（基础数学专业论文）smarandache函数及其相关序列的算术性质研究.pdf

中文摘要 对各种算术序列性质的研究一直是数论研究的核心内容1 9 9 3 年，美籍罗 马尼亚著名数论专家f l o r e n t i ns m a r a n d a c h e 教授出版了只有问题，没有解 答! 一书在该书中，他提出了1 0 5 个关于特殊序列、算术函数等未解决的数 学问题及猜想，随着这些问题的提出，许多学者对此进行了深入的研究，并获得 了不少具有重要理论价值的研究成果 基于对以上问题的兴趣，本文利用初等及解析方法从以下三个切入点 对s m a r a n d a e h e 函数及其相关序列的算术性质进行了研究：( 1 ) 序列的均值性 质；( 2 ) 包含这些序列的无穷级数的敛散性估计及其计算；( 3 ) 包含这些序列的 方程的正整数解，具体来说，本文的主要成果包括以下几方面： 1 研究了两个包含伪s m a x a n d a c h e 函数及e u l e r - 函数的方程的可解性 问题，给出了它们有解的必要条件及某些特殊情形下解的具体表达形式，完全 解决了c h a r e sa s h b a c h e r 提出的两个问题 2 给出了s m a r a n d a c h el c m 函数的对偶函数s l + ( 礼) 的定义，并利用初 等方法研究了一个包含s l 4 ( 礼) 的d i r i c h l e t 级数计算问题及s l + ( n ) 的均值性 质，分别给出了精确计算公式和一个较强的渐近公式，同时我们还研究了三个 包含此函数的方程的可解性，并且给出了它们的全部正整数解 3 利用初等方法研究了包含s m a r a n d a c h e 幂函数的方程s p ( n 知) = 咖( n ) ， 并给出了该方程在k = 1 ，2 ，3 时的所有正整数解 4 利用初等方法研究了方程( 矽( n ) ) = 2 a ( n ) 的可解性，这里函数q ( n ) 定 七 义为：q ( 1 ) = o ，q m ) = 叱，其中礼= p 1 赡2 p 是礼的标准分解式，砂( 礼) - - - - 1 为e u l e r 函数，并获得该方程的所有正整数解，从而彻底解决了张天平博士提 出的一个问题 关键词 s m a r a n d a c h e 函数，渐近公式，方程，正整数解，无穷级数 a b s t r a c t ( 英文摘要) t h es t u d yo nt h ep r o p e r t i e so fa r i t h m e t i c a ls e q u e n c e si st h ek e r n e lo ft h e r e s e a r c hi nn u m b e rt h e o r y i n1 9 9 3 a m e r i c a n - r o m a n i a nn u m b e rt h e o r i s tf 1 伊 r e n t i ns m a r a n d a c h ep u b l i s h e dab o o kn a m e d “o u l yp r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n s ! ” i nt h i sb o o k ，h ep r e s e n t e d1 0 5u n s o l v e da r i t h m e t i c a lp r o b l e m sa n dc o n j e c t u r e s a b o u ts p e c i a ls e q u e n c e sa n da r i t h m e t i c a lf u n c t i o n s m a n yr e s e a r c h e r ss t u d i e d t h e s es e q u e n c e sa n df u n c t i o n sf r o mt h i sb o o k ，a n do b t a i n e ds o m ei m p o r t a n t v a l u e dr e s u l t so nt h e o r y b a s e do no u ri n t e r e s t si nt h ea b o v ep r o b l e m s ，w eu s ee l e m e n t a r ym e t h o d s a n da n a l y t i cm e t h o d st os t u d yt h ea r i t h m e t i c a lp r o p e r t i e so fs m a r a n d a c h ef u n c - t i o na n di t sr e l a t e df u n c t i o n sf r o mt h ef o l l o w i n gt h r e ea s p e c t s ：( 1 ) t h em e a n v a l u ed i s t r i b u t i o np r o p e r t i e so ft h e s es e q u e n c e s ；( 2 ) c o n v e r g e n c ea n dd i v e r g e n c e e s t i m a t e so ft h ei n f i n i t ys e r i e si n v o l v i n gt h e s es e q u e n c e s ；( 3 ) t h es o l v a b i l i t y o fs o m ee q u a t i o n si n v o l v i n gt h e s es e q u e n c e s s p e c i a l l y , t h em a i na c h i e v e m e n t s c o n t a i n e di nt h i sd i s s e r t a t i o na r ea sf o l l o w s ： 1 u s i n ge l e m e n t a r ym e t h o d st os t u d yt h es o l v a b i l i t yo ft w oe q u a t i o n si n - v o l v i n gp s e u o - s m a n r a n d a c h ef u n c t i o na n de u l e rt o t i e n tf u n c t i o n ，g i v et h en e e - e s s a r yc o n d i t i o n so ft h e s et w oe q u a t i o n sh a v i n gs o l u t i o n sa n dt h ee x a c ts o l u t i o n s i ns o m es p e c i a lc a s e s m e a n w h i l e ，s o l v et h et w op r o b l e m sp r o p o s e db yc h a r e s a s h b a c h e rc o m p l e t e l y 2 g i v et h ed e f i n i t i o no ft h es m a r a n d a c h el c md u a lf u n c t i o ns l + ( 佗) u s - i n gt h ee l e m e n t a r ym e t h o dt os t u d yt h ec a l c u l a t i n gp r o b l e mo fad i r i c h l e ts e r i e s i n v o l v i n gt h es m a r a n d a c h el c md u a lf u n c t i o ns l + ( 佗) a n dt h em e a nv a l u ed i s - t r i b u t i o np r o p e r t yo fs l + ( 扎) ，o b t a i na l le x a c tc a l c u l a t i n gf o r m u l aa n das h a r p e r a s y m p t o t i cf o r m u l af o ri t s i m u l t a n e o u s l yw eu s et h ee l e m e n t a r ym e t h o d st o s t u d yt h es o l u t i o n so ft w oe q u a t i o n si n v o l v i n gt h es m a x a n d a c h el c md u a lf u n c - t i o ns l + ) ，a n dg i v et h e i ra l lp o s i t i v es o l u t i o n s 3 u s i n gt h ee l e m e n t a r ym e t h o dt os t u d yt h es o l u t i o n so ft h ee q u a t i o n s p ( n 七) = 妒( n ) ，a n dg i v ei t sa l lp o s i t i v ei n t e g e rs o l u t i o n sf o rk = 1 ，2 ，3 4 u s i n gt h ee l e m e n t a r ym e t h o dt os t u d yt h es o l u t i o n so ft h ee q u a t i o n ( ( 死) ) = 2 n ( n ) ，w h e r eq ( n ) d e f i n e da sf o l l o w s ：q ( 1 ) = o ；i fn 1a n dn = k 硝1 硝2 。b et h ep r i m ep o w e r sf a c t o r i z a t i o no fn ，t h e nq ( n ) = i - - - - - 1 ( 佗) d e n o t e st h ee u l e r - t o t i e n tf u n c t i o n ，a n dg i v ea l lp o s i t i v ei n t e g e rs o l u t i o n s n a m e l y , t h ep r o b l e mp r o p o s e db yd r z h a n gt i a n p i n gi ss o l v e d k e y w o r d s s m a r a n d a c h ef u n c t i o n ，a s y m p t o t i cf o r m u l a ，e q u a t i o n ，p o s i t i v ei n t e g e rs o - l u t i o n s ，i n f i n i t ys e r i e s 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。学 校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人 允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的全部或 部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制 手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所等机构 将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 莩位论文作者签名：国垦差一指导教师签名：，缢主威经 刎年z 月9 e l 加7 年月日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢 的地方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：国墨毛 洲年6 月g 日 西北大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 研究背景与课题意义 远古时代人们往往把认识到的数与环境、自然现象以及生活劳动进行联 系，以此用来表达自己的喜好和厌恶由于自然界的种种奇特现象，因而产生强 烈的神秘感，转而演化成对数的崇拜对数的崇拜和好奇是促使人们去研究数 的原始推动力，这样一个以整数的结构和性质为研究对象的学科就涎生了，它 就是数论在数学中，研究数的规律，特别是研究整数性质的数学，叫数论数论 与几何学一样，是数学中最古老的分支之一2 0 世纪是数学的黄金时代，在数论 领域最有影响力的是发生在世纪后期的两件大事：费马大定理的证明和公钥密 码体制的建立费马大定理的证明过程极大的促进了数论与代数几何的结合而 形成算术代数几何这一崭新而又充满活力的学科，这充分显示了数论在现代基 础数学研究中所占有的重要而又特殊的地位2 0 世纪后期，随着计算机技术和 信息科学的发展，人类进入了信息时代，提出了信息安全这样的重大问题，在这 种背景下，数论在实际应用的前沿做出了重大贡献，为解决信息安全问题提供 了一种核心技术一公开密钥，这表明数论研究不仅具有理论意义，更具有巨大 的现实意义而数论研究的高深理论又使得不少大数学家敬而远之，不敢涉入， 反而有不少业余数学爱好者，由于他们对数论问题的理解能力有限，只看到数 论中某些问题的表面，仅从它们的叙述简单，容易理解这一点就对数论问题产 生了很大的兴趣，进而跃跃欲试，想创造奇迹! 这种奇特的现象也只有在数论研 究中表现得最为突出，因此说数论研究也有着广泛的群众基础 当自变量礼在某个整数集合中取值，因变量y 取实数值或复数值的函 数y = ，( 死) ，称为数论函数，由于很多情形下它们可以看成是特殊的序列，因而 关于数论函数的研究也非常重要尽管很多重要的数论函数的单个取值往往很 不规则，然而它们的均值f ( n ) 却体现出很好的规律性，因而数论函数的均 n z 值性质是刻画算术序列性质的一个重要指标 a - 3 1 1 第一章绪论 关于一些特殊序列及函数的算术性质的研究一直以来都在数论研究中占有 十分重要的位置，许多著名的数论难题都与之密切相关因而在这一领域取得 任何实质性进展都必将对初等数论及解析数论的发展起到重要的推动作用! 罗马尼亚数论专家f s m a r a n d a c h e 4 l 教授提出了1 0 5 个关于特殊序列、 算术函数等未解决的数学问题及猜想，随着这些问题的提出，许多学者对此进 行了深入的研究，并获得了不少具有重要理论价值的研究成果 l uy a m i n g s l 研究了一类包含s m a x a n d a c h e 函数s m ) 方程的可解性，证 明了该方程有无穷多组正整数解，即证明了对任意正整数k 2 ，方程 s ( m x + m 2 + + m k ) = s ( m x ) - i - s ( m 2 ) + + s ( m k ) 有无穷多组正整数解( m l ，m 2 ，i n k ) 徐哲峰【6 】获得了有关s ( 讫) 的一个更深刻结果，即证明了渐近公式 ( 跏h ) 2 - 警33 + 。( 熹) n 1 ，设佗= 硝1 p 尹霹r ，p l 沈 p r ， 1 ，i = 1 ，2 ，r 为n 的标准分解式，若几适合方程( 2 1 ) ，则= 1 ；且有 ( i ) 若他= 2 印，则礼为方程( 2 1 ) 的正偶数解的充要条件为p 三 l ( m o d4 ) ，2 a 一1 三l ( m o dp ) ； ( i i ) 方程( 2 1 ) 不存在形如硝1 p 2 ( p l ，p 2 为奇素数) 的正奇数解 由定理( 2 1 ) ( i ) ，我们立得如下 推论：死= 2 q 5 ，q21 ，o 三l ( m o d4 ) 为方程( 2 1 ) 的无限多个异于( 2 3 ) 式的 正偶数解 定理2 2 ：( i ) 佗为偶数时，方程( 2 2 ) 成立当且仅当礼= 2 a p ，其中p 三 3 ( m o d4 ) ，2 铲1 三一l ( m o dp ) ( i i ) 嚣为奇数时，设死= 硝1 露2 群r ，p l 纯 p r ，瓴1 ，i = 1 ，2 ，r 为几的标准分解式，若竹适合方程( 2 2 ) ，则a ，= 1 ，且方程( 2 2 ) 存在无限多个正奇数解 2 2 定理的证明 利用初等方法直接给出定理的证明 首先证明定理2 1 由已知得 ( 几) = p 宇1 1 硝2 1 聊p 7 r - 1 ( p 1 1 ) ( p 2 1 ) ( 办一1 ) 5 第二章关于伪s m a r a n d a c h e 函数的两个问题 且死i 丛型掣，若q r 2 ，则办i ( 死) 又( ( 馆) ，机) + 1 ) ：1 ，所 以霹l 掣，由此可得肼i 曩咎，即 肼l 型坚生置连型鳖幽， 而由慨，p r ) = 1 ，( 纯一1 ，p r ) = 1 ，i = 1 ，2 ，r 一1 以及( m 一1 ，p r ) = 1 可知肼十兴 矛盾! 因此驴1 其次证明( i ) 事实上，n = 2 a p 时 矽(扎)=矽(2qp)=2a-1一1)，尘鱼!掣：一2a-1(p-1)(2a-lp-2a-1+1) 若礼为方程( 2 1 ) 的正偶数解，则 2 印i 盟掣业令2 印i 竺吐竖竺业 j2 al 2 a - l i ( p 一- 1 ) ，pi 2 a 一1 兮p 三1 ( m o d4 ) ，2 q l 兰1 ( m o dp ) 若p 兰l ( m o d4 ) ，2 a 一1 三l ( m o dp ) ，则 2 al 掣，小( 卅1 兮nl 型警：业净孙) 洲吐 又由z ( n ) 的定义知z ( 竹) 2 q + 1 1 且在2 q + 1 1 2 蚪1 竺 之间的z ( n ) 全部可能值为： 2 a + l _ 1 ，2 a + 1 2 1 ，2 a + 1 3 1 ，2 a + 1 p - - 41 一l ， ( 2 4 ) 2 a + 1 , 2 a + 1 2 , 2 a + 1 3 , “( 孚一1 ) 仁5 ， 对任意的s 1 ，2 ，等一1 ) ， 2 a + 1 8 1 = 2 a - 1 4 s 一1 三4 s l ( m o d p ) ；2 a + 1 s + l = 2 a - 1 4 s + l 三4 s + 1 ( m o d p ) 由1 s p 丁- - 1 一l 知3 4 s l p - 6 ，5 1 ，若几= 硝1 琏2 碟为n 的标准分解式，则 由文献 1 4 】知 s l ( n ) = m a x p 宇1 ，砖2 ，。) 从这个意义出发，x u ey a n r o n g 在文献 17 】中，定义了另一个s m a r a n d a c h e l c m 函数的对偶函数瓦( 讫) 如下：瓦( 1 ) = 1 ，且若祀的标准分解式为几= 硝1 p 呈2 霹，则定义 s l ( n ) = i n i n 伽宇1 ，p 呈2 ，霹) ， 其h 沈 1 ，因此对任意的奇数n 1 ，s l + ( n ) 瓦( n ) 一个自然的问题：是否存在正整数7 1 , 满足方程： s l + m ) = s l ( n ) ( 3 4 ) 在本章3 4 节中我们完全解决了此问题 3 2s m a r a n d a c h el c m 函数的对偶函数的均值 本小节中我们研究了s m a r a n d a c h el c m 函数的对偶函数的均值分布问 1 2 西北大学硕士学位论文 题，即给出了如下 定理3 1 ：对任意的实数z 1 ，我们有渐近公式 s l + ( n ) = c z + o ( 1 n 2 z ) ， 其中e = 薹莩嬲，荨表示对所有素数求和 为完成定理的证明，我们需要如下 引理3 1 ：对于任意给定的正整数佗，我们有 s l + ( n ) = p a 一1 ， 其中p 为素数，o t 为大于等于l 的整数 证明：设s r ( n ) = 后，则有s 三+ ) 的定义知： 【1 ，2 ，纠i 他，( k + 1 ) 十佗 否则有 1 ，2 ，k ，k + 1 佗，这时s l + ) k + 1 ，与s l + ( 礼) = 忌矛盾 设k + l = 硝1 鹾2 瑶。为k + 1 的标准分解式，其中p i 为素数，p l p 2 1 时，d i r i c h l e t 级数主型票盟是绝对收敛的由引理3 1 所以，当s 1 时，级数f 掣是绝对收敛的由引理3 1 ， n = = 上 s l + ( ) = p q 一1 ，那么有 1 ，2 ，矿一1 】l 扎令铭= 1 ，2 ，p 口一1 】m 则p 十m ，那么对于任意实数s 1 ，我们有 耋莩耋p 、a _ _ f 1 = 三o o o o pm = l 面_ 专靠 a = 1pn = 1 a = 1 l 上- ， 上j 1 m s 尚匡嘉一薹南) 赫睡扣劫 = 睡嘉) 薹莩槲 刮矿薹等锹 3 4 与s m a r a n d a c h el c m 函数的对偶函数有关的方程 定理3 3 ：方程( 3 2 ) 有且仅有一个正整数解扎= 1 ，且j s l + ( d ) n 成立当 d i 住 且仅当7 , = 2 ，4 ，6 ，1 2 定理3 4 ：方程( 3 3 ) 的全部正整数解为仡= 1 ，3 ，1 4 定理3 5 ：任意正整数n 满足方程( 3 4 ) 当且仅当 佗= l 或者扎= ( 一1 ) i ip q 衍1 琏2 霹7 2 ，啦0 ，i = 1 ，2 ，r 为了完成定理的证明，我们需要几个引理，现叙述并证明如下： 引理3 3 ：( a ) 对于任意素数p 及任意实数茁1 ，有矿z + 1 ，且等号成立当 且仅当z = l ，p = 2 ； ( b ) 对于任意奇素数p ，当z 2 有p x 2 ( x + 1 ) ，当z 3 有矿 4 ( x + 1 ) ； ( c ) 对于任意素数p 5 及任意实数z 2 有p x 4 ( x + 1 ) ； ( d ) 对于任意素数p 1 1 及任意实数z 1 有矿 4 ( x - - i - 1 ) 证明：我们只证明情形( a ) ，其他情况可类似证明 记f ( x ) = 矿一z 一1 ，则当z 1 时，有 ，( z ) = p 茁l n p 一】= p l ne 一1 ：p i 一1 1 ， 所以f ( x ) 在( 1 ，) 上为单调增函数，于是f ( x ) f ( 1 ) 0 ，即矿芝z + 1 成 立当且仅当z = 1 ，p = 2 时，有矿= 4 ( x + 1 ) 这就完成了( a ) 的证明 引理3 4 ：( a ) 方程d ( n ) = ) 的全部正奇数解为礼= 1 ，3 ； ( b ) 使得8 d ( n ) 毋( 佗) 成立的所有奇数为n = 1 ，3 ，5 ，7 ，9 ，1 1 ，1 3 ，1 5 ，2 1 ，2 5 ， 2 7 ，3 3 ，3 5 ，3 9 ，4 5 ，6 3 ，7 5 ，1 0 5 其中d ( 扎) 为除数函数，表示他的所有因子的个数；( ) 为e u l e r 函数，表 示1 ，2 ，佗中与n 互素的数的个数 证明：记日( n ) = 爱碧，则方程d ( n ) = m ) 等价于日( 凡) = 1 ；8 d ( n ) ( n ) 等价于置) g ，则有日) = 生 生- h ( q ) ，又对任意给定的素数p 及七1 有 丽h ( p k + 1 ) = 掣 丽2 k + 2 k 1 ， ：一=一 ) 一! ， - 日铲) 2 + 7 2 + 尼7 所以1 时，h ( p 1 + 七) h ( p 七) 1 6 西北大学硕士学位论文 由于 h ( 1 ) = 1 ，h ( 3 ) = l ，h ( 5 ) = 2 ，h ( t ) = 3 ，h ( 1 1 ) = 5 ，h ( 1 3 ) = 6 ，h ( 1 7 ) = 8 ， h ( 3 2 ) = 2 ，h ( 5 2 ) = 百2 0 ，h ( 7 2 ) _ 1 4 8 ，h ( 1 1 2 ) = 学 8 ，h ( 1 3 2 ) = 5 2 _ s ， h ( 3 3 ) = 互9 ，h ( 5 3 ) = 2 5 _ s ， h ( 3 4 ) = i 5 4 8 我们有h ( 1 ) = 1 ，h ( 3 ) = 1 ，h ( 5 ) = 2 ，h ( 7 ) = 3 ，h ( 9 ) = 2 ，h ( 1 1 ) = 5 ，h ( 1 3 ) = 6 ，h ( 1 5 ) = h ( 3 ) h ( 5 ) = 2 ，h ( 2 1 ) = h ( 3 ) h ( 7 ) = 3 ，h ( 2 5 ) = h ( 5 2 ) = 警，日( 2 7 ) = h ( 3 3 ) = 兰，h ( 3 3 ) = 日( 3 ) 日( 1 1 ) = 5 ，h ( 3 5 ) = h ( 5 ) h ( 7 ) = 6 ，h ( 3 9 ) = h ( 3 ) h ( 1 3 ) = 6 ，h ( 4 5 ) = h ( 3 2 ) 日( 5 ) = 4 ，h ( 6 3 ) = h ( 3 2 ) 日( 7 ) ：6 ，h ( 7 5 ) ：日( 5 2 ) 日( 3 ) ：百2 0 ，嚣( 1 0 5 ) ：日( 3 ) 日( 5 ) 日( 7 ) ：6 故h ( n ) = 1 的全部正奇数解为礼= 1 ，3 ； 使得h ( n ) 8 成立的所有奇数为n = 1 ，3 ，5 ，7 ，9 ，1 1 ，1 3 ，1 5 ，2 1 ，2 5 ，2 7 ，3 3 ， 3 5 ，3 9 ，4 5 ，6 3 ，7 5 ，1 0 5 这就完成了定理3 4 的证明 引理3 5 ：若2 z + 1 为素数，则f 为2 的方幂 证明：见文献 1 】 引理3 6 ：对任意的素数q 及奇素数p ，若矿一1 = 扩对任意的整数口 1 ，1 都成立，则q = 2 ，p 为f e r m a t 素数即存在一个正整数m 使 得p = 2 2 ”- t - 1 证明：由p 为奇素数可知扩= p a 一1 为偶数，所以q = 2 于是矿一1 = 2 卢， 即矿= 2 卢+ 1 设p 一1 = 2 t t ，其中2 十亡，则p = 2 i t - t - 1 ， 因此 矿= ( 2 吒- t - 1 ) q = 醒- t - 戗2 0 + + c 苫( 2 0 ) a = 2 多+ 1 ， 砚2 。t - t - + 锘( 2 2 吉) 口= 2 卢 第三章关于s m a r a n d a c h el c m 函数的对偶函数 因为亡整除左边的每一项，故t 必整除右端项，即ti2 卢，但t 为奇数，故t = 1 这就是说p = 2 2 + l ，由引理3 5 ，存在一个正整数m 使得p = 2 2 ”+ 1 证毕 有了以上引理，下面我们来完成定理的证明 首先证明定理3 3 ，容易验证佗= 1 是方程( 3 2 ) 的解为了证明除了这个 解外，方程( 3 2 ) 没有其他正整数解，我们考虑以下两种情况： ( a ) n 为大于1 的奇数：设几= p 宇1 劣2 西。为n 的标准分解式，其中p i 为奇 素数，p l p 2 p 8 ，1 ，i = l ，2 ，8 这时对任意d i n ，d 为奇数， 故s l + ( d ) = + 1 ，于是由引理3 3 中( a ) 知 s 己( d ) = 1 = d ( 扎) = ( a 1 + 1 ) ( q 2 + 1 ) ( o e 。+ 1 ) 硝1 砖2 碟5 = 佗 d l nd j n ( b ) 凡为偶数：设n = 2 印芋1 鹾2 鳄。= 2 af r t ，其中p i 为奇素数，p l 耽 p s ，q 1 ，i = 1 ，2 ，s 这时 a s r ( 矗) = s 矿( 2 d ) d i n i = od i m a _ 二2 + 1f1 = ( 2 + 2 2 + + 2 n + 1 ) d ( m ) j 一z 一 、7、7 i = 0 d i m = ( 2 q 们一2 ) d ( m ) 2 q4 d ( m ) ( 3 5 ) ( i ) 若p 。1 1 ，由引理3 3 知 4 d ( m ) = ( 0 1 1 + 1 ) ( a 2 + 1 ) 4 ( a 。+ 1 ) 硝1 p 字砖5 = m 于是结合( 3 5 ) 式有s l + ( d ) 2 ，则由引理3 3 知 4 d ( m ) = ( 0 1 1 + 1 ) 2 ( a i + 1 ) 2 ( 哟+ 1 ) ( a 。+ 1 ) p 宇1 露妒8 = m 于是结合( 3 5 ) 式有s r ( d ) 亿 d i n ( i i i ) 若存在i 1 ，2 ，s ) 使得o i 3 ，则由引理3 3 知 4 d ( m ) = ( q 1 + 1 ) 4 ( c i + 1 ) ( q 。+ 1 ) 硝1 群= m 1 8 西北大学硕士学位论文 于是结合( 3 5 ) 式有s l + ( d ) 礼 d l n ( i v ) 若存在i 1 ，2 ，s ) 使得鼽5 ，口i 2 则由引理3 3 知 4 d ( m ) = ( 口1 + 1 ) 4 ( a i + 1 ) ( q 。+ 1 ) 硝1 碟。= m 于是结合( 3 5 ) 式有s l 4 ( d ) 2 q ，即s l + ( d ) 佗 a 1 q 3 时，2 q + 1 n 口= 2 即n 亍1 2 时，6 a + l = 1 3 2 23 ，即s l + ( d ) 死 口3 时，2 a + 1 2 a 即s l + ( d ) 扎 d i 几 当m = 5 即佗= 2 a 5 ，( o 1 ) 时， a s l + ( d ) = s l + ( 2 d ) a 1 i = 0d i s 第三章关于s m a r a n d a c h el c m 函数的对偶函数 = s l + ( d ) + s l + ( 2 d ) + s l 奉( 2 2 回+ + s l + ( 2 a d ) d 1 5 d 1 5d 1 5d 1 5 = 2 + 4 + 4 + + 4 = 4 a + 2 x c f f = 意口1 ，4 口+ 2 2 口5 ，即乩+ ( d ) 仃 d l 几 成立当且仅当t , = 2 ，4 ，6 ，1 2 即完成了定理3 3 的证明 其次证明定理3 4 由引理3 4 容易验证r , = 1 ，3 是方程( 3 3 ) 的全部正整 数解，再考虑当n 是偶数时方程( 3 3 ) 有无正整数解 设r , = 垆m ，其中2 m ，这时 aa s l + ( d ) = s l + ( 2 回 2 件1 1 d i n i = 0d i mi - - - - - o d i m = ( 2 + 2 2 + + 2 a + 1 ) d ( m ) = ( 2 a + 2 2 ) d ( m ) 1 因此s l + ) s l ( n ) ( b ) 若扎为偶数 设n = 2 7 8 ，其中8 为奇数由引理3 1 ，存在一个素数p 和一个正整数o t 使得s l + ( 佗) = p c , 一1 不放设写z ( n ) = 扩 ( i ) 若p = 2 ，则s l + m ) = 2 q 一1 这时2 q 一1 = 扩，由s l + m ) 的定义 知2 a 一1in ，同时，由一s l ( n ) 定义知2 口一1 2 7 ，所以2 a 2 7 ，但2 7i 佗，这 蕴含2 ai 扎，因此s l + m ) 2 a 这与s l + m ) = 2 a 一1 矛盾! ( i i ) 若p 3 ，此时矿一1 = 扩，由引理3 6 知p = 晶= 2 2 m4 - 1 为一f e r m a t 素数 下面证明q = 1 若q 2 ，则矿一1 p a 一1 一方面，由s l + ( n ) 定义及s l + n ) = p c , 一1 2 1 第三章关于s m a r a n d a c h el c m 函数的对偶函数 知矿一1i 他，故矿一1in ，另一方面，由一s l ( n ) 定义知 一s l ( n ) p q _ 1 矿一1 = s l + ( n ) ， 矛盾! 因此q = 1 所以任一满足方程( 3 4 ) 的偶数n 必为如下形式 绍= ( 霸一1 ) 矿1 癌2 矿， 2 p f m 的任意正整 数，2 ， 其中n 表示所有自然数的集合 若n 取遍所有的自然数，则可以得到f s m a r a n d