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上海交通大学博士学位论文 图像的小波稀疏表示及收缩去噪算法 摘要 小波分析是一门新兴的线性时频分析方法，它的研究热潮始于二十世纪八 十年代。f 二十多年来，在国内外学者的不懈努力下，小波理论得到了迅速的发展， 研究内容也越来越广泛、深入。同时，随着各门学科间的相互交叉与渗透，使得 小波理论成功地在许多领域得到了广泛的应用。现在小波分析已经渗透到自然科 学、应用科学、社会科学等领域。图像处理和图像通信作为信号处理和现代通信 的重要组成部分，与人们的关系目益密切。然而，在图像中总存在许许多多的噪 声干扰，这种干扰问题在图像分析和图像通信中是不可忽略的因素。为了有利于 迸一步的图像分析和图像通信，在图像预处理中就必须减小图像中的噪声。小波 的图像稀疏表示和小波收缩“去嗓”是图像处理和图像通信的重要内容，其中还 存在大量的问题急莲解决。 一“、。 基于此，j 本文的研究工作主要分以下两个方面的内容：其一是对小波收缩 ， 图像“去噪”算法进行进一步研究，其二是对基于框架的小波图像表示算法作了 初步的研究。 小波收缩是一种非线性小波变换，这种算法的关键问题在于收缩算法中的 收缩阈值和收缩函数( 规则) 。在收缩函数方面，本文提出了三次样条收缩函数 小波收缩算法。该算法与经典的收缩算法相比，三次样条函数具有较好的连续和 一 平滑特性，其结果既克服硬闽值函数所产生的人为的噪声点和数学上不易处理等 缺点，又避免了软阈值算法所带来的边缘模糊。从而进一步提高了图像的峰值信 噪比，改善图像质量。 、最佳收缩阅值在收缩算法中是一个难以实现的问题，通常只能采用近似最 佳收缩阈值。本文提出了最佳收缩阈值与图像奇异性之间的定性关系。该思想阐 明了近似最佳阂值与图像本身特性之间的关系，它为寻找近似最佳收缩阈值提供 了一个简单的思路，同时也为今后定量的研究提供了一种有益的设想。 摘要 自适应理论是现代信号处理中强有力的工具。将自适应理论和传统的小波 收缩算法相结合，本文提出了基于图像局域特性自适应收缩“去噪”算法，并详 细地阐明了该方法的基本原理。该算法是根据同一子带中小波系数的类聚特性， 在局域方块中自适应设立各自的收缩阈值。实验表明，该算法比传统算法有更好 的“去嗓”效果。 以上的基于图像局域特性自适应算法是以小方块为对象设立自适应收缩闽 值，本文进一步缩小局域范围，提出了基予图像邻域特性自适应收缩“去噪”算 法。该算法是用高分辨率子带中每个小波系数的邻域系数来为该系数设立收缩阈 值。该算法比局域算法在高质量图像中有较好的“去噪”效果。 利用小波系数不同尺度间父系数与子系数之间的相关性，本文提出了基于 层间相关性的自适应小波收缩算法。此算法与传统算法相比也能取得较高的峰值 信噪比。 小波收缩图像“去嗓”取得较好效果的关键在于小波变换能提供非常稀疏 的图像表示。但是，小波分析在表示图像的边缘特性时，小波系数是不够稀疏的， 其原因是小波变换不具有较好的方向特性。本文首次将一种非张量积小波变换 ( 红黑小波变换) 与图像的框架表示相结合，提出了基于框架的红黑小波变换 ( v g n w t ) 。红黑小波变换是建立在提升法( 1 i f t i n gs c h e m e ) 小波变换基础上。它 在预测过程中认为图像中像素点与邻域点之间具有相同的相关特性。f r b w t 是 对经典的红黑小波变换的预测方法加以改进，引入了图像的框架表示发展起来 的。f r b w t 的预测方案中认为图像中像素点与邻域点之间在不同的方向上具有 不相同的相关特性。由于考虑了像素点的方向性信息，因此f r b w t 在分解图像 时得到的图像表示就更加稀疏而有效。 将小波变换与图像的框架表示相结合的研究还处于发展初期，本文只是提 出了算法的基本思想，该算法的理论和应用有待于进一步的研究和探讨。1 ，一 关键词：尘塑缩，垦堡煎堕堕奏示，旦蓬! ! 曼算法， 提升法小波变换。 一一一一 红一黑小波变换，攫鍪塞蚕， 上海交通大学博士学位论文 i m a g ew a v e l e ts p a r s er e p r e s e n t a t i o n a n ds h i u n k a g ed e n o i s i n ga l g o r i t h m a b s t r a c t w a v e l e ta n a l y s i si sar i s i n gm e t h o do fl i n e a rt i m e - f r e q u e n c ya n a l y s i s ，w h o s e r e s e a r c hu p s u r g es t a r t e df r o m19 8 0 s i nt h er e c e n tt w e n t ym o r e y e a r s ，w a v e l e tt h e o r y i sd e v e l o p e dr a p i d l yu n d e rt h ei n c e s s a n te f f o r t so fs c h o l a r so v e rt h ew o r l d ，a n dt h e r e s e a r c ha r e a so fw a v e l e tt h e o r ya r ea l s oe x p a n d e dt h o r o u g h l y m e a n w h i l e ，w i t ht h e i n t e r c r o s sa n d p e n e t r a t i o no f d i f f e r e n tk n o w l e d g e ，w a v e l e tt h e o r yh a sa p p l i e dt om a n y o t h e rf i e l d s s u c c e s s f u l l y a tp r e s e n t ，w a v e l e ta n a l y s i sh a sp e n e t r a t e di n t on a t u r a l s c i e n c e ，a p p l i e ds c i e n c ea n ds o c i a ls c i e n c e , e t c a s a l li m p o r t a n tc o m p o n e n to f s i g n a l p r o c e s s i n ga n dm o d e mc o m m u n i c a t i o n ，i m a g ep r o c e s s i n ga n dc o m m u n i c a t i o nh a s m o r ea n dm o r ec l o s e rr e l a t i o n s h i pw i t h p e o p l e b u t t h e r ei sm u c hn o i s ed i s t u r b a n c ei n i m a g e ；t h en o i s ed i s t u r b a n c ec a n n o tb ci g n o r e di ni m a g ea n a l y s i sa n dc o m m u n i c a t i o n f o rf u r t h e ri m a g ea n a l y s i sa n dc o m m u n i c a t i o n ，t h en o i s en e e d st ob er e d u c e di n i m a g ep r e - p r o e e s s i n g w a v e l e ti m a g es p a r s er e p r e s e n t a t i o na n dw a v e l e ts h r i n k a g e d e n o i s i n ga r ei m p o r t a n tc o n t e n t si ni m a g ea n a l y s i sa n dc o m m u n i c a t i o n ，i nw h i c h t h e r ee x i s tl o t so f p r o b l e m st os o l v e b a s e do nt h ea b o v e ，t h er e s e a r c ho f t h i sd i s s e r t a t i o nc o n s i s t so f t w o a s p e c t s ：o n e i st h ef l l r t h e rs t u d yo nw a v e l e t s h r i n k a g ei m a g ed e - n o i s i n ga l g o r i t h m s ；t h eo t h e ri st h e p r e l i m i n a r yr e s e a r c ho nf l a m e - b a s e dw a v e l e ti m a g er e p r e s e n t a t i o na l g o r i t h m w a v e l e ts h r i n k a g ei san o n l i n e a rw a v e l e tt r a n s f o r m ，w h o s ek e yi s s h r i n k a g e t h r e s h o l d sa n ds h r i n k a g ef u n c t i o n s ( s h r i n k a g e r u l e s ) i ns h r i n k a g ef u n c t i o n ，w a v e l e t s h r i n k a g ea l g o r i t h mu s i n gc u b i cs p l i n ef u n c t i o ni sp r e s e n t e d i nc o m p a r i s o nw i t ht h e c l a s s i c a ls h r i n k a g ea l g o r i t h m ，c u b i cs p l i n ef u n c t i o nh a sb e t t e rc o n t i n u a la n ds m o o t h c h a r a c t e r i s t i c t h en e wm e t h o do v e r c o m e st h e s h o r t c o m i n g si nh a r d t h r e s h o l d i n g _ l 一 a b s t r c t s c h e m e ：m o r et r a c t a b l e m a t h e m a t i c a l l y i nt h e a n a l y s i s o fa l g o r i t h m sa n dt h e r e c o n s t r u c t e di m a g e sa p p e a ra sa n n e y i n g ，s p u r i o u s b l i p s i ta l s oa v o i d sb l u r r i n gt h e b r i mo ft h er e c o n s t r u c t e d i m a g e s i n s o f t t h r e s h o l d i n gs c h e m e t h u s ，i t f n r t h e r i n c r e a s e st h ep e a ks i g n a l t o n o i s er a t i oa n d i m p r o v e st h ei m a g e sq u a l i t y , t h eo p t i m a ls h r i n k a g et h r e s h o l di so b t a i n e dd i f f e r e n t l yi nw a v e l e ts h r i n k a g e ， a n du s u a l l yt h en e a r - o p t i m a lt h r e s h o l di so n l yu s e d q u a l i t a t i v er e l a t i o nb e t w e e nt h e o p t i m a ls h r i n k a g et h r e s h o l da n di m a g e ss i n g u l a r i t yi sd e s c r i b e d t h ei d e ai l l u s t r a t e s t h er e l a t i o nb e t w e e nt h en e a r - o p t i m a lt h r e s h o l da n di m a g e sc h a r a c t e r i s t i c i tp r e s e n t s as i m p l et h i n k i n gt of i n dt h en e a r - o p t i m a lt h r e s h o l d ，a n da l s o p r o v i d e sau s e f u l t h i n k i n gf o rf u r t h e rq u a n t i f i c a t i o n a lr e s e a r c h t h e a d a p t i v et h e o r y i sa s 打o n gt o o li nm o d e r ns i g n a lp r o c e s s i n g c o m b i n i n gt h e a d a p t i v et h e o r ya n dc l a s s i c a lw a v e l e ts h r i n k a g e ，l o c a lc h a r a c t e r i s t i cb a s e da d a p t i v e s h r i n k a g ed e - n o i s i n ga l g o r i t h mi sp r e s e n t e d t h ee s s e n t i a lp r i n c i p l eo f t h i sa p p r o a c h i s e x p l a i n e d i n d e t a i l a c c o r d i n g t ot h e c l u s t e r i n g c h a r a c t e r i s t i co fw a v e l e t c o e f f i c i e n t si ni n t r a - s c a l es u b - b a n d ，t h e i rr e s p e c t i v et h r e s h o l d sa r es e ti nl o c a l s q u a r e s t h er e s u l t so f e x p e r i m e n t a t i o ns h o w t h a tt h ea d a p t i v ea l g o r i t h mi sm o r ee f f e c t i v et h a n t h ec l a s s i c a lo n ew i t hu n i f o i t i it h r e s h o l d i nt h ea b o v ea d a p t i v em e t h o db a s e do nt h el o c a lc h a r a c t e r i s t i co f i m a g e ，e a c h t h r e s h o l di ss e tf o raf e wc o e f f i c i e n t se r al o c a ls q u a r e t of u r t h e rr e d u c el o c a ls q u a r e s ， n e i g h b o r h o o dc h a r a c t e r i s t i cb a s e da d a p t i v es h r i n k a g ea l g o r i t h mi sp m s e n t e c l t h i s a l g o r i t h ms e te a c hc o e f f i c i e n tf o re a c hw a v e l e tc o e f f i c i e n ti nh i g h - r e s o h i t i o ns u b - b a n d u s i n gn e i g h b o r h o o do ft h ec o e f f i c i e n t i th a sb e t t e rr e s u l tt h a nl o c a la l g o r i t h mo n h i g h q u a l i t yi m a g e s a c c o r d i n gt ot h ei n t e r - s c a l ed e p e n d e n c yb e t w e e np a r e n tc o e f f i c i e n t sa n dc h i l d o n e s ，i n t e r - s c a l e d e p e n d e n c y b a s e d a d a p t i v e w a v e l e t s h r i n k a g ea l g o r i t h m i s i n t r o d u c e d n e wm e t h o da l s oa c h i e v e sb e t t e rp e a ks i g n a l - t o - n o i s er a t i ot h a nt h e c l a s s i c a io n e t h ek e yf o rw a v e l e ts h r i n k a g et oo b t a i nb e t t e re f f e c ti st h a tw a v e l e tt r a n s f o r m c a np r o v i d e s p a r s er e p r e s e n t a t i o nf o ri m a g e s h o w e v e r , w h e nw a v e l e tt r a n s f o r m r e p r e s e n t st h ee d g ec h a r a c t e r i s t i co f i m a g e s ，w a v e l e tc o e f f i c i e n t si sn o te n o u g hs p a r s e ， v 一 上海交通大学博士学位论文 b e c a u s ew a v e l e tt r a n s f o r md o e sn o t p o s s e s s t h e d i r e c t i o n a l i t y c o m b i n i n g t h e n o t l t e n s o rp r o d u c tw a v e l e tt r a n s f o r m ( r e d b l a c kw a v e l e tt r a n s f o r m ) a n df r a m e b a s e d i m a g er e p r e s e n t a t i o n ，f r a m eb a s e dr e d - b l a c kw a v e l e tt r a n s f o r m ( f m 3 w t ) i sf i r s t i n t r o d u c e di nt h i sd i s s e r t a t i o n r e d b l a c kw a v e l e tt r a n s f o r mi sb a s e do n l i f t i n g s c h e m ew a v e l e tt r a n s f o r m ，a n dc o n s i d e r st h a tt h e r ei s e q u a lc o r r e l a t i o nb e t w e e n p i c t u r ed o ta n de a c ho f i t sn e i g h b o r h o o dd o t si nt h ep r o c e s so f p r e d i c t i o n f r b w ti n t h i sd i s s e r t a t i o ni m p r o v e st h ep r e d i c t i o ns c h e m eo ft h ec l a s s i c a lr e d b l a c kw a v e l e t t r a n s f o r m ，a n di n t r o d u c e st h ef r a m eb a s e di m a g er e p r e s e n t a t i o n f r b w tc o n s i d e r s t h a tt h e r ei sd i f f e r e n tc o r r e l a t i o nb e t w e e np i c t u r ed o ta n de a c ho fi t s n e i g h b o r h o o d d o t s t h u s ，f o rt a k i n gi n t oa c c o u n to fd i r e c t i o n a li n f o r m a t i o n ，f r b w to b t a i n sm o r e s p a r s ei m a g er e p r e s e n t a t i o nt h a nc l a s s i c a lw a v e l e tt r a n s f o r m i n c o n c l u s i o n ，f r a m eb a s e dw a v e l e ti m a g er e p r e s e n t a t i o ni ss t i l li ni t si n i t i a l s t a g e ，w eo n l yi n t r o d u c e dab a s i ci d e ao f t h ea l g o r i t h m ，a n di t st h e o r ya n da p p l i c a t i o n w i l ld e v e l o pf u r t h e ri nt h ef u t u r e k e yw o r d s ：w a v e l e ts h r i n k a g e ，i m a g es p a r s er e p r e s e n t a t i o n ，a d a p t i v ea l g o r i t h m ， r e d - b l a c kw a v e l e tt r a n s f o r m ，f r a n l er e p r e s e n t a t i o n ，l i f t i n gs c h e m ew a v e l e tt r a n s f o r m - v 一 附件四 上海交通大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外， 本论文不包含任何其他个人或集体己经发表或撰写过的作品成果。 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位敝作者签锄趋胜刁 日期：) 雌年月习日 附件五 上海交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权上海交通大学可以将本学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在一年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密口。 ( 请在以上方框内打“4 ”) 学位论文作者签名：7 如笠再指导教师签名：7 亏镢 2 f 日期：。吣年影月3 口日日期：) ”) 年 月。日 上海交通大学博士学位论文 第一章绪论 非线性信号处理的研究与发展，对推动现代数学、现代信号处理和通信的进步起着十分 重要的作用。非线性信号处理不仅极大的推广经典的线性信号处理理论，而且能够更好地反 映了我们所处的自然界种种特征。同时，非线性信号处理理论与其他学科的相互渗透，也促 进相应交叉学科与边缘学科的发展。 非线性小波变换( 小波收缩) 是非线性信号处理的重要内容之一。它主要用于信号和图 像的平滑“去噪”、增强和编码等方面。小波收缩的最显著的特点就在于：它本身是一个非 线性信号处理过程，它能在减小图像噪声的同时，有效地保留图像的边缘和纹理信息。基于 小波收缩的图像处理，将有利于解决现代图像分析和现代图像通信领域中的一些关键技术， 有效改善通信系统的性能。 1 1 非线性滤波图像“去噪”f 1 【2 ” 图像平滑“去噪”在许多图像处理应用中是很重要的预处理过程，它的主要目标是在减 小图像中所含噪声的同时，尽可能地保留图像的边缘和纹理信息“。通常，经典图像去噪” 的方法是采用线性滤波方法【l 】【2 】。线性滤波可从空间域和频率域中对图像进行平滑“去噪” 处理，如局部平均法，多帧平均法和低通滤波器等方法。它们的作用在空间域上可以看成是 常系数模板进行卷积，同时也可在频率域上用f o u r i 变换的方法进行分析。虽然这类方法 能有效地减小图像中的噪声，但是它们在“去噪”的过程中会损失许多图像的边缘和纹理信 息。这些边缘和纹理信息对图像而言是非常重要的。由于边缘和噪声都处在滤波器的高频部 分，线性滤波的方法很难对边缘和噪声同时进行有效地处理。为了克服线性滤波“去噪”的 这一缺点，人们常采用了非线性滤波“去噪”方法来对图像进行“去噪”【”。 后来，人们改进线性滤波方法中的局部平均法，提出了几种非线性滤波“去噪”算法， 如选择平均法和加权平均法等算法”。由于这些方法是在对图像进行平滑的之前以某种方 式检测目标边缘，因此它们在一定程度上改善图像的边缘信息不过，最常见的图像非线性 一1 一 第一章绪论 “去噪”的滤波器还是中值滤波器。这种技术是基于图像的如下特性：噪声往往是以孤立的 点形式出现，这些点对应的像素数很少，而图像则是由像素数较多、面积大的小块构成。 中值滤波在对图像进行平滑“去噪”时有效地保护许多边缘的信息，但是它也还会损失图像 中一些细节信息，如细边缘和角边缘等”。为了克服这些缺点，近年来许多学者对标准的 中值滤波器作了各种改进，提出了堆栈滤波器( s 诅c k f i l t e r s ) 1 5 1 、加权中值( w e i g l l t e d m e d i a n ) 6 1 和松弛中值( r e l “e dm e d i 孤) 等滤波器”。最近，p h u b e r 和a b h a m z a f 9 1 等人又提出了均 值中值滤波器( m e a n - m e d i a nf i l t e r ) 和均值松弛中值滤波器( m e a n - m e d i a nr e l a x e df i l t e r ) 。 从一般意义上来看，基于中值的滤波器是一种选择性滤波器，它们的输出总是输入样本的某 个值，因此这类滤波器更多地适用于脉冲型噪声的“去噪”场合。 实际上，基于中值的滤波器是一种基于单尺度的信号表示，这种从单尺度的含噪声信号 表示中提取信号的方法并不是十分有效的”1 。近来，人们发展了一种基于信号多分辨率表 示的“去噪”算法：基于小波变换的信号“去噪”算法。 1 2 小波分析与小波收缩图像“去噪” 1 9 8 1 年，法国地球物理学家m o d e t 在分析地质数据时基于群论首先提出了小波分析这 一概念。m o f l e t 方法所取得数值分析的成功不仅激发他本人对小波分析进步的研究， 丽且也大大地鼓舞了法国理论物理学家g - r o s s m a n a 和他一起共同研究小波理论。这一理论是 f o u r i e r 分析划时代的发展结果。正如三角函数e ”是f o u r i e r 分析基本组成，小波函数是小 波分析的基本组成。但是，小波函数具有任意小的紧支特性，这使得小波分析成为处理随时 间快速变化和非平稳信号( 图像) 强有力的工具。1 9 8 5 年，法国大数学家m e y e r 首先提出 光滑的小波正交基( m e y e r 基) ，对小波理论的发展做出了重要贡献。1 9 8 6 年，m e y e r 和他 的学生l e m a r i e 提出多尺度分析思想。1 9 8 8 年，年轻的女物理学家d a u b e c h i e s 提出了具有 紧支集光滑正交基d a n b e c h i e s 基。d a u b e c h i e s 基的紧支撑品质在小波理论中取得了 无可争辩的成功。后来，m a l l a t 受金字塔算法的启示，巧妙地将计算机视觉内的多分辨率分 析思想引入到小波分析中提出了著名的快速小波算法m a l l a t 算法a f 、) l 叮) 【1 】【1 5 】，这是小 一2 一 上海交通大学博士学位论文 波理论突破性的成果，其地位相当于f o u r i e r 分析中的快速f o u r i e r 变换( f f t ) 。m a i l a t 算法 的提出宣告小波理论从理论研究转向了实际应用中。 小波分析的主要思想是寻找快速算法以计算信号和图像的紧支表示。这种紧支表示是建 立在信号和图像相关基础上的，纯粹的随机信号是没有紧支表示的。然而，现实生活中的信 号和图像大多数是具有一定的平滑性和相关性。在这种情况下，小波分析是一种非常有效的 分析工具。 小波分析是在建立在f o u r i e r 分析基础上发展起来的。这样，小波理论的研究和小波基 的确定都比较困难，并且不易理解。为此，1 9 9 4 年s w e l d e n s 提出了基于空间域的所谓第二 代小波理论：提升法小波变换( 1 i f t i n gs c h e m e ) 。与第一代经典小波变换相比，这 种基于空间域提升法小波变换具有两个主要优点：它不需要利用f o u r i e r 分析工具作为小波 构造理论，从而能更直观和容易地分析和理解信号和图像的信息。其二，提升法算法很容易 地推广到计算机图形学和非均匀采样数据处理中呻】f ”i 。除此之外，提升法小波算法还具有 另外一些优点f 2 q ： ( 1 ) 这种算法中所有的计算结果可以存储在原信号( 或图像) 的所在存储空间，即替 代的( i n p l a c e ) 。这种性质可以节省计算机的存储空间，这在d s p 芯片硬件设计中是 很重要的。 ( 2 ) 由于这种算法的计算非常简单，从而大大地减小了算法的运算量，提高了运算速 度。 ( 3 ) 逆变换容易实现。 数字图像处理和分析是小波分析应用的重要领域。这里，2 - i ) 小波变换通常采用张量积 的思想将1 - i ) 小波变换推广到2 - 1 ) 小波中。张量积小波变换是一种可分离多维变换。 j k o v a c e v i c 和e e s i m o n c e l l i 等人分别在梅花形网格和六边形网格采样点图像中建立起了非 可分离2 - d 小波变换。这些非可分离2 d 小波变换象经典小波变换一样是建立在f o u r i e r 变 换基础上的。g u y t t e r h o e v e n 等人在提升法基础上发展了一种新的非张量积小波变换红 黑小波变换( t h er e d - b l a c kw a v e l e tt r a n s f o r m ) 2 2 1 l ”】。这一新的小波变换同时具有了非张 量积小波变换和提升法小波变换的优点，并且是针对平常通用的图像采样格式的1 2 4 。 数字图像通常是一个整数阵列，但是当图像进行小波变换后输出得到的却是浮点数甚至 是无理数阵列。与输入的整数值相比，变换后输出的数值在存储和编码方面都带来一定的困 一3 一 第一章绪论 难。为此，发展一种整数小波变换在图像处理中是非常重要的内容。当然，我们可以对经典 小波变换用取整的方法来实现整数小波变换，然而，这样取整的过程会给图像带来一定的损 失，以至于原始信号无法无损地重建。幸运的是，提升法小波变换可以给我们带来一种较为 容易的整数到整数的小波变换，并且能够得到较好的重建图像。这种整数小波变换在取整过 程中却取得了较好的效果【2 6 】【2 ”。 图像“去噪”是小波分析理论的重要应用之一。尽管它具有强大而独特的功能，但是， 在图像“去噪”中就遇到了一些困难。在图像“去噪”中，小波分析算法一般都是认为图 像的高频分量是不重要的信息而加以消除。因此，在处理一些高频分量丰富的图像时效果就 不够理想。 小波收缩是非线性图像“去噪”非常重要方法之一f ”m 9 】f 3 “。小波收缩算法的最显著特 点在于：它本身是一个非线性处理过程。其优点是在消除图像中噪声的同时，能够较好地保 留图像的边缘和纹理信息，克服了许多其它算法在减小图像噪声同时会造成图像边缘模糊的 缺点f 2 s l f 2 9 j ( ”i f ”j 。基于小波收缩的“去噪”方法，将有效地提高各种图像处理的算法的性能， 全面地提高图像质量。 d o n o h o ( 1 9 9 5 ) ，d o n o h o 和j o h n s t o n e ( 1 9 9 4 ) 提出一种简单而有效的非线性小波分析( 小 波收缩) 回归方法：在小波域利用收缩方法从样本中估计未知函数2 8 】 2 9 【3 ”。在这一小波回 归算法中，收缩阚值的选择是最关键的因素。d o n o h o 和j o h n s t o n e 建议了几种选择较优收 缩闽值的策略并将此算法用于信号和图像“去噪中【2 9 】【3 0 1 。在估计小波收缩( w a v e l e t s h r i n k a g e ) 效果时常采用信噪比( s n r ) 来衡量，而在图像“去噪”中，理想无噪声的图像是 不能预先知道的。同时，收缩阈值的选择需要知道噪声的先验知识( 噪声类型和方差等) ， 大多数情况下这也是不能预先知道的。为解决此矛盾，n a s o n ( 1 9 9 6 ) 根据优化的思想提出了 著名的交互证实( c r o s s - v a l i d a t i o n ) 法，并且将累计方差交互估计( ac r o s s - v a l i d a t o r ye s t i m a t o r o f i n t e g r a t e ds q u a r e de r r o r ) 最小化以决定收缩阈值”1 。w a n g 等人进一步推广了n a s o n 的方法 【3 ”。b r u c e 和g a o 等提出了一些新的思想并研究了小波收缩在其它领域的应用“】。 小波收缩是一种非线性变换过程。其优点是在消除( 忽略) 不重要的图像细节的同时能 有效地保留重要的高频信息。在图像处理领域，它主要用于图像“去噪”、图像编码、图像 增强和重建及图像解码后“块效应”的减小等方面。以上讨论的非线性小波收缩算法对小波 一4 一 上海交通大学博士学位论文 系数的处理都只是孤立地考虑小波系数大小，而没有考虑小波系数之间的相关性。c a i ( 1 9 9 9 ) 和c a i ，s i l v e r m a n ( 1 9 9 9 ) ( 2 0 0 0 ) 进一步考虑邻域系数的相关性提出基于“块操作”的小 波收缩方法【3 5 】3 6 1 ”1 。b m n k ( 1 9 7 8 ) ，w a h b a ( 1 9 8 1 ) 将b a y e s i a n 方法应用于非参数函数回归中 ”1 b r ( 1 9 9 7 ) 在小波域中，用b a y e s i a n 模型获得了小波收缩方法。此方法利用了小波 系数两方面的相关性：其一，利用不同尺度问小波系数相关性。其二，重要小波系数在图像 的边缘聚集的特性。 1 3 基于框架的图像表示 图像的稀疏表示是图像编码和图像“去噪”的重要内容。完备和正交基的图像表示是传 统经典的方法，最近几年人们开始关注更为有效的图像表示理论：超完备和非正交的图像表 示理论。这一理论将大大的提高图像表示的稀疏程度，有助于图像处理和分析理论的进一步 发展1 4 1 1 。 数字图像的稀疏表示在许多不同的领域中有着广泛的应用，常用的d c t 变换和离散小 波变换通过对变换域系数进行阈值处理可以得到图像的稀疏表示。由于通常的小波基是不具 有方向特性，因此在表示图像的边缘信息的情况下就不够稀疏。也就是说，小波变换不具有 方向敏感性，它无法有效地表示图像的边缘特性( 线奇异性) f 4 1 l f “i f ”1 。为了解决图像的边 缘的表示，j g d a u g m a n 研究了方向性敏感的2 - 1 ) g a b o r 变换和具有方向性的小波变换】。 最近几年来，e v a n d e r g h e y n s t 和j p a n t o i n e 又提出了c a u e h y 小波和方向性二值小波变换 ( d i r e c t i o n a ld y a d i cw a v e l e tt r a n s f o r m ) “1 【“另外，最近s t a n d f o r d 大学的d d o n o h o 等人 将人类视觉的方向特性引入到小波变换中，提出了一系列具有方向性的新的变换：r i d g e l e t 变换和c u r v e l e t 变换。这些变换较好地表示了图像的线奇异性，同时保留了小波变换的多分 辨率和局域特性删j 删。 在图像的稀疏表示中，人们通常使用一组完备的正交基作为基底来分解图像，这是因为 利用完备的正交基可以使分解过程处理简单，并且得到的分解系数是唯一的1 4 1 1 1 4 ”。但是， 完备的正交基有许多严格的条件限制，正是这些严格的限制使得变换域中图像表示不够稀 - - 5 一 第一章绪论 疏，特别是在图像的边缘处更为明显。我们知道，与f o u r i e r 变换不同，正交或双正交小波 基是相当多的，这种不唯一性极大地满足了实际问题的需要。当我们为表示一个信号而选择 基的时候，可以寻找最优度量标准或准则下的最佳基。信号处理的主要目的之一是用尽可能 少的数据反映尽可能多的信息。根据这一思想，图像是由许多不同性质的局部组成，因此不 可能用唯一的一个最佳小波基来描述整幅图像以达到图像最佳表示。另外，小波分析也不是 对于所有的图像特征表示都是有效的。例如：对于具有谐振特性的图像局部用f o u r i e r 变换 分析就比小波变换更为有效，而对于具有图像边缘的局部利用c u r v e l e t 变换和r i d g e l e t 变换 能获得较好的稀疏表示。因此，人们自然想到如果舍弃完备正交的严格条件，利用不同的基 组成个超完备的联合基来表示图像，其结果是能充分有效地利用不同基的各自优点得到非 常稀疏的图像表示。这一思想实际上就是基于框架的图像稀疏表示。基于框架的图像稀疏表 示是利用超完备的基来展开图像平面，这样会导致图像表示的非唯一性。为了解决这种非唯 一性，我们将以图像表示的稀疏度为准则，利用优化算法找到最佳的图像表示。根据图像像 素点之间的相关性，i t s b e t t i n g 等人提出了基于重叠框架的图像稀疏表示算法f 5 2 】【5 3 】。另外， 根据图像局部不同特性，d d o n o h o 利用d c t 变换、小波变换和c u r v e l e t 变换组成联合基实 现了理想的图像分解算法1 4 ”。 1 4 本文的组织及工作成果 本论文以小波收缩图像“去噪”技术为研究方向，主要在小波收缩闽值、收缩规则和自 适应图像“去噪j 几个方面进行了比较深入的研究提出了若干新的算法和相关的论点。同 时，根据框架理论思想，本文提出了一种新的非张量积小波变换：基于框架的红黑小波变 换f r b w ( f r a m e b a s e dr e d - b l a i c kw a v e l e t t r a n s f o r m ) 。全文的安排如下： 第一章为绪论，首先简单地介绍了本文所涉及的小波变换、小波收缩图像“去噪”和基 于框架的图像表示理论的历史和发展现状。然后，介绍全文的结构安排和本文所研究的创新 成果。 第二章主要介绍了小波分析理论的基本知识。第一节引言简单介绍这一章的内容。第二 节简单描述了经典小波分析的基本知识，并且论述了小波分析与图像点奇异特性的关系。第 三节阐述第二代小波变换：提升法( 1 i f t i n gs c h e m e ) 小波变换算法，同时分析了这种新的小 一6 一 上海交通大学博士学位论文 波变换的优点。另外，重点