（基础数学专业论文）sn11中的Ⅱ型半脐洛伦兹等参超曲面.pdf

摘要 摘要 本文研究s ? “中的i i 型半脐洛伦兹等参超曲面，给出了s ? “中i i 型半 脐洛伦兹等参超蓝面的存在性定理和局部刚性定理 全文分成六个部分第一节为引言，介绍了所研究问题的历史背景和 主要结果第二节为存在性定理的证明做准备，研究了钟+ 2 中的光锥曲 线，定义了光锥曲线的规范标架，并证明了一个对后面进一步研究哪+ 1 中 i i 型半脐洛伦兹等参超曲面极为重要的结论( 定理2 4 ) 第三节证明了 s ? “中最小多项式为( 五一1 ) 2 ( 五+ 1 ) 的i i 型半脐洛伦兹等参超曲面m 的存 在性( 定理3 1 ) ，并给出了这种洛伦兹等参超衄面m 的具体解析表达式第 四节和第五节是为唯一性定理的证明做准备在第四节中首先证明了s 中i i 型半脐洛伦兹等参超曲面肘的两个互异主曲率a o ，a 。满足q = - 1 ， 从而通过考虑m 的平行曲面，可以假设a o = 1 , a 。= 一1 在此情况下，第四 节给出了这种i i 型半脐洛伦兹等参超曲面m 的基本公式和结构方程( 命题 4 1 ) 在第五节中，证明了通过适当选取局部坐标和局部标架，可以将第 四节中的基本方程简化( 命题5 1 ) 最后，在第六节证明了s ? “中最小多项 式为( 力一1 ) 2 ( a + 1 ) 的i i 型半脐洛伦兹等参超曲面m 的唯一性( 定理6 1 ) 关键词：洛伦兹球面；洛伦兹超曲面：半脐；等参超曲面 a b s t r a c t 一一 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，s e m i u m b i l i c a ll o r e n t z i a ni s o p a r a m e t r i ch y p e r s u r f a c e so f t y p ei ii nt h el o r e n t z i a ns p h e r es 7 “a r es t u d i e d t h e e x i s t e n c et h e o 他m a n dl o c a lr i g i d i t yt h e o r e mf o rs e m i u m b i l i c a l l o r e n t z i a ni s o p a r a m e t r i c h y p e r s u r f a c e so ft y p ei i i n s ? “a r eg i v e n t h ep a p e ri sd i v i d e di n t o6s e c t i o n s i ns e c t i o n1 ，t h eh i s t o r i cb a c k g r o u n d o ft h ei n v o l v e dp r o b l e mi sp r e s e n t e da n dt h em a i nr e s u l t sa r es t a t e d t op r o v e t h ee x i s t e n c et h e o r e m ，i ns e c t i o n2c u r v e so n t h el i g h tc o n ea r es t u d i e d n o r m a l f r 锄e sf o rt h e s ec u r v e sa r ec o n s t r u c t e d ，a n da ni m p o r t a n tr e s u l t i sg t v e nf o r l a t e ru s e i ns e c t i o n3t h ee x i s t e n c et h e o r e mf o rs e m i u m b i l i c a ll o r e n t z i a n i s o p a r a m e t r i c h y p e r s u r f a c e mo ft y p e1 1 w i t hm i n i m a l p o l y n o m i a l ( 旯一1 ) 2 ( 旯+ 1 ) i ns j ”1 i sp r o v e d i ti sp r o v e di ns e c t i o n4t h a tt h et w od i s t i n c t p r i n c i p a l c u r v a t u r e a o ，口i o fms a t i s f ye q u a t i o na o a l = 一1 t h e r e f o r eb y c o n s i d e rt h ep a r a l l e lh y p e r s u r f a c eo fm w e m a ys e ta o = 1 , a i = 一1 t h e n t h e b a s i cf o 肌u l a ea n dt h es t r u c t u r ee q u a t i o n sf o rs u c hah y p e r s u r f a c e ma r e g i v e ni ns e c t i o n4 i ns e c t i o n5t h eb a s i cf o r m u l a ea n dt h es t r u c t u r ee q u a t i o n s g i v e ni ns e c t i o n4a r es i m p l i f i e db yc h o o s i n gs u i t a b l e l o c a lc o o r d i n a t ea n d l o c a lf r a m e l a s t l y , t h eu n i q u e n e s st h e o r e m i sp r o v e df o rs e m i - u m b i l i c a l l o r e n t z i a n i s o p a r a m e t r i ch y p e r s u r f a c e mo f t y p e 1 1w i t hm i n i m a l p o l y n o m i a l ( 五一1 ) 2 ( 兄+ 1 ) i ns ? “ k e y w o r d sa n dp h r a s e s ：l o r e n t z i a ns p h e r e ；l o r e n t z i a nh y p e r s u r f a c e ； s e m i u m b i l i c a l ；i s o p a r a m e t r i ch y p e r s u r f a c e s 目录 目录 1 引言1 2 洛伦兹空间尺? + 2 中光锥曲线的规范标架4 3 i i 型半脐洛伦兹等参超曲面的存在性1 0 4 i i 型半脐洛伦兹等参超曲面的基本公式1 3 6 i i 型半脐洛伦兹等参超曲面的唯一性1 9 致谢2 4 参考文献2 5 攻读学位期间的研究成果2 6 哪中的型半脐洛伦兹等参超曲面 1 引言 在黎曼空间型中，如果一个超曲面m 的主曲率都是常数，则称m 是等参超 曲面等参超曲面是近代微分几何一个重要的研究领域自从上世纪3 0 年代e c a r t a n 1 - 开始研究以来，这方面的研究论文非常丰富对于欧氏空间尺”1 和双曲 空间日。中等参超曲面m 的分类很快就有了结果，肘或者是全脐超曲面，或者 是两个常曲率流形的乘积然而，球面s 1 中情况就复杂得多，到目前为止分类 问题还没有完全解决m i a n z n e r 证明了球面中的等参超曲面的互异主曲率的个数 g 可以是1 ，2 ，3 ，4 ，6 这五种情况 4 】对球面上互异主曲率的个数g 3 的等参超曲 面，e c a r t a n 进行了分类 2 对于g = 4 和6 这两种情况，上个世纪有大量文献， 但至今还没有完整的分类结果 洛伦兹空间型是带有一个常曲率的洛伦兹度量的微分流形1 9 8 0 年，m a g i d 说明了洛伦兹等参超曲面共有i ，i i ，i i i ，这4 种类型 3 】但m a g i d 证明了r j ”1 中的洛伦兹等参超啦面不可能是i v 型的；其余三种类型至多有2 个互异的主曲 率，并给出了完全分类和解析表达式后来，1 9 9 9 年肖良对洛伦兹双曲空间h ? 卅 中的洛伦兹等参超曲面进行了系统的研究，给出了全部四种类型的洛伦兹等参 超曲面的完全分类 5 正如在黎曼空间型中一样，到目前为止洛伦兹球面爿”1 中的洛伦兹等参超曲面的分类问题还没有完全解决 近年来，黎镇琦等人研究了洛伦兹球面研+ 1 中的洛伦兹等参超曲面 6 ，7 ，8 ，9 ， l o ，1 1 1 对s 中的洛伦兹等参超曲面，i 型和i v 型的分类问题已经解决【9 ，1 0 】 剩下的是i i 型和i 型的分类问题 设m 是洛伦兹球面研卅cr ? + 中的n 维洛伦兹等参超曲面如果m 的形算 子彳的最小多项式为( 兄一口) 2 ，其中实常数a 为m 的主曲率，则称m 是i i 型全脐 ( t o t a l l yu m b i l i c a l ) 洛伦兹等参超曲面“全脐”就是说m 的主曲率全相等钟建 环在他的毕业论文【11 c g i i e n 了：i i 型洛伦兹等参超曲面m 最多有2 个互异的主 曲率a o ，a 设m 不是全脐的，则m 有2 个互异的主曲率a 0 , a 。，从而m 的形算 子彳的最小多项式为( 五一嘞) ! ( ，乏一q ) 假设a o ，q 的重数分别是夕，q ，p + q = ，7 为了叙述的方便，当口0 的重数p = 2 时，称m 是i i 型半脐( s e m i - u m b i l i c a l ) 洛伦兹 等参超曲面 当r = 3 时，文 7 】研究了i 【型全脐超曲面的存在性和唯一性的问题，证明了 由参数方程 ( 1 1 )x o ，“，v ) = v e ，0 ) + c o s “毛o ) + s i n u 日( ，) ， 其中 ( ，, ，v ) ( 口，b ) x ( - x 2 ，万2 ) r ， 定义的超曲面m 是卵中的3 维i i 型全脐洛伦兹等参超曲面，形算子a 的最小多 项式为a 2 其中巨( f ) 是g 中一条迷向曲线e o ( ，) 的切向量，f 是岛的规范参数， 毛，晶，最，岛，日 是昂的规范标架( 规范参数和规范标架的定义见下一节) m 被决定迷向曲线 磊形状的2 个任意函数c l ( ，) ，c ( ，) 唯一确定并且证明了s ? 中任何i i 型全脐洛 伦兹等参超曲面m 局部地是m 的平行曲面，即m 的方程为 ( 1 2 )y ( t ，“，) = c o s sx ( t ，甜，) + s i n sv ( t ，u ， ，) ， 其中v ( t ，“，v ) = e o ( f ) 是砑的单位法向量场，s 为实常数，m 的主曲率a = t a n s ( 参 见 6 】) 文【8 】将上述结果推广到任意维数的洛伦兹球面吖+ 中的i i 型全脐洛伦兹等 参超曲面，得到了这种超曲面的存在性和唯一性定理： 定理1 1 ( 存在性定理) 设昂= e o ( f ) 是“( 刀3 ) 中的迷向曲线，t ( 口，b ) 是e o 的规范参数， e o ，巨，最，毛，e + l 是磊的规范标架令y = ( 儿，+ ) 为 尺肛中单位球面s 肛2 上点的位置向量，贮= y s ”2iy 3 0 为半球面， q = ( 口，b ) x 尺掣如果毛的完全维数4 ，则映射 盟 ( 1 3 )x ：q 。s f 卅：( f ，“，j ，) hx = “岛( f ) + y a e a ( t ) a = 3 是一个浸入，m = x ( q ) 是矸+ 1 中的i i 型全脐洛伦兹等参超曲面，其主曲率口= 0 定理1 2 ( 唯一性定理) 设m 是研+ 1 中的门( 3 ) 维i i 型全脐洛伦兹等参超曲 面，形算子4 的最小多项式为五2 则局部地m 可与定理2 中的等参超曲面叠合， 被( 刀一1 ) 个函数c i ( ，) ，g 一。( f ) 所唯一确定。 推论设膨是研+ 1 中的，? ( 3 ) 维i i 型全脐洛伦兹等参超曲面，形算子a 的最 小多项式为( 五一t a n s ) 2 则m 的参数方程为 文( f ，“，y ) = c o s $ x ( t ，u ，y ) + s i n se o ( f ) ， 其中磊( ，) 和x ( t ，”，y ) 是定理1 1 中定义的r ；”2 - 值函数 对于i i 型半脐洛伦兹等参超曲面，文 6 】研究了疗= 3 的情况，得到了下面的 存在性和唯一性定理： 定理1 3 ( 存在性定理) 设彳( “) ，b ( 材) ，c ( u ) 是任意3 个定义在某个区间 ( 口，b ) cr ( 0 ( 口，b ) ) 上的光滑函数， 满足a 2 + b 2 0 向量值函数 e ：( 口，6 ) 一r ? ( a = 0 ，1 ，4 ) 是常微分方程组 ( 1 4 ) 层- m e 卜一彘b e o e = 层= e = 一专b e 2 ， 一衄+ 由爿e ， + 压易， 压e x 2 c e , ， 击4 易 的解，满足初始条件e ( o ) = _ ，此处 岛，q ，气) 是r ? 的一组伪正交基，q ，s 2 是类光的，仁，岛) = 一l ，其余的_ ( 彳1 ，2 ) 是类空的令 q = ( “，f ) r 3l 甜( 口，6 ) ，a ( u ) c o s ( 扼t ) + b ( u ) s i n ( , j 2 t ) 0 。， ( 1 5 )e o = v 巨+ 古e + 古s i n ( 压_ t ) e o 一古c o s ( 河) 局 则x ：q 一群是一个浸入，使得m = x ( q ) 是g 中的i i 型洛伦兹等参超曲面， 其形算子彳的最小多项式为( 五一1 ) 2 ( 旯+ 1 ) 定理1 4 ( 唯一性定理) 设m 是s ? 中的i i 型洛伦兹等参超曲面，其形算子a 的虽小多项式为( 五一a 。) 2 ( 旯一q ) ，a o q 则局部地m 是定理1 3 中的某个超曲 面砑的平行超曲面 本文研究洛伦兹球面研“中的i i 型半脐洛伦兹等参超曲面，将上述的定理 1 3 和定理1 4 推广到任意维数玎3 ，得到了存在性定理( 定理3 1 ) 和唯一性定理 ( 定理6 1 ) 2 洛伦兹空间r ? + 中光锥曲线的规范标架 2 洛伦兹空间足? + 2 中光锥曲线的规范标架 设y 是r ? + 2 中的一条光滑曲线， x ：( 口，b ) 专群“：fhx ( r ) 是，的参数化用( ，) 表示群+ 2 的标准l o r e n t z 内积如果( x ，x ) = 0 ，且x ( f ) 0 ， 则称，是一条( 正则) 光锥曲线如果厂不包含于群+ 2 的任何真子空间中，则称， 是线性满的( f u l l ) 显然，当且仅当 x a x a x ”a a x ( ”+ ) 0 ， 即( x ，r ，x ( ”1 几乎处处线性无关时，y 是线性满的，其中 x ”= d 2 x d t 2 ， x ( j = d x d t ( k = 3 ，z + 1 ) 我们先证明下面的代数引理 引理2 1 设ve 彤十是类光向量( 且口( v ，1 ，) - 0 ) 如果we 彤+ 满足( w ，v ) = o ， 则( w ，w ) 0 ，并且( 嵋枷) = o 的充要条件是1 ， w = 0 ，即v ，w 线性相关 证明将v 扩充成r ? + 2 的伪幺正基 p l = v ，e 2 ，e 3 ，e n + 2 ，即e l , e 2 是类光的， ( e i , p 2 ) = - 1 ，其余的q 是两两正交的单位类空向量，且与e i , e ：都正交设 w 2 口i e i + 吒e 2 + a 3 e 3 + + + 2 气+ 2 由( w ，v ) = ( w ，g ) = o 得到口：= o 所以( w ，w ) = ：彳o 因此( w ，w ) = o 的充 要条件是珥= 0 ( f 3 ) ，即v a w = 0 口 为了本文的应用，我们来证明下面的定理 定理2 2 设厂是群+ 2 中的光锥曲线，刀2 如果厂是线性满的，则有厂的 参数化) c = x ( t ) ，r 陋，b 】，及单参数伪幺正标架 巨( ，) = x ( f ) ，最( r ) ，e ( f ) ，e + 2 ( r ) 其中置，e 2 是类光的，( e ，e 2 ) = - 1 ，其余的是类空的，和一族函数c ，( ，) ，e ( ，) ， 使得 即有 e 最 层 层 层 i e + 。 e + ： 001 0 ： 00 c ig ； c i 100 i c e 一2 一旦5 一 一c 3l 0 i。 i 0 e i l i ， ：一e 0 i 、一” 4 巨 e 毛 e 忍 e 卅 e + 2 2 洛伦兹空间r ? 也中光锥曲线的规范标架 ( 2 1 ) 且当n 2 时， ( 2 2 ) 当胛= 2 时， ( 2 3 ) 证明 ( 曼，舅) = 0 耳= 局，e 。l = 易+ q 巨，乓= g 毛+ g 反， e = c 2 巨+ c 3 岛， 乓= 一g 2 e i + e l 巨+ i ，k = 5 ，n + l ， e + 2 = 一e e + 。； e = c 2 巨 任取，的参数化文= 文( “) ，甜( 口，b ) 由条件，( 贾，j ) = o ，从而 根据引理2 1 ，由舅 0 可得( ，f ) 0 因此7 的弧长参数 ，= ，( “) = f ，( 舅( f ) ，舅7 ( 孝) ) 2d f ，t e ( o ，c ) 设其反函数为“= 甜( f ) ，贝1 ju 7 ( f ) = ( i ( ，) ) ，耍 ( ，) ) ) 一佗 在新参数下，x ( ，) = 曼 ( f ) ) 满足x = “爱因此( x ，x 7 ) = ( 甜7 ) 2 ( 交，舅) = 1 令 ( 2 4 ) 巨= z ，e = z ，g = 一_ ic 3 t ，耳) ，岛= 耳- c , 6 , 则有 ( 2 5 ) ( 巨，巨) = ( x ，x ) = o ，( 巨，e ) = ( z ，x ) = o ，( e ，历) = ( ，) = 1 ， 从而 由此得 ( 2 6 ) ( 巨，乓) = 一( 耳，易) = 一( 乓，3 ) = - 1 ，( 最，乓) = o ( e ，巨) = ( 巨，e ) = 一l ，( 最，岛) = 0 ， ( 最，最) = ( g ，耳) 一2c i ( g ，互) = o ( 2 5 ) 和( 2 6 ) 说明 e ，巨，弓 构成伪幺正标架的一部分，且 矿= z ( t ) = s p a n 互，最，局 是非退化子空间( 依赖于f ) ，从而v 上是一个欧氏空间由( 2 4 ) 得到 ( 2 7 )耳= 弓，乓= e 2 + g e , 因为易= 乓- c , 6 , = ，- c , x ，所以 ( 2 8 ) 最= x ”一c l x 一c ? ， ( 2 9 )ea 互ae 人g - x a x 。 工 工”o 又因为 ( g ，巨) = 一( 最，g ) = 一( 丘，岛) = o ， ( e ，最) = o ，( g ，弓) = 一( 最，g ) = c j ， 所以乓- c , 6 3 v 上从( 2 9 ) 可知乓- c , 6 3 0 ，可以将它单位化，得到e 事实 上， e = 9 1 ( e - c e ) ， 2 洛伦兹空间r ：”2 中光锥曲线的规范标架 其中c 2 = i 足- c i e 3 i 于是 ( 2 1 0 )乓= c i 马+ c 2 巨 这样就证明y ( 2 1 ) 当疗= 2 时， 巨，岛，e 3 ，丘) 构成伪幺正标架由( 2 7 ) 和( 2 1 0 ) 可得 ( 2 1 1 )( e ，e 。) = 一( 厶，耳) = 一( e ，己) = 0 ，( 日，e 2 ) = 一( 毛，足) = 一c ， ( 耳，毛) = 一( 局，e ) = 0 ，( 耳，e ) = 0 因此有( 2 3 ) ：e = c 2 巨 当， 2 时，由( 2 1 0 ) 和( 2 9 ) 可知 ( 2 1 2 )c e l e 2 邑 丘= x x ” x 7 x ”0 ， 故有 s p a n e l ，最，e ，巨) = s p a n x ， 使用s c h m i d t 正交化方法，可以在v 上中逐次选取 日，岛，e + ：) ，使得 ( 2 1 3 ) s p a n ( 巨，最，e ，e = s p a n x ，x ，x ”，x 仙一 ，后= 4 ，5 ，n + 2 这样就可以得到( 2 2 ) 例如，由( 2 1 1 ) 可知蜀一c ，巨垂直于子空间 k ( ，) = s p a n 巨，e 2 ，马，e ， 从而e c 2 巨是类空的同时由( 2 1 2 ) 可得 ( x x ” x 7 z ”) = ( c 2 巨 最人乓 丘) ， 即有 ( 2 1 4 )x ， ， x = c 2 e j 最 弓 目+ c 2 e l e 2a 己 蜀 另一方面由( 2 4 ) ，( 2 。8 ) 和( 2 1 0 ) ， ，= 最+ c l x + c 一= q 臣+ 2 c l e 3 + c 2 厶 将上式两边分别与( 2 1 4 ) 作外积，得 x ， x x ” x ( 4 = c ；e l e e 人巨 e 因为，3 且y 是线性满的，x x ” x x ”人工4 0 ，所以类空向量耳一c 2 e l 0 ， 可以将它单位化，得到e 于是 ( 2 。15 )e = c 2 巨+ c 3 毛， 其中g = i e g 巨1 由( 2 7 ) ，( 2 1 0 ) ，( 2 1 5 ) 以及( e ，e ) = 1 ，有 ( 层，e t ) = ( 层，丘) = ( 层，e ) = o ，( 层，e ) = 一c 3 当层+ c 3 e 。0 时，或等价地，当玎4 时，又可将它单位化，得到& 于是 层= 一g e + c 4 瓦 重复这一过程，就可得到( 2 2 ) 口 6 2 洛伦兹空间尺? 也中光锥曲线的规范标架 对于线性满的锥面曲线7 ，如上选取的弧长参数，和伪幺正标架 巨，最，岛，e + ： 本质上是唯一的称 互，最，与，e + ：) 为厂的规范标架 由曲线论基本定理可知曲线厂的形状被函数c i ，g 唯确定，因为给定初 始伪幺正标架，常微分方程组( 2 1 ) 一( 2 2 ) 的解是唯一的事实上，g ，e 分别 是光锥曲线y 的各高阶曲率 当刀= 1 时，仍有规范标架 巨，最，毛) ，但c 2 = 0 注2 3 如果厂不是线性满的，令形为包含y 的最小子空间，它的维数 m = d i m w 称为y 的完全维数( f u l ld i m e n s i o n ) 在适当的正则性条件下，如果 x = 石( ，) 是厂的弧长参数方程，则所是使得x a a a x ( 小1 0 的最小整数当 朋3 时，肜= r ，它是非退化的此时，7 作为月，中的曲线是线性满的，因 而有规范标架 e l ，岛，e ，e ， 取上= r ”2 ”的幺正基 e 小，e + ： ，可得到沿y 的伪幺正标架 互，e 2 ，岛，乓，毛小，e + ： 此时( 2 1 ) 仍然成立，而( 2 2 ) 变成 ( 2 1 6 )蜀= c 巨+ c 3 岛， 乓= 一g 一2 瓦一i + q 一1 乓+ i ，k = 5 ，m - 1 ， g n w i = 一c m 一2 e , n i ， e ：= 0 ，j = 脚+ 1 ，甩+ 2 ： 这相当于在( 2 2 ) 中c , o 一= = e = 0 因此我们仍将 互，e ，e ，巨，乓+ ，e + ： 称为y 的规范标架 定理2 4 设厂是尺i ”2 中的光锥曲线，厂的完全维数历4 ， 互，最，己，e + ： 是7 的规范标架令v = 矿( ，) = s p a n 巨，e 2 ，乞 则存在v 上= s p a n e 4 ，巨帕 的幺正标架 邑( 味，三州( 拼，使得 也 ( 2 1 7 )e 卜e ，e = 最+ c ，e i ，足= c 。己+ g ， i = 4 ( 2 1 8 )；= g v ，巨，j = 4 ，玎+ 2 其中c ( f ) ，c ：( ，) 是定理2 2 中定义的函数，= m ( r ) ，t = v ，( r ) 满足 ( 2 1 9 ) 砰= 1 ，订= 1 ，= 4t = 4 证明根据定理2 2 9 ，y 的规范标架满足 2 洛伦兹空间眉”2 中光锥曲线的规范标架 l 。一一 ( 2 2 0 ) 记 n ( 2 2 0 ) 说明 ( 2 2 1 ) le i l 历 e = i ； ie + 。 if t , l a n + 2 o0l0 0 0 c 1c 2 c l 10 0 c ，0 00 c 3 一c 3 0 0 e - c 0 ，a = 0e - c 3 0 。 0 e c 0 e 7 = a e + b ，b = e e 、 巨 e l 易 e + i e + 2 c 、e 0 0 o 因为a 是反对称的，存在o ( n 1 ) 值矩阵函数u = u ( t ) 使得u = 一删事实 上，u ：u ( t ) 是一阶线性常微分方程组c a u c h y 问题 ( 2 2 2 )u = 一删，u ( t o ) = i 的解，其中t o ( n ，b ) ，i 是单位矩阵 设u = ( ，) ，其中i , j = 4 ，n + 2 ，嘞是u 的第( f 一3 ，一3 ) 元因为 u o ( n 一1 ) ， 有u 【厂t = u t u = i ，即 n + 2 ( 2 2 3 )u j k = 磊， k = 4 令 ( 2 2 4 ) 也就是说，如果 则 ( 2 2 5 ) n + 2 = 磊 e = e = n + 2 置= 弓 j 4 8 耳ee层n；瓯艮 ， 日乓；ee 2 洛伦兹空间群+ 2 中光锥曲线的规范标架 _ _ _ _ 一 因此由( 2 2 3 ) ， 豆，邑+ ： 是y 上 特别有 = s p a n e 4 ，己+ ：) 的幺正标架， n + 2 弓= 丘 一 n + 2 巨= 将上式代入( 2 1 ) 就得到( 2 1 7 ) ，其中 n + 2 即有 u 1 4 e t j 掌4 = 坼4 ，所以 y “k 1 一o i = 4 从( 2 2 4 ) ，( 2 2 2 ) 矛- 1 ：i ( 2 2 1 ) 可得 童= u e + u e = 一u a e + u a e + u b = u b 。 e _ 耳 ； u 4 4 坞4 ： u 4 5 u 5 5 u 4 + l u 5 ，+ i j ，+ 2 坞- i ，+ 2 + i 4+ i 5 + i 一+ i l n + l , n + 2 + 2 4 + 2 , 4 u n + 2 ，l “u n + 2 , n + 2 上式说n ( 2 1 8 ) 成立，其中m = u i 4 ，所以 n + 2 这样就完成了定理的证明 口 yv ；：1 一 t = 4 9 = c 2 并且 巨 鸭。巨 + 1 1 4 巨 u n + 2 , 4 e 1 #：|o；o o c “ 花e。髟 3 型半脐洛伦兹等参超曲面的存在性 3 型半脐洛伦兹等参超曲面的存在性 设m 是研卅c 群+ 2 中的玎维洛伦兹等参超曲面如果m 的形算子a 的最小 多项式为( 五一) 2 ( 五一a 。) ，并且口。的重数p = 2 ，称膨是i i 型半脐( s e m i - u m b i l i c a l ) 洛伦兹等参超曲面 当，7 = 3 时，文 6 研究了这种超曲面的存在性和唯一性的问题，证明了引言 中的定理1 3 和定理1 4 本文将考虑一般的力3 的情况 本节中约定指标的取值范围为 彳，b = 4 ，刀+ 2 ，i , j = 4 ，n + 1 设巨= e ( f ) 是r ? + ( ，z 3 ) 中的光锥曲线，t ( 口，b ) 是e t 的弧长参数， e ，垦，毛，厶，e + ：) 是e 的规范标架令 v = s p a n e i ，岛，易) ，v 上= s p a n e 4 ，乞+ 2 ) 如果e 。的完全维数聊4 ，则根据定理2 4 ，存在旷的幺正标架 巨，或+ ：) 使得 ( 3 1 )e ：= e ，g = e 2 + c t e 。，e = c 。e + c 2 邑， ( 3 2 )髟= g ，爿巨， 其中c l = c i ( ，) ，c 2 = c ，( ，) 是定理2 2 中的函数，= u a ( t ) ，= v _ ( ，) 满足 ( 3 3 )= 1 ，v j = 1 首先，我们证明下面的存在性定理 定理3 1 设巨= e l ( ，) 是墨n + 2 ( 刀3 ) 中的光锥曲线，t e ( 口，6 ) 是巨的弧长参 数， 巨，最，乓，e + ：) 是e l 的规范标架令y = ( y 4 ，j ，肿2 ) 为r ”1 中单位球面 s 肛2 上点的位置向量，q = ( 口，b ) xrxs 疗- 2 如果e 。( f ) 的完全维数m 4 ，设 巨，己+ ：) 是v 上= s p a n e 4 ，e + ：) 的满足( 3 1 h 3 3 ) 的幺正标架，则映射 ( 3 4 ) x ：f 2 - - s 一：( f ，”，y ) hx ( ，甜，y ) = 古( “e ，( ，) + 局( ，) + y 一邑( ，) ) 是一个浸入除了一个测度为零的集合足之外，m = x ( q k ) 是研+ 1 中的i i 型半 脐洛伦兹等参超曲面，其最小多项式为( 五一1 ) 2 ( 力+ 1 ) 证明设f c o , l 为r s ”2 的局部幺正标架， ( 3 5 )咖= ( 砂4 ，d y ”2 ) = c o , e ， 则 y ，q 构成s 加2 上的平凡丛2x r ”1 的局部幺正标架如果设 1 0 一一 3 型半脐洛伦兹等参超曲面的存在性 ( 3 6 ) 则由( 3 5 ) ，有 ( 3 7 ) q = ( ，+ 2 ) ， 咖一= q ，y e l - - 0 ，z e ：e ，- - 6 利用上式，出( 3 i ) n ( 3 2 ) 得 ( 3 8 ) 出= 士( 甜e 卜g + 儿髟) 西+ 古e 砌+ 古邑q - - 由( c e 。+ c , e y v 。e 。+ 最+ u e 3 ) d t + - - 古2e 咖+ 士8 7 邑q 由( 3 7 ) 和( 3 8 ) 可知x 在q 上的诱导度量局部地可以表示为 ( d x ，出) = ( 缈2 2 批+ 砰) ， 其中 9 - - ( c i e l + c z y 一，巨+ e 2 + u e 3 ，c i e l + c 1 y h e l + 最+ “毛) = 甜2 - 2 ( c l + c 2 y 4 ) 因此，相对于，q 的局部标架 出，如，c a , ，度量矩阵为 1 9 2 2 故d e t g = - 2 ” 0 同时，注意到x ：q 寸研“是一个 浸入， 斫，q 是线性无关的，所以q 中满足y v a ( t ) = 0 的点集k 是零测度集 事实上，对于每个固定的，( a ，b ) ，集合 p qj y 爿( r ) = 0 ) = s 肛3 因此k = ( 口，b ) s ”3 在q k 上， ：y y a 0 ，从而 ( a i d ) ( 鲁) = - 2 g y 。y a - k 0 这说明( 彳一i d ) ( a + i d ) 0 于是根据( 3 1 4 ) ，a 的最小多项式为( 见一1 ) 2 ( 允+ 1 ) 因此m = x ( q k ) 是i i 型的洛伦兹等参超曲面因为对应于特征值q = - 1 的特征空间圪。= s p a n x i 是 刀一2 维的，所以m 是半脐的 口 注3 2 当珂= 3 时，( 3 4 ) 本质上就是( 1 5 ) ，只要将( 1 5 ) 中的参数( “，v ) 换成参 数( ，击“) ，并将晶记成色就得n ( 3 4 ) 注3 3 根据一阶线性常微分方程组的存在性定理，任给一组光滑函数c 。( f ) ， c 2 ( ，) ，c ，( f ) ，常微分方程组( 2 1 ) ( 2 2 ) 都有解 e t ( t ) ，e + 2 ( f ) ，并且解被 初始条件 巨( ，0 ) ，e + 2 ( t o ) ( t o ( a , b ) ) 唯一确定 由于定理2 2 中矩阵的特殊性，容易证明当初始条件( 巨( ，o ) ，e + ：( 岛) 是 足? + 2 的伪幺正基时，常微分方程组( 2 1 卜( 2 2 ) 的满足该初始条件的解 e ，( f ) ，乞+ ：( ，) ) 一定是伪幺正标架，从而与( r ) 是一条弧长参数的光锥陆线只 要c ：( f ) 0 ，就可以保证巨( f ) 的完全维数m 芝4 因此根据定理3 1 ，存在由( 3 4 ) 确定的s f ”1 中的i i 型半脐洛伦兹等参超曲面m = x ( f l k ) ，其最小多项式为 ( 2 1 ) 2 ( 兄+ 1 ) 由( 3 4 ) 所定义的m 被光锥曲线e 。( ，) 唯一确定当然，不同的光锥曲线n ，托 确定的i i 型半脐洛伦兹等参超曲面m ，必一般是不能相互叠合的，即不一定存 在爿冲中的刚体运动将m 变成必因此研“中有很多不同的i i 型半脐洛伦兹 等参超曲面这是一个与欧氏球面s ”中的等参超曲面完全不同的现象在 十中，任何具有2 个互异主曲率= 1 ，a ，= 一1 的等参超曲面，只要对应主曲 率的重数相同，就一定是可以相互叠合的 4 h 型半脐洛伦兹等参超曲面的基本公式 4 i i 型半脐洛伦兹等参超曲面的基本公式 设m 是研卅c 群+ 中的门( 3 ) 维i i 型洛伦兹等参超曲面，肘的形算子彳的 最小多项式为( 五一a o ) 2 ( 五一q ) ，并且主曲率a o 的重数p = 2 设x ：m s i ”是位置向量此时可取t m 的局部伪幺正标架 墨，置，墨，以 ， 其中五，x 2 是类光的，( x i ，x 2 ) = - 1 ，使得形算子彳满足 a x i = a o x i 七x 2 ，a x l 5q o x ：，a x i = c i t x l 本节约定指标的取值范围为 么，b ，c ，= 1 ，2 ，门，f ，j ，k ，= 3 ，玎，刀3 选取平凡丛星? “= m x 硝+ 2 的局部伪正交标架 = _ q ，e 2 ，e 3 ，e n ，巳+ 1 ， 使得出( l ) = e 爿，。是m 的单位法向量场约定形算子a 由 沈川( x ) = c u ( a x ) 来定义我们有斟+ 的结构方程 ( 4 1 ) d e 。=c o i 巳+ 吐p 2 + qe j d e i =吐+ q l e l + 彩i 巳+ ( q + 口。吐) 巳+ 1 ， d e 2 = q 一q ip 2 +唑j 巳+ a o c o l ， d e ，= 一( 9 , e o + 呸，q + 缈i ip 2 +e ( 9 1 ，e 一日i q 乞h l ， 如+ i =( 9 1 e l + ( q + 呸) 白+ a i 哆巳 其中 彩。，( - 0 2 ，哆) 为 五，置，置 的对偶标架，联络形式满足+ q ，= 0 外微分( 4 1 ) 得第一结构方程 ( 4 2 ) g a u s s 方程 ( 4 3 ) d q = 一锡i q 一鲍， q ， d ( 9 2 = 劬i 吐一劬f 劬， d q 。一缈i ， 劬一( 9 2 ， ( 9 2 + 乙a 哆， 1 1 d q =q ， 吐，一( 1 + 西) qa o ) 2 ， j q ，= q i t o i ，+ q + 口l 劬 q + ( 1 + a o a l ) 吐 q ， d 魄，= 一0 i l 吐，+ 吐+ ( 1 + a o a l ) q q ， d = q ， c 0 2 + 国2 ， q + 一( 1 + a ) 哆 q ， 和c o d a z z i 方程 4 1 1 型半脐洛伦兹等参超曲面的基本公式 ( 4 4 ) ( 4 5 ) d e a i + a o d ( 0 2 = q i ( q + a o 吐) - a i q ， q ， a o d o l = 一a o ( o t l q a l 0 ) 2 ， q ， a f l e a , = - a o q ， q - c a 2 ，a ( e a j + a o o ) 2 ) + a j 哆 比较( 4 2 ) 和( 4 4 ) 可得 国2 。 q = o ， ( q a o ) c o i ，一吐，】a q + ( a l a o ) e 0 2 fa 吐= 0 ， ( 口i 一口o ) 彩i fa e a , = 2 c a i i 国i 设 ( 4 6 ) 吼疗= 瞄敛一 则由( 4 5 ) 第一式，有 吐，= 兄q ，r ；，= r ：，r ：，= 吒= 0 将它代入( 4 5 ) 第二式，并比较彩，a 吐的系数，得，= 0 ，从而0 ) 2 ，= 0 再由( 4 3 ) 第三式得到 a o a l + l = 0 像参考文献【5 】中一样，通过考虑m 的平行超曲面，可设a o = 1 ，g t = - 1 前 面已经证明了织，= 0 ，因此有下面的基本公式 命题4 1 设x ：肘寸s j ”1 是胛( 3 ) 维i i 型洛伦兹等参超曲面，具有2 个互异 的主曲率a o = l ，a 。= 一l ，形算子彳的最小多项式为( 允一i ) 2 ( 兄+ 1 ) 如果主曲率 a 。= 1 的重数p = 2 ，则可选取t m 的局部伪幺正标架 蜀，置，墨，以 ， 其中x ，墨是类光的，( x ，五) = 一1 ，使得形算子4 满足 , 4 x l = x + x ! ，a x l = x ! ，a x i = 一x i 选取平凡丛垦? “= m x 尉也的伪幺正标架 e o = x ，e 。，e 2 ，8 3 ，气+ i ) ，使得e n + l 是 m 的单位法向量场，出( x 。) = p ( 4 = l ，2 ，刀) ，则有下列基本公式： ( 4 7 ) d e o =qq+ 呸p 2 + q 巳 d e i =o ) 2 e o + q l q+ q j 巳+ ( q + e a 2 ) e , + l ， d e 2 = q 一q le 2 + q 乞+ j ， d e 。= 一e a , e o + q f 乞+ 乙e j + qe n + i ， t 如+ l