（基础数学专业论文）homyangbaxter方程解的若干构造方法.pdf

摘要 l i i ii i ii i t ir li f l l i i iii y 17 3 4 7 3 3 y a n g - b a x t e r 方程及其相关理论，来源于低维严格可解量子可积模型和统计力学模 型，它在量子反散射方法中也起着重要作用，有着丰富的力学背景长期以来，人们对 y a n g - b a x t e r 方程及其相关理论进行了大量深入的研究，得到了许多重要成果，利用不同 的思想方法，构造出多种形式的y a n g o b a x t e r 方程的解 在研究不同力学问题的时候，人们对y a n g - b a x t e r 方程进行了改进和推广，得出了 不同形式的y a n g - b a x t e r 方程，如量子y a n g - b a x t e r 方程，动力y a n g - b a x t e r 方程，和 三角y a n g - b a x t e r 方程等近年来，基于h o m 一模概念，人们又给出了y a n g - b a x t e r 方程 的另一新的推广形式，即h o m y a n g - b a x t e r 方程，并对其结构性质解进行了讨论本文将 对h o m - y a n g - b a x t e r 方程的求解问题进行研究，借助于普通y a n g b a x t e r 方程求解的思 想方法，利用不同的代数结构来构造h o m y a n g - b a x t e r 方程的解或者h o m - y a n g - b a x t e r 算子 本文共分为四章： 在第一章中，我们介绍了h o m y a n g - b a x t e r 方程的研究背景，y a n g - b a x t e r 方程的 定义及本文讨论中要用到的相关概念和结论 在第二章中，首先介绍了h o m y a n g - b a x t e r 方程的概念，y e t t e r - d r i n f e l d 模的相关 的定义接着利用其结构性质，构造了y e t t e r - d r i n f e l d 模，( 余) 代数上h o m - y a n g - b a x t e r 方程算子 在第三章中，利用h o m - 代数，h o r n - 余代数的h o m 模结构性质和特点，构造了 h o m - 代数，h o m 一余代数上h o m - y a n g - b a x t e r 方程的解同时还在h o p f 代数上构造了 h o m - y a n g - b a x t e r 方程的解 在第四章中，对h o r n 一双代数及拟三角h o m - 双代数的结构性质进行研究，并给出 了h o m 双代数同构的定理 关键词：h o m y a n g - b a x t e r 方程，y e t t e r - d r i n f e l d 模，h o m - 代数，h o m - 余代数，h o r n - 双代数 r i i a bs t r a c t t h ey a n g - b a x t e re q u a t i o na r i s ef r o mt h el o w - d i m e n s i o n a le x a c ts o l u b l eq u a n t u m i n t e g r a b l em o d e l sa n ds t a t i s t i c a lm e c h a n i c a lm o d e l s ，i ti sa l s op l a ya ni m p o r t a n tr o l e i nq u a n t u mi n v e r s es c a t t e r i n gm e t h o d s i n c et h e n ，t h e f a n g b a x t e re q u a t i o nt h e o r y h a sb e e ns t u d i e de x t e n s i v e l ya n dm a n yi m p o r t a n tr e s u l t sw e r eo b t a i n e d u s i n gd i f f e r e n t m e t h o d s ，m a n ys o l u t i o n sf o ry a n g - b a x t e re q u a t i o na r ec o n s t r u c t e d t h ey a n g - b a x t e re q u a t i o na r ei m p r o v e da n dg e n e r a l i z e di nt h ep r o c e s so fr e s e a r c h t h e r ea r es o m ek i n d so fy a n g - b a x t e re q u a t i o n ，s u c ha sq u a n t u my a n g - b a x t e re q u a t i o n ， d y n a m i cy a n g b a x t e re q u a t i o na n dt r i a n g u l a ry a n g - b a x t e re q u a t i o n r e c e n t l y , t h e c o n c e p to fh o m - y a n g o b a x t e re q u a t i o nw a si n t r o d u c e d i nt h i sp a p e r ，w ew i l ls t u d yt h e s o l u t i o n sf o rh o m - y a n g - b a x t e re q u a t i o n f o l l o w i n gt h ei d e a sa n dm e t h o d su s e dt of i n d t h es o l u t i o nf o ru s u a l l yy a n g - b a x t e re q u a t i o n ，w ec o n s t r u c t e ds o m es o l u t i o n sf o rh o r n - y a n g - b a x t e re q u a t i o n t h e p a p e ri sd i v i d e di n t of o u rc h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，t h eb a c k g r o u n do fh o m y a n g - b a x t e re q u a t i o na n ds o m ec o n c e p t sa n d r e s u l t su s w di nt h ep a p e ra r ei n t r o d u c e d i nc h a p t e r2 ，t h es o l u t i o n sf o rh o m y a n g - b a x t e re q u a t i o n so v e ra l g e b r a s ，c o a l g e b r a s a n dy e t t e r d r i n f e l dm o d u l e sa r ec o n s t r u c t e d i nc h a p t e r3 ，t h es o l u t i o n sf o rh o m - y a n g - b a x t e re q u a t i o n so v e rh o m - a l g e b r a s ，h o m - c o a l g e b r a sa n dh o p fa l g e b r aa r ec o n s t r u c t e d i nc h a p t e r4 ，t h es t r u c t u r ep r o p e r t i e so fh o m - b i a l g e b r aa n dq u a s i t r i a n g u l a rh o r n b i a l g e b r aa r ed i s c u s s e d a n da ni s o m o r p h i s mt h e o r e mf o rh o m - b i a l g e b r ai sg i v e n k e y w o r d s ：h o m y a n g b a x t e re q u a t i o n ，y e t t e r - d r i n f e l dm o d u l e ，h o m - a l g e b r a ，h o r n - c o a l g e b r a ，h o m - b i a l g e b r a i l l i v 摘要 a bs t r a c t 参考文献 致谢 目录 i i i i 引言l h o m - y a n g - b a x t e r 方程的背景知识 1 问题的提出2 预备知识3 h o m - y a n g - b a x t e r 方程和y e t t e r - d r i n f e l d 模 7 预备知识7 从y e t t e r - d r i n f e l d 模上构造h o m - y a n g - b a x t e r 方程的解 8 从( 余) 代数上构造h o m - y a n g - b a x t e r 方程的解1 0 h o r n - ( 余) 代数上的h o m - y a n g - b a x t e r 方程的解 1 5 相关定义和性质1 5 h o r n - ( 余) 代数上的h o m - y a n g - b a x t e r 方程的解1 6 h o p f 代数上的h o m - y a n g - b a x t e r 方程的解2 3 h o r n - 双代数的若干性质 2 7 预备知识2 7 h o m - 双代数同构3 4 攻读硕士学位期间发表或写作的学术论文 独创性声明 关于论文使用授权的说明 3 7 4 1 4 3 4 5 4 5 v 立旱u 抛鸲 立旱射沈船 立早趴弛粥 章“抛 m 妣 璋m 娜 尊m 娜 醇纵妣 第 第 第 第 第一章引言 在本章中，我们首先对y a n g - b a x t e r 方程，h o m - y a n g - b a x t e r 方程的背景知识及发 展现状加以简单介绍其次，阐述了本文主要问题的提出过程最后，介绍与本文相关的 一些基本概念和用到的相关结果 1 1h o r n y a n g - b a x t e r 方程的背景知识 y a n g - b a x t e r 方程是由c n y a n g 1 】和r j b a x t e r 2 , 3 】在上世纪六十年代首次提 出，起源于一维量子多体问题和统计力学中的二维精确可解问题，在量子反射法中扮演 着重要角色，有着丰富的物理背景由于y a n g - b a x t e r 方程在物理学中的重要应用及其 非线性性，使得求解y a n g - b a x t e r 方程变得非常重要和困难因此，许多数学、物理学 家对其进行了深入的研究，致力于构造y a n g - b a x t e r 方程的解，参见陪9 人们在利用拟三角( 或余拟三角) 结构来讨论y a n g - b a x t e r 方程的解时，定义了量子 y a n g - b a x t e r 方程八十年代，前苏联物理学家v g d r i n f e l d 深刻的揭示了量子群，h o p f 代数及量子y a n g b a x t e r 方程之间的关系，使得量子群( 即h o p f 代数) 理论成为数学家 和物理学家都非常感兴趣的研究领域【9 1 量子y a n g - b a x t e r 方程的解和y a n g - b a x t e r 方 程的解之间存在着密切的关系，即它们解之间可以进行相互转化，具体可以参见定理1 3 9 近几年来，作为代数的另一类形变代数h o r n - 结合代数的引入，引起了许多代数学 者的关注h o m - l i e 代数和h o m - 结合代数的概念分别于2 0 0 5 年和2 0 0 6 年由j t h a r t w i g ，d l a r s s o n ，a m a k h l o u f 和s d s i l v e s t r o v 在研究拟l i e 代数时引入的 1 0 - - 1 3 】 d y a u 对这一概念进行一系列延伸，给出了h o r n - 余结合余代数，h o m - 双代数，h o r n - 模代数，h o r n - 模余代数等一系列与h o p f 代数相平行的概念，参见【1 缸2 4 等在 1 3 】 中，利用l i e 代数和l i e 代数自身的线性映射就可以构造h o r n - l i e 代数，反过来，当 o l = i d 时，h o r n - l i e 代数就是通常的l i e 代数受这一思想的影响，d y a u 在 2 7 】中，对 y a n g - b a x t e r 方程进行了变形，给出了h o r n y a n g - b a x t e r 方程的定义，它是y a n g - b a x t e r 方程的一种推广形式自然h o m - y a n g - b a x t e r 方程的求解问题引起了人们的不断探索 h o m - y a n g - b a x t e r 方程解的若干构造方法 1 2 问题的提出 y a n g - b a x t e r 方程起源于y a n g 1 1 和b a x t e r 2 在统计力学的工作中设y 是一个向 量空间， b ：vq v _ y 圆y 是一个线性自同构那么b 称为r 一矩阵，如果它满足 y a n g b a x t e r 方程： ( i d vob ) 0 ( boi d y ) o ( i d vob ) = ( boi d y ) 0 ( i d v 圆b ) o ( boi d y ) 人们已经利用不同的方法构造了y a n g - b a x t e r 方程的解 5 - s 随着研究的不断深入，出现 了不同形式的y a n g b a x t e r 方程，量子y a n g - b a x t e r 方程就是其中一种推广形式，并且讨 论了量子y a n g - b a x t e r 方程的解，参见文献 2 5 】设m 是个向量空间，r ：mo m _ mo m 是一个线性自同构那么r 称为泛r 一矩阵，如果它满足量子y a n g - b a x t e r 方 程： r 1 2 r 1 3 r 2 3 = r 2 3 r 1 3 r 1 2 近几年来，随着h o r n - l i e 代数和h o r n - 代数等概念的引入，h o m - 集合在不断扩大，出现 了平行于h o p f 代数的一些概念和性质m a k h l o u f 和s i l v e s t r o v 在文献 1 4 ，1 6 ，2 2 ，2 3 】中 引入了h o r n 双代数，h o m - h o p f 代数等概念d o n a l dy a u 在 2 6 中给出了y a n g - b a x t e r 方程的推广形式，称为h o m - y a n g - b a x t e r 方程设( m ，a ) 是一个h o r n - 模，其中m 是 一个向量空间，0 f ：m m 是线性映射如果b ：mom m 圆m 是一个h o m - 模 同态，即bo ( apq ) = ( qoq ) ob 则对于h o m - 模( m ，q ) 上的h o m - y a n g b a x t e r 方 程是： ( qob ) o ( boq ) o ( o ob ) = ( boa ) o ( 口ob ) o ( boq ) 那么b 称为h o m y a n g b a x t e r 方程的解同时利用李代数，( 余) 拟三角双代数给出了三 类不同的解在文献 2 7 - 2 8 中分别给出了拟三角h o r n - 双代数，余拟三角h o m - 双代数 的定义，并在这两个结构上给出了h o m - y a n g - b a x t e r 方程的解那么能否从构造y a n g - b a x t e r 方程的解的结构上来构造h o m - y a n g - b a x t e r 方程的解呢? 本文就这一问题进行 了讨论，并从y e t t e r d r i n f e l d 模和( 余) 代数等结构出发，构造六类h o r n y a n g b a x t e r 方 程的解双代数是h o p f 代数中比较重要的概念，那么作为双代数的推广形式即h o m - 双 代数在h o m - h o p f 代数理论中也占有重要地位本文最后给出了h o r n - 双代数的有关知 识与性质 2 第一章引言 1 3 预备知识 本文研究内容涉及到代数，余代数，h o r n - 结合代数，h o r n - 余结合余代数等因此 我们首先给出相关定义在本文中如无特殊说明，我们一律用k 表示一个确定的域所 有的代数，余代数，h o m 一结合代数，h o r n - 余结合余代数及线性空间都定义在k 上， 用无下标的。代替。七对于域k 上的双代数日，它的乘法，单位，余乘，余单位分别记 为： m ，p ，我们将沿用文献 2 9 】和文献 3 0 中的记法，将日中的余乘简记为 ：h ho h ，a ( h ) = h ioh 2 ，v h h ，用1 表示日中的单位元为方便起见，本 文一律省略和式符号并且在本文中都有如下的条件： 1 ( a ，m ，p ) 是代数，其中乘法m ：aoa a 和单位p ：k a 满足下列条件： m o ( moi d ) = mo ( i dom ) m o ( poi d ) = i d = m0 ( i dop ) 2 ( c ，) 是余代数，其中余乘：c _ coc 和余单位5 ：c k 满足下列条 件： ( oi d ) oa = ( i do ) o ( eoi d ) 。= i d = ( i do ) o 3 ( 日，m ，p ，e ) 是一个双代数，其中( 日，m ，p ) 是代数，( 日，e ) 是余代数，并且 m ，肛是余代数同态，e 是代数同态 4 ( h ，m ，p ，e ) 是一个双代数，若卷积代数h o m ( h ，h ) 中恒等映射的卷积逆元为 s ，即s 木i d = i d 木s = 肛oe ，就称s 是日的反对极具有反对极的双代数称为h o p f 代数 定义1 3 1 一个h o m - 结合代数是一个三元组( v 肛，口) ，其中y 是一个线性空间， p ：vov _ v ，z 圆yhp ( zoy ) = x y 是一个双线性映射，q ：v v ，xha ( z ) 是 一个线性映射，满足q0p = po ( o loa ) 且有下面条件成立： h o m - 结合性：p 。( qop ) = po ( p 圆q ) 如果存在一个线性映射7 7 ：k y ，1h7 7 ( 1 ) = l v ，使得下面条件成立： 单位性： po ( 7 7oi d ) = i d = p0 ( i do 叩) 则称( v 肛，q ) 为一个有单位元的h o m 一结合代数 3 h o m y a n g - b a x t e r 方程解的若干构造方法 事实上，一个有单位元的h o m 结合代数( v 肛，o l ，卵) ，当口= i d 时，它就是一个代 数 定义1 3 2 一个h o m - 余结合余代数是一个三元组( v ，p ) ，其中y 是一个线性 空间，：v _ v 圆v ，zhz 1oz 2 ，卢：v vzhp ( z ) 是线性映射，满足 ( pop ) o = x op 且有下列条件成立： h o r n - 余结合性：o x ) 0 = ( op ) 0 如果存在一个线性同态g ：v _ k ，zhe ( z ) ，满足 余单位性： ( oi d ) 0 = i d = ( i dos ) o 则称( v ，p ，) 为一个有余单位的h o r n - 余结合余代数 事实上，当p = i d 时，一个有余单位的h o m - 余结合余代数( v ，p ，) 就是一个余 代数 定义1 3 3 设l 为一个线性空间，如果双线性映射【，】：lol _ l 和线性映射 q ：l l ，对于所以的z ，y ，z l 满足下面的条件： ( 1 ) 协对称性：即k ，引一b ，z 】， ( 2 ) h o m - j a c o b i 条件，即 i x ，引，( z ) 】+ 忆z 】，乜( 秒) + 【 可，z 】，q ( z ) 】_ o 则我们称( l ，【，】，q ) 为一个h o r n - l i e 代数 当乜= i d 时，h o m l i e 代数就是通常的l i e 代数 下面我们来回顾一下代数同态，余代数同态及拟三角h o p f 代数的有关知识 定义1 3 4 设a ，b 是两个结合代数，：a _ b 是一个线性映射，如果，满足下 面两个条件，就称，是代数同态 0m a = m b ol j 圆 、 f ( 1 a ) = 1 b 定义1 3 5 设c ，d 是两个余结合余代数，g ：c _ d 是一个线性映射，如果夕满 足下面两个条件，就称g 是余代数同态 a do 夕= ( gog ) o c 4 e d og5 e c 第一章引言 _ _ 一一 定义1 3 6 3 0 l 设v 是个向量空间，v o v 上的个线性自同构r ：v o v v o v 称为一个泛r 一矩阵，如果它是下面量子y a n g - b a x t e r 方程的个解： r 1 2 r 1 3 r 2 3 = r 2 3 r 1 3 r 1 2 其中r 1 2 = ro1 ，r 2 3 = 1 r ，r 1 3 = ( 丁oi d ) r 2 a ，下是一个通常的扭曲映射 定义1 3 7 z o 】设y 是个向量空间，v o v 上的个线性自同构b ：v o v v o v 称为一个r 一矩阵，如果它是下面y a n g - b a x t e r 方程的一个解： ( i d 矿ob ) o ( boi d v ) 。( i d v b ) = ( bqi d v ) o ( i d vob ) o ( b q i d v ) 定义1 3 8 【3 0 】设日是一个h o p f 代数，如果存在一个可逆元r = r ( 1 ) o r ( 2 ) h o h 满足以下条件( r = 7 ) ( q t l ) ( 冗( 1 ) o 冗( 2 ) = r ( 1 o7 ( 1 or ( 2 ) r ( 2 ； ( q t 2 )r ( 1 o ( r ( 2 ) = r ( 1 ) r ( 1 or ( 2 o 兄( 2 ； ( q t 3 ) r ( 1 ) h 1 圆r ( 2 ) 九2 = h 2 r ( 1 ) qh l r ( 引 其中h h ，则称h 为拟三角h o p f 代数， r 称为h 的拟三角结构此时r _ 1 = s ( 冗( 1 ) ) or ( 定理1 3 9 设r e n d ( mom ) ，丁：mom _ m om 是通常的一个扭曲映射， 那么下面的命题是等价的 1 r 是y a n g - b a x t e r 方程的一个解； 2 册是量子y a n g - b a x t e r 方程的一个解； 3 下r 是量子y a n g - b a x t e r 方程的一个解； 4 7 册是y a n g - b a x t e r 方程的一个解 5 h o m y a n g b a x t e r 方程解的若干构造方法 第二章h o m - y a n g - b a x t e r 方程和y e t t e r - d r i n f e l d 模 在本章中，首先给出h o m - y a n g b a x t e r 方程和y e t t e r d r i n f e l d 模的相关定义 2 1 预备知识 定义2 1 1 设y 是一个向量空间，q ：v _ y 是一个线性映射，就称( v 口) 是一 个h o m - 模在没有混淆的情况下，通常用y 代替h o m - 模( vo ) 定义2 1 2 设( k 口 ) 和( 彬o l 叫) 是两个h o r n - 模，如果线性映射厂：v _ 满足 下列条件 o l 瑚o | = 1oo l o 则称，是h o m - 模( v ) 和( 彬q 伽) 之间的一个h o r n 一模同态 定义2 1 3 设( m ，q ) 是一个h o m - 模，其中m 是一个向量空间，q ：m _ m 是线 性映射如果b ：mo m mo m 是一个h o m 一模同态，即bo ( qo 口) = ( 乜oa ) ob 且b 满足h o m - y a n g - b a x t e r 方程 ( qob ) o ( boq ) o ( o ob ) = ( boq ) o ( 口ob ) o ( boq ) 则b 就是h o m - 模( m ，a ) 上h o m - y a n g - b a x t e r 方程的解 定义2 1 4 设( a ，m ，p ) 是一个代数，一个向量空间m 称为左a 一模，如果存在一 个线性映射妒：aom _ m ，ao nh a 几，肛：k _ a ，1h1 a ，a a ，n m ，1 k 使得下面两个式子成立： 妒0 ( moi d ) = 妒0 ( i do 妒) 即( 0 6 ) 礼= a ( b n ) 妒o ( poi d ) = i d 即l a 扎= n 类似地，可以定义右a 一模 7 h o r n y a n g b a x t e r 方程解的若干构造方法 定义2 1 5 设( c ，a ，e ) 是一个余代数，一个向量空间m 称为一个右c 一余模，如 果存在一个线性映射p ：m _ moc ，mh m 【o 】qm i l l ，满足下列条件 ( aoi d ) op = ( i doa ) oj d 即m 【0 1 1om o 2qm i l l = m 【0 】om 1 1 1om 1 1 2 ( i d 圆) op = i d 即m 【0 】( m 1 】) = m 类似地，可以定义左c 一余模 定义2 1 6 设日是双代数，( m ，妒) 是左日一模，( m ，p ) 是右日一余模任意的 h h ，m m 其模作用和余模作用分别为垆( om ) = h m ，p ( m ) = m 【0 】om i l l ，并 且满足下列相容条件： h i m 0 1oh 2 m 1 = ( h 2 r e ) t 0 1o ( h 2 m ) 1 l h l 就称( m ，妒，p ) 是左一右y e t t e r d r i n f e l d 模 第二章h o m y a n g - b a x t e r 方程和y e t t e r - d r i n f e l d 模 即 ( qoq ) or ( mqn ) = 又对任意的f ，m ，n m ( qoa ) ( n 【0 】on 【1 】m ) q ( 佗【o 】) 圆a ( n p 。m ) 口( n 【o 】) on i l q ( m ) r 。( 口oq ) = ( o too t ) or ( o tor ) o ( roa ) o ( q 圆冗) ( fo m o 礼) = q ( n 【o 】【0 】) o ( a ( n p m ) ) 【0 】o ( a ( n p l m ) ) 【1 】。( 扎【o 】f 1 】a ( f ) ) q ( n 【o 】【0 】) o ( n i l q ( m ) ) 【0 】o ( n i l 口( m ) ) 【1 】。( n 【0 】【1 】。q ( f ) ) = q ( 礼【0 】) o ( n 1 】 2 】q ( m ) ) 【o 】o ( n 【1 】f 2 】- 乜( 玎1 ) ) 【1 】( 扎【1 】【l 】口( f ) ) = a ( 几【o 】) on 1 1 1 ( ( m ) ) 【o 】on 【1 】2 ( q ( m ) ) 【1 】口( f ) = a ( n 0 1 ) on 1 1 1 a ( m 0 1 ) on 1 1 2 m 1 1 n ( f ) = ( a ( n ) ) 【0 】o ( ( a ( n ) ) 【1 】) 1 q ( m f 0 】) o ( ( 乜0 2 ) ) 1 ) 2 t t 2 1 1 q ( f ) ( 兄oq ) o ( qor ) o ( r 圆o o ( to mo n ) = ( a ( 凡) ) 【0 】 0 1o ( 口( n ) ) 【0 】【1 】q ( m 【0 】) oa ( ( 口( 礼) ) 1 】( m i x f ) ) = ( q ( n ) ) 【0 】【0 】o ( a ( 凡) ) 0 】【1 】q ( m 【o 】) o ( q ( 佗) ) 【1 】( m i l l q ( f ) ) = ( q ( n ) ) 【o 】o ( 乜( n ) ) 【1 】l q ( m 【o 】) o ( q ( n ) ) 【1 】2 ( m 【1 】q ( f ) ) = ( q ( 他) ) 【o 】o ( ( q ( n ) ) 【1 】) 1 q ( m 【0 】) o ( ( a ( n ) ) 【1 】) 2 m 【1 】o ( f ) 即( 口or ) o ( roq ) o ( qor ) = ( rqo t ) o ( qqr ) o ( roa ) 口 注记2 2 2 事实上，映射7 - r ：m o m m 圆m 是量子y a n g - b a x t e r 方程的解 2 5 】 9 h o m y a n g b a x t e r 方程解的若干构造方法 2 3 从( 余) 代数上构造h o m y a n g - b a x t e r 方程的解 利用代数或者余代数结构，文献 5 构造了代数和余代数上的y a n g - b a x t e r 算子 用类似思想，本节将构造代数和余代数上的h o m - y a n g - b a x t e r 算子 首先讨论代数情况 定理2 3 1 设( a ，m ，肛) 是一个代数， 0 f ：a _ a 是代数同态且满足q 2 = q o toi d = i do q ，那么映射：咖：a0a a0a ，ao bha b01 + 1 0 6 一a0b 是h o m - 模( a ，a ) 上h o m - y a n g - b a x t e r 方程的解 证明： o ( 口oq ) ( 口qb ) = ( q ( n ) oq ( 6 ) ) = q ( n ) a ( 6 ) q1 + 1oa ( a ) a ( b ) 一q ( n ) oq ( 6 ) 即 ( o toa ) o 咖( nob ) = a ( a b ) qq ( 1 ) + q ( 1 ) oa ( a b ) 一q ( n ) oq ( 6 ) = a ( n ) q ( 6 ) o1 + 1pa ( a ) a ( b ) 一q ( n ) oa ( 6 ) 又对任意a ，b ，c a ，我们有 1 0 o ( aoo t ) = ( qoa ) o ( o 口) 0 ( qo ) o ( 妒oo ) ( 口oboc ) =( oa ) o ( q o ) ( n 6q 1o q ( c ) + 1q a bo q ( c ) 一ao bo q ( c ) ) = a ( a b ) a ( c ) o 1o q ( 1 ) + 1qc e ( a b ) a ( c ) o 乜( 1 ) 一o l ( a b ) oa ( c ) oq ( 1 ) + a ( 1 ) a b a ( c ) q1o ( 1 ) + 1oa ( 1 ) a b a ( c ) 圆q ( 1 ) 一q ( 1 ) oa b a ( c ) 圆q ( 1 ) + 1oq ( 1 ) qa b a ( c ) 一a ( 1 ) 0 6o1oq ( 乜( c ) ) 一1oa ( 1 ) a boa ( o ( c ) ) + q ( 1 ) oa bo 口( a ( c ) ) 一a ( o ) 6 a ( c ) q1oq ( 1 ) 一1oo ( q ) 6 q ( c ) oq ( 1 ) + q ( n ) ob a ( c ) oq ( 1 ) 一1oq ( n ) 圆a ( b ) a ( c ) + q ( o ) 6o 1o a ( 口( c ) ) + 1q 口( n ) 6oq ( q ( c ) ) 一q ( o ) oboq ( q ( c ) ) 第二章h o m y a n g - b a x t e r 方程和y e t t e r d r i n f e l d 模 和 ( o lo 咖) o ( q 口) o ( qo ) ( oo bo c ) = ( ao ) o ( oq ) ( a ( 口) ob co1 + q ( n ) o1o6 c 一口( n ) obpc ) = a ( a b ) a ( c ) oq ( 1 ) o1 + 及( 1 ) oq ( n ) 6 c 口( 1 ) o1 + q ( 1 ) o1oa ( a ) b c a ( 1 ) - a ( 1 ) oa ( a ) b coq ( 1 ) 一q ( a ( o ) ) olqb c q ( 口) 6o 口( c ) o1 + q ( 1 ) oa ( a ) b co1 + q ( 1 ) q1oa ( a ) b c 一口( 1 ) o ( o ) 圆b c - a ( 1 ) oa ( a ) b a ( c ) o1 一a ( 1 ) o1pq ( 口) 6 乜( c ) + q ( 1 ) oq ( o ) 6 圆a ( c ) + q ( q ( n ) ) ob a ( c ) o1 + ( q ( 口) ) o1ob a ( c ) 一口( q ( o ) ) oboq ( c ) 注意到o l 是代数同态且q 2 = o l 和qoi d = i d0q ，可得： ( o to ) o ( o 乜) o ( qo ) = ( oq ) o ( aq ) o ( 咖oq ) 即是代数a 上一个h o m - y a n g - b a x t e r 算子 口 注记2 3 2 当o t = i d 时，：a0a _ aoa 就是从代数结构得到的一个阶数为2 的y a n g - b a x t e r 算子【5 】 现在利用余代数结构给出余代数上的h o m - y a n g - b a x t e r 算子 定理2 3 3 设( c ，) 是一个余代数，q ：c _ c 是余代数同态且满足q 2 = q 和 o toi d = i do a ，那么映射：妒：co c _ c oc ，ao bh e ( 6 ) n 1oa 2 + e ( n ) 6 1ob 2 一ao b 是h o m - 模( c ，q ) 上h o m y a n g - b a x t e r 方程的解 证明：对a ，b c ，我们有 妒o ( o toq ) ( oob ) = 妒( q ( a ) oq ( b ) ) = ( q ( 6 ) ) ( q ( o ) ) ，o ( 及( n ) ) 2 + e ( q ( o ) ) ( q ( 6 ) ) o ( n ( 6 ) ) 2 一a ( n ) oq ( 6 ) = e ( b ) a ( a 1 ) oa ( a 2 ) + ( o ) q ( 6 1 ) oa ( b 2 ) 一a ( n ) oq ( 6 ) 和 ( o lo0 1 ) o 妒( 口ob ) = a ( e ( b a l ) ) oc t ( a 2 ) + a ( e ( a b l ) ) o 口( 6 2 ) 一q ( o ) oq ( 6 ) = e ( b ) a ( a 1 ) oa ( a 2 ) + e ( a ) a ( b 1 ) oq ( 6 2 ) 一q ( o ) oq ( 6 ) h o m - y a n g - b a x t e r 方程解的若干构造方法 和 1 2 即 妒o ( o to0 1 ) = ( 口oq ) o 妒 又对a ，b ，c c ，我们有 ( 妒oa ) o ( 仅。妒) 0 ( 妒oa ) ( 0ob 圆c ) = ( 6 ) ( c ) q ( n 1 ) oa ( a 2 ) oa ( a 3 ) + ( 6 ) ( c ) 0 1oa l 圆a ( a 3 ) - e ( b ) e ( c ) a c a l ) oa 2qa ( a 3 ) 一( 6 ) q ( 0 1 ) oa 2oq ( c ) - e ( b ) a loa 2 圆a ( c ) + e ( b ) a ( a 1 ) oa 2qq ( c ) 一( n ) ( c ) q ( 6 1 ) oa ( b 2 ) oa ( b 3 ) + ( q ) ( c ) 6 1ob loa ( b 3 ) 一s ( o ) ( c ) q ( 6 1 ) ob 2oa ( b 3 ) + e ( a ) a ( b 1 ) oa ( b 2 ) oq ( c ) + ( n ) e ( 6 ) q ( c 1 ) oa ( c 2 ) oa ( c 3 ) 一( n ) a ( 6 ) oa ( c 1 ) oa ( c 2 ) 一( n ) a ( 6 1 ) oa ( b 2 ) qq ( c ) 一e ( a ) b lob 2oq ( c ) + ( n ) q ( 6 1 ) ob 2oq ( c ) 一e ( c ) o g ( a 1 ) a ( a 2 ) 圆q ( 6 ) 一( o ) e ( c ) 6 1ob 2oa ( b 3 ) + q ( n ) ( c ) qb loa ( b 2 ) + ( 6 ) q ( n ) 圆a ( o ) oq ( c 2 ) + e ( a ) b lo b 2oa ( c ) 一q ( n ) oboa ( c ) ( o to 妒) o ( 妒oo t ) 0 ( qo 妒) ( oo bo c ) = e ( 6 ) e ( c ) o ( 0 1 ) oa ( a 2 ) oa ( a 3 ) + e ( c ) o ( n ) oa ( b 1 ) 圆a ( b 2 ) 一e ( c ) a ( n 1 ) oa ( a 2 ) oq ( 6 ) + ( 口) e ( c ) q ( 6 1 ) ob 2o b 3 + e ( o ) e ( c ) q ( 6 1 ) oa ( b 2 ) oa ( b 3 ) 一e ( 口) e ( c ) a ( 6 1 ) ob 2oa ( b 3 ) 一( c ) 0 f ( n ) 圆b lob 2 一e ( c ) q ( n ) a ( b 1 ) oa ( b 2 ) + ( c ) q ( n ) ob l 圆a ( b 2 ) + ( 6 ) e ( 口) q ( c 1 ) 圆c 2qc 3 + e ( 6 ) g ( n ) q ( c 1 ) oa ( c 2 ) oa ( c 3 ) 一e ( b ) e ( a ) a ( c 1 ) oc 2oa ( c 3 ) - e ( b ) a ( a