（基础数学专业论文）双曲平面h21上预定高斯曲率和正全曲率的共形形变.pdf

摘要 设h 2 ( - 1 ) = ( b ，g ) 是具常截面曲率k = 一1 的双曲平面，其中b = ( z ，y ) r 2 ：z 2 + 可2 0 和常数c 0 ，使对于到一个固定点0 的测地距离萄效r ( 茹) = d i s t ( o ，x ) 成 立幽号兰a 则对于每一个a ( 2 ，0 ) ，都有个e 2 一函数“，满足 共形形变度量参= e 2 ”g 的高斯曲率为预定函数( 茁) ，共形形变度量的全曲 率满足r k d v o l y = 一2 丌a 关键调：高斯曲率；双曲平面；非线性椭圆型方程；加权s o b o l e v 空间；e u l e r - l a g r a n g e 方程；临界点 2 a b s t r a c t g i v e nah y p e r b o l i cp l a n e 日2 ( - i ) = ( b ，g ) ，w h o s es e c t i o n a lc u r v a t u r e i s - 1 , w h e r eb = p ，y ) 冗2 ：z 2 + 可2 0 ，g o , s u c ht h a t ) g ( = ) l r t m 0 ，使成立 s 1 + 。8 q 5 l j 棼) l 如 0 和常数c 0 ，使对于到固定点0 的距离函数r ( 。) 成立l 丝i 芝# 生c 则对于每一个口( 一2 ，0 ) ，都有一个俨一解“，使得共形度量蚕= 驴。g 的 高斯曲率为预定的函数k ( 茁) ，共形度量的全曲率满足fk d a = 一2 7 r a 5 第二节一些预备知识 首先介绍一下双曲平面h 2 ( 一1 ) 日2 ( 一1 ) 是一个完备单连通具有常数截面 曲率一1 的黎曼流形，它的p o i n c a r 模型是兄2 中的单位圆盘b 2 = ( z ，y ) 磁l 霉2 + 苕2 1 ) ，对应的度量是9 = 警譬弊 为建立日2 ( - 1 ) 上的测地极坐标系，取球坐标得tg = ( ，y ) = 加， 其中p 2 = 。2 + ”2 ，7 = ( 钆 7 2 ) s 1 ，令p = t a n h ；，硼= i d 叶i ，则有g = 型毫榉= d r 2 + s i n h 2 r d 0 2 即h 2 ( 一1 ) = ( 日2 ，g = 咖2 + s i n h 2 r d 8 2 ) ，其 中( r ，口) d = ( r ，e ) l o r + o 。，0 e 1 时，h ( r ) = r - 1 1 s i n h - 1r 令咒 7 表示工2 0 。一函数的h i l b e r t 空间，其范数定义如下： 备= 吁忆+ 删各国 o 。 ( 2 1 ) 其中l 2 ( g ) 的体积元为咖( 口) = s i n hr d r d o ，l 2c y ) 的俸积元为咖( 勐= 愚( r ) s i n hr d r d 口 由此易见，7 - 中包含了常数并且u 卜j 牡舡( 茸) 是饨上的连续线性泛 函，因此霄= 札咒i ，u 缸( 鳓= o ) 是7 t 的一个闭子集 以后我们约定c 或c 代表不同的常数接下来我们证明一个引理： 引理2 1 ( t r u d i n g e r 不等式) ：若卢 v o 垆( o ，d i s t ( o ，嚣) ) ) 其中b ( o ，d i s t ( o ，z ) ) 表示以0 为中心，以d i s t ( o ，) 为半径的测地圆盘 显然，u 是关于0 径向对称并且关于d i s t ( o ，x ) 是单调非增的函数且满足 y d 咕如：t ( 茹) t ) 一v d 百 z ：矿( 茹) 味另外，对称化函数具有较原函数小 的d i r i c h l e t 范数，即 m v 矿；( ；) si i i v 铲i i i l ：( ；) ( 2 2 ) 所以不妨假定乱= 批( r ) 且川即 l 。回1 又因为， 洲：= 国= i 即 2 咖( 功 = ( 高c 函斋c 别汹州m 炒硼 = ( 筹n 志c 剐汹咖胁硼 = v 9 u 眦：( 9 )( 2 3 ) 故d i r i c h l e t 范数是一个共形不变量以后用 i v u l l 2 。表示可弘吧。或 l i l y g u 忆( 9 ) 令鲫( ) = 以孔( r ) ，使得t 妣f f 弘( 曲= f i v “忆2 ( g ) 1 叫良嘲( 筹) 2 ( 裳) 2 出 慨u 慨圹2 丌+ 八o 。- 蕊a u - ) 2 s i n h ，d r 慨u 慨卯2 2 丌l 蕊) s r d r 0 、 7 所以： 车：s i n h r 面2 8 1 n n ” 从而： t _ 1 0 9 ( t 缸h ；) ，r = l o g ( 棚t h ；) ，叫( t ) = 饬”( r ) 显见i 当r _ + 0 日, - j - ，t 斗一o o ；当r 一q - o o 时，t 叶0 要证明引理2 1 ，仅番证明 ，e ( r ) 士d t 石c ：g ( 2 4 ) 因为 j 上m ) 士如 一j 赫+ c 墨丁南。o ， 【 卿当。+ 啪 ( 2 5 ) 婀龄以牡志坤) 玉， ( r ( ) ) 鑫瓦出 一 u 则易见fp ( 螂矗= 1 且 0 + 丰 z 觯) 吣) 出= c7 吣) ( s i n h r ) 嘶) 把c 厂u 毗( 蓟= o w u 0 利用s c h w a r z 不等式及其 | 妣 k ( 出) 1 有： ( 弘02 小刊呦：外刊啪外叫协e ， 即： 一坤一s 叫( t ) 一( s ) l t s l ；( 2 7 ) 在( 2 7 ) 两边同乘以p ( 8 ) d s 积分并利用l t s j 壬 + i s l 壬得 叫( t ) 2 ( zl t - s ；p ( s ) d s ) 2 + c 。其中c 。不依赖于 c 。s ， 义凼为声 4 7 r ，故 0e 帆忡，志出s 芬如蕊1 比+ m ，壶出 。 j 厂e 如2 附) 志出s cj 厂毋叫蕊比+ c m ) 壶出 。 推论2 2 ：若芦 d ，则有紧嵌入：群q 础 证明：因为： 训2 掣嵩拶( 1 + 一跳 到熹壬) 5 ( 1 + r ) 脚i 眺2 。 = 故有嵌入：彰ch i 下面证明嵌入是紧的即证明中的一个闭的单位球，映到霹中是霹 的一个紧集 设b r = 。h 2 i d i s t ( o ，茁) = r ( z ) r ) ，并设 矧悱 ：湍盖 是一个c ”函数 令a 是彰中的一个序列，且n 厶 l h s1 因h ；是一h i l b e r 乞空间， 而h i l b e r t 空间是一个自反空间在良麦叠间中，有界性和弱紧性是等价的， 所以可从厶中抽出一个子序列( 仍记为厶) 在h 。i 中弱收敛于，巧， 并且州j 1 ， 记 = x r 厶+ ( 1 一x r ) ，n 因为： 触，一c 。三，i d k ( x r a ) 1 2 毒盎州9 ) b 2 r0 皱j 0 ，则有 i 未- 一”c ( 叩) v ”眦： ( 2 1 1 ) 特别地，若 霄，则 ：c ( ) 。怖 ( 2 1 2 ) 证明t 令u = i i l v v l l l u ，则l i l w l l i 1 由此要证明引理成立，仅器证明 暂t 一”c ( 叼) 成立 由( 2 2 ) 和( 2 3 ) ，不妨设“如) = u ( r ) 是对称化函数；且令叫( t ) 就是引理2 2 中的训( t ) 利用( 2 8 ) 有； 崛2 三f u 2 + l s + t n r h r 、1 + r 。2 。2 r 咖枷 c 叫2 万藉壶出 = c ，2 矸面知壶出 = c 舻矿面再去酾赤出 一o 。 一 + c ”2 万研品士出 特别取叩= ；，则有 知( ；) c ( s ) v u 慨 引理2 5 ：若0 0 都成立其次由引理2 3 得到：若 o 一1 ，则刎cc “( 日2 ) ，其中0 q s 一1 - 证明；由引理2 3 的证明过程得到； l i ) r ，i l w “a ( b 2 r ) 墨( k l l ，l l 丑f 从而有嵌入：研c 彬印( 上i 2 矗) ，又由s o b o l e v 空间中的嵌入定理 w s ，2 ( b 2 丘) l + 俨( 玩r ) 1 口+ 1 8 可知： 研c c 。( 玩r ) 1 o + 1 s 又因为函数的h s l d e r 连续性是局部性质，所以研c c 。( 日2 ) 1 4 第三节定理的证明 本节将利用泛函的临界点理论来证明定理1 2 定理1 2 的证明：令“= t 7 2 l o g e o s h ；，因为： 喇o s c 吼沪南去( 厄丽科2 l o g e o s h 2 ) ) =上旦(sinhr(2logcoshsinhro r2 l o g ；) ) = 1 一1 8 m 叶 引叫 所以方程( 1 2 ) 有c 。- 解当且仅当 a g w + k ( 嚣c 0 8 h 与尹= o ( 3 1 ) 有c 2 一解 对于固定的q ；时， w 0 = c y l o g t a n h ，贞! i ( 3 1 ) 有g 2 一解就等价于 a g u + k ( z ) c o s h 互r - 2 w e 。2 u = 一岛叫。 ( 3 。2 ) 有c 2 一解 下面令露= k ( x ) c o s h 一4 ；e 2 m ，由k 有正值点，知蔚( ) 有正值点；且 j 矗1 押e r ；时，= 0 1 l p ，有紧致支集，由此方程( 3 2 ) 可 记为。 a 9 u + 露e 2 ”= ， ( 3 3 ) 由g r e e n 公式得： m 川们一删f a a w o d l - t = 一事- 6 7 、i 埘n h l 硼 = 一哆驾掣k 埘m 硼 下面在7 - t 。上定义一个连续泛函： f ( u ) = ；i v u l 2 + ，u 咖o ) ( 3 4 ) 其中 饨= ue 7 t i 蟊 ，e 2 矿d 肛。，= 一z 丌a ) 因为d 0 ，耳( 茁) 有正值点，故“。非空 定理3 1 。若- 2 a 一2 丌n 即n 一2 下面令咒。是咒。中趋于f 在定义域w 。上的下界的序列，记u j = 勺+ 吩，其中q 为常数，吩7 - 因f ( ) 是有界的，故v i i i l t 0 。使对于到固定点0 的距离函数r ( z ) 成立 幽号￥生sc ，则对于每一个o l ( 一2 ，0 ) ，方程( 1 2 ) 都有一个c 2 一解u ， 而且使得h 2 ( - 1 ) 的共形度量的全曲率满足，k d a = 一2 ，r a 洼记2 ：从定理1 2 我们可以看到，当有幽j 些c 成立时。方程有无穷 多个解翻译成几何的语言为，存在无穷多个度量都以k ( x ) 作为其g a u s s 曲 率这是由参数口造成的 注记3t 参数o 的取值范围( 2 , 0 ) 是由我们的方法所决定的不同的方法a 可能有不同的取值范围 注记4 ：我们求解方程时，要求泛函( 3 4 ) 的定义域为咒。，这是解存在的必 要条件即 趸( 茹) e 2 u d p ( 9 ) = 一2 7 r 口 ( 4 1 ) 蔷2 又因为t 蟊= k ( 。) c o s h - 4 e a “； u = t o 一 t o o 可得： fk ( 岳) c o s h 。4 ( ；) e 2 w d d ( g ) = 砌。 ( 4 2 ) 日。 再由叫= 钍+ 2 1 0 9 c o s h ；可得； fk ( z ) e d p ( 9 ) = fk ( 动d p ( - ) = 一2 7 r o ( 4 3 ) 未面 这说明共形度量的全曲率是有限的，且是正的 注记5 ：定理1 2 部分地肯定了猜测的正确性 1 9 参考文献 【1 】j k a z d a n ，p r e s c r i b i n gt h ec u r v a t u r eo far i e m a n n i a nm a n i f o l d s ，c b m s r e g i o n a lc o n f s e r i nm a t h ，a m e r m a t h s o e ，5 7 ，p r o v i d e n c e ，( 1 9 8 5 ) 【2 】l v a h l f o r s ，a ne x t e n s i o n o fs c h w a r z sl e m m a ，t r a n s a m e r m a t hs o c ，b f 4 3 ( 1 9 3 s ) ，3 5 9 - 3 6 4 【3 】d h s a t t i n g e r ，c o n f o r m a l m e t r i c si n 辟w i t hp r e s c r i b e dg a u s s i a nc u r v a - t u r e ，i n d i a n au n i v m a t h ，2 2 ( 1 9 7 2 ) ，1 4 4 】w m n i ，o nt h ee l l i p t i ce q u a t i o na u + k ( x ) e 知= 0 a n dc o n f o r m a lm e t r i c s w i t hp r e s c r i b e dg a u s s i a nc u r v a t u r e s ，i n v e n t m a t h ，6 6 ( 1 9 8 2 ) ，3 4 5 - 3 5 2 【5 】p a v i l e s ，c o n f o r m a lc o m p l e t e m e t r i c sw i t hp r e s c r i b e dn o n n e g a t i v eg a u s s i a nc u r v a t u r eo nr 2 ，i n v e n t m a t h ，s a ( t 9 8 6 ) ，5 1 9 5 4 4 【6 】k ，s c h e n ga n d w m n i ，o nt h es t r u c t u r eo f t h ec o n f o r m a lg a u s s i a nc u r - v a t u r ee q u a t i o n so nr 2 ，d u k em a t h ，6 2 ( 1 9 9 1 ) ，7 2 1 - 7 3 7 【7 】m k a l l ma n dd g y a n g ，o nn o n p o s i t i v e c u r v a t u r ef u n c t i o n so nn o n c o m p a c ts u r f a c e so ff i n i t et o p o l o g i c a lt y p e ，i n d i a n au n i v m a t h ，4 3 ( 1 9 9 4 ) ，7 7 5 8 0 4 【8 】r m e o w e n ，o nt h ee q u a t i o na u + k ( ) 严= ，a n d p r e s c r i b i n gn e g a t i v e c u r v a t u r eo n 舻，j m a t h a n a l a p p ! ，1 0 3 ( 1 9 s 4 ) ，3 6 5 - 3 7 0 【9 】r m c o w e n ，c o n f o r m a l m e t r i c si nr 2w i t hp r e s c r i b e dg a u s s i a nc u m u 。8 a n dd o s i t i v et o t a lc u r v a t u r e ，i n d i a n au n i v m a t h j 3 4 ( 1 9 8 5 ) ，9 7 - 1 0 4 ， 1 0 】s x w u ，p r e s c r i b i n g g a u s s i a nc u r v a t u r eo i l 帮，p r o c a m e r m a t h s o 。 1 2 5 ( 1 9 9 7 ) ，3 1 1 9 3 1 2 3 1 1 】p a v i l e sa n dr m c o w e n ，c o n f o r m a ld e f o r m a t i o n so fc o m p l e t em a n i f o l d s w i t hn e g a t i v ec u r v a t u r e ，j d i f f g e o m ，2 1 ( 1 9 8 5 ) ，2 6 9 2 8 1 【1 2 1 j b l a n da n dm k a l k a ，c o m p l e t em e t r i c sc o n f o r m a lt ot h eh y p e r b o l i cd i s c ， p r o c a m e r m a t h s o c ，9 7 ( 1 9 8 6 ) ，1 2 8 1 3 2 【1 3 】d 。h u l i na n dm 。t r o y a n o v ，p r e s c r i b i n g c u r v a t u r eo no p e ns u r f a c e s ，m a t h a n n ，2 9 3 ( 1 9 9 2 ) ，2 7 7 - 3 1 5 【1 4 m k a l l m a n dd g y a n g ，o nc o n f o r m a ld e f o r m a t i o no fn o n p o s i t i v ec u r v a o t u r eo nn o n c o m p a c ts u r f a c e s ，d u k em a s h j ，7 2 ( 1 0 9 3 ) ，4 0 5 4 3 0 ， 1 5 】胡泽军双曲空间h 2 ( 一1 ) 上预定高斯曲率的共形形变数学年刊2 0 a ：5 ( 1 9 9 9 ) ，5 8 7 - 5 9 6 【1 6 】k s c h e n g a n dj t 。l i n ，o nt h ee l l i p t i ce q u a t i o n sa u = k ( x ) u a u d a u = k ( x ) e 缸，t r a n s a m e r m a t h s o c ，3 0 4 ( 1 9 8 7 ) ，6 3 9 - 6 6 8 【1 7 】r e e d w o r d s ，f u n c t i o n a la n a l y s i s ，h o l t ，r i n e h a r t a n dw i n s t o n ，n e wy o r k ， 1 9 6 5 f 1 8 1m c a n t o r ，e l l i p t i co p e r a t o r sa n d t h ed e c o m p o s i t i o no ft e n s o rf