（基础数学专业论文）非线性算子的不动点.pdf

摘要 本文主要讨论了非线性算子的不动点问题。全文共分两章。 首先，第一章是预备知识。在这一章中，我们介绍了所需的基本概念及其性 质，包括实b a n a c h 空间中锥、体锥、正规锥的概念以及几类本文需要讨论的非 线性算子的定义。 第二章是我们的主体部分。在这一章中，利用非线性泛函分析中的半序方 法、锥理论、逐次迭代技术，我们讨论了两类混合单调算子的不动点，给出了这 些混合单调算子的正不动点的存在唯一性及迭代序列的收敛性定理并且对带扰 动的情况做了讨论。这些结果推广了以往的相关结果，并在h a m m e r s t e i n 方程 的研究中取得了好的应用。特别的，这里我们所获得的定理中并不要求所讨论的 算子具有紧性或连续性。 ab s t r a c t t h i st h e s i sm a i n l yd i s c u s s e dt h ep r o b l e mo ff i x e dp o i n t so fn o n l i n e a r o p e r a t o r s f i r s t l y , c h a p t e r1i st h eb a s i ck n o w l e d g eu s e di nt h i st h e s i s i nt h i sc h a p t e r ， w eg i v es o m ed e f i n i t i o n sa n dt h e o r e m s ，i n c l u d i n gc o n e ，s o l i dc o n e ，n o r m a lc o n e i nr e a lb a n a c hs p a c e sa n ds e v e r a lc l a s s e so fn o n l i n e a ro p e r a t o r sd i s c u s s e di nt h i s t h e s i s c h a p t e r2i st h em a i np a r to ft h i st h e s i s i nt h i sc h a p t e r ， ) yu s i n gt i l e p a r t i a lo r d e rm e t h o d so fn o n l i n e a rf u n c t i o n a l ，w ei n v e s t i g a t et h ef i x e dp o i n t so f m i x e dm o n o t o n eo p e r a t o r s i nt h i sp a r t ，t w oc l a s s e so fm i x e dm o n o t o n eo p e r a t o r s a r ee x p l o r e da n dc o r r e s p o n d i n gf i x e dp o i n t st h e o r e m sa r ep r o v e d i na d d i t i o n ， w ei n v e s t i g a t et h ec o n d i t i o nw i t hd i s t u r b a n c e t h e s er e s l f i t se x t e n dt h ee x i s t i n g c o r r e s p o n d i n gr e s u l t sa n da r ea p p l i e dt ot h es t u d y i n go fh a m m e r s t e i ne q u a t i o n s i ts h o u l db ep o i n t e do u tt h a tw ed o n tr e q u i r et i l eo p e r a t o r sd i s c u s s e dt ob e c o m p a c to rc o n t i n u o u s 致谢 本文是在导师肖体俊教授和梁进教授的精心指导下完成的。三年来，作者 不仅在学业上受到了两位导师的悉心指导，在生活上也得到了无微不至的关心。 更重要的是，我深深地感受到两位导师渊博的知识、严谨的治学态度、勤恳的学 者风范、对科研的执着追求以及朴实谦逊、诚恳待人等高尚品质，这些都是无形 的宝贵财富，将对我以后的学习、工作产生深刻的影响而使我受益终生。谨此向 恩师致以最衷心的谢意! 同时，我也诚挚地感谢泛函分析讨论班的各位同学给我的引导和帮助，李珂 师兄在完成本文的过程中给了我很多宝贵的指导和建议，郝兆才、王荣年两位师 兄也给了我很大的帮助，在此我愿表示衷心的感谢。 当然，我还要感谢科大数学系及数学系的各位老师，我所取得的每一点进步 都是与他们的鼓励与帮助分不开的；感谢母校多年来的培养，以及在科大一起生 活和学习的所有同学们和朋友们。 在科大的点点滴滴都是我人生历程中的宝贵财富。 最后，我要衷心地感谢我的家人对我所做的最无私的支持! 第零章绪论 本文主要关注在非线性问题中应用很多的非线性算子的不动点问题 近些年来，随着人们对非线性问题的广泛重视，作为处理该问题的有力的数 学工具，非线性泛函分析受到越来越多的关注并成为近代分析数学的一个重要分 支，它的概念与方法已经渗透到数学、物理学、工程力学、生物学、经济学等科 学技术领域，并在很多非线性问题的研究中发挥着重要的作用。 非线性泛函分析的内容可以追溯到上个世纪二、三十年代，其常用的研究非 线性问题的方法包括变分方法、拓扑方法等。这些方法大都要求所研究的问题本 身具有连续性或紧性。然而，在理论和应用中出现的大量的非线性问题往往缺乏 连续性或紧性。例如，无穷维空间中的微分方程和积分方程、无界区域上的各种 方程大多不具有紧性，而与脉冲、突变、断裂等问题相联系的方程也大都不具有 连续性。另外，在实际的数学模型中我们需要讨论非线性方程非负解的存在性。 我们知道，由锥可以定义序关系“s ”，从而可以确定研究对象的非负性。这就 促使我们将非线性问题置于锥的框架中来进行研究。此外，序关系还可将通常的 单调性概念推广到高维空间，这就使我们可以利用单调性来讨论方程的非连续性 或非紧性问题。上世纪八十年代以来郭大钧、v l a k s h m i k a n t h a m 、孙经先等 人在不考虑紧性或连续性条件下，仅用有关序的某种不等式获得了序b a n a c h 空 间上的非线性单调算子( 如增算子、减算子、混合单调算子) 正不动点的存在唯 一性以及迭代序列的收敛性定理并且应用于无界区域上的非线性积分方程及右 端具有间断项的非线性微分方程中获得了正解的存在性( 可参见【1 0 一1 3 】等) 。这 些工作使得半序方法逐渐成为非线性泛函分析中的一个重要方法。 在本文的第二章我们利用半序方法、锥理论、逐次迭代技术考察了混合单 调算子a ( ，的不动点。关于这类问题已有很多结果( 如( 2 5 2 7 ) 。其中( 2 6 】 对具有定凹、凸性的混合单调算子进行了讨论。我们研究了两类混合单调算 子的正不动点，获得了存在唯一性定理，这些定理改进了 2 6 中的相应结果并 应用于r 中无界区域的h a m m e r s t e i n 积分方程的研究中。而对于带扰动的算 子的不动点问题研究较少，但近年来也得到了人们的关注并且取得了一些成果 1 2 0 0 6 年6 月 中国科学技术大学硕士学位论文 2 ( 见 1 5 h 1 7 3 ) ，本文中我们也探讨了带一定条件扰动的算子a + b 的不动点问 题，其中算子b 是作为扰动算子的。 ， 需要指出的是，在我们所获得的定理中并不要求所讨论的算子具有紧性或连 续性。 第一章预备知识帚一早似畲失u 识 本章是预备知识部分，我们将介绍本文所需的基本概念及其性质，其中包括 实b a n a c h 空间中锥、体锥、正规锥的概念以及几类本文需要讨论的非线性算子 的定义。 1 1 b a n a c h 空间中的锥与半序 在本文中，我们恒设e 为一个实b a n a c h 空间，护表示e 中的零元。下面 我们引入锥的定义。 定义1 1 1 我们称p 是一个锥，如果p 是e 中某非空凸闭集，并且满足如下 的两个条件： i ) z p ，a 0 号a z 尸i i i ) z p ，l j p 号z = 6 ， 其中条件i ) 和i i ) 通常分别称为射线性和非直线性。 我们用记号i m p 表示锥p 的内点集，则有如下体锥的定义。 定义1 1 2 称锥p 为体锥，如果它的内点集非空。即：若i m p g ，则称p 是一个体锥。 设p 为e 中的一个锥，如果我们对e 中部分元素x ，y 引入如下的序关系 “”： z y ，若y 一。p ，z ，y p 。 则易知，此序关系满足下面的半序三公理： i ) z y ，y 名z z ； i i ) z z ，v z e ； i i i ) z y ，y z 。= y 。 从而使e 成为半序集。 3 2 0 0 6 年6 月 中国科学技术大学硕士学位论文 4 我们引进如下记号： j ) 若x y ，z 秽，则记为z 0 ，使得 p z y 号i i ：e l l nj i y h ， ( 1 1 ) 即范数关于p 是n 一单调的( 特别地，若n = l 则称范数为单调的) ，则我们 称p 是正规锥。满足( 1 1 ) 式的最小的正数的值( 它显然存在) 叫做p 的 正规常数。 显然正规常数n 1 ( 在( 1 1 ) 中取x = y c 7 即知) 。 最后，我们不加证明地引入正规锥的几个基本性质。 2 0 0 6 年6 月中国科学技术大学硕士学位论文 5 命题1 1 4 设p 为e 中的一个锥，则下列诸结论等价。 i ) p 是正规的； i i ) 存在e 上的等价范数”m 使得 矽z y l i 奠, 1 1 1 i l ， 即范数”ij l 是单调的； 沈) z n ( 他= 1 ，2 ，) ，忪，。一搿| | _ 0 ，i l y ，。一z i | _ 0 ，( 儿_ + 。) l i z ，。一圳_ o ； i u ) 集( b + p ) n ( b 一尸) 有界，这里b = ( z e ii i x l i 1 ) ； u ) 任何序区间ky 】= ( z e i x 名可 - 有界； v i ) 存在常数d 0 ，使得 | 1 z - i - y l i d ，vz ，y p ，f i x l l = i f 可l l = 1 ； u 说) 存在常数7 0 ，使得 j z + 钞| | ，7 ，l 。z ( | j zj j ，1 1 秒1 1 ，vz ：，y p 1 2 几类非线性算子 在本节中，我们将介绍几种本文所讨论的非线性算子。 由于引入了锥的概念，我们可以如下定义正算子。 定义1 2 1 设e 1 ，易为两个序向量空间，算子t ：e 1 一赐称为正算子( 记 为t 0 ) ，若t ( p 1 ) cr 。这里只、r 分别为e 1 、 岛上的锥。 在序b a n a c h 空间e 中我们可以将通常的单调函数的概念推广到高维空间， 从而可以按照如下的方式定义单调算子。 定义1 2 2 设ce ， 2 0 0 6 年6 月中国科学技术大学硕士学位论文 6 i ) 若算子a ：_ e 满足 z 1 x 2 号a x l a x 2 ，z 1 ，x 2 v 【， 则称a 为增算子。 i i ) 若算子a ：w _ e 满足 则称4 为减算子。 z 1 z 2 a x l a ：r 2 ，z l ，x 2 而对于双变量算子，我们引入混合单调算子的概念。 定义1 2 3 设wce ，于是w wce e 。若算子a ：w w _ e 关 于z 递增，关于y 递减，即 z l ：z 2 ，可1 ，y 2 彬x l x 2 ，y l y 2 则称算子a 是混合单调的。 专a ( x l ，y 1 ) a ( x 2 ，2 ) ， 对于任意的算子a ，若存在z + w ，满足z + = a ( x + ，：r + ) ，则称z 8 是a 的不动点。 同样地，我们还可以定义具有凸凹性的算子。 定义1 2 4 设w 为e 中的凸子集， i ) 若算子a ：w _ e 满足 a ( t x + ( 1 一t ) y ) t a x + ( 1 一t ) a yz ，y d ，zsy ，t 0 ，1 ， 则称算子4 为凸算子。 i i ) 若算子4 满足 a ( t x + ( 1 一t ) y ) t a x 十( 1 一t ) a yz ，y d ，z y ，t 0 ，1 ， 则称算子4 为凹算子。 2 0 0 6 年6 月中国科学技术大学硕士学位论文 7 此外，还有一种算子在本文中是作为扰动算子出现的，即如下的仿射算子。 定义1 2 5 设w 为e 中的凸子集。若算子b ：w e 满足 b ( t z + ( 1 一t ) v ) = t b x + ( 1 一t ) b y ，z ，y 彬t 0 ，1 】， 则称算子b 为仿射算子。 可以证明下面的命题。 命题1 2 6 若缈为e 中的凸子集且算子b ：w e 为仿射算子，则算子b b o 是线性的。 也就是说，仿射算子可以看作是线性算子的平移。 第二章混合单调算子的不动点 本章是本文的主体部分。在这一章里，我们将主要利用非线性泛函分析中 的半序方法、锥理论和逐次迭代技术等理论和方法，讨论混合单调算子的正不动 点。其中，我们给出了两类带凸凹性的混合单调算子正不动点的存在、唯一性定 理，并且给出了带仿射扰动的混合单调算子的正不动点定理。这些结果推广了以 前的相关结果并在h a m m e r s t e i n 方程中得到了好的应用。 2 1 两个已知的结果 在文献 2 6 中，作者给出了如下的两个结果。 定理2 a 设e 为实b a n a c h 空间， 混合单调算子，并假设 ( a ) 对固定的x ，a ( z ，) ： i n t p _ i n t p 是锣凹的，即， 及 p 是正规体锥，a ：i n t p p _ i n t p 为 p _ i n t 尸是凸的，对固定的y ， a ( ，y ) a ( t x ，y ) t , 3 a ( x ，可) ，卢 0 ，1 ) ，z i 礼亡尸，t ( 0 ，1 ) ； ( b ) 存在0 ，c o p e 同1 ，使得 “o a ( u o ，v o ) ，a ( v o ，i t 0 ) y o a ( u o ， u o ) e a ( v o ，咿) 则算子a 在心o ， v 0 】上有唯一不动点。 而且，迭代序列 z 他= a ( z 。一1 ，蜘一1 ) ， 札= 1 ，2 ， 8 2 0 0 6 年6 月 中国科学技术大学硕士学位论文 9 知 y 门= a ( 一】，x n - 1 ) ，扎= 1 ，2 ， 对任意初值( ：e 0 ，y o ) u o ， u 0 u o ， u 0 都有 z ，。一z + | i 一0 ，| j 一z + j | 一0 ( 佗_ + 。) 定理2 b 设e 为实b a n a c h 空问，p 是正规体锥，a ：p i n t p _ i n t p 为 混合单调算子，并假设 对固定的y ，a ( ，y ) ：p _ i n t p 是凹的，对固定的z ， a ( x ，) ：i n t p i n t p 是一p 凸的，也就是， 及 ( b a ( x ，t y ) st - l 4 ( x ，秽) ，侈【0 ，1 ) ，z i n t p ，t ( o ，1 ) ； 存在钆o ，印o 只g 0 ，e p ，使得 0 u o y o ，t o a ( u o ，v o ) ，a ( v o ，u o ) v o a ( 咿，u o ) 则算子a 在 札o ，v o 】上有唯一不动点。 而且，迭代序列 知 e a ( v o ，2 t 0 ) a j n = 4 ( ：r 竹一1 ，玑。一1 ) j佗= l ，2 ， = a ( y ，卜1 ，x n - - 1 ) ， n = 1 ，2 ， 对任意初值( x 0 ，y o ) 1 - 0 ， u 0 ，v o 都有 z 竹一。：+ | | 一0 ，i 旧。一z + l i 一0 ( 礼_ + 。) 在下几节中，我们将致力于改进定理2 a 和定理2 b ，并将所获得的结果 应用于碾中无界区域的h a i i i l l c i s t e i n 积分方程的研究中去。 2 0 0 6 年6 月 中国科学技术大学硕士学位论文 1 0 2 2 定理2 a 的推广 在本节中，我们将讨论在一定程度上比定理2 a 中条件更为宽松的正算子 的不动点的存在唯一性、相应迭代序列的收敛性以及收敛速率等问题，并在相应 的注记中给出对这些条件的比较和说明。 值得指出的是，我们并不需要所讨论的相应算子具有紧性或连续性。 定理2 1 设p 是正规锥，为尸的正规常数，a ：p p _ p 为混合 单调算子，并且假设： ( a ) 存在钆o ，t ，o p ，专 a ( t n v n ，u n ) ( t i c t t 。+ a ) i k + e e ( 磋一a t n + o t ) 如( 坛一t 礼+ e ) ( 磋一a t ，。+ ( ￥) t 礼( t ：一t n + e ) e ( t ：c y 亡n + a ) t 。( 亡：一t n + e ) e ( 磋一c t t 几+ c y ) t 忆( = ： ；一t n + e ) 对任意的礼n 都成立。 因而， 州糕 即， 从而， a ( u 礼，亡二1 t 。) a ( ，2 ) 一( 1 一t n ) a n ，f ；7 ) 】 h + 1 一( 1 一t n ) a ( v o ：( 7 ) v n + 1 - - 1 刊毗 t ，。+ ，一1 ( 1 - t ，u 札+ t ，锱卜卅， 刊锱 。 ( 磋一。t n + “) h 时1 一 1 一 2 0 0 6 年6 月中国科学技术大学硕士学位论文 即， ( i t 。) ( 1 = f i ( 1 t 竹+ ( 1 一t n ) 意i1 + ( 1 一e - ) 三i t n ) ( 1 一锄) 一t n - - i ) ( 1 一e n ) 2 ( i 一) ( 1 一c a ) n 令n _ o ( 3 ，可得 i t ，件1 ( 1 一e i ) ( 1 一f ( v ) ” 由( 2 9 ) 和( 2 1 1 ) 知 t _ 1 磋 磋 口t n + a ) 一t n + e ： ( 2 1 4 ) p 2 t n + p t k 7 l 一钆n u ，。一t n t ，) ，。( i t n ) u o ，vn ，p n 又尸是正规锥，从而我们有， 及 进而，由t n 使得 t + p 一讹。| i ( 1 一t n ) | l ? ，o 1 3 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) i i t ，。一札n i i n ( i 一。) i i t , oj 1 ( 2 1 7 ) 1 ( n ，_ + 。) 知 u n ) 嘉詈为c a u c h y 列，故而必存在z + u o ，y o 】， ? z n _ z 4 ( n _ + o 。) 2 0 0 6 年6 月 中国科学技术大学硕士学位论文 1 4 考虑到( 2 9 ) 、( 2 1 5 ) 和( 2 1 7 ) ，我们有， l i m 奶。= l i m l t ，。= z 4 n 一n o 。 以及 仳n z + 显然， i l n + 1 = a ( 乱。，u 礼) a ( x 4 ，x + ) a ( u n ，札。) = u n + 1 令n _ + 。并利用( 2 1 8 ) 可得， ( 2 1 8 ) ( 2 ，1 9 ) 对任意初值( x 0 ，y o ) “o ，v o 阻o ，y o 】，考虑由( 2 4 ) 和( 2 5 ) 定义的x y 。， 我们有， u nsz 。su 。，n = 1 ，2 ，一， 和 t k 肌。v m 佗= 1 ，2 ， 从而，由( 2 1 8 ) 知， 1 1 一z + | j _ 0 ( 礼一+ 。) ， 及 i l 玑一z 4 l l _ 0 ( ，- 2 一+ 。) 利用( 2 1 4 ) 、( 2 1 7 ) 、( 2 1 9 ) 和( 2 2 0 ) ，我们得到， l i ：f 。一3 ：+ i l i l 霸、一u 竹i i + l l 奠：+ 一u n l l s2 1 v l l v 。一t j i 2 n 2 ( 1 一t n ) l l 秽o | | 2 n 2 ( 1 一) ( 1 一c a ) n - - 1 i i v o 虬 即( 2 7 ) 成立。 ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 2 0 0 6 年6 月 中国科学技术大学硕士学位论文 同理可证，( 2 8 ) 式亦成立。 最后，我们用反证法来说明z + 的唯一性。 若存在y + ，t ，o ：y + x 4 ，使得a ( v + ，y + ) = y 4 。我们取初值( 2 ：0 ，y o ) = ( 可4 ，4 ) 。则有， x l = a ( x o ，y o ) = a ( y + ，y + ) = y + 及 y l = a ( y o ，x o ) = a ( y 4 ，y + ) = y + 由数学归纳法可知z 。= 蜘= 可+ ( ? 2 = 1 ：2 ，) 。注意到( 2 2 2 ) 和( 2 2 3 ) 则 有x + 一y + 。这就证明了不动点的唯一性。 证毕。 口 注记2 2 定理2 1 改进了定理2 a 。 首先，我们并不要求定理2 _ 7 中的锥p 是体锥。 另外，对任意 o ，1 ) ，( 矿b ，1 ) 以及c ye ( o ，辨1 ( 2 一一吾) ) ， 有， 坐三二竺! 竺2 2 一p 一2 ( 1 一卢) = p 可得h 7 ( 亡) 0 。故有h ( t ) 日( 1 ) = 0 ，厂7 ( t ) ，( 1 ) ：2 一侈一二1 又注意到( 2 2 4 ) 易得我们的结论。 2 3 一个扰动型结果 近年来，对非紧非连续算子的不动点问题研究虽多，但是对于加上扰动的情 况虽有讨论( 如【1 5 一【1 7 】) ，结果并不多。下面我们对a 引进仿射扰动，可得如 下的结论。 定理2 3 设p 是正规锥，为其正规常数，a ：p 尸_ p 为混合单 调算子，b ：p _ 尸为仿射算子，并且假设： 2 0 0 6 年6 月 中国科学技术大学硕士学位论文 1 7 以及 ( i ) 存在钆。，尸，丢 l ，使得， u 0 v 0 ，讹o a ( u o ，v o ) ，a ( v o ，u o ) v o a ( u o ，v o ) c a ( v o ，护) ，b u o c ；j ，1 3 0 ，d v o 0g 券 ( i i ) 对固定的：e ，a ( x ，) ：p p 是凸的，对固定的y ，存在( y ( o ，2 一吾)，使得， a ( t x ，y ) e ( 2 一a t + o ) t 2 一t + e 对任意的t e ：1 ) ，z 阻o ，i ) 0 都成立； ( i 税) a ( x ，y ) ( ，一b ) _ 1 ：p _ p 存在并且是正规锥p 上的增算子，其中，是p 中单位算子， 则算子a + b 在 ，u o ，y o 上有唯一不动点。 弄口 都有 而且，对以( x o ，y o ) u o ，v o u o ，v o 为初值的迭代序列 x n = ( ，一b ) - 1 a ( x 札_ 1 ，y ，。 n 一1 。2 y n = ( j b ) 一1 a ( 一l ，x n - 1 ) ，礼= 1 ，2 ， 且收敛速率分别为 和 z n z + | | _ 0 ，i i 一z + | | 一0 ( 7 l _ + 。) ， ：r ，。一z + l | 2 n 2 ( 1 一e ) ( 1 一n ) ”一1l i t ，o m礼= 1 ，2 ， 一z + 1 i 2 n 2 ( 1 一e ) ( 1 一“) “一1 l 钞。忆咒= 1 ，2 ， 证明 我们利用定理( 2 1 ) 来证明。 2 0 0 6 年6 月 中国科学技术大学硕士学位论文1 8 为了方便，不妨记c = ( j 一_ b ) a ，下面我们只需要说明算子c 满足定 理( 2 1 ) 中的条件( a ) 和( b ) 即可。 首先，由条件( i i ) 和( i i i ) 可知， c ( u o ， u 0 ) = ( ，一b ) 一1 a ( 2 幻，u o ) ( ，一b ) 一1 u o 让o ， 和 c ( ，u o ) = ( ，一b ) _ 1 a ( v 0 ，让o ) ( i b ) 一1 v 0 询 故定理( 2 1 ) 中的条件( 2 1 ) 被满足。 其次，因为b 是仿射算子，因此( ，一b ) 一，也是仿射算子， c ( u o ， 0 0 ) = ( i b ) 一1 a ( u o ，u o ) ( i 日) 一1 e a ( v o ，咿) = ( i b ) 一1 e a f f o ，0 ) + ( 1 一e ) 护 = ( ，一b ) 一1 a ( v c l ，) + ( 1 4 ( s b ) 一1 6 c ( u o ，0 ) 从而定理( 2 1 ) 中的条件( a ) 被满足。 而另一方面，因为( 一b ) _ 1 也是仿射算子，由( i i i ) 可知c 是混合单调算子。 并且对固定的z ，a ( a ) ：p _ p 是凸的。而对于固定的y ，存在( 1 ( o ，2 一昙) ， 使得， i f - b ) q 雨e ( t 2 - m + 4 咖) 1 = ( s - s ) 一1f 三筹a ( z ，) + ( 1 一e ) 护 ：塑菩掣( 一b ) 。1 a ( 。，y ) + ( 1 一) ，t 一d 。) 一1 6 ) 十2十 一 上 u ，儿山，f ，上一c 一 ， l ， 之型掣( ，一b ) 。1 4 ( z 、：i ，) 从而定理f 2 。1 ) 中的条件f 1 ) 1 被满屉 2 0 0 6 年6 月 中国科学技术大学硕士学位论文 1 9 以下由定理( 2 1 ) 即可得本定理中所有结论。 证毕。 2 4 定理2 b 的推广 口 类似地，在本节中我们将讨论在一定程度上比定理2 b 中条件更为宽松的 正算子的不动点的存在唯一性、相应迭代序列的收敛性以及收敛速率等问题，并 在相应的注记中给出对这些条件的比较和说明。 同样地，我们并不需要所讨论的相应算子具有紧性或连续性。 定理2 4 设尸是正规锥，为尸的正规常数，a ：p p _ 尸为混合 单调算子，并且我们假设： ( a ) 存在u o ，v oep ，0 e ： 1 ，使得 2 - u 0 t j o ，u o a ( u o ，v 0 ) ja ( v 01 札o ) v o a ( o ，v o ) e a ( v o ，t 。o ) ； ( b ) 对固定的y ，4 ( ，y ) ：p _ p 是凹的，而对固定的z ，存在 a ( 0 ，e ) ，使得， a ( x , t y ) i f 最习，n 蚓铂) ，矽 u 0 ( 2 2 5 ) 则算子a 在 ? 1 0 ，v 0 上有唯一不动点。 而且如果我们定义形如( 2 4 ) 、( 2 5 ) 的迭代序列，则( 2 6 ) 仍然成立，且收 敛速率分别为， z n z + | i 2 n 2 ( 1 一) ( 1 一( i ，) n 一1i i 可。叭他= 1 、2 ，c 带， 2 0 0 6 年6 月中国科学技术大学硕士学位论文 2 0 知 l l 可n z + l 2 n 2 ( 1 一e ) ( 1 一q ) ”一1l i u o m 礼= 1 ，2 ， 雠明1 我们采用跟定理2 1 相同的符号。 只需注意到两个定理中条件( a ) 的不同，可用相似的过程可以定义收敛列， 从而很容易的得出类似定理2 1 的相关结果。 下面我们说明在新的定理条件下，当n _ 。时，仍然有t 。_ 1 。 由( 2 2 5 ) ，我们可得， a ( z 、t 一11 ，) 兰- = 二j ! 二二掣a ( z ，可) ，v a ：，彭【t 。，u 。】， ，1 ) ( 2 2 6 ) 从而，结合其他条件可得 u n + 1 = a ( u 。，u 礼) a ( t ，。t ，n ， 佗) t n a ( v n ，v 忡) + ( 1 一t ，。) a ( 6 ， 钆) t n a ( v n ，t ：1 钆，、) + ( 1 一芒n ) a ( 口， n ) t ，。一( 1 一扎) ( 一“) a ( ；：t z 礼) + ( 1 一z n ) a ( 秒， u 0 ) 陋。一( 1 一b ) ( 一n ) 十( 】_ t ，。) 】t ，卅 1 ， 对任意的礼n 成立。 这说明， + 1t ，：一( 1 一如) ( 一n ) + ( 1 一) = 亡竹+ ( 1 ( 1 一k ) 从而， 0 l t 。+ 1 ( 1 一t n ) ( 1 一q ) ( 1 一t 礼一1 ) ( 1 一( i ) 2 ( 1 一f ) ( 1 一n ) “ 令礼_ 0 0 ，即得， t 。一1 2 0 0 6 年6 月中国科学技术大学硕士学位论文 2 1 然后利用跟定理2 1 的证明中后半部分类似的过程即可得全部结论。 证毕。口 注记2 5 定理2 彳改进了定理2 b 。具体地说就是： ( a ) 在定理2 名中，我们并没有假设j 9 是正规锥。另外，我们只要求 ( 2 2 5 ) 式关于y 在 讹o ，v _ f i 中成立而非整个锥尸； ( b ) 对， ：i ； 0 ，1 ) 和( ，1 ) ，令q = f p ，则有， f 矿杀习，v 咋1 ( 2 2 7 ) 而且，对于 o ，1 ) 中的某些p ，即使 我们也能够找到某个战( 0 ，) 使得 ( 2 2 7 ) 成立。例如，( y = 0 0 0 0 0 3 7 ，卢= 0 6 1 5 1 1 0 ，= 0 6 1 5 0 8 4 。在此情况 下，定理2 彳仍然可用而定理2 a 则失效。 注记2 6 相似地，我们在定理2 彳中引入算子a 的扰动项，易得与定 理2 了相似的结论。 2 5 在h a m m e r s t e i n 积分方程中的应用 这部分我们主要考虑所得的不动点定理的应用。 由于在注记2 2 中，我们已经对定理2 1 对定理2 a 改进的情况作了较详细 的说明，因此这里主要考虑定理2 4 的应用。 下面，考察h a m m e r s t e i n 积分方程： ：c ( t ) = ( a x ) ( t ) = k ( t ，s ) ( 1 + z ( s ) ) + x - 0 6 1 5 1 1 0 ( s ) d s ， ( 2 2 8 ) 。，骢 并有如下定理。 定理2 7 设k ：r 骢_ 酞1 为连续函数，k ( t ，s ) 0 并且 o 2 5 7 6 9 6 k ( t ：s ) d sso 3 0 7 5 4 2 ( 2 2 9 ) 2 0 0 6 年6 月中国科学技术大学硕士学位论文 2 2 则( 2 2 8 ) 有唯一正解z + ( 亡) ，且o 6 9 4 3 1 2 。：8 ( t ) 1 。另外，对v ( ：r o ，y o ) o 6 9 4 3 1 2 ，1 0 6 9 4 3 1 2 ，1 】有迭代序列 弄口 使得 z 。( t ) = k ( t ，s ) ( 1 + ：r 。一1 ( s ) ) + y ：o f l 5 1 1 0 ( s ) d s ，n = 1 ，2 ， r n ( t )- k ) 。l r n ( 1 + 玑。1 ( s ) ) + z 芒f 1 5 1 1 0 ( s ) d s ， n = 1 ，2 ，一， 。_ z + ，可。_ 影8 ( 札_ o 。) 证明设e = c y b 嘤) 是瓞上所有有界连续函数全体构成的集合。定义范数 z i f = s u p i x ( t ) l ：t 瓜) ， 则e 为b a n a c h 空间。 又令p = g 吉( 瓞) 是e 上所有非负连续函数全体构成的集合，易知p 为 正规锥。 方程( 2 2 8 ) 可写为 的形式，这里 z = a ( ：c ， a ( x ，y ) = a 1 ( z ) + a 2 ( y ) ( a l ( z ) ) ( t ) = k ( ，s ) ( 1 + z ( s ) ) ( i s ， ，r n ( a 2 ( ) ) ( t )= 上酢可o 一1 0 d s 我们取1 0 ( t ) 三0 6 9 4 3 1 2 ，v o ( t ) 三l ( t 酞) 。则显然，a ：p p _ p 为混合单 调算子，它对固定的y ，a ( ，y ) ：p _ p 是凹的，而对固定的a ：p 和7 b1 ) ， a ( z ：7 - ! ，)t - 0 6 1 5 1 1 0 a ( x ，y ) 丁一( 1 一丁) ( o 6 1 5 0 8 4 一o 0 0 0 0 3 7 ) a ( x ，秒) 2 0 0 6 年6 月 中国科学技术大学硕士学位论文 2 3 另外，我们还有 以及 ( a ( u o ，t 加) ) ( t ) = k ( ，s ) ( 1 + o 6 9 4 3 1 2 ) 十1 d s 0 6 9 4 3 1 2 三一l i , 0 ( ) ， j r n ( 。煳) ) ( t ) = ，丘聊 ( 1 + 1 ) + 0 6 9 4 3 1 2 - 。 6 1 5 n 。 d s 1 三州找 ( a ( o ，如) ) ( 亡) = k ( t ，s ) ( 1 + 0 ) + 1 d s 芝o 6 1 5 0 8 4 ( a ( v o ，钆o ) ) ( t ) 。，r j v 则由定理2 4 可得结论，这里= 0 6 1 5 0 8 4 ，臼= 0 0 0 0 0 3 7 。 参考文献 【1 r i a v e r y ，a n dj h e n d e r s o n ，t w op o s i t i v e 廊e dp o i n t sf ，n o n l i n e a ro p e r a t o r so n o r d e r e db a n a c hs p a c e s ，c o i i l i n a p p l n o n l i n e m a n a l ，8 ( 2 0 0 1 ) ，2 7 3 6 【2 】n p c a e ，a n dj a g u p t a ，f i x e dp o i n tt h e o r e m s1 0 7 、m a p p i n g si no r & r e db a n a c h s p a c e s ，j m a t h a n l a p p l ，7 1 ( 1 9 7 9 ) ，5 4 7 5 5 7 3 y z c h e n ，e x i s t e n c et h e o r e m so fc o u p l e d 廊e dp o i n t s ，j m a t h a n a j a p p l ， 1 5 4 ( 1 9 9 1 ) ，1 4 2 1 5 0 4 k d e i m l i n g ，n o n l i n e a r 。f u n c t i o n a la n a l y s i s ：s p r i n g e r v e r l a g ，b e r l i n ，1 9 8 5 5 n d u n f o r d ，a n dj t s c h w a r t z ，l i n e a ro p e r a t o r ，p a r t g e n e r a lt h e o w ，i n t e r s c i e n c ep u b l i s h e r s ，n e wy o r k ，1 9 5 8 【6 l h e r b e ，w k r a w c e w i c z ，a n dd j g u o ，s o m ef i x e dp o i n tt h e o r e m si o rm u i t i v a l u e dm a p sa n da p p l i c a t i o n s ，r e s u l t si nm a t h ，2 1 ( 1 9 9 2 ) ，4 2 6 4 f 7 1 郭大钧，非线性算子方程的正解及其对非线性积分方程的应用，数学进展， 1 3 ( 1 9 8 4 ) ， 2 9 4 - 3 1 0 【8 】郭大钧，非线性泛函分析，山东科学技术出版社，济南， 1 9 8 5 【9 郭大钧，非线性分析中的半序方法，山东科学技术出版社，济南，2 0 0 0 1 0 d j g u o ，y j c h o ，a n dj z h u ，p a r t i a lo r d e r r i gm e t h o d si nn o n l i n e a rp r o b l e m s ， n o v as c i e n c ep u b l i s h e r s ，i n c ，n e wy o r k ，2 0 0 4 1 1 d j g u o ，a n dv l a k s h m i k a n t h m n ，c o u p l e df i x e dp o i n t s 吖7 w n l i n e a j o p e r a t o r s w i t ha p p l i c a t i o n s ：n o n l i n e a ra n a l t m a ，1 1 ( 1 9 8 7 ) ，6 2 3 6 3 2 1 2 d j g u o ，a n dv l a k s h m i k a n t h a m ，n o n l i n e a rp w b l e m s 砌a b s t r n c tc o n e s ，a c a - d e m i cp r e s si n c ，b o s t o n ，1 9 9 8 1 3 】m a k r a s n o s e l s k i i ，a n dp p z a b r e i k o ，g e o m e t r i c a lm e t h o d so fn o n l i n e a ra n a l y s i s ，s p r i n g e r v e r l a g ，b e r l i n ，1 9 8 4 ( 1 4 】g s l a d d e ，v l a k s h m i k a n t h a m ，a n da s v a t s a l a ，m o n o t o n ei t e r a t i v et e c h n i q u e 沏1n o n l i n e a rd i j f f ：r e n t i a le q u a t i o n s 、p i t m a np u b l i s h i n g lb e l m o n t lc a ，1 9 8 5 1 5 k el i ，a ne x i s t e n c ea n du n i q u e n e s st h e o r e mo fp o s i t i v e ，f i x e dp o i n t sf o rc o n v e x o p e m t o r s ，n o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i sa n da p p l i c a t i o