（基础数学专业论文）一类boussinesq型方程的cauchy问题.pdf

摘要 本文共分四章：第一章为引言，将给出了本文要研究的方程模型的物理意义以及要 用到的记号；第二章证明一类b o u s s i n e s q 方程的c a u c h y 问题在一定条件下局部解的 存在性和惟一性；第三章讨论了整体解的存在性和惟一性；第四章则讨论上述c a u c h y 。 问题在一定初始条件下整体解的不存在性及解的b l o w - u p ，并给出了解b l o w - u p 的充分条 件具体内容如下：在第二章中，我们研究如下c a u c h y 问题： 乱t t 一u a a u t t 一，y 撕一( c 2 1 ) 尼2 a ( k 2 一) 一1 u = a g ( - ) ，z 俨，t 0 ，( 1 ) u ( x ，0 ) = 妒( z ) ，毗( z ，0 ) = 砂( z ) ， z 兄竹， ( 2 ) 局部解的存在性和惟一性，其中a 0 ，7 0 ，七0 ，c 1 是常数；乱( z ，t ) 为未知函 数；g ( u ) 是给定的非线性函数；妒( z ) ，妒( z ) 是给定的初始函数下标t 分别表示对t 求导； 上标n 是空间变量的维数；a 是舻上的拉普拉斯算子 为讨论方便，我们将对( 1 ) 等价变形为 ( i a ) 让甜一( 后2 一) - 1 ( c 2 尼2 一a ) a u = a f ( u )( 3 ) 其中我们记 f ( - ) = g ( u ) + ，y 啦 利用压缩映射原理证明c a u c h y 问题( 3 ) ，( 2 ) 局部解的存在性和惟一性，即证问题( 1 ) ， ( 2 ) 局部解的存在性和惟一性主要结果o 定理1 假设s 互1 ，妒h 5 ，矽日s ，且g c 【8 】+ 1 ( 冗) ，g ( o ) = 0 ，则问题( 1 1 ) ，( 1 2 ) 存在惟一的局部解t l c 1 ( o ，t o ；日8 ) ，其中死是解的最大存在时间进一步，若 l i ms u p i l 牡( t ) i l 胛+ l l u , ( t ) 1 1 ) 0 是c a u c h y 问题( 1 1 ) ，( 1 2 ) 的解u ( x ，t ) 存在的最大时间，则t 0 ，使得对任意的u r 有 2 9 ( u ) 牡2 ( 2 + q + 妥) g ( u ) + ( q + 妄) u 2 ( 6 ) 那么c a u c h y 问题( 1 1 ) ，( 1 2 ) 的解u ( z ，t ) 在有限时刻发生b l o w - u p ，如果初始值满足下 列条件之一： ( 1 ) e ( 0 ) 一筹风+ 翱( _ ) 嘲1 2 + 删1 2 ) ( 2 ) e ( 0 ) = 0 ， 2 ( ( 一) 寻妒，( 一) 亭妒) + 2 a ( 妒，矽) 罴( 1 l ( 一) 寻妒1 1 2 + 刈妒1 1 2 ) ( 3 ) e ( 0 ) 0 ， 2 ( ( 一) 寻妒，( 一磋) 寻妒) + 2 入( 妒，妒) 翱- 鳓2 刊忡) 2 + 南( 1 i ( - 删2 刊忡) 关键词： i b q 方程；c a u c h y 问题：局部解；整体解：解的爆破 t h ec a u c h yp r o b l e mf o rac l a s s o fb o u s s i n e s qe q u a t i o n a b s t r a c t t h i sp a p e rc o n s i s t so ff o u rc h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e rw ew i l lg i v et h ei n t r o d u c - t i o no ft h ep r o b l e m i nt h en e x tc h a p t e r ，w ew i l ls t u d yt h el o c a ls o l u t i o nf o rt h ec a u c h y p r o b l e mo ft h eb o u s s i n e s qe q u a t i o n w ew i l ls t u d yt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h e t h eg l o b a ls o l u t i o nt ot h ec a u c h yp r o b l e mf o rt h eb o u s s i n e s qe q u a t i o ni nc h a p t e r3 i n t h el a s tc h a p t e r ，w ew i l li n v e s t i g a t eb l o w - u po ft h es o l u t i o nt ot h ec a u c h yp r o b l e mf o r t h ea b o v em e n t i o n e de q u a t i o na n dg i v es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fb l o w - u po ft h es o l u t i o n t h ed e t a i l sa r eo b t a i n e da sf o l l o w i n g ： i nc h a p t e r2 ，w es t u d yt h ef o l l o w i n gc a u c h yp r o b l e mf o rac l a s so ft h eb o u s s i n e s q e q u a t i o n ： 一a u a a u 托一7 a u t 一( c 2 1 ) k 2 ( 七2 一i x ) 一1 u = a g ( u ) ， z 形，z 0 ，( 1 ) u ( z ，0 ) = 妒( z ) ，啦( z ，0 ) = 矽( z ) j z r n ，( 2 ) w h e r ea 0 ，7 0 ，七0 ，c 1a r ec o n s t a n t s u ( x ，t ) d e n o t e st h eu n k n o w nf u n c t i o n ， a d e n o t e st h el a p l a c eo p e r a t o ri n i t ，妒( z ) ，砂( z ) a r et h eg i v e ni n i t i a lv a l u ef u n c t i o n s ， ni st h ed i m e n s i o no fs p a c ev a r i a b l ez ，g ( u ) i sag i v e nn o n l i n e a rf u n c t i o n ，s u b s c r i p t st i n d i c a t et h ep a r t i a ld e r i v a t i v ew i t hr e s p e c tt ot f o rc o n v e n i e n t ，w ew i l ls t u d yt h ef o l l o w i n ge q u i v a l e n tf o r mo ft h ep r o b l e m ( 1 ) ： w h e r ew ed e n o t e ( j 一入) 锄一( 2 一i x ) 一1 ( d k 2 一a ) a u = a f ( u ) ( 3 ) f ( u ) = g ( u ) + ，y 嘞 w h e r et h eo p e r a t o r f a ai si n v e r t i b l e n e x t ，w ew i l lp r o v et h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h el o c a ls o l u t i o nf o rt h ec a u c h y p r o b l e m ( 1 ) ，( 2 ) b yt h ec o n t r a c t i o nm a p p i n gp r i n c i p l e ，t h em a i nr e s u l ta sf o l l o w i n g ： t h e o r e m1s u p p o s et h a ts 互1 ，妒h 8 ，妒h 8 ，且g c 1 5 1 + 1 ( r ) ，9 ( o ) = 0 ， t h e nt h ec a u c h yp r o b l e m ( 1 1 ) ，( 1 2 ) h a sau n i q u el o c a ls o l u t i o n 乱c 1 ( o ，t o ；日8 ) ，w h e r e t oi st h em a x i m a lt i m ei n t e r v a lo fe x i s t e n c eo fu ( z ，t ) m o r e o v e r ，i f l i r a s u p i l u ( t ) i i h 。+ ( t ) l l h ) 0 ， ( i i ( 一a ) 屯1 1 2 + x l i ￥ 1 1 2 ) 2 ( ( 一) 孚妒，( 一) 孚矽) + 2 入( 妒，妒) 翱卜) 寻妒i i z 刊忡i i ) 2 + 蒜( i l ( _ ) 翻1 2 + 刈i i k e y w o r d s t h ed a m p e di b qe q u a t i o n ；c a u c h yp r o b l e m ；l o c a ls o l u t i o n ；g l o b a l s o l u t i o n ；b l o w - u p ；d e c a yo fs o l u t i o n v 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究所取 得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体己经发 表或撰写过的科研成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明 确方式标明。本声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者：誓旋每文日期：0 0 7 年乡月2 ( 日 学位论文使用授权声明 本人在导师指导下完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属郑州大学。根据 郑州大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留或向国家有关部门或机构送 交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅；本人授权郑州大学可以将本学位 论文的全部或部分编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或者其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。本人离校后发表、使用学位论文或与该学位论文直接相 关的学术论文或成果时，第一署名单位仍然为郑州大学。保密论文在解密后应遵守此 规定。 学位论文作者：善挺敏 日期：加7 年j 月玎日 第一章引言 本文主要研究下列b u s s i n e s q 型方程的c a u c h y 问题： u “一a u a a u t 一7 让t 一( c 2 1 ) k 2 ( 七2 一) 一1 u = a g ( u ) ， z 酽， 0 ，( 1 1 ) u ( x ，0 ) = 妒( z ) ，仳t ( z ，0 ) = 砂( z ) ， z 彤， ( 1 2 ) 局部解和整体解的存在性和惟一性以及解的爆破其中a 0 ，- y 0 ，k 0 ，c 1 是常 数；u ( x ，) 为未知函数；g ( u ) 是给定的非线性函数；妒( z ) ，妒( z ) 是给定的初始函数；下标 分别表示对求导；上标钆是空间变量的维数；a 是舻上的拉普拉斯算子 该方程是有具体的物理背景的，近年来随着孤子的出现，对于调和链上孤子的 熟扩散问题已经被广泛研究( 见文献【1 4 】) 在文献【1 ，4 1 中把相应的动力方程用一个 b o u s s i n e s q 型方程来逼近即是下面的方程： 孔托一t l z 霉一入u 石耐t 一7 u 埘一( c 2 1 ) k 2 磋( 七2 一磋) 一1 t i 成( z ，t ) 。= ( u 2 ) 嚣，( 1 3 ) 其中入= 丧，k = 2s i n h 詈，c = ( 1 + ，j 。e 一- a 。一t - 1 l ，、1 ，q ，j ，p 为一参数 b q 方程是j b o u s s i n e s q 在1 8 7 2 年描述浅水波方程时提出【5 】 札“= + ( 牡2 ) 扰- t - u x x x x( 1 4 ) 对于b q 方程和它的广义方程的初边值问题已经有大量研究 6 - 8 1 改进的b q 方程( 又称 为i b q 方程) 让t t 一。一t 霉科t = ( u 2 ) z z( 1 5 ) 修正的i b q 方程( 又称为i m b q 方程) 一t i 嚣一t 霉硝= ( 钍3 ) 貂( 1 6 ) 到目前为止，对i b q 方程，i m b q 方程以及其广义方程已经有很多的研究结果p 12 】王 书彬，陈国旺于1 9 9 9 年在文献【1 0 】中讨论了广义i m b q 方程在一维有界区域上整体解的 存在性与不存在性陈国旺在文献【1 1 】中对方程 一仳一 u x x t , t = ，( 牡) 嚣( 1 7 ) 在空间卯( 留) 中的c a u t h y 问题进行了研究在考虑非线性项对方程解的影响的同 时，对于阻尼项的影响也渐渐受到关注，因而对于含有阻尼项的方程近年来也被广泛研 究： t 锄一u 拓一2 6 u 捌+ q 霉= p ( u 2 ) z 霉( 1 8 ) 1 其中是阻尼项，口，6 是正常数，p 是一实数对于方程( 1 8 ) 也有很多研究( 参看文 献 1 3 - 1 5 ) ，v a r l a m o v 在二维空间中讨论了解的渐近线f 1 6 ，1 7 赖绍永等在f 1 3 ，1 4 】中分别 讨论下列两个广义阻尼方程的整体解： 让村一t k 一2 b u z 2 t 一口地啊t f + c 扎删= p ( 扎2 ) 缸一p 2 u t i t l 一一2 岵一a u 船扰+ 优嬲= p ( 牡2 ) 托 王书彬和陈国旺在【1 8 】中讨论广义双耗散方程的整体解和解的爆破： t 瓴一u 船一口也船t t 上删t + 牡朗晦= ，( 札) 托 这里我们将对方程( 1 1 ) 进行研究，方程( 1 3 ) 是该方程一特例 为研究方便我们对方程( 1 1 ) 做一下变形： ( 1 9 ) ( 1 1 0 ) ( ，一a ) “托一( 七2 一) 一1 ( c 2 七2 一a ) a u = a f ( u ) ( 1 1 2 ) ，( 2 1 ) = g ( u ) + 7 锄 由傅里叶变换和d u h a m e l 引理： ，c 让白，) = a s ( ) 妒扛) + s ( ) 妒( z ) + zs ( 一7 - ) ( ，一a ) 一1 ，( 牡( 7 - ) ) d 7 ， ( 1 1 3 ) ，0 这里 s c t ，砂= t 罗一1 r 巧c ，! 垒 手舌；霈s i n c 了趸掣荨乌蹁， a s ( e ) 妒。) = 庐q 眵( f ) c 。8 了币竽碧姜骗) 】 巩m 牡纩揣咖( 斋褊) 】 其中 莎1 沁赤厶e 诚姗 参= 赤厶e 一嘞z 本文主要结果： 定理l 假设定理2 1 的条件成立，且夕( s ) c 问+ 1 ( r ) ，夕( o ) ：o ，g ( u ) ：厂u 夕( s ) d s ， ，0 2 且g ( 妒) l 1 , 则当g ( u ) 满足下列条件时，问题( 1 1 ) ( 1 2 ) 存在惟一的整体解u c 1 ( 0 ，o 。；h 3 ) ，u ( 1 ) g ( u ) = g ( s ) a s o ； ；( 2 ) 1 9 ( u ) l a ( g ( 乱) ) 引u i + b 其中a ，b 为常数，l p o o 定理2 设妒h 1 ，妒h 1 ，( 一) 寻妒h 2 ，( 一) 寻妒h 2 ，9 ( s ) c 2 ( 兄) ，夕( o ) = 0 ， g ( u ) = g ( s ) d s ，g ( 妒) l 1 ，且存在常数q 0 ，使得对任意的u 冗有 2 9 ( u ) u 2 ( 2 + 口+ 姜) g ( u ) + ( q + 妥) 乱2 ( 6 ) 那么c a u c h y 问题( 1 1 ) ，( 1 2 ) 的解u ( x ，z ) 在有限时刻发生b l o w u p ，如果初始值满足下 列条件之一： ( 1 ) e ( 0 ) 刹( - ) 翻1 2 + 删1 2 ) 一筹风 ( 2 ) e ( 0 ) = 0 ， 2 ( ( 一) t - 1 妒，( 一) 寻矽) + 2 a ( 妒，妒) 罴( i i ( 一) 寻妒1 1 2 + 入i i 妒1 1 2 ) ( 3 ) e ( 0 ) 0 ， 2 ( ( 一) 寻妒，( 一磋) 寻妒) + 2 入( 妒，妒) 本文将用到以下记号和结论：护( 兄) 表示通常的i _ 2 空间，i l u l l p = l l u l l l , ，l l u l i = 训1 2 ，h 8 表示r 上的s o b o l e v 空间，它的范数定义为 0 u i i h 。= i l ( 1 + i 1 2 ) 墨也l | 3 第二章c a u c h y 问题( 1 1 ) ，( 1 2 ) 局部解的存在性与惟一性 本章我们利用压缩映射原理证明c a u c h y 问题( 1 1 ) ，( 1 2 ) 局部解的存在性与惟一 性并得至i 卜些重要的估计 引理2 1 对任意的s r ，我们有 i i s ( t ) , p 1 1 俑( 1 + t ) l l g , 1 1 日v 缈日s l l a , s ( t ) 妒1 1 i i 妒1 1 日 v 妒h 5 l l a t s ( ) 妒0 日j 吴i i 妒1 1 。v 矽h 8 证明：对任意的妒日3 ，妒何s ，我们有 a s ( ) 妒( z ) 0 日= i i ( i + l 1 2 ) 量莎【a s ( ) 妒( z ) 】i i = i i ( 1 州励c o s ( 滞褊) l i i i 俨 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 啪冰1 2 ) 锨f ，鬻s 叫滞编州 = ( 仁c 1 州) 。| 卯黔警【s i n c 滞镐) 】2 武) 5 = ( 尉，卅州卯糌警母c 蒜褊) | 2 必 叱( 1 州) 8 i 卯喘豁鬻【s i n ( 茄褊) 】2 然) 5 ( j ( i 。( 1 + l 1 2 ) 5 2 l ( ) 1 2 必+ j ( 1 。( 1 + i 1 2 ) 8 史 毛剖辫i 驴1 2 蜓) 5 、l 1 一 i 专l 。【七+ l i o ) ” 4 ( 2 丘| 】( 1 + 2 州p ( 钏2 必+ ( 1 + a ) 名f 。( 1 + 吲2 州p 1 2 固5 佣( 1 + t ) l l 妒1 1 日。 巩s ( ) 妒( z ) 怯= i i ( 1 + m 暑厂b s ( ) 妒( z ) | i = ( 仁c 1 删h 卯拱粽陋n c 者褊】2 ) 武) 5 去( 仁( 1 埘h 肿一南) ( 1 + 错) 武) 5 袁h ， 引理证毕 先给出两个重要的引理，然后构造一个适当的b a n a c h 空间及其上的一个严格压缩 映射 引理2 2 1 1 2 】假设g ( u ) c 七( r ) ，g ( o ) = 0 ，让h 5nl ，且k = h + 1 ，s 0 ，则当 i l u l l m 时， i i g ( u ) i i h s k ( m ) i l u l i h ， 其中k 1 ( m ) 是依赖于m 的常数 引理2 3 1 1 8 】假设s 0 ，g ( u ) c 七( 兄) ( k = 【s 】8 + 1 ) ，若让，移h 。nl ，则当 0 仳0 + l l u l l - m ，l l u l l 。+ l i v l l 。m 时， i l 夕( u ) 一9 ( u ) 1 1 日k 2 ( m ) l l u v l l , 了。， 其中k 2 ( m ) 是依赖于m 的常数 定义函数空间x ( t ) = c 1 ( o ，丁；h 8 ) nc 1 ( o ，丁；h 8 ) ，并赋予范数 i i 仳i i x ( 即2 l o ，m a 。x 1 i i u ( 啪斗m m 5 ) ， 则易得x ( t ) 是一个b a n a c h 空间。令 b n ( t ) = 乱x ( 丁) ；jj 钆l l x ( t ) 冗) 则b r ( t ) 是x ( t ) 的一个闭子集 对任意u b r ( 丁) ，定义映射 圣：垂( 牡( z ，) ) = a s ( ) 妒( z ) + s ( ) 矽( z ) + s ( t 一7 - ) ( ，一入) _ 1a f ( u ( t ) ) d t 下面证明对于适当选取的r 和t ，圣是如( 丁) 上的严格压缩映射 引理2 4 假设s 互1 ，妒h 8 ，妒h 8 ，且g c m + 1 ( 冗) ，g ( o ) = 0 ，则对于适当选取 的r 和t ，圣是巩( 丁) 到自身的严格压缩映射 证明：( i ) 证明圣映b n ( t ) 到自身 设u b r ( t ) ，由引理( 2 2 ) 可得 l i g ( u ) i i h k 1 ( m ) i l u l i h 。，( 2 4 ) 类似于引理( 2 1 ) 有 1 1 ( i - a z x ) - 1 酬u ( 7 - ) ) j b 一【r n ( 1 球| 2 ) w ( 拍) 1 2 揣球 ， 上1 - l 0 ，u l ( z ，t ) ，u 2 ( z ，t ) 满足 ju l ( x ，) = u 2 ( x ，) ，v 【0 ，t o l ， l 乱l ( z ，) 让2 ( z ，) ， v ( t o ，t o + e 】 7 其中e 0 充分小由 札( z ，z ) = 夙s ( ) 妒( z ) + s ( ) 妒( z ) + ts ( 一丁) ( ，一入) 一1 厂( u ) 打 知 札( z ，t ) = 圣( u ) = o , s ( t t o ) o t s ( t o ) 5 i o ( x ) + s ( o ) 妒( z ) + s ( t o 一7 - ) ( j 一入) _ 1 a f ( u ) d r 】+ s ( t t o ) o u s ( t o ) 妒( z ) + o t s ( t o ) 妒( z ) + z 抽删卜丁m 一圳。，( u ) d r l + 即叫( 卜圳。1 训刚丁 = a s ( 一幻) 缸( z ，t o ) + s ( t 一o ) 乱( z ，t o ) + s ( t 一7 - ) ( ，一a ) - 1 a f ( u ) d r = a 圣( u ) 由假定知对足够小的e 0 ，积分方程垂( 让) = 乱在( t o ，t o + 毒) 上有两个不同的解：另一 方面，我们可选适当r 和e 0 ，使得映射牡h 圣( u ) 是以x ( ( 幻，t o + e ) ) 的原点，兄为半 径的球b r 上的压缩映射，类似引理2 4 的证明，对于充分大的r ，u 1 和u 2 在( t o ，t o + ) 上的限制应落到b r 中，产生矛盾说明解是唯一的 ( i i ) 由前面讨论知咖h a , 妒。，问题( 1 1 ) ，( 1 2 ) 至少在某个区间【0 ，乃】上存 在惟一解 i t x ( 置) 以u ( x ，乃) 和毗( z ，冗) 为初值，利用压缩映射原理知问题( 1 1 ) ， ( 1 2 ) 存在唯一解u x ( 乃) ，t 2 乃重复这一讨论过程可得到一个单增的时间序 列 瓦) 芒。 而对于序列 死) 墨1 设t o = 1 i m 疋则由z o r no l 理：t 0 或为有限值或为无穷大 若蜀= 。l i r a 死= o o ，则问题( 1 1 ) ，( 1 2 ) 的解关于时间t 是整体存在的 k o o 若死 o o ，则 l i m s u p l l u l l h + i i 锄1 1 - ) = 0 0 t - t o 若不然，l i r a s u p l l u l l n 一+ i i l l t0 曰- ) = 风 0 是c a u c h y 问题( 1 1 ) ，( 1 2 ) 的解 u ( x ，t ) 存在的最大时间，则t c o 的必要条件是 l i ms u p l l u ( t ) l l 。) = c o t t t 1 0 证明：即证由t o 。可推出 l i ms u p l l u ( t ) i ) = 这等价于证明 l i m s u p l u ( t ) l ) = m o o o t t t 时可推m r = o k ) 事实上，由( 3 3 ) 知 加u 怖十蚓啪= 2 ( 也，地) 伊+ 2 ( 钍t t ，饥) 日 2 1 l u l l 。0 撕i i 驴+ 2 1 1 41 1 i l u t , 1 1 【妄+ 1 + 7 姜k x ( m ) ( 1 l 牡。l i 备。+ i i u | l 备) 利用g r o n w a l l 不等式可得 0 仳i i 备。+ i l u 。j j 刍。( 0 妒l l 备。+ l l 砂i i 备。) e 睦+ 1 + 妾+ 要k t ( m ) 】t 因此，问题( 1 1 ) ( 1 2 ) 的解u ( x ，) 的日8 范数不会在有限时刻爆破，即u ( z ；t ) 是整体解定 理证毕 引理3 2 设叫( z ) 为下列偏微分方程的g r e e n 函数： 牡( z ) 一a u ( z ) = 0( 3 4 ) g q f a u r i e r 变换我们得到： 吣) = 去f 0 0 0 - - x 2 。e - 6 6 芋砸 ( 3 5 ) g r e e n 函数满足下列性质： ( 1 ) ( z ) 在r 上是连续的，r w ( x ) 0 ( 2 ) 叫( z ) l 口且0 叫( z ) 0 l = 入暑， 若n = 1 ，1 g 0 0 ；若n = 2 ，1 g o 。；若礼3 ，1 g 舟 证明：这里我们仅对( 2 ) 来证 i i ) 1 1 1 w ( x ) l l ，：( 4 丌) 一e - 6 t ( 厂e 菇d z ) d 6 1 = ( 4 7 r ) e 甜出) d 6 ，0 j r n _ ( 4 妒z e 嘞警( 厶e 云l u l 2 a 堋陬) 詈z 。e 嘞孚( 厶别2 砸 1 1 w ( ) l l l 埘( x ) l l 。( 4 丌) 号厂e 6 6 乎( 厂e 鳟d z ) 。( 4 7 r ) 号e 。6 乎( e 哿d z ) ；砸 j 0 j r “ = ( 妒厂了4 6 a _ j 0 6 6 乎砸 v = 入秀( 4 7 r ) 而一虿q 百f ( 1 - 三+ 豸) 定理证毕 ，u 定理3 2 假设定理2 1 的条件成立，且g ( s ) c 【司+ 1 ( r ) ，夕( o ) = 0 ，g ( 札) = g ( s ) d s ， 且g ( 妒) l 1 ，则当g ( u ) 满足下列条件时，问题( 1 1 ) ( 1 2 ) 存在惟一的整体解札 c 1 ( o ，o o ；h 8 ) 产 ( 1 ) c ( u ) = g ( s ) d s o ； ( 2 ) 1 9 ( u ) i a ( g ( u ) ) l u l + b ，其中a ，b 为常数，1 p o 。 证明：由定理2 1 知在假定条件下c a u c h y 问题( 1 1 ) ( 1 2 ) 存在惟一的整体解 u ( z ，) c 1 ( o ，t ih 8 ) 其中t 是解“( z ，) 存在的最大时间下证明丁= o 。 根据定理3 1 ，我们只需证明l i m s u p l l u ( 0 1 1 ) 0 ，使得对任意的t l r 有 2 9 ( u ) 让2 ( 2 + q + 妥) g ( u ) + ( q + 妥) u 2 ( 4 3 ) 那么c a u c h y 问题( 1 1 ) ，( 1 2 ) 的解乱( z ，) 在有限时刻发生b l o w - u p ，如果初始值满足下 ( 1 ) e ( o ) 翱( - ) 嘲1 2 + 刈m 一筹风 ( 2 ) e ( o ) = 0 ， 2 ( ( 一) 等妒，( 一) 荸妒) + 2 a ( 妒，矽) 罴( i | ( 一) 寻妒1 1 2 + x i i 妒1 1 2 ) ( 3 ) e ( o ) 0 ， 2 ( ( 一) 孚妒，( 一) 寻砂) + 2 a ( 妒，砂) 1 4 证明：令 圣( ) = i t ( 一) 亭孔1 1 2 + ) , l l u l l 2 + 阮( + t o ) 2 ，( 4 4 ) 其中风，t o 是待定的非负常数则有 垂( ) = 2 ( ( 一) t - it 正，( 一) 孚地) + 2 , x ( u ，饥) + 2 f l o ( t + t o ) ， 利用s c h w a r t z 不等式可得 圣7 ( ) 4 垂( ) 川( 一) t - 1 u t i l 2 + a l i 毗1 1 2 + 岛】( 4 5 ) 和 圣( ) = 2 ( ( 一) t - 1u ，( 一) 丁- 1 t 正托) + 2 a ( ，u ) + 2 1 1 ( 一) t - 1u 。1 1 2 + 2 , 入l l u 。1 1 2 + 2 阮 = 2 ( ( 一) _ 1 u 扰- 4 - x u t ，u ) 4 - 2 1 1 ( 一) t - 1 地1 1 2 + 2 a i i 饥1 1 2 + 2 阮 = 2 ( 一( c 2 七2 一) ( 七2 一) 一1 t 一9 ( 牡) 一7 u t ，u ) + 2 1 1 ( 一) t - 1 毗1 1 2 + 2 a l l u 1 1 2 + 2 岛 = 一2 j l ( k 2 c 2 一) i 1 ( 尼2 一) 寻训1 2 2 0 ( 仳) ，u ) 一柳( 地，孔) + 2 1 1 ( 一) t - 1 饥1 1 2 + 2 a l l u 。1 1 2 + 2 阮( 4 6 ) 从而由( 4 4 ) ，( 4 5 ) ，( 4 6 ) 可得 西( ) 圣( t ) 一( 詈+ 1 ) ( 圣( ) ) 2 量( ) 圣( ) 一( 4 + q ) 圣( ) ( o ( 一) t - 1 毗1 1 2 + 入o u t i l 2 + 岛) = 圣( ) 【一2 1 1 ( k 2 c 2 一) i 1 ( 七2 一) 亭乱1 1 2 2 ( 9 ( u ) ，u ) 一2 7 ( 砜，u ) 一( 2 - - i - 口) 【l i ( 一) 荸就t i l 24 - 入j i 仳t i l 2 】一( 2 - i - q ) 岛】 注意到 2 7 ( u t ，u ) 7 ( 1 l u 。1 1 2 + i l u l l 2 ) ( 入1 1 2 ) + d l u l l 2 = 【2 e ( o ) 一i i ( 一) t - 1 u 。1 1 2 一i i ( k 2 c 2 一) i 1 ( 七2 一a ) 寻u l l 2 2 ，yz 2i i 牡t 1 2 d r - 2 mg ( u ) 酬+ 7 i i u i l 2 ( 2 + q ) ( i i ( 一) 亭1 1 2 + a 0 u 。1 1 2 ) ( 2 + q ) 【2 e ( o ) 一i i ( k 2 c 2 一) j 1 ( 七2 一a ) ：c u l l 2 2 7 j 0 0 ti i l 2 d r - 2 mg ( 牡) d z 】 则： 圣( ) 矿( t ) 一( 詈+ 1 ) ( 圣他) ) 2 圣( ) 【( q + 剐( 忌2 d - a ) ( k 2 一) 亭乱1 1 2 - - d