（基础数学专业论文）s1n1中的Ⅱ型全脐洛伦兹等参超曲面.pdf

摘要 摘要 本文研究了霹“中的i i 型全脐洛伦兹等参超曲面给出了研“中i i 型洛伦兹 等参超曲面的参数化和局部刚性定理 全文共分成三个部分，第一节为引言，介绍了所研究问题的历史背景和主要 结果在第二节研究了群中i i 型洛伦兹等参超曲面，给出了砰中最小多项式为 名z 为洛伦兹等参超曲面詹解析表达式证明了这种超曲面詹局部的被 g p ) g ( f ) ，g ( f ) 三个一元函数所唯一确定并且s f 5 中最小多项式为( a 一口) 2 的任 何i i 型洛伦兹等参超曲面m 局部地可与某个具有最小多项式为见2 的洛伦兹等 参超曲面露的平行超曲面叠合在第三节中，将研究推广到任意维数洛伦兹球 面中i i 型洛伦兹等参超曲面m 证明了形算子彳的最小多项式为力2 的这种超 曲面局部地被( 万一1 ) 个函数c l ( f ) ，e 一。( f ) 所唯一确定，给出了这种超曲面的 解析表达式并且形算子a 的最小多项式为( 兄口) 2 的任何i i 型全脐洛伦兹等参 超曲面局部地与上述超曲面的平行超曲面叠合，从而完成了田“中的l i 型全脐洛 伦兹等参超曲面的分类。 关键词：洛伦兹球面：洛伦兹超曲面：全脐；等参超曲面 a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，i s o p a r a m e t r i ch y p e r s u r f a c e so ft y p ei ii nt h el o r e n t z i a ns p h e r e s s ，a r es t u d i e d a n a l y t i ce x p r e s s i o n sa n dl o c a lr i g i d i t yt h e o r e m sf o rl o r e n t z i a n i s o p a r a m e t r i ch y p e r s u r f a c e so ft y p e i ii ns ，a r eg i v e n t h ep a p e ri sd i v i d e di n t o3s e c t i o n s i ns e c t i o n1 ，t h eh i s t o r i cb a c k g r o u n do ft h e i n v o l v e dp r o b l e mi sp r e s e n t e da n dt h em a i nr e s u l t sa r ei n t r o d u c e d i ns e c t i o n2 ， i s o p a r a m e t r i ch y p e r s u f f a c e si nt h el o r e n t z i a ns p h e r es ；a r es r u d i e d i ti sp r o v e dt h a t a n yl o r e n t z i a ni s o p a r a m e t r i ch y p e r s u r f a c e s mo ft y p ei ii n s ；i sl o c a l l y c o n g r u e n tt oap a r a l l e lh y p e r s u r f a c eo fal o r e n t z i a ni s o p a r a m e t r i cmw i t hm i n i m a l p o l y n o m i a l 兄2 a n dm i sd e t e r m i n e du n i q u e l yb yt h r e ef u n c t i o n sc lo ) ，c 2 ( f ) a n d c 3o ) f o rl o r e n t z i a ni s o p a r a m e t r i ch y p e r s u r f a c e smw i t hm i n i m a lp o l y n o m i a la 2 i n 矸m ea n a l y t i ce x p r e s s i o ni sg i v e n i ns e c t i o n3 ，t h er e s u l t sw i l lb ee x t e n d e dt o a n y d i m e n s i o n a lu m b i l i c a ll o r e n t z i a ni s o p a r a m e t r i i ch y p e r s u r f a c e smo ft y p ei ii n l o r e n t z i a ns p h e r e s n + 、i ti sp r o v e dt h a tm i s u n i q u e l yd e t e r m i n e db yas e to f f u n c t i o n s q ( f ) ，e l ( f ) w h i c ho a nb ec h o s e na r b i t r a r i l y , i ft h em i n i m a l p o l y n o m i a lo ft h es h a p eo p e r a t o rao fmi s 兄2 t h ea n a l y t i ce x p r e s s i o nf o rs u c h k i n do fh y p e r s u r f a c e si sg i v e n c o n s e q u e n t l y ，a n yu m b i l i c a ll o r e n t z i a ni s o p a r a m e t r i c h y p e r s u r f a c e so ft y p e1 1w i t hm i n i m a lp o l y n o m i a l ( 旯- a ) 2o faa r et h ep a r a l l e l h y p e r s u r f a c eo fm k e yw o r d s ：l o r e n t z i a ns p h e r e s ；l o r e n t z i a nh y p e r s u r f a c e s ；u m b i l i c a l ；i s o p a r a m e t r i c h y p e r s u r f a c e s i i i 学位论文独创性声明 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得直昌太堂或其他教育 机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名( 手写) ：驾缺南 签字日期： 扫8 年d 月7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解南昌大学有关保留、使用学位论文的规定，有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借 阅。本人授权南昌大堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编本学位论文。同时授 权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名( 手写) ：彭议鼍 导师签名( 手写) ：黎镇璃 签字日期：础年b 月2 7 f _ i 签字醐：沙8 引堋厂日 第1 节引言 1 1 基本概念 第1 节引言 设r “是具有符号( 1 ，刀) 的内积的n + 1 维实向量空间尺1 ，其内积定义如下 ，、晶 弋x ，y ) 2 一x o y o 七z x i y j i = 1 其中x = ( x o ，x l ，x n ) ，y = ( y o ，y l ，y 。) r + 1 则称r + 1 为洛伦兹窄f n - - 1 3 这样 定义的内积称为洛伦兹内积 用研+ 1 表示f + 2 中的半径为1 的咒维球面，即爿”= x r + 2i 0 为半球面，q = ( 口，b ) x r 霹如 果磊的完全维数4 ，则映射 旦丛 工：q 一矸“：( f ，“，y ) hx = u e 2 ( t ) + 儿e a ( t ) ( 0 2 ) 彳= 3 是一个浸入，m = 石( q ) 是矸“中的i i 型全脐洛伦兹等参超曲面，其主曲率a = 0 定理4 设m 是研+ 1 中的，z ( 3 ) 维i i 型全脐洛伦兹等参超曲面，形算子么的最小 多项式为( a 一口) 2 则局部地m 可与定理3 中的等参超曲面叠合，被( 撑- 1 ) 个函 数c 1 ( f ) ，e 一，( f ) 所唯一确定 4 第2 节s ? 中的一类i i 型洛伦兹等参超曲面 第2 节s f 中一类型的洛伦兹等参超曲面 2 1 基本公式 设m 是s 5 中的型洛伦兹等参超曲面，x m 一研c 7 群为等距浸入，取 t m 的局部伪正交标架 五，五，五，五 ，使得 ( 墨，五) = ( 五，五) = ( 五，墨) = ( 五，托) = ( 五，置) = ( 五，五) = o ， ( 五，五) = - 1 ，墨，五) = ( 五，x 4 ) = 1 ，并且 a x ! - - a 。x i + 五，a 砭= q 鼍，饯= a 3 墨，允k = a 4 ，其中爿是形算子 在本节我们考虑m 的平行超曲面露，设口l = 锡= 口3 = a 4 = 0 。令 q ，哆，鸭，纰 为 五，置，五，五) 的对偶标架选取平凡丛砰= m 砰伪正交标架 x = e o ，e l ，e 2 ，e 3 ，e 4 ，e 5 ，使得出( 五) = e i , ( f - l ，2 ，3 ，4 ) 龟是m 的单位法向量场， 使得妃( x ) = 出( 膨) 我们有g 的结构方程 , l e o = o j , e , + c 0 2 e 2 + c 0 3 e 3 + o j , e 4 d e , = w 2 e o + q l q + r 4 3 乞+ q 4 气+ c o l e , 苎硼扩a o h e 2 + 局+ 。气 ( 1 1 ) d 巳2 一c 0 3 e o + 哆3 e , + q 3 e 2 + c 0 3 4 巳 d e , = 一c 0 4 e o + c 0 2 4 q + 锡4 e 2 + 红3 e j 织= c o , e 2 ld q2 一c o l l c o l c 0 2 3 c 0 3 一w e 4 c 0 4 d 嗖2q t 哆_ q 3 鸭一? 红 ( 1 2 ) ld c 0 32 一q 3 q 一a 哆+ c 0 3 4 c 0 4 。 【d c 0 4 。一q 4a q 一国h w e + c 0 4 3 c 0 3 d q i2 q 3 w e 3 + c o , 4 c 0 2 4 一0 4 c 0 2 d o j l 32c o , la 铂3 + 国h c o l 4 + c 0 2a c 0 3 d 锡42 c o , la q 4 + 绒3 q 3 + c 0 2 o j 4 d o j 2 32 一c o l l c 0 2 3 + 仞h c 0 2 4 + c o l c 0 3 d o j 2 42 一q l c 0 2 4 + t 0 4 3a 哆3 + c o l c 0 4 d c 0 3 45 0 4 3a 哆4 + c 0 2 3 o j , 4 一c 0 3a c 0 4 d c o , = q lao j , ，哆3 q = 0 ，c 0 2 4aq 20 结合( 1 2 ) ，( 1 4 ) 得到 5 ( 1 3 ) ( 1 4 ) 第2 节s ? 中的一类i i 型洛伦兹等参超曲面 2 q iaq + 哆3 鸭+ 人咄= 0 ( 1 5 ) 由( 1 4 ) ，( 1 5 ) - i 设哆f = 丑q ( f = 3 ，4 ) ，由( 1 3 ) 显然可知五q o ( i = 3 ，4 ) 可重新选 取聊的局部余标架，使得力= 乃0 ，九= o ，即 伤3 = 力q ，哆4 = 0 ( 1 6 ) 将( 1 1 ) ，( 1 2 ) ，( 1 3 ) 改写为 d 2 q q + q e j + c 0 3 e + c 0 4 e 4 d e , = 哆+ q l q + q 3 e 3 + q 4 e 4 + w l e 5 d e 2 = q ( e o 一心) 一q i e 2 d 巳= 一q + z o ) l e t + q 3 e 2 + o j 3 4 e 4 d 白= 一w 4 e o + q 4 乞一鸭4 岛 l 如= q 吃 i d q = ( 一q l + 2 0 j 3 ) a c 0 t id 鸱= c o , 1 人够一q 3aq q 4 q l d 鸭= ( 一q 3 + a 哆) q + 鸭4 q 【d q = 一q 4 q c 0 3 4 缟 d q l = ( a q 3 + 哆) q d q 3 = q l q 3 + 皑4 a q 4 + 哆a 鸭 d q 4 = q 1 人q 4 一鸭4 人q 3 + q 纰 d 哆3 = 一( 旯q l + f - t ) 3 ) a ( - - 0 1 d 0 9 2 4 = 一( a 鸭4 + w 4 ) a a d m m = 兄劬aq 4 一坞 红 ( 1 7 ) ( 1 8 ) ( 1 9 ) 2 2 局部参数化 引理i t n i 设q 。是r ”1 中的一个单连通区域，( 一，x 2 ，矿) 是 q = ( 口，6 ) q 。c r ”的坐标系，缈是区域q 上的光滑1 一形式如果存在q 上的光， 滑l 一形式口，使得d w = 0 人出! ，则有两个光滑函数a ，b ，使得c o = 彳出1 + 抬 引理2设m 是一个4 维流形如果8 个局部定义的1 形式 q ，q ，q ，红，q 。，q 3 ，q 。，鸭4 满足( 1 7 ) ，( 1 8 ) ，( 1 9 ) 并且q ，鸭，鸭，纰处处线性无 关，则有m 上的局部坐标系( f ，“，v w ) 和局部定义的光滑函数 c i ( f ) ，c 2 ( t ) ，c 3 ( t ) ，g ( f ，u ，y ，w ) ，( f ，甜，1 ，w ) 使得 q = e d t ，坞= 6 饥+ 幽，纰= ( c d t + d w ) s i n u ， ( 2 1 ) ( 0 2 = p 7ld v + g d u + ( 6 ls i n u + # c s i n u 一口lc o s u ) d t + # s i n u d w j 6 第2 节s ? 中的一类i i 型洛伦兹等参超曲面 ：q i = a d t + d f ，= , z d d t ，坝= ( c c o s u 一a c s c u ) d t + c o s u d w ( 2 2 ) 其中 厂= 厂( 甜) = 砉l n ( c o s 掰) ，旯= 五( 握) = 2 z = 一t a n u a = g s i n u + v c o s u ，b = g c o s u v s i n u ，c2 t c o t u + c 2 ( f ) q = 寺( 口2 6 2 一2 ) + g ( f ) ，包= c 3 ( t ) s i n w + a b + l a 2 c o t “ 证明：由( 1 4 ) 知q 是可积的，从而可选取m 的局部坐标( f ，t 1 ，t 2 ，f 3 ) ，使得 q = e ，d t 其中是局部定义的函数由( 1 6 ) ，( 2 6 ) 得到 鸱3 = 五锡= 2 e 7 d t ，q 4 = 0 再由( 1 4 ) 的第1 式，可设 q l = 妒+ 口出 f l 了( 1 1 0 ) 的第5 式，可设 ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 力鸭4 + 6 = 五6 d r( 2 9 ) 将( 2 9 ) 式代入( 1 8 ) 中的第3 式得：d 鸭= i ( 一q ，+ 2 c 0 2 ) e 厂一她i d t 选取局部坐 标t ，“，f 3 ，t 4 使得 q = b a t + 如， ( 2 1 0 ) 由( 2 1 0 ) ，( 1 5 ) 中第l 式和( 1 9 ) 中的第1 式可得2 矿八铂= 2 d u 人q 因此 f = f ( t ，”) ，允= 2 l = 名( f ，u ) 外微分( 2 7 ) 中第1 式，利用( 1 8 ) ，( 1 9 ) 得 至：l j ：( d 3 , + 2 2 d f + d u ) a d t = 0 即 允2 + 九+ l = 0( 2 1 1 ) 于是( p 2 ，) 。= 一口2 ，故e 2 ，- a ( t ) c o s ( “- o ( 0 ) ，其中彳( f ) o ，一三2 3 时， = c e 2 + c 3 e 5 ，= 一q 一2 气一l + c 1 e k + l ，尼= 5 ，l ，+ l = 一g l 巳； ( 1 2 ) 当珂：3 时， = c 2 e 2 ( 1 2 ) 1 3 第3 节s ? + 1 中的i i 型全脐洛伦兹等参超曲面 证明任取y 的参数化戈= 爻 ) ，u ( a ，b ) 由条件，( i ，j ) = o ，从而 ( 曼，贾”) = 0 由戈a 戈”0 可得 ( 元。，贾。) o ( 1 3 ) 事实上，对任意u o ( a , b ) ，可将j ( ) ，i ( ) 扩充为尺：l 的伪幺正基 e o = 戈( ) ，q = j ( ) ，乞，岛，巳+ ，) ，因为( i ，舅) = 1 ，( 置署) = o 再由往，孟。) = o 及( 孟，j ) = 一( j ，i ) = 0 可知 舅”( ) = c l e i + c 3 岛+ + 巳+ t 毛+ i 故( 曼。( “。) ，贾。( 甜。) ) = ：彳 o ，否则f ( u o ) a i 。( “。) = o 由“。的任意性得到( 1 3 ) 作参数变换f = f ( “) = r ( 孟。( 孝) ，i ”( 毒) ) 4 d 善，f ( o ，c ) 则存在反函数“= “( f ) ， 且 “( f ) = ( j ( “( f ) ) ，戈。( “( f ) ) ) 一1 ，4 在新参数下，x ( t ) = i ( “( f ) ) 满足x = “写，r = “等+ ( u t ) 2 舅。因此 ( 石。，x 。) = ( 甜7 ) 4 ( 爻。，i ”) = 1 令 e o = x ，吃= x ，乞= x 。，c l = 一 ( ，) ，e l = 一c l 乞 ( 1 4 ) 则有 = e z ，= 乞，= e i + c l 巳 ( 1 5 ) 且由 ( e o ，) = ( x ，x ) = l ，( 乞，乞) = ( 工，x ) = o ，( 乞，岛) = ( x ”，x 。) = 1 ， ( 1 6 ) ( e o ，吃) = ( 工，x ) = o ，( e o ，巳) = ( 石，x ”) = 一( x ，工) = o ，( 乞，巳) = ( x ，工。) = o ( 1 7 ) 及( ，) = 一( ，巳) = 一( 岛，巳) = o ，( 乞，) = 一( ，巳) = 一( e 3 ，乞) = 一l 可知 ( e o ，q ) = o ，( 乞，p ，= - 1 ，亿，q ) = o ， ( 1 8 ) ( q ，q ) = ( ，e ；) - 2 q ( e ；，乞) = ( ，) + 2c l = o ( 1 9 ) 因此 ，e i ，乞，巳) 构成伪幺正标架的一部分，g v = 矿( f ) = s p a n e o ，e l ，吃，巳) 是非退 化子空间 ( 1 4 ) 说明e l = x ”一e l x ，e o qa 吃 巳- - x a x a x ”a x ”，因此 e o qa e 2 巳 q = x a x a x 。a x ”a x 4 0 ，( 1 1 0 ) 可取沿y 的单位类空向量场e 4 = 气( f ) 上v 使得 彳= e o + c l 巳+ c 巳( 1 1 1 ) 1 4 第3 节s ? 中的i i 型全脐洛伦兹等参超曲面 事实上，因为 ( e f ，) = 一( q ，) = 一( 巳，e 2 ) - - 1 ，( ，i ) = o ， ( e f ，乞) = 一( q ，) = 一( e 。，e 3 ) = o ，( ，巳) = 一( 岛，) = c ：， 所以少= 一e o c l 巳_ lv ，y 是类空的，且由( 1 1 0 ) 知y o 令g = ( y ，y ) “2 ， e 4 = y g 则有( 1 1 1 ) 现在x 一a x a x _ a x 4 = c 2 e o e l e 2 e 3 e 4 0 由( 1 4 ) 7 c - f i ( 1 i i ) 得 xa x 7 x 。ax ”ax 5 = q e o qa e 2 e 3 气+ c 2 e o q e 2 e 3 因为x 一= 彰= e l + g 乞，所以 工4 = g + c 权+ e l e 3 = e o + c 仫+ 2 g e 3 + c ：e 4 ， x a a x ”a x 4 a x 筇= c 2 2 e o 人 e 3 e 4 当甩= 3 时，e oa e 3 e 4 = 0 ，从而由( 1 4 ) 和( 1 1 1 ) ，= c 2 e 2 当刀 3 时， e o 人e 3ae 4 0 ， 可选取巳= g 1 ( 一g e e ) ，其中c 3 = ( 呓一c 2 乞，e ；一c e e ：) 2 = ( ，) 2 ， 由于y 是线性满的，使用归纳方法，可逐次选取e s ，巳+ 。使得( 1 2 ) 成立 口 注1 由引理的证明过程可知对于线性满的迷向曲线y ，如上选取的参数t 和 幺正标架 e o ，q ，e 2 ，乞，。 本质上是唯一的，称之为规范参数和规范标架事 实上，t 是光锥上非直线的曲线q ( f ) 的弧长参数 注2 由曲线论基本定理可知曲线y 的形状被函数c l ，e 一。唯一确定，因为 给定初始伪幺正标架，常微分方程组( 1 1 ) - ( 1 2 ) 的解是唯一的事实上， g ，e 一，分别是光锥上曲线q ( f ) 的各高阶曲率 注3 当以= 2 时，仍有规范参数f 和规范标架 p o ，e t ，巳，e 3 ) ，但c 2 = 0 当疗= 1 时，易知e jae f = 0 ，厂是迷向直线 注4 如果y 不是线性满的，令y 为包含，的最小子空间，它的维数尼= d i m v 称为y 的完全维数( f u l ld i m e n s i o n ) 在适当的正则性条件下，如果石= x ( t ) 是y 的 参数方程，则k 是使得工人x a x ( 卜。0 的最小整数当k 4 时，矿是非退化 予空间，v = 硝此时，厂作为蹲一= 辟n 矸+ 中的曲线是线性满的，因而有规 范参数f 和规范标架 e o ，巳，e 2 ，e 3 ，巳一。) 取v 上= r 肘2 “的幺正基 ，巳+ l ，可 15 第3 节s ? + 1 中的i i 型全脐洛伦兹等参超曲面 得到沿7 的伪幺正标架 e o ，q ，e 2 ，e 3 , - - e , 小气，巳+ 。 此时( 1 1 ) 仍然成立，而( 1 2 ) 变成一，= 一q 一，e k 一：，e ：= 0 ( 歹= 七，l + 1 ) 这相当于在( 1 2 ) 中 g 一：= = e 一。= 0 因此我们仍将 e o ，q ，e 2 ，e 3 ，唆- ，e k ，巳+ 1 ) 称为厂的规范标 架 3 2 定理3 的证明 约定指标的取值范围为a ，b ，= , - - - , n ，刀+ 1 ，f ，_ ，= , - - - , n 设 q ) 为t 掣- 2 的局部幺正标架， 咖= 劬弓 ( 2 1 ) 则 y ，q ) 构成霹_ 2 上的平凡丛霹- x r ”1 的局部幺正标架如果设 岛_ 、e 。3 ，n + 1 ) ， ( 2 2 ) 则f l 了( 2 1 ) ，有 砂一= 彰q ，z e ：4 = 岛 ( 2 3 ) 利用上式，由( o 2 ) 得 出= ( “+ z y 一髟) 出+ 易幽+ 衫邑q ( 2 4 ) 因为 厶，巨，巨，e 一) 是的规范标架，f l j ( 2 3 ) 和( 2 4 ) 可知x 在q 上的诱导度量为 ( d x ，出) = 础2 + 2 j f ，批+ 2 出仍q + 砰， ( 2 5 ) 其中 驴= ( “哎+ z y 爿彰，u e ；+ z y 口e ) ， 少= z y 一( e 2 ，髟) ，仍= ( e ，材g + e y 口日) 因为e o 的完全维数4 ，( 1 1 ) 和( 1 2 ) 仍然成立，故 y = z y 一( e 2 ，髟) = 一y ， ( 2 6 ) 根据( 2 5 ) ，相对于r 。q 的局部标架 以，d u ，q ，度量矩阵为 g ：仁0 乱 l 仍0 磊j 故d e t g = - q , 2 = 一露 4 ( 4 4 ) 故可设鸭= - a 一1 p 2 哆+ g i l t ，进而由( 3 2 ) 得 岫2 ( a 哆叫2 _ ，一善竹哆) 础 1 8 第3 节s 中的i i 型全脐洛伦兹等参超曲面 。上式说明余分布1 9 2 = s p a n a ，鸭) 是完全可积的，可选取m 的局部坐标 t ，h ，t 3 ，乙使得 。 鸭= d u + a d t ， ( 4 5 ) 其中a = a ( t ，u ，如，0 ) 是局部定义的函数( 见文 1 3 引理1 ) 鬃i - ( 4 2 ) ，( 4 3 ) 和( 4 5 ) 代 a ( 3 2 ) 第1 式得 a ( e 2 7 ) d t = d q = 一屹 皑= 允鸭 d t = 2 d u d t 因l l t f = 厂( f ，“) ，旯= ( e 2 f ) 。于是由( 4 4 ) 第1 式知( p 2 ，) 。+ 矿，= o 所以 e 2 ，= a ( t ) c o s ( u + o ( t ) ) ，旯= ( 矿，) 。= 一彳0 ) s i n ( “+ 秒( f ) ) ， ( 4 6 ) 其中爿o ) 0