（基础数学专业论文）witt型李超代数不可约限制模的广义branching+rule.pdf

m a s t e rd i s s e r t a t i o no f2 01ls c h o o lc o d e ：1 0 2 6 9 a c a d e m i cn u m b e r ：51 0 8 0 6 0 1 0 1 2 e a s tc h i n an o r m a l u n i v e r s i t y t h e g e n e r a l i z e db r a n c h i n gr u l eo ft h e r e s t r i c t e di r r e d u c i b l er e p r e s e n t a t i o n s f o rt h ew i t ts u p e r a l g e b r a d e p a r t m e n t ： m a j o r ： s u b j e c t ： s u p e r v i s o r ： m a t h e m a t i c s p u r em a t h e m a t i c s l i ea l g e b r a sa n dt h e i rr e p r e s e n t a t i o n s p r o f b i ns h u m a s t e rc a n d i d a t e ： k e y i n gx i n a p r i l ，2 0 11 s h a n g h a i 4 7 - 华东师范大学学位论文原创性声明 郑重声明：本人呈交的学位论文( w i t t 型李超代数不可约限制模的广义 b r a n c l l i n gr l l l e ，是在华东师范大学攻读五幽博士( 请勾选) 学位期间，在导师的 指导下进行的研究工作及取得的研究成果。除文中已经注明引用的内容外，本论 文不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的 个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名： 日期：沪l f 年 o ) ，对于m 朋，定义m o = m mjg i m = 0 ，v i o ) ，则有结 论：如果是范畴m 中的一个不可约模，则n o 0 ，n o 是不可约g o 模且同构 于p ( 胪) 的一个商模 9 】关于彬型的不可约表示可以参见【6 】这个结论明确了g 模的形式，将对不可约g 模的研究转化成了对p ( y ) 的研究 舒斌教授和张朝文教授在文章 5 中研究了w i t t 型超代数的限制表示，定义 k a c 模k ( a ) = 仳( g ) u ( g + ) l o ( a ) ，其中p ( 入) 是限制g o 单模，k ( a ) 有唯一极大真子 模，相应的有唯一单商模，记为( a ) g 的所有限制不可约模都同构于某一个l ( a ) 对于一个半单代数a ，设b 是a 的半单子代数，a 的不可约模m 限制在b 上不一定是b 的不可约模，但是m 可以分解成b 的不可约模的直和，a 到b 的 b r a n c h i n gr u l e 就是a 的不可约模作为b 的不可约模的分解方式的确定( 【1 2 】) 本文 考虑在g r o t h e n d i e c k 群中，w ( 佗) 的限制不可约模对应的元素关于彬( 佗一1 ) 的限制 华东师范大学硕士论文w i t t 型李超代数不可约限制模的广义b r a n c h i n gr u l e 不可约模对应的元素的展开方式，称其为w ( n ) 到w ( n 一1 ) 的广义b r a n c h i n gr u l e 本文将( n 一1 ) 自然地看做w ( 佗) 的限制子代数，则w ( n ) 模可以看作一 个w ( n 一1 ) 模第三章考虑在w ( 佗) - 模范畴中，l ( 入) 、k ) 对应的g r o t h e n d i e c k 群中的元素之间的关系，第四章证明了在限制w ( 钆) 一模范畴中的任意k a c 模，作为 w ( n 一1 ) 一模都有k a c 模的滤链第五章考虑在w ( n 一1 ) 模范畴中，三( a ) 、詹) 对 应的g r o t h e n d i e c k 群中的元素之间的关系则w ( n ) 到w ( n 一1 ) 的广义b r a n c h i n g r u l e 得到完全确定 2 第二章预备知识 在本文中，假定基域砸是代数封闭域，特征为p 且p 2 ，所有向量空间( 模) 都 是定义在f 上 2 1 李超代数 在i 一向量空间a 上定义乘法运算，任给z ，y a ，有x y a ，如果乘法运算满 足以下条件： ( i ) z ( u + z ) = x y + z z ，( y + 名) z = y x + z x ， ( i i ) 入( z 可) = ( a z ) y = z ( 入可) ，v z ，y ，z a ，入f ， 则称a 是砸上的代数【2 8 】 a 是一个代数，m 是一个交换群，如果a = 0 厶，且厶a p 钆+ 卢，则称a 口j 订 有m 阶化如果a 厶，记a = 口，称a 是齐次的在本节及以后章节中出现记号乙 时，总是认为a 是齐次元h g ( a ) 表示a 的所有齐次元组成的集合 当m = z 2 时，称a 为超代数【2 】山中的元素称为偶元素，a i 中的元素称为奇 元素若超代数4 的乘法满足结合律，则称a 为结合超代数 定义2 1 1 7 在超代数a 上定义【， 运算，v x ，y a ，【x ，y a 如果 ，】运算满足 以下条件? ( i ) x ，y _ - ( - 1 ) 孟o y ，z 】，v z ，y h g ( a ) ， ( i i ) 陋，凶，z 】 = p ，引，刁+ ( - 1 ) 孟o y ，陋，z ，v x ，y ，z h g ( a ) ， 则称a 是一个李超代数 3 华东师范大学硕士论文w i t t 型李超代数不可约限制模的广义b r a n c h i n gr u l e b 是a 的子空间，如果b o = bn a o ，口z 2 且b = b a + b 1 ，则称b 是a 的z 2 阶化子空间b 是a 的z 2 阶化子空间，如果b 关于【，】运算封闭，则称b 是a 的 子代数。j e 7 是a 的子代数，如果比a ，y b 都有陋，刎b ，则称b 是a 的理想， 如果，是李超代数a 的理想，则a i ：= o + ila a 】- 关于a 诱导的加法和 数乘构成一个殇- 阶化空间，a 的 ， 运算诱导了a i 上的 ，】运算，使得a i 成 为一个李超代数，称为a 的商代数 如果a = + a i 和a 7 = 鸽+ a ；都是超代数，妒：a a 7 是线性映射满足条 件妒( 山) a t ，护z 2 和妒( z ) = 妒( z ) 妒( 秒) ，y x ，y a ，则称妒是超代数之间的同 态如果妒还满足妒k ，们= 眇( z ) ，妒( 可) ，v x ，y a ，则称超代数同态妒是李超代数 之间的同态 v = + k 是z 2 阶化子空间，e n dv 是v 上线性映射构成的线性空间，定义 e n d a v = o e n dvin ( k ) u + 口) ，则e n dv = e n d s v + e n d i v 是一个z 2 一阶化 子空间，关于线性映射的乘法构成一个结合超代数 对于一个结合超代数a ，定义陋，6 l = a b 一( - 1 ) a 6 b a ，则4 成为一个李超代数， 记为a l 特别的有g l ( v ) ：= ( e n dv ) l 定义2 2 f 2 5 j a = 山+ a 1 是一个李超代数，如果存在结合超代数u ( a ) 和李超代 数同态i ：a _ u ( a ) l ，使得任给结合超代数u 7 和李超代数同态i 7 ：a _ 观，总存 在唯一的代数同态：u ( a ) _ 旷使得i 7 = 。i ，称u ( a ) 是a 的普遍包络代数 a 的普遍包络代数可通过如下方式构造：t ( a ) = 0t r ( a ) 是z 2 - 阶化空间a r 0 的张量代数，其中t r ( a ) 2 墨鱼垒璺：鱼a a 的z 2 。阶化诱导了t ( a ) 的z 2 。阶 r 个 一 化，使得t ( a ) 成为一个结合超代数令冗是由形如【口，6 】一oob + ( 一1 ) oa 的元 素生成的理想，可定义u = t ( a ) u 是a 的普遍包络代数 vg k a c 在文 1 】中给出了李超代数普遍包络代数的p b w 基定理，叙述如下： 如果a 1 ，a 2 ，a 。是山的一组基，b 1 ，b 2 ，6 t 是a 的一组基，则 口；1 口：。b i 。b i t 其中概0 ，1 i 1 i l t 4 华东师范大学硕士论文w i t t 型李超代数不可约限制模的广义b r a n c h i n gr u l e 构成了u ( a ) 的基 a = a o + a i 是一个李超代数，v = + k 是z 2 - 阶化子空间，称李超代数同 态p ：a _ 9 1 ( v ) 为a 在上v 的表示 a = 山+ a i 是一个李超代数，v = k + v i 是z 2 一阶化子空间，如果存在映射 a v y ，使得( a ，钉) ha v ，v a a ，v v ，满足以下条件： ( i ) ( a z + 叼可) 口= a ( x v ) + 叩( 钞) ，v 入，叩f ，x ，y a ，口v ， ( i i ) 。( a u + r l w ) = a ( z ) + 叼( z 伽) ，v 入，7 7 砸 ，z a ，口，w v ， ( i i i ) x v y o + 肛，v z a e ，可，0 ，p z 2 ， ( i v ) i x ，y 】口= x ( y v ) 一( - 1 ) 孟雪可( z 钌) ，v z ，箩a ，u v ， 则称y 是一个a 模( 2 7 ，2 6 ，3 0 1 ) 如果p ：a g l ( v ) 是a 在上y 的一个表示，定义a v = p ( n ) ( u ) ，v a a ，钉v ， 容易验证y 是一个a 模同样的，如果y 是一个a 模，能够得到a 在y 上的一个 表示，于是我们可以把对李超代数a 表示的研究转化为对a 模的研究 a = 山+ a i 是一个李超代数，如果山是限制李代数且a i 在伴随作用下是限 制如模，则称a 是限制李超代数( 2 0 ，1 4 9 等价于在山上存在p 映射纠满足下 列条件： ( i ) ( a d x ) p = a d ( z c p j ) ，比a 石， ( i i ) ( 入z ) m = a p x p ，姒f ，z a 石， ( i i i ) ( z + 可) 嘲： ) 嘲+ ( 可) 纠十p - 1 鼠( z ，y ) ，比，可a 石 i = 1 其中s i ( x ，秒) a o 由下式给出 p - 1 a d ( t x + y ) p 一1 ( z ) = i s i ( x ，y ) t i - 1 比，y a o ，其中t 是不定元 2 1 5 华东师范大学硕士论文w i t t 型李超代数不可约限制模的广义b r a n c h i n gr u l e ( vp ) 是a 的表示，如果p 满足1 9 ) p p ( x 加j ) = o ，v x 山，则称p 是a 的限 制表示 ( a ，纠) 是一个限制李超代数，定义u ( a ) = u ( a ) t 已，其中u ( a ) 是a 的普遍包 络代数，冗是由形如x p z 嘲( z a o ) 的元素生成的理想，称u ( a ) 为a 的限制包络 代数在以下讨论中我们总是考虑限制情况 定义2 3 8 1a = a o + a 1 是一个李超代数，d e n d 。v8 z 2 ，如果d 满足 d ( a b ) = d ( a ) b + ( - 1 ) 舳a d ( b ) ， 则称d 是a 的次数为8 的导子 所有的次数为8 的导子构成了空间d e r 。v e n d 。v ，d e rv = d e r o v + d e r i v ， d e rv 是e n dv 的子代数，称为4 的导子代数 2 2w i t t 型李超代数( n ) a ( n ) 是由几个奇元f 1 ，已，矗生成的自由交换超代数，其中生成元满足关系 & 白= 一白邑，j 1 ，2 ，n ) ，易知人( 仃) 同构于g r a s s m a n n 代数 2 2 】 仡 定义彬( 竹) ：一- - - d e r ( a ( n ) ) = 五色i 五a ( n ) ) ，其中现是a ( n ) 的导子 且满足关系式现( 岛) = 如，v i ，j 1 ，2 ，佗) ，称w ( n ) 为秩佗的w i t t 型超代 数 2 4 ，1 7 在( 亿) 上可通过2 1 的方式定义【，1 运算使得w ( 札) 成为一个李超代 数在以下讨论中总是认为w ( 佗) 是一个李超代数 定义d e 酶= 1 ，1 i n 给出t a ( n ) 的一个z 阶化，进而诱导了形( n ) 的z 阶化： n 一1 ( n ) = o w ( 礼) t ， i = - 1 其中( 佗) f = 砸一s p a n 邑l & 2 已t + 1 d 。l1 t l t 2 h + l 佗，1 8 佗) ，令w ( 佗) = 0 彤( n ) j ，可以得到一个( n ) 的自然滤过w ( n ) = ( 佗) - 1 ) w ( n ) o ( 佗) 铲1 ) w ( 扎) n = 0 6 华东师范大学硕士论文w i t t 型李超代数不可约限制模的广义b r a n c h i n gr u l e w ( n ) 是一个限制李超代数，建立映射： 皿：w ( n 一1 ) 一w ( n ) 已。已。d jh & ，毫。功， 其中1 i 1 j i = l i j 给出如下常用记号，b + ：= 1 ) 0 n + ，b 一：= b o n 一，n + ：= n + 0 9 1 ，n 一：= g - x o n 一， b + ：= 1 ) o + ，b 一：= n 一01 ) ，g + ：= g o ，g 一：= g 一10g o ，可验证b 士，n 士，b 士，g 士是 g 的限制子代数，为方便书写常把b + 简记为b ，其他记号做类似简写 g o 的c a f t a n 子代数b 是g 的c a f t a n 子代数，g 关于1 ) 的作用有根空间分解： g = bo g a ，其中 口 = 白1 + e z 2 + e “一勺i1 i l i 2 1 ，存在如下短正合列? 0 _ j ( a ) _ k ( a ) 一己( a ) _ 0 ， 0 一l ( a + ( p 一1 ) e i 一1 ) _ j ( a ) _ l ( o ) _ 0 ( 3 3 ) ( i i i ) 如果a = 1 + 件1 + + e n ，存在如下短正合列? 0 _ 三( 一1 ) e n ) _ k ( 0 ) _ l ( o ) _ 0 ， 0 _ l ( o ) 一k ( a ) _ l ( a ) 一0 ( 3 4 ) 证明：参见 5 1 可知在( t ( g ) ，丁) - 范畴中有上述正合列，显然在u ( g ) 范畴中也有上述 正合列成立口 定理3 1 ( i ) 如果入典型，则 l ( 入) = k ( a ) ( i i ) 如果入= a q + e 件1 + + ，a 0 ，1 ，则 陋( 入) 】+ ( 一1 ) 口一1 i l l ( 0 ) 】 a - 1 i - 1p - 2 ( 3 5 ) = ( 一1 ) 阻( 入- j e t ) 】+ ( 一1 ) 口( 一1 ) j 陋( o 一1 一j ) e i - k + + e 竹) 】 j = ok = lj = o ( i i i ) 如果a = 龟+ e 件1 + + ，i 1 ，则 i - 1p - 2 陋( a ) + i 陋( o ) = 心( a ) - ( k = lj = 0 ( i v ) 如果a = e 1 + 龟+ 1 + + ，则 证明： 一1 ) k ( ( p 一1 一j ) e i 一知+ + e n ) 】( 3 6 ) 陋( 入) + 陋( o ) 】_ 陋( a ) 】( 3 7 ) 华东师范大学硕士论文w i t t 型李超代数不可约限制模的广义b r a n c h i n gr u l e ( i ) 如果a 典型，则l ( a ) = k ( 入) ，自然有陋( 入) 】= 陋( a ) 】 伍) 如果a2 口毛+ e 件1 + + ，a 0 ，1 ，不妨设a 是正整数，由引理3 1 可以得到 如下正合列： o l q e ) _ k ( 入) _ l ( a ) _ 0 ， 0 _ l ( a 一2 岛) _ k ( a e i ) _ l ( a e i ) _ o ， o l ( a 一( a 一1 ) 巳) _ k ( a 一( a 一2 ) e t ) 一l ( a 一( a 一2 ) 龟) 一o ， 0 一j ( a 一( a 一1 ) e i ) 一k ( a 一( a 一1 ) q ) _ l ( 入一( a 一1 ) e 1 ) _ o ， o _ l ( a 一( a 一1 ) e i + ( p 一1 ) e i 一1 ) _ j ( a 一( a 一1 ) e i ) _ l ( 0 ) _ o 从而得到g r o t h e n d i e c k 群中的等式组： k ( 入) 】= 陋( a 一岛) + 陋( a ) ， 【k ( a e i ) 】= 【l ( a 一2 e t ) 】+ 【l ( a 一龟) 】， k ( a 一( a 一2 ) e i ) 】= 【l ( a 一( a 一1 ) e i ) + 【l ( 入一( a 一2 ) 龟) 】， 【k ( 入一( a 一1 ) e ) 】= 【j ( a 一( a 一1 ) e i ) 】+ 【l ( a 一( a 一1 ) 岛) ， j ( 1 一( a 一1 ) 巳) = 【l ( 入一( a 一1 ) 龟+ 一1 ) e i 一1 ) 】+ 【l ( o ) 等式两边分别做交叉和得到： 【己( a ) + ( 一1 ) d 一1 ( 【l ( 入一( a - 1 ) e tl 一1 ) 龟一1 ) 】+ l ( o ) ) = 芝二( 一1 ) k ( a - j 龟) 】 j = o 再对权入一( a 1 ) e i + p 一1 ) e t 一1 进行同样的处理，得到 p - 2 ( 一1 ) j 陋( p 一1 - j ) 乳1 + 龟+ + ) 】 j = o 2 【( ( p 一1 ) e t 一1 + 龟+ + ) 】+ ( 一1 ) p 一2 ( 陋( 一1 ) e i 一2 + + ) 】+ 陋( o ) 】) = 陋( p 一1 ) e i 一1 + e f + + ) 一陋( 一1 ) q 一2 + + e n ) 】一陋( o ) 】 堡奎堕堇奎兰塑迨窒里堕型奎塑垡塑至型艮制模的广义b r a n c h i n gr u l e 依次进行下去，处理到一1 ) e 1 + 6 2 + + 时需要特别注意，下面给出具体 运算： 0 _ 三( 一2 ) e 1 + ：+ c n ) _ k ( ( p - 1 ) e l + + e n ) ，三( ( p 1 ) e 1 + + ) _ 0 ， 0 _ ( 一3 ) 1 h - + ) _ k ( ( p - 2 ) o + + ) _ 己( p 一2 ) e 1 + + e 竹) _ 0 ， 0 - l ( q + + ) 一k ( 2 0 + + e 他) 一5 ( 2 0 + + ) _ 0 ， 0 _ l ( o ) _ k ( q + e 2 + + ) _ l ( q + e 2 + + n ) _ 0 从而得到g r o t h e n d i e c k 群中的等式组： k ( 一1 ) o + + e n ) = 陋( 一2 ) e l + + ) + 陋( p 一1 ) e 1 + + ) ， k ( 一2 ) e l + + ) = 陋( ( p 一3 ) e l + + e 竹) 】+ 陋( ( p 一2 ) e 1 + + e n ) 】， k ( 2 e l + + ) 】= l ( o + + ) 】+ l ( 2 e 1 + + ) 】， k ( q + e 2 + + ) 】= 陋( o ) + 陋( e 1 + e 2 + + ) 】 等式两边分别做交叉和得到： ( 一1 ) j 陋( 一1 一鹏+ 2 + + ) j = o = ( ( p 一1 ) e 1 + e 2 + + ) 】+ ( - 1 ) p - 2 陋( o ) 】 = ( 一1 ) o + e 2 + + e n ) 一 l ( o ) 】 于是可以得到如下等式细： 口一1 ( 一1 ) j k ( 入- j e t ) 】 j = o = 陋( a ) 】+ ( 一1 ) d 一1 ( 【l ( 入一( 口一1 ) 龟+ 一1 ) 龟一1 ) 】+ ( o ) ) ， ( 3 8 ) 1 2 华东师范大学硕士论文w i t t 型李超代数不可约限制模的广义b r a n c h i n gr u l e p - 2 ( 一1 ) 畔( 一1 - j ) e i 一1 + 毛+ + c n ) 】 j = o = 陋( p 一1 ) e t l + 白+ + ) 】一陋( ( p 一1 ) e i 一2 + c l + + ) 卜陋( o ) 】， p - 2 ( 一1 ) j 瞄( ( p 一1 一j ) e i - 2 + 岛+ + e n ) 】 j = o = 陋( ( p 一1 ) e l 一2 + 龟+ + ) 卜一陋( 一1 ) e i 一3 + 岛+ + ) 一陋( o ) 】， p - 2 ( 一1 ) k ( 一1 一j ) e 1 + e 2 + + f n ) = l ( 一1 ) e 1 + e 2 + + e n ) 卜【l ( o ) 】 从第二个等式开始等式两边分别相加得到： i - 1p - 2 ( 一1 ) k ( p 一1 一j ) e i - k + + e n ) = 陋( 一1 ) e i - 1 + e t + + e n ) 】一( z 一1 ) 陋( o ) 】 在上式两边同乘( 一1 ) d 与等式( 3 8 ) 相加得到： ( 一1 ) ( a - j e i ) 】+ ( 一1 ) d ( 一1 ) j 阿( p 一1 一班一+ + e n ) 】 j = o k = lj = o = l ( a e + e 件1 + + ) 】+ ( - 1 ) a - 1 【l ( o ) 】 = 陋( 入) + ( - 1 ) a - 1 z 陋( o ) 】 得证 ( i i i ) 如果a = 龟+ e f + 1 + + n ，i 1 ，由引理3 1 可以得到如下正合列： o _ j ( a ) _ k ( a ) 叶l ( a ) _ o ， 0 _ l ( a + ( p 一1 ) e i 一1 ) 一j ( a ) 一l ( 0 ) 一o 从而有等式i 【k ( 入) 】= 【l ( a + 白一1 ) e i 一1 ) 】+ 陋( a ) + 陋( o ) 】 ( 3 9 ) 华枣师蔓大学硕士论文w i t t 型李超代数不可约限制模的广义b r a n c h i n gr u l e 从等式( 3 5 ) 得出： 【三( ( p 一1 ) q 一1 + e t + + e n ) 】+ ( - 1 f - 2 ( i 一1 ) 【三( o ) 】 = l ( ( p 一1 ) e i 一1 + e i + + ) 】一( i 一1 ) 陋( o ) 】 p - 2 = e ( - - i ) 歹 k ( 一1 - j ) e t 一+ e i + + ) 】 j = o i - 2p - 2 + ( 一1 ) p 。e ( 一1 ) 。阿( 一1 一砒小- + + ) 】 k = lj = o p - 2 = ( 一1 ) 。陋( 仞一1 - j ) e i 1 + q + + ) 】 j = o i - 2p - 2 + ( 一1 ) j k ( ( p 一1 - j ) e t 一七一+ + n ) 1 k = lj = o i - 1p - 2 = ( 一1 ) 阻( ( p 一1 一加一七+ + n ) 】 即得到等式： i - 1p - 2 ( 一1 ) 【k ( 一i - j ) i - 南+ + ) 】 = 【己( ( p 一1 ) e i 一1 + 氏+ + ) ) + ( - 1 ) p 一2 ( i 一1 ) 【l ( o ) ( 3 1 0 ) 等式( 3 9 ) 和等式( 3 1 0 ) 两边分别相减得到： i - 1p - 2 【k ( 入) 】一( 一1 ) 。 k ( o 一1 - j ) q k + + ) 卜三( a ) + i 陋( o ) 】 k = lj = o 得证 ( i v ) 如果a = e 1 + e i + 1 + + ，通过正合列： 0 一l ( 0 ) 一k ( a ) _ l ( a ) _ 0 ， 得到 k ( 入) 】= 己( 入) 】+ l ( o ) 】口 推论3 1 ( i ) 如果a 典型，则d i m l ( a ) = d i m k ( a ) 1 4 华东师范大学硕士论文w i t t 型李超代数不可约限制模的广义b r a n c h i n gr u l e ( i i ) 如果入= 口e i + 件1 + + e n ，n 0 ，1 ，则 n 一1 d i m l ( a ) + ( 一1 ) 沪1 i = 2 n ( ( 一1 ) j d i m l o ( 入一j c i ) j = o i - 1p - 2 + ( 一1 ) 口ez ( - i ) d i m l o ( ( p 一1 一歹) e 扣j c + + ) ) k = lj = o ( i i i ) 如果入= i + e t + 1 + + e n ，i 1 ，则 一1p - 2 d i m ( a ) + 江2 ( d i m l o ( 入) 一e ( 一1 ) j d i m l o ( p 一1 一j ) e i - 知+ + ) ) k = lj = o ( i v ) 如果入= e 1 + e 件1 + + e n ，则 证明：对于短正合列 d i m l ( a ) + 1 = d i m l o ( 入) 0 - 尬一m m 2 0 也有关系d i m m = d i m m l + d i m m 2 成立类似于定理3 1 的证明过程可得到限制单 模与k a c 模的维数之间有相似结论，由k a c 模的构造知d i m k ( a ) = 2 d i m l o ( a ) ，再 根据l ( 0 ) 是一维平凡模，易证推论成立口 1 5 第四章k a c 模滤链 本节我们将会讨论w ( n ) 的k a c 模与w ( n 一1 ) 的k a c 模之间的关系约定把 ( 佗一1 ) 自然地看做w ( n ) 的子代数，w ( n ) 模m 可以成为一个w ( n 一1 ) 模，对 于同一个模m ，记号m ( n ) 表示w ( n ) 模m ，记号m ( 竹一1 ) 表示w ( n 一1 ) 模m 类 似的，记号p ( 入) ( n ) 表示w ( 佗) o 模p ( 入) ，记号l o ( 入) ( n - - 1 ) 表示w ( n 一1 ) o 模l o ( 入) 类似于w ( n ) 的情况，可以定义w ( n 1 ) 的k a c 模： k ( a ) = u ( w ( n 一1 ) ) o u ( w ( n 一1 ) + ) l o ( 入) 其中l o ( a ) 是限制不可约彤( 佗一1 ) o 模，定义彬( 礼一1 ) 1 平凡作用后成为一个( 佗一 1 ) + 模r ( x ) 有唯一极大子模，相应的有唯一单商模三( 入) 对于一个g 模m ，x g 在m m 上的作用表示为z m ，定义9 在m 上的扭作 用x 仇= ( 一1 ) 孟x m ，则m 在扭作用下仍然是一个g 模，为方便书写简记为m 。 引理4 1 m 笺m - 是模同构 证明：m 和m 有相同的底空间，显然是向量空间的同构，建立映射妒：m m 使 im ，m 得妒( m ) = ”，易知妒是双射 【一m ，m 尬 如果x 9 6 ，仇m 8 ，则有x m m o ，妒( z m ) = x m ，x 妒( m ) = z 仇= ( - 1 ) 孟x m = z m 如果x g i ，m m o ，则有x m m 1 ，妒( z m ) = 一z m ，z 妒( m ) = z m = ( - 1 ) 嚣z m = 一z m 如果2 7 g i ，m m o ，则有x f f l , m j ，垆( z m ) = 一x m ，x 妒( m ) = x ( 一m ) = - ( - 1 ) 孟x m = 一z m 如果z g i ，m m i ，则有 x m m o ，妒( z m ) = x m ，z 妒( m ) = z ( 一仇) = - ( - 1 ) 孟x m = x m 由上可知 v x g ，m m ，都有妒 m ) = z 妒( m ) 故m 竺m 是模同构口 对于w ( n ) 的k a c 模k ( a ) = 钆( w ( 佗) ) 缸( ( n ) + ) l o ( 入) 竺缸( 形( 几) 一1 ) 己o ( a ) ，其 中钰( w ( n ) 一。) = d n u ( ( n 一1 ) 一1 ) o 乱( w ( 礼一1 ) 一1 ) ，d n u ( w m 1 ) 一t ) 三o ( 入) 和 1 6 华东师范大学硕士论文w i t t 型李超代数不可约l 垠$ 1 j 模的广义b r a n c h i n gr u l e 札( w m 一1 ) 一1 ) 三o ( 入) 都是u ( w ( n ) 一1 ) 的子代数建立映射队口一u 后可知两者作 为向量空间是同构的，定义w ( n 一1 ) 在d n 乱( w ( n 一1 ) 一1 ) 三o ( a ) 上的作用为扭作用， 则有如下引理： b i 理_ 4 2 风让( ( 佗一1 ) 一1 ) 三o ( a ) 垒u ( w ( 佗一1 ) 一1 ) 三o ( a ) 是彬( 佗一1 ) 模同构 证明：建立映射皿：u ( w m 一1 ) 一1 ) 三o ( a ) _ d n 让( ( n 一1 ) 一1 ) 三o ( 入) ，其中yhd n y ， 任给z 是w ( n 一1 ) 的齐次元，则皿( z ) = d n x y ，另一方面，x m ( y ) = z d n y = ( - 1 ) 孟d n x y = ( - 1 ) 孟( 一1 ) 童x d n y = x d n y ，即有k 面( x y ) = z r e ( y ) ，故d n u ( w ( 竹一 1 ) 一1 ) 三o ( 入) 竺u ( w ( n 一1 ) 一1 ) 三o ( 入) 是w ( n 一1 ) 模同构口 引理4 3 n 是m 的b 子橇a 是自由b 模，则有a 模同构a 圆b ( m n ) 竺( ao b m ) ( a o b ) 证明：a 是自由b 模，故ao _ b ( m n ) 中任一元素表示成e x i 圆而，兢a ，m i m 时形式唯一建立映射妒：ao b ( m n ) 一似圆bm ) ( ao b ) 使得妒圆确= 荔丽如果兢p 丽= 巧。砑，x i ，巧a ，m i ，m ，则有x i = 巧，蕊= 砑，从 而m i 一叻n ，进而x io ( m i m j ) = 0 ，于是瓦丽= 巧丽，所以该定义是 合理的如果i 西瓦= 0 ，则有西丽= 0 ，从而佻n ，于是兢圆丽= 0 ，v i ， 进而有觋。瓦= 0 ，所以妒是单射易知妒是满射且为模同态，故妒是模同构口 多 由形( 儿) 的构造可知乱( ( 扎) ) 是自由u ( w ( n ) + ) 模，故有 凹( w ( 佗) ) 瓯( w ( n ) + ) ( m n ) 竺( 牡( w ( 凡) ) o 缸( ( n ) + ) m ) ( 牡( ( n ) ) o 仳( 彤( n ) + ) ) ( 4 1 ) 定理4 1 k ( a ) 作为( 佗一1 ) 槐有k a c 模露) 滤链 证明：l o ( 入) ( n - - 1 ) 是有限维w ) o 模，故l o ( a ) ( n - 1 ) 是有限维w m 一1 ) o 模伊) 是单w ( n 一1 ) o 模，显然l o ( 入) ( n - 1 ) 有三0 ( p ) 一滤链，即存在合成列 l o ( a ) n - 1 ) = u o ) 尬) 尬) 3 尬= 0 ，( 4 2 ) 使得尬u , + 1 竺l o ( 胁) 通过诱导使链( 4 2 ) 成为一个w ( n 一1 ) 模的链，即 心( 形( 佗) ) g u ( m ) + ) 己o ( a ) n - 1 ) ) 乱( w ( 佗) ) 圆u ( ( n ) + ) 磊) 让( ( 佗) ) o 乱( ( n ) + ) 蟊= o 1 7 堡奎堕堇樘硕士谁窖w i t t 型李超代数不可约限制模的广义b r a n c h i n gr u l e l 司构恿义f 司以写成 k ( a ) = 让( w ( 佗) 一1 ) l o ( 入) n - 1 ) ) ( w ( 礼) 一1 ) a 以) ) 乱( ( n ) 一1 ) 毛= 0 ( 4 3 ) 这是k ( 入) n 一1 的一个滤链，但不是f c ( u ) 一滤链，需要进行加细 构造模 d n u ( w ( n 一1 ) 一1 ) 坛+ u ( ( n ) 一1 ) 舰+ 1 ， ( 4 4 ) 显然这是一个w ( n 一1 ) 模且满足 u ( w ( 礼) 一1 ) 舰) d n u ( w ( 礼一1 ) 一1 ) 必+ u ( ( 礼) 一1 ) 舰+ 13u ( ( 钆) 一1 ) 坛+ 1 ： u ( w ( 佗) 一1 ) 舰= d n u ( w ( n 一1 ) 一1 ) 尬+ u ( w ( n 一1 ) 一1 ) 必是子模的直和 d u ( w ( n 一1 ) 一1 ) 毛+ 钍( 彤( 佗) 一1 ) 磊+ 1 = d n u ( w ( n 一1 ) 一1 ) 尬+ d n u ( ( n 一1 ) 一1 ) 尬+ 1 + 乱( w 一1 ) 一1 ) 尬+ 1 = d n u ( w ( n 一1 ) 一1 ) 舰+ u ( w ( n 一1 ) 一1 ) 坛+ 1 也是子模的直和 根据( 4 1 ) 有 u ( ( 佗) 一, ) m d ( d n u ( w ( n 一1 ) 一1 ) 必+ u ( w ( 佗) 一1 ) 尬+ 1 ) = ( d n u ( w ( n 一1 ) 一1 ) 必。乱( w ( n 一1 ) 一1 ) 坛) ( d n 牡( ( 佗一1 ) 一1 ) 尬。乱( 彬( n 一1 ) 一1 ) 必+ 1 ) 垡( d n u ( w ( n 一1 ) 一1 ) 必ou ( w ( n 一1 ) 一1 ) 必) 风牡( w ( n 一1 ) 一1 ) 坛 ( d n u ( w ( n 一1 ) 一1 ) 坛+ u ( w ( 佗一1 ) 一1 ) 坛+ 1 ) 玩u ( w ( n 一1 ) 一1 ) 必 竺u ( w ( 佗一1 ) 一1 ) 必u ( 彬( n 一1 ) 一1 ) 坛+ 1 竺钆( w 一1 ) 一1 ) ( 坛坛+ 1 ) 笺k ( 胁) 同理有 ( d 几乱( ( 几一1 ) 一1 ) 磊+ 乱( 彬( 佗) 一1 ) 五十1 ) u ( w ( n ) 一1 ) 毛+ 1 = ( d n u ( w ( n 一1 ) 一1 ) 舰ou ( w ( n 一1 ) 一1 ) 舰+ 1 ) ( d n u ( w ( n 一1 ) 一1 ) 磊+ 1ou ( v 矿( n 一1 ) 一1 ) 毛+ 1 ) 垡( d n u ( w ( n 一1 ) 一1 ) 尬。让( ( n 一1 ) 一1 ) 必+ 1 ) u ( w ( n 一1 ) 一1 ) 尬+ 1 l8 华东师范大学硕士论文w i t t 型李超代数不