高中数学竞赛讲义-高中数学竞赛

高中数学竞赛资料

一、高中数学竞赛大纲

全国高中数学联赛

全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全

日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的

要求上有所提高。

全国高中数学联赛加试

全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面

有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：

1.平面几何

几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。几何不等式。几何极值问

题。几何中的变换：对称、平移、旋转。圆的嘉和根轴。面积方法，复数方

法，向量方法，解析几何方法。

2.代数

周期函数，带绝对值的函数。三角公式，三角恒等式，三角方程，三角

不等式，反三角函数。递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递

归数列的通项公式。

第二数学归纳法。平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫

不等式，一元凸函数。

复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。多项

式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*,

多项式的插值公式*。

n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。

函数迭代，简单的函数方程*

3.初等数论

同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和

方程组，高斯函数[x],费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定

理*,孙子定理*。

4.组合问题

圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。组合计数，组合几何。

抽屉原理。容斥原理。极端原理。图论问题。集合的划分。覆盖。平面凸集、

凸包及应用*。

注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。

二、初中数学竞赛大纲

1、数

整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最

小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方

数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数,

实数，有理数和实数四则运算的封闭性。

2、代数式

综合除法、余式定理；因式分解；拆项、添项、配方、待定系数法；对

称式和轮换对称式；整式、分工、根式的恒等变形；恒等式的证明。

3、方程和不等式

含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的解法，一元二次方程根的

分布；含绝对值的一元一次方程、一元二次方程的解法；含字母系数的一元

一次不等式的解法，一元二次不等式的解法；含绝对值的一元一次不等式；

简单的多元方程组；简单的不定方程（组）。

4、函数

二次函数在给定区间上的最值，简单分工函数的最值；含字母系数的二

次函数。

5、几何

三角形中的边角之间的不等关系；面积及等积变换；三角形中的边角之

间的不等关系；面积及等积变换；三角形的心（内心、外心、垂心、重心）

及其性质；相似形的概念和性质；圆，四点共圆，圆嘉定理；四种命题及其

关系。

6、逻辑推理问题

抽屉原理及其简单应用；简单的组合问题简单的逻辑推理问题，反证法;

极端原理的简单应用；枚举法及其简单应用。

三、高中数学竞赛基础知识

第一章集合与简易逻辑

一、基础知识

定义1一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，

简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表

示，元素X在集合A中，称X属于A,记为xeA,否则称x不属于A,记作尤仁4。

例如，通常用N,Z,Q,B,Q'分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数

集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用。来表示。集合分有限

集和无限集两种。

集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内

并用逗号隔开表示集合的方法，如｛1,2,3｝；描述法：将集合中的元素的

属性写在大括号内表示集合的方法。例如｛有理数｝,何%>0｝分别表示有理

数集和正实数集。

定义2子集：对于两个集合A与B,如果集合A中的任何一个元素都

是集合B中的元素，则A叫做B的子集，记为A=例如N=Z。规定空

集是任何集合的子集，如果A是B的子集，B也是A的子集，则称A与B相

等。如果A是B的子集，而且B中存在元素不属于A,则A叫B的真子集。

定义3交集，=且xeB｝.

定义4并集，AU3=｛#vwA或veB｝.

定义5补集，若A=则。|4=｛小€/,且x纪A｝称为A在I中的补集。

定义6差集,A\3=NxeA,且。

定义7集合｛也<%<。,X6氏”。｝记作开区间（4功），集合

｛乂。<x<b,XER,a<b｝记作闭区间[a,b],R记作（-oo,+oo）.

定理1集合的性质：对任意集合A,B,C,有：

（1）An（Buc）=（AnB）u（Anc）；（2）

AU(BnC)=(AUB)n(AUC);

(3)GAUGB=G(AfW⑷GAPIG3=G(AUB).

【证明】这里仅证(1)、(3),其余由读者自己完成。

(1)若XGACKBUC),则xeA,且xeB或xeC,所以xe(AnB)或

xe(An。，即xe(AnB)U(AnC);反之，xe(AC1B)LKAflC),则

了6(4("］8)或了6(4("］。)，即xeA且或xeC,即xeA且XG(BUC),

即xeAfRBUC).

(3)若xeC|AUGB,则xeGA或xeG8,所以无任4或所

以了任0(18),又xe/,所以xeG(APl8)，即GAUG8屋G(Afi8),

反之也有C(ACB)qGAUqA

定理2加法原理：做一件事有〃类办法，第一类办法中有如种不同的

方法，第二类办法中有啊种不同的方法，…，第〃类办法中有此种不同的

方法，那么完成这件事一共有N=m1+m2+…+叫，种不同的方法。

定理3乘法原理：做一件事分〃个步骤，第一步有町种不同的方法，

第二步有吗种不同的方法，…，第〃步有外种不同的方法，那么完成这件

事一共有N=n/］•恤叫，种不同的方法。

二、方法与例题

1.利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。

例1-{c^a-x1-y2,x,yeZ},求证：

(1)

(2)4Z—2eM,/eZ)；

(3)若贝

［证明］(1)因为左M—leZ,且兼一1=42一(％一1)2,所以2攵一leM.

（2）假设4Z—2eM（左eZ）,则存在x,yeZ,<4A:-2=x2-/,由

于X-y和X+y有相同的奇偶性，所以/-y2=（尤一y）（无+y）是奇数或4的倍

数，不可能等于4攵-2,假设不成立，所以4Z-2定

（3）设〃=/一丁2,4=。2一/,了,又”,〃€2,贝|Jpg=（》2一/）（/一/）

=a1a'+y2b2-x2h~-y2a2=（xa-yb）2-（xb-ya）2eM

（因为M-yaeZ,xb-yaeZ）o

2.利用子集的定义证明集合相等，先证再证则八=8。

例2设A,B是两个集合，又设集合M满足

AC\M=BC\M=AC\B,A\JB\JM=A\JB,求集合M（用A,B表示）。

【解】先证若xe（AnB）,因为AnM=AClB,所以

XGAC\M,xeM,所以（AplBqM；

再证Mq（AnB）,若xeM,则xeAU8UA/=AU8.1）若XGA,则

xe4nM=ADB；2）若xwB,则xe8nM=AnB。所以Mq（AnB）.

综上，M=A^B.

3.分类讨论思想的应用。

例3

A={J^X2-3x+2=0},B={x|x2-OY+4Z-1=0},C={X|X2-mx+2=Q],若

AL）JB=A,AdC=C,求a,机

【解】依题设，A={1,2},再由一一ax+a-1=0解得x=或x=l,

因为AU3=A，所以BqA,所以a—lwA,所以a—1=1或2,所以a=2

或3o

因为ADC=C,所以C=A,若。=0,则△=机2—8<0,即

-2^2<m<2yf2,若CH0,则leC或2eC,解得〃z=3.

综上所述，a=2或。=3;m=3或—2V2<m<2V2。

4.计数原理的应用。

例4集合A,B,C是1={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}的子集，（1）

若AU8=/,求有序集合对（A,B）的个数；（2）求I的非空真子集的个数。

【解】（1）集合I可划分为三个不相交的子集；A\B,B\A,ACIB,/中

的每个元素恰属于其中一个子集，10个元素共有3"'种可能，每一种可能确

定一个满足条件的集合对，所以集合对有3nl个。

（2）1的子集分三类：空集，非空真子集，集合I本身，确定一个子集

分十步，第一步，1或者属于该子集或者不属于，有两种；第二步，2也有

两种，…，第10步，0也有两种，由乘法原理，子集共有少°=1024个，非

空真子集有1022个。

5.配对方法。

例5给定集合/={1,2,3,…的攵个子集：A,A2,---，4,满足任何两个

子集的交集非空，并且再添加I的任何一个其他子集后将不再具有该性质，

求上的值。

【解】将I的子集作如下配对：每个子集和它的补集为一对，共得2"T对，

每一对不能同在这左个子集中，因此，k<2-'；其次，每一对中必有一个在

这女个子集中出现，否则，若有一对子集未出现，设为GA与A,并设

AC\At=0,则AaGA,从而可以在々个子集中再添加GA,与已知矛盾，

所以左N2"T。综上，k=2"-'o

6.竞赛常用方法与例问题。

定理4容斥原理；用网表示集合A的元素个数，则

|AU同=网+|百一gn耳

|AU5uq=M+|目+|q—|An4一|Anq-Nnq+|AnBnq,需要xy

此结论可以推广到〃个集合的情况，即z

n〃______n

CJAI=2|AJ-ZIAAAJ—+(-i)"1QA.

i=li=l详j\^i<j<k<nz=l

定义8集合的划分：若A】UA?U…UA“=/,且

AjAA；=0(1<i,j<n,i^j),则这些子集的全集叫I的一个〃-划分。

定理5最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数。

定理6抽屉原理：将加"+1个元素放入〃(〃>1)个抽屉，必有一个抽屉

放有不少于m+1个元素，也必有一个抽屉放有不多于m个元素；将无穷多

个元素放入〃个抽屉必有一个抽屉放有无穷多个元素。

例6求1,2,3,…，100中不能被2,3,5整除的数的个数。

【解】记/={L2,3,…,100},4=印。父00,且》能被2整除(记为2忖},

5={^1<X<100,^X},C={A|1<X<100,5|X},由容斥原理，

rinn"|「-

|AUBUC|=|A|+|B|+|C|-|AnB|-|BnC|-|CnA|+|AnBnC|=号+号+

1001001001-0-0+--1-0-0=74,所以不能被2,3,5整除的数有

56元1530

|/|TAU8UC=26个。

例7S是集合{1,2,2004}的子集，S中的任意两个数的差不等于

4或7,问S中最多含有多少个元素？

【解】将任意连续的11个整数排成一圈如右图所示。由题目条件可知

每相邻两个数至多有一个属于S,将这11个数按连续两个为一组，分成6

组，其中一组只有一个数，若S含有这11个数中至少6个，则必有两个数

在同一组，与已知矛盾，所以S至多含有其中5个数。又因为2004=182x11+2,

所以S一共至多含有182x5+2=912个元素，另一方面，当

S={*=1Lt+//=1,2,4,7,10/K2004,KeN}时,恰有同=912,且S满足题

目条件，所以最少含有912个元素。

例8求所有自然数〃(〃22),使得存在实数%,%，…,凡满足:

{,—ay|}|l<i<j<n}={1,2,.

【解】当〃=2时，ax=0,a2=1；当几=3时，ax=0,«2==3；

当"=4时,a{=0,a2=2,%=5,4=1。下证当〃25时，不存在q,生,・・・,々〃

满足条件。

令0=/<a2<---<an,则％="。；1).

所以必存在某两个下标i</,使得W=所以

a“一l=a"T一叫=a,i或a“一1=0“-%，即a?=1,所以

n(n-1),3n(n-l),

««=-2一,%=凡-1或4=--一，4=1。

(i)若)="。；一"，%-i=%T，考虑。“一2,有a“-2=a吁2或

an-2=an-a2,即生=2,设%_2=%-2,贝!]a“_|一。"一？=%-%-i，导致

矛盾，故只有％=2.

=

考虑an-3,a“-3a“_2—3—an—4，即的=3,a"_3=a“_2,

则a”—1—2=2=a2—。()，推出矛盾，I又4=3,则a“—a“_]=1=生—。2，

又推出矛盾，所以*_2=々，"=4故当〃25时，不存在满足条件的实数。

(ii)若fl4——,=1,考虑一2,有%•-2=*_]或

a“—2=ctn—生，即。3=2,圮时。3—。2—“2—”|，推出矛盾9故a“_]=a“—2。

考虑a”—3,有a”-3=a“_2或a”一3=a”—的，即的=3,于是

。3—。2—aa-i,矛盾°因此。”-2=—3,所以a“_]—。”-2=1=%-%，

这又矛盾，所以只有4_2=/，所以〃=4。故当〃25时，不存在满足条件

的实数。

例9设人={1,2,3,4,5,6),B={7,8,9,……，n),在A中取三

个数，B中取两个数组成五个元素的集合A,,

i=l,2,…,20，HPlA.|<2,1<z<JK20.求〃的最小值。

【解】〃min=6

设B中每个数在所有片中最多重复出现攵次，则必有人《4。若不然,

数加出现女次(%>4),则弘>12.在阳出现的所有Aj中，至少有一个A中

的数出现3次，不妨设它是1,就有集合{1,

at,a1,m,bx}{l,a3,a4,/n,&2},{\,a5,a6,m,b3},其中《£A,14i46,为满足题

意的集合。见必各不相同，但只能是2,3,4,5,6这5个数，这不可能

所以ZW4.

20个4中，B中的数有40个，因此至少是10个不同的，所以〃216。

当〃=16时，如下20个集合满足要求：

{1,2,3,7,8},{1,2,4,12,14},{1,2,5,15,16},{1,

2,6,9,10),

{1,3,4,10,11},(1,3,5,13,14),(1,3,6,12,15},{1,

4,5,7,9),

{1,4,6,13,16},(1,5,6,8,11),{2,3,4,13,15},{2,

3,5,9,11),

⑵3,6,14,16),(2,4,5,8,10),{2,4,6,7,11),{2,

5,6,12,13},

{3,4,5,12,16},{3,4,6,8,9),{3,5,6,7,10},{4,

5,6,14,15}o

例10集合{1,2,…，3n}可以划分成〃个互不相交的三元集合{x,y,z}

其中x+y=3z,求满足条件的最小正整数

【解】设其中第i个三元集为{七，y,z,.},,•=1,2,…,〃，则

1+2+…+3〃=£4z,.,

所以3〃(3;+1)=4£z,。当〃为偶数时，有冈3〃，所以北8,当〃为奇

2i=i

数时，有8|3〃+1,所以〃25,当〃=5时，集合{1,11,4},{2,13,5},

{3,15,6},{9,12,7},{10,14,8}满足条件，所以”的最小值为5。

第二章二次函数与命题

一、基础知识

1.二次函数：当a关0时，yuax^+bx+c或f(x)=ax：'+bx+c称为关于x的

二次函数,其对称轴为直线x=-2,另外配方可得f(x)=a(x-xM+f(x。)，其

2a

b

中X="—,下同。

02。

2.二次函数的性质：当a>0时，f(x)的图象开口向上，在区间(-8,

x。］上随自变量x增大函数值减小(简称递减)，在［x。，-8)上随自变量增

大函数值增大(简称递增)。当a<0时，情况相反。

3.当a>0时,方程f(x)=0即ax'+bx+cR…①和不等式ax'+bx+c)。…②

及ax,bx+cVO…③与函数f(x)的关系如下(记△=t>2-4ac)。

1)当△>()时，方程①有两个不等实根，设X1,X2(XKX2),不等式②和不

等式③的解集分别是{x|x<X|或x>xj和{xX1<X<X2},二次函数f(x)图象与X

轴有两个不同的交点，f(x)还可写成f(x)=a(x-Xi)(x-x2).

2)当△=()时，方程①有两个相等的实根不等式②和不

2a

等式③的解集分别是{xk#-2}和空集0,f(x)的图象与X轴有唯一公共

2a

点。

3)当△<()时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是R和

0.f(x)图象与x轴无公共点。

当a<0时，请读者自己分析。

4.二次函数的最值：若a〉0,当x=x<>时，f(x)取最小值f区卜,"。"，

4a

若a<0,则当x=x()=-2时，f(x)取最大值f(x())=^^~~—.对于给定区间［m,n］

2a4a

上的二次函数f(x)=ax"bx+c(a>0),当x()G［m,n］时，£(*)在［111,n］上的最

小值为f(Xo)；当x0<m时。f(x)在［m,n］上的最小值为f(m)；当x0>n时，f(x)

在［m,n］上的最小值为f(n)(以上结论由二次函数图象即可得出)。

定义1能判断真假的语句叫命题，如“3>5”是命题，“萝卜好大”不

是命题。不含逻辑联结词“或”、“且“、“非”的命题叫做简单命题，由简单

命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。

注1“p或q”复合命题只有当p,q同为假命题时为假，否则为真命

题；“P且q”复合命题只有当p,q同时为真命题时为真，否则为假命题；p

与“非p”即“p”恰好一真一假。

定义2原命题：若p则q(p为条件，q为结论)；逆命题：若q则p；

否命题：若非p则q；逆否命题：若非q则非p。

注2原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。

注3反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否

命题。

定义3如果命题“若p则q”为真，则记为pnq否则记作pwq.在命

题''若p贝(]q"中，如果已知p=>q,则p是q的充分条件；如果q=>p,则称

P是q的必要条件；如果pnq但q不=>p,则称p是q的充分非必要条件；

如果p不=>q但p=>q,则p称为q的必要非充分条件；若pnq且qnp,

则P是q的充要条件。

二、方法与例题

1.待定系数法。

例1设方程x2-x+l=0的两根是a,B,求满足f(a)=B,f(B)=

a,六1)=1的二次函数f(x).

【解】设f(x)=ax2+bx+c(ak0),

则由已知f(a)=B,f(B)=a相减并整理得(a-p)[(a+0)a+b+l]=O,

因为方程x?-x+l=O中△/(),

所以am,所以(a+B)a+b+l=O.

又a+B=1,所以a+b+l=O.

又因为f(l)=a+b+c=l,

所以cT=l,所以c=2.

又b=-(a+l),所以f(x)=ax，-(a+l)x+2.

再由f(a)=B得aaJ(a+1)a+2=0,

所以aa2-aa+2=a+B=1,所以aa2-aa+1=0.

即a(a2-a+l)+l-a=0,即l-a=0,

所以a=l,

所以f(x)=x2-2x+2.

2.方程的思想。

例2已知f(x)=ax?-c满足-4Wf(l)WT,TWf(2)W5,求f⑶的取

值范围。

【解】因为-4Wf6=a-cWT,

所以lW-m)=c-aW4.

QC

又-1Wf(2)=4a-cW5,f(3)=-f(2)--f(1),

33

所以§X(-l)+-^f(3)^-x5+-x4,

3333

所以TWf(3)W20.

3.利用二次函数的性质。

例3已知二次函数f(x)=ax、bx+c(a,b,cGR,a/0),若方程f(x)=x

无实根，求证：方程f(f(x))=x也无实根。

【证明】若a>0,因为f(x)=x无实根，所以二次函数g(x)=f(x)-x图象

与x轴无公共点且开口向上，所以对任意的xWR,f(x)-x>0即f(x)>x,从而

f(f(x))>f(x)o

所以f(f(x))>x,所以方程f(f(x))=x无实根。

注：请读者思考例3的逆命题是否正确。

4.利用二次函数表达式解题。

例4设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)=x的两根x”X2满足

0<Xi<x2<—,

a

(I)当xG(0,xj时,求证:x<f(x)<Xi；

(ID设函数f(x)的图象关于x=x。对称，求证：x0<^-.

2

【证明】因为xi,X2是方程f(x)-x=0的两根，所以

f(x)-x=a(x-xi)(x-x2)，

即f(x)=a(x-xi)(x-x2)+x.

(I)当x£(0,x)时,x-Xi<0,x-x2<0,a>0,所以f(x)>x.

其次f(X)-X1=(X-X1)[a(x-x2)+l]=a(x-Xi)[x-x2+-]<0,所以f(x)<Xi.

综上，x<f(X)<Xi.

:r

(II)f(x)=a(x-xi)(x-x2)+xax2+[l-a(xi+x2)]x+axix2,

所以x0=“a-1=百上火

22a

XA---------

~a

所以Xo<£.

5.构造二次函数解题。

例5已知关于x的方程(ax+D'aYa-x9，a>l,求证：方程的正根比1

小，负根比T大。

【证明】方程化为2a2x2+2ax+「a2=0.

构造f(x)uZaV+Zax+l-a。，

f⑴=(a+l)z>0,f(-l)=(a-l)2>0,f(0)=l-a2<0,即△>(),

所以f(x)在区间(-1,0)和(0,1)上各有一根。

即方程的正根比1小，负根比T大。

6.定义在区间上的二次函数的最值。

例6当x取何值时，函数y='”厂:取最小值？求出这个最小值。

(1+1)2

【解】y=l-,令一5——=u,贝!]0<u<lo

+1(x2+1)x2+1

+史1

11O

且当〃=一即x=±3时，y„=—.

10mi20

例7设变量x满足x2+bxW-x(b〈T),并且x'bx的最小值是-,，求

2

b的值。

【解】由x,+bxW-x(b〈T),得OWxW-(b+1).

i)--<-(b+l),即bW-2时，x?+bx的最小值为-£,-£=—2，所以

2442

b2=2,所以。=±五(舍去)。

ii)>_(b+l),即b>-2时，x"+bx在［0,-(b+1)］上是减函数，

2

1Q

所以x+bx的最小值为b+l,b+l=-—,b=--.

22

综上，b=--.

2

7.一元二次不等式问题的解法。

22

例8已知不等式组/一'+“一”<°①②的整数解恰好有两个，求

x+2a>l

a的取值范围。

【解】因为方程x'-x+a-aW)的两根为Xi=a,x2=l-a,

若aWO,则x〈X2.①的解集为a<x〈l-a,由②得x>l-2a.

因为l-2ael-a,所以aWO,所以不等式组无解。

若a>0,i)当O<a<L时，xKx2,①的解集为a<x〈ba.

2

因为因a〈x<l-a〈l,所以不等式组无整数解。

ii)当a=，时，a=l-a,①无解。

2

iii)当a>L时，a>l-a,由②得x>L2a,

2

所以不等式组的解集为l-a<x<a.

又不等式组的整数解恰有2个，

所以a-(1-a)>1且a-(1-a)W3,

所以l〈a<2,并且当l〈aW2时，不等式组恰有两个整数解0,1。

综上，a的取值范围是l〈aW2.

8.充分性与必要性。

例9设定数A,B,C使得不等式

A(x-y)(x-z)+B(y-z)(y-x)+C(z-x)(z-y)20①

对一切实数x,y,z都成立，问A,B,C应满足怎样的条件？(要求写出

充分必要条件，而且限定用只涉及A,B,C的等式或不等式表示条件)

【解】充要条件为A,B,C与0且A2+B2+C2W2(AB+BC+CA).

先证必要性，①可改写为A(x-y)2-(B-A-C)(y-z)(x-y)+C(y-z)2^0②

若A=0,则由②对一切x,y,z《R成立，则只有B=C,再由①知B=C=O,

若AHO,则因为②恒成立，所以A>0,A=(B-A-02(y-z)2-4AC(y-z)2^0m

成立，所以(B-A-C)-4ACWO,即A2+B2+C2^2(AB+BC+CA)

同理有B20,C20,所以必要性成立。

再证充分性，若ANO,B20,C^O3.A2+B2+C2^2(AB+BC+CA),

1)若A=0,则由B2+C?W2BC得(B-CVWO,所以B=C,所以△=(),所以②

成立，①成立。

2)若A>0,则由③知△或()，所以②成立，所以①成立。

综上，充分性得证。

9.常用结论。

定理1若a,bGR,aj-bIW|a+b|WIa'+b.

【证明】因为-|a|WaW|a|,—|b|WbW|b|,所以-(|a|+|b|)Wa+bW

|a|+|b|,

所以|a+b|W|a|+b(注：若m>0,贝！J-mWxWm等价于|x|Wm).

又|a|=|a+b-b|W|a+b|+1-b|,

即|a|-|b|W|a+b|.综上定理1得证。

定理2若a,bWR,则a'b'eZab；若x,yGR',则x+y»

(证略)

注定理2可以推广到n个正数的情况，在不等式证明一章中详细论证。

第三章函数

一、基础知识

定义1映射，对于任意两个集合A,B,依对应法则f,若对A中的任

意一个元素x,在B中都有唯一一个元素与之对应，则称f：A-B为一个映

射。

定义2单射，若f：A-B是一个映射且对任意x,yGA,xwy,都有

f(x)#f(y)则称之为单射。

定义3满射，若f：A-B是映射且对任意yWB,都有一个xWA使得

f(x)=y,则称f：A-B是A到B上的满射。

定义4一一映射，若f：A-B既是单射又是满射，则叫做一一映射，

只有一一映射存在逆映射，即从B到A由相反的对应法则〃构成的映射，

记作f-1：A-*Bo

定义5函数，映射f：A-B中，若A,B都是非空数集，则这个映射为

函数。A称为它的定义域，若xdA,yGB,且f(x)=y(即x对应B中的y),

则y叫做x的象，x叫y的原象。集合｛f(x)|x£A｝叫函数的值域。通常函数

由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，

如函数y=3&T的定义域为｛x|x》O,xGR｝.

定义6反函数，若函数f：A~B(通常记作y=f(x))是一一映射，则

它的逆映射「二A-B叫原函数的反函数，通常写作丫=H&).这里求反函数

的过程是:在解析式y=f(x)中反解x得乂=『(y),然后将x,y互换得y=f-1(x),

最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如：函数y=—1—的反函数是

1-X

y=l-—(x*0).

x

定理1互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称。

定理2在定义域上为增(减)函数的函数，其反函数必为增(减)函

数。

定义7函数的性质。

(1)单调性:设函数f(x)在区间I上满足对任意的心,x2ei并且xKxz,

总有f(x))<f(x2)

(f(x)>f(x2)),则称f(x)在区间I上是增(减)函数，区间I称为单调

增(减)区间。

(2)奇偶性：设函数y=f(x)的定义域为D,且D是关于原点对称的数

集，若对于任意的xWD,都有f(-x)=-f(x),则称f(x)是奇函数；若对任意

的xGD,都有f(-x)=f(x),则称f(x)是偶函数。奇函数的图象关于原点对

称，偶函数的图象关于y轴对称。

(3)周期性：对于函数f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x

取定义域内每一个数时，f(x+T)=f(x)总成立，则称f(x)为周期函数，T称

为这个函数的周期，如果周期中存在最小的正数T。,则这个正数叫做函数f(x)

的最小正周期。

定义8如果实数a<b,则数集｛x[a<x<b,xGR｝叫做开区间，记作(a,b),

集合｛x|aWxWb,x@R｝记作闭区间[a,b],集合｛x[a<xWb｝记作半开半闭区

间(a,b],集合｛x|aWx〈b｝记作半闭半开区间[a,b),集合｛x|x>a｝记作开

区间(a,+8),集合｛xlxWa｝记作半开半闭区间(-8,a].

定义9函数的图象，点集｛(x,y)|y=f(x),xGD｝称为函数y=f(x)的图

象，其中D为f(x)的定义域。通过画图不难得出函数y=f(x)的图象与其他

函数图象之间的关系(a,b>0)；(1)向右平移a个单位得到y=f(x-a)的图象；

(2)向左平移a个单位得到y=f(x+a)的图象；(3)向下平移b个单位得到

y=f(x)-b的图象；(4)与函数y=f(-x)的图象关于y轴对称；(5)与函数

y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称；(6)与函数y=F(x)的图象关于直线

y=x对称；(7)与函数y=-f(x)的图象关于x轴对称。

定理3复合函数y=f[g(x)]的单调性，记住四个字：“同增异减例

如y=一!一，U=2-X在(-8,2)上是减函数，y=L在(0,+8)上是减函数，

2-xu

所以y=—!—在(-8,2)上是增函数。

2-x

注：复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证，求导

之后是显然的。

二、方法与例题

1.数形结合法。

例1求方程=：的正根的个数.1k/

【解】分别画出丫=日-1|和丫=:的图象，由________Y^~>

图象可知两者有唯一交点，所以方程有一个正根。\

例2求函数'I

f(x)=-3x2—6x+13-yjx4-x24-1的最大值。

【解】f(x)=，(♦-2)2+(X-3)2-^(x2-I)2+(x-0)2,记点P(x,

x-2),A(3,2),B(0,1),则f(x)表示动点P到点A和B距离的差。

因为|PA|-|PAW|AB=532+(2—当且仅当P为AB延长线与

抛物线y=x?的交点时等号成立。

所以f(x)*=J话.

2.函数性质的应用。

例3设x,y£R,且满足1,求x+y.

[(y_1尸+1997(y_1)=1

【解】设f(t)=t，1997t,先证f(t)在(-8,+oo)上递增。事实上,

若a<b,贝(If(b)-f(a)^,-a^+WO7(b-a)=(b-a)(b'+ba+a2+1997)>0,所以f(t)

递增。

由题设f(xT)=T=f(by),所以xT=l-y,所以x+y=2.

例4奇函数f(x)在定义域(-1,1)内是减函数，Xf(l-a)+f(l-a2)<0,

求a的取值范围。

【解】因为f(x)是奇函数，所以f(1-1)=4(1-1),由题设

f(l_a)<f(a2_l)o

又f(x)在定义域(-1,1)上递减，所以TG-a〈a2-l〈l,解得(Ka<l。

例5设f(x)是定义在(-8,+8)上以2为周期的函数，对k£Z,用

。表示区间(2k-l,2k+l],已知当xGl。时,f(x)-x2,求f(x)在h上的解析

式。

【解】设xWh,则2k-"xW2k+l,

所以f(x-2k)=(x-2k)2.

又因为f(x)是以2为周期的函数，

所以当xGIk时，f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2.

例6解方程:

(3x-l)(79X2-6X+5+1)+(2X-3)(74^12^+13+1)=0.

【解】令m=3xT,n=2x-3,方程化为

m(J//+4+l)+n(J/+4+1)=0.①

若m=0,则由①得n=0,但m,n不同时为0,所以mH。，n/0.

i)若m>0,则由①得n<0,设f(t)=t(J产+4+1),则f(t)在(0,+°°)

4

上是增函数。又f(m)=f(-n),所以m=-n,所以3xT+2x-3=0,所以x=—.

5

4

ii)若m<0,且n>0。同理有m+n=O,x=—,但与m〈0矛盾。

5

综上，方程有唯一实数解x=±

5

3.配方法。

例7求函数y=x+J2x+1的值域。

【解】y=x+j2x+l=l[2x+l+2j2x+l+l]-l

2

=—(5/2x+l+1)-1^—-1=--.

222

当x=-L时，y取最小值-L,所以函数值域是[-L,+8)。

222

4.换元法。

例8求函数y=(Jl+x+Jl-x+2)(J1-炉+1),xC[0,1]的值域。

【解】令Jl+x+Jl-X=u,因为xW[0,l],所以2Wu?=2+2Jl-FW4,

所以&WuW2,所以巫士2W"2W2,1<—<2,所以y="2,uk

2222

[V2+2,8]o

所以该函数值域为[2+及，8]o

5.判别式法。

/-3x+4

例9求函数y=的值域。

1+3尤+4

【解】由函数解析式得(y-l)x2+3(y+l)x+4y-4=0.①

当y#l时，①式是关于x的方程有实根。

所以△=9(y+l)2-16(y-l)220,解得

7

又当y=l时，存在x=0使解析式成立，

所以函数值域为［L,7］。

7

6.关于反函数。

例10若函数y=f(x)定义域、值域均为R,且存在反函数。若f(x)在

(-°°,+8)上递增，求证：y=fT(x)在(-8,+8)上也是增函数。

1

【证明】设x《X2,且yi=fT(x),y2=f(x2),则Xi=f(yJ,x2=f(y2),若

72丫2,则因为f(x)在(-8,+8)上递增，所以Xi》x2与假设矛盾，所以yi<y2o

即y=「'(x)在(-8,+8)递增。

例11设函数f(x)用叵豆，解方程：f(x)=fi(x).

V3x+2

71

【解】首先f(x)定义域为(-8,--)U,+8);其次，设Xi,X2

34

是定义域内变量，且xKx2<-2；但上1—史山=一5。2-修)_>0(

33X2+232+2(3X2+2)(3用+2)

所以f(x)在(-8,-2)上递增，同理f(x)在+8)上递增。

34

在方程f(x)=『(x)中，记f(x)=f-'(x)=y,则y20,又由「'(x)=y得

f(y)=x,所以x20,所以x,ye［-L,+°°).

4

若x#y,设x〈y,则f(x)=y〈f(y)=x,矛盾。

同理若x>y也可得出矛盾。所以x=y.

即f(x)=x,化简得3x'+2x"-4xT=0,

即(x-l)(3X4+5X3+5X2+5X+1)=0,

因为x20,所以3X'+5X、5X2+5X+1>0,所以X=L

第四章几个初等函数的性质

一、基础知识

1.指数函数及其性质：形如y=a*(a>0,aw1)的函数叫做指数函数，其

定义域为R,值域为(0,+8),当0〈a〈l时，y=a”是减函数，当a>l时，y=a*

为增函数，它的图象恒过定点(0,1)。

1m____1_m［

2.分数指数嘉：a"=后,=行,。一"=3。

a”^Jam

3.对数函数及其性质：形如y=logax(a>0,aH1)的函数叫做对数函数,

其定义域为(0,+8),值域为R,图象过定点(1,0)o当0〈a〈l,y=logax

为减函数，当a>l时，y=logaX为增函数。

4.对数的性质(M>0,N>0)；

x

1)a=M<=>x=1ogaM(a>0,aw1)；

2)loga(MN)=logaM+logaN；

M、

3)loga(—)=logaM-logaN；4)10gMflogaM；,

Na

5)loga=-1ogaM；6)alnguM=M；7)logab二"机”(a,b,c>0,a,cwl).

nlogca

5.函数y=x+3(a>0)的单调递增区间是(-8,-和距,+oo),单调递

X

减区间为［-右⑹和(0,、5］。(请读者自己用定义证明)

6.连续函数的性质:若a〈b,f(x)在［a,b］上连续,且f(a)•f(b)<0,

则f(x)=O在(a,b)上至少有一个实根。

二、方法与例题

1.构造函数解题。

例1已知a,b,c£(T,1),求证：ab+bc+ca+l>0.

【证明】设f(x)=(b+c)x+bc+1(xG(T,1)),则f(x)是关于x的一

次函数。

所以要证原不等式成立，只需证f(T)>0且f(l)>0(因为.

因为f(-l)=-(b+c)+bc+l=(l-b)(l-c)>0,

f(l)=b+c+bc+a=(l+b)(l+c)>0,

所以f(a)>0,即ab+bc+ca+l>0.

例2(柯西不等式)若冉,a?,…,a”是不全为0的实数,b(,b2,

GR,则(£>：).(力；也尸，等号当且仅当存在〃eR,使a尸〃"，

1=1J=11=1

i=l,2,…，n时成立。

22

【证明】令f(x)=(a,)X-2(a；bt)x+b--(a,.x-bt),

/=1z=li=l/=!

因为fa”。，且对任意xWR,f(x)20,

/=]

_n_n_n

所以△=40。也)-4(£«；)5斤)力.

i=li=l/=1

展开得(£/)这"注电区也)2。

i=li=l/=!

等号成立等价于f(x)=0有实根，即存在〃，使ai=〃b,,i=l,2,…，n。

例3设x,yWR\x+y=c,c为常数且cW(0,2],求u=[x+!)y+lj

的最小值。

[解[u=fx+—Yy+—=xy+—+—+—>xy+—+2•/—•—

I认y)yXxyxyx

=xy+——+2.

孙

令xy=t,贝1]0<t=xy<"..=J,设f(t)=t+-,0<t^—.

44t4

2/2~

因为0〈c<2,所以所以f(t)在O,J上单调递减。

414

所以f(t)Mn=f(J)=J+2,所以U2J+：+2.

44c4c2

当*=丫=£时，等号成立.所以u的最小值为巨+：+2.

24c2

2.指数和对数的运算技巧。

例4设p,qWR'且满足log9p=logl2q=log16(p+q),求幺的值。

P

【解】令log9p=logi，q=logi6(p+q)=t,则p=9',q=12',p+q=16',

所以9t+12'=161,即1+0=停).

记x=2=*=(g),则l+x=x'解得x='*f.

又g>0,所以幺=生叵.

PP2

例5对于正整数a,b,c(aWbWc)和实数x,y,z,w,若a*=b'=c'=70",

且一+—+—=一,求证：a+b=c.

xyzw

【证明】由a"=b'=c'=70”取常用对数得xlga=ylgb=zlgc=wlg70.

所以，lga=—lg70,