（基础数学专业论文）heisenberg群上的（pΦ）容量.pdf

摘要 第二章中我们把欧式空间上容量的定义推广到h e i s b e 。吕群上二 设n 是驴中的开集，f 是q 中的一个紧集，且圣( z ) c ( qx “) ，非负，关于一次正 齐次，则 i n 厶p 扛，v h u ) 9 d z ，u 吼( f ) n ) 称为关于q 的f 的仞，垂) 一容量：其中吼( f ) n ) = “c 护( q ) ：在f 上让1 ) 。 接着根据h e i s e n b e r g 群上的c o a r e a 公式得到容量在水平曲面上的积分表示公式： p c a p ( f n ) = 。；。i n 。只fn ， z 1 石：= _ i 亨：习兰杀) 1 一p 其中n 是p 中的开集，f 是q 中任意紧集，p 1 ，q = 2 n + 2 。 然后利用t h e i s e n b e r g 群上的等周不等式，对p 一容量的下界进行了估计，得到如下 结果：存在常数g ，使得 ”啾删e l m ( f 2 暴箫! 豢三嚣 第三章里我们在第二章的基础上做了些估计，特别讨论了包含n t 的p 一容量的积分 不等式的估计。我们还得到了h e i s e n b e g 群上o r l i c z 范数的s 0 b o l e v 型不等式估计以及 关于一些乘积型s o b o l e v 不等式成立的条件估计。 关键词：h e i s e n b e r g 群，容量，水平梯度，c o a r e a f f 式，等周不等式，h a u s d o r f f 钡0 度，o r h c z 空间。 a b s t r a c t i nc h a p t e r2 , w eg e n e r a l i z et h ed e f i n i t i o no fc a p a c i 哆o ne u c l i ds p a c et ot h e h e i s e n b e r g l e tqb ead o m a i ni nt h eh e i s e n b e r gg r o u p ，l e tfb ea c o m p a c t s u b s e ti nqa n dl e t 圣( $ ，f ) b eac o n t i n u o u sf u n c t i o no nn 耍nw h i c h i sn o n n e g a t i v ea n d p o s i t i v eh o m o g e - n e o u so ft h ef i r s td e g r e ew i t hr e s p e c tt o i n f 上降( 毛v h 让) 】，u 9 t ( f q ) ) ， i sc a l l e dt h e0 ，垂) - - c a p a c i t yo ffr e l a t i v et oqa n dd e n o t e d b y ，圣) - c a p ( f , q ) h e r e 吼( f q ) = 扣c t ( q ) ：钍lo nf ) a n dt h e nw eg e tt h ef o r m u l af o ft 伦p - c a p a c i t ya sa ni n t e g r a lo v e rl e v e ls u r f a c e s a c c o r d i n gt h ec o a r e af o r m u l ao n t h es t r a t i f i e dg r o u p ： 、r，dr1 1 1 p _ c a p 限哟。删i n 删f 上万而若蕊硒r w h e r eqi sad o m a i ni nt h eh e i s e n b e r gg r o u pa n dfi sa n yc o m p a c ts u b s e tt of l p 1 , q = 2 n + 2 t h e nw eg e tt h el o w e re s t i m a t e sf o rt h ep - c a p a c i t yb y u s i n gt h ei s o p e r i m e t r i c i n - e q u a l i t yo nh e i s e n b e r gg r o u p ： p c a p ( f , n ) p q 泵薪甲w h e n 删p - # q f o rs o m ec o n s t a n tc 0 i nc h a p t e r3 , w em a k es o m ee s t i m a t e sf o rt h e p - c a p a c i t y , e s p e c i a l l yo ft h ee s t i m a t e f o rt h ei n t e g r a lc o n t a i n i n gt h ep - c a p a c i t yo ft h es e tn t w ea l s oo b t a i nt h es o b o l e v - t y p e i n e q u a l i t yi no r l i c zi 1 0 1 t l io i lt h eh e i s e n b e r gg r o u pa n dt h ec o n d i t i o n sf o rt h ev a l i d i t y o ft h em u l t i p l i c a t i v es o b o l e v - t y p ei n e q u a l i t y k e yw o r d s ：h e i s e n b e r gg r o u p , c a p a c i t y , h o r i z o n t a lg r a d i e n t , c o a r e af o r m u l a , i s o p e r i - m e t r i ci n e q u a l i t y , h a u s d o r f fm e a s l l l 屯，o r h c zs p a c e h 第1 章引言 积分形式的容量定义i n f 。凡l ( x ，牡，v u ) d x 是m c h o q u e t 在【5 1 中引进的。并且还介绍 了容量的一般性的理论。容量函数的产生是源于几何的需要，特勇j 是在共形几何中 显得尤为重要。我们知道，拟共形映射理论是数学中非常活跃的分支，它实质上是 对无限小球的形状和大小保持一致有界偏差的同胚，在数学的很多领域中都有着广 泛的应用h e i s e n b e r g 群上的拟共形映射是由m o s t o w 在 6 1 弓1 入的，a k o r j m y i 和h m r e i m a n n 在f 7 1 中完善了这一理论，并给出了拟共形映射的度量、几何、分析定义。拟共 形映射除了由度量可以定义外，还可以由容量来定义，且j v i 酷美l a 在【8 】中证明了拟共形 映射这两种定义是等价的。此外，g e l l i i r 唱在【9 h ，和c l o e w n e r 在f 1 0 】中研究了r 3 上的 共形容量，并把结果作用到拟共形映射上。可见，拟共形理论的许多结果与证明都是与 容量有关。所以研究容量在h e i s 吼b e 穆群上的性质对于h e i s 锄b e r g 群上的拟共形映射理 论有着重要意义。 参照【1 1 中证明方法：利用经典的c o r a e a 公式得到容量在水平曲面上积分表示公 式。p 6 1 y a 和s z e 9 6 对水平曲面上函数u 做了刚性假设，证明了当p = 2 时上述公式，称为 “d i r i c h l e t p r i n c i p l e w i t h p r e s c r i b e d l e v e ls u r f a c e s ”。而对于一般性的情况，上述证 明也是具有启发意义的由于最近在h e i s e n b e r g 群的几何测度论上取得了一些进展， 相继得到y h e i s e n b e r g 群上的c o r a e a 公式以及等周不等式，使我们可在h e i s e n b e r g 群 上傲一些工作受到文章【1 】的启发，我们将容量在欧式空间上的定义和性质推广 到h e i s e n b e r g 群： 定义1 1 ( 容量) ：设开集qc p ，f 是q 中的一个紧集，且圣( 。，0 c ( a 旧哟，非 关于一次正齐次，则 i n f 上p ( x , v a u ) d z ，u 9 t ( e q ) ) 称为关于q 的f 的圣) 容量；其中g t ( 只q ) = 扛g 铲( q ) ：在f 上t 1 然后根据h e i s e n b e r g 群上的c o r a e a 公式得到容量在水平曲面上积分表示公式： 定理1 1 ：设开集qc p ，对任意的紧集fcq ，p - 容量可被定义为0 1 ) ： p c a p ( f , ) = 。m i n 。只f 卿 z 1 石i = _ 卜孑：i ；d j t i 矗i 两 1 9 ， 1 2 第1 章引言 其中q 为h e i ! 溜1 b e r g 群的齐次维数，iv h u i 是缸的水平梯度，e t 一扣：i 牡( 司i = t ，5 岔1 = 叼一l 伊，叼一l 是常数，伊一1 是h e i s a 蝌上q 一1 雏的h a u s d o r 蝴渡，饥( e ，n ) = 扣c 矿( q ) ：在e k - u 1 ) 。 根据上述公式，利用欧式空间中经典的c 0 a r e a 公式 1 8 1 ，得到了p 一容量关于曲面积 分的下界估计。类似于欧式空间，我们也得到： 定理1 2 ；记号同上，下述不等式成立： p 刮f , n 沦。始固 一z 1 再d 啪，面器r 其中c t = z q ：i 让( 。) l t ，o k = 岛，咖n ( a 厶) = 屯d s 富1 ，m # h e i s e n b e r g 群 上的l 庙睇g u e 测度，记为m ( e ) = 丘d x 。 再使用h e i s e n b e r g 群上的等周不等式和上述结论做了一些估计，我们得到： 定理1 3 ：对于开集q 酽，任意的紧集f q ，p 1 ，q = 2 n + 2 ，存在常 数c ，使得 当p q 时： p c a p ( f q ) c lm ( q ) 刁 ；一m ( f ) 稿1 1 一p - ：l l p = q 时： p c a p ( f , 啦e l o g 豁) h 当然，在欧式空间中，等周不等式中的常量c 可以得到其最佳值，c = n 2 u ；， 而在h e i s e n b e r g 群上我们还未能找到最佳常量，这个工作有待于我们今后继续完 成。同时在【1 l 中，作者也对包含容量的积分不等式及其成立的条件进行了估计， 由容量在曲面上的积分表示公式展开，通过对梯度p 次模的积分估计得到了关于 集合n t = 扣q ：i ( o ) i t ) 的p 一容量的不等式。与此类似，我们也对水平梯 度lv h i 的p 次模进行讨论，得到： 定理1 4 ：设n 印( n ) ，对p 1 ， f o 。p - - ct ，q ) 妒) s 岳上v hi p-cap(nu l p d zt ，q ) d ( 垆) s r 而i v h u ，一1 ，。j n 浙江大学硕士学位论文3 接着我们参考了o r h 眩空间的定义，并得到了h e i s 彻b e r ：g 群上o r 口范数的s c 型 不等式的估计，结合等周不等式得到s o b 0 舭a g l i a 耐。型不等式1 ) ： 定理1 5 ( s o b 0 1 e v g 8 9 1 i a r d o 型不等式o 1 ) ) ： 设开集qc l n ，取q = 磬 1 1 t 1 1 。器c 比i v 刊，叫i 1 = c o 札i i b 最后我们得到乘积型s o b o l e v 不等式成立的一个充要条件： 定理1 6 ：( 1 ) 对任意的紧集fcq ，若满足 p ( 刃叩p p c a p ( f q ) ，p 1 ，o o ，o 节1 设g 0 ，且q 满足下列条件之一： ( a ) 对于a p s l ，g s 旷= 三 对f f - a p 1 ，口 0 ，存在e 的一个邻域口，使得财所有紧 集k ，eckcg ，有 ( p ，圣) 一c a p ( k , n ) ，西) - c a p ( e ，q ) + e 证明： 从( 2 2 ) 式中可得，存在乱s ( e ，q ) ，使得 f c 圣( x , v h u ) p d x ，垂) 一c 印( e ，q ) + e g 表示为同扮一个邻域且要求在g 上札= 1 ，则对任意紧集k ，满足eckcg ，有 ) 一c a p ( k ，q ) 上净( 棚n 乱) 】 命题2 5 ：对任意紧集e c q ，且任意的e 0 ，存在开集w ，动c q ，使得 ( p ，圣) 一c a p ( e ，伽) s ，( i ) - c a p ( e ，n ) + 证明：存在u ( e ，q ) ，使得 上p ( x , v h u ) 血so ，圣) 一c a p ( e ，q ) 托 因为u 孵( e ，q ) ，所以必有t 磐( e ，t ，) ，则有 ) 一c a p ( 印) = i n f z 睁( x , v h u ) 艇玛( 跏) ) 上p ( x , v i - i u ) 出 上，v 酬出 !丝! 童坚壁竺生! 壁圭竺鱼；竺) 二窒苎 下面我们来介绍c h o q u e t 不等式，再介绍a l o q u e t 不等式前，我们先来看一个引 理： 引理2 6 ：设u s 1 ( q ) ，则在扛n ：缸( z ) = o ) 的区域上，v h _ l l ( z ) = o 几乎处处成 立 证明：引理的证明我们通过几个结论的证明来完成。 设q 是矿上的有界区域，则我们在文献忉中有下面的定理：函数t s 1 ( q ) ，可用函数 列t 。c ”) 来逼近，使得 + u ，在工k ( q ) 中 x u 。x t l 在l 1 ( q ) 中，对所有的x k 我们首先来证明第一个结论： ( 1 ) 设f c 1 ( r ) ，f 7 l ”( r ) ，札s 1 ( n ) ，则，0 u s 1 ( q ) ，t 王v h ( f o “) = f ( u ) v h u 证明：设t c 1 ( q ) ，m = 1 ，2 ，据上面的定理：设 。) ， v h 钍。) 在l k ( q ) 中 分别收敛到氍和v h 钍。于是对f l c cq ，有： | ，( t ，i ) 一，( “) l 血s u p l ，l | 一u l 血一0 ，f f l , 一o j 仃j 仃 i ，( t b 。) v h t 。一，7 ( u ) v a u i s u pi f j iv a u 。一v h u d x + i ，( t b 。) 一( u ) l lv h u i d x j f yd r yj n 因为在l 1 ( q ) 中，。一让，则存在子列，我们不妨就设为u 。本身，几乎处处趋于t ， 且在l 1 ( q ) 中tv h t h _ v h u 因为f c 1 ( r ) ，则，连续：又因为 ，( “。) ) 在q 上几乎处处收敛于，( “) 且，l o 。( r ) ， 据l e b e s g u e 控制收敛定理， ，( t ，1 ) ) 、 ，( ) v h t h ) 分别趋于，( 、f ( u ) v h u ，则v h ( f o u ) = ，( t ) v r h 缸 哳书蓦，v n 钍一= 誊驯小恳纛 塑兰奎兰丝圭兰篁篁苎 ! 证明：咖 。，定瓤c 砷= + ：k 毛：三：，应用第一个结论与仁。， 对任意的妒c 3 ( q ) ，有： 上五( u ) 五灿= 一厶，。，妒面出t = 可玩 当一。时，我们有厶u + 五硼z = 一 。，o ，妒五t l d z 对t 一= 一( 一t + ) 和l 牡| _ “+ 一u - 可得到 最后我们可以得到，在忙q ：t ( z ) = o ) 的区域上，有五t = x , u + + 茏“一一 = 印元，由上述结论可以得到：五“= o tl = 币- 即v r a ( z ) = o 几乎处处成立。 命题2 7 ( c h o q u e t ：例：) ： 对任意的紧集k ，fcq 满足下式 ，垂) 一c a p ( k of q ) + ( p ，西) 一c a p ( k nf q ) ，圣) - c a p ( k , f 1 ) + 扫，圣) 一c a p ( f , ) 证明：任意的“留( k ，q ) ， 孵( f q ) ，显然u ，移有紧集，且在q 上满足l i p 条 件，令i p ；m a x u ，口) ，妒= r a i n u ，口 ，则妒= 1 在f u k 的邻域上，妒= l 在f n k 的邻 域上。 扛：乱( $ ) 口( $ ) ) 是 u ) 和 u 0 。可以定义为矗( ；1 叼) = ：l 一，其中曷：1 吩= 且对每个j ；1 ，l ，坳巧既然群g 是个单连通幂零李 群，且指数映射唧：g + g 是个微分同胚，所以同样可以在g 上定义膨胀，我们使用 同样的记号来表示 浙江大学硕士学位论文1 1 定义2 1 0 ( 齐次距离) ：我们先考虑一类容许路径( a d m i s s i b l ep a t h s ) ，例如一条 绝对连续d 0 线, y ：k6 l g ，使得对o e t k ，6 1 满足r o ) = = ，q ( t ) 五( ，y ) ) ，其 中銎l 碍( t ) 1 且( x l ，五。) 表示群上的水平向量场因此我们来定义有限数d ，对任 意的z ，： d ( z ，y ) ：= i n f b 一口1 7 ：陋，6 | g 是容许路径，且，y ( n ) = 墨，y ( 6 ) = y 、 j 5 d 为群g _ l 的距离，称为c a r n _ 0 t c a r a t h d o d o r y 距离这个距离关于群上的拓扑是连 续的，且有下列性质： 1 d ( z ，y ) 一d ( 纰，叼) ，对任意的“，z ，y g ， z d ( 6 ，z ，露笋) = r d ( x ，翟) ，对每个r 0 。 每个满足上述性质的g 上的连续距离称为齐次距离 定义2 1 1 ( 齐次维数) ：我们定义q = 墨1 j d i i i l ( 巧) 为g 上关于c o 巨离与口维李代 数的h a u s d o r f f 测度，称为齐次维数 定义2 1 2 ( 度量球) ：设g 是+ s t r a t i f i e d 群，d 是g 上的齐次距离，以p 为中心，t 为 半径的开球占k = r gid i p ，r ) 0 即证明它是个度量外测度；再根据( 【2 】，p 2 7 3 ，定理7 1 ) 可知”上的每个闭子集从而 每个b o r e l - 集都是h 。- 可测的，即”是群_ k 的b o r e l + , l 度最后由c 口r 口忱幻如w 定理证明 上述定义就是群上的h a u s d o 测度，这里不做详细证明，详见【2 】中第五章与【1 7 1 引理2 1 4 ( 【3 l ，推论3 6 ) ： 设g 是个h e i s e n b e 唱群，acg 是个可测集，且“：a r 是个l i p 函数，则对任意的可测函数_ l ：a 一【o ，o o ，我们有 fh ( 删砜俐d z = 上z - l ( 们 ) 僻_ ( z ) d s ( 2 3 ) 其中韶= 叼一l 伊，a 。一1 是个常数 引理2 1 5 ( 【1 】，c h a p 2 2 2 z j l 里2 ) ： 若g 是非负函数，且在【0 ，1 】上可和，则 i n f 小 ) v g d t = ( 1 1 羞) 卜p ， 似， 其中： 删赚舭叭州毗s 驯邛且冰，= r 拦 a t 为非减函数集：尹a a - ，则a a c c r ，c t ，有界且a c = ：。t t ) ，= 晟，知n ( a c t ) = 厶d $ 1 证明： 据h 融d e r 不等式，对几乎所有的t , t ，t _ 锄i n f ， 一f o id ：啦面斋r ( 2 7 ) 证明： 根据上述引理即公式( 2 6 ) ： b ( 蚓6 一掣( 厶i v h u l ”1 嫦1 ) 南 则有 面1 i v h u l p 碌市 一蚴d t 南矗( 矗d 5 筘1 ) 南一 。a m ( a c t ) 击。 理： p - - c a p ( f q ) = 一i n f n ， 0 1 面矗穗两) h 删i n 删f 未蚓南) 脚 设c ( 曲= i n f 。( w ) 口0 1 i n ( a w ) ，其中w 是容许集。根据( 2 7 ) 我们可以得到以下定 定理2 - 3 ： p 刮删旷赤) 坤 证明：由上述定理可得： p - - c a p ( 只q ) = 。留i r 。d e 。， 一0 1 导m ( c r i ：= ：丽a t ) 1 - p 卿i n 。删( 一0 1 毒豢r 甜“面老赫) h 一 - 0 1 嵩貉) 坤 = 赤r ( 2 8 ) ! 生一 第2 章h e i s 御b e r g 群上的( n 圣) 一容量 根据单连通幂零u e 群上等周不等式( 详见f 1 4 1 和【1 3 】) ，对任意的单连通幂 零l j e 群v ，d c v ，有： r a n dsc o n s t ( n k 一1 a d ) 尚， 其中礼= d m v ，n 是齐次维数。 则对n 维的h e i s e n b 。r g 群，l ，它的齐次维数为q 孙+ 2 。我们有： l i l t l 一，e h d 竿( 2 9 ) 则有 c ( d c m 警 因此根据上述定理，存在常数d 0 ，使得 对p q ， p c a p ( f , f 2 ) e lm ( q ) 溃b m ( f ) 葫b1 1 呻 对p = q ， p c a p ( f , 啦e ( - o s 器) 1 。 特别对于q p ，有： p c a p ( f ) ( 固字 ( 2 1 0 ) 第3 章乘积型s o b o l e v 不等式成立的条件p 1 ) 3 1 1 一容量 设d 0 ) = d i s t ( x ，n w ) ( i - i e l s e n b e r g 距n ) ，w t = 扛q ，d ( x ) t ) ；口e 是【0 ，o o ) 上 的非减函数且无穷可微，啦c d ，= ：d d 1 ) ，则定义下面两个变量 ( 1 ) t = s u p t 0 ：p - c a p ( n ：，q ) o ) 0 ，n t = z q ：l t 扛) 1 2 t ， 圆叩) = 南，叭t r 引理3 2 1 皿( t ) o o 且严格单调 证明：伐 ( ) = t “阻( o ) 】2 ，则t ，( z ) 吼( n t ，q ) ，且据容量的等价刻划有 t ( ，- i v h 口i p l d 簖1 ) 南d 1 b c a p ( n t ，q ) 】南 o ) 0 ，则函 ( 3 2 ) 证踞：设o = 雪l l 时t 皿( t ) 如前定义，t ( 霍) 是霍( t ) 的逆，作变量替换： pc a p ( n t ，f 1 ) d ( t p ) = p c a p ( n 。，q ) d 妒) j o ，m ( r ) = p - - c a p ( n t ( 雪) ，q ) d o ( 霍) p ) 设吲句铲，f # 2 7 2 代瑚) 2 j ：谛d * r g o j 中，脯 i ， 皇! ：，1 堂o 正而万砰。o 瓦磊磊万而而矸写 又因为0 i ( n , ，q ) ，根据容量在曲面上的定义以及 h a r d y 不等式： 我们有： z 州n e t a 眺( 南) o 州引删嘞 p - c a p ( n t ( 皿) ，q ) f o ”p - c a p ( n t ，q ) d ( 矿) 据( 3 2 ) ( 3 4 ) z 1 ( l 悱v 刊”1 d g ：1 ) 南d e 卜m 砷 r e ( t ) p c a p ( n t ( 口) ，q ) d ( ( 皿) p ) j o o 一】l - p 州啪 p z 叫即 雪。) i - p ? ( 皿) p ( m ) 9 一l d 皿 p o 瓤研 搿- 1 t , ( 州雪 p 习i t ( 皿忡眦州” 霈南叫孚 p 研删眦一 辫叫学 p 盯删恤脉寺) f 俐啪 争 丽p , - 上m ) 】把 上l v 酬，血厂 9 d 田 = = 一 = 一 = 浙江大学硕士学位论文 则有 厂e a p ( n t p - e a p ( n t 刚萨岳( 1vnufdz0 j ，d 芹知l ju 1 ，1 2 3 3h e i s e n b e r g 群上o d i c z 范数的s o b o l e v 型不等式估计 o r l i c z 空问的定义( 可参见酌锄n o s d s k 矗m a 和r u d d l 适j a b 在【1 6 】上的定义) ： 设m ( t ) = j ；：”l l a ( t ) d t ，一o o t _ n x z v d p = n x e pz 硒1j ) x e d # = p ( e ) p 一1 丽1 葛) 另一方面：据阳n s e n ，s 不等式( p 是凸函数：j ”0 ) p 丽1 n x g v d j ( ) ) 而1 上p ( 脚) 舡 则有 z 肋嘶s 啦) p 1 ( 志上p ( x 昱口) 叫。 且厶p ( ) 如sl ， 所以上式为 i i x 冒t l ”( n 棚弘( 司p - 1 ( 丽1 ) + 引理3 4 ( 【1 1 p 3 6 ，定理1 2 3 ) ：设( x ，缈，p ) 是个( 非负) 测度空间，且设：x r 1 是“可测非负函数，则 上“( 。) p ( d 功= z 。p ( m 。出= z ”p ( c t ) 出， ( 3 5 ) 其中t = z x ：牡o ) t ) ，朋t = 茁x ：n o ) t 定理3 2 ： ( 1 ) 若存在常量卢，使得对任意的紧集fcq ，有 p ( f ) p - z ( 丽1 ) p p c a p ( f , n ) ，p 1 则对所有的t e 铲( 嗡，有 i iu l i i l 。( n ，曲sc iv u p d z ， c 矿( p 1 ) 1 9 卢 ( 2 ) 若对任意“q 尹( q ) ，( 3 刀成立，则对所有的紧集fcq ，( 3 6 ) 成立，口c ( 3 7 ) 浙江大学硕士学位论文 证明： ( 1 ) 琚【3 固与“f a 2 ，脚盼足义： 1 1 4 i i 圳n 柚= 辄p l 上i u p v d j 1 ：上脚) 毗1 = s u p iz 。0 k 猢v d 舯”加肌) s f s u p , l x n 。v d zi ：上即肌， ；f 0 。l l x w t i l l u ( n , ，) d 妒) 据前面证明所得：0 x n t | | “( o ，曲= u ( n t ) p - 1 ( 石南) 则有： 。， 9 。，j cp ( n t ) p 。1 ( 志) d ( t p ) 再利用( 3 6 ) 和( 3 3 ) ，我们有： 9 蛳) s # ( n t ) p - 1 0( 南t ) d ( 矿)jp p ， z 。口p c a p ( n t ，q ) d ( 矿) 卢高产上i v 刊 ( 2 ) 取t 吼( e ，q ) ，据( 3 刀，令t = x f ，则 l l x f o l f ( n ，msc iv h u l 9 d z j n p ( f ) p 一1 ( 丽1 ) s c y h u l 9 出 根据容量的定义，最后可得( 3 6 ) 。 推论3 5 ： ( 1 ) 若存在常量卢，使得对任意的紧集fcq ，有 p ( f ) 唧t i p - - c a p ( f q ) ，p 1 ，a 0 ，o ，1 ( 3 8 ) 则对所有的u c 矿( q ) ，有 m s c 厶i v h u l 出，c s 矿( p 一1 ) 1 。p ，q 5 a ( 3 9 ) ( 2 ) 若对任意n c 矿( q ) ，( 3 9 ) 成立，且c 不依赖于u ，则对所有的紧集fcq ，n = 口，p c ，( 3 8 ) 成立 2 4 第3 章乘积s o b o l e v ；f 等；成立的条件0 ，1 ) 证明：本推论是上述定理的一个特例，取p ( u ) = i t i 南即可。 例3 3 ：据等周不等式( 2 1 0 ) - - 与( 3 7 ) ，取q = 器，则( 3 8 ) 式满足 则有 i i t , l l c 貉g 上 v 酬，出 5 1 = e 归酬b 3 4 乘积型s o b o l e v 不等式1 ) 引理3 6 ：若缇( 0 ，o 。) 上的非负非增函数，且p2 1 ，则 ， 0 【，( 。) m 矿) ( 0 m ) 如) 9 ，j ( 3 1 0 ) 引理3 7 ：- 若f ( x ) 20 ，则 f ，p ) 出 卅n c 嘭”g p 。) 4 叫” f 少l 却他) r ( 3 1 1 ) 其中口 1 ，b 1 ，0 a o ，0 l ，口 l 任意，a = 口( g r ) q 一1 口，卢= 冯 1 ，且p ( n t ) 是非负非增函数，满足条件，则有： j ( ”鹏m = fp ( n t ) 】8 舻s ( j o o 。t - 1 飓) 。一c 加 小州= 加毗c ( 加邯) 舞( z ”俐地) 渊， 枷忆 0 ，设玩= 8 u p f 骗，g 中所有紧射谙 足条饵一c a p ( f ig ) 6 ( 若存在f 使得p c a p ( f , g ) = 0 ，则在( 3 8 ) 中代入“g t ( f ，g ) 可 得肛= o ) 。 显然：玩s ( i - j p ( g p 1 ，有 p - c a p ( f , g ) = 唧i n f ， z 1 面面d t - 1 厂1 - - 坤 皿( t ) p c a p ( n t ，g ) 7 与 p - e a p ( n t ，g ) 皿( t ) p 一1 1 p - c a p ( n t ，g ) 譬学1 雪( 。乒瓦丽1 所以有： ， p ( n 。) m ( t ) 乒茎丛! 生! 下 = j p - c 螋a p ( n l , , g ) 1 j 嘉方 上帅谚，1m尸-；-d(tv)d0 ”d p 劈 皿( t ) 】 ，o 一 。 因为p ( t ) 】等非增( 等 o ) ，则据( 3 1 0 ) ，有 | rv w d # s 谚1 p ( 纠2 孚峙d ( t 印 j gj o 浙江大学硕士学位论文 s 知) 甲( j ( 1 静) 警 s 皿( 1 ) 素兰高= rj 设= t ( 霍) ，据( 3 2 ) 和( 3 4 ) ，可得： 则有： o q o ) 掣= o * 0 ) 警d m s c z 雪。矽( 皿) p d 雪c 上lv n ” p d z i i v l i l m , ，) s 西霉( 1 ) 警( 九v n v ； is 嘴霉( 1 ) 气严( id ； j g c 卢2 p c a p ( f ，g ) 掣( 上l v h ”l 如) 5 因为0 口si ，且721 ，据( 3 1 3 ) 并- 0 上式可得： p ( f ) ；以【p c a p ( f , g ) 】每产( 上 v n 训9 血) 宁+ 等 根据容量的定义，可得： p ( f ) ：以萨 p - c a p g ) p 且宁2 ：c ( ? 成芦【p c a p ( f g ) s= c ? 仇” p c a p ( f g ) ” p ( f ) 争茎c c 笋卢手寻p c a p ( f , g ) 取岛以等晤鲁：酊点，因为岛不依赖于6 或g ，则口e c , - - & 一。 再根据容量定义与性质中的命题2 4 l i p 可得( 3 1 2 ) 。 参考文献 f l 】v l a d i m i rg m a z j a s o b o l e vs p a c e s ，v o l u m eo ft h es p r i n g e rs e r i e si ns o v i e tm a t h e - m a t i e sa d v s e r s 1 9 8 5 【2 】陈杰诚，王斯雷现代实分析1 9 9 9 【3 1v a l e n t i n om a g n a n i t h ec o a y e af o r m t aj 研r e a l - v a l u e dl i p s c h i t zm a p s0 1 1s t r a t i f i e d g r o u p s m a t h n a c h r 2 7 8 , n o 1 4 , 1 6 8 9 - 1 7 0 5 ( 2 0 0 5 ) 【4 】周民强调和分析讲义( 实变方法) 1 9 9 9 【5 】c h o q u e tg t h e o r yo f c a p a c i t i e s a n r ll a s t f o u r i e r 5 ，1 3 1 - 3 9 5 ( 1 9 9 5 ) 【6 】m o s t o wg d s t r o n gr i g i d i t yo fl o c a l l ys y m m e t r i cs p a c e s p r i n c e t o nu n i v p r e s s , p r i n c e t o n ( 1 9 7 3 ) ( a n n a l s o f m a t h s t u d i e s ；n o 7 8 ) 【刁a k o r & r t y i , h m r e i m a n n f o u n d a t i o n f o rt h et h e o r yo f q u a s i c a n f o r m a lm a p p i n g so n t h e h e i s e n b e r g g r o u p a d v m a t h ，1 - 8 7 ( 1 9 9 5 ) 1 8 j v a i s x l a l e c t u r e so nn - d i m e n s i o n a lq u a s i c o n f o r m a lm a p p i n g s l e c t u r e n o t e s i n m a t h , v o l 2 9 9 , s p r i n gv e r l a g , b e r l i n - h e i d e l b e r g - n e wy o r k 1 9 7 1 【9 】e w g e h r i n g r i n g sa n dq u a s i c o n f o r m a lm a p p i n g si ns p a c e t r a m a l