（基础数学专业论文）量子weyl对称多项式与量子群的中心.pdf

武敬艳：量子w e y l 对称多项式与量子群的中心 3 7 扬州大学学位论文原创性声明和版权使用授权书 学位论文原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下独立进行研究工作所取得的研 究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含其他个人或集体已经发表 的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标 明。本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：武数丰已 签字日期：2 罗年石月f 日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，h i j 学校有权保留并向 国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和借 阅。本人授权扬州大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。同时授权中国 科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网 络向社会公众提供信息服务。 学位论文作者签名：试妣 签字日期：2 0 d 辟否月7 日 导师签名：李乏主扒 签字日期：d 孑年占月f o 日 武敬艳：量子w e y l 对称多项式与量子群的中心l 摘要 量子群或d r i n f e l d j i m b o 量子包络代数是自上世纪八十年代中期发展起来的代 数分支，由于它有很强的物理背景并与其它数学分支有着紧密的联系，在近二十年 的时间里，这一理论已取得了巨大的发展本硕士论文主要通过h a r i s h c h a n d r a 同 构及量子w e y l 初等对称多项式的性质，明确刻画了s 1 ( n = 3 并- t 1 4 ) 的量子化包络代数 乩( s 乙) 中心的生成元和生成关系 在第一节中，我们主要介绍了量子群虬( g ) 的研究现状和本硕士论文研究的技 术路线及所得主要结果 在第二节，我们给出了本文要用到的有关李代数及其根系、c a r t a n 矩阵、量子 群的一些基本概念并着重介绍了量子群的基本结果，如：u q ( g ) 的分次结构、 ( g ) 的三角分解u q ( g ) 兰u + o u oo u 一、h a r i s h - c h a n d r a 同构丘p 。缈：z ( u ) - 9 ( 叱) 在第三节，我们首先回顾了单李代数s 厶的根系、根基、基本权、权格、根基与 对应的基本权的关系及w e y l 群在根系上的作用然后，通过明确计算根格与权格二 倍的交w e y l 群在u q ( s 厶) 刍上的作用，证明了 ( u q ( j 厶) 刍) = 哆，( 砰砭5 + + 矸2 5 巧2 ) ， f ，s e z 其中a t ，k 我们称砰霹。+ + 砰5 巧2 ( 其中f ，s z ) 为三阶量子胍对称多项 式特别地，记五= 砰k ；+ 矸2 霹+ 杆2 4 ； x 2 = k 2 k ；+ k ；+ k ；+ k ? + k + k ? k ； x 3 = k ；k ：+ 磕k + k _ k 称而，x 2 ，x 3 为三阶量子w e y l 初等对称多项式并用数学归纳法证得它们是 ( u q ( s 厶) ：，) 矿的极小生成元且满足关系式( 6 ) 然后，由h a r i s h - c h a n d r a 同构，得到了 本文的第一个主要结论 定理3 2 6 ( s 厶) 的中心z ( ( s l o ) 同构于七，y 2 ，儿】i ，其中i 是由 蚝一6 y l 一6 y 3 9 y 2 3 y l y 2 3 此此一y l y a 一9 生成的理想 扬州大学硕士学位论文 2 由此定理，我们对z ( ( j 毛) ) 的结构就有了清晰的刻画 在第四节，我们首先回顾了单李代数s 的根系、根基、基本权、权格、根基 与对应的基本权的关系及w e y l 群在根系上的作用然后，通过计算根格与二倍权格 懒w e y l 群在( s ) 品上的作用，证明了 其中q 。k 我们称砰h ”嗣5 f + + 奸”砰。砰卜册( 其中，s ，m z ) 为四阶量 子w e y l 对称多项式特别地，记 毛= k 1 鹾墨+ k 坞+ k 巧1 + 奸1 蟛+ 奸1 巧1 + 奸1 2 巧1 ； 砭= k k ；霹+ k 霹1 + k 巧2 巧1 + 矸3 巧2 1 ； x 3 = k ；k 2 2 k j + k - 、k j k ；+ k ? k k j + k i l k k ? ； x 。= 磕k j k ；+ k ；k ；+ k ；k ；+ k ；+ k ；+ k ；+ k - 2 + k 1 2 + k + 奸2 巧2 + 巧2 巧2 + 奸2 k ；2 巧2 称西，x 2 ，为，x 4 为四阶量子w e y l 初等对称多项式并用数学归纳法证得它们是 ( 眈( s ) 品) 的极小生成元且满足关系式( 1 1 ) 然后，由h 撕s h c h a n d r a 同构，得到了 本文的另一个主要结论。 定理4 2 6 虬( s ) 的中一z ( u q ( s ) ) 同构于尼眦，y 2 ，弘，y 。 i ，其中j 是由 一一4 拜一2 m 儿- y 2 y a - 2 y l y 3 + 8 儿+ 1 6 生成的理想 由此定理，我们对z ( 饥( s ) ) 的结构就有了清晰的刻画 关键词量子化包络代数；h 撕s h c h a i l d r a 同态；w e f t 群；量子w e y l 对称多项式 a b s t r a c t q u a n t u mg r o u po rd r i n f e l d - j i m b oq u a n f i z e de n v e l o p i n ga l g e b r ad e v e l o p i n gi nt h e m i do ft h ee i g h t i e si so n eo ft h ei m p o r t a n tb r a l l c l l e so f a l g e b r a s i n c eq u a n t u mg r o u ph a s t h ef u n d a m e n t a la l g e b r as t r u c t u r eb e h i n dm a t h e m a t i c a lp h y s i c s ，a n dt h et i g h tr e l a t i o n 、i m o t h e rb r a n c h e so f m a t h e m a t i c s ，i th a sd e v e l o p e dr a p i d l yd u r i n gt h el a s tt w e n t yy e a r s t h e a i mo ft h i sd i s s e r t a t i o ni st od e s c r i b ee x p l i c i t l yt h eg e n e r a t o r sa n dg e n e r a t i n gr e l a t i o nf o r t h ec e n t e ro f ( s 乙) ( w h i l e ，2 = 3a n d4 ) b yh a r i s h c h a n d r ai s o m o 蛳s m a n dp r o p e r t i e s o ft h eq u a n t u m w e y le l e m e n t a r ys y m m e t r cp o l y n o m i a l s ，w h e r e u q ( s 1 ) i st h eq u a n t i z e d e n v e l o p i n ga l g e b r ao m i nt h ef i r s tp a r t ，w ei n t r o d u c et h em a i n r e s u l t so fq u a n t u mg r o u p u q ( g ) m e a n w h i l e ， w ea l s ob r i e f t h em a i nm e t h o d sa n ds o m ei m p o r t a n t r e s u l t so b t a i n e di nt h i sd i s s e r t a t i o n i nt h es e c o n dp a r t ，w er e c a l ls o m eb a s i cc o n c e p t so f l i ea l g e b r aa n di t sr o o ts y s t e m c a f t a n m a t r i x ，t o g e t h e rw i t hq u a n t i z e de n v e l o p i n g a l g e b r a m o r e o v e r ，w em a i n l v 1 n 缸d d u c es o m eb a s i cr e s u l t so f ( g ) ，s u c ha s t h eg r a d e ds t r u c t u r eo f 玩( g ) ，t r i a n g u l a r d e c o m p o s l 钮o n ( g ) 兰( ，+ 圆扩o u - ，a n d t h eh a r i s h - c h a n d r a i s o m o 删s m 7 - 。矿：z ( u ) p j ( 吧) 矽 i nt h et h i r dp a r t ，w ef i r s tr e f i e wt h er o o ts y s t e m ，r o o t b a s e ，w e i g h tl a t t i c e ，a n d f u n d a m e n t a lw e i g h to f 吐w ea l s or e c a l lt h er e l a t i o n sb e t w e e nr o o t b a s ea n dc o n e s d o n d i n gt ot h ef u n d a m e n t a lw e i g h t ，a n dt h ea c t i o no f w e y l g r o u po ni t sr o o ts y s t e m n e x t ，b v c o m p m i n gt h er e l a t i o n sb e t w e e nr o o tl a t t i c e a n d e v e n w e i g h tl a t t i c e ，a 1 1 du s i n gm e a c t i o no f w e y l g r o u po n u q ( s 3 ) o ，w ep r o v e g 0 4 艺) 旷= z a , j ( j 碎 拿+ + 天产量) ，w h e r ea , 。，七 ，艇2 n o w , f o ra n yt ，s z ，w ec a l l k k 竽+ + k - 2 s k 2 t i st h et h i r dq u a n t t m a w e y l s y m m e t r cp o l y n o m i a l s i np a r t i c u l a r , l e t x t = k ：x j + k 2 k ；+ x _ k ； j c 2 = 砰霹+ 砰+ 霹+ 砰+ 碍+ 砰砰； x 3 = 鼍k ：+ k ；k + k _ k - 2 扬州大学硕士学位论文 4 w ec a l lx 1 ，x 2 ，x 3a r et h et h i r dq u a n t u m w e y le l e m e n t a r ys y m m e t r i cp o l y n o m i a l s i t t u r n so u tt h a t x 1 ，x 2 ，x 3 a r em i n i m a lg e n e r a t o r so f ( u q ( s 1 3 ) o ) wa n dt h em i n i m a lg e n e r a t o r s 五，x 2 ，x 3a r es a t i s f i e dt h ee x p r e s s i o n ( 6 ) t h e n , b yh a r i s h - c h a n d r ai s o m o r p h i s m ，w eo b t a i n o n eo ft h em a i nr e s u l t si nt h i sp a p e r , a sf o l l o w s ： t h e o r e m3 2 6 t h ec e n t e r z ( u q ( 鸡) ) o f 虬( s t o i si s o m o r p h i ct ok y i ，y 2 ，y 3 i ， w h e r e ii st h ei d e a lg e n e r a t e db yy ；- 6 y l 一6 y 3 9 y 2 - 3 y l y 2 - 3 y 2 y 3 - y l y 3 - 9 。 f r o mt h i st h e o r e m ，w ed e s c r i b ee x p l i c i t l yt h es t r u c t u r eo f z ( u q ( 鸡) ) i nt h ef o u r t hp a r t ，w ef i r s tr e c a l lt h er o o ts y s t e m ，r o o tb a s e ，w e i g h tl a t t i c e ，a n d f u n d a m e n t a lw e i g h to f s l 4 w ea l s or e v i e wt h er e l a t i o n sb e t w e e nr o o tb a s ea n dc o r r e s p o n d i n gt ot h ef u n d a m e n t a lw e i g h t ，a n dt h ea c t i o no f w e y lg r o u po ni t sr o o ts y s t e m n e x t ，b y c o m p u t i n gt h er e l a t i o n sb e t w e e nr o o tl a t t i c ea n d e v e n w e i g h tl a t t i c e ，a n du s i n gt h e a c t i o no f w e y lg r o u po nu o ) 刍w ep r o v e ( ( j ) 品) 酽= a t , s , m ( 砰h ”罨2 3 衅+ + 矸”巧2 5 巧2 卜m ) ，w h e r ea t 册k t , s ，m e z n o w , f o ra n yt ，s ，m 厄，w ec a l lk ；tx 挈+ + k ? s x ti st h e f o u r t hq u a n t u m w e y l s y m m e t r i cp o l y n o m i a l s i np a r t i c u l a r , l e t 五= k 霹玛+ 墨k + 墨巧1 + 矸1 墨+ 奸1 巧1 + 矸1 巧2 巧1 ； x 2 = kl l q k 3 3 + k l k ；k - 、+ k 、k k + k _ 3 k k ； x 3 = k ；k 2 2 k j + k - 1k j k j + k _ k 2 - 2 八3 i + k i lk k ? ； x 4 = k ；k ；k j + k j 醚+ 醚k j + 鞋+ 醚+ 醚+ k - 2 + k ；2 j rk + k ? k ：+ k k + k ? k k w ec a l lx 1 ，艺，x 3 ，x 4a r et h ef o u r t hq u a n t u m w e y le l e m e n t a r ys y m m e t r i cp o l y n o m i a l s i tt u r n so u t x l ，x 2 ，为，x 4a r em i n i m a lg e n e r a t o r so f ( 蜮碍厂a n dt h em i n i m a lg e n e r a t o r s 一，x 2 ，x 3 ，x 4a r es a t i s f i e dt h ee x p r e s s i o n ( 11 ) t h e n ，b yh a r i s h c h a n d r ai s o m o r p h i s m ，w e o b t a i na n o t h e rm a i nr e s u l ti nt h i sp a p e r , a sf o l l o w s ： t h e o r e m4 2 6t h ec e n t e r z ( u 。( s 1 4 ) ) o f u q ( 吐) i si s o m o r p h i c t ok y , ，y 2 ，y 3 ，y 4 i ， w h e r e ii st h ei d e a lg e n e r a t e db y 正一4 y ? 一2 y , y 2 一y 2 y 3 2 y , y 3 + 8 y 4 + 1 6 f r o mt h i st h e o r e m ，w ed e s c r i b ee x p l i c i t l yt h e 蛐m c t u r e o f z ( u q ( s 厶” k e y w o r dq u a n t i z e de n v e l o p i n ga l g e b r a ；h a r i s h - c h a n d r am a p ；w e y lg r o u p ；q u a n t u m w e y ls y m m e t r i cp o l y n o m i a l s 武敬艳：量子w e y l 对称多项式与量子群的中心 5 量子w e y l 对称多项式与量子群的中心 1 引言 有限维单李代数的量子化包络代数乩( s 1 2 ) 首先由k u l i s h 和r e s h e t i k h i n 1 在 1 9 8 3 年引进；其h o p f 代数结构由s k l y a n i n 2 】给出其后，d r i n f e l d 3 和j i m b o 4 分 别独立的推广了此种结构到任意有限维半单李代数g 的量子包络代数u 。( g ) 更一 般地，可以推广到k a c - m o o d y 代数( 见【5 】) 、广义k a c m o o d y 代数( 见 6 ) 的量子包 络代数( 见 7 ，8 ，9 】) 简言之，设彳是不可分解的可对称化广义c a f t a n 矩阵， d = d i a g ( d l ，也，壤) 是么的极小对称化矩阵设g 是代数闭域k 上的李代数， g 七且9 2 珥1 则量子群虬( g ) 是由生成子巨，互，k ，k i 一( f - 1 ，刀) 和关系式 k k | = k k ，k i k i l = k i i k = 1 ， k , g k , = q a , 0 9e ? ，k i f | k _ = q - a , a , ”f i ， 粥m 籍， 1 - a 0 ( 刮1 一吻l 巨s t 矿旷3 ：0 ，j ， s = o l o j 日嘶 雾c ，5l1 ：7 盯l 西一f ，i - u - * 一f ，f 5 = ：。，z 寻e j 生成的域k 上的代数( 参见文献 7 】，【1 0 ) 上面的最后两式称为量子s e r r e 关系 最近十几年来，量子群理论引起了许多数学家和数学物理学家的注意，这是因 为量子群与许多不同的数学和数学物理分支有着紧密的联系并具有广泛的应用目 前这一理论已取得了巨大的发展如l a m b e 和r a d f o r d 8 等系统地研究了量子群或 一般的h o p f 代数与y a n g - b a x t e r 方程的解的关系l u s z t i n g 11 】，a n d e r s o n 1 2 和 r o s s o 1 3 等研究了( g ) 的表示m a j i d 1 4 等讨论了量子群在辫子群理论，环结和 扭结理论中的应用随着量子群理论的逐渐发展，对于量子化包络代数中心的研究 引起了许多数学家的兴趣例如g a j d e r o 1 5 】刻画了单连通量子群q ( s ，( + 1 ) ) 的中 心；对于局部代数a ：= c k 】( g 1 ) ，g a l d e r o 1 6 j 丕 正得u 月的中心乙兰( u o ) 矽a l e v 和 扬州大学硕士学位论文 6 d u m a s 17 】证明了眈( s 乙+ 。) + 的中心同构于多项式代数在此基础上，l o p e s 1 8 i i e n 芟j 了( s 乙+ 。) + 的中心z 包含于有胛个变元的多项式子代数中，且( s 乙+ ，) + 是和 z 上的自由模j o s e p h 和l e t z e r 1 9 给出了虬( g ) 伴随模作用下的所有有限维子模， 并证明了局部有限子代数同构于有限维子模的自同态环的直和，且每个直和项都含 有唯一的一个一维平凡子模，而一维平凡子模和中心中元素是一一对应的 我们知道h a r i s h c h a n d r a 同构是有限维李代数表示理论中的基本工具之一，r o s s o 2 0 给出- t h a r i s h c h a n d r a 同构的量子化定义，但证明方法比较复杂j a n t z e n 1 0 综 合前人的工作，在u 上定义了一个非退化的双线性型 ，并证得对任意见人且2 兄 z 万，存在唯一的z a z ) 使( “，z 2 等于“磋作用到三 ) 上的迹然后，用归纳 法证得h a r i s h - c h a n d r a 同构： 丘，0 够：z ( u ) 一( 吧) ，其中吧= 。黑： 自然地，我们想通过研究( 吧) 的生成元和生成关系来分析量子化包络代数的中心 本文的主要内容正是充分利用h a r i s h - c h a n d r a 同构，明确刻画了特殊线性单李代数 s 厶( ，z = 3 4 丢1 1 4 ) 的量子化包络代数u q ( s 乙) 中心的生成元和生成关系具体地： 在第三节，我们首先利用s 厶权格和根格的关系及w e y l 群在其根系上的作用， 求得( 虬( j 乞) 刍) 接下来，定义了三阶量子w e y l 对称多项式和三阶量子w e y l 初等 对称多项式，并用数学归纳法证明了它们是( 乩( s 厶) 詈) 矿的极小生成元且满足关系式 ( 6 ) 在此基础上，。由h a r i s h c h a n d r a 同构对z ( 虬( s 厶) ) 进行了刻画主要有以下结 论： 命题3 2 1 z 万n 2 人= z ( 2 a , ) + z ( 2 a 2 ) 命题3 2 2 ( 吧) = q ，( 砰k 尹+ 砰”2 霹5 + 砰霹卜2 5 + 砰”2 巧2 + f s z k ? 2 5 霹卜2 5 + 奸2 5 蛭2 ) ，其中a t ，k 我们称砰霹5 + + 砰5 2 ( 其中，s z ) 为三阶_ 量_ q f w e y l 对称多项式特别 地，记 x 。= k ：k ；+ k k 乏+ k k ； x 2 = k ；k j + k ：+ k j + k + k + k ? k ； 。x 3 = i , q i q + k j k + k i 4 k 称五，x 2 ，x 3 为三阶量子w e y l 初等对称多项式 武敬艳：量子w e f t 对称多项式与量子群的中心 7 引理3 2 4 三阶量子砂，初等对称多项式五，x ：，x 3 满足关系式 屯3 6 五- 6 x 3 9 x 2 - 3 x l x 2 - - 3 x 2 x 3 - x l x 3 - 9 = 0 定理3 2 6 ( s 厶) 的中心z ( ( s i p ) 同构于七眺，y 2 ，乃 ，其中，是由 以一6 m 一6 y 3 9 耽一3 m 耽一3 此儿- y l y 3 - 9 生成的理想 在第四节，我们首先利用s 厶权格和根格的关系及群在其根系上的作用，求得 ( u q ( j 厶) 当) 接下来，定义了四阶量子阢对称多项式和四阶量子胍砂初等对称 多项式，并用数学归纳法证明了它是( ( s 厶) 品) 的极小生成元且满足关系式( 1 1 ) 在此基础上，由h a r i s h c h a n d r a 同构对z ( ( s ) ) 进行了刻画主要有以下结论： 命题4 2 1z 万r 、2 八= z ( 2 a d + z ( 2 a 2 ) + z ( q + ) 命题4 2 2 ( 吧) = t , 8 ，m e za t s , m ( 砰件”2 5 碍+ 砰h 脚霹3 霹”所+ 砰件掰霹件2 舻2 5 群 + 砰h ”砭件2 ”2 5 霹h ”2 5 + 砰件”砰霹”+ 砰”砭霹h ”2 3 + 砰”2 卜”砖3 霹+ 砰”2 卜”5 霹”+ 砰”2 卜”k ；2 霹+ 砰”2 卜”巧2 巧2 卜”+ 砰”2 卜”霹”2 卜2 ”霹“ + k ；s q 卜巍k 竽| t 措k 孑卜m + k ? - sk 亨艟m q sk ；+ k ? q s 醚q m q s 避m q s + k ? sk 1 k - 2 1 1 + k ? t sk 1 2 lk ；+ k ? t sk s 酸+ m t s + k ? q sk ；sk 孑卜m + k i m 避避s m + 杆”砭。霹h ”2 。+ 矸”砭“2 卜2 ”碍”? + 何”霹”2 卜2 ”巧排”+ 杆”砭2 3 霹件”2 5 + k i mk sk - 2 卜m 、) 我们称砰h ”砰3 群+ + 奸8 砰5 砰卜”( 其中f ，s ，m z ) 为四阶量子w e y l 对 称多项式特别地，记 葺= k 1 霹恐+ 墨墨十k 巧1 + 矸1 坞+ 矸1 巧1 + 奸1 巧2 q 1 ； x 2 = k l k j k ；+ k 。k ；k + k 1 k k + k k k ； x 3 = k ；k 2 2 k j + k k ；醚+ k k k j + k pk k ； x 4 = x ；k j k ；+ k ；k ；+ k ；k j + k ；+ k ；+ k j + k ? + k + k + 奸2 k ；2 + k ；2 巧2 + 砰巧2 巧2 称x 1 ，x ：，x 3 ，x 。为四阶量子彤酬初等对称多项式 定理4 2 3 四阶量子彤秒，初等对称多项式x 1 ，x 2 ，码，确为( u e o v ) 的极小生成元 引理4 2 4 四阶量子哟，初等对称多项式葺，镌，屯，确满足关系式 k 2 4 砰- 2 x l x 2 一x 2 x 3 - 2 x l x 3 + 8 _ + 1 6 = 0 定理4 2 6 ( s ) 的中一心z ( u q ( s ) ) 同构于虹m ，y 2 ，y 3 ，y 4 l i ，其中j 是由 扬州大学硕士学位论文 8 正一4 订一2 y l y 2 一儿儿一2 3 1 ) 3 + 8 朋+ 1 6 生成的理想 本文恒设k 是特征为0 的代数闭域，q k 不是单位根有关特殊线性李代数及 其量子化包络代数的基本事实完全来源于文献 1 0 】和 2 1 ，这里不再赘言 武敬艳：量子w e f t 对称多项式与量子群的中心 9 2 预备知识 作为本硕士论文的预备知识，本节我们不加证明地罗列了量子群( g ) 及h a r i s h - c h a n d r a 同态的一些主要结果，有关这方面的内容参见文献( 1 0 】，【2 3 】) 2 1 李代数及其根系 设g 是域k 上的线性空间，且g 中有二元运算( x ，y ) 专 x ，少】( 通常称为方括号运 算或换位子) ，若满足下列三个条件： ( 1 ) 方括号运算是双线性的； ( 2 ) x ，z 】_ 0 ，对g 内所有的x ； ( 3 ) x ， y ，z 】+ y ， z ，x 】+ z ，i x ，y l 】= 0 ( v x ，y ，z g ) ； 则称g 为域k 上的李代数 设g 是任一李代数，x ，y g ，定义x ( x ，y ) = t r ( a d x a d y ) 则誓是g 上的一个对称 双线性型，称为李代数g 的k i l l i n g 型，简记为( ，) 对于任一有限维复半单李代数g ，设日是g 的一个极大环面子代数，由 2 2 】知 g 有c a r t a n 分解g = og 。，其中g 口= x gi 【办，x 】= a ( h ) x ，v h 哪记 口e = 口i 口o ，g 。o ) ， 中的元素称为g 关于日的根，为李代数g 的根系由于g 的k i l l i n g 型( x ，y ) 限 制在h 上非退化，于是对v 口h 有唯一的乞h ，使口( 办) = k ( 乞，i z ) ，v h h ，则 口h ，。是日+ 到日的线性同构映射 令为生成的实线性空间，即玩= 口i r ) ，则讲，日= d i m c h 口e m 由 2 0 1 知风对于g 的k i l l i n g 型成为一个e u c l i d 空间，其上内积定义为 ( q ，口，) = r ( 乞，t a ) j 的一个子集万= 口。，嘶 若满足以下条件，则被称为根基： ( 1 ) 万是的基； ( 2 ) 每个根可写成= 心口，并且具有全正或全负的整系数吒 扬州大学硕士学位论文 1 0 令 ， 设万为的根基，称万中的根为单根，z 万= 弛为根格 i = i + = l = 吒口，吒o ) ，c i ) 一= i = k 口，吒o 口露口e i ， 称+ ，c i ) 一分别为正根系与负根系令乃为对应的基本权，则称人= z 以为权格 i = 1 2 2c a r t a n 矩阵 一个r l 以矩阵a = ( 口f ，) 称为c a r t a n 矩阵( 有限型) ，如果它满足下面的条件： ( 1 ) = 2 ； ( 2 ) a o 0 ； ( 3 ) a o = 0 a ，= 0 ； ( 4 ) 彳的顺序主子式大于0 任一有限型c a r t a n 矩阵a 对应一有限维半单李代数g ( 彳) ( 详见【2 1 ) 2 3 量子化包络代数( g ) 砹a 是c a r t a n 矩阵，d = d i a g ( d l ，畋，d n ) 是a 的微小对称化矩阵则相厦 于彳的量子化包络代数u = ( g ( 么) ) 是域尼上由e ，z ，k ，k 一( f = 1 ，聆) 生成的代 数且满足以下关系式： k l kj = k j k i ，k i k _ = k _ k i = 1 ， k l e j k _ = q d ae j ，k i f j k i l = q d f j ， m 簿， ( 1 ) 羹c 一，3 1 ：吩 一巨5 弓巨1 。旷3 = 。，z 塞( 一1 ) s f 1 _ 嘞 f i t 一呀一f j f i s ：o ，f 歹 删 l s j 武敬艳：量子w e y l 对称多项式与量子群的中心 11 其中i ? i 表示高斯二项式系数，即 l 彤l i n 】：缉：9 一一l + g ”一3 + + g 一一+ 3 + g 一一+ l ， g g 【疗】! = 1 1 1 2 1 i n 】，【0 11 = l ， l ，2l 【，2 ! l ki 【尼】! 【刀一七】! 我们容易验证u 有唯一的h o p f 代数结构，其中余乘法，余单位s 和反极元s 由下述公式确定： ( k ) = k o k ，( k - 1 ) = k _ 1 圆k ， ( 剐= e 圆1 + k 巨， ( f ) 1 - e 。k 。1 + 1 只，( 2 ) s ( 巨) = s ( f ) = 0 ，s ( k ) = 占( k i 叫) = 1 ， s ( 巨) = 一k j 。1 e ，s ( e ) = 一e k 2 4 量子群的分次结构及三角分解 令z 万= n f a t , 1 z ，n 万= qj 吩n ) i 发d e g e , = q ，d e g f , - - _ c z , i ，d e i = 1i = l g ( k ) = d e g ( k ，- 1 ) = 0 记【，o 是由k ，k 1 生成的子代数，u + 是由e 生成的子代数， u 一是由生成的子代数，u 卸是由e ，k ，k i _ 1 生成的子代数则u = u q ( g ) 是z x 分 次代数，u + 是n 万分次代数，u 加是n 万分次代数 定义z 万上二次型( ，) ：z u xz xjz ，( ，口，) hz 则 k 易k = g q q 弓， k l f j k , = q - ( 口, , a j ) f s ( 3 ) 设兄= n , c r , z 万，记巧= 兀科则 i = 1i = 1 k z e j g 一= g 五q 弓，巧巧巧= g 一五，q ( 4 ) 引理2 4 1 有如下向量空间同构 ( 1 ) u 2 0 兰u o 圆u + ( 2 ) ( g ) 兰u + o u ”圆u 一 记u v = “uk a u k f l l = q a , v ) u ，旯z x ，砜= 甜uk a u k f a l = “，旯z 万 由 扬州大学硕士学位论文1 2 三角分解( g ) 兰u + u 。u 一得到下述直和分解砜兰u 。( 蠹吒u 。阱) 2 5h a r i s h c h a n d r a 同态 设缈：砜j u 。为关于上述直和分解的投射易证戛吒u 。u ；是u o 的理想，从 而妒：u oj u o 是代数同态 引理2 5 1 ( 1 ) u 的中心z ( u ) ( 2 ) 妒i z ( 【，) ：u oj u 。是单射 对1 f 刀，定义日上的自同构q ：h 专h ，q ( 名) = 1 一 ，其中 ：凳冬磐形为由q 扛1 ，2 ，刀) 生成的训群从而可得胍叫群在u 。 l 口f ，j 。 上的作用为w 巧= k ( 舻其中巧= n k ，= 呸z 万，w ew 该作用下不 动点的集合是u o 一个子代数，记此代数为o ) 缈 对任意旯人，令 以：u 。一u o ， 巧hq z 川巧， 则以为代数同构取p = 去，称丘p 。缈：z ( u ) 专u o 为u 的h a r i s h c h a n d r a 同 态 引理2 5 2 丘p 。矽i 狮) 冬( u 。) 矿 设v o =o 易知z 万r 、2 a 是z 刀的予群，从而吧为u o 的子代数注 a e z z n 2 a 一 。 o 。 。 意到z 万r 、2 人是形一稳定的，从而形在u o 上的作用把吧映到它自身易知 ( 吧) = ( w k ) ，e k 命题2 5 3 i m ( y _ po 缈b ) ( 吧) 定理2 5 4 h a r i s h - c h a n d r a 同态丘口。缈：z 缈) ( 吧) 是同构 武敬艳：量子w e y l 对称多项式与量子群的中心 1 3 3 关于u q ( s 乞) 的中心 本节我们讨论u = u q ( s f 3 ) 中心的生成元和生成关系 3 1 设刀= 口l ，口2 ) 为s 厶根基，z 万= z + z a 2 为其根格，= q ， f c z 2 ，( + 口2 ) 为根系，+ = ，口：，+ ) 为正根系设 ，屯为对应的其本权，人= z 五+ z 如为 权格容易计算得 口l ：2 a 一五，口2 ：一a + 2 五丑：委( 2 + ) ，五：i 1 ( + 2 口：) 李代数s 7 31 拘w e y l 群由q ，c r 2 生成且同构于3 次对称群岛( 参见文 2 1 】) 则形= e ， q ，o - 2 ，o 1 0 2 ，0 2 0 1 ，o - o 2 0 1 ) ，而形群在根系上的作用为 q ：qf - - 一，i - - - + ；o - 2 ：i - - - + ，口2h a 2 ； q 0 2 ：i - - _ c 2 r 2 ，i - - 一口1 一口2 ； o - 2 q ：i - - - 一q 一口2 ，口2f - ； q 吼q ：f - - 一，h 一； e ：qhq ，口2 3 2 本小节利用h a r i s h - c h a n d r a 同构丘口。伊：z ) j ( v o ) ，通过明确计算( 吧) 的生成元和生成关系来分析z ( u ) 的结构注意到吧= o 豚驴因而我们先求 “e z 石n 2 z n 厂、2 人 命题3 2 1 z z c r 、2 a = z ( 2 ) + z ( 2 ) 证明任取2 n l o h + 2 门2 z ( 2 a 1 ) + z ( 2 a 2 ) ，( 啊，r t 2 z ) ， 则2 碍口l + 2 n 2 a 2 z 万。 又因2 = 4 五一2 以2 a ，2 a 2 = - 2 a + 4 五2 a ，所以2 t r i c e l + 2 n 2 口2 z 万n 2 人 由 任意性知z ( 2 ) + z ( 2 a 2 ) z x r 、2 a 反之，设x z 万r 、2 人，则x = 砚2 + m 2 2 五， 码，m 2 z 将a ，五代入得 x = 詈( 2 q + ) + m 2 ( + 2 ) ：丝型型+ 2 ( m i + 2 m 2 ) 因x z x ，从而 2 ( 2 r a n + 3 m 2 ) 2 ( m l+ 2 m 2 ) 3 z ，贝l j ( 2 + ，龟) 3 ，( ，强+ 2 m 2 ) 3 z ，即 得x z ( 2 ) + z ( 2 ) ，由x 的任意性知z 万n 2 人互z ( 2 a 1 ) + z ( 2 a 2 ) 扬州大学硕士学位论文 1 4 综上可知z 万n 2 人= z ( 2 q ) + z ( 2 锡) 由上述命题知吧= 七 砰，砰】设可( 墨，k 2 ) =a t 。砰2 5 吧，记 d e g k 。f = m a x 2 ta t ，。0 ，r ，s z ) ，d e g 如f = m a x 2 sa t ，0 ，f ，s z ) 下面命题给出了( 吧) 的刻画 命题3 2 2 ( 吧) = 口f ，( 砰7 琏2 5 + 砰”2 碍5 + 砰鹾卜2 5 + 砰”2 砰7 + 砰5 t ，s e z k 享- s + k ? s k t 、) ，其中a ，。七 口 证明 一方面通过直接计算可知，w 中元素作用等式右边均不变下面只计算 q 作用时的情形显然q 墨= 矸1 ，q 坞= k k 而 t ，s e z f ，s e zn 0 k ；t k j s + k ；s q l k ；s + t k 享t s + k ；”强k t + k p s k 亨一勘+ k 2 s k - 2 t a t ，。b ( 砰觞2 5 ) + q ( 砰”2 憋2 5 ) + q ( 砰7 霹卜2 5 ) + q ( 砰m 。砰) + a l ( x , - 2 5 霹卜2 5 ) + q ( 砰5 巧2 ) 】 f ，s e z a t ，。( 砰”2 砭5 + 砰霹3 + 奸2 5 露卜2 3 + 砰3