（基础数学专业论文）tat代数及其交不可约理想.pdf

ab s t r a c t at fi z s t ， we gi ve t he fo rms oft b e m 毗 ir r e d u c i b 1 e i d e ais a n d i d e ajs o f t he al g e b r a 兀。 c ( 5 ， ) r es p ec t i vely int his p 叩er . the r e isa ones t ， o n e co rr es p o n d enceb e t w ee n m eet 谊司u cj b le i de 幽 in兀 c ( 5 ， ) an d ( e ， x ) 1。 天， x 任 5 1 . n ext we gi v e t 加m eet 沂ed 呱b l e i d e a 坛 ， 加 汕 o f t heai g ebr a 艺。 ( 不 。 c ( 5 ) ) and t h e 闪 u i va l ent re lati o o h i 阳 落 =1 b e t 研 吧 e ni 切meet irre d uciblei dea ls皿doth erkin ds ofide a is t henw e i ntrod u ce a h u il- 玩切elt 叩ol o g y in七 比 al gebra . a ft erwardswe g v e t he d e 五 nj t fo n ofthe t a tal gebra， a k 旧 d e 6 n e 七 hemi-ch灿 oft 恤 al g e b r a and itsequl val e d t fo 砂 . then讹 introd uce 七 he conce ptofthe mat 血 山 五 t a n d 七 he i 浦nite chai n 勿 w h i ch脱 gi vet he m eet 谊educib le id eals ， 肠 皿 ofst ro n gl ym 几 灯 r o ait a talg e bra and p oi nt o utthatits id eal lm ay be 以p r essedasthe c a p ofall t hem e e t i rr edu d bl eid e a isthose c o o t ain l. fin all乳能 p o in t o u t t h e r e la t i ons hi psb e t 认 吧 e n t hest r o n g lyma x 刀 刀 alt a tal geb r a 皿d t h e mi ， c h ai n as 桃1 1 as t h ecmi -ch ai n . k e y w o r d s : t h e t a tal g e b r a ， t h e m e etirr e d u c ib l e i deal ， t h e a t al g e b r a ， ml- cha i n ， c mi- chai n ， t h e 介p r i mi t i ve i d e al . 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果， 尽我所知， 在 本学位论文中， 除了 加以 标注和致谢的部分外， 不包含其他人已 经发 表或公布过的研究成果， 也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历而使用过的材料。 与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均 己在论文中作了明确的说明。 研究生签名: 于 王加 梅 么 0 0 7 年7 月 乙日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档， 可以借阅 或上网公布本学位论文的全部或部分内容， 可以向有关部门或机构送 交并授权其保存、借阅或上网公布本学 位论文的全部或部分内容。 对于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名: 汪 加 梅 多 0 0 7 年7 月 日 硕士论文tat代数 第 一 章引言 在1 9 25年 量子 力学 被创 立的 最初 几 年里 ， 其理 论 有幸引 起了 一个 数学 天 才一 、 b n neulnalm 的 兴趣. 他 用h ilbe rt空间上的算 子代数( 、 b n n euln 。 代数) 给出 了这一 理论的数学 框架， 这一代数需要运用算 子的 拓扑学. 正是由 于、 乞 n n e umalm 对 遍 历理论 ， 群 表示和最子力学 产生兴趣， 他认识 到算子代数理 论将是数学发 展的一 个 重要阶 段. 、 乞 n n e ulnann 代数当时 被称作“ 算 子环” ， 之后又被人们命名为w-代 数. j . d 议 川 i er在1 9 57年写的专 题著作( ( h 以 民 分 定 空间的 算子 代数) ) 中 称此代 数为 、 b 刀 n eum ann 代数 . 20世纪30年 代至40年代 ， 、 b 刀 neuln ann 与 f . j . m 理 rr ay合 作， 写 出了 一系 列文 章， 为 von n eum ann 代数 建立 了 坚实的 理论 基础. 随后发 现， 这 一代 数 在描 绘量 子力学 时是 有缺陷的 . 鉴于此 ， 1 9 43年， g e l f a n d 和n aun ark 为了 弥 补这 个 缺陷 ， 提出了 更广的 一 类算 子代 数: c 气 代数 . von n e ulnalm 代数 和c 气 代数 都 是自 伴 代 数， 但一个 不可回 避的 现象 是自 伴 算子 代数的 子 代数却 不一 定仍是自 伴 代数 ， 这 就 是说要想研究清楚算子代数只借助于自 伴算子代数的理论和工具是难以凑效的. 非自 伴算子代数与自 伴算子代数的研究并不是相互孤立的. 非自 伴算子代数的子代数也有 可能是自 伴的， 例如: 非自 伴算子代数的对角. 很多情况下我们要借助于自伴算子代 数来研究非自伴算子代数. r . v . k ad is o n 和1 ， m . si n g e r 于1 9 60年发 表的“ 肠an 酬a r 叩er at or吨eb r as ” 和 j . r . r i n g 0 8 e 于1 % 5 ， 1 9 6 6 年 发表的“ o n 二 e al 罗 br aso f o p er a to r s l ， 1 1 ” ， 开创 t 非自 伴算子代数的研究. 非自 伴算子代数主要有套代数、三角代数、交换子空间格代 数、 完全 分配 格代 数、 jsl 代数 和自 反 代 数. 非自 伴算子 代 数更 年 青， 数学 现象 更丰 富， 方法 也更 多样， 并 且与 其他数 学分支 如 泛函 分析、 拓扑 学、 动力系 统等 有各 种紧 密的 联系， 因 此很快 成为算 子代数的一 个重 要分支， 吸引了 一大批数学 家投身 其中 . k . r . d avids on的 专 著啊 es 七 a lg e b r。 ，( 1 9 88 年 ) 系 统 地 总 结 了 前20年 的 研 究 成 果 ， 提 出了 许多 新的 问 题， 极 大 地推动了 套 代 数， 进而 也 推动了 非自 伴 算子 代数的 研究 自 从算 子代 数问 世以 来， 表示 理论 在代 数的 研究 中扮 演着 重要的 角 色. 我们 尤 其 关 注不可 约 表示. 在 某种意 义上 说， 算子 代数的 本 原 理想是理 想中比 较 基本 且简 单的 一 类理想 ， 而 且与 表示 理论 有密 切的关 系. c 气 代 数的 表示理 论有大 量的结 果 ， 但 是 对 硕士论文 tat代数 于 非自 伴 算子 代数， 几乎没 有什么 一 般性的 结论 . 对于“ 三角算 子代 数” ， 直觉 表明 其 表示 理论的 基 石 应该是 套表 示， 在c 气 代数 的范 畴下 ， 套表 示事 实上 就是 不可约 表 示. 19 91年 ， m ic b 此 i l amo ur eux 在价 oj 提 出 了 套 表 示 的 概 念 ， 一 个 表 示 称 为 套 表 示 ， 如 果它的 不 变子空间 形成一 个套， 统一了自 伴 代数 和非自 伴代数的 交不 可约理想的 概 念 他 在非自 伴半 叉乘积 代数的 研 究中 ， 引 进了 套本原 理 想的 概 念 一个理 想被 称为 套 本原 理 想， 如果 它 是一 个套 表示 的 核. 他 证明了 在非自 伴 代数 的 各种 情况 下， 套 本原 理 想 扮 演 了 类 似 于c 气 代 数 中 本 原 理 想 的 角 色 !2 01 . 因 此 ， 可 以 给 套 本 原 理 想 赋 予 一 个 包 核拓 扑， 对某些 算 子代数 来 说， 其中 的 每个 理 想1 都可 表示 成 所有 包含 它的 本原 理 想 的 交 集， 即1 =k ( h ( 1) ) . 代数通的 理 想j 是交 不可 约的， 如 果对 任一 个包 含 j 的 理 想11和几 ， 关 系 il n 几=了 蕴含11=j或几=j . 在n x 。 的 上三 角矩阵 代数及 的 情 况 下， 交不 可约 理 想是通 过 从 代数中 “ 去 掉一 个楔 形 ” 得到 的， 令1 三甸三 知三 氏 理想1 二 ( 勺) : 阳 =0 ， 1 。 三落 三 j 三 为 是交不 可约的 ， 及 的 每个 交不 可约理 想均 有这 种形式 . l aznoure ux在 睁 0中 将 b anacb 代 数的 不可约 表示推 广成 套表示， 对于 一 个自 由 ， 离散 的动 力系统 ， 半 叉 乘积代 数中的 每 个理 想等于 套表 示的 核的 交 集， 所 有 这样 套 表示的 核的 真子 集 是一 个 拓扑 空间 ， 同 胚 于在 动力 系 统里的 带 有子 弦拓 扑的 所 有离 散有限 弦 空间. 对于 某 种连 续动 力系 统， 核的 相 应集同 构 于连 续 有限 弦的 拓 扑 空间. 19 95年， l amo ul e ux 在俘 2 1 中 ， 通过 把理 想 集和某 种拓 扑空 间的闭 集 对应 起来 ， 从而描 述某些非自 伴算 子代数理 想的 结构 . 在c * 我数 月中 ， 引 入 j “ 印 bs 。( h 以 1 一 k ， n 哟 拓扑 来构造 一个拓扑 空间 ， 这 个拓扑 空间中的 闭 集与滩中的闭 理 想是一 一 对应地 . 更 确切 地说， 在这 种情 况下 ， 每 个理 想都 被描 述为 包含它的 所有 套本 原理 想 的 交 . 然 而 对 于 另 外 一 些 非 自 伴 算 子 代 数 ， 套 本 原 理 想 还 不 够 丰 富 ( 比 如 说 圆 盘 代 数 ) ， 不能 描述 代数中 的 所有 理想. 因 此我 们有 必要 推广 套 本原理 想的 概念 ， 使其内 涵更 丰 富. 于是 ， l alnoureux 引 入了 交不 约理 想的 概念 ， 即 那些 不能 表示为两 个 严格包含 它 的理 想的 交集 . 对于可 分的c 气 代数 ， 它就 是套本 原理想 . 代 数滋的 理想1 称为交 不可 约的 ， 如果 对代数中的 任 何理 想j， k均 有1 =j n k褂 1 =j 或1 =k ; 类 似 的定 义 还有: ( 1)在 代数涯中 的 理想1 是k 4 的 ， 如 果对 代数中 的 任何理 想么 k均 硕士论文t月t代数 有i zj 门 k幼 i zj 或 i zk ; ( 2 ) 在 代数a中 的 理 想1 是素的， 如果 对代数中 的 任何 理想 工 k均有i zj k绮 i zj 或 i zk . 对于可分的c 气 代数， 理想是 套 本原的嘴 = 令本原的幸 睁素的幸 冲 交不 可约的 . 此 外， 在可分的c * 我数中的 每 个 理想等于交不可约理想的交集. 在上三角矩阵代数的直极限代数和更一般的三兔几 乎 有限 代数的 研究中， 很多数 学家在非自 伴算子 代数的 理想结 构方面做了 大量的工 作. 理想的结构问 题已 经成为 考虑 代数分类的一 个重要因 素 例如， p o w e r 己 经把 所 有理 想格和交不可 约理想等同 为上 三角矩阵 代数的 一个无限 张量积!291 . 由221 的 命 题 1 . 1 和 l 3 ， 交不可 约理 想集 事实上是 一个拓扑 空间 . 此 外， 这个空间 中的闭 集 和 张 量集中的 闭 理想是 一一对 应的. 这是因 为很容易 根据p 侧e r . 5 . c的! 2 例中 的 构 造验证， 每 个理想是 所有 包含它的 交不可约 理想的 交集. 其它的 作者， 如 d 。 二 19 ， a p.， h u 山 刃 n ， t . h . ， p et 哪， j . il， poon， y . t . ， 和w 映 ， er ， b . h . ， 一直 在考 虑其 它 的a f代 数中的 理 想格 结 构， 包括并 不 可约理 想的 概念 ， 但是 从c 气 代 数的 情况 看， 这 样的理想是相当罕见的. 交不可约理想在非自伴半叉乘积里的套本原理想的背景下也 出 现了120， 21 ， 但 是 以 一 种 非 常 奇 怪的 方 式 : 被 构 造的 理 想 都 是 套 本 原 理 想 ， 正 好 形 成 一个拓扑 空间 ， 由! 2 幻的 命 题1 . 1 和l 3 知， 这些必 定 是交 不可约 理想. 同 时， 交 不 可 约理 想和套 本原 理 想之 间的 关 系通 过各 种各 样的 例子 被 研究了夕 2 . 2 0 0 0 年， 在a . d o ns ig ， a . h o p enw asser， t . h u ds o n ， m ， l amo ur eux 和b . s o le l 的 文献11 0 中 ， 强极 大 三角a f-代数中 交不 可约 理想 通 过矩阵 单 位 元序列以 及 借助 于 广群被 刻画了 . 文献11 0 中 还 证明 了 在c 气 代数中 ， 每个 交不 可 约理 想是套 本原的 . 文 献 vl中的 两位 作者 研究了 强 极大ta f 代 数模 去理 想 了 的 商刀j的c 气 包络 . 他 们 证明了即 使 商通 / j不是 一个taf 代数， 它的c 气 包络 也是一 个a f c 气 代数. 这表 明滋 / j的c 气 包 络足 够 敏感 可以 探 测 j的 交不 可约 性. 在 文 献 15 的定 理2 3中， 作 者 证明了j是 交不 可约的 当 且仅当刀j的c 气 包络是 本 原的. c 气 包络的 定理为 研 究 这 种 类 型 的 结 果 提 供 了 自 然 的 框 架 . 在 文 献!5的 定 理z a 中 作 者 证 明 了 对 于 交 不 可 约 理 想j ， 存 在c 气 包 络c 豁 ” (滋 / j ) 的 一 个 忠 实 的 、 不 可 约 的 * 一 表 示 ， 表 示 在刀j 上的 限 制是 一个 套表 示. 因 为 相反的 结 论很容 易 看出 是正 确的 ， 所以 借助 于通的 表 示 理论 ， 该 定理 提供了 一 个交 不可 约理 想的刻 画. 套表 示的 核是 否是 交不可 约理想的 问 硕士论文ta t代数 题在1 9 97年 夏天在英国a 刀 b e ls 记 e 开的会议中 被提出 来了 . 随后取 得了 一些 进步. 在 文献 【15 1 中 部分结 果 被获得 ， 如 果ta f 代数渡有全 序谱 或者如果 套表示二具 有 如 下性 质: 由武 风门 才) 生 成的 冯诺 伊曼 代数 包含 一 个原子 ， 那么ke r ( 的是交 不可 约 的 . 问 题 的 解 决 被 呈 现 在15 的 定 理2 石 中 ， 且 没 有 应 用 到【101和【 15的 结 果 . 因 此 ， 对 于强极大t 注 f 代数， 问题被解决了. 本 文主 要 是 在文 献!22 】及【1 0 的 基础 上 将某 些 定理 做 些 推广 . 对代 数 瓜 c (s 1) 成 立 的 结 果 ， 若 将 c (51 ) 全 取 成 常 函 数 1 ， 则 就 是 文 献!22 的 部 分 结 果 . 然 而 ， 这 样 的 推 广 不是 平凡 的 ， 因 为 兀 c ( 51) 的 理想比 几的 理 想要 丰富 的多 ， 类 似地， 对 t a t 代 数成 立的结 果正 好是 文献【 1 0 中 的 关于 ta 尸 代数的 部分 结果的 推广 . 在代 数分 类中， t a t 代数与t a f 代数又不是同一类， 可见， 对犷 月 了 代数的研究是非常有意义的. 硕士论文了 月 t代数 第 二 章基础知识 互 2. 1 基本概念 定义2. 1 . 设 刀 门 是 月 中的 一 族子空 间 ， 称 万是 一 个子空间 格， 如 果下 列条 件成 立: ( 1 ) ( 0 ) ， 万任 万. (z)对 万 的 任意 一 族 子 空 间 尽 以 ， 总 有 v 、 a 尽 和 入 。 a 尽 属于 万 . 这 里 v 和 a 分 别表 示子空间 的闭 线性 扩张运 算和 集合 论意义下 的交 运算. 特别地 ， 称子 空间 格 万为 套， 如 果 .勺 中的 元 素按 包含 关系成 全 序 集. 定义2. 2 . 设 n 从 定 义 n-= v m。 万: m边 n 和 n+二 a m。 万: n 么 m . 同 时 也规 定0 一 二0 ， 祝 十 = 祝， 定义2. 3 . 设 万是 入 中的 子空间 族， 定 义ai 夕 万是 月 上的所 有使 万中 每 个元素 都不变的 有界 线性 算子 的全 体， 即 a i ， n . = t 任 b ( 冗 ) : ( 1 一 n ) t n=0 ， v 刀任 玛 . 易 见 ai， v 是含单 位元的若闭 代数 ， 如 果 万是 套， 则 称al g v是套代数 . 对偶 地， 对于 算子 集摊9域 万 ) ， 定 义l at 滋 是 摊 的 不 变子 空间的 全 体， 即 l at 通二 n: n 是月 的 子空 间， 并且 满 足( 1 一 n ) t n=0 ， vt 任 通 ， 称月 是自 反算 子代数， 如果 涯二a lg l at a ， 对偶地 ， 称 x 上的子 空间 格 万是自 反的 ， 如 果 . v=l a t a i 叭 . 定 义2. 4 . 滋 是作 用在 去 “ 动 e ri 空间 祝 上 的一 个 b ana c 州 代 数， 摊 的 一个 非退 化表 示被 称为 一 个 套 表 示 ， 若 袱 通 ) 的 不 变 的 闭 子 空 间 格 按 包 含 关 系 成 线 性 序 关 系 ， 即 1时 城 为形 成 一 个套 硕士论文tat代数 定义2. 51 是b ana c h 代数 风 的一个闭 双边理想 ， 灌 称为一个套本原向 本原 夕 理想 ， 若1 是一个套表示的核 定 义2. 6 ， 一个 套表示 是真 的， 若它 是 另 一个 套 表示的 压 缩， 即 它是 形 式q 二 q ， 其中 二 是 某 个 套表 示且 投影 q二pi一po ， po， pi是 7r 的 不 变投 影， po务 0 ， pi尹 l 一 个 。 一 本原 理想 是真的 ， 若它 是某 个 真套 表 示的 核. 定 义2. 7 . 代 数滩 中的 一 个理 想 1 被称 为 k 4 的 ， 若 对于 代数中 的 任意 理想 j ， k 均 有 i zj nk睁1 二了 或1 二k. 注 意条 件k 磷 似 于素 理想牌 p l 二 j k睁1 二j 或 i zk 夕 的 条件 ， 也 类 似于交 不 可约 理 想牌 p l =j 自k冷1 =j 或1 二k)的 条 件， 定义 2. 8 . 设c是含单 位元的 a f c 之 代数， 若存在有限维 c 李 代数的 一个递增序 列 氏 ， 使 得c = 厌; 乞 ;. 定 义2. 9 ， 设c是 含单位 元的月 尸 c 色 代数 具有一 个 。 邸 四， 且令通是c的 包含， 的一 个闭子代数. 定义 刀的正规划子 踢( 通 ) 二 、任通: 、是一 个部分等距 算 子 ， 二 ， 钊 . 9 ， ， 二 加 9， . 假设 存 在有 限 维 c 先 代 数 的 一 个 序 列 氏 ， 使 得c = 口 薯 不且p = 口 霆 ; 五， 其 中 对 于 任 意 的n ， 氏= ， 门 以如 果 每 个风是 中 的 一 个。 。 。 且 对 于 任 意 的n ， 八 协 . ( 氏 ) 9 场叶 : (cn+1 ) ， 那 么，是c 中 的 一 个 典 型 爪此 定义 2. 1 0 一 个b a n 配 h 代数 丁 被称 为罗 月 f代数， 若 存在含 单 位元的a f c 之 代 数氏 使 得 了 是c 的 一 个 范 数 闭 子 代 数 且 对 角， 二 丁 n 户是c 中 的 一 个 典 型 的 。 。 。 降大 的 可交 换的自 伴 子 代数 少 . 定 义 2 .1 1 一 个taf代 数丁gc 被 称 为 强 极 大 的 ， 若 丁 十 尹在 c 中 稠 密 ， 即 c = 丁 十丁气 定 义 2. 1 2.令 通= 卿( 人 ， 叭 ) 是 一 个 taf 代 数 ， 来自 皿 的 一 个 矩 阵 单 元 序 列 (ei )论 二 被 称为 一 个 材了 一 链 ， 若 下面 两条 对 所有的 落 全n 均 成立: ( a ) e 任人 硕士论文 r月 t代数 ( b ) 倪 + : 任 1 成 + 1 ( 。 ) ， 其中 i de + : ( 动表 示由 在人十 1 中 生 成的 理 想， 即 人 + 1 中 包含 的 最小 理 想. 定 义 2. 13. 令 摊 = 妙(人 ， 叭 ) 是 一 个 t a f 代 数 ， 来自 风 的 一 个 矩 阵 单 元 序 列 低 )仑 n 被 称为 一 个c mi 桩， 若 下面 两条 对所 有的葱 全 n 均成 立: ( a ) 人 ( b ) + ; 1 踌 + 1 ( 匀 ) ， 其中 1 踌 十 : (e.) 表 示由 已 、 在人十 ， 中 生成的 理 想. ( c ) 竹 全 n ， 彭 i da( e 、 一 红 + 1 ) 愁 2 .2基本结果 命题2. 1 . 对 b a h 代数 凡 中的 任意 一个闭 的， 双 边 理想 不 ( 1 ) 若 1 是 素的 ， 则 1 是 k 4 的 ; (s)若 1 是 k 4 的 ， 则 1 是 交不 可约的 . 定理2. 1 . 1 是 可 分的c 劝 代 数的 闭双 边理 想， 那么 下 面的 是等 价的 : ( 1 ) 1 是 。 本原的 ; ( 2 ) 1 是 本原 的 、 ( 3 ) 1 是 素的 ; ( 4 ) 1 是k 4 的 、 ( 5 ) 1 是 交不 可约的 . 此外， 在可 分的c 之 代数中 的 每 个理想 等于 所有包 含 它的 交 不可 约理 想的 交. 命题2. 2 . 滩 是 作用 在h 双 阮 rt 空间 祝 上的 一个紧 套 代数 ， 1 是 滋 的一 个闭 双边 理想. 那么 下面的是等价的: (l ) 1 是 。 一 本原 的 、 ( 2 ) 1 是 k 4 的 (a ) 1 是 交不 可 约的 ; (叼 1 是 风 到 套 的 某 个 区 间 上 的 压 缩 映 射的 核 . 此 外， 通 中 的 每个 理 想等 于 所有 包含它 的 交不可 约理 想的 交. 硕士论文 t 乃 t代数 命题2. 3 . 若 x 是一个紧空间 ， 了 是c(x ) 的一个闭理想， 那么存在 x 的唯一的闭 子 集f ， 使 得 了= 了 c (x : f( x)=0 ， vx f . 如 : c(x ) ，c(f)的限制映射: 风 f)二 jl f ， 那 么诱 导映 射 万 : c ( x ) /i *c ( f ) 是 一个 ， 一 同 构. 硕士论文 望月 t代数 第三章 关于代数瓜o c ( 51) 天是 牡 x 。 的 全上三 角矩阵 代数， 它的 交不可约 理想是 通过 从这个 代数中去 掉一 个 楔 形 得 到 的 : 令 1 三 和 如三 。 ， 理 想 1 = ( 阳 ) : %= 0 江 。 三 “ j 三 ， 0 是 交 不 可 约的 ， 且几的 每个 交不可 约理 想均 是 这种 形式 . 例 如: 笼的 交 不可约 理想是 如 下形 式: ) 1 _ _ ” ( 率jj *nnnn *0nu00 矛一 了.，、. 强极 大 注 f 代 数中 的 交不 可约 理想 在文 献l 0 中 借助 于矩阵 单 元系 统 和广群 被刻画 了 . 那么 对于 兀。 c ( 51) ， 它的 交不 可约 理想 是怎样的 呢? 它的 交 不可约 理想 是否可以 通 过矩阵单元和其它的东西刻画出来呢? 笋. 1 兀。c(sl) 的 交不可约理想 兀是 全上 三角 矩阵 代数， c(sl) 是定 义在单 位圆周 上的 连 续函 数 全体， co( 51 x) 是 c (51 ) 中 在 x 点 为 。 的 连 续 函 数 全 体 ， 则 瓜 c (51 ) ( 同 构 于 兀 ( c( sl ) ) ) 的 交 不 可 约 理想 是一 个 楔形中 元素 均属 于co( 51、 好) ， 楔形外 元 素属于 c ( 51) 的 集合， 例 3. l i . 五 c ( 乎 ) 的 交 不 可 约 理 想 是 如 下 形 式 : *任 co(5 ， 2 ) ， * 任 c ( 5 ) /一、 !.、 文献!22】 引 进了 矩阵 单元的 偏 序 %马叭， 劳j 5 j 且 葱 2 了 硕士论文t月t代数 瓜。 c( sl ) 的 理 想 1 是 所 有 包 含 它 的 交 不 可 约 理 想 的 交 ， 即 是 一 个 阶 梯 状 ， 且 若 按 偏 序 关 系 有 句5 ， 鲡 !22 ， 则 门 ke r j z n ker了 . 勺0 1 1阮。 o j c l 例 3. l 2 . 无。 c ( 51 ) 的 理 想 具 有 如 下 形 式 : 、.leeeeeseseseses.wej/ * * * 0ttt 00tt 000t 0000 任 co( 5 ， x ) ， t co ( 5 ， ， ) ， * 任 c ( 5 1 ) *n八11八ilnun 矛/j.二挂.里 了.，. 它是交不可约理想j ， 尤的交， 其中 、.、.、.、了. * * * 0* 00( 5 1 x ) ， * c ( 5 1 ) 00 00 * * k ttt ott t 任 co( 5 ， ) ， * 6 c ( 5 1 ) 00t 000 一 一 推论 3. 1 . 凡是兀中的矩阵单元集， 1 是 兀。c ( 51) 的理想， 则存在极小集g二 (e ， x)t。 凡， 二任黑 ， 使得比 了 更大的 任何理想 j 均满足: 至少存在 g 中的一 个 元素 ( e ， x) ， 使 得: 二 。门ker八门瞰j. e 曰 1 1困 j 6 ) 1 0 硕士论文ta t代数 定 理3. 1 . 兀。 c(sl) 中 的交不 可约 理想是由 及中的 一 个矩阵单 元和 51中 的 一个点 共 同 决 定 的 . 也 就 是 说 其 交 不 可 约 理 想 1 和 ( 旬 ， x) 】% 凡， 二 c sl 一 一 对 应 ， 证明: 注意典型的交不可约理想是如下的一个楔形， * c co( 5 二 ) ， * c ( 5 1 ) 00 *nun一u 了了口.几、. 了.，、.百.1 我 们 固 定 瓜 中 的 矩 阵 单 元 系 统 % 乙 = 1 ， 对 于 来自 系 统 中 的 一 个 矩 阵 单 元 % 和 51 中 的一个点 好， 令1 ( eij， 劝 是天。c ( 51 ) 中 不包含 勺。 f ( x)中 任意 元素的最大 理想 ， 其中 f ( 二 ) = j f 任 c ( 5 ) ， j ( : ) 笋0 . 反过 来， 任 给 兀 c(sl) 中 的 一 个交 不可约 理 想1 ， 令 e( 刀 是。 。 1 不被 包含 在 1 中 的 矩阵 单元的 最 大 元且 好= n 玩 了 ， 这个最 大 元是由 偏 序 习j 1 勺 即 了 补j 丛 了 且 全 了 决定的， 1 是在单位圆周5 1 上恒为1 的常函数 命题3. 1 . 天是全上三角矩阵代数， c(sl) 是定义在单位圆周上的连续函数全体， 令 ， 是 兀 。 c ( 5 ， ) 中 的 .才碗边 理 想 ， f ( x ) 一 j lf 。 c ( 5 : ) 且 f (x ) 兴 。 ， ， ( e ， : ) 表 示 瓜。c ( 51) 中 不 包含 。 。f ( 劝中 任 意 元素的 最 大理 想， 则 下面 是等 价的 : ( 1 ) 1 具有 形 式1 ( e ， x ) 、 ( 2 ) 1 是n 一 本 原的 、 ( 3 ) 1 是k 4 的， ( 4 ) 1 是交 不 可约的 ; ( 5 ) 1 是到 套的 某 个区 间上 压 缩映 射的 核; 此外 ， 瓜 c ( 51) 中 的 每个理 想 是所 有 包含它 的 交不 可约 理想的 交. 证明 : “ ( 1)冷( 3 )= 假设 j 或 k 是 兀 c ( 51) 的 理 想且 1 (e ， 劝包 含j n k . 硕士论文 tat代数 下 证i( e ， x)zj 或 i( e ， x)二k . 否则 ， 存在 人 ， 几 到习 ， 对， ， 。 。fl 了 且。 。介任 k. 不妨 假设 j 门 k笋 0 ， 令 ei= 门 kerj ， 场= n ke r j ， 则由 了 ， k 是理 想可 知， e g j c j x 褚 凡 gker fl且二 崔 场 二ker 八 ， 所以 二 磷 elu 场一 n ker了 名 j 了 门 k 即 日 f 任 f ( 二 ) ， ， ， t . e 因 f 任 j n 尤 又 j n k二 1 (。 ， 二 ) ， 这 与 1 ( 。 ， 2 ) 的 定 义 矛 盾 ! 这表明 1二j 或1二k 即 i( e ， x) 是 k 4 的 ，由命题 2 . 1 知它是交不可约的 .由 定 理 3 . 1 江 3 知，交不可约理 想具有形式 双 e ， x)， 其中 。 丁 ， x 51. 由 1 (e ， 习的 定义知， 具有 形式i( e ， 劝 的理想 是交 不可约的，这就 证明了 ( 1)件( a)骨( 4 ) . 下证( 1)骨( 2 ) . 易 见 i( e ， 劝 是 某 个 套 表 示 7r 的 核 ， 这 个 套 表 示 可 以 通 过 把 瓜 c (51 ) 、侧 c 勺 。 c( sl ) 映 射 到 c ” 51 的 某 个 区 间 凡。 x 得 到 .因 此 双 e ， x) 也 是 一 个 套 本 原 理 想 .反 过 来 ， 若 1 是 一 个套 本 原理 想， 那 么它 是 某 个套 表示 二 的 核 . 显然， 要 使1 时 以 天 c(sl) ) 形成 一 个套， 必 须 将 c (5 ) 限 制 到 某 个 c (x )上 ， 天 映 到 c ” 的 某 个 区 间 上 湿然 ， 1 就 具 有 形 式 i( e ， x) .由 文 献!221 的 命 题2 2 知: ( 2 ) 朴( 孙这 就完 成了 定 理的 证明 . 妇，2 天。c(sl) 的直 和的 交不可约理想 令 通 = 天 : c ( 51 ) 。 几 c( sl ) 。 。 霖 。 c (51 ) . 其 中 爪是 从 阶 的 全 上 三 角 矩阵 代 数， 我 们固 定51中 的 一 个点 x 和一 个矩 阵单 元系 ， 引 进偏 序 %与即 了 劳夕 丛 了 且 全 i. 对 这 样 的 矩 阵 单 元 e 和 点 好 ， 令 1 (e ， x) 是 涯中 不 包 含 。 。 侧劝 中 任 意 元 素 的 最 大 理 想 ， 即 又 中 不 包 含 e f (习 中 任 意 元 素 的 所 有 理 想 的 闭 线 性 扩 张 . 因 为 瓜 1 。 爪份 心 爪中 硕士论文 tat代数 的 每 个 矩 阵 单 元 具 有 形 式 0 。 ， 二 。 沙 。 。 0 ， 其 中 护 是 瓜中 的 一 个 矩 阵 单 元 ， 易 见 i( e ， 2)= 瓜， c ( 51) 。 。 i( 砂 ， 司。 。 兀 。 。c (s 1) ， 其中 双 砂 ， x) 是 瓜 。 c(sl ) 中 对 应 于 矩 阵 单 元 沙 和 点 x的 交 不 可 约 理 想 . 定 理 3. 2 . 令 通=兀 ; 。 c(sl ) 。 几 。c( sl ) 。 瓜 、 c( sl ) ， 则 (l 万 ( e ， x)= 瓜 ， 。 c( sl) 争二 。 双 砂 ， 幻 子二 。 瓜 。 。 c( sl ) 是 涯 中 的 交 不 可 约 理 想 . (e)摊 中 的 每 个 交不可约理想都是这种形式. 证明: ( 1) 首先证明 1 (e ， 劝 是k4的， 因而由 命题 2 . 1 知它是 交不 可约的 . 假设 j ， k 是 代 数 风 中的 理想 且1 (e ， x) 包含 j 门 凡 下证双 e ， 劝zj 或i( 。 ， 劝z k . 否 则， 存在 11 ， 几任f 闭， 8. t . ， e ojlj 且 。 0五任 k. 不 妨 假设j n k务0 ， 令 ei = 门 ker 了 ， 场二 亡 名 1 j n ker l ， 则由 j ， k 是 理 想可知， 二 彭 elg 玩 jl且x 喊 场 9 玩 八 ， 所 以 二 礴 凡u 肠一 门 ker不 曰 9 了 j 几 凡 日 jf ( 二 ) ， 5 活 . e of cj nk. 又j 门 kg i( e ， x) ， 这 与双 e ， x)的 定 义矛 盾! 这 表 明 i z j 或 1 二 k 即 双 e ， 幻 是 k4的 .这 就 完 成 了 ( 1) 的 证 明 ， ( 2 ) 假设 了 是 摊 的 交不 可约 理想 . 因 为 月 是 一 个直 和， 我们 记 1 =ile几由 el* ， 其 中 每 个 毛 是 瓜 。 c (51 ) 中 的 一 个 理 想 . 如 果 两 个 或 更 多 的 寿 是 真 理 想 ， 记 为 寿 、 笋 瓜: 以 51 ) 且爪尹 凡 。 c(sl )， 硕士论文tat代数 那么我们记 1 = (，l小 。 瓜; 。 c(sl)分二 。 爪分二 。 叼门 (11 即二 。 气， 。 。 瓜。 c( sl ) 。 。 叼， 这 与 1 是 交 不 可 约 的 矛 盾 ! 因 此 ， 至 多 只 有 一 个 寿 不 等 于 全 代 数 ，我 们 记 1 = 兀 ， c(sl ) 。 。 寿 。 。 兀 。 。 c(sl ) ， 其 中 寿 是 瓜 。 c (51 ) 中 唯 一 可 能 的 真 理 想 . 下证 寿 是 交 不 可约 的 如 果 寿 不 是 交 不 可 约的 ， 我 们 记 寿=jjn 灼， 其中 寿 ， 凡是 瓜 。 c( sl ) 中 严 格 包 含 寿 的 理 想 ， 所 以 1 = ( 瓜 ， 。 c( sl ) 。 。 寿 田 。 瓜 c(sl ) )n (瓜 ， 0 c( sl ) 。 。 凡。 。 兀 。 。 c(sl ) ) ， 这又与1 是交不可约的矛盾1 因 此 寿 是 瓜。 c( sl ) 中 的 交 不 可 约 理 想 ， 由 定 理 3 3 可 知 ， 对 瓜中 的 某 个 矩 阵 单 元 沙 和51中的 某个 点x ， 我们 有寿二 i( 夕 ， 对 ， 因 此 1 =兀: c ( 51) 。 双 夕 ， x)。 瓜 c ( 51) =i( (0。 砂。 0) ， x) = 双 。 ， x) ， 其中 e = 0 。 ， 。 砂由 二。0 是丁二瓜 : 。 爪 。 。瓜 的 一 个矩阵单 元 . 定理3 :3 令 风=兀; 。 c ( 51) 。五 : 。 c ( 51) 。 瓜 。 c ( 51) ， 其中 瓜是 、x 执 的 全上 三角 矩阵 代 数， 1 是人 的 闭 双边理 想. 则下 面几 条 等价: (l)1 称 一 本 原 的 、 (2 ) j 是 k 4 的 ; (a ) 1 是交 不可 约的 ()存在 丁=天 : 。 爪 。 。天 * 中 的 矩阵 单 元。 和51中 的一 点 x ， 使 得 1 = i( 。 ， 劝= . 不 丽 仁 是只 的 理 想: 叮任 c (矛 ) 且了 恤 ) 笋 。 ， 均 有。 。 了 嗜 j 此外 ， 任给 丁 中的矩阵 单元系万 ， 由 ( 4 ) 知 ， 在a 的套本原理想与 ( 。 ， x) 。 f ， x任 51沂是丁 中的 矩阵 单元 系 之间 存 在一 一对 应. 硕士论文了 盛 t代数 证明: 定 理 3 通 的 证明 表明了 在天， c(sl) 0几 c(sl) 。兀 。 。 c(sl ) 中 的 理 想 是 k 4 的 当 且 仅 当 它 是 交 不 可 约 的 ， 且 其 形 式 是 1 (。 ， 幻 ， 其 中 e 是 丁 中 的 某 个 矩 阵 单 元和 x 51. 易 见双 e ， x) 是某 个套 表示的 核， 这 个套 表示 可以 通过 压缩 几: 五 1 o c( sl ) 。 。 天 。 c( sl ) *瓜 c(sl ) 、侧c 哟。 c(sl ) 到 。 51 的 某 个 区 间 乃 。 x 得 到 ， 其中 乃 是 c ， 的 对 应 于 。 = 0 田 。 护 。 二。 0 中 的 矩阵 单元 护的 某 个区间 ， c ( x) 是c ( 51 ) 在二 任 51点的限 制. 因 此1 ( 。 ， x) 也是 一 个套 本 原理想. 反 过来， 若 1 =ile几由 。 几是一 个套本 原理想， 那么 它是 某个套 表示二 的 核 . 如 果两 个 或更 多的 理 想是 真理 想， 记 ij : 尹 瓜: 。 c (5 ) ， 爪笋 凡， 。 c ( 5 ) ， 那么理想 j = 0 。 。 瓜， 。 c( sl ) 争二 。 0 彭 撇(的 ， 且 k= 。 争二 。 气 。 c( sl)于二 田 0 样 ker闭 因 为 二 是 一 个 套 表 示 ， 非 零 不 变 子 空 间芬 石 ) 天和而 灭 不 有 序 关 系 ， 因 此 我 们 可 以 假 设 0 尹二 ( j ) h二 二 ( k ) h . 通 过 乘以 叹刀 ， 我 们看出 0 务二 ( j z ) hg 二 ( j k ) h= 0 ， 是 个 矛 盾 ! 因 此 ， 至 多 只 有 唯 一 的 寿 是 真 的 . 于 是 1 = 瓜 : 。 c (s ， ) 。 寿 。 c (s 1) 。 。 兀 。 。 c(sl ) ， 应 用 定 理 3 3 到 元 素 不。 c (51 ) ， 我 们 得出 对 于 石 中 的 某 个 矩 阵 单 元 沙 和 51中 的 某 个 点x ， 有 寿 = i( 日 ， 二 ) . 1 5 硕士论文 少月t代数 因此， 1 = 兀 : c ( 5 ，) 。 。 1 ( 砂 ， 2 ) 。 。 瓜 、 。 c ( 5 ) = i( (0。 。砂。 田 0) ， 劝 =1 ( e ， x ) 即套本原理想都是如上构造的形式. 这就完成了 定理的证明 给定一 个 b a nac h 代数通 中的 一个闭 双边理想的一个 集合几 ， 我们 通过正式的 定 义 。 的 一 个 子 集 f 的 闭 包 歹 = 户 乙牡 “ (ker( 尸 ) ) 引 进 。 上 的 一 个 拓 扑 ， 其 中 1 = ker( f ) 是 在 集 合尸 中的 所 有理 想的交 集 ， h 以 1 ( 1) 是几 中 包 含1 的 所有理 想的 集合 . 为 确保这 个算 子 产生 一个 拓扑 ， 只 需验 证对闭 包 算子的 万 叙 r at ，sk 四 条准 则 成立. 即 空 集0 的闭 包 是 空集， ( k l ) 0 = 0 ; 且对。 中 的 任 意子 集 尸 ， g ， 我们 有 ( k z ) fz f ; (兀 3 )了 = 歹 ; ( k