（基础数学专业论文）堆垒素数论中的例外集问题与挛生素数问题.pdf

摘要 本文考虑了两个问题第一个是与h a r d y l i t t l e w o o d 猜想有关的问题。在1 9 2 3 年，h a r d y 和l i t t l e w o o d 1 0 】猜测每一个大整数n 都能表示成 在1 9 6 0 年，l i n n i k ( 2 9 ，3 0 1 ) 证明了这个猜想是正确的。但是如果阮换成素变量 p i 】要得到相应的结果就非常困难。 做为一个与华林一哥德巴赫猜想相关的问题，我们考虑下面的丢番图方程 n = p 14 - p ! q - p ；( o 1 ) 这里p ，i = l ，2 ，3 表示素数。 定理01 设n 2 ，并且e ( n ) 表示不超过，满足礼三0 ( m o d 3 ) ，或礼三 l ( m o d 3 ) ，并且不能表示成( 0 1 ) 的正整数的个数。则我们有 e ( n 1 音* 由于 p 2 三1 ( m o d 3 )p 三1 ，2 ( m o d 3 ) ， 同余条件在这里是必需的。我们应用圆法来证明本文的结论，原来是利用d e u r i n g h e i l b r o n n 处理w a r i n g g o l d b a c h 问题中扩大了的主区间。刘建亚和展涛在文章 2 0 中发现了一种新方法，利用这一方法可知道s i e g e l 例外零点对这一问题没有特别的 影响因此处理这一问题就不必再用复杂的d e u r i n g - h e i l b r o n n 现象。这种方法在 很多情形下得到很好的利用，例如刘建亚和展涛 2 1 】， 2 2 】，刘建亚，廖明哲和展涛 【2 3 】这种方法在刘建亚和展涛文【2 0 】中有了新的发展，与一种迭代的方法混合使 用利用这种迭代的办法可以使我们的主区间变的更大，从而变小的余区间更容易 s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n 处理。在处理余区间时，我们利用了w o o l e y 在文【3 6 中的方法证明思路将在5 1 2 中说明。 我们考虑的第二个问题是与孪生素数相关的问题。令p = ；+ 竹表示 _ 丁t l l ，( 。4 7 。r ，) i 通过下面的定义将这一定义扩大到平面r 2 9 ( ( z ，y ) + ( t ，t ) ) = 9 r ( z ，) ；z ，y r ， 这里是一个正的参数函数 f r ( z ，y ) = ( g t ( x ，y ) + g t ( y ，z ) ) 2 满足5 2 1 节中的三个条件定义函数 ( r l ，7 2 ) 是区间【l ，1 】【l ，1 上的特征。 在本文中我们假设下面的猜想成立， 猜想0 1向和 的定义如上所述，则有 r 。( 丁，厅， ) = t l o g t 上：厅( 。) ( z ) 6 ( 翌专丝) 出- 出。+ 。( t ) ， ( 0 2 ) 这里o 常数与f 无关，忍( 丁，厅，h ) 的定义参见5 2 1 。其中 i 仉( z ) = d e t ( k ( x i 一) ) ，k ( x ) = s i n7 r z ( ”z ) 定理0 2 假设r h 和上面的猜想o 1 成立，我们有 溉i n r 营o g 臻p o o n - + 。 l 1 p “ s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n 上面的猜想是r u d n i c k 和s a r n a k 通过对m o n t g o m e r y o d l y z k o 定律特殊情形 的观察在文1 2 8 1 中作出的。 孪生素数猜想是指 l i mi n f p 。+ 1 一p n = 2 n 呻o o 假设m o n t g o m e r y 猜想和r h 成立，h e a t h b r o w n 【1 1 证明了 假设猜想o 1 与r h ，刘建亚和叶扬波【1 8 】证明了 本文利用积分计算的一些技巧改进h e a t h b r o w n 【1 2 】中的定理3 。然后根据 刘建亚和叶扬波 1 8 1 中的方法，我们得到以上的结果 关键词：圆法，l 一函数，大筛法不等式， r i e m a n n 假设，孪生素数 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r w ec o n s i d e rt w op r o b l e m s t h ef i r s to n ei sr e l a t e dt ot h eh a r d y l i t t l e w o o dp r o b l e m i n1 9 2 3 ，h a r d ya n dl i t t l e w o o d 【1 0 c o n j e c t u r e dt h a te a c h i n t e g e rn c a nb ew r i t t e na s p + m ；+ m j = n ， a n d l i n n i k ( 2 9 ，3 0 1 ) p r o v e d t h a tt h i sc o n j e c t u r ei st r u eb u ti ft h e s em 。a r er e s t r i c t e d t op r i m e sp i ，t h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l ti sv e r yd i f f i c u l tt og e t a sa ne x t e n s i o np r o b l e mo fw a r i n g - g o l d b a c hp r o b l e m ，w ec o n s i d e rt h ef o l l o w - i n gd i o p h a n t i n ee q u a t i o n 几= p 1 + p ；+ 砖， ( o 1 ) w h e r ep ；，i = 1 ，2 ，3d e n o t ep r i m e w eo b t a i nt h ef o l l b w i n gt h e o r e m t h e o r e m 0 1 l e t n 2 ，a n d l e t e ( n ) b e t h en u m b e r o f p o s i t i v e o d d i n t e g e r s w i t hn 兰0o r1 ( r o o d 3 ) ，n o te x c e e d i n gn ，w h i c hc a n n o tb ew r i t t e ni nt h ef o r mi n ( 0 、1 ) 、t h e nw eh a v e e ( n ) 矗“ t h e c o n g r u e n c ec o n d i t i o n 礼三0o r l ( r o o d 3 ) i sn e c e s s a r y , b e c a u s eo f p 2 亏1 ( r o o d 3 ) p 三1 ，2 ( m o d 3 ) w ee s t a b l i s h e dt h er e s u l tb yt h ec i r c l em e t h o d i nw a r i n g g o l d b a c hp r o b l e m ，e n l a r g e dm a j o ra r c sh a db e e nt r e a t e db yt h ed e u r i n g - h e i l b r o n np h e n o m e n o nt i l l j y l i ua n dt z h a n 2 0 1f o u n dt h en e wa p p r o a c hi nw h i c ht h ep o s s i b l ee x i s t e n c eo f s i e g e lz e r od o e sn o th a v es p e c i a li n f l u e n c e ，a n dh e n c et h ed e u r i n g h e i l b r o n np h e n o m e n o nc a nb ea v o i d e d t h i sm e t h o dh a sb e e na p p l i e di nv a r i o u so c c a s s i o n s ，s e e e g j y ，l i ua n dt z h a n 2 1 ，【2 2 】a n dj y ，l i u ，m c l i ua n dt ，z h a n 【2 3 ，i n s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n j y ，l i ua n dt z h a n 【1 9 d e v e l o p e dt h em e t h o dw i t ha ni t e r a t i v em e t h o d t h e i t e r a t i v em e t h o di ss op o w e r f u lt h a to u rm a j o ra r c sa r eb i g g e rt h a nb e f o r e h e n c e 0 u rm i n o ra r c sb e c o m es m a l l e ra n de a s i e rt ob eh a n d l e d w ed e a lt h em i n o ra r c s w i t han e wm e t h o do fw o o l e yi n f 3 6 t h ei d e ao fo u rp r o o f w i l lb ee x p l a i n e di n 5 12 t h es e c o n dp r o b l e mi sa b o u tt h et w i np r i m ec o n j e c t u r e a s s u m i n gr h ，l e t t l sd e n o t eb yp2i 1 + i 7an o n t r i v i a lz e r oo ft h er i e m a n nz e t af u n c t i o n ( s ) l e t l = l o g t ，a n dw ( u ) = 4 ( 4 + u 2 ) d e f i n e ，丁c z ，一z ，= y 47 r z 7 l e 4 7 r z 7 l ：i ! 三：7 4 ” o nt h el i n ez + y = 0a n dt h e ne x t e n di t sd e f i n i t i o nt or 2b y 9 r ( ( z ，y ) + ( t t ) ) = 9 丁( 石，v ) ；。，r h e r e i sap o s i t i v ep a r a m e t e r n o wt h ef u n c t i o n 厅( z ，y ) = ( g t ( z ，g ) + g t ( y ，z ) ) 2 s a t i s f i e st h r e ec o n d i t i o n si n5 2 1 n e x tw ed e f i n e ( r l ，v 2 ) t ob et h ec h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o no ft h ei n t e r v a l 三，1 l 一，1 _ t h ev e r s i o no ft h em o n t g o m e r y o d l y z k ol a ww h i c hw ew i l la s s u m ei nt h i sp a p e r i st h ec o n j e c t u r eb e l o w c o n j e c t u r e0 1 w i t ht h ea b o v en o t a t i o na n df u n c t i o n s 矗a n dh ，w eh a v e 以丁，知， ) = 磊1t 1 警丁上：厅( z ) ( 枷( 翌) d x l d x 2 + o ( r ) ， ( 0 2 ) w h e r et h ec o n s t a n ti noi si n d e p e n d e n to f a n dt ot h ed e f i n i t i o no fr 2 口，行，h ) s e e 5 2 1 h e r ew 毛( z ) = d e t ( ( 。一q ) ) ，w h e r ek ( x ) = s i n7 r 。( 7 r 。) s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n t h e o r e m0 2 a s s u m er ha n dc o n j e c t u r eo 1 w eh a v e 规蛩嚣 o o n i n 1j ” t h e s t r e n g t ho f c o n j e c t u r e0 1 ，a sas p e c i a lv e r s i o no f t h e m o n t g o m e r y o d l y z k o l a wc o n j e c t u r e db yr u d n i c ka n ds a r n a k 【2 9 ，l i e si nt h er e m a i n d e r o ft e r mo ( t ) i n ( o 2 ) t h et w i np r i m ec o n j e c t u r es t a t e st h a t l i r a n i u + n f p n + l m 2 2 a s s u m i n gm o n t g o m e r y sp a i rc o r r e l a t i o nc o n j e c t u r ea n d r h ，h e a t h b r o w n 【1 1 】 s h o w e dt h a t l i mi n f 罂! = 翌! 。 “_ + o 。l o g p “ a s s u m i n gc o n j e c t u r eo 1a n dr h ，j y l i ua n dy b y ef i s s h o w e d 恕1 n f p 面n + l 晤- - p n 0 ，q l o b e 2 ”zi sc o m p l e xn u m b e r e u l e rf u n c t i o n m o b i u sf u n c t i o n y o nm a n g o l d tf u n c t i o n d i r i c h l e tc h a r a c t e ra n dt h ep r i n c i p a lc h a r a c t e rm o d u l o q t h ed i r i c h l e tl f u n c t i o n r r 2 r ap o s i t i v ec o n s t a n tw h i c hi s s u f i c i e n t l ys m a l l c o n s t a n t st h a tm a yt a k ed i f f e r e n tv a l u e so i ld i f f e r e n to c c i o n s d i v i s o rf u n c t i o n l ，( z ) isc l g ( x ) l ，ci sap o s i t i v ec o n s t a n td e p e n d so ns o m ep a r a m e t e r f ( z ) = o ( 9 ( 茁) ) x c h a p t e r1 o ns u m so fap r i m ea n dt w o p r i m e s q u a r e s 1 1 i n t r o d u c t i o n t h eg o l d b a c h c o n j e c t u r ei sac l a s s i c a lo p e np r o b l e mi nt h en u m b e rt h e o r y ，a n d i ti so u to fr e a c ha tp r e s e n t t h i s p r o b l e mw a sg e n e r a l i z e da n di n v e s t i g a t e di ns e v e r a l d i r e c t i o n so u r i n v e s t i g a t i o ni nt h i sp a p e ri sm o t i v a t e db yt h eh a r d y l i t t l e w o o d c o n j e c t u r e i n1 9 2 3 ，h a r d ya n dl i t t l e w o o df 1 0 】c o n j e c t u r e dt h a te a c hi n t e g e rnc a n b ew r i t t e na s p + m ：+ m 2 - n ， a n dl i n n i k ( 1 2 9 ，3 0 ) p r o v e dt h a tt h i sc o n j e c t u r ei st r u e 1 b u ti f t h e s em 。a r e r e s t r i c t e d t op r i m e s p t ，t h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l ti sv e r yd i f f i c u l tt og e t a sa ne x t e n s i o no ft h e g o l d b a c hc o n j e c t u r e ，w ec o n s i d e rt h ef o l l o w i n gd i o p h a n t i n ee q u a t i o n n = p l + p ；+ 西( 11 2 ) t h e c o n g r u e n c ec o n d i t i o n n 三0o r l ( m o d 3 ) ( 1 1 3 ) i s n e c e s s a r y ，b e c a u s eo fp 2 三l ( m o d 3 ) a n dp 三1o r2 ( m o d 3 ) o u rm a i nr e s u l ti s t h e f o l l o w i n gt h e o r e m t h e o r e m1 1 l e tn 2 ，a n dl e te ( n ) b et h en u m b e r o f p o s i t i v eo d di n t e g e r s w i t hn 三0o r1 ( r o o d 3 ) ，n o te x c e e d i n gn ，w h i c hc a n n o tb ew r i t t e ni nt h ef o r mi n ( 1 12 ) t h e nw eh a v e e ( ) 毒击“ w ee s t a b l i s h e dt h et h e o r e mb yt h ec i r c l em e t h o d t h e d i f f i c u l t yo ft h i sr e s u l t l i e si nt w o r e s p e c t s f i r s t 】t h ee n l a r g e dm a j o ra r c s ，w et r e a ti tb yt h el a r g es i e v ei n 1 s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n e q u a l i t y ，g a l l a g h e r sl e m m a ，c l a s s i c a lr e s u l t so nt h ed i s t r i b u t i o no f o fl f u n c t i o na n d 8i t e r a t i v em e t h o do fp r o f e s s o rj 。y l i ua n dt z h a n 【1 9 t h ek e yo f t h i sa p p r o a c h i st h e r ea r et h r e ep r i m ev a r i a b l e si no u rp r o b l e m ，a n dw ec a nt a k ea d v a n t a g eo ft h i s b ys a v i n gt h ef a c t o rr 0 5i nl e m m a 3 1b e l o w i n w a r i n g g o l d b a c hp r o b l e m e n l a r g e d m a j o r a r c sh a d p r e v i o u s l yb e e nt r e a t e db yt h ed e u r i n g h e i l b r o n np h e n o m e n o nu n t i l j y l i ua n dt z h a n 【2 0 f o u n dt h en e w a p p r o a c hi nw h i c ht h ep o s s i b l ee x i s t e n c e o fs i e g e lz e r od o e sn o th a v es p e c i a li n f l u e n c e ，a n dh e n c et h ed e u r i n g h e i l b r o n np h e n o m e n o nc a nb ea v o i d e d t h es e c o n dd i f f i c u l t yi st h em i n o ra r c s w ed e a li tw i t ha n e wm e t h o do fo fw o o l e yi n 【a 6 t h ei d e ao fo u rp r o o fw i l lb ee x p l a i n e di n 2 1 2 o u t l i n eo ft h em e t h o d i nt h i ss e c t i o nw ew i l lg i v et h ep r o o fo ft h e o r e m1 1 o u rp r o o fo ft h e o r e m 1 1 d e p e n d se s s e n t i a l l yo nt h ef o l l o w i n gt h e o r e m12w h i c hw i l lb ee s t a b l i s h e db y t h ec i r c l em e t h o d i no r d e rt oa p p l yt h ec i r c l em e t h o d ，w es e t p = n i l q = 丽n ，吖= 刊 ( 12 1 ) b ，。m c n k 引e m m r a t i 。n a l a 蚪o x j m a t j 。n ，e a c n 。b 1 + 专1m 舢e w r i t t e ni nt h ef o r m q = a q + a a l 面1 ( 1 , 2 ，2 ) f o rs o m ei n t e g e ra ，qw i t h1 as q qa n d ( a ，口) = 1 w ed e n o t eb ym ( o ，口) t h e s e to fqs a t i s f y i n g ( 1 2 2 ) ，a n dd e f i n et h em a j o ra r c s 朋a n dm i n o ra j c sc ( m ) a s f o l l o w s ： 2 刚) = 陪1 + 孙t 州 f 1 、z 3 ) 酚 窿m 。u 亲 u 卵 f f朋 s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n i tf o l l o w sf r o m2 psq t h a tt h em a j o ra r c sm ( o ，g ) a r em u t u a l l yd i s j o i n t l e t s ( q ) = l o g p e ( p 2 a ) m p 2 s t ( o ) = l o g p e ( p a ) ( 1 2 4 ) m p n t h ea b o v et h e o r e m1 1i sac o n s e q u e n c eo ft h ef o l l o w i n gt h e o r e m t h e o r e m1 2 l e ta 4b ea si n ( 1 2 3 ) w i t hpd e t e r m i n e db y ( 1 2 1 ) n i s o d ds a t i s f y i n g ( r 1 2 ) w i t h2 曼n 墨n t h e nw eh a v e s2(。)t(。)e(一n。)da=；由(n)n+。丽nd2,4 ) 1 1 ”6 1 1 h e r e 垂( n ) i sd e f i n ei n ( t 3 1 ) ，a n ds a t i s f i e s 圣( n ) 1 s i n c et h ed e r i v a t i o no ft h e o r e m1 1f r o mt h e o r e m1 2i si m m e d i a t e , w eg i v ei t h e r e p r o o fo ft h e o r e m1 1 l e tn b es u f f i c i e n t l yl a r g ei n t e g e r ，a n d 譬 n n l e t r ( n ) = ( 1 0 9 p - 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