（应用数学专业论文）fréchet空间上的非游荡算子.pdf

江苏大掌硕士学位论文 摘要 本文利用泛函分析的手段以及无穷维动力系统的研究方法主要 研究了无穷维可分f r 6 c h e t 空间上的非游荡算子。首先结合双曲线性 映射、超循环、线性混沌算子的特征给出了无穷维可分f r 6 c h e t 空间 上的非游荡算子的概念，利用后移位算子证明了任一无穷维可分 f r 6 c h e t 序列空间上都存在非游荡算子，并给出了物理学中一个非游 荡算子的实际例子；其次得到了关于非游荡算子的若干性质，包括 非游荡算子的谱集的刻画以及非游荡算子关于紧致子集的遗传超循 环分解；局部谱理论是研究线性算子的可分性问题的，假设妒是定 义在线性算子丁的谱集的某个邻域内的解析( 或全纯) 函数，结合 局部谱理论我们给出了妒( 丁) 是非游荡算子的两个具体例子，最后给 出了对于一般的线性算子r ，对应的妒( r ) 成为非游荡算子的个充 分性条件。 l 、 关键词：无穷维可分f r c h e t 空间超循环算子线性混沌算子 非游荡算子遗传超循环超循环分解局部谱理论 江苏大掌硕士学 f i r 论文 一 a b s t r a c t t h i s p a p e r s t u d i e st h en o n w a n d e r i n go p e r a t o r i ni n f i n i t e d i m e n s i o n a ls e p a r a b l ef r 6 c h e ts p a c e w i t ht h em e t h o d si nf u n c t i o n a l a n a l y s i s a n di ni n f i n i t e d i m e n s i o n a l d y n a m i cs y s t e m w eg i v e t h e d e f i n i t i o no fn o n w a n d e r i n go p e r a t o ri ni n f i n i t es e p a r a b l ef r 6 c h e ts p a c e a n dp r o v et h a te a c hi n f i n i t es e p a r a b l ef r 6 c h e ts e q u e n c es p a c es u p p o r t sa n o n w a n d e r i n go p e r a t o r , a n d a l s o p r e s e n t ac o n c r e t e n o n w a n d e r i n g o p e r a t o r s i n p h y s i c a lb a c k g r o u d n o n w a n d e r i n go p e r a t o r h a ss e v e r a l p r o p o s i t i o n s s u c ha st h ec h a r a c t e r i s t i c o f s p e c t r u m o fi ta n dt h e h y p e r c y c l i cd e c o m p o s i t i o n o fi t l o c a l s p e c t r a lt h e o r y s t u d i e st h e d e c o m p o s i t i o no f l i n e a ro p e r a t o r a p p l i n gi tw e g i v et h ec o n d i t i o no no s u c ht h a t 妒( 7 ) i san o n w a n d e r i n go p e r a t o r ，w h e r e 妒i saa n a l y t i c ( o r h o l o m o r p h i c ) f u n c t i o no ns o m en e i g h b o r h o o do f t h es p e c t r u mo fl i n e a r o p e r a t o r t k e y w o r d s ：i n f i n i t ed i m e n s i o n a ls e p a r a b l ef r 6 c h e ts p a c e ，h y p e r c y c l i c o p e r a t o r ，l i n e a rc h a o t i co p e r a t o r ，n o n w a n d e r i n go p e r a t o r ，h e r e d i t a r i l y h y p e r c y c l i c ，h y p e r c y c l i cd e c o m p o s i t i o n ，l o c a ls p e c t r a lt h e o r y 1 i 学位论文版权使用授权书 y 主s 5 6 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部内容和部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密 不保密 学位论文作者签名 勿呻墀6 月 年解密后适用本授权书。 7 虱沙波 i u l 杉， ，饮 ，日 ， 肜 氰 年 签 雕 形 教 k 母 r o 徽 夕 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作 所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集 体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名 年月日 江苏大学硕士学位论文 1 1 研究背景 第1 章绪论 有限维动力系统复杂性主要体现在非线性，但动力系统的研究并不局限 于有限维动力系统，主要是因为自然界中的现象都是在一定的时间和空间中 出现的，而时空复杂性广泛存在于我们的现实中。近来发现一些无穷维动力 系统中的线性算子也会产生混沌，即呈现复杂的动力学行为，这些算子中很 重要的一类就是超循环算子。因此研究无穷维空间中线性算子的动力学特征 就有必要研究这类算子，而线性混沌算子的研究及其分类又是研究非游荡算 子的关键之处，为此我们不能不提到与此相关的不变子空间问题。 不变子空间问题是说无穷维b a n a c h 空间上的每一个有界线性算子是否 都有一个非平凡的闭不变子空间，即是否有一个既非零子空间也非整个空间 的闭线性流形，且在该算子作用下是不变的。m e d e l s t e i n 和h r a d j a v i 提出 了一个与此相关的问题：每一个这样的算子是否都有一个非平凡的闭不变 集? 不变子空间问题是一个长期未解决的根本性问题，直至1 9 8 4 年才由c r e a d 1 举出反例，表明存在一个无穷维b a n a c h 空间上的有界线性算子，它 没有非平凡的不变子空间，后来p e n f l o 2 在一个可分的b a n a c h 空间上也找 到了一个不具有非平凡闭不变子空间的算子。1 9 8 8 年，c r e a d 3 发现了一 个b a n a c h 空间上存在一个没有非平凡的闭的不变子集的线性算子。f r 6 c h e t 空f 司上类似的例子也由a t z m o n 在 4 中给出。现在还剩下的问题是：无穷维 h i l b e r t 空间的任一有界线性算子是否存在非平凡的闭的不变子空间? 循环( c y c l i c i t y ) 、超循环( h y p e r c y c l i c i t y ) 以及遗传超循环( h e r e d i t a r i l y h y p e r c y c l i c i t y ) 的思想正是来源于对不变子空间和不变集的研究。设丁是一 个无穷维可分f r 6 c h e t 空间( 即一个完备的线性度量空间) x 上的连续线性 算子，向量对r 来说是循环向量，如果它的轨道 o r b x o ，t ) = x o ，t x o ，t2 ，) ( 1 1 ) 的线性扩张在x 中稠密。如果算子丁的轨道自身在x 中稠密，则丁和相应的 江苏大学硕士学位论文 向量x 0 被称为是超循环的。这样，算子t 不具有非平凡的闭的不变子空间( 子 集) 当且仅当所有的非零向量都是t 的循环( 超循环) 向量。 对线性算子超循环的研究起源于1 9 2 9 年b i r k h o 虹9 】对整函数空间上移 位算子的研究，他证明了这类移位算子是超循环的。m a c l a n c 1 0 ，g o d e f r o y 和s h a p i r o i l l 】也相继得到了一些超循环算子。1 9 6 9 年，r o l e w i c z 证明了，2 上 的后移位算子数乘一个模大于1 的数后也是超循环的，从而开始了h i l b e r t 空间上超循环算子的研究。后来k i t a i 1 8 _ i 丕给出了判别一个算子是超循环算 子的所谓超循环标准，于是许多学者利用这标准证明了许多线性算子的超 循环性。 不变子空间问题决定了研究超循环向量集的结构的重要性。f r 6 c h e t 空间 上的有界线性算子如果有一个超循环向量( 这时我们也称该算子是一个超循 环算子) ，那么该算子就有一个稠的、不变的g 。型超循环向量集 1 l 】，即该 空间中的“大多数”向量都是超循环向量。b b e a r z a m y 1 9 修改了e n f l o 的用 在b a n a c h 空间的方法，构造了一个h i l b e r t 空间上的算子，该算子具有一个 稠的、由非零超循环向量构成的不变线性流形，我们称之为超循环向量流形， 该算子在超循环向量流形上的限制是一个没有闭的不变子集的准h i l b e r 空间 上的有界线性算子。其中使用的方法为构造h i l b e r 空间上的这样的算子带来 了希望。gg o d e f r o y 和j s h a p i r o 利用不同的方法证明了前文提到的微分算 子也具有这种性质 1 1 。后来d h e r r o r o 2 0 和p b o u r d o n 2 1 独立证明了复 h i l b e r t 空间上的每一个超循环算子都有一个稠的、不变的超循环向量流形， 而j p b e s 2 2 贝, 0 证明了实局部凸向量空间上的每一个超循环算子也有同样 的性质。对于b a n a c h 空间上的遗传超循环算予而言，当它的本性谱与闭的 单位圆盘相交时，它有由超循环向量构成的无穷维闭子空间【5 】。 g g o d e f r o y 和js h a p i r o 在文献 1 1 中得到了一类超循环线性算子是混 沌的，x 一c f u 和j d u a n 【2 3 1 给出了一般的f r 6 c h e t 空间上的无穷序列构成 的空间上的后移位映射及实的连续函数构成的线性空间上的一个传递映射， 并且证明了两者在l i - y o r k e 关于混沌的定义和w i g g i n s 关于混沌的定义下是 混沌的，m a c c l u e r 2 7 1 证明了混沌也会在离散线性系统中发生这表明混 沌不仅仅是非线性现象，无穷维系统的线性映射同样具有混沌性质。w i g g i n s 关于度量空间中的线性映射的混沌定义中要求混沌映射具有拓扑传递性，事 江苏大学硕士学位论文 实上对线性算子来说，超循环与拓扑传递是等价的。超循环线性算子如果周 期点还稠密，则它就是混沌算子，正如j b e s 和a p e r i s 在 6 中指出的 “h y p e r c y c l i c i t yi st h em a i ns t e pt oo b t a i nc h a o s ”。j h s h a p i r o d a h e r r e r o 等 人研究了某些超循环算子具有初始条件的敏感性与周期点的稠密性，发现“大 多数”超循环算子是线性混沌算子，即有“初始条件的敏感性”和“周期点的稠 密性”，这是一项重大的发现，这就使得混沌动力学的研究内容更为丰富。由 此可见，算子的超循环与算子的混沌性有着密切的联系，研究算子的超循环 对于研究无穷维空间中的线性算子混沌性质有重要意义。 1 2 研究现状 线性算子仅仅在无穷维空间有混沌性质，有限维空间中的线性算子没有 这一性质，有限维空间混沌的研究限制为非线性算子。无穷维空间中的线性 算子可能具有混沌性质，这就促使许多学者去研究这类线性混沌算子，这方 面重要的研究成果就是证明了许多超循环算子是线性混沌算予( 1 1 、 2 8 、 4 5 ) 。值得人们关注的是线性混沌在实际物理系统中也会发生，例如 g u l i s a a s h v i l i 和m a c c l u e r 2 8 幂l j 用g o d e f r o y 和s h a p i r o 1 1 】的结果证明了“t h e a n n i h i l a t i o no p e r a t o ro ft h eu n f o r c e dq u a n t u mh a r m o n i co s c i l l a t o ri sc h a o t i c ”。 近来算子的一类更强的超循环一遗传超循环已被众多学者所研究( 见文 献 5 、 6 、 7 、 8 ) 。b e s 和p e r i s 在【8 】中主要得到了这样一个非常重要 的结果：丁满足超循环标准，当且仅当r 是遗传超循环的，当且仅当r o r 是 超循环的。他们指出：f r 6 c h e t 空间上具有稠的广义核( 1j k e r ( t ”) ) 的后移位 副 算子满足超循环标准，进而是遗传超循环的：而且其上的每一个线性混沌算 子也满足超循环标准，进而也是遗传超循环的，这表明遗传超循环确实比超 循环强。无穷维b a n a c h 空间中的双曲线形映射事实上也是一类线性算子， 双曲线形映射有许多很好的性质，例如双曲线性映射在微扰下仍然保持双曲 结构。在 4 7 中，作者对其谱集进行了刻画。s i a n s a r i 8 得到了以下结果： 设丁是复可分b a n a c h 空间上的超循环算子，则t “也是超循环算子，并且7 和 7 1 ”具有相同的超循环向量，对于非游荡算子来说，本文中我们将得到类似的 结果。 江苏大学硕士学位论文 局部谱理论是关于算子的可分性问题的。当 u ，u ： 是复数域c 上的一 个开覆盖时，如果存在关于7 1 不变的闭子空间k ，使得z = k + e 且 o - ( t l 。) 匕u 。( = 1 ，2 ) ，则算子t 在f o i a s 3 1 意义下是可分解的。在【1 1 】中， g o d e f r o y 和s h a p i r o 得到了如下定理：“i f bi sa s u r j e c t i v eg e n e r a l i z e d b a c k w a r ds h i f to nab a n a c h s p a c ex ，a n d fi san o n c o n s t a n tf u n c t i o n h o l o m o r p h i c o na n e i g h b o r h o o d o ft h e s p e c t r u mo fb ，t h e nt h eo p e r a t o r f ( b ) h a s ad e n s e ，i n v a r i a n ts u p e r c y c l i cv e c t o rm a n i f o l d ”。由该定理的证明过程 可以看出如果f 对于复平面上的某个适当的开集u 满足f ( 与单位圆相交 则f ( b ) 是超循环算子。假设妒是定义在线性算子r 的谱集的某个邻域内的解 析( 或全纯) 函数，我们将结合局部谱理论给出p ( t ) 是非游荡算子的一个充 分性条件。 另一方面当人们对符号动力系统的动力学性质有了很好的了解之后，就 希望研究一般的系统，如公理a 系统。设m 是一个紧致光滑的r i e m a n n 流 形，厂d i f f l ( m ) ( m 到m 的c 微分同胚的集合) ，涉及，的以下条件被称为 “公理a ”： ( 1 ) f 的非游荡集q ( ，) 具有双曲结构 ( 2 ) f 的周期点集在q ( 厂) 中稠密，即p e r ( f ) = t 2 ( f ) ， 这起源于s m a l e 对微分动力系统的结构稳定性和q 稳定性的研究， s m a l e 的工作基于有限维。在文献 4 7 中，作者作出了公理a 微分同胚厂的 非游荡集q = n ( f ) 的谱分解：q 可以分解为有限多个互不相交的闭不变集之 并q = q u q ：u u q ，而限制在每一个q ，上，卅n 是拓扑传递的。如果 公理a 微分同胚满足无环条件( 见 4 7 j ，r 2 8 5 ) ，则厂是n 一稳定的。 t i a n 和l u 2 4 结合双曲线性映射和超循环、线：陛混沌算子的定义引入无 穷维可分b a n a c h 空间上的非游荡算子的概念，并得到了这类线性算子的一 些性质，他们在非游荡算子的研究方面作出了开创性的工作，本文将继续这 江苏大学硕士学位论文 方面的工作，引入更广泛的f r 6 c h e t 空间上非游荡算子的概念，然后讨论与 此线性算子有关的问题。 1 3 研究内容和意义 本项研究给出了无穷维可分f r 6 c h e t 空间上的一类线性算子：非游荡算 子。论文主要分三部分：第一部分先给出超循环、线性混沌算子、遗传超循 环、超循环标准以及非游荡算子的定义，然后利用后移位算子证明了任一无 穷维可分f r 6 c h e t 序列空间上都存在非游荡算子，为证明该结果，我们用到 了这样一个有趣的引理：设x 是一个f r 6 c h e t 序列空间，( e 。) 。是x 中的一 个无条件基，设t ：x x 是一个权序列为( 口。) 。的单边后加权移位算子， 则如果丁有一个非平凡的周期点，则t 的周期点集在中稠密。最后给出了 一个具有实际物理背景的非游荡算子的例子；第二部分中研究了非游荡算子 的若干性质，得到了非游荡算子的谱集的刻画，以及非游荡算子关于紧致子 集的遗传超循环分解，后者是一个令人惊奇的结果，这是因为由非游荡算子 的定义可知非游荡算子如果还是超循环的，则它是线性混沌的，从而是遗传 超循环的 8 】，即它本身不一定是遗传超循环的，我们的结果表明非游荡算予 在关于紧致子集分解后在每一个闭不变子集上的限制是遗传超循环的：第三 部分中介绍了线性算子的分解理论一局部谱理论，设舻是定义在线性算子7 1 的谱集的某个邻域内的解析( 或全纯函数) ，我们给出了妒( r ) 成为非游荡算 子的充分性条件，并给出了两个这样的具体例子。 本项研究将泛函分析手段和动力系统的研究方法结合起来着重研究了 无穷维可分f r 6 c h e t 空间上的非游荡算子，该工作是我们研究无穷维线性空 间中线性算子的动力学特征的基础，将为进一步研究有限维空间中非线性算 子的混沌特征与无穷维空间中线性混沌算子的联系做好准备。同时该工作也 进一步发展了线性算子的分解理论。 江苏大学硕士学位论文 第2 章f r 6 c h e t 空间上的非游荡算子的存在性 2 1前言 近来对超循环的研究一方面起源于1 9 2 9 年gd b i r k h o f f 9 对整函数空 间上移位算子的研究。设日( c ) 是一个复变量的整函数空间，该空间被赋予在 复平面的紧致子集上一致收敛的拓扑，定义如下的移位算子 瓦：( c ) 一h ( c ) l f ( z ) = f ( z + a ) ( 厂( = ) 日( c ) ，z c ) ( 2 1 ) b i r k h o f f st h e o r e m 表明：当口0 时，式( 2 1 ) 定义的移位算子瓦是超循环 算子。b i r k h o f f 定义的移位算子还可看作是一个微分算予，即l = e “d ( d 为 微分算子) ，满足v h ( c ) ， l f ( z ) = 萎”铲t 2 n ”厂( 在h ( c ) 中收敛) ( 2 2 ) 从这个角度考虑，gr m a c l a n e 1 0 】于1 9 5 2 年证明了微分算子d ：叫巧 的超循环性。1 9 9 1 年，gg o d e f r o y 和js h a p i r o 1 1 结合b i r k h o f f 和m a c l a n e 的结果得到：h ( c ) 上每一个与微分算子可交换的连续线性算子( 并非恒等算 子的数乘) 是超循环的。 k c h a n 和j s h a p i r o 运用泛函分析的手段将先前已有的结果进行了综 合。他们构造了一个由缓慢增长的解析函数构成的h i l b e r t 空间，其上的微分 算子d 可看作一个后移位加权算子，他们证明了死= 8 。是超循环的，利用d 在这些空间上的“任意”拟幂零性，他们还得到了恒等算子的紧致扰动后的算 子也是超循环的( 见文献 1 2 ) ，而通常认为这种算子是最不可能超循环的。 h i l b e r t 空间上算子的超循环的研究首先由s r o l e w i c z 开始，1 9 6 9 年， 他证明了如下结果：设b 是，2 上的后移位算子，即 江- 3 3 大学硕士掌位论文 b ( ( x o ，x l ，x 2 ，- _ ) ) = ( x l ，x 2 ，x 3 ，) ( 2 3 ) 则加( 1 五i 1 ) 是超循环算子( 见文献 1 3 】) a 在同一篇论文中，他还提出了这样的问题：什么样的b a n a c h 空间上存 在超循环算子? s a n s a r i 和l b e r n a l 两人近来独立地证明了每一个无穷维可 分b a n a c h 空间上都存在超循环算子( 见文献 1 4 、 1 5 ) ，同时他们还解 决了无穷维可分f r 6 c h e t 空间上同样的问题，而对于无穷维可分非正规 ( n o n n o r m a b l e ) f r 6 c h e t 空间上同样的问题则由j b o n e t 和a p e r i s 1 6 于 1 9 9 8 年得到解决。相反地，对于有限维空间，其上不存在超循环算子。 1 9 9 5 年，h s a l a s 1 7 利用权对超循环的( 双边、单边、后、前) 移 位算子进行了完全的刻画，从而推广了r o l e w i c z 的定理。另一方面g o d e f r o y 和s h a p i r o 将r o l e w i c z 的结果运用到了h a r d y 空间日2 上的共轭乘法算子上， 他们得到：“i f 妒i sab o u n d e dh o l o m o r p h i cf u n c t i o no nt h eo p e nu n i td i s c u a n d m 。d e n o t e st h ea s s o c i a t e do p r a t o ro fp o i n t w i s em u l t i p l i c a t i o no n 2 ，t h e a d j o i n tm u l t i p l i e r ( m 。) + i sh y p e r c y l i co n h 2i fa n do n l yi f v ( u ) i n t e r s e c t s t h eu n i tc i r c l e ”( 见文献f 1 1 1 ) 。 也许是受到s r o l e w i c z 构造思想的启发，c k i t a i 给出了一个线 性算子是超循环算子的充分条件 1 8 ，该结果通常被称之为超循环标 准( h y p e r c y c l i c i t yc r i t e r i o n ) ，但c k i t a i 从未发表过，多年后由r m g e t h n e r 和j h s h a p i r o 1 1 以更广泛的形式重新表述。后来许多学者利用这一标准证 明了常见的一些线性算子确实是超循环算子。b e s 和p e r i s 6 i 正明了f r 6 c h e t 空间上的连续线性算子满足所谓的超循环标准当且仅当它是遗传超循环的， 另外超循环算予如果周期点还稠密( 即它是混沌的) ，则它一定满足超循环标 准，从而它是遗传超循环的。由此也可以看出线性算子遗传超循环比遗传超 循环更强。 2 2 基本记号和概念 设( x ，i ) 是一个实数域或者复数域k 上的无穷维可分f r 6 c h e t 空间， ( x ) 是x 到x 的所有可逆线性算子的全体。n 、z 、q 、r 、c 分别表示 ，- 江苏大掌硕士掌 f o r 论文 自然数域、整数域、有理数域、实数域、复数域。 定义2 1 ：设t 三( x ) ，如果存在x x ，使得o r b ( t ，x ) = x ，t x ，t 2 z ，) 在 x 中稠密，则称x 是超循环向量，丁是超循环算子。 定义2 2 ：t ( z ) ，t 称为线性混沌算予，如果满足 ( 1 ) t 具有拓扑传递性，即具有稠轨道； ( 2 ) t 的周期点集p e r ( t ) 在x 中稠密。 注2 1 ：d e v a n e y 关于映射混沌的定义另加了一个条件： ( 3 ) t 对初始条件具有敏感依赖性( 见文献 2 5 ) ，但事实上由( 1 ) 、 ( 2 ) 可推导出( 3 ) ( 见文献 2 6 1 ) 。 定义2 3 ：t l ( x ) ，( 肌。) 是非负整数序列，称r 关于( m 。) 是遗传超循环 的，如果对于( ) 的所有子序列( ) ， r “) j l 是超循环的：t 称为遗传超 循环算子，如果它关于某个自然数序列( m 。) 是遗传超循环的。 定义2 4 ：t l ( x ) ，称丁满足超循环标准，如果存在和y o 在x 中稠 密，存在非负整数序列( ) ，且存在映射最。：y 0 寸x 。，满足 i ) 丁“_ 0 逐点在五上， i i ) 最一o 逐点在k 上， i i i ) 丁“e 。_ i d 逐点在r o 上， 其中i d 。，是限制在y 0 上的单位映射。 定义2 5 ：设t ( x ) ，为定义在x 上的准范数，t 称为关于e c x 是 非游荡算子，如果 ( 1 ) e 具有双曲结构，e = e ”0 e 。，t e 。= e ”，t e 5 = e ，且存在o 0 ，不失一般性我们总可以假设 ( 2 1 0 ) 因为( 巳) 是一个无条件基，级数( n 口，) 。在x 中收敛，所以存在 7 0 1t i 使得 s 一 m ( 2 1 1 ) 其中( s 。) 取0 或1 。由式( 2 9 ) 可知y = x ，g “是丁在z 中的个周期点 并且有 o y x o = | f 芝j = l 工，c g 。) 一e ，4 | | m 2 = ， 一 r 口 ， x 士m 矗 。 江苏大学硕士学位论文 芝( x ，卉( 妻士e j + k n ) ”1 ”1 “1 兀吼 = 1 于是由式( 2 1 0 ) 可得 il y - x l i 再由式( 2 1 1 ) 得到 ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 从而该引理得证。 定理2 1 ：任一无穷维可分f r d c h e t 序列空间上都存在非游荡算子。 证明： 设是任一个无穷维可分f r 6 c h e t 序列空间， e i ) ? 是z 上的一个 无条件基，则对于x 上的后移位算子丁，当, f f 五 2 时，旯r 是x 上的非游 荡算子，下面来证明这一结果。 首先我们寻找ecx ，使得e 关于五，具有双曲结构。取 ，= 州2 ，则由已知互 五 2 得，0 l ，设y 。= z b , e 满足丑砂= 砂， 则 砜= z 缸。= ，缸莉。= 6 1 五 令 k = s p a n y 。) ，则a r 的特征值，= 纠2 对应的特征向量为k ，设e5 = k ，则对 v x e 5 ，有x = m y 。，口) z i = l x m b y 。 i = i 川1 w 。l i = | f i i i x l | ，其中0 1 。取r = i e = e “o e 5 ，则0 r - r 。，女。 设x = b ，q 是2 t 的2 一周期点，则通过计算可得2 t 的一个2 一周期点： z = 万1 ，o ，万1 ，o ，嘉，o ，) x ，于是由引理2 2 可知p e r ( 旯丁) 在x 中 稠密，从而在e 中稠密。所以五丁是关于e 的非游荡算子。 推论2 1 ：我们还可以得到! t h t 结论：设x 是一个f r 4 e h e t 序列空间， ( p 。) 。是中的一个无条件基，设丁：z 叫x 是个权序列为( 口。) 。的单 边后加权移位算子，则如果丁有一个非平凡的周期点，则t 是一个遗传超循 环算子。事实上若r 有一个非平凡的周期点，则由引理2 2 知，级数 ( 兀口，) 一1 p 。在z 中收敛，从而t 是超循环的 1 7 】，而由定理2 1 我们已得到 了t 的周期点集在中稠密，所以t 是混沌的，从而是遗传超循环算子 6 】。 2 4 非游荡算子的例子 物理中有一些超循环和线性混沌算子的例子( 见文献 2 7 、 2 8 、 2 9 ) ， 同样的非游荡算子也会出现在具有实际物理背景的系统中，考虑一个摩擦力 很小的弹簧系统，它的运动由以下的s c h r o d i n g e r 方程决定： 腩矿= 一祟一”+ 妻z 2 ( 2 1 5 ) l f hl 其中x 表示位移，州表示质量，甜= 0 呖表示自然频率，波动函数妒在复可 分h i l b e r t 空间x = 2 2 ( 一0 0 ，。) 。忽略无量纲的变量，式( 2 1 5 ) 就成了 f 矿= 一y ”+ x2 ( 2 1 6 ) 江苏大学硕士学位论文 静态解满足方程 y ”x2 ￥五少 ( 2 1 7 ) 凼而标准正交多项式 = e - 。 2 h 。( x ) r , f ；2 n ! ( 2 1 8 ) ( 日。( x ) = ( 一1 ) ”p 。出d 。e x 2 是月一h e r m i t e 多项式) 也满足方程( 2 1 7 ) 。注意 到h 。( x ) ：2 n i l 。( z ) ，我们得到 地= 去( h 丢) 炉而。 ( 2 1 9 ) 式( 2 1 9 ) 中的湮灭算子b 是爿上的一个闭的、无界的、加权的后移位算子。 正如d u b i n 和h e n n i n g s 在文献 3 0 3 所讨论的，量子谐振子的自然空间是由 x = z 2 ( - o o ，m ) 中所有快速递减函数构成的f r 6 c h e t 空间，该空间可表示为： ，= e l 2 ( 一。，o o ) ，= e c 。沙。，i 巳2 ( ”+ 1 ) 7 。，v ，0 ) ，其中妒。如式 ( 218 ) 所述的x 中的一个标准正交基。f 中的准范数定义如下： v = q f ，h i = 【h 2 ( n + 1 ) k ( r o ) ( 见文献【2 7 】) n = 0 = 0 d u b i n 和h e n n i n g s 证明了f 是一个完备度量拓扑向量空间，如式( 2 1 9 ) 中 所定义的湮灭算子在空间f 上是连续的。 定理2 2 ：f r 6 c h e t 空间f 上的湮灭算子b 是非游荡算子。 证明：v 五r ，易知九= 杀帆是五对应的特征向量。取 。 。q 刀 。 e ”= 2 ；口，一2 茎；苛”ib 啦2 a ，v ”，委口。碍 2 2 t 【宝掣( 川) ， ( 2 2 0 ) 由式( 2 2 0 ) 可得，忙圳2 k l l l i 。以下我们证明e “、e 5 在算子占作用下是 不变的，v e ”= q 九= b ( 暑 b e “，故e “c b e “；另一方面 v y b e ”，j = q 办e e u , 使得b 妒= ，于是 妒= b ( q 九) = ( d ， ) 啦e “，故b e “c e “，所以b e ”= e “。再取 。6 ，f 。 e 5 = 2 善w 。2 ；( 置矿) y n i b t ，= 删一满足v 月，善如? 0 ，i = 1 ，2 ，) ，则e 。亡f ，且同理可得v k n ，v y e 5 ， b 训( ) i i _ ；f , l i ，b e = e 。取f = ，则b 在e = e ”。e 5 上具有双曲结构。 还需证明b 的周期点p e r ( b ) 在f 中稠密。设五是单位复根，即i a l = 1 ，办 是五对应的特征向量，由办可以生成b 的周期轨，则这样的九在f 中稠密。 若不然，则存在f 中的某个函数口= 吼与每个这样的丸正交，即 ，咖薹筹；。 ( 2 2 1 ) 但解析函数的零点是孤立的，产生矛盾。故b 的周期点p e r ( b ) 在f 中稠密 从而b 是非游荡算子。 江苏大学硕士学位论文 第3 章非游荡算子的性质 3 1 非游荡算子的谱集 定义2 5 中的常数c 经适当地选择与空间上的准范数等价的某个准范 数1 | 可以使之等于l 。 定理3 1 设( x ，) 是一个无穷维可分f r 6 c h e t 空间，e c x 为x 的子 集，t 工( x ) 。假设t 的周期点集p e r ( 丁) 在e 中稠密，则丁关于e c x 是非 游荡算子的充要条件是：存在关于r 不变的e 的直和分解： e = e “o e 5 ，t e “= 。，t e 5 = e 5 ，且存在与等价的准范数j j ，使得 一 = ) 1j 1 ，= f 丁川 1 。 证明：充分性。假设充分性条件成立，则可取r 满足 m a x f 巧1 ，f t f ) f o ( i = 1 ，2 ) ，使得c ：h 忙f i c l f x l ，v e ， 于是 i i = - k f l l c 。i t “f f 叩叩 0 到，v f e u , ke ( 3 3 ) i t * r i - c t i t 叩i sc 。r sc i c ；1 r l ，v ，7 e 5 ，女en ( 3 4 ) 又已知p e r ( r ) 在e 中稠密，故r 关于e c x 是非游荡算子。 必要性。需要时更换一等价的准范数，可设忙l | = m a x 钏f | i ，| | 叩盼， v x 2 f + r l ，f e “，玎e 。设，关于e c z 是非游荡算子，则存在关于t 不变的e 的直和分解：e = e ”o 5 ，t e “= e u , t e 5 ：e 5 ，且存在0 f 0 ，使得 i - k 刮 c z - k 怙v f e e “，女e ；i i r 叩i l c r * 忉i i ， v 玎e5 ，k 。 取定”充分大，使得c t ” 1 ，由式( 3 6 ) 可知，对于v x e x j m i f x lj ，这说明与等价，又 l 丁一f l = 割丁”钊= + 炉”到一+ 一 = 一( 1 一c z ”) r l ：lj 一( 1 一c t ”) m 。 = 1 - ( 1 - - c t ”) m “ i f ( 3 7 ) 令五= 1 一( 1 一c r ”) m ，贝, f j o 五 1 ，这样就证明了：i 巧1 i = l ( 丁l 矿) - 1 i - t 1 =