（基础数学专业论文）广义椭圆积分与广义η偏差函数的若干性质.pdf

浙江理工大学学位论文版权使用授权书 删删删f f 删删 y 1 7 | , 4 , , i , | 1 1 7 j l lj 4 i i ij i t 2 j ij i i l l 4 + i l l l 文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国家 机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅或借阅。本人授权浙江理工 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在 不保密 学位论文作者签名菇多包翔 日期：吲汐年孕月万日 年解密后使用本版权书。 指导教师签名： 日期：d ，o 年4 月l6 日 浙江理工大学硕士学位论文 摘要 广义椭圆积分在数论、拟共形映照、几何学等数学领域及其他学科和工程技术中有 着广泛而重要的应用。而当a = 1 2 时，广义椭圆积分k ( r ) 、毛( r ) 以及与之相关的m 口( r ) 、r a m a n u j a n 模方程的解妒k ( 口，r ) 依次退化为瓦( r ) 、( r ) 、m ( ) 和h e r s c h p f l u g e r 偏差函 数妒k ( r ) 。i i i i r a m a n u j a n 模方程的解妒k ( 口，r ) 的性质与广义偏差函数r k ( a ，t ) 及入( 口，k ) 的 性质密切相关，并且似( 口，t ) 与入( n ，k ) 在拟共形映照的极值问题和拟正则映照以及拟对 称函数等其他数学领域中发挥着重要的作用。因此，对于广义椭圆积分瓦口( r ) 、厶( r ) 和广 义卵一偏差函数的性质的研究是十分必要的。 本文三章组成。 第一章，主要介绍本文的研究背景并引进本文所涉及的一些记号。 第二章，我们主要研究由咒口( r ) 和幺( r ) 定义的某些函数的单调性及凸凹性，并获得它 们满足的一些不等式。 第三章，我们主要研究了由r a m a n u j a n 模方程的解咿k ( o ，r ) 定义的特殊函数r j c ( a ，t ) 与a ( 口，k ) 的分析性质。 关键词：广义椭圆积分，r a m a n u j a n 模方程，单调性，h e r s c h p f l u g e r 偏差函数， 不等式 i 浙江理工大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h e g e n e r a l i z e de l l i p t i ci n t e g r a l sh a v em a n ya p p l i c a t i o n si ns o m em a t h e m a t i c a lf i e l d s ， s u c ha sn u m b e rt h e o r y , q u a s i c o n f o r m a lt h e o r ya n dg e o m e t r y i ti sw e l lk n o w nt h a tt h e g e n e r a l i z e de l l i p t i ci n t e g r a l sk ( ，) ，厶( r ) ，t h er e l a t e ds p e c i a lf u n c t i o n sm ar ) a n dt h es o 1 u t i o no fr a m a n u j a nm o d u l a re q u a t i o n 妒( n ，r ) r e d u c et ot h ec o m p l e t ei n t e g r a l so ft h e f i r s ta n dt h es e c o n dk i n d 瓦( r ) ，( 7 _ ) ，m ( r ) a n dh e r s c h - p f l u g e rd i s t o r t i o nf u n c t i o n 妒( r ) ， r e s p e c t i v e l y , w h e na = i 2 t h ep r o p e r t i e so ft h es o l u t i o n 妒k ( 口，r ) o fr a m a n u j a nr o o d u l a re q u a t i o na r ec l o s e l yr e l a t e dt ot h ep r o p e r t i e so fr k ( a ，t ) a n da ( 口，k ) ，w h i c hp l a y i m p o r t a n tr o l e si nq u a s i c o n f o r m a lm a p p i n g s ，q u a s i r e g u l a rm a p p i n g s 。q u a s i s y m m e t r i c f u n c t i o n sa n di no t h e rm a t h e m a t i c a lf i e l d s s oi ti s s i g n i f i c a n tt os t u d yt h em o n o t o n i c i t y , c o n c a v i t ya n dc o n v e x i t yp r o p e r t i e so f | i c 口( r ) ，厶( r ) a n dt h eg e n e r a l i z e d ，? - d i s t o r t i o n f u n c t i o n t h i st h e s i si sd i v i d e di n t ot h r e e c h a p t e r sa sf o l l o w s i nt h ef i r s tc h a p t e r , w ei n t r o d u c es o m ed e f i n i t i o n sa n dn o t a t i o nu s e di nt h i st h e s i s i nt h es e c o n dc h a p t e r , w ep r e s e n ts o m e m o n o t o n i c i t ya n dc o n v e x i t yp r o p e r t i e so f c e r t a i nf u n c t i o n sd e f i n e di nt e r m so ft h eg e n e r a l i z e de l l i p t i ci n t e g r a l s 咒口r ) a n d 幺( r ) ， f r o mw h i c h , s o m ei n e q u a l i t i e sf o l l o w i nt h et h i r dc h a p t e r , w es h o ws o m ep r o p e r t i e so ft h ef u n c t i o n s 懈( n ，t ) a n d 入( 口，k ) d e f i n e di nt e r m so ft h es o l u t i o n 妒( n ，r ) o fr a m a n u j a nm o d u l a r e q u a t i o n k e yw o r d s ：g e n e r a l i z e de l l i p t i ci n t e g r a l s ，r a m a n n j m o d u l a re q u a t i o n , m o n o t o n i c i t yp r o p e r t y ，h e r s c h p f l u g e rd i s t o r t i o nf u n c t i o n , i n e q u a l i t y 2 1 咒n ( r ) 、乙( r ) 关于变量r 的性质 2 2 瓦d ( r ) 、( r ) 关于参数a 的性质 2 3 第二类完全椭圆积分的一个不等式 第3 章广义a g 盯d 偏差函数 3 1 似( n ，t ) 的一些性质 3 2 a ( o ，k ) 的界 参考文献 致谢 攻读学位期间的研究成果 i i i i 1 1 3 8 8 4 4 五6 o 3 7 8 ， 1 1 1 1 2 2 2 2 第1 章绪论 本章将引入一些记号，并简要介绍g a u s s 超几何函数、完全椭圆积分、广义椭圆 积分及h e r s c h p n u g e r 偏差函数等特殊函数的研究现状。 本文中，对任意的r 0 ，1 ，总记r 7 = _ 。 1 1 g a u s s 超几何函数 给定复数口，6 和c ，c 0 ，- 1 ，- 2 ，g a u s s 超几何函数是由下式定义的函数在裂 纹复平面c o ，o 。) 上的解析开拓： 州；c ；z ) _ 2f 1 ( a , b ；c ；z ) = n 妻- - - - 0 絮铲一例 0 超几何函数在z = 1 点附近的性状分口+ 6 c 三 种情况给出： 卜如；1 ) = 艘岛书炉川， 1b ( n ，b ) f ( a ，b ；a + b ；x ) 4 - l o g ( 1 一z ) = 冗( n ，6 ) + o ( ( 1 一z ) l o g ( 1 一z ) ) ， ( 1 5 ) lf ( n ，6 ；c ；z ) = ( 1 一z ) ( 卜口山) f ( c n ，c 一6 ；c ；z ) ，c 0 ，z ( o ，1 ) ，令u = u ( z ) = f ( 口一1 ，b ；c ；z ) ，秒： u ( 名) = f ( a ，6 ；c ；z ) ，u l = u ( 1 一z ) ，v l = v ( 1 一z ) 。那么有 以及 d 让 z 如 = ( a 一1 ) ( 秒一位) ， z ( 1 一z ) 玉d v = ( c 一口) 乱+ ( a - - c q - 6 z ) u ， 譬z ( 1 一z ) f ( 口+ 1 ，6 + 1 ，c + 1 ；z ) ：( c 一口) 乱+ ( a - c + 6 z ) u z ( 1 _ z ) 瓦d ( u v l - u l v - - v v l ) ： 论。 ( 1 8 ) ( 1 9 ) ( 1 1 0 ) ( 1 一口一6 ) ( 1 一z ) u v l z t t l v 一( 1 2 z ) v v l ( 1 1 1 ) 由定理1 1 1 不仅能得到后面将要介绍的广义椭圆积分的导数公式，而且有如下推 推论1 1 2 6 ，7 】记号同上一定理，如果n ( o ，1 ) ，b ：1 一口 0 。利用( 1 2 4 ) ，可以将上式写成 p 。( s ) = p p 口( 7 ) ( 1 2 7 ) 若令p = 1 k ，则模方程( 1 2 7 ) 的解即为广义h e r s c h - p n u g e r 偏差函数： s = 5 i o r ( a ，7 - ) 兰弘i 1 ( p 口( r ) k ) ，妒k ( 口，o ) = 【f l k ( a ，1 ) 一1 = 0 ( 1 2 s ) 显然，当口= 1 2 时，( 1 2 6 ) 式退化为经典的模方程【1 8 】 瓦，( s ) p c 7r ) = 一 咒( s ) i c ( r ) 即 肛( s ) = ( r ) 而妒k ( 口，r ) 则退化为h e r s c h - p n u g e r 妒一偏差函数 1 9 2 0 】 妒k ( r ) = # - 1 ( p ( r ) k ) 7 浙江理工大学硕士学位论文 第2 章广义椭圆积分的性质 首先，我们列出研冗厂义椭圆积分常用的几个公式【，j 对于a ( 0 ，1 2 j ，r ( 0 ，1 ) ，有k ( r ) 、名( r ) 的求导公式 一d l c a ( r ) d ：2 ( 1 一口) 堑上塑挝， (21)rr r r z 、， ， 、， 丁d c a ( r ) = 2 ( ) 掣， ( 2 2 ) 广义l e g e n d r e 关系 毛( r ) 磋( r ) 一k ( r ) 磋( r ) + 晚( r ) 髟( r ) = r 4 r ( s 而i n ( i r a ) ( 2 3 ) 在本文中，我们还经常用到以下导数公式： 昙|ica(r)一厶(叫=了2(1-a)rg,a一(一r)， ( 2 4 ) 石d 阪( ，) r t 2 瓦口( 7 ) 2 卯k ( r ) ( 2 5 ) 2 1 瓦口( r ) 、乙( r ) 关于变量r 的性质 本节给出广义椭圆积分关于变量r 的一些分析性质，并获得咒口( r ) 、厶( r ) 的一些 不等式。当a = 1 2 时，定理2 1 2 即为 1 5 ，t h e o r e m2 8 】。 引理2 1 1 ( 1 ) 函数，( r ) 三 瓦口( 7 ) 【1 + ( 1 2 a ) r 在】一2 ( 1 一q ) ( r ) ) r 2 从( o ，1 ) 到( ( 1 2 0 + 2 a 2 ) 7 r 2 ，。) 上是单调上升且是向下凸的。 ( 2 ) 对o ( 0 ，1 2 ) ，函数9 ( r ) 三 ( 2 - r 2 ) | i c 口( r ) 一2 厶( r ) ( 2 一r 2 ) 尼( r ) 一2 ( r ) 从( o ，1 ) 到( 1 ，o 。) 上是单调递减。 ( 3 ) 如果函数f 是向下凸的( 向上凸的) 且是单调递减的，g 是向上凸的( 向下凸 的) ，那么fog 是向下凸的( 向上凸的) 。 8 。由此即 得，的单调性和凹凸性。显然，f ( o + ) = ( 1 2 a + 2 a 2 ) 7 r 2 ，f ( 1 一) = 。 ( 2 ) 令口n = ( 口，几) ( 1 一o ，礼) ( n + 1 2 口) ( 几+ 1 ) ( 凡! ) 2 ，6 n = n ( 1 2 ，n ) 2 ( 礼+ 1 ) ( 几! ) 2 】，c n = a n b 礼。则有： o o 夕( 小= ( r 2 n ) ( k r 2 n ) ， n = on = o ( 5 1 2 a + 4 a 2 ) 礼2 + 2 3 5 a 一4 a ( 1 一口) 2 n + l 一2 a c n ( n + 1 ) ( n + l 一2 a ) ( 2 n + 1 ) 2 易知，上面c n + l c n 的表达式第二项的分子中各系数均为非负。因此，c n 关于佗单调 下降，从而根据【4 7 ，l e m m a2 1 】得到夕的单调性。运用1 7 h 6 p i t a l 法则易知：9 ( o + ) = o 。，g ( 1 一) = s i n ( 7 i - a ) 。 ( 3 ) 证明参见【1 3 ，l e m m a2 1 ( 2 ) 】。口 定理2 1 2 ( 1 ) 函数，( r ) 三秘( r ) s i n ( t r a ) + l o g ( r 1 + r ) 从( o ，1 ) 到( 7 r ( 2s i n ( 7 r 口) ) 一 l o g2 ，r ( a ) 2 ) 上严格单调递减且是向下凸的。特别地，对任意的口( 0 ，1 2 和r ( 0 ，1 ) ，成立不等式： 蒜面一l o g 2 + 1 0 91 了q - r k ( r ) 9 浙江理工大学硕士学位论文 乩g 2 + 掣+ l o g2 一南 ( 1 - 一仙g 孚 ) a ( o ，1 ) 至u ( t r ( 2s i n ( z r a ) ) 一l o g2 ，冗( a ) 2 ) 上严格单调递增且向 f ( 1 ) = r 2s i n ( i r a ) 一l o g2 。由( 1 5 ) 得f ( o + ) = r ( a ) 2 。求导 = 刍 2 ( 1 叫旷氍一跏) 1 叫s i n ( 叫) ：坠型塑垃毪盟坐生划，删_ r t 2 ( r ) = 2 r 2 瓦：( r ) ( 3 口一2 a 2 1 ) + 2 ( 1 一口) 砭( r ) 一s i n ( r r a ) ， ( r ) = r 3 ， 贝0 有：k ( 1 ) = a ( i ) = ，3 ( o + ) = h ( o + ) = 0 ， 2 爿( 川一2 r 2 j i c ：( r ) ( 1 一a ) ( 2 a 一1 ) + 2 ( 1 一口) 髟r ) 一s i n ( i r a ) ( r ) = - = ：二= 二二二= 一二二二 尼( 7 ) 一r 3 一a ( r ) 器= 掣m + ( 1 - 2 a 炉脚) - 2 ( 1 - 口) 跏) 由引理2 1 1 ( 1 ) 知矗( r ) 丘( r ) 在( o ，1 ) 上单调下降。所以，根据引理1 2 1 ，f 7 在( o ，1 ) 上 单调递增。由1 7 h 6 p i t a l 法则得：，7 ( 1 + ) = - 2 r ( 1 一口) ( 2 n 一1 ) 1s i n ( z r a ) 。5 k 删u f 的 单调性和凸凹性。余下的不等式为显然。 ( 2 ) 夕的单调性可从( 1 ) 直接得到。因为，是单调递减且向下凸的，而函数 ( r ) = r 7 是向上凸的，故根据引理2 1 1 ( 3 ) 即可得到9 的凸凹性。i 1 下面的定理1 3 推广了【1 5 ，t h e o r e m1 9 】。 定理2 1 3 函数，( 7 ) = 毛( r ) 品( r ) 一庀口( r ) 咒( r ) + r 2 k ：口( r ) 心( r ) r 2 瓦：( r ) 从( o ，1 ) 到( s i n7 r a 2 ( 1 一口) ，7 r 2 ) 上单调下降。 证明令 ( r ) = a ( r ) $ a ( r ) - - l e 口( r ) 咒( r ) + r 2 i e a ( r ) l c a ( r ) ，9 l ( r ) = r v c ( r ) 。则 ( o ) = m ( 0 1 = 0 ， 爿( 川一2 ( 1 一o ) 巳( r ) 氍r ) 一2 ( 1 一口) 幺( r ) 髟( r ) + ( 2 口一1 ) r 彪i c 口( r ) 氍r ) 如( r ) 夕i ( r ) r 1 2 ，、一o t ( r ) 一( 1 一口) 幺( r ) + ( 1 一n ) r 2 疋：( r )一9 2 ( r ) 浙江理工大学硕士学位论文 = 2 ( i a 、 幺r )( 1 2 a ) c 。( r ) 1 + n 锈翳驸1 一( 1 一。) 哗t 鼓2 铲r 由【7 ，l e m m a5 2 ( 5 ) 1 知上式第一项在( o ，1 ) 上单调下降；由【7 ，l e m m a5 2 ( 4 ) 】，上式第 二项在( o ，1 ) 上单调上升。所以，由引理1 2 1 得到函数，的单调性。，的极限值为显 然。口 下面定理2 1 4 推广t i 5 ，t h e o r e m2 1 2 】。 定理2 1 4 当口( 0 ，1 2 ) 、a = ( 1 一o ) 7 r 、b = ( 1 + a ) s i n ( i r a ) 时，函数危( r ) 三 ( 【2 + ( a 一1 ) r 2 瓦口( r ) 一2 & f f ) l o g ( z 7 - 7 ) 从( o ，1 ) 到( b ，a ) 上单调下降。 证明令h l ( r ) = 【2 + ( a 一1 ) r 2 瓦。( r ) 一2 乙( r ) ) ，h 2 ( r ) = i o g ( i r 7 ) ，则h l ( 0 ) = h 2 ( 0 ) ， 糍_ 2 ( 1 刊坂忙2 ( 1 叫+ 0 ( ) - r a c ( 州 ， ：p ) = 2 r 瓦。( i ) 卜2 一( 1 一口) 茎措 由【7 ，l e m m a 5 2 ( 3 ) 】知，( 7 ) 2 ( 1 - a ) 时，函数 ( r ) 三( c + r 2 ) & ( r ) 一( c r 2 ) j c 口( r ) 从( o ，1 ) 至l l ( - o c ，o ) 上 单调递减。 证明( 1 ) 求导得 爿( r ) = ：t ，( 4 一口一3 r 2 ) ( r ) 所以，取r 1 = v 琢- a ) 3 即得结论( 1 ) 。 ( 2 ) 求导得： ( a r 2 ) 2 7 最( r ) = ( a + r 2 ) e ( r ) 一( a r 2 ) 瓦( r ) = f l ( r ) 1 a 4 时，据( 1 ) 及 ( o ) = o 和k ( 1 ) = 一o 。，即可得到结论( 2 ) 。 ( 3 ) 求导得： j 鼍( r ) ：笔“( 1 一。) ( 1 一c ) + ( 2 一口) r 疙 毛( r ) + ( 2 n 一1 ) r n 咒口( r ) ) 所以矗( r ) o 当且仅当对所有r ( 0 ，1 ) 成立： c 击+ f 南m f 4 ( r ) 兰( 1 2 0 ) 厶( r ) 一r 疙k p ) 】一( 2 一口) r 2 & ( r ) ，由于 嘉两肌) 叫忙( 4 - 4 a + a 2 ) 垦莆盟一2 ( 1 - - a + a 2 ) 1 2 当c 2 ( i i j 函数f ( r ) 兰 其中， ( r ) = 1 + 2 ( ，a r t h r ) r ， (r)：1【互7f_rf2ico(r)】一2(1一口)墨丞!掣-ralq(7) = 三薹帮伽+ 1 ) 【1 嘞( 1 叫h ( 1 - n ) 矿孔 显然，当n o 时，( 佗+ 1 ) 1 2 a ( 1 一口) 1 一a ( 1 一a ) 1 3 a ( 1 一a ) l 4 。所 以矗在( o ，1 ) 上严格递增且为正的。根据 s z ，l e m m a3 ( 1 ) i ， 在( o ，1 ) _ 1 5 单调递减。因 此，f a ( r ) f 4 ( r ) 在( o ，1 ) 上严格递增。从而由引理1 2 1 得到，的单调性。 显然，( o + ) = ( o + ) = 吾【l 一3 a ( 1 一n ) ，( 1 _ ) = f 3 ( 1 一) = 詈一s i n ( r a ) 。余下 的结论为显然。口 定理2 1 8 ，( z ) 兰瓦a ( 1 一t a n h ( z ) ) 在( o ，o 。) 上单调递减且是向下凸的。特别地，对 所有s ，t ( 0 ，1 ) ，有： 瓦口( s ) + 瓦n ( t ) 2 k ：。( ( 1 + s t + s t 7 8 0 ( 1 + s t + s i t 7 ) ) 证明记r ：1 - t a n h ( x ) ，贝u d r d x = 一( 1 c o s h x ) 2 ，厂7 ( z ) = 一2 ( 1 一o ) 刍与奢掣， 显然，可知【厶( r ) 一r a g n ( r ) r ，i r 口，1 c o s h x 关于z 都是正的且是单调递减的，由 此即得，的单调性和凸凹性。 浙江理工大学硕士学位论文 令s = 1 一t a n h x ，t = 1 一t a n h ，那么t a n h ( + y ) 2 ) = ( s + t ) ( 1 + s t + s i t ，) ， 从而有不等式成立。口 2 2 瓦口( r ) 、幺( 7 ) 关于参数a 的性质 本节中给出广义完全椭圆积分关于参数。的一个性质。文献【7 】和【4 8 】讨论 了j i c d ( r ) 、& ( r ) 等特殊函数关于参数口的性质。 定理2 2 1i 獭a ( a ，r ) 三口 瓦口( r ) 一幺( r ) 卜( 1 一o ) ( 7 ) 一尸j i c 口( r ) 从( o ，1 2 ) ；至u ( o ， ( 1 + 俨) 瓦( 7 ) 一2 ( 7 ) 】2 ) 上单调递增。 证明求导得 笪d n r 立= 口2 ( 1 ，- a ) r c a ( r ) 2 n ( 1 一口) r i c 口( r ) ：2 n ( 1 一口) 磊嗡( r ) _ _ r r 2 瓦口( r ) 】 根据【4 8 ，t h e o r e m2 2 5 ( 1 ) 】可知2 口( 1 一o ) r 【毛( r ) 一r a g 。( r ) 一关于a 从( o ，1 2 ) 至0 ( o ，r i e ( r ) 一一瓦( r ) ( 2 俨) ) 上单调递增。所以，对于o a ( a ，7 1 ) 。 的极限值显然。口 2 3 第二类完全椭圆积分的一个不等式 【4 9 ，t h e o r e m 2 2 给出了关于( r ) 的一个不等式：对于任意的实数r ( 0 ，1 ) ， r ( 1 ，) = ( ( 1 + ) 2 ) m ( t o ) ，p o ( 1 ，) = 痧。那么有： ( 7 r 2 ) p 口；( 1 ，r 7 ) e ( r ) ( 7 r 2 ) 魄( 1 ，r ，) ，( 2 6 ) 此处，q 5 、风最好的值为口5 = 3 2 ，傀= ( 1 0 9 2 ) l o g ( 7 r 2 ) 。本节给出( 7 ) 的一个新的 下界，并且在当7 _ 1 时要好于( 2 6 ) 的下界。 定理2 3 1 函数，( r ) 兰【7 r 2 一7 ( 7 ) 】【( 1 + 7 7 ) l o g ( 1 + r ，) 】从( o ，1 ) 到( o ，( 7 r 一2 ) ( 4 1 0 9 2 ) ) 上严格递减。特别地，对任意的r ( 0 ，1 ) ，有： 三一磊( 1 + r ) l o g ( 1 刊 钟) 1 4 证明记9 1 ( r ) v ) 7 7 ，9 4 ( r ) = 根据 7 , l e m m a5 2 性。 显然，( o ) = ( 3 1 ) ( 3 2 ) r ) 1 ( 3 3 ) j ( 冗( 口) 2 ，o 。) 1 ) ) 上递 增( 递减) 。特别地，对于r ( 0 ，1 ) 有： 冗( 口) 2 【2 ( 7 rs i n ( t r a ) ) k ：n ( r ) 瓦：( r ) + l o g r r 7 证明( 1 ) 求导并利用( 2 3 ) 得： 扩跏) = 等高慨( 小尸剐叫础卅k ( 咿础一跏) ) 一1 = 拿宝嘉芸未1 c a ( r ) r 2 瓦：( r ) 一影( r ) 】 故据 7 , l e m m a5 2 ( 2 ) 】得知：片( r ) 0 ，即函数 单调递减。 因为 ( r ) = 仇a ( r ) + i o g r + m 口r 7 ) + l o g r - 2 l o g r ，所以有：f l ( o + ) = 。，k ( 1 一) = r ( o ) 2 。 ( 2 ) 运用( 2 3 ) ，可将( 3 3 ) 改写为： 下d m a ( r ) 一1 一南哪麟r ) 1 2 ( 1 刊等 由于如( 7 ) = m 口( r ) + l o g r + m 口( r 7 ) + l o g r 7 ，故据上式求得： 面芸警笔：。可丽疋( r ) ： ( 7 _ ) 一 ( r ，) 三 ( r ) 而后( r ) 丽。2 7 ，刊3 j j 3 、户。4 、 浙江理工大学硕士学位论文 其中， ( r ) = e o ( r ) 一r a ；e 。( r ) p 2 瓦口( r ) 。依据 7 , l e m m a5 2 ( 4 ) 】，函数 从( o ，1 ) 到( 一口，口) 上单调递减，j l f 4 ( 1 v 2 ) = 0 。所以，函数如在区间( o ，1 v 2 ( 1 v 2 ，1 ) ) 上单调递增( 单调递减) 。 余下的结论为显然。口 定理3 1 2 设t ( 0 ，o o ) ，r = 、可m 。则有： ( 1 ) 函数 f ( k ) 兰儆( a ，t ) e x p ( - 2 k # 口( r ，) ) 从 1 ，o 。) 到p 唧( 一2 p 口( r ，) ) ，e x p ( 一r ( o ) ) ) 上单调递增。 ( 2 ) 函数 g ( 耻高掣 从( 1 ，o 。) 到( 2 p 口( r ，) ，4 k ：口( r ) i c ：( r ) 防s i n ( 丌o ) ) 上严格单调递减。特别地，对于k ( 1 ，) ，成立 te x p ( 2 ( k 一1 ) 肛。p 7 ) ) r l k ( a ，亡) t e x p ( 4 ( k 一1 ) 尼口( r ) 氍( r ) 防s i n ( 7 r o ) h ( k ) - e x p ( 一2 k 时，1 1 巫o k 熊2 从( 1 ，) 到( 4 厄n ( r ) l c a ( r ) e x p ( 2 # 口r ，) ) 丌s i n ( 7 r 口) 】，2 r 7 ) e x p ( 一冗( n ) ) ) 上单调递增。 特别地，对于k ( 1 ，。) ，成立 亡+ 。i 口1 2 ( r ) e x p ( 2 ( k 一1 ) 弘口( r 7 ) ) 一1 r i k ( a ，t ) t + 面( 而唧( 2 肛口( r ，) ) 【e x p ( 2 ( k 一1 ) ) 芦口( r ，) - 1 1 + c ( e x p ( 丌k ) 一e x p ( 7 r ) ) k ) 1 + 面( 丽1 e x p ( 7 r k ) 一e x p ( 7 r ) 此处c = ( ( 2 7 r ) c a ( 1 钜) ) 2e x p ( 一7 r ) 。 证明( 1 ) 记s = 似( n ，7 ) ，r l k ( a ，t ) ：( s s , ) 2 ， f ( k ) = ( s s ，) 2e x p ( 一2 k # 口( 7 ，) ) = ( 磊p 而) ) 2 = e x p ( - 2 ( 以s ，) + 1 0 9 ( s ，s ) ) ) 因此，根据【4 4 ，t h e o r e m1 4 】便得，的单调性。，的极限值为显然。 1 7 浙江理工大学硕士学位论文 则i l k 2 u ：c s j l u ：( r ) 2 弘口( ，) l u o ( s 7 ) ， g ( k ) = 磊1 可絮型 一 1 8 肛口( r ) 程( s ) 懈( 口，t ) =一二一 懈( n ，t ) 7 r 2 k 2 ：一蠼盟一 ( 3 4 ) 2 # a ( r ) s i n 2 ( r a ) 4 j 性便得g 的单调性。 咒孑( s ) 山口( r ) s i n 2 ( 丌n ) _ 【4 ( rs i n ( r a ) ) # c ：d ( r ) 磋( r ) ， g ( o 。) = l i m k 。2 群( s ) 阻口r ) s i n 2 ( 丌口) = 2 地( r 7 ) 。由g ( k ) 满足的不等式，经 从1 到k 积分便得( 2 ) 中的不等式。 ( 3 ) ( 3 4 ) 式可以得到： 啦) = 唧( 酬s ，) ) 鑫( ；) 2 = 面孟骊 佰磋( s ) e x p 啪( s ，) _ 1 0 9 ( s 7 i v y ) i 2 在( 1 ，o o ) 上单调递增。 余下的结论显然。口 定理3 1 3 - h 2 a = 2 i ts i n