（控制理论与控制工程专业论文）基于数据的非线性被控系统能控性分析.pdf

武汉科技大学 研究生学位论文创新性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下，独立进行研 究所取得的成果。除了文中已经注明引用的内容或属合作研究共同完成的 工作外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 论文作者签名： 2 , o lo ，s 、沙 研究生学位论文版权使用授权书 本论文的研究成果归武汉科技大学所有，其研究内容不得以其它单位 的名义发表。本人完全了解武汉科技大学有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向有关部门( 按照武汉科技大学关于研究生学位论文收录 工作的规定执行) 送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅， 同意学校将本论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索 论文作者签名 指导教师签名 日 期：立竺! ：；丝 武汉科技大学硕士学位论文第1 页 摘要 非线性系统的分析与控制是复杂控制理论中重要的基本问题，也是难点问题。对于非 线性系统的研究，目前还没有形成完整、系统的理论体系，已有的一些方法存在复杂性、 无层次性、准线性控制以及空间测度被破坏等方面的问题。因此，本文希望从对非线性系 统的运动空间出发，建立完整的对非线性被控系统进行能控性分析的方法。 本文提出了一种逼近基元模型，通过采样获取系统的数据样本，基于数据样本使用最 小二乘支持向量回归方法( l s - s v r ) 建立逼近基元模型，用以逼近非线性系统。并在基元空 间中定义了准工作基元、能控基元、能控域以及逼近基元空间的逼近基元水平截集能控性 等重要概念。通过逼近基元模型建立非线性被控系统的可控转移矩阵，在可控转移矩阵的 基础上，进行非线性被控系统的能控性分析。逼近基元模型将数量空间、逼近空间和符号 空间联系起来，可以对非线性被控系统能控性进行有效的分析。 关键词：非线性被控系统；逼近基元模型；逼近基元；逼近基元能控性 a b s t r a c t t h e a n a l y s i sa n dc o n t r o lo fn o n l i n e a rs y s t e m si sa ni m p o r t a n tp r o b l e mi nc o m p l e xc o n t r o l t h e o r y , b u ta l s oad i f f i c u l tp r o b l e m f o rn o n l i n e a rs y s t e m s ，t h e r ei s y e tn oc o m p l e t ea n d s y s t e m a t i ct h e o r y t h e r eh a v eb e e ns o m em e t h o d sw i t hp r o b l e m ss u c h 嬲c o m p l e x i t y , n o h i e r a r c h y , q u a s i l i n e a rc o n t r o la n ds p a c em e a s u r ed e s t r u c t i o n t h e r e f o r e ，b a s e do nt h ea n a l y s i s o fk i n e m a t i c s ，ac o m p r e h e n s i v em e t h o dw h i c hc a nb eu s e do nt h er e s e a r c ho f c o n t r o l l a b i l i t yo f n o n l i n e a rs y s t e mi se s t a b l i s h e di nt h i sd i s s e r t a t i o n am o d eo fa p p r o a c h i n ge l e m e n ti sc o n s t r u c t e di n t h i sd i s s e r t a t i o n ad a t as a m p l ei s a c q u i r e dt h r o u g hs a m p l i n g b a s e do nt h ed a t as a m p l e ，am o d e lo fa p p r o a c h i n ge l e m e n ti s e s t a b l i s h e dw i t hl s s v r ，w h i c hi su s e df o rn l ea p p r o x i m a t i o no fn o n l i n e a rs y s t e m s i nt h e e l e m e n t s p a c e ，i m p o r t a n tc o n c e p t ss u c ha sq u a s i - w o r k i n ge l e m e n t ，c o n t r o l l a b l ee l e m e n t , c o n t r o l l a b l ed o m a i na n dt h ec o n t r o l l a b i l i t yo ft h ec u ts e tf o ra p p r o x i m a t i o ne l e m e n ts p a c ea r o d e f i n e d at r a n s f e rm a t r i xi ss e tu pf o rn o n l i n e a rc o n t r o l l e ds y s t e m sb a s e do nt h ee l e m e n t m o d e lo fa p p r o a c h i n g t h ea n a l y s i so n c o n t r o l l a b i l i t yo fn o n l i n e a rs y s t e m sc a nc a r r yo u tb a s e d o nt h et r a n s f e rm a t r i x t h ee l e m e n tm o d e lo fa p p r o a c h i n g i n t e g r a t e st h eq u a n t i t ys p a c e , a p p r o x i m a t i o ns p a c ea n ds y m b o ls p a c ew h i c hh e l p sc o n d u c ta ne f f c c t i v ea n a l y s i sa n dr e s e a r c h o nt h en o n l i n e a rs y s t e m s k e yw o r d s ：n o n l i n e a rc o n t r o l l e ds y s t e m s ；m o d eo fa p p r o a c h i n ge l e m e n t ；a p p r o a c h i n ge l e m e n t ； c o n t r o l l a b i l i t yo fa p p r o a c h i n ge l e m e n t 武汉科技大学硕士学位论文第1 i i 页 目录 摘要1 a b s t r a c t i i 第一章绪论1 1 1 控制理论的发展及其面临的挑战l 1 2 非线性系统模型。l 1 3 非线性控制系统的分析方法及局限性2 1 4 选题的目的和意义。3 1 5 论文所做的主要工作4 第二章基于支持向量回归的系统辨识5 2 1 支持向量机5 2 1 1 线性可分支持向量机j 5 2 1 2 非线性可分的支持向量机。7 2 2 核函数8 2 3 最小二乘支持向量回归9 第三章非线性被控系统模型及其能控性分析1 3 3 1 基于数据建立被控系统的逼近基元模型1 3 3 1 1 被控系统逼近基元模型1 3 3 1 2 算法流程。1 4 3 2 基于系统状态空间模型建立基元转移模型1 5 3 2 1 被控系统的基元转移模型1 5 3 2 2 可控转移矩阵的结构：1 7 3 2 3 计算可控转移矩阵的方法1 7 3 2 4 合成可控转移矩阵l8 3 2 5 算法流程18 3 3 被控系统的基元能控性分析1 9 3 3 1 基元能控性定义。1 9 3 3 2 算法流程2 1 3 4 被控系统的逼近基元能控性分析2 1 3 4 1 逼近基元能控性定义。2 l 3 4 2 算法流程2 2 第四章 基于逼近基元模型的实验与分析一：2 4 4 1 逼近基元模型对实际系统的逼近实验2 4 4 1 1 实验描述2 4 4 1 2 实验分析。2 4 第1 v 页武汉科技大学硕士学位论文 4 2 基于逼近基元模型的能控性分析实验2 7 4 2 1 实验描述2 7 4 2 2 实验分析。2 8 第五章总结与展望。3 4 5 1 论文总结。3 4 5 2 下一步工作展望3 4 参考文献3 5 致谢3 8 附录攻读硕士学位期间发表的论文3 9 武汉科技大学硕士学位论文第1 页 第一章绪论 1 1 控制理论的发展及其面临的挑战 在古代，劳动人民在认识和改造自然的过程中，凭借生产实践中积累的丰富经验和对 反馈概念的直观认识，发明了许多闪烁着控制理论智慧火花的杰作。例如，我国北宋时期 天文学家苏颂、韩公廉建造的水运仪象台，就是一个按负反馈原理构成的闭环非线性自动 控制系统；1 6 8 1 年，法国物理学家、发明家巴本( d p a p i n ) 发明了用作安全调节装置的 锅炉压力调节器：1 7 6 5 年，俄国人普尔佐诺夫( i p o l z u n o v ) 发明了蒸汽锅炉水位调节 器等【1 1 。到了1 7 8 8 年，瓦特在他发明的蒸汽机上使用了离心调速器，解决了蒸汽机的速 度控制问题。这项发明引起了人们对控制技术的重视，此后人们曾试图改善调速器的准确 性，却常常导致系统产生振荡。 实践中出了问题，使得科学家们从理论上进行探索研究。控制理论的形成和发展，从 1 9 3 2 年奈奎斯特发表关于反馈放大器稳定性的经典论文开始，到现在为止已经经历了经 典控制理论发展阶段和现代控制理论阶段【3 1 。经典控制理论阶段所涉及的对象是线性单回 路系统，现代控制理论的研究重点是多变量线性系统。目前对于线性系统的分析与设计已 经形成了一套完整的理论体系，这些理论及方法在工程上得到广泛的应用，并获得了巨大 的成就。但实际的工程和社会经济系统大多为非线性系统，线性系统只是在一定得范围内 和一定程度上对系统的近似描述。因此，研究非线性系统的分析、综合和控制的非线性系 统理论亦是现代控制理论的一个重要分支。但是非线性系统的研究缺乏系统的一般性的理 论及方法，没有形成像线性系统那样完整、系统的理论体系。 1 2 非线性系统模型 我们通常把系统模型区分为外部描述和内部描述两种基本类型，所谓外部描述就是指 输入一输出描述，而状态变量描述则是系统内部描述的基本形式【3 l 】。对于集中参数的单输 入一单输出系统，它的数学模型一般为一个单变量高阶常微分方程，典型的单输入一单输出 非线性系统的数学模型可以表示为 等州等，箬，知箬，筹，知一o o ， 对于多输入一多输出的高阶非线性系统，往往难以分析得出微分方程的具体数学表达式， 一般多采用内部描述方式。非线性系统状态变量的数学描述一般写为 f 王川x 删， ( 1 2 ) l y ( f ) = h ( x ，u ，f ) ， 式( 1 2 ) 中x r ”为状态向量，u r ”为输入向量，u r 。为输出向量，t r 为时间变 第2 页武汉科技大学硕士学位论文 量，( ) r ”为b 维向量函数，j i l ( ) r 7 为，维向量函数。如果式( 1 2 ) 中的厂和h 均不 依赖于时间变量t ，则系统为定常时不变系统。 1 3 非线性控制系统的分析方法及局限性 由于非线性系统的研究缺乏系统的般性理论及方法，于是综合方法得到较大的发 展，主要有以下几种方法： 1 相平面法 相平面法是由p o i n c a r e 于1 8 8 5 年首先提出的一种求解常微分方程的图解方法。这种 方法的实质是将系统的动态过程在相平面内用运动轨迹的形式绘制成相平面图，然后根据 相平面图全局的几何特征，来判断系统所固有的动静特性。该方法主要用奇点、极限环概 念描述相平面的几何特征，并将奇点和极限环分成几种类型，但该方法不够准确仅适用于 二阶系统。现代控制理论中的状态空间分析可以看成是相平面分析方法的推广，从相平面 法还产生了现代控制理论中的变结构控制【3 】。 2 李亚普洛夫( l y a p u n o v ) 稳定性理论 李亚普洛夫稳定性理论是分析和研究非线性控制系统稳定性的经典理论，现在仍被大 家广泛采用。李亚普洛夫理论的核心时构造一个李雅普诺夫函数，学者们已经提出了一些 构造非线性系统李雅普诺夫函数的方法，如克拉索夫斯基法、变量梯度法等，但每种方法 都有其一定的针对性，还没有一个能适用于各种情况的统一构造方法【1 1 。李雅普诺夫方法 还可用来综合渐近稳定系统。 3 微分几何方法 用微分几何方法研究非线性系统是现代数学发展的结果，并在近2 0 年的非线性系统 研究中成为主题。它的内容包括基本理论和反馈设计两大部分。基本理论部分讨论了非线 性系统的状态空间描述与非线性系统其它描述部分之间的关系，证明了这几种描述在一定 条件下是等价的，并且研究了非线性系统的能控性、能观性等基本性质【3 1 。这些研究有利 于揭示非线性系统的本质特性，但像非线性系统能控性和能观性那样易于接受的条件还未 找到。对于非线性系统的反馈线性化问题，在微分几何控制理论中取得了较好的成果，已 在一些实际控制问题中得到了应用。这方面研究将w o n h a m 线性几何理论中诸如受控不变 子空间等概念及其在线性解耦控制中的结果，推广到了非线性控制系统中，例如局部受控 不变分布、能控性分布及其计算、干扰解耦和无交互作用控制问题可解条件等，在形式上 与w o n h a m 的结果是一致的。 4 微分代数方法 1 9 8 6 年i s i d o r i 发现了微分几何控制理论中的一些病态问题，导致了微分代数控制 理论的产生。微分代数控制理论从微分代数角度研究了非线性系统可逆性和动态反馈设计 问题，该理论使用的最重要的概念是非线性系统的秩p 的概念，并得出秩与非线性可逆 的关系；将动态扩展算法推广到非线性情形，解决了仿射非线性系统的动态反馈解耦【3 】。 武汉科技大学硕士学位论文第3 页 但是微分代数方法和微分几何方法一样存在相同的缺点，它们使用的数学工具较抽象，同 时，这两种方法也日益显现出一些理论上的局限性。这两种方法试图将线性系统的理论结 果照搬过来，遇到了计算上的困难，可以这样做的非线性系统只是特定的一类。 5 变结构控制理论 变结构控制严格来讲应该称为具有滑动模态的变结构控制，是目前非线性控制系统较 口 普遍的一种控制方法，所谓变结构控制系统就是对于系统x = f ( x ，“，f ) ，x r 4u r ”在工 作时可以根据某种规则，在若干个控制器之间进行切换，实现动态性能的改善【3 】。这是一 种存在跳变的不连续系统，即使控制对象和各个控制器都是线性的，整个系统本质上讲也 是一种非线性系统f 2 】。构造变结构控制器的核心是滑动模态的设计，即切换函数的选择算 法。对于线性控制对象，滑动模态的设计已有了比较完善的结果，对于某些非线性控制对 象，也提出了一些控制方法。滑动模态控制有许多优点：例如只要切面是可达的，一旦系 统的相点到达切换面后，系统的运行方式就只决定于切换面的方程，与系统原来的参数无 关；滑动模态控制可以实现对任一连续变化的输入信号的跟踪；滑动模块控制对外部干扰 具有较强的鲁棒性。滑动模态控制虽然有许多优点，但也存在一些不足之处，主要是会产 生抖振。此外，为实现滑动模态控制，必须得到系统全部状态变量的信息，这在许多情况 下是很困难的。 6 混沌动力学方法 混沌运动是非线性系统的一种比较普遍的运动，成为当代科学研究的前沿性课题。近 几年在非线性动力学和非线性系统学主题下，出现了大量关于分叉、混沌研究的文献。主 要有关于全局分叉、同宿和异宿轨道分析、奇异和群论分析、胞映射、插值胞映射等方面 的研究分叉和混沌的研究以动力系统理论为数学基础，涉及的数学工具艰深1 3 】 1 4 选题的目的和意义 如前所述，对于非线性系统的研究，目前还没有形成完整、系统的理论体系。已有的 一些方法缺乏对能控性、性能指标的完整分析、设计与综合。如微分代数方法和微分几何 方法具有共同的缺点，就是它们使用的数学工具较抽象。使得这两种方法存在计算上的困 难，而且只能对一些特定的非线性系统进行分析。神经网络在逼近非线性函数问题上，现 有的理论只解决了存在性问题，对不同的对象，如何选择合适的神经网络结构，尚处于经 验阶段；在学习算法方面，现有算法的收敛都很慢；就控制系统方面而言，对于非线性对 象的神经网络控制系统的鲁棒性、鲁棒辨识等均是有待研究的课题。模糊控制器的设计大 多数是通过估计、尝试完成的，因而缺少完整系统的步骤和有效指导的调试过程。符号空 间中的自动机理论、p e t r i 网等，只能用于系统的分析，而缺乏设计与综合。因此建立一 套完整的分析、设计和综合的方法，对于非线性系统的研究具有非常重要的意义。 本文是通过采样获取系统的数据样本，要求这些数据尽量涵盖系统的各个工作状态， 且具有较大的差异性。然后基于数据样本使用支持向量回归的系统辨识方法建立逼近基元 模型，用以逼近非线性系统模型。有了逼近基元模型就可以建立被控系统的可控转移矩阵， 第4 页武汉科技大学硕士学位论文 在可控转移矩阵的基础上，我们可以进行非线性被控系统的能控性分析。逼近基元模型将 数量空间、逼近空间和符号空间联系起来，可以对非线性被控系统进行动力学和能控性的 分析。 1 5 论文所做的主要工作 论文的第一章介绍控制理论的发展及挑战、非线性控制系统的分析方法及其局限性、 选题的意义和论文要完成的主要工作。第二章介绍了基于支持向量回归的系统辨识方法， 支持向量机、核方法的一些概念。第三章着重研究基于数据建立系统的状态空间模型、基 于受控系统基元模型建立基元空间转移模型、合成可控转移矩阵、被控系统的基元能控性 分析及逼近基元能控性分析。第四章主要进行算法仿真。第五章是总结与展望。 武汉科技大学硕士学位论文第5 页 第二章基于支持向量回归的系统辨识 2 1 支持向量机 人类智慧的一个重要方面是实例学习的能力，通过对已知事实的分析得出一般规律， 预测不能直接观察的事实。基于数据的机器学习是现代智能技术中的重要方面，其本质就 是对样本数据进行训练寻找统计规律，使用这些规律对未来数据进行预测。迄今为止，关 于机器学习还没有一种被共同接受的理论框架，关于实现方法大致可以分为三种：经典的 ( 参数) 统计估计方法、经验非线性方法、统计学习理论。支持向量机( s v m ) 方法是建立 在统计学习理论( s l t ) 的v c 维理论和结构风险最小原理基础上的，根据有限的样本信息在 模型的复杂性( 即对特定训练样本的学习精度) 和学习能力( 即无错误地识别任意样本的能 力) 之间寻求最佳折衷，以期获得最好的泛化能力。s 方法的几个主要优点是：它是专 门针对有限样本情况的，其目标是得到现有信息下的最优解而不仅仅是样本数趋于无穷大 时的最优值；算法最终将转化成为一个二次型寻优问题，从理论上说，得到的将是全局最 优点，解决了在n n 方法中无法避免的局部极值问题；算法将实际问题通过非线性变换转 换到高维的特征空间，在高维空间中构造线性判别函数来实现原空间中的非线性判别函 数；所定义的特殊优化函数的性质能保证机器有较好的泛化能力，同时它巧妙地解决了维 数问题，其算法复杂度与样本维数无关。 2 1 1 线性可分支持向量机 所谓线性可分的分类问题是指：对n 维空间的m 个数据样本 ( 工。，y 。) ，( x ：，y ：) ，( h ，y ) ，其中玉为刀维空间的数据样本，只e - 1 ，1 ) 为数据样本的类别， 取值为一1 属于i 类，为1 则属于i i 类。存在并求解n 维空间内超平面的分类面 ( 力= 矿工一b = 0 ， ( 2 1 ) 使得式( 2 2 ) 关系成立。 一= _ i 1 嬲主0 麓淼 汜2 ) 对线性分类问题，模式识别领域已有充分研究，得到了许多有效的算法。但在实际中， 传统的线性分类算法，如模式识别的分类学习方法、多层感知器、b p 网、r b f 网等，还存 在如下问题：分类面仅考虑了对现有样本的分类面的存在与求解；未考虑其泛化能力，因 此泛化能力较弱；分类面不唯一；对有污染的或近似线性分类的数据样本，可能严格线性 分类意义下的分类面不存在；对海量数据，求解分类面的时间代价大。因此，发展泛化能 力强，鲁棒性佳，求解的代价小的新的分类算法得到重视。 基于统计学习理论，针对传统分类算法中存在的分类面的问题发展了s 。s v m 对于 第6 页武汉科技大学硕士学位论文 线性分类的问题描述为：对，l 维空间的m 个数据样本( ，咒) ，( x 2 ，儿) ，( ，虼) ，存在并求 解刀维空间内满足条件：经验风险最小( 错分最少) 、泛化能力最大( 空白最大) 的最优分类 面厂( x ) = 。x b = 0 。所谓泛化能力最大，即所找到的分类面，应使得它能够尽可能多 的将两类数据点正确的分开，同时使分开的两类数据点距离分类面最远。如图2 1 所示的 情况( b ) 就比情况( a ) 与( c ) 的泛化能力强，其原因在于其分界面与两类样本中的最 近邻的样本的距离最大。 图2 1 分类面示意图 + 西- = l + 2 = o 如图2 1 中( b ) 所示，任一样本与分界面的距离为 厂= ( w r x + b ) 1 1w i l ， ( 2 3 ) 因此，当选择分类的开关函数为 毗两眺，= 蕊1 ， 仫4 ， 则分界面与近邻的样本距离为，= l 1 1w l f 。因此，s v m 所求的最优分界面可表示为如式 ( 2 5 ) 的目标函数的优化问题， 一2警minii，iimax w l i z (25ll础一w l l 玛l n 互w l | 心副 相应的约束条件为 咒g ( 五) = 咒( 五一6 ) 1 f = l ，2 ，以， ( 2 6 ) s v m 的最优分界面的优化函数为二次型，约束条件是线性的，因此是典型的二次规划问题， 可由拉格朗日乘子法求解。 对于许多实际问题，前面讲的最优分类面的条件式( 2 6 ) 过于严格。对存在数据污 武汉科技大学硕士学位论文第7 页 染、近似线性分类的情况，可能并不存在一个最优的线性分类面。此外，对于海量数据， 求解最优分类面的时间代价大。因此，需要发展允许有一定范围内的错分，又有较大分界 域的最优分类面。实际上是在分类准确性与泛化特性上寻求一个平衡点。通过引入松弛变 量磊，s v m 分类问题可以表示为如下优化问题， m i n 去| 1 w l l 2 + c 磊 c o( 2 7 ) w ，b ，磊二i = l 相应的约束条件为 此g ( ) 2 乃( 薯一6 ) 1 一磊 f = 1 ，2 ，刀， ( 2 8 ) 磊0 f = l ，2 ，玎 其中参数c 是误差和边界的折衷参数，c 越大，表示分类越严格，允许错分的样本受到的 限制越大。 2 1 2 非线性可分的支持向量机 非线性分类问题一直是分类领域的困难问题，主要的困难在于构造非线性的分类判别 函数忉。实际上，非线性可分的数据样本有可能在适当的函数变换下在高维空间有可能转 化为可分。因此对非线性问题，可以把样本x 映射到某个高维特征空间，并在日中使用 线性分类器。设实函数( z ) ：r “一h 为向量工对应的特征空间日中的特征向量。将特征 向量( x ) 代替输入向量工，则可以得到相应的分类函数与非线性分类的广义最优分类的目 标函数如式( 2 9 ) ， g ( 功= s 盟 q 以【r ( 五) 矽( 力】+ 埘 ! 霉i ( 2 9 ) 三= q 一去q q 以乃 矽r ( 五) 矽( _ ) 】 it ，j 相应的函数优化的约束条件为 军咒= 。( 2 1 0 ) 0 c 由式( 2 9 ) 可以看出，分类函数与优化函数中只是涉及样本工的特征向量( 石) 之间的内 积，而不需要直接求解出特征向量( x ) 。因此，实际上在高维的特征空间日中只需要进 行特征向量矽( x ) 内积运算，而这种内积运算是可以用原空间中的函数实现的，甚至不需 要知道变换( x ) 的形式。 第8 页武汉科技大学硕士学位论文 基于核函数k ( t ，x j ) ，非线性s v m 分类函数与广义最优分类的目标函数为 g ( z ) = s 印 只k ( 薯，x ) + 6 ) 闻 ， ( 2 1 1 ) = 吒一去吒吩咒乃足( 薯，一) i - i j 因此，非线性分类的s v m 方法最后集中到核函数的选取上。 2 2 核函数 对非线性问题，s v m 首先通过用内积函数定义的非线性变换将输入空间变换到一个高 纬空间，在这个空间求广义最优分类面，这里根据不同的内积核函数将形成不同的算法。 能选作s v m 方法的核函数k ( 毛，x ，) 需满足如下条件 k ( 毛，x j ) = k ( x j ，薯) ， k 2 ( 毛，) k ( ，x j ) k ( x j ，x j ) ， ( 2 1 2 ) ，弘( 西，x j ) f ( x ，) f ( x j ) d x f l x j o w 厶( 力， 根据上述条件，构造核函数的方法有： k ( x t ，x ，) = # 擞， b 0 ， k ( 而，x ，) = e x p 一l lx t x ，i | 2 o r 2 】， k ( ，z ，) = f 2 ( 薯) 厂( x ，) ， 足( 薯，x ，) = 墨( 毛，工，) + k ( 丐，x j ) ， ( 2 1 3 ) k ( 五，x ，) = a k , “，z ，) 口 0 ， k ( 五，石，) = e x p k , ( 薯，工，) 】， k ( 薯，x j ) = 墨( 而，x j ) ( 薯，t ) 。 常用的核函数有：线性类核函数k ( 工，玉) = x r x i 、多项式核函数k ( 工，五) = ( 石r 而+ 1 ) d 、径向 基函数k ( x ，薯) = e x p 一l ix - x , i j 2 舾2 】、多层感知机核函数采用s i g m o i d 函数 k ( x ，薯) = t a n h ( b , x r 毛+ b o 、动态核函数。在应用核函数法时，一般不需要求出核函数 k ( 五，x ，) 所对应的特征变换函数矽( x ) 。实际上，对许多实用的核函数，也难于求出对应的 特征函数。m e r c e r 定理给出了核函数足( ，x ，) 所对应的特征变换函数痧( x ) 的存在性。 m e r c e r 定理：要保证厶下对称的核函数k ( x ，z ) 能展开成 武汉科技大学硕士学位论文第9 页 k ( x ，z ) = 甲。( x ) 甲。( z ) ， ( 2 1 4 ) 量暑l 其中甲。( x ) 为一组正交向量基函数，充分必要条件为对所有非恒为o 的厶函数f ( x ) ，式 ( 2 1 5 ) 成立。 j 卜( 五z 矿( 曲( z ) 出沈o v 厶( x ) ( 2 1 5 ) 核函数k ( 蕾，x ，) 的实质可以认为是对输入的样本进行相似性的度量。 2 3 最小二乘支持向量回归 回归分析是建模及参数估计的一种重要的方法，在许多领域有着重要的应用。传统的 回归分析是针对建模的不同要求，建立使回归分析误差极小的目标函数【7 1 。一般这个误差 函数定义为对样本数据的拟合误差的极小化，如拟合误差的平方和极小化。这样定义的回 归目标函数及其给出的优化求解方法( 回归分析方法) 带来的一个问题是所建立的模型鲁 棒性差，对噪声敏感。此外，对于非线性回归，传统的回归分析存在一个结构建模的问题。 针对传统回归分析的局限性，基于s v m 的思想，提出一种新的具有良好鲁棒性的回归分析 方洳支持向量回归法。支持向量回归的主要思想是：核函数的非线性回归逼近、特征空 间中的线性回归、误差函数是g 不敏感损失函数、误差小于s 的情况被忽略【1 5 l 。传统最小 二乘回归分析与s v r 所定义的回归目标函数分别如图2 2 中的( a ) 和( b ) 。 l ( a ) j l 叠。 ( b ) 图2 2 传统l s 回归分析与s v r 所定义的回归目标函数 传统最d , - 乘回归分析，回归函数如图2 3 所示。对于基于占不敏感函数的支持向量 回归分析，回归函数如图2 4 所示。 第1 0 页武汉科技大学硕士学位论文 图2 3 传统最小二乘回归函数 图2 4g 不敏感函数的支持向量回归函数 对于一组数据样本“，恐，吒) 和目标值 “，“：，) ，做s 不敏感支持向量回归。优 化问题为 约束条件为 m i n l 1 1 w i l 2 + c 窆i = l ( 磊+ ) ， ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 其中c 是控制误差影响的参数。 和支持向量机一样，支持向量回归的优化问题可以使用如式( 2 1 8 ) 所示的拉格朗日 方法解决。 每等 占 占0q 组邳 击坼等 一 1矿扣观 以验叫矿缶 坼矿 武汉科技大学硕士学位论文第1 1 页 l ：! w r w + c 2 i = l ( 毒+ 等) 一 i = li = l o c i b + 考i y i + w r x i + 砩 西( s + 等+ 乃一而- b ) 一( 仍磊+ 劣等) i = 1 其中q ，西，砀，有为拉格朗日乘子，满足q ，西，仇，才0 。 q ，q ，仇，仍2 o k u h n - t u c k e r 条件得出式( 2 1 9 ) ， v 。= w - - ( q 一西) 五= o 由式( 2 1 9 ) 可得 只要确定q 中，有 o l i o b = ( q 一西) = 0 z 一、- i7 o u o 毒, = c q 一仇= 0 乩f a = c 一诫一贰= q q oq ( 占+ 毒一乃+ 矿而+ 6 ) = o 彳o 西( s + 等+ 乃一而- b ) - - o 7 7 f o 玩磊= 0 试q 试= 0 w = ( q 一西k ( q 一西) = oo c q ( s + 毒一咒+ 矿毛+ 6 ) = o 西( g + 等+ 乃一矿而一6 ) = o ( 2 1 8 ) 根据拉格朗日松弛法的 仍o ，鸬磊= o ，有o ，矿占= o ，c q 一仍= o ，c 一西一才= o ， 三：1 2 便可解出w ，b ，磊，占，7 ：f ，芴。 ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 将上述条件代入拉格朗日函数l 厂w s ( q + 西) 一( g 一西) 毛+ 6 ( q 一西) i = li = 1i = l + 6 ( q 一西川+ ( c - a , 一研蟠+ ( c 一西一贯茸 i = 1i = lf = l ( 2 2 5 ) 其中w ，b ，专，r i ，斫可根据，z 计算出来，即优化变量只有q 和西。因此， 支持向量机广义最优分类面的优化目标函数可变换为如下对偶函数， 第1 2 页武汉科技大学硕士学位论文 三= 一g 军( q + z ) + 莩乃( 哆一西) 一三否( q z ) ( 口，一口：) # _ ( 2 2 6 ) 相应的约束条件为 ( q 一西) = o o co a c ， f 求解上述问题后得到的最优回归函数是 y = w r x + b = 主( q 一引x ；x + b ， 1 = 1 式( 2 2 8 ) 中的求和实际上只对支持向量进行。 ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 武汉科技大学硕士学位论文 第1 3 页 第三章非线性被控系统模型及其能控性分析 3 1 基于数据建立被控系统的逼近基兀模型 建立系统的数学模型是对系统进行分析和综合的基础，非线性系统建模一直是非线性 问题研究的一个难点。本文提出了一种基于数据建立的系统状态空间模型，即逼近基元模 型，用来逼近实际的非线性系统。 3 1 1 被控系统逼近基元模型 对于个数据点( ，”。；x k + 。) 使用支持向量回归算法构建支持向量个数为n s 的回归函 数，即系统模型： 胁 f 研( 训t ) y = 毛+ = 4 妒( 五，u k ) = 【4 如】l i i = 形缈( ，u k ) ， ( 3 1 ) 扣1 1 9 m , ( x k ，u k ) j 其中仍( 黾，畋) 选择具有良好逼近能力的高斯径向基函数， 砒= 哪h 矧2 斛 慨2 ) 系统模型的构造涉及基元中心的确定、逼近基元函数( 高斯径向基函数) 的感受野呸的 确定、基元模型的参数4 的辨识。 给定数据样本集眠，“t ；以+ _ e 尺”，x k + l r m , “t r d , k = 1 ，2 ，) 构造式( 3 1 ) ， 使其结构风险尺懈驴) = 驴) + 驴) 最小。根据支持向量回归理论，最小优化问题等 价于式( 3 3 ) 的优化问题。 m i l l l s v r = 丢芝0 0 2 + 等羔l k 一形伊( t ，心) 1 1 2 ( 3 3 ) 约束条件为 - w o ( x , ，) i | g + 参 磊o ，i = 1 ，n ( 3 4 ) 式( 3 3 ) 中的形= ( w ，w 。) ，毫的列向量，y i = ( 咒, 19 9 y i ，。) r ，c 是控制模型对 样本的逼近能力和对非样本的泛化能力的一个平衡参数。 在所有样本集敝。，“。；屯+ _ 尺辨，x 川r ”，“。r d , k = 1 ，2 ，) 中，随机挑选胁 第1 4 页武汉科技大学硕士学位论文 ( 3 5 ) 中的丘s 最小。 k = i 1 乙mj i 一0 2 + c一缈( 吒，) 0 2 = 昙芝j | m0 2 + i c 乙n m0 几，一妒( 吒，) 2 其中：以为列向量y 的第f 个样本，乃为列向量咒的第维，m 是的列向量， | - 仍( , h k ) 伊( 吒, u k ) = l ；l ， ( 3 6 ) 【- ( t ，u k ) j 帆蛔m 二私2 o 7 ， 对式( 3 5 ) 求导，则有 器= ( ，+ c 姜地以m 批) 卜c 鼽如川= o ， 8 ， 嵋= c lj + c 妒( ，切r ( 五，) i 儿，( 以，心) 。 。( 3 9 ) ， 胁、一1 詹 = ii c + 缈( 吒，切r ( 吒，心) l y k 。，伊( 赡，) 构造s 不敏感带i 队一聊k ，翊 占的样本组成新的支持向 量集；不满足的样本组成非支持向量集。 从新的支持向量集中选取胁个样本作为新的工作集；剩余样本和非支持向量集 组成非工作集。 步骤8 ：判断两次w 是否相等，若相等则停止计算，w 即为所求的解，否则跳回到步骤5 。 3 2 。基于系统状态空间模型建立基元转移模型 3 2 1 被控系统的基元转移模型 上一节建, - o r 起了系统的状态空间模型，h p 逼近基元模型 x ( 七+ 1 ) = s w , l l4 仍 x ( 七) ，u ( 尼) ， ( 3 1 0 ) 其中x ( 七) 表示时刻后的系统状态向量，u ( 七) 为控制向量， i 为基元绣的中心的状态向 小瓤纠一h 捌捌例； 慨 仍 x ( 七) ，u ) 为系统在七时刻的状态值隶属于逼近基元力的感受野( 范围) q 的程度。 由逼近基元模型可以建立如下系统在基元空间的状态转移模型( 基元空间动力学模 型) 基元转移模型： 矽( ，+ 1 ) = m ti - - 。 m zi - ： 。 m 誓i - 胁 ) ( ，) ，( 3 1 2 ) m = m 。i 。 。 m ：l 。： 。 m 胁i 胁 ) ，i = 1 ，n s 其中： ( ，) = 红( ，) ，谚( ，) ，妣( ，) ，办( ，) 2 ， ( 3 1 3 ) 【m l = 以。 u ) 。 o ， ( 3 1 4 ) 办( ，) = ：圈二三，=，商，r，cc， c ：；s ；， 第1 6 页武汉科技大学硕士学位论文 mi 。= 磊。 吩 。正。 磊：。 吩 。以。 f j ) 4 胁+ ，。 吩 。 破。 吩 。以。 ) 岛：。 啊 。以。 疋胁+ 。 吩 。以。 氏+ 。 吩 。以。 氏+ 。：。 珥) 。 氏+ ，胁+ 。 坼 。以。 ) ( 3 1 6 ) 这里，谚( ，) o ，1 ) 为系统状态在第，步转移后处于基元谚的强感受野q ，可能性，逼近基 元织的感受野q ，如图3 1 所示，其定义为 q ，= ： l 仍c x ，u ，纺c x ，u ) ，v x r ”，v u 尺”，b 7 ，) 。 c 3 - 7 ， 图3 1 逼近基兀蜃受野不葸图 需要特别指出的是逼近基元力为论域外逼近基元，也就是上图所示方框之外的区域都看 作论域外逼近基元九的强感受野q j ；向量( ，) 表示系统在基元空间中第，步转移之后的 状态；矩阵m 为基元转移矩阵，描述了系统在基元空间的状态转移特性：【m l 表示系统 状态由基元办在一步之内( ，专r + 1 ) 转移到基元办的可能性屯、控制策略、代价厶 和转移时间0 ，而mi 啦实际上是一个在相同控制量u ，作用下，每个基元一步转移的路径 可能性万、控制策略u ，、代价，和转移时间t 的记录表，需要说明的是当系统状态进入逼 近基元九的强感受野q d 后，再讨论系统转移无意义，因为，此时实际系统可能已经崩溃， 于是由基元九转移到任何基元的可能性不存在( 包括自身) ，即 【肘】耐屯。u 耐) 。厶。 t 耐 - - e o 。 u 。 ) ，f = 1 ，n s + l ， 从某种意义上说，基元丸可以看成发散基元或不稳定基元；定义合成算子。可表示为式 ( 3 18