（基础数学专业论文）空间形式中的超曲面.pdf

摘要 x 主圣i 6 半? 本文研究鍪曼窒回受蕊以及是! 坠塑! 窒魍中的是备嫠蔓! 亘 首先考虑球空间酽+ t ( 1 ) 中的n 维紧致极小超曲藩，通过第二基 本形式长度的平方的控制，i 正明了c l i f f o r d 极小超益面的刚性结果 对于+ t ( 1 ) 的完备极小超益瑟，如果它位于上半球匾，在数量曲率 条件下，证明了它是全测地的 其次考虑欧氏空间霆n “中的完备超曲面，得到了一个常数量曲 率条件下的分类定理，改进了李海中的一个结果。 最盾考虑d es i t t e l 空间中常平均盐率的鲞窒塑毡酉，给出了关于 第二基本形式长度平方的 并挤定理。在一定条件得到了非负曲率完备 超益面的分类结果我们研究了它的g a u s s 映照，碍到了它为调和的 宠要条件还利用守恒律，证明了非负曲率超醢蔷的体积增长以及能 撼增长的髓个定理。 a b s t r a c t i uth i sp a p e iw es t u d 3 7c o m p l e t eh y p e r s u lf a c e si t lr i e m a n n i a ns p a c ef o li l l s a l l ( 1i l l ( 1 ( 、s i tt e ls p a ( e f i t s tl 、pe o n s i d e lc l o s e dn l i n i i n a lh y p e r s u r f a c e si nt h ( u n i ts p h e r t 、s ”1 l l i d ( 、l t h t ，( o l l t i o l l i n go f t h ( 、s ( 1 u a l po f t h e l e n g t h o f t h es e c o n d f u n d a t n e n t a l f o l l l l 、( p l ( j 、p a l i g i d i t l e s u h o i lc l i f l b l dm i n i m a lh y p e r s u r f a e e sf o la c o n l p l e t e l 3 l n i n i n l a li i 3 p e ls i l l f a ：ei ns ”“i fi tl i e si nt i l e u p p e rl l e m i s p h e r e w es i o x x i ti s t f n a l l 3 g e o d e s i ci f i ts a t i s f i e ss o i l l es c a l a rc g r v a t y l i pc o n d i t i o n s o n d l 3 f - wc o n s i d ( 、1 ( o n l p h 、l eh 3 j ) p 1 s i l l f a c e si l le u c l i d i a ns p a t f ，? ”1 、i t h ( t i l l s | ；l i t1 1 0 1 u l a l i z ( 、( 1h 【a l a l ( i i i 、7 a t i l l pn 7 eg e tac l a s s f i ( a t i o n a lr e s u l tu l t d e ls o i l l ( ， a s s i l l l l p t i o no fh ( a l a lc u l 、a t l l l e t h i si m p i o 、p s ar e s u ho fl i s f i n a l l 3 、p s tu d 3 t h es p a c e l i k ec o m p l e t eh y p e ls l l if h c e si l ll i es i tte l s p a ( ( 、 u b t a i uap i n c h i n gt h e o l p i l la b o x et i l es q u a r eo ft h el e n g t ho ft i t ( ，s ( 、( o l l df u n ( 1 a l l l l 、l l a lf ( j 1 1 1 1f ( n f l l ( 、h 31 ) e ls i l l f j ( 、i t hl l o l l l l ( 1 9 a t i 、p ( l l l 、+ a t i l l n 、i 、g f 、t a ( 1 a s s f i 一 ( a li o n a lt l l t 、o l ( i l ll l l l d ( 1 1t l l ( 、g o l l l ( ，s u i t a b h la s s l l l l p t l o l l v i 、s t u d 3i tsg a u s si l i a i ) h ( 、t t 1 1 ( 、s l l f f i ( e n ta l l dl i p ( + e s s a l ) c o n d i t i o n so f h a l l l l o l l i ( m a p s 、( ，a l s oi i s ( ，( ( ) i l m 、1 、+ a t l o l ll a wt o1 i ( i v et w ot 1 ( ! o r e l l l s0 1v o i l i i i i pi n c r e a s i n ga l l ( e l l e r 9 3 。i n i l e a s i n g a 1 ) 【川i f l 1 l v p l ( 、s i l l f a ( ( 、so f l l o i l l l ( ，g a t | 、r ( u l 、a l l l l p 第一章概论 设j ，是球空间s n “( 1 ) 中的n 维紧致极小超曲面，s 是j ，的第 二基本形式长度的平方，月是 ，的规范化的数量曲率，那么s 满 足s = 1 1 ( 1 1 1 ) 一，z ( 一1 ) r1 9 7 0 年，c h e r n d oc a r m o k o b a 3 a s h i ( 1 1 ) 以 及l a u r s o n ( 2 j ) 分别独立证明c l i f f o r d 环面是s n l ( 1 ) 中唯一满足s = ， 的极小超曲面，产生了著名的c h m n 猜测，即s “( 1 ) 中常数量曲率 的极小超曲面的数量曲率一定是离散的关于这个问题，目前正集中 于第二空隙问题，已有很多很好的结果，见【3 1 1 4 1 1 6 等，这些结果 都表明c l i f l o r d 环面具有一定的刚性由此，自然可以提出下面的问 题：对于单位球s ”“( 1 ) 中的“维紧致极小超曲面，是否存在一个常 数r ( 0 使得如果，z ，7 ，j + c ( 则有s = ”并且1 ，与c l i f l i j i d 环面( 、w ，) s “。“( 、几2 一w ) 加) 等距 在 _ j 中，对于2 曼，z 一2 在r ir 一 ，n 2 的假设条件下，c h e n g 和i s h i k a u a 回答了这个问题我们证明如下的 定理21 设1 ，为单位球s “( 1 ) 中的，维紧致极小超曲面，如 果s ，h 则有s = 并且j ，与c l i f l b l d 环面弘( 、川 ，”一，) ) 等距 我们通过对于支撑函数的l a p l a c 。e 估计，利用特征值比较定理( 1 2 1 来研究s ”引中的极小超曲面，得到了下面结果 定理22 设”q ，“1 ic “为完备m 维黎曼流形到( ”i 卜维 单位球“中的极小浸入，记掣“为上半闭球面，如果f ( i 并且1 、| 列条件之- - i s 足，则这个等距浸入一定是全测地的 1 1 ，的规范化的数量曲率门是常数 ? i l l f 7 l 一；导墨 ( t e 和m ( f i ( j jj 通过引进新的微分钟：子口来研究欧氏窄间1 1 t 具育常数数量曲率的超曲面，得到了著名的刚性结果：如果、，具有 非负截曲率，则a i 与广义柱面伊- 8 ”等距对于紧致超曲面，李 海中( 1 9 ) 证明了如果规范化的数量曲率r 满足r 警鲁h 2 则j ，是 一维球面5 n ( r ) ，t = 面1 我们研究r ”1 中的完备超曲面，得到如下的 定理23 设 为( ，一+ 1 ) ，维欧氏空间彤“中具有规范化的常数量 曲率月的完备超曲面，如果月2 警帚日2 则且与超平面月”球面s “ 或者广义柱面s ”。1 r 中的一个等距 在最近几十年里，研究d es i _ t t e r 空间中的类空超曲面是个有意义 的工作，这里既有物理方面的原因，如在广义相对论中的作用1 1 1 4 1 1 5 1 等) 也有数学本身的需要，如b e r n s t e i n 一型性质( 1 6 1 1 1 r l f l s 1 9 等j - 1 9 7 7 年，g o d d a ic l ( f 2 0 ) 提出猜测：并“中的常平均曲率完备类空超曲面 一定是全脐的1 9 8 7 年，在 2 1 中，a k u t a g a 、x a 证明了如果s r l 中的 完备超曲面具有常平均曲率h 满足0 曼圩t 1 当，z = 2 或者( ) s h j ( ”一1 ) “2 当f ；3 时，那么这个超曲面一定是全脐的与此相 炎，r a m a n a t h a n ( 2 2 】) ( 对，= 2 ) 和m o n t ic 、1 ( 2 3 1 ) ( 对于任意的，) 证明了 紧致的具有常平均曲率的类空超曲面一定是全脐的，即”一维球面 通过对于0 的估计，并且利用广义极值原理( f 2 4 】f 2 j ) 关于第二基本形 式长度的平方的拼挤，我们得到了下面的 定理：31 没1 ，为w “中具有常平均曲率的- 维完备类空超曲 旺【，记表示第二基本形式长度的平方如果s 满足s l l i ，s 2 ( ，一1 ) 。 那么s 是常值的更进一步，j ，与球面等距 对于常数量曲率月( 月s1 ) 的- 维完备类空超曲面，利用c l ”n g 和 h - 【i 1 ( ) 1 ) 引进的微分j ：予口以及广义极值原理，我们有 定理j j2 设1 ，为，f ”。中具有常数量曲率疗( 疗1 ) 的，一维完备类 空超曲面，记s 表示第二基本形式长度的平方如果5 满足“1 ) s “f _ 了) 等距 2 ) 记r i c ( ，j 表示在该点的r i c c i 曲率的最小值，如果存在 1 i 满足r i c ( p ) = 0 则 ，或者与欧氏空间刖等距，或者与双曲柱面 h 1 f 1 一c o t h 2 ，) xs “( i t a n h 2 ，) 等距 对于子流形而言，它的性质往往从它的广义g a u s s 映照的性质反 映出来，并且常常和调和映紧密联系起来，对于欧氏空间中的具有常 平均曲率的子流形，r u h 和v i h n s ( 2 7 ) 证明了g a u s s 映照是调和的， 对于l c 、n z 空间来说，也有类似的结论( 1 5 1 ) 但对于爿“中的类空 超曲面来说，利用活动标架，我们证明了 定理3j 设j ，为爿“中n 一维类空超曲面，它的g a u s s 映照为调 和映照的充要条件为它是极小的 这个结果表明，对于s r l 中具有常平均曲率的类空超曲面，一般 来说，它的g a u s s 映照不是调和的，但是它还是满足守恒律的( 见引理 i ) 我们利用这个性质，对于非负曲率的常平均曲率的类空超曲面，得 j 日厂它的体积增长估计 定理35 设j ，为刚“中具有常平均曲率的- 维完备非紧的类空 超曲面，如果它的截曲率非负，s u p 月( r ) 1 一样 证明记c ，= ( t 一，o ) 为a j 的单位法向量场在俨+ ：中的分量， ，为平均曲率我们先证明下面的引理 引理4 设z ：a i “qs “c 舻+ 2 为s ”，中具有常平均曲率的 定向超曲面n 为r ”2 中的固定单位向量，则函数，= 满足 ，= 一s f n h 1 1 如果浸入是极小的，那么 = 一s v 证明对于a 中的一点p ，选取r ”+ 2 中的局部正规标架场，e 。+ t 使得在p 点附近，e 一，e 。与m 相切，且有c n + ，= ”，c n + 。= z ，以及 v 。，勺( p ) = 0 ，对于所有的i ，j = 1 ，礼，其中v 为m 上的诱导联络我 们分别用守和守来表示r “+ 2 及s “+ 1 上的联络 由于 = 1 ， = 0 ，因此可以得到 从而有 = o = 一 二一 = 0 = 一 = 一 t j k = 一 2 = 一s 再利用 = 0 可以推出 再一次求导，得到 = 一 + = 一 一 因为审为切向的向量场，且在p 点，审，：e m ( p ) 的切向分量为零，据 此可得 1 2 ( p ) = 一 ( p ) = 一 ( p ) 由于月n + 2 的度量是平坦的，容易推出 这样 但另一方面 从而 据此可得 以及 = = h = c o t 2 s t t = 一 iz ( p ) = ( p ) 二( ) i 一 0 ，或者儿+ 21 0 如果是后一种情形，我们知道f ( m “) cs “由于 ，是完备的黎曼 流形且浸入为等距，因而，为一个覆叠映射( j a i l ) ，注意到s “( r t 2 ) 是单连通的，因此，是一个等距的微分同胚，特别n ，的数量曲率为 ，7 ( ，2 1 ) 月= ，2 ( n 一1 )( 21 6 ) 但另一方面，由于( 21 ) 式，我们有 ，2 ( ，7 1 ) r = n ( n 一1 ) 一s( 2 1 i 因而，从( 21 6 ) 和( 2a t ) ，可以推出 s 三0 1 5 这表明m 是s 州的全测地的超曲面，即，( m ) = s ” 为了完成定理的证明，只需说明厶+ z 0 这种情形不会出现，我 们用反证法 假定，。 0 ，首先我们知道m 是非紧的否则，若 ，为紧致的 则由( 21 4 ) 利用h o p f 极值原理，得到 o l n + 2 j m 这导致矛盾因此， ，是非紧的 一n f m a + 。 0 1 、w jf 一、土1 m u 出h 0 超 2 4r “+ 1 中的完备超曲面 ( 1 l l ( 1 l l g 和y a u ( f l o 】) 通过引进新的微分算子口来研究欧氏空间中具 有常数数量曲率的超曲面，得到了著名的刚性结果：如果j ，具有非 负截曲率，则 ，与某一广义柱面s 。r “等距对于紧致超曲面， 李海中( 证明了如果规范化的数量曲率r 满足r 等等h 2 则j ， 1 7 是m 维球面伊( r ) ，r 2 = 去本节我们研究r ”1 中的完备超曲面，得到 如下的 定理23 设a ，为( n + 1 ) 一维欧氏空间r 一1 中具有规范化的常数量 曲率r 的完备超曲面，如果r ；曼帑h 2 ，则 ，与超平面r “，球面 或者广义柱面s ”1 r 中的一个等距 证明我们首先来估计超曲面的r i c c i 曲率的下界，应用引理6 可以得到 n ( ，。一2 ) i h i 、万_ 二1 了百i 尹丽) 一n ( n 一1 ) s ) ( 一2 ) h 2 一( n 一2 ) 、历硒f 丽 根据假设条件，尺謦蒂h 2 ，容易推出r i c ( j ，) 兰0 众所周知，对 于斤“的超曲面来说，非负r i c c i 曲率和非负截曲率是等价的，因而 1 1 的截曲率是非负的，又r 为常数，根据c h e n g 和y a u 的定理( 1 0 ) 我们知道 ，为一个广义柱面，即 “= 铲舻一对于某一k ( o a ，7 ) 成立如果我们假定 a - ，a z ，a 。 是主曲率，那么有 a 】= a k = a ，a k + 1 = = 凡：= 0 ( 22 0 对于- ，上的任意一点都成立因此 州”一) 肚协= m - 1 ) a 2 = 尚? 2 2 2 l j j 一 根据假设条件和上式，我们得到在、，上，月= 警帚h j 恒成立或 者1 7 = ，1 ( 1 1 一1 ) h 2 恒成立在第一种情形下，= s 一斤：在第二种 情形下， ，= r “( 如果r = o ) 或者 ，= 铲( 如果r o ) 定理证毕 1 8 俨m 产1p 一 1 一n ，_ 。1m 仁一 “m 疗 一 = 第三章d e s i t t e r 空间中的类空超曲面 本章我们研究s 中具有常平均曲率的完备类空超曲面，第一 节是基本公式第二节，通过对于西的估计，并且利用广义极值原理 ( f 2 4 1 2 j 1 ) ，对于常平均曲率和常数量曲率的类空超曲面，我们得到了关 于第二基本形式长度的平方的拼挤定理第三节，对于截曲率非负的 超曲面，通过研究第一特征函数在无穷远处的行为，证明了在一定的 条件下，s r l 中具有常平均曲率的n 维完备非紧的类空超曲面只有 欧氏空间r n 和双曲柱面h 1 ( 1 一c o t h 2r ) xs ”1 ( 1 一t a n h 2r ) 在第四节 中，利用活动标架，我们证明了对于田+ 1 中的类空超曲面来说，它的 g a u s s 映照为调和映照的充要条件为它是极小的第五节，证明了常 平均曲率的类空超曲面是满足守恒律的，并且我 f l 乖f j 用这个性质，对 于非负曲率的常平均曲率的类空超曲面，得到了它的体积增长估计以 及g a u s s 映照能量增长的两个定理 3 1基本公式 设+ 2 为( + 2 ) - 维l m e n t z m i n k o w s k i 空间，? 2 、配备l o i p i l z i a ! 度量 为 n + t = 一v o i u 0 + “屿 记s cl “+ 2 为( n + 1 ) 维单位d es i t t e r 空间，即 爿“= “l ”2 ： = 1 众所周知，当，。芝2 时，d es i t t e r 空间爿是单连通的具有标准正截 曲率的l o r e n z i a n 空间形式我们考虑一个从，；一维连通流形到d e s i t t e r 空间别+ 1 光滑的浸入丌： ，”_ 研cl “， ，”被称作类空的超曲面 是指在j ，“上被丌拉回的诱导度量是黎曼度量，我们还是用 来表 示这个诱导度量 1 9 设a ，为s ? + 1 ( 1 ) 中的n 一维完备类空超曲面我们选择研+ 1 ( 1 ) 中 的局部正规标架场钆，扎使得限制在m 上，e ，e 。与 ，相切 记。卜表示n ，上的对偶余标架场，则联络形式“。由下面的结构 方程决定： d w i = 一( d i ja “。，o j i j + w j i = 0 ， ( 31 ) j d “u = 【_ d i kau 幻+ n ”， ( 32 k 1 q u = ；r i j 州u 女八u f ， ( 33 ) 。女f 其中q 。( r 呲z ) 表示 ，的曲率形式( 曲率张量的分量) ，的第二基本 形式n 及平均曲率h 由下式给出 o = v 岫屿e n + l ， h i i = ”h u 由于n 是一个对称张量，h i ，= h j i 则n ，的g a u s s 方程，c o d a z z i 方程 和关于第二基本形式以及它的协变导数的r i c c i 公式分别为： r u f = ( d 。女0 f d i k d ) j 1 ) 一( ：k h j l h u h j 女) ， ( 34 ) k 3 k = h i = h 2 l k 巩j “一 1 1 j = h i r “+ “曰删 ! ( ：j6 1 ，ln 其中h 小和，小，分别表示 ，的第二基本形式的一阶及二阶协变 导数由n 的g a u s s 方程，容易推出它的r i c c i 曲率以及数量曲率的 分量表达式为 月。j = ( ，7 1 ) 5 u n h h i j + h , k h j k ( 37 ) 2 0 r = n ( r z 1 ) 一n 2 h 2 + j ( 38 ) i , 3 3 2关于第二基本形式长度的拼挤公式 1 9 8 7 年，在 2 1 中，a k u t a g a w a 证明了如果田十1 中的完备超曲 面具有常平均曲率h ，满足0s h 2s1 ，当n = 2 ；或者0sh 2 0 使得 n ，“= z s ? + 1 ：一z ；+ z ；= 一s i n h 2 ，) 它和截曲率为1 一c o t h 2 ，的1 维双曲空间与截曲率为l t a n h 2 ，的 ( 1 ) 一维球面的黎曼乘积h 1 ( 1 一c o t h 2r ) s ”。( 1 一t a n h 2 ，) 等距，容易 验证它的平均曲率为 且 h = ，= 了= 2 ； 2 ( n 一1 ) + n n l 。，。_ 。_ 。1 1 1 1 。一 4 ( n 一1 ) r , 2 s = 2 f n 一1 1 1 2 2 l 这表明我们的拼挤常数不能够再提高了 证明我们首先计算一些局部公式对于n ，的任一固定点p 选择 局部正规标架场，e 。使得在p 点，有 = t h 彭 下面定义一个线性算子圣：耳 ，_ 耳 ，如下： = h 一 ， 其中4 为形状算子，那么 妒u = h a 0 一h u ：= , u t d ：j ， 下面的公式可以参见 3 3 - 设 s ：= j = 砭2 = 萌= s n 2 ( 39 ) ；i 西1 2 = 咖j 十n ( 1 一2 ) 西f 2 + f 咖1 4 + n h ，f ? ( 3l o ! ，l 我们需要o k u m u r a 的一个引理： 引理1 ( 3 4 ) 设也，i = 1 ，n 为满足：也= 0 和；群= 3 2 的，t 个 实数，其中j 是一个非负常数那么有 了等i ：与9 3s ：咖? 了i i i ：；彳i 日。、 右边( 左边) 的等式成立当且仅当有”一1 个非正( 非负) 的o 。是相等 的 利用这个引理以及( 3 1 0 ) ，我们得到 a 1 0 1 2 = 西j * + ，z ( 1 一h 2 ) l o l 2 + p 1 4 + n h l a ? 。 z7kz 黔( 卜酽卜端州t i j ，k、，、1 ， = 篆j 螈州卜焘告州l 卅) 。t ，fh uz l 考虑二次形式( 7 ( ，t ) 2u 2 一万n - i 2 “ 一f 2 ( 3 5 】) 通过正交变换 ，豇= ! 等u + 号雾t ， 一t = 譬u 十号字t q ( m ，) 变成q ( m ，) = i 满( a 2 一产) ，其中i 2 + 产= “2 + f 2 = s 在q ，) 中，令忙所矛及“= 而h ，把它带入上面的不等式，我们得到 ；j p l 2 = 咖毛。+ j 移1 。【n + q ( u ，t ) 。 z ，j ，t n + 丽( 2 一产) j = l 西1 2 ，z i 了半三彳( 2 + 产) + 了嘉兰彳。2 】 州2 ( 1 一赤) ( 31 1 ) 下面我们需要o m o r i ( 2 4 ) 和y a - - ( 2 j 】) 的关于完备流形的广义极值 原理了 引理2 设j ，为一个儿l 维的完备黎曼流形，它的r i c “曲率由下 界如果厂是，中一个有上界的c 2 一函数那么对于任意的e 0 都 存在一个点p 。 ，使得 f v f ( p 。) f f j n f fs ，( 肌) i n f ，+ f( 31 2j 2 3 由( 37 ) 式，我们得到r i c 芝( n 一1 ) 一；n h 2 ，因此m 的r i c c i 曲率 是有下界的对函数，2 丽番利用广义极值原理( ，是光滑的) ，得到 i v 卯= 拱锦，( 3 1 3 ) 啦一器+ 器 设p 。，k n ，为 ，中的点列，满足 女1 + i m 。f ( p k ) = i n f f ， ( 31 5 ) i v f ( m ) i z 一；，( 3l i j 利用( 31 6 ) 和( 3 1 7 ) ，我们得到 ；i 。f 2 ( p m ) = 一_ ，( p * ) ( 1 + 西( p t ) 1 2 ) 3 2 - t j ；燃 扣+ f ( m ) | 2 3 2 + 若( 1 + ) 限 ( 31 8 ) 对于( 31 1 ) 式在p 女点进行估计，令k _ 并利用( 31 8 ) 以及( 31 5 ) 得到 一 w p j 珊卜n 器 _ 0 ( 31 9 】 根据我们的假设条件，可以由( 3 1 9 ) 推出s u p 2 = 0 ，这就表明了1 ， 是全脐的，又因为- ，具有常平均曲率，我们得到s 是一个常数，再 利用( 37 ) 以及假设，可以推出a ，的r i c c i 曲率是大于零的，因此它是 紧的根据全脐超曲面的分类结果，我们知道 ，与超球面等距定 理证毕 下面利用c h e n g 和y a u ( 1 0 ) 引进的微分算子口来研究常数量曲 率月( 尺 1 ) 的类空超曲面 2 4 设对称张量t = 。岫o “。由下式决定 t u = n h 6 i j h i j 贝0 由t 作用在a ，的函数上可以决定一个算子口 口f 口，= 正， j = ( n h 6 i ，一 u ) j ( 3 2 0 ) 2 ，3i , j 利用( 38 ) 以及( 32 0 ) ，我们得到 i z h x ( t i h ) 一a 。( 7 z h ) i i ；( n h ) 2 一( ，z h ) ；一九( n h ) t z ：n ( n 一1 ) a r + ；s n 2 v 日1 2 一a 。( n h ) 。， ( 3 2 1 引理3 设j ，为s ? “中具有常数规范化的数量曲率的* 维完备 类空超曲面，则有 口( 72 ) = i v s l 2 一n 2 i v h l 2 + f 咖1 2 ( n n h 2 + i o l 2 ) + 77 h “? ( 32 2 ) 2 证明根据( 3 j ) ( 36 ) ( 34 ) 计算s 得到 ：土s = 一 一 v s l 2 + a ：( n h ) i i +h , j ( 。a , r 。j k + 。 t 、jk 川 =vs 2 十a 。0 i h ) 。+ ag ( a 。一a j ) r i j i j l 2 ，j = i v s l 2 + a i ( n h ) i i + a ，( as 一) ( 1 一a ，) l 2 j = i v s | 2 + a 。( n h ) 。+ n s n 2 h 2 + s 2 一n h a ? j 女 蚶 k h 也 + + 2 2 s s v v 再把 中q = h 6 ”一h ”：= u t 6 u 带入上式并整理，得到 ；s = i v s l 2 一2 i v h l 2 + i 1 2 ( n n h 2 + i 1 2 ) + n h “? ( 32 3 ) 。 2 联立( 32 1 ) 以及( 32 3 ) ，并利用r 是常数，容易推出( 32 2 ) 成立 引 理证毕 引理4 ( 1 0 ) 设 为s ? + 1 中具有常数规范化的数量曲率r ( rs1 ) 的一维完备类空超曲面，则有 v s f 2 1 1 2 i v h l 2 0 ( 32 4 ) 利用引理4 ，( 32 2 ) ，以及引理1 ，我们得到 删川卯( n - - n h 2 + 川2 ) _ 黼驯。 ( 3 2 5 j 考虑二次形式q ( “f ) = “2 一器u t f 2 通过正交变换 ，= 手“+ 弓茅t ， 。i = 案u + 譬：簪t 一丽“1 丽“ q ( hf ) 变成c 2 ( ，) = 赤( 五2 一产) ，其中缸2 + 产= 2 + t 2 = s 在q ( 叭，) 巾，令- 、川2 及u = , t i m 把它带入上面的不等式，我们同样得到 口( 棚) i 西1 2 ( 1 一习苦) ( 326 ) 注意到 m ( n h ) = n h ( ，7 h ) ：。一，a ：( n h ) i i 曼( ，u p l h i i n f a 。) j ( h ) ( 32 7 对函数f ：n h 来应用广义极值原理，可以选取p k ，n ，为 ，中的 点列，满足 l i ma ( n h ) = 0 ( 32 8 ) r 这样，由( 32 6 ) ，( 32 r ) ，( 32 8 ) ，当s u p s 2 ( n 一1 ) 时，我们不难得到s 是一个常数，从而为常数，再利用( 37 ) 以及假设，推出 ，的r i c e + i 曲率是大于零的，因此它是紧的根据全脐超曲面的分类结果，我们 知道 ，与超球面等距于是，我们得到下面的 定理3 2 设 ，为s ? “中具有常数量曲率r ( r 1 ) 的m 维 完备类空超曲面，记s 表示第二基本形式长度的平方如果s 满足 s t p s p 这是d es i t t e r 空间中全脐的 超曲面的标准模型n ，“对应的平均曲率满足 一2 舻= 去 2 7 当等于1 ，0 ，一1 时， ，t 分别与双曲空间，欧氏空间，或球面等距对 应 例2 a ，“= p s ? + 1 ：一p ；+ p ；+ - - + p ；= 一s i n h 2r ) 要求，r ，1s ksn i 这些超曲面都是双曲柱面，它们的平均曲率 等于 n h = kc o t hr + ( n k ) t a n h r 这样，我们得到它们的平均曲率满足 h 2 掣，( 32 9 ) 7 0 一 等式在k = 1 且c o t h 2r = n 一1 时成立事实上，m o n t i e l ( 2 3 ) 正是用 这个例子来否定g o d d a r d 猜测的。不难得到，双曲柱面 j ，“= p s ? + 1 ：一p i + p ；= 一s i n h 2r ) 与黎曼乘积h 1 ( 1 一c o t h 2r ) s n - 1 ( 1 一t a n h 2r ) 是等距对应的我们还可 以观察到，只有这种双曲柱面是满足截曲率非负的条件的再结合例 1 我们有理由提出下面的： 猜测设j ，为s ；“1 中具有常平均曲率的”维完备非紧的类空超 曲面，如果它的截曲率非负，则 ，或者与欧氏空间月“等距，或者与 双曲柱面h 1 ( 1 一( o t h 2r ) s 一1 ( 1 一t a n h 27 ) 等距 一般地，我们不能证明这个结论记 a j ( p ) _ 吼m a x ，。) a 。( p ) ，v p 3 i , 其中a 。( p ) 表示在p 点的主曲率在a 杉f 可) 等距 2 ) 记r i c ( x ) 表示在该点的r i c c i 曲率的最小值，如果存在p 1 满足r i c ( p ) = 0 ，则m 或者与欧氏空间兄“等距，或者与双曲柱面 h 1 ( i c o t h 2r ) s ”