（基础数学专业论文）Πλ（q）的单表示的维数向量的又一刻划.pdf

河南大学硕士学位论文 摘要 q u i v e r 代数在数学的许多领域都有重要的作用，比如表示理论，代数几何，微 分几何，k a c - m o o d y 代数和量子群q u i v e r 代数表示的维数向量描述了这个表示 中各向量空间的维数，对这个表示起着决定性作用本文给出了形变预投射代数 l - 1 3 ( q ) 的单表示的维数向量的一个等价刻划本文共分三章：第一章介绍了有关 q u i v e r 代数的基本概念及q u i v e r 的分类。并给出了本文的主要结果第二章回顾 了一个k q 一模是一个n 1 ( q ) 一模的特定条件，以及k a c s 定理第三章是本文的 主要内容这一章完成了我们的主要定理的证明，邸形变预投射代数一( q ) 的单 表示的维数向量的一个等价刻划 关键词：q u i v e r 代数，q u i v e r 代数的表示，形变预投射代数，单表示，正根 塑童盔兰堡主兰垡堡奎 a b s t r a c t q u i v e ra l g e b r ap l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nm a n y8 x e a so fm a t h e m a t i c s ，f o re x a m p l e ， r e p r e s e n t a t i o nt h e o r y , a l g e b r a i cg e o m e t r y , d i f f e r e n t i a lg e o m e t r y , k a e - m o o d y a l g e b r a s a n dq u a n t u mg r o u p s d i m e n s i o nv e c t o ro fr e p r e s e n t a t i o no fq n l v e ra l g e b r ag i v e sa nd e - s c r i p t i o no fd i m e n s i o no fv e c t o rs p a c e si nt h er e p r e s e n t a t i o n ，i td e t e r m i n e st h er e p r e - 8 e n t a t i o nt os o m ee x t e n t t h i st h e s i sg i v e sa n o t h e rd e s c r i p t i o no ft h ed i m e n s i o nv e c t o r 0 fas i m p 】er e p r e s e n t a t i o no ft h ed e f o r m e dp r e p r o j e c t i v ea l g e b r a1 - i 1 ( q ) i th a st h r e e c h a p t e r s t h ef i r s tc h a p t e rg i v e ss o m eb a s i cd e f i n i t i o n sa n d n o t a t i o n sa b o u tq u i v e r sa n d a s s e r t st h ec l a s s i f i c a t i o no fq u i v e r s ，a n dg i v e st h em a i nr e s u l to ft h i st h e s i s i nt h es e c o n d c h a p t e r w er e m a i nt h a ta nk q m o d u l ec a j lb er e c o g n i z e d a sa n1 - i “( q ) 一m o d u l eo n l yi n s o m es p e c m ce a s e ，a n ds k e t c ht h ek a c st h e o r e m ，t h ek e y t ot h et h e o r yo fp r e p r o j e c t i v e a l g e b r a c h a p t e rt h r e ei s t h em a i nb o d yo ft h i st h e s i s i nt h i sc h a p t e r ，w ec o m p l e t e t h ed r o o fo f0 1 1 1 m a i nt h e o r e m ，l e ， a n o t h e rd e s c r i p t i o no fd i m e n s i o nv e c t o ro fs i m p l e r e p r e s e n t a t i o no ft h ed e f o r m e dp r e p r o j e c t i v ea l g e b r an ) k e y w o r d s ：q u i v e ra l g e b r a ，r e p r e s e n t a t i o no fq u i v e ra l g e b r a , d e f o r m e dp r e p r o j e c t i v e a l g e b r a , s i m p l er e p r e s e n t a t i o n ，p o s i t i v er o o t 关于学位论文独立完成和内容创新的声明 年、八向河南大学提出硕士学位中请。苯人郑重声明：所呈交的学位论又是 本人在导师的指导下独立完成酌，对所研究f 勺课题有新的见解。据我所知，除 交中特别加皑说明。标注和致谢的地方外，论文中不包括其他人已经发表或撰 写过酌研究成果，也不包括其他人为荻得任何教育、科研机构酌学住或证书而 段保存、汇编学位论文( 纸质文本和电子正本) 。 ( 涉及保在内容的学位论文在解密后适用本授权书) 学位获得肴( 学位论文作者) 簧名：兰j 釜望莨叠 一 2o 。7 耳6 月尹“ 学位论文指宁教师签名 河南大学硕士学位论文 引言 q u i v e r 代数在数学的许多领域都有重要的作用，比如表示理论、代数几何、微 分几何、k a c - m o o d y 代数和量子群 一个q u i v e r 的表示就是对其中每一个顶点赋予一个向量空间，其中每一个箭 头对应一个线性映射由一个q l l i v e r 可以定义一个q u i v e r 代数，并且这个q u i v e r q 的表示范畴风p ( q ) 可以与其q 出v e r 代数k q 的模范畴k q m o d 视为等价范 畴( 参见【4 】) 和代数模一样，一个q u i v e r 的任一表示都可以写成不可分解表示的 直和，且在同构及不计次序的意义下分解是唯一的于是欲对q u i v e r 的表示进行 分类，只须对其不可分解表示进行分类根据它有不可分解表示的个数多少及其 性质，q u i v e r 可以分为f i n i t et y p e ，t a m et y p e ，w i l dt y p e ( 参见【2 3 】) 为了提供一个q u i v e r 表示的模型，d b a s e r 、w g e i g l e 和h l e n z i n g 1 】运用t r d 构 造了预投射代数丌( q ) ，w c r a w l e y - b o e v e y 和m p h o l l a n d 在文【1 0 】中运用其他方法 引入预投射代数n ( q ) ，并在此基础上引入了形变预投射代数n 1 ( q ) c m 1 ： j n g e l 2 2 和w c r a w l e y - b o e v e y 6 证明了他们对预投射代数的描述是一致的，预投射代数理 论中关键的因素是k a c ，s 定理，这个定理描述了q u i v e r 的不可分解表示的可能维 数向量，而这也正是大家一直关注的问题g a b r i e l 8 定理证明了在同构意义下一 个q m v e r 有有限多个不可分解表示的充要条件是这个q u i v e r 是d y n k i nq u i v e r 在 这种情形下，有一映射将一个不可分解表示映为维数向量且是一一对应k a c s 定 理( 9 2 见 1 6 1 7 ) 推广了这个结果：对于任意类型的q u i v e r ，任一不可分解表示的 维数向量都是正根；在同构意义下，对于每一个正实根。有且仅有一个维数向量 为n 的不可分解表示，而对于每一个正虚根峨则有无限多个维数向量为a 的不 可分解表示 预投射代数有许多应用，比如可以用预投射代数构造量子群，进而用q u i v e r 的表示研究量子群的表示w c r a w l e y - b o e v e y 在【1 0 中应用预投射代数研究有限 的d y n k i aq u i v e r ，而对于其它类型的q u i v e r s 没有更好的性质，比如它们的d e f o r m e dv e r s i o n s 不是平坦的基于此，p e i n g o f 和e r a i n s 1 3 】引入了有限d y n k i n 河南大学硕士学位论文 q u i v e r s 的预投射代数的中心扩张，证明了它们的d e f o r m e dv e r s i o n s 是平坦的揍 下来，p e t i n g o f , f l a t o u r 和e r 血：1 s 【1 2 】计算了形变预投射代数1 ( 的中心的 结构及其迹空间i x l ) 【n 1 ( q ) ，兀1 ( q ) f e t i n g o f 和c h e u 【14 】中推广了上述结果， 计算了n 1 ( q ) 的h o c h s c h i l d 同调群及循环同调群，以及它的循环同调群的加法结 构，并运用这些结果发现了它的万有形变 其实，预投射代数与非交换辛几何也有着密切的联系，m k o n t s e v i c h 1 8 】引 入了非交换辛几何，随后r b o c l d a n d t ，l l e b r u y n 【1 0 1 和v g i n z b u r y g 1 5 】进行了 深入研究在双导数的基础上，w c r a w l e y b o e v e y 9 】发展了非交换辛几何的新结 构，导致了非交换辛几何中m o m e n tm a p ，h a m i l t o m i a ar e d u c t i o n 这两个概念的引 入在特殊情形下应用h a m i l t o m i a nr e d u c t i o n 就可以得到一类有趣的结合代数，就 是预投射代数n ( q ) ，并且可以赋予相应的李代数结构 w c r a w l e y b o e v e y 8 1 证明了形变预投射代数n 1 ) 的单表示的可能的维数向 量，并给出了特征为零的情形下的k a c 8 定理一个相对简单的证明事实上，当 a ：0 时，同时也解决了h n a l m j i m a 的两个问题：( 1 ) 当q 为没有圈且连通的非 d y n k i n 图时，形变预投射代数n o ( q ) 是否有维数大于1 的单表示( 参见【19 j ) ? ( 2 ) 基本邻域f 中哪些元素是形变预投射代数n o ( q ) 的单表示的维数向量? 本文借助一些基本概念的性质及它们之间的联系，经过一系列的推导，将定 理3 1 1 的条件( 讧) 的形式作以变化，给出了形变预投射代数的单表示的维数向量的 又一刻划，当入= 0 时，n o ( q ) 的单表示的维数向量n 满足：q 0 且只要0 卢 0 ，则称a 是正 的 定义1 1 1 8 ( 【4 】) 若对于任意0 a z 印，都有口( a ) 0 ，称t i t s 形式是正定 的；若对于任意o c z q o ，都有g ( 口) 0 ，称t i t s 形式是半正定的 w c r a w l e y - b o e v e y 和m p h o l l a n d 在 9 】中引入了形变预投射代数，为进一步 的研究打下了坚实的基础 定义1 1 1 9 ( 7 ) 设是q 一个q u i v e r ，对于其中任一箭头p ：i ，再添加 上一个方向相反的箭头矿：j - - - - - 4 ，得到一个新的q u i v e r 我们称之为q u i v e rq 的 d o u b l e ，记作百， 定义1 1 2 0 ( 【7 】) 预投射代数是指结合代数 h ( q ) = k 研( ，矿】) ( 加，p 。】= p p * 一矿p ) p 0 1 定义1 1 2 l ( 【7 】) 形变预投射代数是指结合代数 兀1 ( q ) = 研( 陋，p 】一a i e l )k q o ) 妒q zi e q r 注( 1 ) 形变预投射代数满足条件( p p + 一p * p ) = e i p e q li e q o 5 河南大学硕士学位论文 ( 2 ) 1 2 ( q ) ，n 1 ( q ) 与q 中的箭头方向无关 ( 3 ) 令r = h p + 】一九岛，则有r = e ，r e i 胙口ii e q o q o 证明： 岛r e i =( e p 矿e ：一e l p + p 岛) 一龟( 凡岛) 岛 p 0 li e q o = p p * p * p 一九e s 6 0 ) = t = e 4 c e i = ( p p * 一p * p k 盘) i q o 锄5 ( 力= it ( p ) = i = ( p p + 一p * p ) 一k 白， p e q l i e q o 故有r = e _ i r e i 1 ( 4 ) 由定理1 1 1 ，n 1 ( q ) 一模与满足以下条件的虿的表示x 是一致的 乃玛一一蜀。昂= ) h i d x ；( i q o ，j d 为恒等映射) ( 5 ) 若有一n 1 ( q ) 一模x 且维数向量为。，则 口= 0 证明：对【d ，p + 】= a f 岛两边同时取迹函数，得 0 = 丸锄 口。 即 q = 0 设q u i v e rq 有维数向量为a 的表示，维数向量。的支撑是指有由维数向量的 非零分量对应的顶点决定的子图，记作s 叼0 r t ( q ) ；令q = ( 0 ，0 ，1 ，0 ，o ) ，q u i v e r q 的基本邻域是指集合 o n 口o i 具有连通支撵且对于任意t q o ，有( 矗) o ) ， 记作f ；设i 是个无圈顶点，则有一反射8 ：z q o + z 铂，对a z q o 吼( 口) = 口一( q ，目) 乱 w e y l 群是指由 以ii 是一个无圈顶点) 生成的群，记作w 如果i 是一个无圈顶点，我们在k q o 中定义反射n ： r ：x q 。_ k ，矗( a ) j = b 一( 矗，髟) 丸 6 河南大学硕士学位论文 则有n ( a ) 口= ar 以( 8 ) 事实上，我们有 n ( a ) o = r t ( a ) j q j e q o = ( 哟一慨，勺) a t 哟) j u o 入，魂( 。) =q + 丸叼一九啦 d e q o j 3 - $ 2 j 乏。b 哟一j 口。j 慨，勺) 九一2 丸啦 = ( 一慨，勺挑q ) ，q o 即n ( a ) o l = a 乳( 。) 如果知0 ，我们称反射n 对向量对( ，a ) 来说是可容许的在k o o z q o 中定义等价关系： ( a ，a ) 一( a ) ，啦( 口) ) 当且仅当反射心对向量对( a ，n ) 来说是可容许的 1 2q u i v e r s 的分类 将q 1 1 i v 口q 中箭头的方向去掉得到的图形称为q l l i v 盯q 的无向图令”巧为 顶点i 与j 之间边的条数通过简单的计算有： q ( c o = 砰一n o a t a j i 口。妊0 对i q o ，通过简单的计算有： 。矗，(勺ei，,e：j)：=一-。nil,，霎：二； 对于任意口，口z q o 有 ( n ，卢) = ( 2 2 啦i ) 啦屈一啦岛 口o却 关于( 一，一) 与q ( 一) 有o a - f g i 理 引理1 2 1 ( 【4 】) 俐口( a ) = ( a ，a ) ； 7 河南大学硕士学位论文 隍j ( q ，卢) = g ( 。+ 卢) 一q ( a ) 一q ( z ) ( a ，p z q o ) 证明：( 1 ) 不妨设q u i v e r q 中有n 个顶点， ，a ) = ( c 。l e l + 2 9 2 2 + + 雠n ， 2 i 9 1 + 毗e 2 + + a ) = a 嘛，；) + 。i 哟嘛，勺) ：e “( 2 2 t a d q i 一2 瓯 i = i i j = 2 霹一2 n t j a i a j 扛= l i j = 2 9 ( a ) ( 2 )口( a + 卢) 一g ( o ) 一口( p ) = + 觑) 2 一仉j ( o a + 屈) ( + 岛) 1 = 1 1 9 nn 一茸+ n l j c t i a j 一群+ 岛励 i = l i j i = l i 0 ，则a 一毛n 冗王 引理3 2 2 ( 5 1 ) 设i 是无圈顶点，则口( n ) = g ( s ( a ) ) ( o n 。0 ) ， 推论3 2 i ( n ) p ，( 魂( a ) ，毛( 卢) ) = ( o ，卢) ； 俐g ( n ) = g ( ( a ) ) ； 俐( ( q ) ， ( 卢) ) = ( o ，卢) ( i 职。，卢b 归o ) 引理3 2 3 若( a ，a ) 一( ，) ，则有 以j r 争磁； 俐。n 磁营n 磁； 御。e 静q ， 引理3 2 4 任给一向量对( a ，a ) n 磁) ，则必有一向量对( ，0 ，) 与其等份 且满足：只要x 0 ，就有( 一，g ) 0 、 引理3 2 5 假设0 a n 磁，且满足条件：倒若对于任意的t q o 且使得 知o ，就有( a ，矗) o i t ) 若卢，a - z 非零且卢，a 一卢n r 支，就有( 卢，口一卢) 一2 ， 则要么a = 旬r 对于某个i q o 要么a 属于基本邻域f 引理3 2 6 设o q n 磁，若反a 一卢非零且卢，a 一卢n 磁，就有 ( 卢，a 一卢) - 2 1 0 河南大学硕士学位论文 则q 磺 定理3 , 2 1 设a n 口o ，则a 的充分必要条件是：0 o n 磁，若 卢，a 一卢非零且卢，a 一卢n r 女，就有( p ，a 一卢) s 一2 若a = 0 k q o ，则n 耐= n q o 且有下面推论， 推论3 2 2 设a n 铂，那么a o 的充分强要条件是? a 0 且只要 p n q o ，0 p q ，就有( 卢，。一国s2 1 1 第二章k a c ，s 定理 2 1 提升条件 设x 是一个k q 一模，其k q 一模作用并不一定能提升到n 1 ( q ) 上w c r a w l e y - b o e v e y 7 说明了这是有条件的首先我们给出几个重要的引理： 引理2 1 1 ( 4 】) 设a = k q ，若x 是一个左a 一模，则有一个正合序列? 其中 及 0 一o ( a 岛。耳岛。) x ) 上o ( a e i 。k 龟x ) 上x - - * 0 p 0 li e q o ( a a e 毛，z 岛x ) f ( a o 。) = a p o z 一口固r x( o a 包，z e 5 ( x ) 推论2 1 1 ( 4 ) 如果x ，y 是有限维k q 一模，则有 d i mh o m ( x ，y ) 一d i me x t l ( x ，y ) = 引理2 1 2 ( 7 ) 若= ( 如) p 。1 r e p ( q ，a ) ，其中 r e p ( q ，= 0m a t ( a 。( p ) a t ( p ) ，k ) p 0 1 设x 是q 的由z 定义的一个表示r 事实上也可以看作一个k q 一模，则有正舍 序列 0 一黝1 ，x ) 一r e p ( q 。p ，q ) 三e 删( a ) 上e 以) + 一0 其中x + 表示与x 对偶的模，q 。是将q u i v e rq 中的箭头改变方向得到的q u i v e r , e n d ( a ) = om a t ( o q ，k ) ，另外 i e q o 娴( 妒) = t r ( o i i ) ( 口e n d ( a ) ，e 以( x ) ) t 0 0 1 2 河南大学硕士学位论文 及 ，( g ) = i x ，蛳】白= ( 勘) p 。r e p ( q 9 , a ) ) p e q l 引理2 1 ，3 ( 7 】) 如果a k q 。，x 是一个k q 一模且其作用可以提升到1 1 1 ( q ) 上，则对 t - v r 意的o e n d ( x ) ，有九n ) = 0 ， t q o 由以上引理就可以证明下面的定理 定理2 1 1 ( f 7 ) 设 k q o ，x 是一个耳q 一模，则其k q - 模作用可以提升 到1 - 1 1 ( q ) 上的充分，必要条件是对x 的任一直和项的维敷向量卢有a 卢= 0 2 2q u i v e r 代数的不可分解模的维数向量 我们已经知道，可以通过讨论q u i v e r 代数的模来研究q u i v e r 的表示q u i v e r 代 数的任一模都可以写成不可分解模的直和，且在同构意义及不计次序的情形下分 解是唯一的于是要研究q u i v e r 代数的模，只需研究其不可分解模，v k a c 1 5 1 6 】 证明了一个q u i v e r 代数的不可分解模的维数向量正好就是它的正根；在同构意义 下，若。是一个正实根，则有且仅有一个维数向量为d 的不可分解模，若口是 一个正虚根，则有无限多个维数向量为。的不可分解模 定义2 2 1 ( 【5 ) 我们称环r 与环s 是m o r i t a 等价的，如果在r 一左模范畴 与s 一左模范畴之间有一等价关系：f ：r 一左模s 一左模，g ：s 一左模 ，弘左模是两个加法( 协变) 函子，则有一个s 一冠双模p 使得p 是投射的且有 自然同构： f 笺( p 冗一) 及g 兰h o r n ( e , 一) 引理2 2 i ( f 7 1 ) ：定义w e y l 群作用在k q o 上如下：w a a = a ( 一1 a ) ，刖我 们可得：如果w a ，则兀1 ( q ) 与n 1 7 ( q ) 是m o r i t a 等价的，即有一函子： n 1 ( q ) 一模一兀( q ) 一模 其中= n ，( a ) ，每个r t j ( 1 jsn ) 都是可容许的则这函子可以给出等价 关系一 1 3 塑堕查兰塑主堂堡垒塞 引理2 2 2 ( 【7 ) 设n 3 ( q ) 有一维数向量为q 的单模，f 是一个顶点则 = 毛或者( 口， ) 0 或孝知o 引理2 2 3 ( 7 】) n 1 ( q ) 的任一单模的维数向量都是一个根 于是就可以证明k a c s 定理： 定理2 2 1 ( f 7 】) 俐若肖q 有一雏数向量为口的不可分解模，则口是一个根， 俐若d 是一个正实根，则在同构意义下耳q 有唯一的维数向量为。的不可 分解模 ，圳若a 是一个正虚根，则在同构意义下k q 有无限多个维数向量为d 的不 可分解模 证明：( 1 ) 将q 写成q = 够 n ) 的形式，其中g c d ( 成) = t ( i q o ，g c d 表 示最大公因子) 选取 k q o 使得a o l = 0 ，且对于任意的0 s7 0 ，贝0q 一岛n r 支 证明：由于( a ，日) 0 ，在项点t 处不可能有圈，否则，旬是一个根，但是 ( 矗忍) = 2 2 0 ，与题设矛盾所以在顶点t 处有一反射n 但不是可容许的 设口= 7 ( t ) ，7 ( r 若7 ( ) = 矗，1 s t r ，则o t 一矗n r 是显然的； 若对于某个t ，7 ( 0 矗，每个7 ( 都是正根，于是以( ，y ( 。) 也都是正根且属于璐 而 rr a 一( a ，g i ) g l = 以 ) = 巩( 7 o ) = 巩( ，y ( o ) n 磁 t = 1t = 1 所以有。一矗= a 一( a ，g i ) g i + ( ( a 矗) 一1 ) 目n 磁一 引理3 2 2 ( 5 】) 设i 是无圈顶点，则口( 口) = 口瓴( 口) ) 陋n q o ) 1 7 一塑宣盔堂堡主兰垡堡壅 证明：设q u i v e r q 中共有n 个顶点 s ；( 血) = q 一( 口，矗) 鼠 = d 一( + ) 旬 = a 一一+ 嘶一k ，t t _ j = ( 0 1 ，啦一“( ) 一啦，口件“，) j 一 口( a ) = ( 口，a ) = ( 啦他，矗) 一啦q 旧勺) ) i v o4 j = d 一q 哟” j ， i e q ot s j g ( 巩 ) ) = 口 1 ，啦一1 ，( 0 j ) 一，毗+ 1 ，) j 一 = a ；+ ( ( q ) 一d t ) 2 西“ j 一 一 札剐d 铆一o ，( 0 一t q j q i ) k p ( 卢( 。) ) t = l 由( 1 ) ，有以( a ) 礅又因为p ( 口) = 1 一口( q ) 及引理3 2 2 ，有 p ( 矗( a ) ) = 1 一g ( 巩( a ) ) = 1 一目( n ) = p ( a ) p ( p ( ) ) t ；1 = ( 1 一g ( p ( ) ) ) = 壹( 1 一q ( s i ( 卢( 。) ) t = 1 = p ( 巩( ) ) ) 即巩( 口) 证明引理的另一方向：( a ，a ) 一( ，) 也意味着存在某个顶点，处的反射呓， 使得a = 呓( ) ，a = ( a ) 且弓对于向量对( ，一) 是可容许的 ( 1 ) 如果0 7 是一个正根，但不等于句，那么有弓( a 7 ) 也是正根，且有( r ；( ) i ) 弓( 口) = 0 ，即弓( ) 砹事实上，勺= 碍0 ，即髟聋磁 ( 2 ) 如果n 磁，不妨设0 ，= r ( t ) ，则有( a 7 ) = ( r ( ) = ( 一( ) ) 嘉( 除0 = 班事实上，a 7 r e i = r 为o ，即吩n 砧 ( 3 ) 设0 ，则a ，是一个正根且满足条件： 对0 ，的任一分解一= ( 1 + 鼢+ + 【r ) ( r 2 ，( 。) 碘) ，有 p ( ) p ( ( ) ) t = i 河南大学硕士学位论文 由( 1 ) ，有彤( a 7 ) 砹又因为p ( q 7 ) = 1 一g ( d 7 ) 及引理3 2 2 ，有 p ( s j ( a ，) ) = l g ( s ：( o ，) ) = l g ( a 7 ) = p ( o ) p ( z 小) ) t = l = ( 1 一口( 卢啦) ) ) t = l = ( 1 一g ( s ：( 卢啦) ) ) t = l = p ( ( 卢啦) ) ) t = l 即弓( a 7 ) 引理3 2 4 任给一向量对( a ，a ) 陋n 磁) ，则必有一向量对( a ，a ) 与其等价 且满足：只要x 0 ，就有( a s ，一) 0 证明：由引理3 2 ，3 ( 2 ) ，存在这样的一个向量对( ，) ： ( a 7 ，a 7 ) ( 入，a ) 且使得0 7 是极小的0 ) 若x 0 且在顶点i 处有圈，则有 ( a 7 ，e i ) = ( 龟) 一屿= a ：( 2 2 n t i ) 一吗鳓0 j 和牟 若x 0 且在顶点i 处没有圈，则也有( a 7 ，瓯) 0 ，因为若是( 忍) 0 ，则 有 巩( 口7 ) = n ，一( ，动毛 0 则在顶点i 处没有圈，由条件( i ) ，有 丸= 0 ，所以( 矗，旬) = 2 于是有 一矗，民) = ( ，矗) 一2 一2 ，根据引理3 1 1 ，有 a 一日n 磁，这与条件( i i ) 矛盾所以对任意的i q o ，都有( n ，目) 0 所以 s u p p o r t 不连通 由于口n 磁，不妨将其写成口= ，y ( 。) n ( 。) 磁) 由于s 唧州( n ) 不 连通，假设s 唧d 疗( o ) = 口u d ( a d 无交且在c 与h 之间没有箭头连接) ，于是 每个劬州( 7 ( d ) 要么属于c ，要么属于d ，令p = ，y ，则有 ( 卢，a 一卢) = 0 ，与条件( i i ) 矛盾所以s 聊d n ( a ) 连通- 引理3 2 6 设0 a n r + ，若卢，口一声非零且卢，q 一口n 磁，就有 ( p ，o 一卢) s 一2 则a 冗支 证明：由引理3 2 3 ，我们可以选取与( a ，a ) 等价的任意代表元；由引理3 2 4 ， 我们可以假设只要丸o ，就有( q ，岛) s0 ；再由引理3 2 5 ，要么a = 矗，要么 属于基本邻域f ，所以a 磁_ 有了这些引理，就可以证明本文的主要定理 定理3 2 1 设a n 。o 则a 的充分硒要条件是? o o n 磁，若 p ，口一卢非零且卢，a p n r 支，就有( 卢，一卢) - 2 证明：必要性证明：假设a ，根据定义，有o 口n 磁，因此只须 证明若卢，口一卢非零且卢，a 一卢n 置支，就有( 卢，口一卢) - - 2 利用反证法，假设尻a 一卢非零且卢，口一卢n 磁，但有( 卢，a 一卢) 一1 由于 g ( 口 4 - 卢) 一g ( 一q ( 声) = ( a ，口) 及 ，( 口) + 口( 口) = l 2 1 河南大学硕士学位论文 所以有 ( 卢，o 一卢) = q ( o ) 一q ( 卢) 一g ( q 一卢) = 1 一p ( 。) 一1 + p ( 卢) 一1 + p ( a 一卢) = - 1 一v ( a ) + p ( 卢) + p ( a 一卢) - 1 于是有p ( a ) p ( 卢) + p ( a 一卢) 这样给出了。的一个分解： ( o 卢n r 支，r = 2 ) r 且有 p ( 。) p ( 卢( 。) ) t = l 选取满足这个条件的长度极大的分解其中的每个卢( 。) 非零且属于n r + 由 分解的选取知，若，y ，卢( ) 一，y 0 ，且m 卢( ) 一，y n 磁，则 p ( 卢( 母) p ( 7 ) + p ( 卢( 。) 一7 ) 所以有( ，y ，卢( t ) 一，y ) 一 pg ，僦 一8 口 卢p j = 0 卢 一a 卢 ，m 河南大学硕士学位论文 及 q ( o ! ) = 理( 1 ) + ( 2 ) + + 口( ) ) = g ( 卢( 1 ) + 卢( 2 ) + + 卢( r 一1 ) ) + g ( 卢( r ) ) + ( 卢( 1 ) + 卢( 2 ) + + 卢( r 一”，卢( r ) ) = g ( 芦( 1 ) ) + 哇( p ( 2 ) ) + + g ( ) ) + 够( 1 1 ，芦( 2 ) ) + ( 1 1 ，【3 ) ) + ( ，2 ) ，口( 3 ) ) + ( 1 1 ，卢( r ) ) + ( 卢( 2 1 ，( r ) ) + + ( 一1 1 ，卢( r ) ) = g ( 声( 1 ) ) + g ( 2 ) ) + + g 够( ) ) + ( ) ，芦) t 一2 ，与假设矛盾所以a 一 若a ：o k q o ，则n 只吉= n q o 且有下面推论 推论3 2 2 设口n 。