n x ，d d e j e a n ，c a u c h yc o m p l e t i o ni nc a t e g o r y , c a h i e r st o p g 幻m d i f f x x v i i - 2 ( 1 9 8 6 ) ，1 3 3 - 1 4 6 【2 jr c f l a g g ，q u a n t