（基础数学专业论文）小波分析与多速率滤波器组的设计.pdf

摘要 由于多速率数字滤波技术可有效地降低信号的处理复杂度、加快数据的传输率和 提高存储量等，所以它在图像编码、语音编码及通信等众多领域具有广泛的应用 本论文主要探索了多速率滤波器组的设计方法它由五章组成 第一章简述了多速率滤波器组的基本问题、发展历史和研究现状 第二章总结说明了小波、多尺度分析与滤波器组之间的内在联系 第三章是本文的主要内容之一由于m 带小波比2 带小波分析信号更细致、更紧 凑，而m 带小波可由迭代的m 通道滤波器组获得，所以本章分析了一种两通道线性 相位完全重构无限脉冲响应滤波器组的有效设计方法，希望可推广用于m ( m 2 ) 通道，论证说明这种方法不能直接推广用于m ( m 2 ) 通遭，其局限性在于只对两 通道有效；最后给出了用此方法设计两通道线性相位完全重构有限脉冲响应滤波器 组的详细过程 第四章是论文的另一重要内容讨论了一种时域设计偶数通道双正交线性相位 完全重构有限脉冲响应滤波器组的方法同样适用于奇数通道；并把此算法应用于设 计长度不相等的两通道双正交线性相位完全重构有限脉冲响应滤波器组、 第五章是本文的结束语，对文章给出总结，并对以后的研究方向做了展望 关键词；多尺度分析，多速率滤波器组，完全重构，线性相位，双正交滤波器组， r e m e z 算法，正交镜像滤波器组 a h s t r a c t t h eu s eo fm u l t i p l es a m p l i n gr a t e so f f e r sm a n ya d v a n t a g e s ，s u c ha sr e d u c i n gc o m p u t a - t i o n a lc o m p l e x i t yf o rag i v e nt a s k ，s p e e d i n gu pt r a n s m i s s i o nr a t e ，a n d o rr a i s i n gs t o r a g e c a p a c i t y s ot h ea p p l i c a t i o n so fm u l t i r a t ed i g i t a l f i l t e r t e c h n o l o g yh a v eb e e nf o u n di n s u b b a n dc o d i n go fi m a g e sa n ds p e e c h e s ，c o m m u n i c a t i o n s ，a n di nm a n yo t h e rf i e l d st h e t h e s i si sm a i n l ya b o u tt h ed e s i g nm e t h o d sf o rm u l t i r a t ef i l t e rb a n k s c h a p t e r1 s u m m a r i z e st h eb a s i cq u e s t i o n ，d e v e l o p i n gh i s t o r ya n dp r e s e n tr e s e a r c h s i t u a t i o no ft h em u l t i r a t ef i l t e rb a n k s i nc h a p t e r2 ，t h ea u t h o rg i v e st h ei n n e rc o n n e c t i o no fw a v e l e t s ，m r aa n df i l t e rb a n k s c h a p t e r3i so n eo ft h ei m p o r t a n tc o n t e n t so ft h et h e s i s b e c a u s em u l t i b a n dw a v e l e t c a nd e s c r i b es i g n a lm o r e d e l i c a t e l ya n d m o r e c o m p a c t l yt h a nt w o b a n dw a v e l e t ，a n dm u l t i b a n dw a v e l e tc a nb ed e r i v e df r o mt h ei n f i n i t ei t e r a t i o no fm u l t i c h a n n e lf i l t e rb a n k s b y m e a n so fad e t a i l e dd i s c u s s i o nf o rae f f e c t i v ed e s i g nm e t h o do fl i n e a rp h a s ep r i i rf i l t e r b a n k s ，t h ea u t h o ro b t a i nt h a tt h em e t h o di so n l yf i tf o rt w o - c h a n n e lf i l t e rb a n k s ，b u tc a n t b ee x t e n d e dt oa r b i t r a r ym - c h a n n e l ( m 2 ) f i l t e rb a n k s m o r e o v e r ，t h ed e t a i l e dd e s i g n p r o c e s so ft w o c h a n n e lf i r f i l t e rb a n k si sp r e s e n t e db yu s i n gt h em o d u l a t e dm e t h o d c h a p t e r4i st h eo t h e ri m p o r t a n tc o n t e n t so ft h et h e s i s b ya n a l y z i n ga ne f f e c t i v et i m e d o m a i nd e s i g nm e t h o do fe v e n c h a n n e lb i o r t h o g o n a l l i n e a r p h a s ep r f i rf i l t e rb a n k s ，t h e c h a p t e rd i s c u s s e st h ec a s eo fo d d c h a n n e l ，a n dm o d u l a t e dt h ed e s i g nm e t h o dt ot w o c h a n n e lu n e q u a l l e n g t hb i o r t h o g o n a ll i n e a r - p h a s ep rf i rf i l t e rb a n k s i nc h a p t e r5 ，t h ec o n c l u s i o na n dt h ee x p e c t a t i o no ft h ea r t i c l ea r eg i v e n k e yw o r d s ：m u l t i r e s o l u t i o na n a i y s i s ( m r a ) ，m u l t i r a t ef i l t e rb a n k s ，p e r f e c tr e c o n s t r u e - t i o n ( p r ) ，l i n e a rp h a s e ，b i o r t h o g o n a lf i l t e rb a n k s ，r e m e za l g o r i t h m ，q u a d r a t u r em i r r o r f i l t e rb a n k s ( q m f b ) i i 第一章 绪论 1 1 多速率滤波器组的基本结构和基本问题 多速率是指在一个信息处理系统中，存在多个不同的数据率，它与单速率滤波 器的不同之处在于多了抽取器和插值器如下图1 1 就是典型的m ( m 2 ) 通道最 大抽取滤波器组 l 匡l 一回匡一 图1 1m ( m 2 ) 通道最大抽取滤波器组 2 0 世纪8 0 年代中后期，以子带编码为主要应用背景的p r 滤波器组理论的产 生和发展，使得滤波器组理论及应用研究成为信号处理领域的一个活跃方向在滤 波器组子带分析与合成系统中( 如图1 1 ) ，分析端通过对一组分析滤波器( 凰( 。) h 1 ( 。) 、日肼一t ( z ) ) 及其级联的采样器将输入信号分解为m 个不同频带的子带 信号，利用信号的子带域特性，可对信号进行处理( 如在编码应用中，对子带信号 进行量化编码) ；在合成端，通过一组子带信号进行速率转换的插值器及其级联的一 组综合滤波器( 昂( z ) 、f l ( z ) 、f a i - - 1 扛) ) 将子带信号合成为原始输入信号的 重建信号 信号处理就是希望对信号做一定的处理。使得满足所需要求例如p r 滤波器 组，它的输出信号是一个常数乘以一个纯延迟，此时，重构信号是原始输入信号的 延迟( 乘以一个常数) ，信号波形不变这就要求子带信号在重构时无任何失真滤 波器组中的误差主要来自四个方面【2 】：由于抽取和内插所产生的混迭和镜像是产生 误差的来源之一，由这种误差产生的失真称为“混迭失真( a l d ) ”；由滤波器幅频 特性的波动产生误差。从而导致的失真称为“幅度失真( a m d ) ”；由滤波器相频特 性的非线性从而产生的失真称为“相位失真( p h d ) ”；由于编码解码而产生的误差 ( 这种误差与量化误差相似，是非线性失真) 称为“子频带量化误差”，这是一种无 法完全消除的误差滤波器组的设计就是希望各种失真( 一般是前三种失真) 尽量 减少，或者完全消除 1 _ 2 多速率滤波器组的发展历史与研究现状 两通道滤波器组的分析与合成系统最早于1 9 7 6 年提出并应用于语音信号 的压缩编码构成分析和综合滤波器组的两个滤波器分别称为低通和高通滤波器， 它们在频域成镜像对称关系，故称为正交镜像滤波器组( q m f b ) 无论在理论上， 还是在应用上，往往都希望p r 滤波器组具有一定的性质，例如：正交性和线性相 位等但在两通道p r 的正交滤波器组中，不存在非平凡的线性相位滤波器 1 9 8 9 年，n g u y e n 和v a i d y a n a t h a n 提出了一种双正交的两通道线性相位滤波器组并 给出了相应的格型分解结构。随后，他们又提出了一种m ( m 2 ) 通道p r 的线性 相位滤波器组陋 1 9 9 1 年，k o i l p i l l a i 和v a i d y a n a t h a n 提出了余弦调制滤波器组( c o s i n em o d u l a t e d f i l t e rb a n k s ，简称c m f b ) p r 的充要条件m 这是一种特殊的多速率滤波器组，它 所有的分析滤波器和综合滤波器可转化为一个或两个低通原型滤波器来实现由于 设计简单且实现效率高，故成为多速率滤波器组研究的热点 1 9 9 2 年，n a y e b i 等人提出了滤波器组的时域设计方法n 该方法非常灵活， p r 、近似重构、线性相位的和低延迟的滤波器组都可在该理论框架中实现 2 多速率滤波器组与小波变换有非常密切的联系m ( m 2 ) 带小波可由m 通 道滤波器组得到1 9 9 3 年，s t e f f e x t 等人在m 通道正交滤波器组的基础上建立了k 阶正则m 带小波的理论f 8 】相对于2 带小波，m 带小波可以更细致更紧凑地表示 信号1 9 9 3 年，s o m a n ，v a i d y a n a t h a n 和n g u y e n 建立了m 通道线性相位正交滤波 器组的理论1 9 1 在应用方面，1 9 9 7 年，x i a 用过采样滤波器组作为均衡器来抑制码问干扰 该均衡器是线性的，不需要任何求模运算，并且有很高的带宽利用率 1 0 1 1 9 9 8 年。k l i e w e r 和b o l c s k e i 各自独立地提出了过采样余弦调制滤波器组【” 同时，c v e t k o v i c 和b o l c s k e i 各自独立地提出了过采样滤波器组的理论框架嘲 1 9 9 9 年，x iz h a n g 和t o s h i n o r iy o s h i k a w a 给出了一种两通道i i r 滤波器组的设 计方法，该方法借助p r 条件的结构，无论系数怎样量化都不会影响到滤波器组的 p r 性质【1 3 1 另外，该方法运用r e m e z 迭代算法，避过求解麻烦的非线性方程组， 得到c h e b y s h e v 意义下的最佳一致逼近， 2 0 0 0 年，m a s a a k ii k e h a r a ，t a k a y u k in a g a i 和t r u o n gq n g u y e n 从时域入手，给 出了一种偶数通道双正交线性相位p rf i r 滤波器组的设计算法此算法既避免了 求解复杂的非线性方程组，又避免了频域中的积分运算，且对初始值不敏感【1 4 j 总之，滤波器组的设计可归结为对目标函数和约束条件的优化问题，它们要么 是优化参数的非线性函数，要么对参数的变化非常敏感，或是对初值敏感，或是目 标函数包含积分运算等这都会导致计算复杂，或是实现起来很困难现有的大多 数滤波器组的设计方法如下： 1 格形方法是一种常用的设计方法其优点是滤波器组的p r 性可由格形结构 保证，即使格形结构中的系数量化也能保证滤波器组的p r 性它一般采用通用f 标 准) 的无约束非线性优化算法其缺点在于目标函数往往是格形结构系数的高度非 线性函数，对格形系数的变化非常敏感，很难获得高阻带衰减的滤波器组 3 2 二次约束的最小二乘算法也是一种常用的滤波器组的设计方法该方法将 目标函数和约束条件都表示成待优化的滤波器组的二次函数，从而有解析的梯度和 h e s s i a n 阵用该方法设计的滤波器组有较高的阻带衰减但该方法在优化过程中采 用的仍是通用的非线性优化算法通用的优化算法一般不可能考虑到滤波器组的具 体特点，因而运算量大且对初始值敏感为了获得满意的设计结果，通常要用不同 的初始值进行多次的优化设计 3 拉格朗日乘子法也可用于设计滤波器组，但现有的拉格朗日乘子法只能设 计不同长度的分析滤波器组，而无法设计相同长度的分析滤波器组张子敬对此作 了改进【1 5 | ，使得拉格朗日乘子法可应用于更广泛的范围 4 现有的滤波器组的设计方法基本上采用l 2 或l 。准则一般来说，l 。意 义上的最优解在l 。意义上是次最优的，反之亦然在很多情况下，采用其他准则 或混合采用如或l 。准则会得到更好的总体性能张子敬在文献1 5 1 中也、对此 作了改进，提出了基于l ，( 2 p o 。) 准则的余弦调制滤波器组的迭代设计方法 该方法可在不同频带采用不同的k 准则，更加灵活 针对滤波器组优化设计的具体问题，可提出多种不同的设计方法本文讨论了 计算效率高且对系数变化或初始值不很敏感的方法 1 3 本文的主要工作 本论文内容由三部分组成：第一部分是第二章，阐述了小波、m r a 和滤波器 组之间的关系；第二部分是第三章，重点讨论了一种i i r 滤波器组设计方法的局限 性及该方法如何用于两通道f i r 滤波器组的设计；第三部分是第四章，推广了一种 f i r 滤波器组设计算法，即在原文研究偶数通道的基础上，讨论了奇数通道时的情 况，并将其用于长度不相等的两通道滤波器组的设计 对于本文的两个主要内容，即第三章和第四章，简述如下： 4 第三章详细分析了一种i i r 线性相位p r 滤波器组的设计方法，论证说明该方 法具有一定的局限性，即该设计方法只适用于两通道i i r 和f i r 滤波器组，而不能 直接推广到任意m ( m 2 ) 通道，这需要另寻它法另外本章给出了用此方法设计 两通道f i r 线性相位p r 滤波器组的详细过程 在第四章中，论证了一种时域设计偶数通道双正交线性相位p rf i r 滤波器组 的方法同样适用于奇数通道，并把此算法应用于设计长度不相等的两通道双正交线 性相位p r f i r 滤波器组 5 第二章小波变换、m r a 与滤波器组 2 1 小波变换的定义、特点及应用 众所周知，传统的傅里叶变换( f o u r i e rt r a n s f o r m ，简称f t ) 是将一个函数展 开成不同频率谐波的线性叠加，使得对函数性态的研究可以转化为对其f o u r i e r 系 数和f t 的研究【1 6 1 很多在时域看不清的问题，在频域却一目了然所以f t ( 也即 f o u r i e r 分析) 理论无论在数学上还是在各个工程应用学科上都扮演了十分重要的角 色随着应用的不断深入和发展，f t 的主要缺陷也日益明显，大致有以下四个方 面： ( 1 ) 在f o u r i e r 展开中，由于频谱点的等距分布，所以它不能很好的反映一些具 有突变特性的非平稳信号，此时分辨率不高； ( 2 ) f o u r i e r 展开使用的是三角函数标准正交基，但三角基在时域上没有局部 化，所以f o u r i e r 展开在时域上不能做局部分析； ( 3 ) f t 不能同时做时域和频域分析，一个信号经过f t 后，就失去了时间特 性，只能做频域分析虽然加窗傅里叶变换( w i n d o wf o u r i e rt r a n s f o r m ，简称w f t ，又称为短时傅里叶变换，s h o r tt i m ef o u r i e rt r a n s f o r m ，简称s t f t ) 一定程度上 解决了时域、频域分析问题，但由于窗口大小是固定的，因而仍无法适应非平稳信 号； ( 4 ) 从数学上看，f o u r i e r 展开只在铲( r ) 上有效，对于l p ( r ) ( 1 p + o c ，p 2 ) 仅是形式展开，其系数不能刻划函数的特性 鉴于上述理由，众多科学家一直在努力寻找另外合适的基来对函数进行分解 以弥补三角基的不足，这样“合适的基”就是现在的小波基小波有两个特点： 1 “小”，即在时域上有( 近似) 紧支集，长度有限； 6 2 “波动性”，即正负交替，平均值为0 ，也即直流分量为0 + 说明；小波变换与傅里叶变换的主要区别是小渡变换的核函数砂( t ) 并不像 傅里叶变换的核函数e 一那样是固定的，它甚至可以根据需要专门设计 对小波基而言，正交性、紧支性、对称性和光滑性是很重要的几个性质，但是 对常用的二伸缩( 二进) 紧支集小波来说，正交性和对称性无法同时满足( h a a r 小波 除外) ，而在信号处理上，对称性又极其重要，不满足就会导致信号发生畸变鉴于 上述原因，般采取如下三种改进方法； ( 1 ) 单小波( 对应于滤波器组是传统的滤波器组) 情况下，保留2 伸缩，牺牲小 波妙的正交性质，采用半正交或双正交性质澍应的是半正交或双正交滤波器组) ； ( 2 ) 单小波情况下，放弃2 伸缩，考虑m ( m 2 ) 伸缩，并在此伸缩下构造紧 支小波基； ( 3 ) 2 伸缩下用多小波( 即向量小波) 代替单小波，对应于向量小波的是“矢值 滤波器组”或“块滤波器组”，矢值滤波器组在去除矢量间系数相关性的同时又保 留了各矢量内部系数间的相关性，比传统的滤波器组更具优势 另外，小波分析虽然有利于处理具有突变性质的信号，但对具有渐变性质的信 号却不如f t ，而实际信号多是既含有突变性质又含有渐变性质，这就希望可以找到 一种方法，使得可以根据实际需要灵活采用小波分析或者f t ，这就是* 小波包”分 析【州 小波包分析与小波分析的不同之处在于：小波分析只是对信号每一层的低频部 分再做分解，而小波包分析是同时对每层的低频和高频部分再做分解，即，相比而 言，小波包分析的主要优点是可以对信号的高频部分做更加细致的刻画，对信号的 分析能力更强，其代价是信号分析的计算量将有所上升从工程技术上看，小波包 可看成是函数空闫逐级正交剖分的扩展，故其分解过程可看作是。时频平面的铺 7 砌” 2 1 1 定义及特点 定义2 1 假设函数妒( t ) l 2 ( 冗) n l l ( r ) ，西( o ) = o ( 这立刻推出厶t f ，( t ) 出= o ) 世 经伸缩算子和平移算子作用得到的函数族： 饥州= l a i 一 砂( 字) 称为连续小波，相应地称砂是基本小波( 又称为母小波) ，这里，反映位移，称为平 移算子 o 称为伸缩算子，其作用是将妒( ) 做伸缩，。越大妒( ；) 越宽，即小波的 持续时间随n 加大而增宽，幅度与扣成反比，但波形保持不变式( j 1 ) 中去的 作用是使不同a 值下砂。，( t ) 的能景保持相等 例2 1 令 e ( t ) = 1 ，0 t 一l ， s t l ， 0 ，其它， 则妒( t ) 称为h a a r 小波这是最早应用的一种最简单且具有紧支撑的正交小波函数 定义2 2 假设。( t ) 是平方可积函数，即x ( t ) l 2 ( r ) ，妒( t ) 是基本小波，则 嘶，r ) = 击) 州宰) 拈 ( 2 2 ) 称为z ( t ) 的连续小波变换，其中饥，( ) 如( 2 1 ) 式定义，“幸，表示函数取共轭 ( 2 2 ) 式相应的频域表示为 珏( n ，r ) = 鲁厂x ( u ) 州训e 7 乩 ( 2 2 ，) 从频域上看，用不同尺度做小波变换大致相当于用一族带通滤波器对信号进行处 理带通的目的既可能是分解，也可能是检测( 此时相当于一族匹配滤波器) r 结合时域和频域考察知，小波变换在时频平面具有如下性质；当a 值较大时， 时轴上考察范围大，而在频域上相当予用低频小波做概貌观察；当。值较小时，时 轴上考察范围小，而在频域上相当于用高频小波做细节分析分析频率有高有低， 但各分析频段内分析的品质因数q ( 即，中心频率带宽) 却保持不变，即恒q 性 因此，形象地把小波变换誉为“数学显微镜”，即用镜头观察目标。( t ) ( 也就是 待分析信号) 妒( t ) 代表镜头所起的作用( 例：滤波或卷积) ：r 的作用是使镜头相对 于目标平行移动；a 的作用相当于镜头向目标推进或远离 定义了连续小波变换后，很自然的问题是：能否从连续小波变换w t 。( a ，r ) 重 建出原始信号。( ) ? 回答是肯定的但必须对母小波妒( t ) 所满足的条件西( o ) = 0 进 行加强 定义2 3 假设妒( t ) l 2 ( r ) n l l ( r ) ，并且咖满足 砌上铧妖帆 ( 2 s ) 则称妒( t ) 为可允许小波，相应地条件( 2 3 ) 称为可允许条件 从可允许条件出发，可以使原始信号z ( t ) 从连续小波变换重建出来 * 注意，在数学中，n 可正可负，但工程实际中尺度因子a 0 ，b r 此时，可允许条件要做 简单修改： 2 ”r 掣拈2 。r 掣扯1 2 瓯 2 ) 通道最后又给出了用此方法设计两通道f i rp r 滤波器组的详 细过程【2 “ 3 2d ( d 2 ) 通道线性相位滤波器组的p r 条件 d ( d 三2 ) 通道q m f s 的输入输出关系如下图t b 至寸屯卜一回1 互一 图3 1 最大抽取d ( d 2 ) 通道滤波器组 其中g k ( z ) ( k = 0 ，d 1 ) 、r ( z ) ( = 0 ，d 一1 ) 分别是分析滤波器组和综合 滤波器组那么y ( 。) ( 输出信号g ( n ) 的= 变换) 与输入信号及分析滤波器组和综合 1 7 滤波器组之间的关系可由下式表示， d 一1d 一1d 一1 y ( 2 ) = 百1 x ( z w ) h k ( z w 2 ) g 女( 。) = x ( z w ) a ( 2 ) ， ( 3 1 ) 一1 = 0k = ol = o 其中w 是1 的三次方根且 d一11 牝) 2 万h k ( z w l ) g k ( = ) ( 3 1 ) 式的p r 条件为， a o ( = ) = z - d + ( d - 1 ) j ，a ( z ) ：0 恢兹三芝麓+ h d - i ( z ) g d - i ( z 阻) = z 出- d k + ( ，0 叫j 慨z ， h o ( z w o ) h 1 ( z ) h d - 1 ( = ) h o o ( z d ) h o l ( z 。) h l o ( z d ) h 1 1 ( z d ) 凰，d l ( z o ) h 1 ，d l ( 严) h o 一1 ，o ( z d ) h d 一1 ，l ( z d ) - 一h d 一1 d 一1 ( z d ) ) = h ( ；d ) l ( z w 2 ) 一1 1 8 ( 3 3 ) 其中f = 0 ，l ，d 一1 又 g o ( z ) g l ( z ) ( z - ( d - 1 ) ) ( z - ( d - 2 ) ) g o o ( z d )g 0 1 ( z d ) g l o ( z d )g 1 l ( ：。) c o d 一1 ( 。d ) g 1 ，d l ( ：d ) g d 一1 ，o ( z d )g o 一1 ，l ( z d ) 一 g d 一1 ，d 一1 ( 。d ) ) c ( z d ) 由( 3 3 ) 、( 3 4 ) 两式知，p r 条件可化成如下形式， ，- k g ( 2 ) h ( 。) = 二矿i d d 其中场。d 是d d 阶单位阵 对于任意的两个转移函数a ( z ) 、b ( z ) ，显然满足如下两式， = z - n i d d 0o 0o 1 9 00 a ( z ) 0 o0 00 。一譬0 0：一n ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) 。 肚 一。 o 盟。 z 1 0 0 l 丛2 一 z 0 o 0z o “ 1o 0：一百 00 oo z - m i d d 0 b ( z ) 0o 2 一等0 0z m z - m0 0 名一i 00 00 0 一日( ：1 00 o t0 0l ( 3 7 ) 其中m ，n 是整数这样可借助( 3 6 ) 、( 3 7 ) 两式的结果对c ( z ) 和h ( z ) 作如下构 造， c ( z ) = 击2 。0 0 击z 一譬 00 一击a ( 。) 0 h ( z ) = z m0 0z 一警 00 0o 00 o0 南z 一譬0 01 0 一b ( z ) o0 z 警0 01 1 o 10 0z 一警 0o o0 0 南z 一譬 00 击a ( ：) 0 2 0 0 b ( z ) 0o z 一百0 0z - - m 00 o0 南：1 0 0 击。刈 ( 3 8 ) ( 3 9 ) 由( 3 8 ) 、( 3 9 ) 两式得 g ( 。) 日( 。) = 西1z 一( _ v + m ) i d 。= d z - k 而。 这里+ m = k t 由此可知：不论转移函数a ( z ) 和b ( z ) 如何变化( 即使量化) ，p r 条件( 3 5 ) 总会满足，即，p r 条件不受a ( z ) 和b ( z ) 变化的影响 由( 3 9 ) 式知， h ( z ) = z m 一1 a ( z ) b ( z ) 0 0 00 击a ( z ) 0 再结合前面多相矩阵表示( 3 3 ) 、( 3 4 ) 两式得 o 0 击z 一掣0 0 击z - ( 3 1 0 ) h o ( z ) = 。一d m 一1 a ( z d ) b o d ) 一- b b ( 2 d ) 2 一d v 一( d 一， h i ( z ) = 赤：一半， h 2 ( 2 ) = 去z 一骂型， ( 3 1 1 ) h d 一1 0 ) = 击且( 2 d ) + 击2 一d 。v 一( d - 1 2 l 同理有 g o ( ：) = 击z d 一( d 一1 ) 一击- a ( z d ) g 。= 南r 一半_ ( d 2 ) g 2 ( ；) = 南z 一掣一眦) g d l ( 。) = 吉b ( ：d ) z d 一( d 1 ) 一击a ( z d ) b ( ：d ) + 。一d a f ( 3 1 2 ) 由( 3 1 1 ) 、( 3 1 2 ) 两式易知，h k ( z ) 、c k ( z ) ( k = 1 ，2 ，d 一2 ) 是简单的线性相 位滤波器，其设计比较简单所以滤波器组的设计只需考虑如下形式： h d 一1 ( = ) = 专a ( z d ) + 古名一d 1 v ( d 一， ( 3 ，1 3 ) h o ( z ) = z - d m b ( z d ) h d 一1 ( 。) ， jg o ( z ) = 一h d 一1 ( 一z ) ， ( 3 1 4 ) ig d 一1 ( z ) = g o ( - z ) 、 注意：由上面两式知，当d 是奇数时需限定m 、n 均为偶数 至此，对上述滤波器的设计问题便可退化为只对分析滤波器组中g o ( z ) 、h d 一1 ( z ) 的设计，这大大简化了设计复杂性再由( 3 8 ) 、( 3 9 ) 两式知，不管a ( z ) 、b ( z ) 作何变化( 例如量化) ，都不会影响到我们所需要的p r 条件而由( 3 1 3 ) 式知，对 蜘( z ) 、h d 一，( z ) 的设计闯题又可转化为对a ( z ) 、b ( z ) 的设计 3 3 一种i i r 滤波器组设计方法的局限性 本节通过详细的分析，证明了文献【l3 】中所给出的算法具有一定的局限性 i i r 转移函数的形式为 h ( z ) =( 3 1 5 ) 其中l l 、l 2 是正整数，m 、b i 是实数，b o = 1 若( 31 5 ) 式中分母多项式的系数 饥= o ( i = 1 ，2 ，l 2 ) ，那么该函数就变成f i r 转移函数，即 l 1 日( z ) = 吼2 ， ( 3 。1 6 ) i = 0 先讨论a ( z ) 是i i r 情形由( 3 1 3 ) 、( 3 1 4 ) 两式知， h d 一，( z ) = 击a ( z