（工程力学专业论文）一种具有频率约束的结构优化算法.pdf

摘要 本文采用信赖域方法来进行结构动力优化设计，目的是解决在频率约束条件下，通 过改变结构的尺寸来满足动力学的要求，使结构的质量达到最小的问题。许多工程结构 在使用中都会受到强烈的振动与冲击，固有频率无疑是振动结构最为重要的特性之一。 动载荷作用下的结构响应在很大程度上依赖于结构前几阶固有频率。当动载荷频率接近 于结构的某阶固有频率时，结构会出现振动幅值非常大的过度振动。特别是在航空、航 天、汽车和土木工程结构中，频率约束的结构最优设计具有重要意义。 对结构进行频率优化通常会使结构的优化模型变成一组高度非线性问题，非线性优 化问题的传统解法几乎都是线性搜索方法，即每次迭代都产生一个搜索方向，然后在搜 索方向上进行精确或不精确的一维搜索，以得到下一个迭代点。但是频率优化的可行域 是一个非凸集，也就是说对优化方法选择不当可能导致优化问题无解，因此对频率优化 方法的选择要极为谨慎。而信赖域方法是一类很新的方法，该方法思想新颖，算法可靠， 具有很强的收敛性，它不仅能很快地解决良态问题，而且能有效地解决病态问题。 本文主要针对具有频率约束的杆件结构提出了信赖域方法，该方法将二次规划法和 信赖域方法有效地结合起来，在迭代过程中动态地选择惩罚因子，提高了算法的适应性 和收敛速度。但是在二次规划过程中需要计算海森矩阵，对于结构复杂的大型工程来说， 计算量太大。本文在此基础上，提出了改进的信赖域算法，该算法根据信赖域的思想自 适应地调节步长，避免了因步长过大而导致算法失败的问题。并且该算法只需要计算一 阶导数，极大地减少了计算量，且收敛性较好。 关键字：频率约束，信赖域法，结构动力优化 a bs t r a c t i nt h i sp a p e r t h et r u s tr e g i o na l g o r i t h mi sa p p l i e dt os t r u c t u r a ld y n a m i c so p t i m i z a t i o n d e s i g n t h ea i mo ft h i ss t u d yi st os o l v et h eo p t i m i z a t i o np r o b l e m sw h i c hs h o u l dm e e tt h e f r e q u e n c yc o n s t r a i n t sb yc h a n g i n gt h es t r u c t u r a ls i z e s ，s ot h a tt h eq u a l i t yo ft h es 仃u c t i l r ec a n r e a c ht oam i n i m u m l o to fe n g i n e e r i n gs t r u c t u r e si nu s i n gi ss u b j e c tt os t r o n gv i b r a t i o na n d s h o c k n a t u r a lf r e q u e n c yo ft h ev i b r a t i o ns 仃u c t u r ei su n d o u b t e d l yt h em o s ti m p o r t a n to n eo f t h ec h a r a c t e r i s t i c s t h er e a c t i o no fs t r u c t u r eu n d e rd y n a m i c sl o a dl a r g e l ye x t e n td e p e n d e n to n t h ep r e v i o u so r d e rn a t u r a lf r e q u e n c i e so ft h es t r u c t u r e w h e nt h ed y n a m i cl o a df r e q u e n c y b a n d sc l o s et on a t u r a lf r e q u e n c yo ft h es t r u c t u r e ，t h e r ew i l lb eh a v eo v e r - v i b r a t i o n e s p e c i a l l y i nt h e a v i a t i o n ，a e r o s p a c e ，a u t o m o b i l ea n dc i v i le n g i n e e r i n gs t r u c t u r e ，t h e s t r u c t u r a l o p t i m i z a t i o nd e s i g nw i t hc o n s t r a i n t so ff r e q u e n c yh a v eg r e a ts i g n i f i c a n c e o p t i m i z i n gt h ef r e q u e n c yf o rs t r u c t u r eu s u a l l ym a k et h eo p t i m a lm o d e lt ob e c o m et oa g r o u po fh i 曲l yn o n l i n e a rp r o b l e m s ，t h es o l u t i o nf o rt h en o n l i n e a ro p t i m i z a t i o np r o b l e mi s a l m o s ta l lo ft h et r a d i t i o n a ll i n e a rs e a r c hm e t h o d ，t h a ti sp r o d u c e das e a r c hd i r e c t i o ni ne a c h i t e r a t i o n ，a n dt h e nm a k eaa c c u r a t eo ri n a c c u r a t eo n e d i m e n s i o n a ls e a r c ho nt h ed i r e c t i o ni n o r d e rt oo b t a i nt h en e x ti t e r a t i v ep o i n t b u tt h ev i a b l ed o m a i nf o rf r e q u e n c yo p t i m i z a t i o ni sa n o n c o n v e xs e t ，t h a ti st os a yi m p r o p e rs e l e c t i o no ft h eo p t i m i z a t i o nm e t h o d sc o u l dl e a dt on o s o l u t i o nt oo p t i m i z a t i o np r o b l e m s ，s ot h es e l e c t i o nf o rm e t h o do ff r e q u e n c yo p t i m i z a t i o n w a n t sg r e a tc a r e a n dt r u s tr e g i o nm e t h o d sa r eac l a s so fv e r yn e wm e t h o d s ，t h ea l g o r i t h mi s r e l i a b l e ，h a v i n gas t r o n gc o n v e r g e n c e ，i ti sn o to n l ya b l et oq u i c k l yr e s o l v eg o o d - c o n d i t i o n i n g p r o b l e m ，b u ta l s oe f f e c t i v e l ys o l v et h ei l l c o n d i t i o n i n gp r o b l e m i nt h i sp a p e r ，w ep r o p o s e dak i n do ft r u s tr e g i o nm e t h o db o u n df o rt h eb a rs t r u c t u r e w i t ht h ef r e q u e n c yc o n s t r a i n t s ，t h i sa l g o r i t h mm a k e sac o m b i n a t i o no ft h eq u a d r a t i c p r o g r a m m i n ga n dt r u s tr e g i o nt e c h n i q u e s ，d y n a m i c s s e l e c tp e n a l t yf a c t o ri nt h ei t e r a t i v e p r o c e s s ，a n de n h a n c et h ea d a p t a b i l i t ya n dc o n v e r g e n c es p e e do ft h ea l g o r i t h m h o w e v e r ， c a l c u l a t e dh e s s i a nm a t r i xi nt h eq u a d r a t i cp r o g r a m m i n gi ss od i f f i c u l tf o rc o m p l e x i t y s t r u c t u r a lo fl a r g e - s c a l ep r o j e c t st h a tw en e e ds p e n dm u c ht i m eo ni t s ow ep r o p o s ea i m p r o v et r u s tr e g i o na l g o r i t h mo nt h i sb a s i s ，t h i sa l g o r i t h mc a na d a p t i v er e g u l a t es t e ps i z e b a s e do nt h ei d e ao ft r u s tr e g i o n ，a n da v o i dt h ea l g o r i t h mf a i l u r ec a u s e db yt h el a r g es t e p t h e i i a l g o r i t h mo n l yc a l c u l a t e dt h ef i r s td e r i v a t i v e ，s i g n i f i c a n t l yr e d u c e d t h ec o m p u t a t i o na n dh a da g o o dc o n v e r g e n c e k e y w o r d s ：t r u s tr e g i o n ，f r e q u e n c yc o n s t r a i n t s ，s t r u c t u r a ld y n a m i co p t i m i z a t i o n i i i 论文独创性声明 本人声明：本人所呈交的学位论文是在导师的指导下，独立进行研究 工作所取得的成果。除论文中已经注明引用的内容外，对论文的研究做出 重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本论文中不包含任 何未加明确注明的其他个人或集体已经公开发表的成果。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名： 王妍 l 砌刁年，月日 论文知识产权权属声明 本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属学 校。学校享有以任何方式发表、复制、公开阅览、借阅以及申请专利等权 利。本人离校后发表或使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成 果时，署名单位仍然为长安大学。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：王娜 导师签名：勘建形p 矽0 年 月加 如| ) 年争其以e l 长安大学硕 ：学位论文 1 1 结构优化理论综述 第一章绪论 结构设计是指选择和设计合适的结构形式及合理的结构尺寸，以保证结构的正常功 能。常规的设计方法通常是依靠设计人员的经验或者通过类比法，以相似的设计为基础， 拟定一个初始设计方案，然后根据人工作图及复杂计算来确定该初始方案是否可行。若 初始方案不满足要求，则需要修改并重新进行人工作图及计算。这个过程通常需要多次 循环才能得到符合需要的设计结果，并且所得到的结果一般都不会是“最优 的。优化 设计方法是根据相关的数学理论，从众多可能的设计方案中找到尽可能完善的或者最合 理的方案。配合计算机技术的应用，它可以大大缩短设计周期、提高设计效率，这是常 规设计所不能比拟的。优化方法目前已经成为工程结构设计领域中一种重要的设计方 法。结构优化设计的目的是在满足各种规范或特定要求的限制下，寻找合理的设计结构， 使其对某些评价指标( 造价，重量，刚度等) 达到最佳。从所有可行的设计方案中选择 最满意、最合理的一个，是设计人员追求的共同目标，优化设计就可以帮助他们实现这 一愿望。结构优化设计是最优化理论和计算机技术在结构设计上的应用的集合体，它综 合了计算力学、数学规划、计算机科学及结构工程等多方面的理论知识，使设计者从被 动的分析、校核上升为主动地设计、优化，这是结构设计上的一次具有重要意义的飞跃。 近年来，结构优化设计的应用领域涉及航空航天、机械、土木、水利、桥梁、汽车、 铁路、轻工纺织、能源工业以及军事工业等诸多方面，它主要用来处理具有复杂结构系 统或者大规模工程建设中的设计问题。随着我国改革开放和现代化事业的发展，国家对 基础设施建设的投资比例加大，但资金矛盾依然突出。因此，合理地降低工程造价亦是 解决资金矛盾的途径之一。采用结构优化设计的方法，既能在符合规范要求的前提下， 最合理地发挥材料的潜能，使结构内部各单元得到最好的协调，又能为整体方案的设计 进行合理的决策。据资料统计，用优化设计方法，可使工程造价降低5 纠o 。建筑 结构的优化设计包括杆系结构( 离散结构，包括桁架和刚架) 及梁、板、壳等连续体， 钢结构等 1 2 】。 “设计 ，本身就包含优化的概念。设计出来的方案不应只是可用和比较合理，而 应该是追求尽可能理想的方案【2 。传统的结构设计可以说只是一种结构分析，结构工 第一章绪论 程师根据工程的具体要求，运用选择结构类型和形式，选择结构材质，提出初始结构设 计方法，然后对结构进行分析，根据结构分析的结果按照设计规定、动力特性等各方面 的校核。若不符合经济与安全的要求，再修改初始方案，再进行结构重分析、重校核直 到满意为止。这种传统的设计方法中所依赖的设计经验，很多情况下对于这些体形十分 复杂，跨度很大，杆件数目巨大的现代结构失去以往的效用。另外这种方法对大型空间 结构而言，进行大量的试算是不现实的。 结构优化设计实际上是“结构综合”，相对于结构分析而言，它要综合各方面的因 素、要求、约束条件等等，从而程度要比结构分析大得多 2 。最优化设计是从可能设 计中选择最合理的设计，以达到最优目标。它根据既定的结构类型、工况、材料和规范 规定的各种约束条件，提出优化的数学模型，根据优化设计的理论和方法求解优化模型。 结构优化设计的大致过程为：初始结构方案一结构分析一搜索优化结构方案。搜索的 过程就是修改设计的过程，这种修改依照一定的优化理论，使用相应的优化方法使结构 设计方案达到“最优”的目标。这是一种有规则的、主动的搜索过程，这也是优化设计 与传统设计的主要差别 2 】。 1 2 结构优化的分类 结构优化按优化的内容大体可分为四个自然层次，即结构的尺寸优化、结构的形状 优化、结构的拓扑优化、结构的布局优化。显然，优化的层次越高，优化的效益将越高， 与此同时，求解的难度也越大。迄今，关于结构的尺寸优化设计已相当广泛和完善，结 构的形状优化随着结构有限元网格自适应划分这一关键技术的解决也日趋成熟，而关于 结构布局优化这一层次的研究，由于难度很大，目前尚处于刚起步阶段。相比之下，结 构拓扑优化成为工程结构设计领域中的研究热点之一。 1 2 1 尺寸优化 在保持结构的形状和拓扑结构不变的情况下，寻求结构组件的最佳截面尺寸以及最 佳材料性能的组合关系，优化截面的最优面积，选择板的最佳厚度等。尺寸优化大多数 集中在桁架结构的截面优化，由于单元的质量矩阵和刚度矩阵都是截面积的线性函数， 因此大多数文献集中在考虑其固有频率约束的类型，但是由于频率约束的解的可行域为 非凸集，则其解不一定存在，因此对频率约束的限制和优化的算法有一定的要求。 s a a e k 3 用可行化方法对频率和频率相应约束下的桁架的截面积进行了优化。t o n g 和 2 长安大学硕+ 学位论文 l i u 4 对于应力、固有频率和频率响应约束下的离散变量的桁架质量最小化问题提出了 一个算法步骤，采用了一个二进制数的复合算法来方便0 - 1 规划的执行。s e d a g h a t i 5 】 采用序y u - 次规划法，通过有限元法来进行尺寸优化。周传荣、向锦武 6 8 】等采用约束 变尺度法，对结构进行尺寸优化，使结构的固有频率满足指定要求，且考虑了某阶振型 节线通过指定点。 1 2 2 形状优化 优化结构的结构拓扑关系保持不变，而设计域的形状和边界发生变化，寻求结构最 理想的边界和几何形状，在骨架结构中表现为优化节点的最优位置，在实体结构中表现 为对结构的边界形状进行优化。目前有关形状优化部分的研究已取得较大进展。在结构 动力学优化方面，对形状优化主要集中在对尺寸和形状同时进行优化。林家浩对有频率 禁区的优化问题提出了一种准则法，该法基于分别称为几何和频率阻尼系数的两个阻尼 系数，这两个系数必须事先确定。s a d e k 9 对于桁架形状和尺寸优化问题，从库恩一塔 克( k u h n t u c k e r ) 条件出发，提出了两步走的优化准则。该算法包括频率修改和重量最小 化两步。n i e l s e n 1 0 用序列线性规划法来解决形状优化问题，它需要对目标函数和约束 函数进行线性表示，对结点的移动也有很大的限制。 1 2 3 拓扑优化 结构拓扑优化的思想早在6 0 年代中期就被提出，但由于当时结构优化设计的理论 和方法的限制，在此后的二十年间发展缓慢。随着结构优化方法的完善，研究内容不断 深入，到8 0 年代中期，结构拓扑优化设计得以长足的发展。在此期间对促进和发展拓 扑优化做出重要贡献的有k i r s c h 1 1 等的一系列工作。近年来，结构拓扑优化设计的文 献与日俱增，己成为结构优化研究中最活跃的部分。结构拓扑优化按载荷类型的不同可 分为静力拓扑优化和动力拓扑优化。静力拓扑优化主要是研究承受静载荷作用下的结构 拓扑优化形式，通常以结构的位移或最大静应力为约束条件，以结构的重( 质) 量或柔顺 度为追求目标：动力拓扑优化又可分为结构动力特性拓扑优化设计和结构动力响应优化 设计。结构动力拓扑优化设计包括结构的固有频率、振型等，主要研究以结构的某一阶 或几阶固有频率( 振型) 为约束条件，以结构的重( 质) 量极小化为追求目标。结构的动力 响应拓扑优化设计是研究承受动载荷结构的拓扑优化形式，以结构的动位移、动应力为 约束条件，以结构的重( 质) 量极小化或固有频率的极大( 小) 化为追求目标。拓扑优化根 第一章绪论 据研究对象又可分为两类：离散体结构和连续体结构。离散体结构主要为杆系结构。针 对离散体结构的拓扑优化研究目前己相对较为成熟，主要有蜕化方法【1 2 】等。而连续体 结构的拓扑优化由于其特殊的难度，直到近几年才得以较大的发展。连续体的拓扑优化 是指采用优化方法决定是否应该在连续体内部开孔、开多少个孔以减轻结构的重量或提 高结构的性能。如果允许采用多种介质来制造结构，连续体的拓扑优化就是寻求不同介 质如何嵌入的最优拓扑。m i c h e l l 桁架理论，p r a g e r 的经典结构布局理论是这一方向早 期的工作 1 3 1 4 】。 1 。3 结构动力学优化设计研究的发展 结构动力学设计的起源可以追溯到上世纪六十年代末期z a r g h a m e e 1 5 、f o x 与 k a p o o r 1 6 、及t a y l o r 1 7 的努力。他们的工作分别是：给定结构的重量，使系统的最低 固有频率极大；研究结构系统的特征值与特征向量对于设计变量的变化率；讨论悬臂梁最 小截面与最高、最低阶固有频率约束下的最小重量优化。此后，e l w a y 与b a r r 1 8 讨论 了矩形截面连续梁扭转固有频率的极大化问题。他们讨论的结构比较简单，且只考虑了 一个频率。计算机科学的飞速发展为结构动力学设计方法的实现提供了前所未有的技术 条件；有限元方法的发展又为结构优化提供了强有力的可靠分析手段；此外，数学规划方 法的发展及相应标准软件的编制，进一步丰富了结构优化理论，拓宽了结构优化的发展 道路。当前的研究工作中，结构动力学设计的范围不仅有单一的频率优化 1 5 ，1 7 ，1 8 ，1 9 ， 也有多阶频率优化 2 0 ，2 1 】；有多个点上的动响应优化 2 2 1 ，也有多个频率与多点动响应的 同步优化 2 3 ，2 4 1 ，同时考虑多阶固有频率及振型节点位置要求的结构优化 6 ，7 ，8 。至于 动力学优化设计的对象，也开始由常用的截面优化，发展到形状优化 2 5 ，2 6 ，形状和截 面的联合优化 2 7 】以及结构的拓扑优化。 实际结构动力学优化设计的目标可以是结构质量、结构固有频率、结构某几点的动 应力、动响应的特定要求，而其优化设计的约束条件包括固有频率、动应力、动响应、 结构参数尺寸限制等。在结构动力学优化设计研究的早期阶段，设计变量仅涉及少量的 可调参数，其后发展为结构的尺寸和几何外形，近几年又延拓到结构的拓扑构形。根据 结构动力学优化设计的实际要求，可以构成各种动力学优化的数学模型。 结构在动载荷作用下的优化设计是优化领域中研究得比较少的一个分支，也是工程 实际中急待解决的问题之一。由于应用了线性和非线性规划方法，具有瞬时动力响应的 4 长安人学硕士学位论文 系统最优化研究在2 0 世纪6 0 年代后期得到了很大的发展，但主要基于动力学特性灵敏 度分析，集中解决少量参数的最优化设计问题，如减振器、吸振器设计和各种减振隔振 技术的研究和应用。但随着结构有限元技术的发展和工程化，以及结构动力学修改技术 和计算机技术突飞猛进的发展，在近十几年内，大量文献的研究都集中在通过改变结构 尺寸和形状来解决大型结构动力学特性( 如频率、振型、响应) 的灵敏度分析、优化算法 和策略问题上，同时也形成了一些有效的工程化结构动力学优化方法和应用软件。与结 构静力学优化设计的研究和应用情况比较而言，对结构动力学优化设计的研究还很不成 熟，推究其中原因，无疑是因为结构动力学优化研究中还存在一些需要突破的困难问题。 结构动力学优化设计本身是一个典型的动力学反问题，为了避免求解的盲目性，应 该比较清楚其解的存在性与惟一性( 即使不是在严格数学意义上，也应该建立在可信的 工程意义上) 。此问题又与约束本身的可行域有关。顾松年、姜节胜等人 2 8 1 的研究发现， 动力学约束中确实存在像固有频率这类可行域可能是空集的约束( 具有“空集”的约束， 称之谓“关键约束”) ，从而使问题无解。对于像简单桁架这类结构，姜节胜等人 2 9 】 分析了频率优化解的存在性并提出了相应的算法。而对于复杂结构，还有待进一步研究。 此外，结构的动力学特性本身是设计变量的高度非线性函数，再者对于大型复杂结 构，通过分析获取结构的动力学特性及其灵敏度计算工作量很大。因此，针对结构动力 学优化设计问题，研究各种计算量小、计算精度高的分析方法也是结构动力学优化设计 的一个研究课题。 数学规划法和准则法都被广泛应用于结构的动力学优化设计。结构动力学优化设计 从数学上来说构成了一个约束非线性规划问题。在数学规划法中，罚函数法和序列二次 规划法是最常用的算法。值得注意的是，在结构动力学优化设计中，设计空间有时是不 连续的。 准则法的常用步骤是对于优化问题建立必要条件( 在特定情况下也是充要条件) ，然 后建立迭代算法，逐步得到满足约束条件的最优解。对于频率或频率响应的尺寸优化问 题，很多研究者提出了准则算法。优化准则通常通过拉格朗日函数对设计变量微分来建 立。 1 4 具有频率约束的结构优化设计 结构动力优化是指对具有动力约束包括动力特性约束和动力反应约束的结构进行 第一章绪论 优化。其中具有频率约束的优化设计对控制结构的动力特性是非常有用的。对于高层建 筑主要是一些低频振动问题，结构对于激励的动力反应是关于其基本频率和模念的函 数，在这样的情况下，控制好选定的结构自振频率能够显著地改善结构的动力性能；此 外，由于基频在结构动响应计算中的重要性，为了避免共振或结构和外激励间不希望有 的耦合效应，已考虑将结构的基频作为约束或目标，研究了关于基频约束下的桁架拓扑 优化问题；还有对于大跨度空间结构而言，由于其各阶频率较为连续，通过有效调整结 构的频率区间避免引起结构共振，具有十分重要的工程意义。结构动力优化设计是结构 优化设计理论的一个重要组成部分。在该领域，n i o r d s o n 3 0 于1 9 6 5 年通过使用解析方 法渐进分析求解简支梁的最佳断面分布使其基频最大。z a r g h a m e 1 5 于1 9 6 8 年明确提 出频率优化的概念。从此以后，结构动力优化设计的理论和方法开始得到更多的研究。 固有频率无疑是振动结构最为重要的振动特性之一。动载荷作用下的结构响应在很 大程度上依赖于结构前几阶固有频率。当动载荷频率接近于结构的某阶固有频率时，结 构会出现振动幅值非常大的过度振动。特别是在航空、航天、汽车和上木工程结构中， 频率约束的结构最优设计具有重要意义。 1 5 桁架结构优化设计的现状 桁架是一种广泛应用于各种工程领域的结构形式，它由若干杆件和连接杆件的铰结 点组成，分为平面桁架和空间桁架。由于杆件之间互相支撑，桁架的刚度大、整体性好、 抗震能力强，可以承受来自多个方向的荷载。并且它还具有结构简单、拆装方便、运输 便利等诸多优点。桁架结构中由于各杆件的受力情况不同，应力也不完全一样，合理地 设计桁架，使其在满足多种约束的条件下，各杆都能最大限度地承受载荷，有效合理地 分配结构的承载能力，达到减轻结构重量的目的。 根据设计变量的类型不同，桁架的结构优化设计可以分为三个层次，即尺寸优化、 形状优化和拓扑优化。桁架尺寸优化的设计变量主要是杆件的横截面积，它是在给定结 构的类型、材料、布局拓扑和几何外形的情况下，最优地选择各杆件的横截面积，使结 构达到最轻。尺寸优化虽然是结构优化设计的最低层次，但却为加深对结构优化问题的 认识、使用各种不同类型的算法提供了宝贵的经验。 桁架结构形状优化就是允许结构的几何形状发生改变，如可以把桁架的节点位置或 连续体边界形状的几何参数选作设计变量等。形状优化是结构优化的一个较高层次，它 6 长安大学硕士学位论文 主要研究如何确定结构的边界形状或者内部的几何形状，以改善结构特性。相对尺寸优 化而言，形状优化设计的研究起步较晚，取得的研究成果较少。 结构拓扑优化在尺寸优化和形状优化的基础上，允许结构的拓扑结构也发生变化， 使结构的优化设计达到了最高层次。目前，主要有两种连续体结构的拓扑优化方法。第 一，1 9 8 8 年b e n d s o e 等提出的均匀化理论，即在设计区域划分许多具有不同孔洞的微 结构对连续体进行拓扑优化；第二，1 9 9 3 年x i e 等提出的进化法，它基于很简单的想 法，即逐步地删去无效的材料单元使剩余的结构趋于优化。从目前的发展状态来看，上 述两种拓扑优化设计方法的主体研究都还处于理论探索阶段。随着结构优化层次的提 高，结构优化的难度也会越来越大。 结构优化方法发展迄今，已有许多相当成熟的方法。不同的方法适用于解决不同的 问题。 本文主要对桁架结构的尺寸优化进行了研究。在基于桁架结构质量最小的目标下， 对桁架结构进行频率约束以及设计变量的尺寸约束。文章的内容主要安排如下： 第一章，绪论。对结构优化研究背景，优化分类，频率约束及桁架结构优化进行了 简单的阐述，确定本文的研究内容及方法。 第二章结构动力优化理论。介绍了结构动力优化的基本理论，以及动力学数学模 型的建立。对具有频率约束动力学优化进行了重点讨论，并介绍了动力学优化的算法。 第三章具有频率约束的信赖域法。介绍了信赖域的基本原理，以及与二次规划法 结合起来形成综合信赖域法。并在此基础之上对信赖域法进行改进，提出改进的信赖域 法。 第四章基于a n s y s 的结构优化。对a n s y s 的基本优化原理进行了介绍，并在参 数化语言基础之上进行建模的基本分析流程，给出算例。 第五章总结与展望。对本文的工作成果进行总结并对研究中存在的问题及今后的 研究方向提出建议。 7 第二章结构动力优化的摹本理论及方法 2 1 引言 第二章结构动力优化的基本理论及方法 许多工程结构在使用中都会受到强烈的振动与冲击。各种航空飞行器、导弹发射系 统、潜艇及各种航天器等常处于恶劣的工作环境中，如强烈的振动与冲击、高分贝噪声 或恶劣的气象条件等，由此可引发严重的事故。如油管振裂、舵面或外挂件裂纹甚至折 断、结构部件因振动而寿命降低、仪表因振动而失灵等。因此，对工程结构进行动力学 分析、设计，控制结构系统的动态特性及响应研究具有重要的意义。为了控制在严酷的 动力环境中使用结构的振动水平，避免颤振、抖振等现象，常常需要准确地分析、预测 结构的动态特性。但是，对于复杂结构的系统整体进行动力学分析或动力学特性试验， 工作量大、耗资巨。随着有限元和动态子结构法的发展，复杂结构的动力学分析在基础 理论和基本方法上己经成熟。 结构动力优化设计问题，可以归结为一个数学问题，根据设计的指标设计确认目标 函数。例女1 ：i - 按照固有频率、质量等来建立目标函数。为了保证设计的可靠性、合理性 和可实现性，设计问题就要受到一些限制，这就是约束条件，例如满足强度要求、参数 的变化范围、动响应、固有振型约束等。这样就形成一个约束非线性规划问题。结构动 力学优化就是选择一组结构参数的组合方案，使其动力学性能满足要求，达到优化目的。 根据优化目标的不同，结构动力优化还可以分为两大专题，即结构动力特性优化和 结构动力响应优化。此外，结构动力灵敏度分析和基于概率的可靠性结构动力优化问题 也是结构动力优化设计中的重要研究专题。结构动力特性优化设计是分别以结构的固有 频率、振型、阻尼和刚度与质量分布等方面为目标或约束的优化设计。结构动力响应优 化是以动力激励下结构响应的物理量( 如：位移、速度、加速度、应力、应变等) 为目标 或约束的结构动力学优化设计，该问题同时涉及到结构动力特性分析和动力响应分析以 及优化设计。鉴于此，结构动力优化的许多研究多集中在一些相对较为简单的问题上， 而以结构动态响应( 动应力、动位移) 为约束的动力优化设计工作相对较少，尚属于结构 动力优化设计中有待进一步研究发展的方面。近年来，随着结构随机振动分析的发展， 结构在随机激励下的响应优化设计问题也受到关注 3 1 。但是目前结构动力响应优化设 计问题基本上是停留在对具体工程的应用上，不具备对任意复杂工程结构进行动力响应 优化设计的通用性，因此，本文在此基础上做了研究，理论上实现了对任意复杂结构进 长安大学硕士学位论文 行动力响应优化设计。实际情况下，所有的力都是动荷载。已经有人采用瞬态分析作为 分析工具，对直接采用动荷载的动态响应优化进行了研究 3 2 】。瞬态响应分析是用来计 算结构强迫动力响应的最一般方法。瞬态响应分析的目的是计算结构在动态激励载荷下 的响应 3 3 1 。但是，由于对分析所需的大量的计算时间，动态响应优化仍然非常困难。 因此，对于复杂结构，如何有效解决计算时间成了新的难题。 2 2 动力学结构优化的数学模型 结构动力学设计要求提供控制结构系统振动特性和降低结构系统振动水平的设计 手段。一般的设计过程是将系统构造成带有设计变量的数学模型，通过对设计变量的选 取，来实现动力学的设计要求，并满足设计中所受到的限制。从数学上讲，结构动力学 设计构成了一个约束非线性规划问题。动力学优化的数学模型如下式所示，优化模型一 般包括三大要素：目标函数、设计变量及约束条件。 目标函数： m i n o r m a x f ( x ) 约束条件： 舀扛) o i = 1 ，2 m 赡( x ) = 0i = m + 1 ，m + 2 ，刀 x 0 其中，x = 【五，x 2 岛】为设计变量。 1 ) 设计变量 对于结构设计优化，结构方案是用一组结构参数来表达的。这些参数中，有些是给 定的，有些是已知量。另一些是要在设计中确定的，也就是说要设计的，称为设计变量。 设计变量是能够用来描述结构方案特征的独立变量。 结构系统是由它的有限元模型来描述的。描述一个动力学有限元模型，主要参数包 括刚度参数，惯性参数和阻尼参数等，它们可以根据其性能参数和几何参数来给出。例 如在有限元模型中，某种金属材料是选定的，材料的性能参数( 例如弹性模量，泊松比 等) 是确定的，但是其面积，截面惯性矩，形状变量，结构状态变量( 位移，内力变量) ， 拓扑变量等都可选为设计变量。 但是设计变量不是任意选取的，它一般受到客观条件的限制。理论上结构的一切参 数都可作为设计变量，但是由于受到场地、材料规格、加工工艺、受力大小、位移长短 9 第二章结构动力优化的基本理论及方法 等因素的限制，致使有些参数只能作为常量，而不能称为设计变量。设计变量选取应选 择那些对目标函数有较大影响的变量作为设计变量，变量之间应该相互独立。在足以描 述设计问题的前提下，应尽量减少设计变量的数目，使优化问题简单化。 2 ) 约束条件 设计人员虽然可以对设计变量进行修改和调整，但是这种修改和调整是受到各种各 样的限制，这些限制条件统称为约束条件。约束条件是指可行的结构设计方案必须满足 某些预先设定的设计要求。例如为了结构能够正常地工作，有些必须满足应力，位移， 强度、刚度的要求；又如，结构振动频率的范围要有限制，结构的总质量不允许超重等。 常见的约束条件有几何约束、应力约束、位移约束、稳定性约束、动力特性约束以及基 于可靠性约束等等。 约束条件可以分为两类：一是性能约束；一类是边界约束。性能约束是指结构必须 具有某些性能要求。 例如在动力学设计中，为了保证静强度，必须满足应力准则： c r 6 一q 。0 对于稳定性要求则需要满足阻尼准则： 刁( 6 ) r o 此外，对于有些结构还应满足重量要求，不允许超过质量的允许值： m 胎) + 眠m 边界约束是指设计变量必须有上下界限制，防止在结构优化过程中出现与实际不相 符的数值。他们可以表示为砖6 f 矽 ( f = 1 ，2 ，尼) 约束条件也可以分为等式约束和不等式约束两种，一般的表示形式为： ( 6 ) = 0( i = 1 ，2 ，m 。) g i ( b ) 0 ( i = m e + 1 ，m e + 2 ，m ) 所有约束条件将设计空间分为满足约束条件和不满足约束条件两部分，蚕( 6 ) = 0 是 它们的边界。而满足约束条件的设计空间( 可行设计空间) 是一个闭集。如果漏掉一个 或几个约束条件，也就是说人为地去掉一个或者几个约束条件，则优化设计所得的优化 方案可能就是一个不可行设计方案。 1 0 长安人学硕士学位论文 3 ) 目标函数 结构动力学设计的目的是控制结构系统振动特性和降低结构系统振动水平，要求得 到一个具有良好动力学性能的结构系统。结构系统的动力学性能的要求构成了它的目标 函数。在选择目标函数时，必须选择设计中最为重要的设计目标作为目标函数，例如在 结构优化设计中，常使用结构重量，结构强度，结构刚度，某些关键位置的变形，某些 关键元件的尺寸和位置等作为目标函数。目标函数必须是所有设计变量的函数。因为不 包含在目标函数内的设计变量的取值是任意的，无法评定其优劣。此外目标函数必须有 一定的灵敏度。也就是说，当一个设计变量变化时，目标函数应该有较明显的变化。否 则，将难以完成寻优。 2 3 结构优化的动力学分析 系统的动力学方程为： 【m 】 戈( f ) ) + 【c ( f ) + 【k 】 x ( f ) = q ( f ) ) ( 2 3 1 ) 其中 x 0 ) 结构杆件上的节点位移， i 4 t ) 为结构杆件上节点的速度向量， 碧( ，) 为加速 度向量，m 是质量矩阵，c 是阻尼矩阵，k 是刚度矩阵， q ( f ) ) 是作用在结构上的载 荷向量。他们分别由自己的单元矩阵或向量集合而成。在有限元计算过程中，采用位移 法来计算各单元的受力情况，其中 k 】_ 毛。向： 镌。也： k n lk n 2 毛 恕 ： k 嘛 其中毛为结构刚度系数，即使第个自由度产生单位位移( 其它自由度位移保持为零) 时在第f 个自由度方向上所需施加的力。 x ( ，) ) 、 文( ，) ) 、 戈( ，) 分别为位移向量、速度 向量和加速度向量； x ( ，) ) = 五 屯 ： x u 圣( f ) = 五 恐 ： x n 舅( r ) ) = 五 而 ： x n 其中，而为结构第f 个自由度的位移，毫为结构第f 个自由度的速度，薯为结构第f 个自 第二章结构动力优化的摹本理论及方法 由度的加速度。 一个振动结构最简单也是最本质的特性是无阻尼结构系统的振动特性。而它的振动 特性分析可以归结为求解特征值问题，可由系统的动力学方程( 2 3 1 ) 中去掉阻尼矩阵和 右端的载荷项直接给出，其特征方程可表示为： 】 矽) ；= 丑 m 】 妣 ( 2 3 2 ) 它给出的特征值允为正实数，即 名= q 2( 2 3 3 ) 其中劬为系统对应的第i 阶固有频率，对于具有个自由度的系统，一般具有个特 征值，对应的阶固有频率按从小到大的顺序排列， 劬 哆 吃和q 吃 ( 2 4 2 ) g j ( x ) 0 ( 2 4 3 ) l x j # ( 2 4 4 ) 式( 2 4 4 ) 是对设计变量的范围进行限制，其中五是设计变量，、芹是西的上下 限。式( 2 4 2 ) 是对结构的频率进行限制，哆是结构的第阶自振频率。哆是第j f 阶自振 频率的限值。一般是对频率的下限进行考虑，使固有频率大于激振力的频率，以免引起 共振；也可使某几阶频率避开频率禁区。式( 2 4 3 ) 是除了频率约束和变量的约束之外其 他的约束，例如应力约束，位移约束，和稳定性约束等。 另一种模型是以固有频率作为目标函数，以指定重量或者其他边界位置、位移等作 为约束，要求固有频率最大化。表达式如下： 目标函数： m a x 彩，( x )( 2 4 5 ) 约束条件：形 矿 ( 2 4 6 ) t 芹( 2 4 7 ) 对于结构系统来说，设计变量的选择视优化问题的具体情况而定，可以是杆件的截 面面积、梁的长度、厚度或者惯性矩以及板的厚度等。在本文中采用的是以重量最小为 目标，频率为约束的优化模型。 第二章结构动力优化的基本理论及方法 2 4 2 灵敏度分析 对于一个实际工程问题来说，进行一次结构分析需要相当长的计算时间，随着计算 机技术的发展，逐渐采用有限元法作为结构优化的手段之一，为了辨识结构的优化的最 好位置，常常需要灵敏度分析。 灵敏度分析( s e n s i t i v i t y a n a l y s i s ) 是一种度量。它是一种评价因设计变量或参数的改 变而引起结构响应特性变化率的方法，它又属于梯度分析。在结构动力学分析中，灵敏 度是指结构的振动特性和动力响应，因结构设计参数的变更而变化的程度。它决定修改 哪些结构设计参数以使结构更有效的实现动力学优化设计目标，从而得出设计措施。 灵敏度分析是结构优化设计中的重要环节，通过灵敏度分析，可以给出结构的变化 趋。基于灵敏度势分析的信息，既可以用于选择设计变量又可以用于确定优化方向，找 出最佳设计方向。 求灵敏度的方法大多采用差分法，虽然差分法在精度和求解效率上有不足之处，但 是它技术相对简单，所以不失为一种灵敏度求解方法。后来又发展了半解析法和解析法， 不论在精度上还是时间上都优于差分法，但是计算方法和过程都比差分法复杂，且在计 算机实现上对人员的要求比较高。 o 结构无阻尼自由振动特征方程为： ( k 卜谚 m ) 咖，= o ) 歹= o ，1 ，2 以( 2 4 8 ) 其中n 为结构的自由度数，哆为结构第歹阶固有频率， 扔，为第歹阶固有频率对应的固 有振型，隧】和 m 】为结构的总体刚度矩阵和质量矩阵。 特征值a = 喀叫由瑞7 f u 阎口j 解得 喀= 勰 频率的灵敏度数可由上式( 2 3 2 ) 和( 2 4 9 ) 直接求导得出。 对( 2 3 2 ) 式两边同时对_ c 求导数，可得： 挈泐川k 】警= 巧警泐，+ 喀m 警删慨等出 7 出。戗 。 。 班。麟 将上式左乘 缈只，得 1 4 ( 2 4 9 ) ( 2 4 1 0 ) 长安大学硕上学位论文 蝴堋办，警+ ( 巧蝴m 】等嘞帅等) _ 咖；警泐，一巧泐；警泐， 并且由 纠； k _ 巧 咖； m 】，将上式简化为： 蝴圳吐警却) ；警泐，一巧泐；警泐， 例，1 ，2 刀( 2 4 1 1 ) 故得特征值灵敏度为： 等：一坚 例凡2 力仁4 地， 苏 泐j 【m 】泐j 。 一 、7 利用振型- 与s t j 度矩阵