（基础数学专业论文）teichmuller空间复理论中的若干问题.pdf

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m o r p h i cf i b e r - p r e s e r v i n gi s o m o r p h i s m sb e t w e e nt w op o i n t e dt c i c h m i i u e rs p a c e s i ti s a r r a n g e da sf o l l o w s t h ef i r s tt h r e ec h a p t e r sa r ep r e l i m i n a r y i nc h a p t e r1 ，w eb e g i nw i t hs o m eb a c k - g r o u n d so nt e i c h m i i l l e rs p a c e s ，s t a t es o m eo p e np r o b l e m so nt h ec o m p l e xa n a l y t i c t h e o r yo ft e i c h m f i l l e rs p a c ea n do u rm a i nr e s u l t so b t a i n e di nt h i sd i s s e r t a t i o n i n c h a p t e r2 ，w ei n t r o d u c es o m eb a s i cd e f i n i t i o n sa n dr e s u l t so nt e i c h m i i l l e rt h e o r y t h e s ei n c l u d et h et e i c h m i i l l e rs p a c e sa n dm o d u l a rg r o u p sf o rr i e m a n ns u r f a c e sa n d f u c h s i a ng r o u p s ，b c r se m b e d d i n ga n dc o m p l c xa n a l y t i cs t r u c t u r eo ft c i c h m i i l l e rs p a c e s ， r o y d e n - g a r d i n e rt h e o r mo nt h ek o h a y a s h im e t r i c ，b e r sf i b e rs p a c e sa n dt e i c h m f i l l e r c u r v e sf o rf u c h s i a ng r o u p s i nc h a p t e r3 w r ei n t r o d u c et h r e ei m p o r t a n tm a p p i n g si n t e i c h m f i l l e rt h e o r y ：b e r s - g r e e n b e r gi s o m o r p h i s m ，p u n c t u r e - f o r g e t t i n gm a p p i n g ，a n d b e t si s o m o r p h i s m i nc h a p t e r4 ，w es h a l ld i s c u s st h ee x i s t e n c eo fh o l o m o r p h i cs e c t i o n so ft h en a t u r a l p r o j e c t i o n 砚：v ( r ) _ t ( r ) f r o m t h et e i c h m i i u e rc u r v ev ( r ) t ot h et e m h m i i l l e rs p a c e t ( r ) w h e nr i sat o r s i o nf r e ef u e h s i a ng r o u po fi n f i n i t et y p e b ym e a n so fs o m er e c e n t r e s u l t so nl i t t l et e i c h m f i l l e rs p a c e sa n da s y m p t o t i ct e i c h m i i l l e rs p a c e s ，w eo b t a i na n e c e s s a r yc o n d i t i o nf o rt h ee x i s t e n c eo f8h o l o m o r p h i cs e c t i o no f 丌2 ：v ( r ) 一r ( r ) b yt h i sn e c e s s a r yc o n d i t i o n ，w ea r ea b l et op r o v et h a tt h ep r o j e c t i o ni r 2 ：v ( r ) _ t ( r ) h a sn oh o l o m o r p h i cs e c t i o nw h e nri sa ne l e m e n t a r yt o r s i o nf r e ef u c h s i a ng r o u p c h a p t e r5d e a l sw i t ht h ep o i n t e d - t e i c h m i i l l e rs p a c e sf o rf u c h s i a ng r o u p s l e tg b eaf u c h s i a ng r o u pa n d 够b es o m ep o i n t e d - f u c h s i a ng r o u pc o r r e s p o n d i n gt og w e d e n o t eb ym ( c ) t h es e to fa l lb e l t r a m ic o e f f i c i e n t sf o rg ，a n dt ( 够) t h ec o r r e s p o n d i n g p o i n t e d - t e i c h m i i u e rs p a c eo f 汐w ef i r s td i s c u s 8t h ee x i s t e n c eo fh o l o m o r p h i cs e c t i o n s o ft h ep r o j e c t i o n s 司哼：m ( g ) 呻t ( 够) a n d 圣：t ( w ) 聿t ( g ) ，a n ds h o wt h a tt h e r e e x i s t sn oh o l o m o r p h i cs e c t i o ni ng e n e r a l t h e nw ed i s c u s st h ea l l o w a b l em a p p i n g sb e - i i i i i 目录 第一章绪论l 1 1t e i c h m i i l l e r 空间的研究背景与意义1 1 2 课题的研究现状与问题3 1 3 本文的主要结果及安排5 第二章t c i c h m f i l l c r 空间7 2 1 拟共形映射7 2 2r i e m a n n 曲面的t e i c h m i i u e r 空间及其模群9 2 3f u c h s 群的的t e i c h m f i l l e r 空间及其模群1 1 2 4t e i c h m i i u e r 空间的b e t s 嵌入和复结构1 2 2 5t e i c h m i i l l e r 空间上的k o b a y a s h i 度量1 3 2 6f u c h s 群的b e t s 纤维空间与t e i c h m i i l l e r 曲线1 4 第三章三个重要的映射1 6 3 1b c r s - g r e e n b c r g 同构1 6 3 2 穿孔遗忘映射1 7 3 3b e r s 同构1 8 第四章t e i c h m i i l l e r 空间上的全纯截面1 9 4 1 引言及主要结果1 9 4 2 穿孔遗忘映射的全纯截面2 0 4 3 主要结果的证明2 5 第五章点f u c h s 群的t e i c h m i i l l e r 空间3 0 5 1 引言3 0 5 2 点t c i c h m i i l l c r 空间及其模群3 0 5 3 对圣够和圣的分析3 2 5 5 4 全纯截面的不存在性3 3 5 5 双全纯同构3 5 结论3 9 参考文献4 1 攻读博士学位期间完成的论文5 0 致谢5 1 t c i c h m i i l l c r 空间复理论中的若干问题 第一章 绪论 第一章绪论 1 1t e i c h m f i l l e r 空间的研究背景与意义 1 9 2 8 年， g r s t z s c h 【4 2 】提出并解决了一类非共形映射的极值问题：在把矩形冗 映到矩形足而且保持顶点对应的连续可微映射中，怎样的映射嘬接近”共形映射? 这需要个量来衡量一个映射与共形映射之间的偏差，这个量就是最大伸缩商正是 最大伸缩商的引入，g r s t z s c h 迈出了开创拟共形映射理论的第一步g r s t z s c h 问题 的解答是拉伸仿射映射，拉伸仿射映射就是一种特殊的拟共形映射 t e i c h m i i l l e r 【7 6 】将g r s t z s c h 问题推广到了紧p d e m a n n 曲面上在这推广过程中 遇到了实质性的困难，即要在r i e m a n n 曲面上找到一种适当的参数使得极值映射在 此种参数表述下是一个拉伸仿射映射这就导致了t e i c h m i i u e r 对二次微分的研究 1 9 3 9 年，t e i c h m i i l l e r 把r i e m a n n 曲面上的拟共形映射的极值映射与r i e m a n n 曲面 上的全纯二次微分联系起来，证明了r i e m a n n 曲面上拟共形映射的同伦类中极值映 射的存在性与唯性 早在1 8 5 7 年，r i e m a n n 曾经提出了个重要猜想：亏格为g ( g 1 ) 的紧r i e m a n n 曲面的共形等价类的全体即r i c m a n n 模空间忍可以用3 9 3 个复参数来描述这就 是著名的p d e m a n n 模问题描述模空间的参数称为r i e m a n n 曲面的模t e i c h m f i l l e r 的研究给出了r i e m a n n 模问题的一个完整回答他从另外一个空问正( 现在被称为 t e i c h m i i l l e r 空间) 着手来研究r i e m a n n 模问题，这里已是甩的一个万有覆盖空 间由于模空间只是个复空间，而t e i c h m i i l l e r 空间乃具有很好的流形结构， 因而对模问题的研究带来了很大方便他还利用极值拟共形映射赋予t e i e h m f i u e r 空 间乃个完备的度量( 现在被称为t e i c h m i i l l e r 度量) 然而t e i e h m i i l l e r 的工作开 始并没有引起人们足够的重视这种情况一直到a h l f o r s 的文章 1 】发表之后才告结 束a h l f o r s 的文章促使人们用积极地态度去理解和消化t c i c h m f i l l e r 的思想a h l f o r s 发展了拟共形映射理论( 参见 3 】) ，并证明了t e i c h m i i l l e r 空间正具有复结构( 参见 【2 】) ，开始了t e i c h m i i l l e r 空间复解析理论的研究稍后，b e r s 5 】5 用现代的语言重新 整理t e i c h m i i u e r 的证明，并证明了t e i c h m i i l l e r 空间正可被全纯地嵌入到c 幻- 3 中 1 第一章绪论 t c i c h m i i l l e r 空间复理论中的若干问题 有界球的内部( 参见【6 】) 而后，b e r s 【7 - 8 】又将经典的t e i c h m i i l l e r 空间推广到了一 般的r i e m a n n 曲面及f u c h s 群上，并证明了一般的t e i c h m i i l l e r 空间均具有自然的复 ( b a n a c h ) 流形结构在a h l f o r s 和b e t s 的带动与影响下，二十世纪六十年代之后有许 多著名的数学家对t e i c h m i i l l e r 空间及与其有关的k l e i n 群理论进行了广泛和深入的 研究，得到了十分丰富的成果( 参见睁1 4 】，【2 1 】，【3 0 ， 3 6 1 ，【3 s ，【4 7 1 ，i s l ，【6 1 1 ，【6 5 6 6 1 ， 6 9 j ，【7 8 】等) ，很快使之成为单复变函数论中个十分活跃的分支 北京大学的李忠教授在国内对极值拟共形映射和t e i c h r n i i l l e r 空间展开了开创性 的研究他在无限维t e i c h m i l l e r 空间几何的研究方面取得了突破性的进展( 参见【3 0 】， 【5 3 - 5 7 ) 在他的带动下，国内的很多学者在极值拟共形映射和t c i c h m i i l l e r 空间的研 究方面取得了不少的成果( 参见【1 7 - 2 0 l ， s s - 5 9 ，【6 7 】，【7 0 - 7 2 1 ， 8 0 - s x ) ，引起了国内外同 行的广泛关注 作为当代数学主流方向的活跃分支，t e i c h m i i l l e r 空间的研究不仅影响到经典函 数论中其他许多问题的研究，如k l e i n 群和单值化问题，而且与其他数学分支有着密 切的联系t h u r s t o n 【7 7 利用t e i c h m f i l l e r 空间理论来研究三维流形的几何和拓扑， s u l l i v a n 与m c m u l l e n ( 参见【6 2 】，【7 4 - 7 5 1 ) 利用t e i c h m i i l l e r 空间理论来研究复动力系 统，而t r o m b a 与w o l f ( 参见【3 4 3 s ，【7 9 】) 利用微分几何和调和映射来研究t e i c h m i i l l e r 空间 在t e i c h m i i l l e r 空间的复解析理论研究方面，r o y d e n 【6 9 】做出了突破性的贡献他 证明了在经典的t e i c h m i i u e r 空间乃上，t e i c h m i i u e r 度量与复结构有很好的相容性， 即马上的k o b a y a s m 度量和t e i c h m i i l l e r 度量是重合的，并由此证明了t e i d x m i i l l e r 空间乃上的双全纯自同构由模群中的元素所诱导e a r l e - k r a 【2 7 很快将这些结果推 广到般的有限型r i e m a n n 曲面的t e i c h m i i u e r 空间上之后，g a r d i n e r 【3 6 】证明了 在任意的t e i c h m i i l l e r 空间上，k o b a y a s h i 度量和t e i c h m f i l l e r 度量是重合的最后， 在e a r l e - g a r d i n e r 【2 4 】的工作基础上，m a r k o v i c 【6 1 】证明了任意( 非例外型r i e m a r m 曲面的t e i e h m f i u e r 空间上的双全纯自同构由模群中的元素所诱导 为了进一步地研究模空间，b e r s 1 1 】在t e i c h m i i l l e r 空间上引入了两个重要的纤 维空间，即熟知的b e r s 纤维空间与t e i c h m i i u e r 曲线由于在r i e m a n n 曲面全纯族理 论中的万有性( 参见【2 3 ， 4 1 1 ) ，不少著名的数学家对这些纤维空间进行了深入的研究 ( 参见 2 3 】，【2 7 - 2 9 ，【4 l 】， 4 5 - 4 8 ) 后来，k r a1 4 s 引入了有限维点t e i c h m i i l l e r 空间的 概念这足有限维t c i c h m i i l l e r 空间上更一般的一类纤维空间，特殊情形包含了b e r s 2 t c i c h m i i l l c r 空间复理论中的若干问题 第一章绪论 纤维空间与t e i c h m i i l l e r 曲线最近，沈玉良f 7 2 】对一般的点t e i c h m i i l l e r 空间进行了 深入的研究对b e r s 纤维空间，t e i c h m f i u e r 曲线以及点t e i c h m i i l l e r 空问的进一步 研究有着重要的理论意义 1 2课题的研究现状与问题 我们将主要研究t e i c h m i i l l e r 空间上的纤维空间，包括b e r s 纤维空间，t e i c h m i i l l e r 曲线以及更一般的点t c i c h m f i l l c r 空间下面我们来简单介绍一下我们的研究问题 设r 是作用在上半平面皿上的f u c h s 群，r 表示挖去r 中所有椭圆元素 的不动点后构成的点集r 称为有限型的，如果r r 是一个有限型的r i e m a n n 曲 面，即r r 是一个紧r i c m a n n 曲面挖去有限个点后所得到的曲面r 称为( g ，n ) 型 的，如果狂噩r r 是个亏格为g 的紧r i e m a n n 曲面挖去n 个点后所得到的曲面 r 称为是例外的，如果r 是( g ，竹) 型的，且2 9 + n 4 m ( r ) 表示h 上关于r 的所有b c l t r a m i 系数的集合t c i c h m i i l l c r 空间t ( r ) 是 m ( r ) 中所有元素等价类的集合t ( r ) 是有限维的当且仅当r 是有限型的a h l f o r s 和b c r s 的工作说明t ( r ) 具有唯一的复流形结构使得自然投影吣：m ( r ) 一t ( r ) 全 纯且具有局部全纯截面，这表明m ( r ) 是t ( r ) 上的一个全纯纤维空间然而，e a r l e 2 2 】证明了当d i m t ( r ) 1 时，吣不具有( 整体) 全纯截面 我们用f ( r ) 和v ( r ) 来表示b c r s 纤维空间和t c i c h m i i l l c r 曲线这是t c i c h m i i l l e r 空间t ( r ) 上两个重要的全纯纤维空间，由b e r s 【1 1 】引入如前所述，由于在r i e m a n n 曲面模理论和r i e m a n n 曲面全纯族理论研究中的重要作用，这些纤维空间已经被许 多数学家研究正如e a r l e - k r a 【2 7 - 2 8 】指出的那样，一个重要的问题是自然全纯投影 丌2 ：v ( r ) 一t ( r ) 是否有全纯截面如果r 具有椭圆元素，则自然全纯投影7 r ：f ( f ) 一 t ( r ) 具有经典的全纯截面，这些经典的全纯截面可投影为他：v ( r ) _ t ( r ) 的全纯 截面( 参见 2 7 - 2 8 1 ) 然而，当r 无扰，即无椭圆元素时，全纯截面的存在性问题是十 分复杂的事实上，h u b b a r d 【4 5 】最先开始了丌2 ：v ( r ) 一t ( r ) 全纯截面的研究 他证明了如果r 是( 9 ，0 ) 型无扰f u c h s 群且夕3 ，则丌2 ：v ( r ) _ t ( r ) 无全纯截 面后来e a r l e - k r a 2 7 将此结果推广到任何的非例外的有限型无扰f u c h s 群应当 指出，在h u b b a r d 【4 5 】和e a r l e - k r a 【2 7 - 2 8 】的讨论中，r o y d e n 【6 9 】的个基本引理 起了非常重要作用该引理描述了当r 是有限型时，t e i c h m f i l l e r 度量在t e i c h m i i l l e r 3 第一章绪论 t c i c h m f i l l e r 空间复理论中的若干问题 空间t ( r ) 中的光滑性然而，当r 是无限型时，并没有相对应的结果在本文的第 一部分，我们将就如下问题展开研究 。 问题1 2 1 设r 是作用在上半平面h 上的无限型无扰f u c h s 群，投影7 r 2 ：v ( r ) _ t ( r ) 有无全纯截面? 在本文的第二部分，我们将就点t e i c h m i i l l e r 空间展开研究设箩= _ 【g2 ：1 ， 是对应于f u c h s 群g 的一个伽点f u c h s 群于是点t e i c h m f i l l e r 空间t ( w ) 由m ( g ) 中b e l t r a m i 系数的够等价类组成( 定义见5 2 ) k r a 【4 6 】和沈玉良【7 2 】证明了点 t e i c h m i i l l e r 空间t ( 箩) 具有唯一的复流形结构使得从m ( g ) 到t ( w ) 上的自然投影 西够全纯且有局部全纯截面圣g ：m ( g ) _ t ( g ) 和圣箩：m ( g ) 一t ( w ) 诱导了一个 自然投影西，使得圣g = 西。西留，而且西：t ( w ) _ t ( g ) 也是全纯的且有局部全纯截 面我们将首先研究以下问题 问题1 2 2 设够= g z l ，) 是伽点f u c h s 群，西可：m ( g ) 一t ( w ) 有无 全纯截面? 问题1 2 3 设够= g ；魂，钿) 是r l , - 点f u c h s 群，圣：t ( w ) _ t ( g ) 有无全 纯截面? 多复变函数论中的一个重要问题是确定两个复流形之间的双全纯同构，特别是， 一个复流形的双全纯自同构对于t e i c h m i i u e r 空间，该问题自r o y d e n 6 9 】开始已 经在一系列文章中被完全解决( 参见【2 4 1 ，【2 7 】， 3 1 1 ， 5 0 l ， 6 1 1 ，【6 9 】以及2 4 中的定 理2 4 1 ) ：非例外型r i c m a n n 曲面的t c i c h m i i l l e r 空间之间的双全纯同构是可允许映 射特别地，非例外型r i e m a n n 曲面的t e i c h m f i l l e r 空问的双全纯自同构由模群中的 元素所诱导对于b c r s 纤维空间和t e i c h m i i l l e r 曲线，也已经有比较完善的结果( 参 见【2 3 1 ，【7 m 7 2 1 ，i s 2 1 ) 对于点t e i e h m i i l l e r 空间，该问题早已由k r a 4 6 】提出，即 问题1 2 4 设够= 【g ；名1 ，】和够= g ；彳，) 是两个非例外的伽点 和一点f u c h s 群如何刻画t ( w ) 到t ( w ) 的双全纯同构? 问题1 2 4 是一个非常困难的问题事实上。t ( w ) 到t 汐) 的双全纯同构一般来 说不是可允许映射由于个可允许映射总是点t e i e h m i i l l e r 空问之问的保纤维双全 纯同构，个很自然的问题是刻画点t c i c h m i i l l c r 空间之间的保纤维双全纯同构，即 问题1 2 5 设够= g ；勿，) 和够= g ；z ， 是两个非例外的伽点 和点f u c h s 群，：t ( w ) 一t ( w ) 是个保纤维双全纯同构，是否是个可允 许映射7 。 4 t c i c h m i i l l e r 空间复理论中的若干问题第一章 绪论 1 3本文的主要结果及安排 在本节中，我们将叙述本文的主要结果，其中的标号与相应的章节中的标号一致， 具体的记号可以参照相应章节中的具体定义 在第二章中，我们介绍t e i c h m i i l l e r 空间的基础知识，包括拟共形映射的基本概 念及结果，r i e m a n n 曲面和f u c h s 群的t c i c h m i i l l c r 空间及模群，t c i c h m i i l l c r 空间 的b e r s 嵌入与复解析结构，r o y d e n - g a r d i n e r 关于k o b a y a s h i 度量的基本结果，以 及f u c h s 群的b e t s 纤维空间与t e i c h m i l l e r 曲线 在第三章中，我们介绍t c i c h m i i u e r 理论中兰个重要的映射。 b c r s - g r c c n b c r g 同 构，穿孔遗忘映射，b e r s 同构 在第四章中，我们将讨论问题1 2 1 ：当r 是无限型无扰f u c h s 群时，t e i c h m i i l l e r 曲线v ( r ) 到t e i c h m i i l l e r 空间t ( r ) 的投影的全纯截面的存在性利用小t e i c h m i i l l e r 空间和渐近t e i c h m i i l l e r 空间我们得到了1 1 2 ：v ( r ) - t ( r ) 存在全纯截面的个必要 条件，并由此证明了当r 是初等无扰f u c h s 群时，问题1 2 1 的回答是否定的，即 定理4 1 1 设r 是作用在上半甲面上的初等无扰f u c h s 群，则投影丌2 ：v ( r ) 一 t ( r ) 无全纯截面 在第五章中，我们将对点t e i c h m i i l l e r 空间展开研究设箩= g ；旎，磊 是 对应于f u c h s 群g 的个m 点f u c h s 群我们首先讨论问题1 2 2 和1 2 3 我们将 证明在一般情况下，问题1 2 2 的回答是否定的，即 定理5 4 1 设够= g ；z l ，磊) 是伽点f u c h s 群，则嘞：m ( g ) _ t ( w ) 有 全纯截面当且仅当n = 1 ，且g 是( 0 , 3 ) 型无扰f u c h s 群 对于问题1 2 3 ，我们将利用b e r s - g r e e n b e r g 同构和穿孔遗忘映射将它转化为问题 1 2 1 ( 参见性质5 4 1 ) 从而根据e a r l c - k r a 【2 7 】以及定理4 1 1 可以得到以下结果 定理5 4 2 设够= g ；名l ，) 是m 点f u c h s 群，其中g 是有限型f u c h s 群，则圣：t ( w ) 一t ( g ) 无全纯截面，除非g 是例外型 定理5 4 3 设够= g ；z l ，) 是m 点f u c h s 群，其中g 是初等无扰f u c h s 群，则西：t 汐) _ t ( g ) 无全纯截面 在第五章中，我们还将讨论问题1 2 5 我们首先讨论点t e i c h m f i l l e r 空间之间的 可允许映射的一些基本性质然后证明点t e i c h m i i l l e r 空问之问的保纤维双全纯同构 一般来说足可允许映射，即问题1 2 5 的回答是肯定的 5 第一章绪论 t c i c h m i i l l e r 空间复理论中的若干问题 定理5 5 1 设箩= g ；z l ，) 和谚= 0 ；z ，确) 是两个非例外的伽点 和点f u c h s 群，：t 侈) 一t ( 奶是一个保纤维双全纯同构，即当西0 ) = 西( 口) 时有蚕of ( p ) = 墨o ，( q ) ，则，是可允许映射，即存在一个t l ，q ( o ) 使得谚与瓯共 轭，= x ( 【伽】箩) 特别地，t ( w ) 的每个保纤维双全纯自同构由模群m o d ( 够) 中的 元素诱导 6 t c i c h m i i l l c r 空间复理论中的若干问题第二章t c i c h m i i l l c r 空间 第二章t e i c h m i i l l e r 空间 在本章中，我们回顾t c i c h m i i l l c r 理论中的一些基本定义与结果，包括拟共形映射 的基本概念及结果，r i e m a n n 曲面和f u c k s 群的t e i c h m f i u e r 空间及模群，t e i c h m i i l l e r 空间的b e r s 嵌入与复解析结构，r o y d e n - g a r d i n e r 关于k o b a y a s h i 度量的基本结果， 以及f u c l m 群的b c r s 纤维空间与t c i c h m i i l l c r 曲线具体可参见文献【3 】，【8 】，【1 0 - 1 3 1 ， 【2 7 - 2 8 ，【3 6 】，【3 8 ，【4 7 】， 5 1 5 2 】，【6 5 1 2 1拟共形映射 1 9 2 8 年，g r s t z s c h 4 2 】提出并解决了类非共形映射的极值问题s 在把矩形r 映到矩形彤而且保持顶点对应的连续可微映射中，怎样的映射慑接近”共形映射? 这需要一个量来衡量个映射与共形映射之间的偏差，这个量就是最大伸缩商正是 最大伸缩商的引入，g r 6 t z s c h 迈出了开创拟共形映射理论的第一步g r s t z s c h 问题 的解答是拉伸仿射映射，拉伸仿射映射就是一种特殊的拟共形映射 本节将介绍拟共形映射的基本概念和结果首先介绍拟共形映射的几何定义为 此先介绍拓扑四边形的共形模的概念设qce 是一个j o r d a n 区域，并在边界上 按照正向依次选定四点名1 ，勿，z 3 ，z 4 ，则q 连同这四点一起构成一个拓扑四边形，记 为q ( z l ，z 2 ，z 3 ，施) 这里的四个点称为四边形的顶点两个四边形q 1 ( 以，勿，约，魂) 与 q 2 ( e 1 ，包，c 3 ，幺) 称为共形等价的，如果存在一个共形映射仍将q 映射为q 2 ，且有顶 点对应 妒( 乃) = 白，j = 1 ，2 ，3 ，4 定义2 1 1 如果四边形q ( z l ，忽，z a ，z a ) 共形等价于矩形r ( 0 ，a ，口+ b ，阮) 0 0 ， 6 o ) ，则a b 称为q ( z l ，z a ，z 3 ，z 4 ) 的共形模，或简称为模，记之为m o d ( q ( z l ，勿，z a ，魂) ) 拓扑四边形的共形模是一个共形不变量在定义了拓扑四边形的共形模之后，我 们可以引入拟共形映射的几何定义 定义2 1 2 设，：d _ g 是e 中的区域d 到g 的一个保向同胚如果存在一 个常数k 1 ，使得d 中的每一个拓扑四边形q ( z 1 ，z 2 ，幻，铂) ，国cd ，都有 m o d ( f ( q ) ) sk m o d ( q ) ， 7 用硼p 表示c 到自身的保持o ，1 ，o o 不动的唯一拟共形映射，缸严在下半平面l 共 形，在满足b e l t r a m i 方程岛锄= p 反凹用t l k 表示以p 为复特征的上半平面到 自身的保持0 ，1 ，不动的拟共形映射 在t e i c h m i i l l e r 理论中，拟共形映射对参数的全纯依赖性定理有重要价值下面 的定理属于a h l f o r 8 - b e r s 【4 】 。 8 t c i c h m i i l l c r 空间复理论中的若干问题第二章t c i c h m i i l l c r 空间 定理2 1 2 设p = p ( z ，t ) 是定义在c a 上的有界可测函数，且 f p ( 2 ，亡) i 七 1 ，口e 名c ，v t a ， 其中七为常数若对几乎所有固定的名c ，p ( z ，t ) 是t a 的全纯函数，则对于任意 固定的z c ，伽p ( ，) ( z ) 是t a 的全纯函数 注2 1 1 拟共形映射最早出现在g r s t z s c h 的工作【4 2 】中但真正开始探讨拟共 形映射理论始于l a v m n t i c v 和a h l f o r s 分别在研究空气动力学问题和覆盖曲面时，他 们推广了共形映射的概念后来，t e i c h m i i l l e r 开始用拟共形映射证明一些重要的定 理拟共形映射不仅可以定义在平面区域上，而且可以定义在高维欧氏空间，r i e m a n n 曲面上等t c i c h m i i l l c r 就将o r s t z s c h 问题推广到了紧r i c m a n n 盐面上在这推广过 程中遇到了实质性的困难，即要在r i e m a n n 曲面上找到一种适当的参数使得极值映 射在此种参数表述下是一个拉伸仿射映射这就导致了t e i c h m i i u e r 对二次微分的研 究1 9 3 9 年，t c i c h m i i l l c r 把r i e m a n n 曲面上的拟共形映射的极值映射与r i e m a n n 曲面上的全纯二次微分联系起来，证明了r i e m a n n 曲面上拟共形映射的同伦类中极 值映射的存在性与唯性 作为本节的结束，我们来介绍( 模边界) 同伦的概念设x 和y 是双曲型r i e m a n n 曲面，它们以上半：旷面噩为万有覆盖，理想边界分别是o x 和扔，x 到y 的两个映射， 和g 称为足同伦( 模狱) 的，如果存在，和g 之间的同伦 ：( x u o x ) 【0 ，1 】_ y u o y 使得在o x 的每一点处，对于任意的t 【0 ，l 】，有 ；，= g 设( ，丌1 ) 是p d e m m m 曲面五的万有覆盖，( ，丌2 ) 是p d e m a n n 曲面的 万有覆盖假定，：x l _ 托是一个同胚如果存在一个同胚，：一，使得 7 r 2o ，= ，o