（基础数学专业论文）高阶非线性中立型微分方程解的振动性.pdf

摘要 本文主要研究了两类时滞微分方程解的振动性。共由三章构成： 第一章简要地介绍了问题的发展历史和研究意义、回顾和说明了具 有时滞微分方程的研究历史和现状。 第二章研究了偶数阶不稳定型超线性时滞微分方程解的振动性，通 过构造相应不等式的解并运用b a n a c h 压缩映射原理，证明该方程总存在 一个无界最终正解，然后建立了保证其所有有界解振动的充要条件。 第三章研究了奇数阶非线性中立型微分方程正解的存在性，运用 l e b esg e r 控制收敛定理和b a n a c h 压缩映射原理，证明该方程存在最终正 解。 关键词：时滞微分方程，振动性，非振动性 a b s t r a c t t h i sp a p e r ，c o n s i s t i n go ft h r e ec h a p t e r s ，i n t e n d s t od e s c 1 b et h e o s c i l l a t i o nb e h a v i o ro ft w oc l a s s e so fd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s c h a p t e r1i sab r i e fi n t r o d u c t i o nt o t h eh i s t o r i c a lb a c k g r o u n da n dt h e s i g n i f i c a n e e o ft h i ss t u d ya n do u t l i n e s t h er e c e n td e v e l o p m e n tf o rt h e o s c i l l a t i o no fd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s - c h a p t e r2 i sas t u d yo nt h ee v e no r d e rs u p e r l i n e a rd e l a yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o nw i t hu n s t a b l et y p e b yc o n s t r u c t i n gas o l u t i o n o ft h ei n e q u a l i t y c o r r e s p o n d i n gt h ee q u a t i o na n db yu s i n gb a n a c h c o n t r a c t i o np r i n c i p l e i p r o v et h a tt h ee q u a t i o na l w a y sh a sa nu n b o u n d e da n de v e n t u a l l y s o l u t l o n t h e n1e s t a b l i s ha nn e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n s f o ro s c i i l a t i o no f h i g h e ro r d e rn o n l i n e a rn e u t r a ld e l a yd i f f e r e n t i a ie q u a t l o l l s c h a p t e r3 i sas t u d yo ne x i s t e n c eo fp o s i t i v e s o l u t i o n so ft h eo d do r d e r n o n l i n e a rd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n b yu s i n gl e b e s g u ec o n v e r g e n c e c o n t r o it h e o r e ma n db a n a c hc o n t r a c t i o np r i n c i p l e t op r o v ee x i s t e n c e o f p o s i t i v es o l u t i o n s k e yw o r d s ：d e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；o s c i l l a t i o n ；n o n o s c i l l a t i o 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体己经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担 作者签名：刻、建闽 日期：讲j ：月伯 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密团 ( 请在以上相应方框内打“ ) 作者签名：弑嫂闲 聊躲没彳 醐：干 嗍加压 日期：年 堂其，6 日 s 毛 月日 第一章绪论 1 1 历史背景及研究意义 微分方程是现代数学的一个重要分支，在众多科学技术领域有着非 常广泛的应用它在力学、天文学、核物理、电子技术、空间技术和航空 等许多尖端科技领域内已成为强有力的杠杆，推动这些学科的发展在现 代生物学、医学、人工神经网络动力学和经济学等领域，微分方程的理 论和方法也是不可或缺的。随着科学技术的飞速发展，人们发现在电路 信号系统、生态系统、商业销售系统、运输调度系统、生产管理系统、 自动控制系统等领域中都普遍存在着时滞现象，且很多问题均可用时滞 微分方程为模型来描述，这对该类时滞微分方程的研究有实用价值由于 时滞微分方程解的定性研究成果对预测事物未来的发展具有重要意义， 因而，科研工作者特别重视时滞微分方程解的定性研究自上世纪六十年 代以来，时滞微分方程解的定性研究已引起了人们广泛的兴趣，并取得 了丰富的研究成果 从1 8 3 6 年s t u r m 研究热传导方程时提出二阶线性常微分方程 x 。( f ) + a ( t ) x ( t ) = 0 的振动问题以来，常微分方程的振动理论已有很久的历史s w a n s o n 1 介 绍了线性常微分方程振动理论的经典结果，文献 2 中介绍了某些非线性 常微分方程的振动性研究结果泛函微分方程振动理论区别于上述常微 分方程的振动理论，它的重点是揭示微分方程中的偏差变元的出现引起 的解的振动性或非振动性一个简单的例子是一阶线性常微分方程 z 7 ( f ) + p ( t ) x ( t ) = 0 ( 1 1 2 ) 的一切解都是定号的，其中p c ( ( 硼，) ，( 嘲，) ) ，而一阶时滞微分方程 工o ) + x ( f 一州2 ) = 0 ( 1 1 3 ) 具有振动解y = s i n t 这个振动性完全是由滞量n 2 引起的正因为这样，一 阶泛函微分方程解的振动性质的研究构成泛函微分方程振动理论中最吸 引人的篇章之一 时滞微分方程的振动理论作为泛函微分方程定性理论的一部分，在 最近3 0 年有了迅速的发展国际文献中这一领域的论文已有成千上万 篇。1 9 7 7 年以来连续出版了有关时滞微分方程振动理论的专著9 本 3 ，7 ，8 ，18 2 3 广泛的应用背景是促使这一理论迅速发展的基础 称一个微分方程的非平凡解x ( f ) 是振动的，若它在t t 。的零点集合是 无界的，否则称它是非振动的；称一个方程是振动的，如果它的每个解 都是振动的；称一个方程是非振动的，如果它存在一个非振动解。一个 非振动解或者最终为正或最终为负，从这个定义中看到解的振动和非振 动性质是无穷远点领域中的性质因而的振动理论文献中常常不明显涉 及到初始条件 1 2 本文的研究现状及研究内容 1 2 1 高阶不稳定型超线性时滞微分方程解的振动性 19 9 6 年。庾建设和张炳根 4 首先证明：二阶不稳定型时滞微分方程 x ”( f ) = p ( t ) x ( t f ) ，t ，o ( 1 2 1 ) 总存在一个无界非振动解，其中f 0 ，p c 旺f 。，o o ) ，【o ，) ) 同年， 陈明博，庾建设和张炳根 4 研究了偶数阶不稳定型线性时滞微分方程 工”( f ) = p ( t ) x ( t f ) ，f f o 2 总存在一个无界非振动解因此，对方程( 1 2 1 ) 和( 1 2 2 ) 只须研究 其有界解振动性在文献 4 - 9 中，可以发现一些有趣的有界解振动准则， 这些准则显示，方程( 1 2 2 ) 解的振动性由系数和时滞共同决定，这与 偶数阶稳定型线性时滞微分方程解的振动性有本质区别 考虑不稳定型刀阶中立时滞微分方程 ) 一p x ( t f - - q ( q x ( , 一盯】乒1 石( ，一盯) ， 这里刀l 为偶整数， 0 ，f 0 ，盯 0 ，0 0，p 0 ，f 0 ，口，0 ，j = 1 , 2 ，m 和 q c 。，o o ) ，【o ，) ) 并建立了如下两个振动准则( 振动的充要条件 ( i ) 当睦：。岛一1 ) l n p oh 寸，有f q ( j = t o 受王 儿 与唐和林 12 的研究工作的启发，本文第二章我们首先证 明方程( 1 2 3 ) 也如方程( 1 2 4 ) 和( 1 2 5 ) 总存在一个无界非振动解， 然后建立了保证方程( 1 2 3 ) 所有有界解振动的充分必要条件 3 1 2 2 奇数阶非线性中立型微分方程正解的存在性 一阶线性时滞微分方程 工( f ) + p ( t ) x ( t f ) = 0 ，t t o ( 1 2 7 ) 是最基本的泛函微分方程，其中_ r 0 ，p c ( i t 。，0 0 ) ，【o ，o o ) ) 许多复杂 的泛函微分方程振动性最终都归为方程( 1 2 7 ) 的振动性如果对充分大 t ，有 fp ( s ) d s 一1 ， ( 1 2 8 ) 一 p 则方程( 1 2 7 ) 存在最终正解 14 奇数阶非线性中立型微分方程 【x ( f ) 一p x 。( t f ) 】”+ q ( t ) l 工( t 一盯) i 胪1z ( t 一仃) = 0 ，t t o ， ( 1 2 9 ) 其中刀是奇整数，口 o ， o ，r o ，盯 o 和q c 旺“，) ，【o ，) ) 当口= = l 时， 方程即为线性微分方程 【x ( t ) 一p x ( t f ) 】”+ q ( t ) x ( t 一盯) = 0 ，t f o ， ( 1 2 10 ) 关于方程( 1 2 10 ) 解振动性和非振动性已有很多研究结果 8 ，9 ，15 17 。 当口l 或1 时，相关研究相对较少本文第三章的主要目的是在 ( 口一1 ) 2 + ( p 一1 ) 2 o n ：条件 e 广1 9 ( j ) a s 0 ，f 0 ，仃 0 ，0 t 。 ( 2 1 3 ) 文献 1 1 证明了方程( 2 1 3 ) 也存在一个无界非振动解并获得方程 ( 2 1 1 ) 所有有界解几乎“s h a r p ”振动准则 受王 11 与唐和林 12 的研究工作的启发，本章我们首先证明方程 ( 2 1 1 ) 也如方程( 2 1 2 ) 和( 2 1 3 ) 总存在一个无界非振动解，然 后建立了方程( 2 1 1 ) 所有有界解振动的充要条件相关结果参考文献 1 3 2 2 无界正解的存在性 定理2 2 1 方程( 2 1 1 ) 在【f 。，) 上有一个正解，这个正解当tj o o 时 趋于无穷。 证明：令 靴，- 船二麓 2 - ， h ( t ) = 4 历( f ) + 2 p r l n ! + t r ”n ! h l p ， ( 2 2 2 ) 显然，虿( f ) 与h ( t ) 在( 呻，o o ) 上连续，定义 则 令 和 则 y 一e 冲( 志l h 广凼) ， 2 3 ， y _ 一( f ) e x p ( 丽1 l ，) - ih ( s ) 凼) 而1l 广2 耶皿 容易看出 进而从( 2 2 4 ) 得 对t t o ，有 w 一p ( 志l 广凼) m x p ( 志l ) - 2h ( s ) d s ， y7 ( f ) = y ( t ) w ( t ) v ( t ) w ( j ) ( f ) 0 ，( j ( f ) 0 ，i = 0 , i ，刀一1 ， ( 2 2 4 ) y ( j ) ( f ) 0 ，i = 0 , 1 ，玎一i ( 2 2 5 ) y ”【f ) y ( t ) w ( t ) v ”一7 ( f ) 圳咖x p ( 志l 广凼 p h 志l 厂幽) 洲唧h 志l h 厂凼) 堋唧h 志驴j ) - ih ( s ) d s ) e x p ( 丽1c _ 川耶，司 ，c ，e x p f le x p ( ( n l 1 ) ! 。一- 口 一，o j ，”一1 ，c 5 ，出) 洲唧m 志肌一s y - h ( s ) d s ) = h ( t ) y ，( f 一盯) 6 即 耖协q ( o ( t 卅，f f o q 2 6 从t o 到，f 。积分( 2 2 6 ) 式打次，并利用( 2 2 5 ) ，我们有 硒1 加) 志孵s 胤洲y p 溉川。( 2 2 7 另一方面，对t t o p 帮叩x 扣1 - r 。计1 踯，凼 一p ( 志c 一。( t - s ) - h ( s ) d s 钠x p ( 一志小叫川耶，凼 钠x p ( 一等小叫川幽) 5 p e 之， 1 i 也就是说， l y ( t ) ( f f ) ，f f 。 ( 2 2 8 ) 设b c 表示所有定义在( - - 。o ，) 上的有界连续函数构成的b a n a c h 空间并赋 以上确界范数，令 q ： z b c ：o z ( f ) l ，棚 f ) ， 刚q 县b c 中的一个有界的闭凸子集，定义映射t ：q b c 如下： ( r z ) ( f )+ 篙1 黔 l nf l , t 揶o ) - 灿 + ”p y ( t 州- r ) z ( t - 炉r ) 小 + 志( f s y 揶灿( 卜咖( 卜j h 。， 和( 2 2 3 ) ，对t t o 我们有 儿阳冲 f o 中，) - 1h ( s ) d s 7 狐p e x p ( 警c t - - t o + 一，：- i 0 ，”) 譬( f 砧一，纠。 ( 2 2 9 ) 心 加) 警( f 计一 由( 2 2 7 ) 。( 2 2 8 ) 和( 2 2 9 ) 易知 0 ( 乃) o ) 1，f ( - ，) ， 这表明t 映q 到它自身，其次我们将证明t 在q 上是一个压缩映射 事实上，对任何z iz 2 q 和f ，o ，我们有 f ( t z 。) ( f ) 一( 死：) ( ，) f 型g 二坐! ! ! 二三! 二三! g 二到 ( 玎一1 ) ! 少( f ) + i i 二1 嘉歹万j ：( ，一j ) ”1 9 ( s ) y ，( s 一盯) i z 一，( j 一盯) 一z ：，( j 一盯) l 出 丛! 二坐! ! ! 二三! 二三! g 二型 ( 刀一1 ) ! y ( f ) + f j ! ( ) 剃如) 九j 卅卅_ ( 卜仃) l 凼 刮z 。一z ：0 ， 所以 阮- t z ：i | onx ( h ( f ) 0 或z ”( f ) 0 但不最终恒为零，则存在整数k ( o k 刀) 使得刀+ k 为奇数( 当 x ”( f ) 0 时) 或偶数( 当x ”( f ) 0 时) ，并且有 x 。o ) 0 ，t t l t o ，0 i k 和 ( 一1 ) i + 石7 ( f ) 0 ，t o ， k + 1 f 玎一1 引理2 3 2设对充分大的t ，有 q ( s ) 0 ，j ( f ，t + 盯) ， ( 2 3 1 ) 则方程( 2 1 1 ) 存在有界最终正解当且仅当 【荆一p x ( t 一力p g ( ，) | 如一纠纠托一以t ，。 ( 2 3 2 ) 存在有界最终正解 证明：方程( 2 1 1 ) 的有界最终正解显然也是不等式( 2 3 2 ) 的有界 最终正解。现设z ( f ) 是不等式( 2 3 2 ) 的有界最终正解，则由引理2 3 1 知存在t t 。使得 ( - 0 z ( f ) 0 ，t t ，( i = 0 , 1 ，2 ，刀一1 ) 从t 到o o 积分( 2 3 2 ) 式 次，并利用上式得到 撕弘) + 南厂g r n 啪一盯 p - i z g 一班幽，( 2 3 3 ) 设p = m a x ( r ，盯) ，在【t ，) 上定义函数序列 w ( f ) ) 如下： w o ( f ) = 1 ，t t ， ( 2 3 4 ) ：岛p 嘲+ 丽1j i ) - q ( s ) ( z ( s - c r ) w k ( s - c r ) ) ，墨甜+ 肛 i+ i 仃+ 力，t o ，t 【t ，) ，且 【x o ) 一p x ( t f ) 】”= q ( t ) x 卢o 一盯) ，f 丁+ p 上式表明x ( t ) 是方程( 2 1 1 ) 的有界最终正解。证毕。 定理2 3 1 假设0 0 ，t t o 令 z ( ，) = x ( t ) 一p x ( t r ) ， 则z ( ，) 有界，且 z ”( f ) = q ( t ) x ，( f 一盯) ， 由引理( 2 3 1 ) 推知存在一个f 。，o 使得 ( 一1 ) z 。( t ) 0 ，t t l ，且l i m z ( ，) = 0 ，( i = 0 , 1 ，2 ，刀一1 ) ，- _ 从t 到o o 积分( 2 3 1 0 ) 式玎一1 次，并利用( 2 3 1 1 ) 有 ( 2 3 8 ) 存在t o t o ， z ，( ，) + 志厂( 州) 柑们矿( j 卅出 ，z _ f l + f 慨( 2 3 1 2 ) 令p = m a x r ，仃 ，根据z ( ，) 在【f ：，o o ) 非增性，( 2 3 9 ) 和( 2 3 11 ) ，我们有 x ( f ) = z p z ( t i r ) + p ”x ( t 一聊r 一_ ) p 。z ( t f f ) l o 三t 讣i = 0 , t - ( 肌i + 1 ) p f + p 训凼 = 詈e 岍p 胛屹幽 圭d f + 户p ( ，+ 户j 船z ( s ) 如如+ ，行f f 乞+ ( 朋+ 1 ) l 聊：1 ，2 ， f2 + p 。 因此， 川可) 嚣d p ( + p - 口 - d z ( 蛐 昙跏( - p - j ) n z ( 蛐 if , 川j ) 凼，t t 3 = f ：+ 户 将上式代入( 2 3 1 2 ) 可得 z ，( f 净志r ( 川) - 2 q ( 旷蹦k 必) ，凼，川，( 2 3 1 3 ) y ( ) 2j ：p 劬z o ) a s ， f o 将上式代入( 2 3 13 ) 知 ( f ) 9 禹厂( j 卅- 2 q ( j ) p p ( s + p ) l r y p ( j ) 幽，f f 3 对( 2 3 15 ) 积分得 邢) 高f ( 孝叫川孵) p b ( f + p ) r y p ( 善) 鸳，s r 3 将( 2 3 1 6 ) 代入( 2 3 1 4 ) 加) 志j ：p 叫7f o ( 善叫川孵) p 胁晰j ，化) 螂 志胎一曲- i q ( 加州p 咖y 喈) 蚴 而, t - - # 扩7 肼9 p 俐7 j ，声( 。嘞 志孵俨印h y ) 卜廿凼菇 令 = 盎f ：p 胙圳7 【p o - , ) , _ p m 蜘炒坩凼 i 蒜。f p 雕纠7 p ( i - s l f - - p r o # k g 批酽凼嗥( 2 3 1 7 ) 以f ) ：p 厦f 竹) 7 k ( 1 _ f ) f p 1 f k ( f ) 【施) 】， f f ， ( 2 3 1 8 ) 显然，w ( t ) 0 ，t t 3 进一步说，从( 2 3 17 ) 和( 2 3 18 ) 知w ( t ) 0 w o ) fw g 灿 一，( 去) , o p # o + p ) , p ( i - t ) r _ p - , , , q o l ，岛c 2 3 - 9 ， 当正 f ，+ l 时，有 l 。w o ) d s o 成立，对( 2 3 1 9 ) 式积分得 ( 盎 ，( p ，。+ p v 7 c p 。一，v f p b ，7 ，g c r ，办 ( w o 弛w g 协) 衍 = 击陋以协) 卜卢一( 1 。炳) 1 。 所以 击( e 。w g 胁) 1 。 t r 1 f p 卢o + 户v 7 【p o 一，v f p - t 3 # q ( t ) d t p ，一1 - 7 7 q ( s ) d s 一1 j 肛1 p r u 1 p口序天可、l ，0 2 为 。 因 又 由 = c p 刚7 9 0 ) j ：黜p - s i r 凼幽 ，、竹一i = ( 击炒r o g p 可咖氰击厂错卜 i + p 1c p m 肛g g 协 2 【击j 胁) e x p 【f - l ( 川叫机 由( 2 3 2 2 ) 可知 妒1l 篙一1 q 晰诚 t 。+ p ，使得 ( ) a p - a o rf p - * rf g j ) 川p 外卅7 9 g 灿 r 和 y ( ，) ) ，= 一百r - a p 万- p p rr g f ) ”2 p 烈h h 口g 批矿d s _ t 根据( 2 3 2 4 ) 式，存在互 r + f ，使得 1 3 ( 2 3 2 7 ) ( 2 3 2 8 ) ( 2 3 2 9 ) f 叩p 俐7 r g 一正) ”1p 雕- g g 批) 】卢d s 0 ， f 丁 令 u ( t ) = p 似y ( f ) ，t t 由( 2 3 2 8 ) 一( 2 3 3 2 ) 式，我们有 0 甜( f ) 材( 正) r - j p 五f ，( f ) 0 ，r 五 和 y ( f ) = j ：p - s i r u g 盗+ y ( t j ) ，f 互 定义函数，( f ) 如下： if 。1 “( 正+ f ) ( ，一正) ， 互t 互+ f ， ，( f ) = p 一【，( f + f ) 一u ( t + r ) 】，t ， 互和 v ( t ) = u ( t ) + p v ( t f ) ，t 互+ f 由( 2 3 3 3 ) ，( 2 3 3 4 ) 和( 2 3 3 5 ) ，我们有 ( 2 3 3 0 ) ( 2 3 3 1 ) ( 2 3 3 2 ) ( 2 3 3 3 ) ( 2 3 3 4 ) ( 2 3 3 5 ) ( 2 3 3 6 ) v ( ，) 甜( 正+ f ) “( 正) _ r 一1 p n t , t ! t 正+ f ( 2 3 3 7 ) 由( 2 3 3 3 ) ，( 2 3 3 4 ) ，( 2 3 3 6 ) 和( 2 3 3 7 ) 并利用y ( t ) l ，t t ，我们得到 n - 1 v ( f ) = p u ( t i r ) + p “v ( t n r ) ，= o n - ip7 “( f f f ) + p n l , - i p 瓦f i | n ，：- 。il ：、i r 。，p ( ，一f j l ，7 材( j ) a b + f 一1 p ”+ f = 1 i - ，p ( - - l u ( s ) 出+ f 一1 五f 吾扩一批邢) 凼+ t - 1 v f = 昙p ( ，- f 珈 i p j 7 c j ，幽+ 1 4 咖 p - 4 7 u ( 蛐+ y 纯) ：三p ( 卜f ) r 少o ) 正+ 刀f f 五十( 刀+ 1 ) f ，刀：1 ，2 ， f 已知y ( f ) o ，f t ，从上式可知 v ( t - d r ) o ，f o ，盯 o 和q c ( 【f o ，) ，【o ，o o ) ) 当口= 口= 1 时，方程即为线性微分方程 【x p ) 一p x ( t f ) 】”+ q ( t ) x ( t 一矿) = 0 ，t f o ， ( 3 1 2 ) 关于方程( 3 1 2 ) 解振动性和非振动性已有很多研究结果，见 8 ，9 ， 15 一1 7 当口l 或1 时，相关研究相对较少本章的主要目的是在 ( a 1 ) 2 + ( p 1 ) 2 0 及条件 f o j ”一椰) 0 ，且( 3 1 3 ) ) 成立，则方程( 3 1 1 ) 存在有界最终正解。 证明：令，表示所有定义在【f o ，) 上的有界连续函数构成的b a n a c h 空间， 并赋以上确界范数， i i x l i = s u p l x ( t ) t - t o 下面分5 种情况讨论： 情况1 口1 且0 p 0 0 或口= 1 且0 p 0 ，使得d p d 。记 占= ( d p d 4 ) r ，由( 3 1 3 ) 知存在t t o + f + 盯使得 志矿f s - i q ( s ) a s d 叫口- - 占 ( 3 2 1 ) 在【f 。，) 上定义函数序列缸。( f ) ) 如下： x o ( ，) = d ，t t o ， ( 3 2 2 ) 1 6 以+ 。( f ) ： 占+ 从而( ，一力尸+ 厂筹g o ) k ( j 一r 凼f l ( 3 2 3 ) 【 s，tof 1 由( 3 1 3 ) 知存在t t o + f + 盯，使得 丽1 f s - i q ( s ) 出t p - i ( 3 2 5 ) 在【f 0 ，) 上定义函数序列。( f ) 如下： y 。( f ) ：1 ，t t 。， ( 3 2 6 ) 则 儿 =胃螂制+ 厂d 簪珧 一计叫嘲2 7 ， p - - 1 ，t o t z 印 等绷) 9 1 降m 以叫卜厂j f o 筹咖，陟o ( u - a ) 古障小f 丽s n - i 们，叫 j 1 l p 2 - i 州+ 孚 确，。 1 7 一般地，由数学归纳法司证； p _ - i y k + l o ) y 1 ( f ) y 。o ) = 1 ， f f 。，k = l ，2 ， 所以极限! i my i ( f ) = y ( r ) ，o t o ) ，存在，且气1 y ( f ) d ，o f 。) 应用 l e b e s g u e 控制收敛定理于( 3 2 3 ) 式得 胁纠宇杪+ 厂r 等荆卜嘞幽旧( 3 2 8 ) 则y ( ，) 是方程( 3 1 1 ) 的有界最终正解 情况3 口1 或口= 1 且一1 0 使得 l + p c z u ”1 0 ，“k ，6 】 ( 3 2 9 ) 和 b + p b 4 a + p a 4 0 ( 3 2 1 0 ) 记 c + 6 一声【( 6 + p b 4 ) 一( 口+ p a 。) 】， d = 口一p 6 “， k = m a x p l a u 8 ：甜【口，6 】) ， 由( 3 2 9 ) ，( 3 2 10 ) 和( 3 2 1 1 ) 知 c 0 ，d 0 ，0 k t o + ”+ f + o r 使得 志fs - l q ( s ) d s m i n c ，丽万击而) 定义集合 q = & 匕：口x o ) b ，t o 和映射：q 专，。 ( 3 2 1 2 ) ( 3 2 13 ) 慨购= 卜州h ) + f 箐撕矿( 胁 脚， ( 3 2 1 5 ) 【k x 丁) ，t o t t 容易看出q 是乞的有界闭凸子集且由( 3 2 9 ) ，( 3 2 1 0 ) ，( 3 2 13 ) ， ( 3 2 1 4 ) ，( 3 2 15 ) 得 口= d + p b 4 d + 腭口( ，一f ) + r 量等9 ( j ) x ，( s 一盯) 出 协) ( ，) d + 朋一，f s - l q l ( j ) z ，( j 一们西 i ， sd4 - p a 。+ c b = b ， x 毛t t 从而对任一x q 有口慨) 6 ，t “，故qcq ，另一方面，对任意的 x ，y q 及t t ，由( 3 2 13 ) ，( 3 2 1 4 ) ，( 3 2 15 ) 得 懒) 一劬娜咖一。) | + 厂等如枇卅- y p ( ) 陋 l l x - 纠( a x 妒k ，6 】) 厂箐加) 叫 sx - 州( k 枷纠：“【口6 】) 志p 邪) 叫 l l x - 州( k + m a x 胁户i ：甜k6 】 乏i i 嘉矗石云j 三翱) _ l + k 巾 所以钟z 一刎2 刮仇衲一伽驯 = s u pi xx t ) 一少) ( ，) 了l + k 忙一巾 因为罢 气+ f + 仃使得 志j f o q ( s ) d s _ m i n 蕊w 可 ( 3 2 川 q = x ，a o ：1 x o ) 2 ，t ，。) ， 和映射：qj 乞 撅，= 1 + r 。f h + 2 z w r - t p i f 0 一o + n 1 ) ”1 仍一1 ) ! ( 嗽d ， q ( s 汪卢o 一盯) d s d v d , ，( 3 2 1 9 ) 则q 是，。的有界闭凸子集且由( 3 2 17 ) 1 9 f o f t ( 3 2 18 ) 和( 3 2 19 ) ，可得 1 工) ( 丁) 2 ， x q ，t t 从而有蚴cq ，且容易证明对任意的x , y q 及t 丁，有 l 慨) ( ，) 一驯卜硼m a x 伽声i ：掰【1 ，2 】) f 丽i g ( s ) 出 争一巾 所以：q q 是压缩映射，由压缩映射原理知存在x = b ( f ) ) q 使得帆= x ， 即 _ ) c ( f ) ：l + j f o 邶+ 2 w 川r - ) i ，工r ( s - u 川+ n - ) 1 1 ) - 删x ，( j d ) 凼撕，f 丁( 3 2 2 0 ) 且扛( f ) ) 为方程( 3 1 1 ) 的有界最终正解 情况5 口：1 且p t 。+ f + 盯使得 而1 炒；s - t q ( s ) d s 1 p i - 1 + 2 p + 2 + 阿筹咖矿旷啪叫 古l - l + 2 p + - - 。”兰，：f s ”1 q c s ，x ，c s 一仃，凼j 且 土( 1 + 2 p p 一1 ) p = 1 眦，如伽小f 譬如矿”郴 _ 2 + 志f ( s - t + n - 1 广琢咖可) 出 2 + 二而i f g ( j ) x 声( j 一盯) 凼 2 即 i x ) ( 丁) 2 , t ，o 故qcq 另一方面，对任意的工，y q 及f 丁，有 卜啡 p 2 l + i 工一y i t 由p 一1 知 。 崭扎 所以 i i x - * y l l i i x - y 1 1 即中：qj q 是压缩映射，由压缩映射原理知存在x = & ( f ) ) f 2 使得锄= x ， 、 即 j c ，= p 。1 - l + 2 p + x ( t - r ) + 工”。1j f o 垒箐q ( u ) x p ( u - o ) 如出 ，丁 2 1 结论 本文主要研究了两类时滞微分方程解的振动性 第二章中，我们研究了一类偶数阶不稳定型超线性时滞微分方程 解的振动性，通过构造高阶微分不等式的解并运用b n a a c h 压缩映射 原理，证明了该类方程总存在无界最终正解；通过运用积分不等式技 巧将这类偶数阶不稳定型超线性时滞微分方程解的振动性问题转化 为一阶超线性时滞微分方程有界解的振动性问题和非振动解的存在 性问题，并运用已有文献中关于一阶超线性时滞微分方程有界解的振 动性和非振动解的存在性的相关结果，继而建立了保证其所有有界解 振动的充分必要条件特别是能建立这种高阶超线性微分方程有界解 振动的充分必要条件是非常有创新性的，且在此基础上还可继续研究 这类方程的非线性多滞量情形，可望获类似的结果 第三章中，我们研究了奇数阶非线性中立型微分方程正解的存在 性，并运用已有文献中关于差分方程解的存在性的相关结果，并运用 l e b e s g u e 控制收敛定理和b a n a c h 压缩映射原理，证明该类方程存在 最终正解对于该方程解的振动准则，是我们进一步研究的课题 参考文献 【l 】s w a n s o n ca c o m p a r i s o na n do s c i l l a t i o n t h e o r y o fl i n e a r d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s n e wy o r k ：a c a d e m i cp r e s s ，19 6 8 2 8 19 6 【2 】k r e i t hk o s c i l l a t i o nt h e o r y n e wy o r k ：s p r i n g e r ，l9 7 3 ，卜9 8 【3 】燕居让常微分方程振动理论太原：山西教育出版社，l9 9 2 ，6 12 8 【4 】y ujs ，z h a n gbg t h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es ol u t i o nf o rs e c o n do r d e r n e u t r a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hu n s t a b l et y p e s y s t e ms c i e n c ea n d m a t h e m a t i c a l ，19 9 6 ，( 16 ) ：9 2 9 6 【5 】c h e nmp y ujs ，z h a n gbg t h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o r e v e no r d e rn e u t r a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s p a n a m e rm a t h e m a t i c a l j o u r n a l ，1 9 9 6 ，( 6 3 ) ：6 l - 7 7 6 】z h a n gbg ，y ujs o nt h ee x i s t e n c eo fa s y m p t o t i c a l l yd e c a y i n gp o s i t i v e s o l u t i o n so fs e c o n do r d e rn e u t r a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s jo u r n a lo f m a t h e m a t i c a la n a l y s i sa n d a p p l i c a t i o n s ，19 9 2 ，( 16 6 ) ：1 1 l 【7 】z h a n gbg o s c i l l a t i o no fs e c o n do r d e rn e u t r a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s k e x u et o n g b a o ，19 8 9 ，( 3 4 ) ：5 6 3 - 5 6 6 【8 】g y o r iil a d a sg o s c i l l a t i o nt h e o r yo fd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s w i t h a p p l i c a t i o n s o x f o r d ：c l a r e n d o np r e s s ，l9 9 1 ，1 9 2 【9 】e r b elh ，k o n gq i n g k a i ，z h a n gbg o s c i ll a t i o nt h e o r yf o rf u n c ti o n a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s n e