（基础数学专业论文）区间自映射的非游荡点集的结构.pdf

0 3 3 摘要 x 本文研究区间连续自映射的非游荡点集的结构 设，= 0 ，1 】，对连续映射，：，_ ，用p ( ，) l a ( f ) 和q ( ，) 分别 表示，的周期点集，u 一极限点集和非游荡点集熊金城 4 证明 了a ( f ) 一雨y 至多为可数集，因而对于，一取万的每个连通分支 t ，t ，nq ( ，) 至多可数另外据熊金城【4 ，l s b l o c k 及w a c o p p e l 【3 】的结果，t ，nn ( f ) 至多有一点不是q ( ，) 的孤立点；如果这样的 点存在的话，它一定属于a ( f ) 本文主要目的是构造区间上连续的自映射说明上述论证中的 各种可能都是存在的其主要思想是应用b a n a c h 空间的压缩映象 原理 关键词：区间连续自映射，周期点集，u 一极限点集，非游荡点集 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r w es t u d yt h es t r u c t u r eo ft h en o n w a n d e r i n gs e to fa c o n t i n u o u sm a pf r o ma ni n t e r v a li n t oi t s e l f l e tj = 0 ，1 f o rac o n t i n u o u sm a p ，：j _ i ，d e n o t et h es e t o fp e r i o d i c p o i n t s ，u l i m i tp o i n t s a n dn o n w a n d e r i n g p o i n t so f ，b y p ( ，) ，a ( f ) a n dq ( ，) r e s p e c t i v e l y ，x i o u g 4 p r o v e dt h a tq ( ，) 一p ( f ) i sa tm o s tc o u n t a b l e t h u sf o re a c hc o n n e c t e dc o m p o n e n to fi p ( f ) ， d e n o t e db yj ，jn n ( f ) i sa tm o s tc o u n t a b l e m o r e o v e r ，b yt h er e s u l t so f x i o n g 4 ，l s b l o c ka n dw a c o p p e l 3 ，a tm o s t o n ep o i n to f d a f _ 2 ( f ) i s n o ti s o l a t e di nq ( ，) ，a n di fs u c hap o i n te x i s t s ，i tm u s tb e l o n gt oa ( f ) t h em a i np u r p o s eo ft h i sp a p e ri st oc o n s t r u c te x a m p l e st os h o w t h a tv a r i o u sp o s s i b i l i t i e si nt h et h e o r ye x i s t k e yw o r d s ：c o n t i n u o u sm a p ，p e r i o d i cp o i n t s ，r e c u r r e n tp o i n t s ，u l i m i t p o i n t s ，n o n w a n d e r i n gp o i n t s 1 l l 致谢 本文是在叶向东教授的悉心指导下完成的叶老师不仅以他渊博的学识， 严谨的学风，敏锐的思维使我受益匪浅，他宽厚的为人，诚实的作风以及乐观 豁达的人生态度也给我留下了深刻的印象正是在他学业上的谆谆教诲和生 活上无微不至的关怀和帮助下，我才得以顺利的完成学业在此，我向叶向东 教授表示最诚挚的感谢 同时，我很高兴能有机会提到给过我极大鼓励和帮助的其他人无论是在 完成论文期间，还是在平常的研究生学习过程中，李思敏老师，叶盛博士后， 以及苏勇，黄文和邵松同学都给予了我许多无私的帮助和热情的鼓励在此我 也向他们表示深深的谢意 前言 动力系统的研究起源于十九世纪八十年代h p o i n c a d ( 1 8 5 4 1 9 1 2 ) 对多体问 题一质点组动力学的研究由于此前描述这类运动的微分方程的求解问题长 期得不到解决，h p o i n c a d 首先开始了微分方程的定性理论的研究，即通过 方程本身的性质直接决定它所定义的积分曲线的性质，从而得到解的性质 1 8 8 1 1 8 8 6 年问，他先后发表了四篇论文，后编为“微分方程所定义的积分曲 线”书，从此拉开动力系统理论研究的序幕 在本世纪初叶，由于非线性振动等实际课题的联系，动力系统的研究获得 了令人瞩目的进展，b i r k h o f f 等人将经典微分方程所定义的动力系统抽象为拓 扑动力系统，使得这一学科在理论上进一步完善近数十年来，动力系统理论 已成为一个强大的数学分支，并取得了丰硕的成果，成为现代主流科学一非线 性科学的个重要组成部分动力系统理论的发展沿着两条并行的路线，一方 面是发现简单性，即探索周期性和稳定性；另一方面是揭示复杂性，即研究不 稳定性及混沌性在一个统一的理论基础上，动力系统又被分成四个各具特色 的研究领域t 拓扑动力系统、微分动力系统、遍历理论以及h a m i l t o n 系统 一维动力系统是拓扑动力系统研究中的一个重要研究方向。一方面它为 一般系统的研究提供了特例；另一方面由于它自身特有的规律，其本身就是 一个有趣的研究课题一维系统中的许多概念，方法和结果对一般系统甚至 其它学科的研究都产生了深刻的影响例如l i y o r k e 混沌、d e v a n e y 混沌、 初值敏感性、f e i g e n b a u m 现象等问题的讨论，不仅是一般系统研究的重要课 题，也是混沌学关注的问题，又如二次函数簇的研究，不仅影响了复动力系统 的发展，也为高维非双曲系统的研究提供了思想及方法 一般地，人们认为一维动力系统起源予1 9 6 4 年乌克兰数学家s h a r k o v s k i i 关于区间连续自映射周期轨道共存的一个重要定理1 9 7 5 年，l i y o r k e 重新 发现了s h a r k o v s k i i 定理的部分结果，并给出混沌的第一个严格的数学定义， 极大地促进了混沌以及一维动力系统的研究此后不久，b o w e n 、f r a n k s 、 m i s i u r e w i c z 得到了区间连续自映射拓扑熵为零的充要条件近年来，叶向东、 m i s i u r e w i c z 、a l s e d a 、l l i b r e 、b a l d w i n 、b l o k h 、l o s 、m o n a s a 等人将区 间映射的大部分结果推广到了树上 集合s 在连续映射，的作用下满足，( s ) cs ，则称它为，的个不变集 合常用的不变子集有周期点集e ( y ) ，回归点集r ( f ) ，u 一极限点集a ( f ) 以及非游荡点集n ( f ) 不变点集是动力系统重要的研究对象之一。因为这些 点集之间的关系以及映射在这些点集上的性态，更深刻地揭示出动力系统的 2 0 0 0 年中国科学技术大学硕士学位论文 前言 笫2 页 前言 性质其中，非游荡点集是最重要的不变点集，它在很大程度上反映了整个系 统的信息那么，一般地，非游荡点集可能有哪种结构? 对于区间连续自映射 ，若a ( s ) 有限，b l o c k 证明了a ( f ) 为周期点集，n i t e c k i 和周作领更进一 步的研究表明，若p ( f ) 是闭集，则n ( s ) = p ( ，) 另外b l o c k 和c o p p e l 证明 了 ( ，) = n 罂。a ( s “) ，因而a ( s ) 的聚点包含在 ( ，) 之中对于区间连续自 映射，刻画a ( s ) 的一个较好的方法是看a ( s ) 在，一砑而的连通分支上的分 布由于a ( s ) 一可i 至多为可数集( 熊金城) ，因而对于，一而y 的任一连 通分支j ，n ( s ) nj 至多为可数集并且至多只有一点的轨道是无限的( 熊金 城) 如果，的拓扑熵为零，则n ( s ) n j 至多只有一点如果有这样的点，则 这点的轨道是无限的( b l o c k 和c o v e n ) 一个自然的问题是t 是否存在连续 自映射，使得a ( s ) n j 含有可数个点? 本文主要目的是；构造区间连续自映射，说明理论中关于n ( s ) 结构的各 种可能性都是存在的 第一章结论的陈述 在动力系统的研究中，不变子集是最重要的研究对象之一常用的不变子 集有周期点集p ( f ) 、回归点集n ( f ) 、u 一极限点集a ( f ) 、非游荡点集q ( ，) 等不变点集对动力系统研究的重要性是因为这些点集之间的关系以及映射 在这些点集上的性态，能够更深刻地揭示出动力系统的性质 其中，非游荡点集是动力体系中最重要的不变子集，映射的非游荡点集在 相当大程度上反映了整个系统的信息那么一般地，它可能有哪些结构? 对于 区间连续自映射，b l o c k 1 证明了，若q ( ，) 为有限集，则i 2 ( f ) 为周期点集， 周作领，n i t e c k i 【2 进一步研究表明，若e ( f ) 为闭集，则a ( f ) = p ( f ) 另外 b l o c k 和c o p p e l 3 3 证明了a ( f ) = n 巽】q ( ，) ，因而a ( f ) 的聚点包含在a ( f ) 之中 对于区间连续自映射，刻画q ( ，) 的一个较好的方法是看q ( f ) 在，一可t 的连通分支上的分布由于q ( ，) 一f 而至多为可数集( 熊金城 4 ) ，因而对 于f f 而的任一连通分支j ，u ( s ) nj 至多可数且它至多只有一点的轨道 是无限的( 熊金城f 4 】) 如果，的拓扑熵为零，则f 2 ( f ) n j 至多只有一点， 如果有这样的点。则这点的轨道是无限的( b l o c ka n dc o v e n 【5 ) n i t e c k i 【6 构造了一个例子，说明q ( ，) 一f 两可以是可数集 一个自然的问题是：是否存在连续自映射，使得a ( f ) nj 含有可数个 点? 本文构造了区间上连续自映射，说明上述理论中关于q ( ，) 结构的其他可 能性都是存在的具体地说，我们构造，上的连续自映射f 1 ，f 2 ，f 3 ，满足t a ) 存在j 一丽的连通分支t ，l ，且 衍k _ ) cq ( f i ) n j l 为可数集合， 使得l i my ? = p l b ( j 1 ) 且o r b f ，( p 1 ) 为有限集 b ) 存在，一丽的连通分支如，且 卵i t e _ 】v ) c q ( f 2 ) n j 2 为可数集合， 使得i i m 卵= p 2 6 ) 且o r b f 2 ( p 2 ) 为无限集 c ) 存在，一丽的连通分支j 3 ，且 孔) ca ( f 3 ) n j 3 为可数集合， 使得l h n = p 3 i n t ( j 3 ) 3 2 0 0 0 点 第一章结论的陈述 中国科学技术大学硕士学位论文 第4 页 l2 定义、记号及若干引理 1 2 定义、记号及若干引理 定义1 2 1 ( 不变子集) ：设，为线段，上的一个连续映射，若集合sc ， 满足f ( s ) cs ，称s 为，的不变点集 定义1 2 2 ( 周期点) ：设，为线段，上的一个连续自映射，。川尔为， 的周期点，若存在n n ，使得f ”( 。) = 。 ，的周期点全体称为，的周期点集，记为p ( ，) 定义1 2 3 ( u 一极限点) ：点y ，称为点。，的相对于线段，上的 连续自映射，的一个u 一极限点，如果序列。，( z ) ，有一个收敛的子列 p - ( 。) ，：( z ) ，收敛于点y ，的全体t o 一极限点构成的集合记为 ( ，) 定义1 2 4 ( 非游荡点) ：设，为线段，上的一个连续自映射，z ，若 对任意的 0 ，存在y ，及 n ，使得i y 一$ i 且i 广( ) 一z i ，则 称。为，的非游荡点 全体非游荡点构成，的非游荡点集，记为q ( ，) 由s a r k o v s k i i 【7 】及张景中、熊金城 9 】有 性质1 2 5 ： p ( ，) ， ( ，) ，q ( ，) 均为r 的不变子集； ( ，) 1q ( ，) 为，中非空 闭集 关于这些不变子集间的关系，有以下一些性质 性质1 2 6 ：设，为线段，上的连续自映射，则 p ( ，) c 而c ( ，) - 而cq ( ，) _ 而 证明t 由定义及上一性质 性质1 2 7 ( 4 ) ：q ( ，) 一承万为无处稠密集合，且至多为可数集 性质1 2 8 ( 10 ) ：f 的孤立周期点亦为q ( ，) 的孤立点 第二章定理的证明 2 1p 为连通分支边界点且其轨道为有限集 定理2 1 1 ：存在连续映射，：，- ，使得q ( ，) n j = ) 为可数集合， 且p = l i m 鲰6 ( j ) ，o r b f ( p ) 为有限集合，其中t ，为，一f 而的一个连通分支 构造，如下： 取，中实数。i 满足 l2 0 。l 百 j 。2 z 3 。4 x 2 若 ( y ) 厶( ) 从而若v m n ，1 2 ( ) x 3 ，于是有1 2 ( f ，。 ) ) x 2 ，x 3 因为厶( k 2 ，船】) = z 2 ，1 ，所以1 2 + 1 ( y ，x 1 ) ) x 2 ，1 】 由 连续性知存在点d y ，。1 c ( 。1 一，z l + e ) 使得口+ 1 ( d ) = 。4 ， 从而舒+ 2 ( d ) = n ，即。- 为厶的非游荡点证毕 性质2 1 4 在 o ， ) 中，除。1 外无，n 的其它非游荡点，即q ( ，n ) n o ，；) = 证明t 由，n 连续性，可取e 足够小，使得v y ( 0 ，) ，a ( u ) ，1 由p 。，1 粤陆，1 岛 。，1 】， 知v m ，舒( y ) 。lg 【0 ， ，从而0gq ( ，n ) 在( 0 ，z 1 ) 中，v y ( 0 ，。1 ) ，取 0 ，满足( y s ，y + e ) c ( 0 ，。1 ) ，由 o ，。l 】岛睁2 ，1 岛【。1 ，1 鸟 。1 ，1 】 知 v z ( y e ，y + ) ，有矗( 。) 。1g ( y 一，y + ) ，即y q ( ) 在( 钆 ) 中， 2 0 0 0 年中国科学技术大学硕士学位论文 第8 页 篁三兰塞堡墼垩塑 墼；! ! 塑苎堡坌塞丝量皇呈苎垫望垄童里叁 ) 由p 。，扣鸟【；，。： 鸟【；，。 同理可证v ( 。，；) ，y q 【 ) 从而命题得证 注1 ：由尸( 厶) cq ( a ) 及性质2 1 3 、2 1 4 有 0 ， ) 7 p ( ) = 0 注2 ：由s 定义知性质2 1 2 ，性质2 1 3 对，成立，即1 q ( f ) 一p ( f ) ，且 q ( ，) n 0 ，；) = x l 性质2 1 5 ：任意y 【0 ，；】，若y 是a 的非游荡点，则 ( g ) 是厶+ t 的 非游荡点 证明：垤 0 ，由y q ( ) 知存在z ，m n ，使得1 。一y l ，且 l 舒( 。) 一y i 设 ( 。) = z ，贝4 有。一 ( y ) = i h ( x ) 一h ( v ) l ；i z y i ；e 及i h ( 嚣( z ) ) 一h ( f ) l n ，满足i l 厶一川 n ，所以y a ( f m ) ，即3 x ，及l n ，满足i 。一y l ，且 1 矗( 。) 一y i 于是i s t ( z ) 一y l l f l ( z ) 一岛( 。) i + i 盎( z ) 一y l e 得证 性质2 1 8 ： h i ( $ 1 ) h o ) u ) n p ( f ) = 0 证明；由，及a 定义，在 o ， 中f = = f j ，所以 厶b ( ) 】= h 厶h - i 悟 ( 划 = h 。 一l i n 一，( ) ，扪2h f de h 一- ( ) 专 ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) 从而扎 ， ( ) 】_ f - i i k ， ( 打由h 为同胚， 在 o ，訇中无周期点知尸( ，) n 【 ， ( ) 一d ，即h i ( 。1 ) gp ( ，) 证毕 性质2 1 9 ：h i ( z 2 ) 均为，的周期点，即 ( z 2 ) h o ) u ) cp ( f ) 证明；由定义，厶( 。2 ) = 。：，于是 ，( ( z 2 ) ) = l i r a 。( ，n i h 一) ( 舻( z z ) ) = l i m 。 一i ( z 2 ) = ( 。2 ) 证毕 以下证明，为所求 定理的证明t 由性质2 1 7 知， 饥， ( 研) ，驴( 虮) ，) = q ( ，) n 【0 ， ) 由h i ( $ 1 ) h i ( ) 及h 的定义，有 i i ( ；) 一h i ( 。- ) i ；i 。一1 ( ；) 一 i 一1 ( 。- ) i ( ；) “( ；一。) 从而l i m ( ) = l i r a h i ( z 1 ) = 1 再由性质2 1 8 ，性质2 1 9 知 0 ， ) 为，一f 丽的一个连通分支由于h 为同胚，所以h i ( z 1 ) h j ( x 1 ) ，i j ，所以a ( f ) 为可数集 2 0 0 0 生 第二章定理的证明 中国科学技术大学硕士学位论文第l o 页 21p 为连通分支边界点且其轨道为有限集 又因为h i ( ) = ，v i z ，则 畦) = l i m a ( ；) = l i m h a - l 。_ 1 ( ；) = 1 i m 2 厶埘。( ；) = - = l i m “如护( ；) = ； 所以o r 6 ，( ) = ；) 为有限集合，于是定理得证 2 0 0 0 芷 第= 章定理的证明 中国科学技术大学硕士学位论文 第l l 页 22p 为连通分支边界点且其轨道为无限集 2 2p 为连通分支边界点且其轨道为无限集 选取上实数满足 o = z - 。 。 ； 。t 。s 。e z ， 。s 。 x 7 若厶( ) ，n ( f ) 。 从而若v m n ，臂( ) z 8 ， 从而舒( z z ) ) p r ，$ 8 由于，n ( f x s ) = p ，x l o ， 所以嚣+ 1 ( g ，z 2 ) ) 【z 7 ，x 1 0 由厶连续知存在点d 【y ，z 2 ) c ( z z 一，z 2 + ) 满足舒+ 1 ( d ) = 铀那么 舒+ 2 ( d ) = z 2 ，从而由引理1 2 1 3 知z 2 q ( 厶) 由于p ( 厶) cq ( ，n ) ，由上式及式( 2 1 ) 知 0 ，x 3 n ( n ( 厶) 一p ( 厶) ) = 0 ，由y q ( 厶) 知 存在z ，m n ，满足j z fj ，且i 口( 。) 一y i 5 ( 2 3 ) 1 5 ( z ) = z ，贝0j ( z ) 一 ( f ) j p ，及l ( ? ( 。) ) 一 ( ) i 卢， 2 0 0 0 年中国科学技术大学硕士学位论文第1 3 页 第二章定理的证明22p 为连通分支边界点且其轨道为无限集 其中 h $ ( z ) = h f $ h 一1 ( 。) = ( h i ：一1 9 一1 ) ( g a h 一1 ( z ) ) = ( h i ：一1 h 。1 ) ( 幻 1 ) 厶+ 1 ( z ) = ( h 嚣。h 。1 ) 舞+ 1 ( z ) 即存在z i ，2 men ，满足l z 综上可得h ( y ) n ( 厶+ 1 ) 以有 ( f ) l n ，使得j | ，m 一i l c 2 由( 2 4 ) 式知y q ( 厶) 则 ( 2 4 ) 存在。，及f n ，满足i x y l e 2 ，n - i 砧( z ) 一y l e 2 ，( 2 5 ) 于是应用三角不等式有j f ( 。) 一y f 证毕 性质2 2 5 ： ( z 2 ) ) np ( f ) = 0 ，i 0 ) un 证明t 由 厶j b ， ( 。) 】= g 厶一1 h - ib 3 ， ( 。) 】 = g 厶一1 b 一- ( ，。) m = g i 【h 一- 0 。) ，。】 ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 2 0 0 0 生 第二章定理的证明 中国科学技术大学硕士学位论文第1 4 页 22p 为连通分支边界点且其轨道为无限集 知几a ( 。3 ) 】= 厶， ( 。) 】_ 由g 为同胚，- 在【h “( x 3 ) ，z 3 c 【o ，z 3 中无周期点，知，在睁3 ，h ( z 。) 中无周期点，即 ( z z ) gp ( ，) 同理可证，v i n ，h i ( 。2 ) p ( ，) 又由已知。2gp ( ，) 证毕 性质2 2 6 ： 点 的f 轨道为无限集 证明t 由i o 及g 的定义，有，0 ( ) = 7 = g ( 7 ) 因为 砣) = l i m 厶( ；) = l i m g - 埘一1 ( ；) =glim f n t 1 ( ；) 由归纳法可证 n = 2 k 一1 = 2 k ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 由g 的唯一不动点是7 ，h 的唯一不动点是；， ，g 为同胚，g o ，1 n h 0 ，1 = o 用归纳法可证 ，“( ；) ) 两两不同，即p r 6 ，( ；) 为可数集证毕 性质2 2 7 ：h i ( x 4 ) 为，的周期点 证明：易于验证 + l ( ( $ 4 ) ) = g ( x 6 ) 1 2 + l ( h ( x 4 ) ) = g ( 拍) 令n _ o 。，有h ( x 4 ) j d ( ，) 同理可验证h ( 。4 ) p ( ，) 证毕 露+ l ( ( z 4 ) ) = h ( x 6 ) 露+ 1 ( h ( x 4 ) ) = h ( x 4 ) 有了以上的准备，我们有： 定理2 2 8 ：存在区间，上的连续自映射，它在，一珂万的一个连通 分支j 中含有可数个非游荡点 蜘) ，p = l i my n b ( j ) ，且p 的，轨道为可数 集合 l 一2 “ 以洲 刷 叫 一g b m l一2一 “ 呵“陋 = 睦争 一 ， ， k 一q 叭 2 0 0 0 燕 第= 章定理的证明 中国科学技术大学硕士学位论文第l 5 页 22p 为连通分支边界点且其轨道为无限集 证明：令j = 0 ， ) ，雏= h i ( z 2 ) ，i n ， 由 h i ( x 4 ) 一h i ( z 2 ) f p j z 4 一x 2j 及( 。2 ) h i ( ) = 互1 h i ( z 4 ) 知l i m h i ( 。4 ) = l i r ah i ( 。2 ) = j 1 由性质2 2 4 及性质2 2 5 ，知 p ( ，) n o ，；) = 。，q ( ，) n o ，互1 ) = 瑚睢 o ) u 7 v ) 又由性质2 2 7 知 o ， ) 为，一可y 的一个连通分支 又因为h 为同胚，所以q ( ，) n j 为可数集 再由性质2 2 6 ，知，满足定理证毕 2 0 0 0 生 第二章定理的证明 中国科学技术大学硕士学位论文第1 6 页 23p 为连通分支内点 选x ；i ，满足 2 3p 为连通分支内点 o = 。- z ： 。 百1 ； 。a 。s 。 。， 。s 。 x 1 0 1 ( 3 1 ) 取f o ：j - 。5 ，z 6 为区间，上严格单调连续映射 设h ：，_ + ( z t 】为单调线性同胚，且 ( z ) = 。，z 砉 】 g ：k z ，1 _ k s ，x s 为线性同胚，记 定义，n 如下； z 4 一z 3 = 卢，攀= n ，贝0 0 ，p ( o ，1 ) l x 2 ( 1 )厶( 。1 ) = l ， ( z 2 ) = x 7 ， ( 。3 ) = ( x 4 ) = x 6 厶( x 5 ) = x 3 ，厶( z 6 ) = x 4 ，厶( x 7 ) = x 7 ， 厶( x 8 ) = 厶( 1 ) = 1 ， ( 。9 ) = x 2 ， l g 厶一l h ，。 x 3 ，x 4 ( 2 ) 厶= h g _ 1 7 ，z x 6 l 严格单调线性函数，其他区间 令，= l i m 厶h 及，的构造见图2 3 ，2 6 类似上节证明，性质2 2 1 2 2 5 均成立由h 的定义 l i m 蚴= 扣m 州训= ；易证【；，互1 n q ( ，) = 。 从而若令j = o ， ) ，挑= 舻( z 2 ) ，p = ，则有 定理2 3 1 ：存在，：，- ，在，一可7 的一个连通分支j 中有可数多 个非游荡点 9 。) ，且l i my 。= p i n l ( j ) 2 0 0 0 年中国科学技术大学硕士学位论文 附图 第1 7 页 附图 j 。 图2l 。 j j 。jj j 图22 图2 3 0 o o 0 o o o 0 o ； 垤 怕 2 0 0 0 年中国科学技术大学硕士学位论文 附图 第1 8 页 附图 1 x 4 x 3 x 2 2 3 1 2 l ，3 x t| t | | 。 么 f x l1 3 h ( x 1 ) 1 t 2 2 3 5 2x 3x 4 图2 , 4 2 0 0 0 年中罾科学技术大学硕士学位论文 第1 9 页 堕里 堕里 岛 x 8 b ( 6 x 5 k l 2 l ，3 x 3 毪 | i t l 、 “、 y f f ? i 2 x 4x 5x 6b 飞x 9x l o _ l hk )hh 】h ( 柚 图2 ，5 2 0 0 0 年中国科学技术大学硕士学位论文 附图 第2 0 页 附图 玛 嘞 x 7 k x 5 x d 1 2 ll ，7 泌 7 1 ， ， x 2 k h 1 3 一 o h ( d 1 1 2 x 5 x 6x 7x 8 x 9x l o = l h & i ) h k d 图26 参考文献 【1 】1 l sb l o c k ，c o n t i n u o u s m a p s o ft h ei n t e r v a lw i t hf i n i t e n o n w a n d e r i n g s e t ，乃n 5 a m e r m a t h s o n ，2 4 0 ( 1 9 7 8 ) ，2 2 1 2 3 0 【2 】z n i t e c k i ，m a p s o ft h ei n t e r v a lw i t hc l o s e d p e r i o d i cs e t i p r o c a m e r m a t h s o c ，8 5 ( 1 9 8 2 ) ，4 5 1 - 4 5 6 【3 】l s b l o c k a n d w a c o p p e l ，s t r a t i f i c a t i o n o fc o n t i n u o u s m a p s o fa n i n t e r v a l ，t r a n s a m e rm a t h s o c ，2 9 7 ( 1 9 8 6 ) ，5 8 7 6 0 4 【4 】j x i o n g ，n o n w a n d e r i n gs e t so fc o n t i n u o u si n t e r v ms t i r - m a p s ，i f e x u et o n g b a o ( e n g l i s h e d ，2 9 ( 1 9 8 4 ) ，1 4 3 1 1 4 3 3 【5 】l ，s b l o c k e c o v e r 抄l i m i ts e t s f o rm a p so ft h e i n t e r v a l ，e r g o d t h ，a n dd y n a m s y s ，6 ( 1 9 8 6 ) ，3 3 5 - 3 4 4 c 6 】z n i