（基础数学专业论文）生灭过程的游程理论.pdf

摘要 本文介绍了生灭过程在。状态的局部时、逆局部时、- p 硎s s 帆点过程、游程及游程 测度从而建立了生灭过程的游程理论，并用它来研究生灭过程在附加态正则且瞬时时的 轨道性质引出了生灭过程的游程在时刻一o 时的概念，即初始变量，并利用游程在游 程测度下的马氏性及次转移函数( 岛( ) ) 幻。e 的进入律得到了游程的初始变量e ( o ) 取值在 不同状态时的相关结论最终找到了生灭过程预解矩阵的游程测度表达式 关键词：局部时；逆局部时；游程测度；尸嘶s s o n 点过程；进入律 a b s t r a c t i l lt h kp a p e i ，w cp i t * e n tt h el o c a lt i i l l e i n v e r s el o ( ：a it i l l l e ，p o i s s o l li ) o i l l tp r 。c c s s ，e x n i l s l o i i e x 吼l r s i o l li i l e a s u r eo fb i r t l la i l ( 1d e a t hp r o c c sw h e n 王t 1 0 ! a w a yf r o i l lo 。 b u i l d l l l g t 1 1 ee x c u r s i o nt h e o i yo fb i r t ha n dd e a t hp r o c e s s ，a n d1 1 s i n gw 1 1 i c hw ei n v e s t i g a t et 1 1 es a n l l ) l e p a t ho fb i r t ha n dd e a t hp r o c e s sw h e n 。r e g u l a ra n di n s t a n t a 皿e o u s 1 v 娓i n t r o d u c et h e c o n c e p ta stt e n d st oo + ，i e i n i “a l 、，a r i a b l e u s i n gt h em a r i c 。vp r o p e r t yo fe x c u r s i o n1 1 n d e r e x c u r s i o nm e a s u r ea n dt h ee n t r a n c e1 a wo fs e c o n d a r yt r a i 商t i o nf 1 1 n e t i o i l ( 西( t ) ) e ，、e o b t a i n 七h er e l e n tr e s u l t sw h e nt h ei n i t i a lv a r i a b l ee ( o ) t a k i n gv a l u ei ns t a t es p a c e i n c o n c l u s i o n ，w eo b t a i nt h er e p r e s e n t a t i o ni ne x c u r s i o nm e a s u r eo fm a t r i xr e s 0 1 v e n t k e yw b r d s ： l o c a lt i m e ；i n v e r s ei o c a lt i m e ；e x c u r s i o nm e a s u r e ：p o i s s o np o i n tp r o c e s s e n t r a n c el a w 郑重声明 本人的学位论文是在导师指导下独立撰写并完成的，学位论文没有剽窃抄袭等违反学 术道德学术规范的侵权行为，否则，本人愿意承担由此产生的一切法律责任和法律后果， 特此郑重声明 学位论文作者 2 0 0 6 年4 月2 0 日 方 而 1 引言及生灭过程的刻画 生灭过程是单流出m o r o 口过程的一个特例，它在自然科学和许多实际问题( 如排队 论，规划论，生物学，物理学，化学，传染病学等) 中有着重要应用，一些著名的学者在这方面 做过许多深入而重要的研究对于这些可以参看f e l l e r ，d g k e n d a n ，k l c 1 1 u n g ，g e h r e u t e r 侯振挺，郭青峰，以及b h a r u c h a - r e i d ，s k a r l i n ，j m c g r e g o r 等人的相关文献我们 已知的重要结论，即生灭过程在r 时的构造问题，由如下三个基本定理给出( 参看 文献 7 j ) ( 1 ) 、s o 。时： 基本定理1 ( i ) 设已给可分j 日吖e f 可测q 过程x = 五，o ) ，使得r 。，s ， 则它的特征数列弘q ，n 三1 满足条件： p + 口= 1 ， 0 r n c n o o ， n = u r 。= o ( n 兰0 ) ，如p = 0 ， ( i i ) 反之，设已给一列非负数p ，q ，n 1 ，满足； p + 口= 1 ， 0 o 0 ， n = u = 0 ( n o ) ，如p = o ， 则存在唯一q 过程x = 五，t o ，其特征数列重合于此已给数列，而且此过程的转移概 率p u ( ) = ， 蚺p ( f ) ，这里露( ) 是( q ，矿n ) 过程的转移概率，而矿( ，i ) 一( e 分、一、t ，妒) 由如下几式决定： 瑙麦 nc j 。 = k + ! 三 ， 其中0 a 。= r fc f 。 。 = 蔫竺暑杀 k = 而i ( 2 ) 、s = 。时： 基本定理2 ( i ) 设已给可分口o r e f 可测q 过程x = 咒，2o ，使得r o 。，s = o 。， 则它的特征数列( s j ) 满足条件：o 乏勺码 。o ( i i ) 反之，设已给一列非负数( 勺) 满足：o 曼s ，吩 。o ，则存在唯一q 过程x = 蜀，t o ) ，其特征数列重合于此已给数列，而且此过程的转移概率黝( t ) = 0 骢趟? ( ) ， 这里戎? ( t ) 是( q ，s ( n ) 过程的转移概率，而s ( n ) = ( s 护，s 轷1 ) 由s ! = ：l 决定 s j 1 = o ( 3 ) 、对s = o 。和s o 。的统一处理： 基本定理3 ( i ) 对任意的q 过程x 使得r 。，则它的特征数列满足条件： p + g = 1 ， 0 n r 0 ， r 。= 0 ( n o ) ，如p = o ， 口= o ，如s = ( i i ) 反之，如果给定满足如上关系的非负数列，则存在唯一q 过程x = 五，t 三o ，其特 征数列重合于此已给数列，而且此过程的转移概率满足黝( ) = 墨恐p g 。( f ) ，这里p 孑( ) 是( q ，y ( n ) d 0 0 6 过程的转移概率，而分布y ( “) = ( 毋，毋) 如下确定： 如p = o ，则令口( 竹= o ( o 茎j o ，则令砖= u = o ，n 一1 ) 其中0 o ) ；阮 o ( o ) 并定义。o = 0 州归熙l 班州巩1 ： 概率为o ( ) ”。( 参看文献【1j ) 对x 我们引入q 的特征数 m z 2 e t = j r = s= 磊= 磊= z = 麦+ 蓦若巍，c 一未舵。， 也。乏；以“一l 6 l k 瓯一一1 6 0 ”一 三+ 量? 血粤，( i o ) 乜e ；n l n 件1 。+ n l + 啦十十l 量批 z = 0 e 。 0 1 + 譬等， ( n o ) 昌6 1 k k v l i m 乙 其概率意义为： m 。是自i 出发，首次到达i + l 的平均时间；r 是自0 出发，沿着过程的轨道首次到 达。的平均时间 当。是“反射壁”时，e 。是自i 出发首次到达j l 的平均时间；而s 则是自。出 发首次到达0 的平均时间 我们知道：当且仅当j r = 。时，存在唯一的q 过程； 当r o ，将长度大于d 的游程区间从左到右排列，令9 毛) 和蕺) 分别表示第m 个长度大于6 的游程区间的左端点和右端点，若长度大于6 的游程区间的总个数小于m ， 则令9 墨( u ) = d ( u ) = 。 显然： 讲= i n f 乃，x = 。) ， 其中正= i n f 佾x 。在( s 一坑s 】上恒不等于。) = 9 f + 6 d l = i n f t 7 1 m + 1 1 五= ) ， 其中7 1 m + 1 = i n f s ；s 磙，五在t ( s 一正s 上恒不等于o 。，= 以+ 1 + d 因此，由此得到的嚷，m = l ，2 ，3 ，都是关于 五) 的停时 定理23 ：设亿) 是x 的可加泛函，若对任意u q ，似x 。) = 。) 的闭包包含单 调增连续函数f ) 的e 船e g u e s 亡i e u e s 测度的支撑，则存在常数k o 使得对任意 i e ，p n 成立：“= k 厶，0 证明与文献 3 】的3 3 中的类似 推论23 ：对任意u q ，t 兰o ，令m ) ：= 石o o 。 ( 咒) d s = m e n s s ；sst 且托= o c ， 则存在d2o ，使得对任意i e ，p n 有： k = d “v 0 证明与文献f 2 1c 1 1 印t e ri v 的2c o r o l l a r y6 类似 定义2 2 ：称d 为x 在。状态的漂移系数 定理2 4 ：x 在。状态的漂移系数d = o 证明：由文献 1 第1 4 章1 4 2 定理4 知： m e n s s 。) = o 9 其中s 。( u ) = t ：x ( u ) = o 。) 故 所以，d = 0 证毕 ，n = o ，v t 0 逆局部时的引人： 令 胁( u ) ：= i n “s o ；上。( u ) t ) ，v c j n ，v t o ； 何( u ) ：= i n f s o ；l 。( u ) t ，。q ，v o ； 称过程 债，2o ) 为局部时 厶，z o ) 的右逆； 称过程 阿，o ) 为局部时 厶，t2o 的左逆 显然，肛) 是单调增的右连续函数；矿) 是单调增的左连续函数； 且厅) = l 碘风) 定理2 5 ：( i ) 对任意t2o ，屈及阿均为停时 ( i i ) 胁，兰o 是单调增右连续适应于 玩) 脚的过程，且鼠 5 ；x 。= o o ( 在 航 “，( t j ) = 。c ) u 卜的坐标过程记作 f ( f ) t ，o ，由此产生的盯代数口 e ( t ) ，t o 记作“o 称( u ，“o ) 为生灭过程x 的游程空间并称每个似 ，为游程 定义2 4 ：对任意u ，令口( w ) ：= i n f u o ；( 札) = 。) ，称口( w ，) 为游程t “的生存时 间 显然，口是“o 可测的，且。可以取值。 对任意u g 令d v ) ：= 0 ；库一) 屈) ) 对任意t d y ) ，令 k ) ( u ) o 侥一魔 u 8 t 一 显然，k ) 矿，即 k ，t d y ) 是个游程值过程 令 o ；凤) = 。) 当e ) 时，再) o 。，成) = o 。，且在t ( 盯) ，。) 上五) 恒不等于。 定理2 7 ： k ，t d y 】是取值于( 玑“o ) 的“杀死”时刻为( 的p 嘶s s 点过程，其特征 测度记作p ( ) 即对任意b 甜o ，若令a 垆：= c | r d 如茎；k b ) = 在反以前的且在b 中的游程的 个数则 a 垆，f2o ) 是一个参数为卢( b ) 的p 嘶5 5 0 n 过程 证明参看文献f 3 1 第i 章定理3 1 8 注：由p 缸s s o n 点过程 k ，d y ) 的定义知户( ) 是游程空间( 阢“o ) 上的口有限测度 称，) ( ) 为生灭过程x 的游程测度 约定：对于( u ，“o ) 上的任意可测函数f ( ) ，将积分儿f ( w ) 户( d 眦) 仍记作户( f ) 斯鼢 ，_ij(1_l 3 生灭过程在游程理论下的相关结论 定理31 ：对于任意的o t 1 如 0 ，有： j ( 。e “p 。( 五= j ) 拈z 。e 枷讹) = 渺e 。( z ”e “d 厶) 证明：由文献 3 第1 i i 章3 中游程公式可得 定理3 3 ：对于任意的t ( o ，o 。) ，令( t ) ：= 卢( 盯 ) ，( o 。) ：= p ( 口= o 。) 则有： ( i ) ( ) 是( o ，o 。 上的单调减右连续函数 ( i i ) 对于任意的f o ，( t ) 0 ，有兀( ) 。 证毕 定理3 4 ：( ) 满足规范性条件： 出2 薹序嘲t ) 跏= - 上e “n ( t ) 出2 堇上8 。户( e ( ) = i ) 出= 1 证明：由积分变换知e 。d 厶= ；产e 一1 觑以 1 2 故 得证 l = e 。( 舻e 。d l ) = e 。( j 扩c 一胁出) = 旷e 。( e “西) m = 后”e x p 一j e 一7 ( r ) d 7 d t = 尸e 1 ( r ) l 刎- 1 令豇( ( o ，6 】) ：= ( o ) 一( 6 ) ， vo 0 ，i 正 有 f ( e x p 卜a 侥) = e x p 一射e 。( r ) 办) 证明：( 1 ) 当 k ，t d y ) 是不中断的p 讲s s 帆点过程时( 即所有游程区间的长度都有限) ； 此时，以概率1 有( = 首先， 聩，t o ) 是个j d 疵s s o n 点过程，其特征测度为( 咖) ： 事实上，腹取值于 o ，o 。) 且岛) = 风) 一盯) ，vu n 对于任意的兰0 ，o n 6 ，考虑 批( u ) ：= e o r “8 ；s t ，风( o ，6 * 表示口在以前的跃度在( n ，6 中的跳跃点的个数，即在时刻觑以前游程的生存时间 在( n ，纠中的游程的个数 因而，m = e 。州 s ；s 茎t ，口( k ) ( n 6 j ) 由于 k ，t o ) 是个特征测度为p ( ) 的p 们s s 帆点过程 所以 m ) 创是个参数为卢( o 口6 ) 的p 嘶s s 0 扎过程 而p ( 口 0 ，i 正t ，由e 口一i n c i n e 公式及分部积分法知 e ；( e x p 一a 岛) ) = e x p 一t 铲( 1 一e 一1 7 ) 丽( 打) = e x p 一她铲e 。7 ( r ) 出 ( 2 ) 当 k ，t d y ) 是中断的p 跏s s 点过程时，证明方法与( 1 ) 类似 此时，以概率l 有( ) = n ) 。 z f f 1 4 ( 2 ) 对于任意的i e ，有 证毕 聃+ 。( i ) = p ( f ( + s ) = z ) = j p ( e ( s ) = ，f ( t + s ) = j ) e = p ( e ( s ) = 女) 蟊，( ) 量8 2 盖仉( 懈) 既( ) 定理3 7 ：对任意的i e ，嘧户( ( t ) = i ) 存在 证明：由于锄( t ) ，i ，j e 标准 故对于任意的o o ，使得当s l g 对任意t 7 p ( e ( 亡，) = i ) ( 1 5 ) 徘) = 冰圭徘= 谊v “t d l i 弓口p 户( e ( 们刊圭户归怔圭n o 。，v t 6 再对t 取极限得： 1 i 1 7 p p ( e ( 。7 ) = i ) r 笔1 i 驴p ( e ( f ) = i ) 。1 0 l e t i 0 由e 的任意性知： 1 i 鼍虑“p p ( e o ) = i ) l i 罨护p ( e ( t ) = ) 0 ，d q 。 = 錾僻p ( e ( ) 在( o ，川上恒等于j ) j 1 0 、7 。、7 s 脚p ( e ( 6 ) = j ) 一6 1 0 、7。7 故 尸( 6 ( o ) = j ) 船p ( e ( 6 ) 2 j ) 其次，对任意d q + ( 表示正的有理数集) ，设( o ，卅n q = 6 ，r 1 ，r 2 ，3 今： 那么 t 0 ) ：，= 硝1 ) = 6 ； 懈) ：，= 硝，t 笋) = r r 】6 ； 髀难。一，t 字，孑) _ r hr 。，d ) ； 潴您，= 坩，般以) _ r 饥r 2 ，r 3 ：j ) 其中r ) 将序列由小到大重排 1 6 j p ( e ( ) 在( o ，司上恒等于j ) = i 骢卢( r ( t = j ，e ( f = j ，e ( 船) = j ) = ，! 骢户( r ( t = j ) 锄( 一；“) 勘( t 船一梨，) 三l ；心n f 户( 钟) = 护( 。” = 1 躲蜡户( e ( = j ) e 一时( ：】 = l 骢户( e ( t 【m ) = j ) e 一幻6 2 嘧p ( e ( s ) 2 j ) e 6 在上不等式两端，令6 0 ，得： 船户( e ( ) 在( o ，6 】上恒等于j ) 2j 甜卢( e ( s ) = ) 即 p ( e ( o ) 。j ) 船p ( e ( s ) = j ) 综上知： p ( e ( o ) 2 j ) 2 船p ( e ( s ) 2j ) = r j 证毕 定理3 9 ：对于任意的o 1 2 o ( 3 ) 利用( 2 ) 中不等式我们知：对任意的i ，j e ，任意的t o ，有 p ( ( o ) = i ，e 0 ) = j ) = p ( ，乩( f ) j ( e ( ) ) ) 2 户( 1 i ms u pa 詹e 一知厶。 ( e ( s ) ) d s j ) ( e ( t ) ) ) 3 i 翌p ( a 臂e 。5 ) ( e ( s ) ) 如- ( e ( ) ) ) 。 。 = 熙a 詹e 扎p ( e ( s ) = i ，e ( f ) = j ) d s = 熙a 盛e 山户( e ( s ) = i ) 翰( t s ) 如 2 嘧p ( e ( s ) = i ) 硒( t ) = r - 磊，( t ) ( 4 ) 下面我们证明( 3 ) 中只能取“= ”，不可能“ ”： 假如_ p ( e ( o ) = i ，r ( t ) = j ) r 锄( t ) 则 r 。= p ( ( o ) = i ) = 户( e ( o ) = i ，e ( ) = j ) r 。函( t ) = f 。( ) j = 0j = 0j = 0 两边取极限lo 得：r 船l 盏而( t ) = r l 矛盾 故 p ( e ( o ) = z ，( z ) = j ) = r 。而( ) ( 5 ) 同理，对于任意的o 岛 2 ( ) k t 事实上， o 尸( e ( o ) = ，e ( ) = j ) = p ( e ( t ) = j ) 一卢( e ( 0 ) e ，( t ) = j ) = p ( e ( t ) = j ) 一p ( e ( 0 ) = i ，f ( t ) = 7 ) 0 群 = p ( e ( ) = j ) 一r ，庇( t ) t 止 = 啦( d ) 一r ；西( t ) t b 鑫仉( ) = p ( 。 ) = ( t ) 。 鑫。邑r t 锄( 。) 茎，邑吼( j ) ) 0 p ( ( o ) 2 。，6 0 + 8 ) = j ) 2 讯+ s ( d ) ) 一。蠹r z 锄 + s ) = ，量仇( ，) 氟j ( s ) 一n 风( ) 厩，( s ) e l f女e 、4。 2 ，蠢h ( ) 一曼f ，磊k ( t ) 西b ( s ) k 层l e 。 。 = ，量p ( e ( o ) = 。，e ( t ) = ) 氟，( s ) 日 。 故( 2 ) 成立 证毕 引理31 1 ：设( ( ) ) e e 是状态空间e 上的任一标准转移函数，设肌( t ) ( 0 ，e ) 是p u ( 。) 的进入律则对任意的七e ，姆鲰( t ) 存在且有限 证明：由于1 船m ( t ) = 1 ，v 女e 故对任意的o e o ，使得当 1 一e 1 9 任取f 7 6 我们有 且玑( ) 鲰( ) ( 1 一) 1 鼍l 严引t ) 曼圭烈o 。ot 1 01 一e “鼍l 铲p 鲰( 。) 丁三1 i m l 挚吼( z 7 ) o ( 其中，霓为最小链寅的预解矩阵) 证明：( 1 ) 前面已证j 甚p ( e ( o ) 2 o 。，e ( t ) = j ) 0 是流入族： 因叩f ( j ) ) 是磊，( ) 的进入律，故声( e ( + s ) 。j ) = 。蠹户( e ( ) = i ) 癍，( s ) 2 l 、， 一 啦 呱 对任意的j e 岳凰( j ) 2 ，邑铲e 。仇( 协) 出 = 铲e 。吼( ) 出 j e = 铲e 跏户( o 是流入族 其次， 风，a o 也是流入族： 对任意的a o 毋( j ) j e = r 。( a ) j e e f 。 2 岳。嚣r t 铲e 。助( f ) 出 = 旷e 。r 。f ( t ) 砒 j eo e 。 o 2 2 故对任意的a ， 0 h 一。+ ( a p ) f 五 所以， 风，a o 是流入族 综上， 黾，a o 是一个流入族 证毕 定理3 1 3 ：对任意的a 0 ，矗满足方程组矗( a ，一q ) = 0 ( 其中，为单位矩阵) 证明：由于 6 a o ) 是一个流入族，且j i ma 厶= o - 故由文献 4 】第二章5 2 8 定理l 知结论显然成立 预解式的计算 p ) r r ，r ，。) r 。几1 山。p j ( z ) 出 。p ( 五= j ) 出 。p ( 五= 工 ) 出+ 舻e 埘p ( 托= 工兰) 出 。诧( t ) 出+ j 鼍e 。叱 ( 五) d 亡 。硒( t ) d c + f 。( e 一1 。”) e 。( 舻e 一舢o ( x f ) 珊) ) + e 2 ( e 一蛔”) e 。( 舻e m 7 jj ( 磁) 出) 似a + 卜 一心吼 一 一 一凡嗽 r r 0 | | = i e e e e p 伊伊铲舻铲吲 其中 e 。c ( 舻e1 ， ， ( 托) 出) = j fe 一“声( e ( f ) = j ) m e “( 铲e 一”d 厶) = c 。中( f ( o ) = 。，c ( t ) = j ) 以+ 上产e 一“户( e ( o ) = i ，e ( t ) = j ) d 胡e 。( j 矿e m d l c ) o e = 【矗0 ) + j 矿e m r 。最j o ) d 1 te ”( 舻e1 风m ) t 廿 = 【u ) + r ：( a ) 1 舻e o 。( e 一1 仇) 出 z 上t = 睦 ( j ) + r 女氕j ( ) 】- j 矿e x p 一 fe 一1 7 n ( r ) d r ) d z 厶( j ) + n ( a ) aj e 。7 ( r ) 咖 又因为 j fe 。”( r ) 打= 故 所以 铲e 一1 p ( e ( r ) e ) 打 铲e 咖啡( o ) 2o 。，e ( 小；e ) + 岳p ( e ( o ) = 。，e ( r ) e ! e ) d r = j 矿e 。l 邑卢( e ( o ) 2 。，e ( r ) = 。) + 。蠹鑫p ( ( o ) = 。，6 ( 7 ) = 。) 办ef e k e 2