（固体力学专业论文）辛体系算法在波的传播与振动问题中的应用.pdf

大连理工大学博士学位论文 摘要 随着科技的不断发展，各种工程问题逐渐趋向复杂化，非线性领域也引起越来越多 的重视。因此得益于计算机技术发展的科学计算得到了飞速的发展。科学计算已经同理 论与实验共同构成当代科学研究的三大支柱。本博士论文在h a m i l t o n 体系框架下，研究 了辛几何算法在部分波传播问题和振动问题中的应用。辛几何算法相对传统算法有其独 特的优越性，因为保守体系可用h a m i l t o n 体系的方法描述，其特点是保辛。保辛给出保 守体系结构最重要的特性。而对于某些非保守系统则也可通过转化为保守系统进行分 析。针对某些波传播问题和振动问题，在辛体系下应用精细积分法、扩展的w i t t r i c k - w i l l i a m s 算法、子结构分析、界带分析等理论方法提出了一系列算法。大量的数值算例 表明，本文给出的辛几何算法在效率上和精度上有较大的优势。本论文的主要研究工作 如下： ( 1 ) 将精细积分法应用于二阶椭圆函数的求解，给出了二阶椭圆函数的精细积分算 法。大量的算例验证了算法的可行性和正确性，并通过奇点处理使算法进一步完善。通 过与其他的现有算法和软件对比，发现椭圆函数的精细积分算法无论是在精度上、速度 上还是在适用范围上都优于其他算法。随后在分层介质光波导问题的应用中再次证明该 算法在处理工程问题时存在很大的优势。 ( 2 ) 利用电磁波导的辛体系理论分析并求解了分层介质中光波导的问题。首先在辛 体系下，对线性分层介质波导问题进行了分析，指出其本征值问题的复杂性。进而将精 细积分法与扩展的w i t t r i c k w i l l i a m s 算法相结合给出了一种高精度的求解方法。利用本 征值计数可以做到指定范围准确求解而且决不丢根，这是本文算法的一大特点。在此基 础上还对非线性分层介质光波导问题作了简单的分析，并利用精细积分方法求解了非线 性k e r r 材料的分层介质波导问题。 ( 3 ) 在l a g r a n g e 坐标下，利用位移法提出了一个描述浅水波问题的新方程。该方程 不同于传统的e u l e r 坐标系下的浅水波方程，位移法浅水波方程可以用其相应的 l a g r a n g e 函数、变分原理进行分析，沿分析结构力学的路走，从而达到保辛。孤波现象 在浅水波问题中受到广泛重视，位移法浅水波方程也可以得出孤波解。大量的数值算例 发现：在浅水波的基本假设下，位移法孤波解与传统的k d v 方程的孤波解非常接近。 本文还分析了两种方法的特点与区别，指出位移法浅水波方程为利用分析结构力学研究 浅水波问题开辟了一条新路。 ( 4 ) 本文研究了非线性d u f f i n g 方程的保辛数值算法，并指出利用时间有限元等数 值方法求解时须注意的保辛性问题。空间有限元是自动保辛的，因为有限元是基于变分 姚征：辛体系算法在波的传播与振动问题中的应用 原理的；而从变分原理导出的时间有限元矩阵也有对称性，从而达到保辛。对于非线性 振动问题的数值求解常用到摄动法，传统摄动法采用加法摄动，无法实现保辛。本文在 处理该问题时采用乘法摄动，从而保证了传递矩阵保持为辛型，实现了保辛。通过和传 统r u n g e k u t t 法的大量数值对比，验证了本文算法的正确性和稳定性。 ( 5 ) 对于工程问题中广泛存在的跨域影响问题，将子结构间的分界面扩展为有一定 宽度的分界带从而建立了乔带结构，并给出了相应的子结构界带分析和色散分析的理论 和算法。并把界带理论引入到碳纳米管的声子谱分析计算当中。在辛体系下分析了碳纳 米管的传统结构力学模型计算结果的不足，并提出了一个全新的界带结构模型。通过将 子结构法、w i t t r i c k w i l l i a m s 算法和界带分析相结合，给出了界带模型下碳纳米管声子 谱的辛几何计算方法。大量的数值算例对比显示了界带模型和辛体系算法的独特优越 性。 关键词：h a m il t o n 体系；辛算法；保辛；精细积分；界带 大连理工大学博士学位论文 a p p l i c a t i o n so fs y m p l e c t i ca l g o r i t h mi nw a v ep r o p a g a t i o na n d v i b r a t i o np r o b l e m s a b s t r a c t w i 也t h ed e v e l o p m e n to fs c i e n c ea n dt e c i m o l o g y t h ee n g i n e e r i n gp r o b l e m sb e c o m e m o l ea n dm o r ec o m p l i c a t e d ，a n dm o r ea n dm o r er e s e a r c h e r sa t t a c hi m p o r t a n c et ot h e n o n l i n e a rr e g i o n t h ec o m p u t a t i o n a ls c i e n c e , w h i c hb e n e f i t sf r o mt h e d e v e l o p m e n to f c o m p m e rt e c h n o l o g y ，g o tab o o m i n gd e v e l o p m e n t ，t h ec o m p u t a t i o n a ls c i e n c e ，t o g e t h e r 丽t l l t h et h e o r i e sa n de x p e r i m e n t s ，b e c o m et h et h r e em a j o rp i l l a r so ft h ec o n t e m p o r a r ys c i e n t i f i e r e s e a r c h a p p l i c a t i o n so fs y m p l e e t i cg e o m e t r ya l g o r i t h mb a s e do nh a m i l t o ns y s t e mi nw a v e p r o p a g a t i o na n dv i b r a t i o np r o b l e m sa r ep r e s e n t e di nt h i sd o c t o r a lt h e s i s c o m p a r i n gw i t l lt h e t r a d i t i o n a la l g o r i t h m s , t h e s y m p l e c t i cg e o m e t r ya l g o r i t h mh a su n i q u ea d v a n t a g e s a c o n s e r v a t i v es y s t e mc a l lb ed e s c r i b e dw i t ht h eh a m i l t o ns y s t e mm e t h o d o l o g y , a n di t s c h a r a c t e r i s t i ci st h ec o n s e r v a t i o no fs y m p l e e t i e n e s s , w h i c hi st h em o s ti m p o r t a n tf e a t u r eo f c o n s e r v a t i v es y s t e m s b yt r a n s l a t i n gi n t ot h ec o n s e r v a t i v es y s t e m , s o m en o n - c o n s e r v a t i v e s y s t e m sc a na l s ob ed e a l tw i t hs y m p l e c t i ca l g o r i t h m s as e r i e so fa l g o r i t h mf o rw a v e p r o p a g a t i o na n dv i b m d o np r o b l e m si sp r e s e n t e di nt h ef r a m e w o r ko ft h eh a m i l t o ns y s t e m m e t h o d o l o g y ，f o r w h i c ht h e p r e c i s ei n t e g r a t i o nm e t h o d ( p i m ) ，t h e e x t e n d e d w i t t r i c k - w i l l i a m s ( w - w ) a l g o r i t h m , t h es u b - s t r u c t u r ea n a l y s i sa n dt h ei n t e r - b e l tt h e o r ya l e i n t e g r a t e dt os o l v et h ec o n c e r n e dp r o b l e m s p l e n t yo fn u m e r i c a lr e s u l t si n d i c a t e dt h a tt h e s y m p l e c t i cg e o m e t r ya l g o r i t h mu s e d mt h i st h e s i sh a sa d v a n t a g e si ne f f i c i e n c ya n dp r e c i s i o n t h em a i nr e s e a r c hw o r kc o v e r st h ef o l l o w i n gt o p i c s ： ( 1 ) t h i st h e s i sp r e s e n t st h ep r e c i s ei n t e g r a t i o nm e t h o d so f s e c o n do r d e re l l i p t i cf u n c t i o n s a f t e rv a l i d a t i n gt h ea l g o r i t h mb yn u m e r i c a le x a m p l e s ，t h ei m p r o v e m e n to f t h ea l g o r i t h mo n s i n g u l a rp o i n t si sa l s op r e s e n t e d b yc o m p a r i n gw i t l lo t h e re x i s t e n ta l g o r i t h ma n ds o r w a r e i t i sf o u n dt h a tt h ep i mo fd l i p t i cf u n c t i o n sa r eb e t t e ri np r e c i s i o n e f f i c i e n c ya n da p p l i c a b l e r a n g e t h ef o l l o w i n gw a v eg u i d ep r o b l e m si i ll a y e r e dm e d i ap r o v et h ea d v a n t a g e so fp i m a g a i n ( 2 ) t h eo p t i c a lw a v eg u i d ep r o b l e m si nl a y e r e dm e s aa r es o l v e db yu s i n gt h es y m p l e c t i c t h e o r i e si ne l e c t r o m a g n e t i s m t h ew a v eg u i d ep r o b l e m si nl i n e a rl a y e r e dm e d i aa r ea n a l y z e d f i r s t , w h i c ha r ec o m p l i c a t e de i g e n v a l u ep r o b l e m s t h e nan e wa l g o r i t h m ，w h i c hc o m b i n e s w i t ht h ep i ma n dt h ee x t e n d e dw wa l g o r i t h m i sp r e s e n t e d 晰t 1 1 如g hp r e c i s i o n t h en e w a l g o r i t h mc a l l c a l c u l a t et h ee i g e n v a l u e si n a n ys p e c i f i e dr a n g ew i t h o u tm i s s i n ga n y e i g e n v a l u e s tw h i c hi sa l s ot h em a i nc h a r a c t e r i s t i co ft h en e wa l g o r i t h m a f t e rs o l v i n gt h e i i i 姚征：辛体系算法在波的传播与振动问题中的应用 l i n e a rp r o b l e m s ，t h ew a v eg u i d ep r o b l e m si nn o n l i n e a rl a y e r e dm e d i aa r ea l s oa n a l y z e d b r i e f l y a sa l le x a m p l e ，t h ew a v eg u i d ep r o b l e mi nl a y e r e dn o n l i n e a rk e r rm a t e r i a li sa l s o n u m e r i c a l ys o l v e dt h ep i m ( 3 ) b a s e do nt h ed i s p l a c e m e n tm e t h o d ，an e wt y p eo fs h a l l o ww a t e rw a v ee q u a t i o ni s d e d u c e d d i f f e r e n tf r o mt h et r a d i f i o n a ls h a l l o ww a t e rw a v ee q u a t i o ni ne m e l c o o r d i n a t e s y s t e m ，t h en e ws h a l l o ww a t e rw a v ee q u a t i o ni sd e d u c e di nl a g r a n g ec o o r d i n a t es y s t e m h e n c et h es h a l l o ww a t e rw a v ec a nb ea n a l y z e db yu s i n ga n a l y t i cs t r u c t u r a lm e c h a n i c s t h e o r i e s ，s u c ha sc o r r e s p o n d i n gl a g r a n g ef u n c t i o n , t h ev a r i a t i o n a lp r i n c i p l ee t c c o n s e q u e n t l y t h es h a l l o ww a t e rw a v ee q u a t i o nb a s e do nd i s p l a c e m e n tm e t h o dh a st h em e r i to fs y m p l e e t i c c o n s e r v a t i o n ，t h es o l i t a r yw a v ep h e n o m e n a ，w h i e l li sw e l lk n o wi ns h a l l o ww a t e rw a v e a l s o c a l lb eo b t a i n e db yt h ee q u a t i o nb a s e do nd i s p l a c e m e n tm e t h o d u n d e rt h eb a s i ca s s u m p t i o n o fs h a l l o ww a t e r , p l e n t yo fn u m e r i c a lr e s u l t sa r ec a l c u l a t e db yt h ee q u a t i o nb a s e do n d i s p l a c e m e n tm e t h o d ，w h i c ha r ef o u n dv e r ys i m i l a rt ot h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t s # v e nb u yt h e t r a d i t i o n a lk d ve q u a t i o n t h ec h a r a c t e r i s t i c sa n dd i f f e r e n c e so ft w ok i n d so fe q u a t i o n sa r e a l s od i s c u s s e di nt h i st h e s i s ，t h es h a l l o ww a t e rw a v ee q u a t i o nb a s e do nd i s p l a c e m e n tm e t h o d b r e a k san e vw a yt os t u d yt h es h a l l o ww a t e rw a v ei nt h ef r a m w o r ko f t h ea n a l y t i cs t r u c t u r a l m e c h a n i c st h e o r i e s ( 4 ) t h en o n l i n e a rd u f f i n ge q u a t i o ni ss o l v e db yt h es y m p l e e t i cn u m e r i c a lm e t h o d ，i n w h i c hn u m e r i c a lm e t h o d sw i t hs y m p l e c t i cc o n s e r v a t i o n ，s u c ha st i m ed o m a i nf i n i t ee l e m e n t m e t h o d ( f e m ) e t c ，a r eu s e d a c c o r d i n gt ot h ev a r i a t i o n a lp r i n c i p l e ，t h es p a c ed o m a i nf e mi s a u t o m a t i cs y m p t e c t i cc o n s e r v a t i o n h e n c et h em a t r i c e so ft i m ed o m a i nf e m ，w h i c ha r ca l s o b a s e do nt h ev a r i a t i o n a lp r i n c i p l e ，a r es y m m e t r i c a l ，w h i c hp r o v e st h es y m p l e c t i cc o n s e r v a t i o n o ft h et i m ed o m a i nf e m n l es m a l lp a r a m e t e rp e r t u r b a t i o na p p r o x i m a t i o ni sa p p l i e dq u i t e o f t e ni ns o l v i n gn o n l i n e a rv i b r a t i o np r o b l e m s a d d i t i o np e r t u r b a t i o ni su s e di nt r a d i t i o n a l m e t h o do fs m a l lp a r a m e t e rp e r t u r b a t i o n b u ti ti sn o t s y r n p l e c t i cc o n s e r v a t i o n 1 1 1 e m u l t i p l i c a t i v ep e r t u r b a t i o ni su s e di nt h i st h e s i s ，t h e r e f o r et h et r a n s f e rm a t r i c e sk e e p i n gt h e i r s y m p l e c f i c n e s s ，w h i c hi n s u r e st h ep e r t u r b a t i o nm e t h o di ss y m p l e c f i cc o n s e r v a t i o n c o m p a r e d w i t ht h et r a d i t i o n a l r u n g e k u t tm e t h o d ，t h ev a l i d i t y a n ds t a b i l i t yo ft h es y m p l e c t i c p e r t u r b a t i o nm e t h o di nt h i st h e s i sa r ep r o v e db yp l e n t yo f n u m e r i c a le x a m p l e s ( 5 ) t h ec r o s sd o m a i ni n f l u e n c ei sw i d e l yt a k e ni n t oc o n s i d e r a t i o ni nr e c e n t l ye n g i n e e r i n g p r o b l e m s b ye x p a n d i n gt h er e g i o n ( i n t e r f a c e ) b e t w e e nt w os u b s t r u c t u r e st os o m ew i d t h ，t h e r e g i o np r e s e n tm u l t i l a y e rb e h a v i o r n a m e di n t e r - b e l t 1 1 1 es y m p l e c t i ct h e o r i e sa n da l g o r i t h m o fs u b s t r u c t u r ei n t e r - b e l ta n a l y s i sa n dd i s p e r s i o na n a l y s i sa r cp r e s e n t e di n t h i st h e s i s t h e n t h ep h o n o nd i s p e r s i o nr e l a t i o np r o b l e mi nc a r b o nn a n o t u b e si sa n a l y z e dw i t ht h ei n t e r b e l t t h e o r y i nt h eh a m i l t o ns y s t e mm e t h o d o l o g y ，t h ep h o n o nd i s p e r s i o nr e l a t i o n so fc a r b o n n a n o t u b e sc a l c u l a t e db yt h et r a d i t i o n a ls t r u c t u r a lm e c h a n i c sm o d e i sa r ed i s s a t i s f a c t o r y a f t e r i v 大连理工大学博士学位论文 a n a l y z i n gt h en u m e r i c a lr e s u l t so b t a i n e db yt r a d i t i o n a lm o d e l s ，an e wi n t e r b e l ts t r u c t u r a l m o d e li sp r e s e n t e di nt h i st h e s i s 1 1 1 ec o r r e s p o n d i n gs y m p l e c t i cg e o m e t r ya l g o r i t h m , w h i c hi s c o m p o s e do ft h es u b s t r u c t u r em e t h o d ，t h ew wa l g o r i t h ma n dt h ei n t e r b e l ta n a l y s i s ，i s e s t a b l i s h e d p l e n t i f u ln u m e r i c a le x a m p l e sa n dc o m p a r i s o n sa r eg i v e n ，w h i c hs h o wt h e p a r t i c u l a ra d v a n t a g e so f i n t e r - b e l tm o d e la n ds y m p l e c f i ct h e o r i e sa g a i n k e yw o r d s ：h a m i l t o ns y s t e m ；s y m p l e e t i ca l g o r i t h m ；s y m p l e c t i ec o n s e r v a t i o n ；p r e c i s e i n t e g r a t i o nm e t h o d ；i n t e r - b e l t v 一 独创性说明 作者郑重声明：本博士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所傲的贡献均己在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：挝鱼日期：! ! 翌：! ：驾 大连理工大学博士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 作者签名： 如k钮 导师签名： 王。7 年占月z j 日 大连理工大学博士学位论文 1 绪论 1 1 选题背景 随着计算机的发展，计算机技术、计算数学和力学交叉而产生了一个新的学科分支， 这就是计算力学。计算力学致力于研究采用计算机技术求解工程和科学中的力学及与力 学有关的耦合问题的理论、算法和软件【l 】。计算力学横贯各个力学分支，为它们服务， 促进它们的发展，同时也受它们的影响。计算机技术的飞速发展同时大大促进了数值计 算领域的突飞猛进，各种新算法、程序集与软件包被不断地发布。数值计算不仅可以用 于核实实验结果、分析数学模型和用于商业化软件的制作，还可以揭示出一些前所未知 的物理现象，如两个非线性孤立波在相遇和干扰后仍能保持原有的振幅和波形，就是首 先从数值计算中发现，以后才由实验证实的。因此研究可应用于工程问题的算法及相关 理论是十分重要和必要的。2 0 0 5 年6 月美国总统顾问在一份名为c o m p u t a t i o n a ls c i e n c e ： e n s u r i n g a m e r i c a s c o m p e t i t i v e n e s s ) ) 的报告中指出：“计算科学已经成为科学领先， 经济竞争力和国家安全的关键”【2 】，足见其对计算科学的重视性。钱学森先生曾经说过： “总起来一句话：今日的力学要充分利用计算机和现代计算技术去回答一切宏观的实际 科学技术问题，计算方法非常重要；另一个辅助手段是巧妙设计的实验。” 在各种工程问题中，有些问题已有很成熟的算法，但有些问题还需要进一步的研究 与改善。很多工程问题之所以停滞不前、难以改善是因为受到一些传统力学概念与体系 的束缚，尤其我国在应用力学领域受t i m o s h e n c o 理论的影响就很深。孙子兵法有 云：“上兵伐谋”，“出其所不趋，趋其所不意”，故此时宜转换到有利的体系下再作 研究。结构力学与控制理论的模拟理论表明，它们的数学基础是相同的。这说明力学中 多门学科相互间是密切关联的。它们应有一个公共的理论体系。只要换成辛对偶变量体 系，就可以建立起这个公共理论体系。 经典分析力学是力学最根本的体系。l a g r a n g e 方程、最小作用量原理、对偶变量、 h a m i l t o n 正则方程、辛变换及h a m i l t o n j a c o b i 理论等等，都是非常优美的数学理论体系。 并且理论物理中的统计力学、电动力学、量子力学等学科也奠基于分析力学。现代控制 论所奠基的状态空间法的起点至少也应当回溯到h a m i l t o n 正则方程体系。将对偶变量理 论体系引入到弹性力学，导向了理性的求解方法，可以求得许多以往半逆凑合法无法导 出的结果。线性规划、二次规划以及非线性规划的基本方法也奠基于对偶体系基础上。 基于以上观察，应用力学也应当自觉地、系统地将对偶体系运用于其他各个学科分支【”】。 本文在辛对偶体系的统一框架下，将辛几何算法应用于应用力学中的一些波传播问 题与振动问题，推导并给出了这些问题的可行数值方法。 姚征：辛体系算法在波的传播与振动问题中的应用 1 2h a m i l t o n 体系与辛数学方法的发展 h a m i l t o n 体系是动力系统的重要体系，一切真实的、耗散可忽略不计的物理过程都 可表示成h a m i l t o n 体系，它的应用范围很广，包括结构生物学、药理学、半导体、超导、 等离子体、天体力学、材料和偏微分方程，其中前5 个方面应用已列为美国研究计划重 点“g r a n dc h a l l e n g e s ”。2 0 世纪量子力学的创始人之一s c h r 6 d i n g e r 曾说过：“h a m i l t o n 原理已经成为现代物理的基石，如果您要用现代理论解决任何物理问题，首先得把 它表示为h a m i l t o n 形式。”1 5 1 以上说明h a m i l t o n 体系是遍在的、普适的。而且它具有能将不同物理规律纳入其统 一数学形式的优点。因此有理由认为，对于h a m i l t o n 体系进行计算方法的系统性研究有 着极其宽广应用价值【卯。从l a g r a n g e 体系向h a m i l t o n 体系的过渡，其意义还在于从传 统的欧几里得形态进入到辛( s y m p l e c t i c ) 几何的形态之中，突破了传统观念，从而使辛对 偶的混合变量进入到应用力学的广大领域【3 ，“。 h a m i l t o n 体系和辛几何算法是如此重要，但长久以来并未受到广泛重视。h a m i l t o n 本人是从几何光学着手创建他的理论模式的，然后才转向与光学相距甚远的力学。1 8 3 4 年h a m i l t o n 曾说：“这套思想与方法业已应用到光学和力学，看来还有其他方面的应用， 通过数学家的努力还将发展成一门独立的学问。”但1 9 世纪同代人对其反应很冷淡， 认为这套理论“漂亮而无用”。著名数学家k l e i n 在对h a m i l t o n 形式的理论给于很高评 价的同时，对其实用价值亦持怀疑态度，他说：“这套理论对物理学家是难望有用的， 而对工程师则根本无用。”这种怀疑，至少就物理学范畴而言，是被随后的历史发展所 完全否认了【5 】。这是传统方法论的缺失，也是开展科学研究的极佳阵地，正所谓“避实 而击虚”。 在国内，冯康先生于1 9 8 4 年在国际微分几何与微分方程北京讨论会上，提出了 h a m i l t o n 辛几何算法 6 1 ，并组织研究队伍进行系统深入的理论研究和数值实验，经过十 余年坚持不懈的努力，取得了极其丰硕的成果【5 6 ，7 j 。钟万勰教授等根据结构力学与控制 理论的模拟关系，将对偶变量理论体系引入到弹性力学，导出一套新的基本方程，建立 了弹性力学h a m i l t o n 体系辛求解的一般方法【8 。”。这种方法改变了以往弹性力学求解中 大量运用半逆凑合法的传统，而导向了理性的求解方法。这样就可以求得许多以往半逆 凑合法无法导出的结果。其后，钟万勰教授等又将h a m i l t o n 体系推广到其他应用力学领 域【1 5 1 6 , 1 7 1 。 数学是处理自然科学中自然现象和物质变化过程的有力工具。可以说，几乎每一门 新兴学科的诞生、发展和完善都归结为数学理论的研究与发展。h a m i l t o n 系统理论的数 学基础的探讨和研究，孕育了一个不同于欧氏几何、黎曼几何但又几乎可以与它们媲美 大连理工大学博士学位论文 的几何空间辛几何空间【l ”。辛几何就是h a m i l t o n 力学的数学框架。辛几何算法的 主要特征是使得离散化后的方程保持原有系统的辛结构，也就是保辛。现代辛几何的兴 起，应该说是从k a m 定理的建立开始的。在2 0 世纪7 0 年代，由于研究f o u r i e r 积分算 子、几何量子化与群论、临界点分类、l i e 代数对偶空间上的h a m i l t o n 系统的需要，人 们对辛几何作了大量的研究，从而推动了这些研究领域的发展，进入2 0 世纪8 0 年代后， 整体辛几何的研究相继出现，如硬辛几何的研究、矩阵映射凸性的研究、辛映射不动点 研究等。看来，不仅辛几何本身的研究是极其丰富而具有生命力的，而且它的应用领域 极其广泛，如天体力学、等离子体物理、几何光学、高能加速器的设计、弹性力学、流 体力学、最优控制等【5 1 。 1 3 分层介质波导与浅水波问题研究现状 自然界中存在着各种各样的波动现象，其中光波和水波现象是最为常见的。光学和 流体力学都是有着悠久历史的学科，光学和流体力学的研究对人类科技和社会的发展发 挥了很大的作用。当今社会，随着科技的不断发展很多新问题不断涌现，光学和流体力 学同样面对着各种各样的新的挑战。由于计算机技术的发展，很多以往难以解决的复杂 问题如今都借助计算机强大计算能力而得以解决，相应于光学问题与流体力学问题的算 法研究也得到了重视和发展。 1 3 1 分层介质中的光波导问题 光束在介质中传播时，会由于介质的吸收，散射和衍射引起耗散，这会导致光束强 度的衰减。因此需要设计制作某种器件来引导光束的传播，使光束的能量耗损降到最小， 这种器件通常称为光波导，简称波导。早期以光波导为题材的专著有两本，分别是k a p a n y 与b u r k e 的著作【挣】和m a r c u s e 的著作【2 0 l 。之后随着光波导和集成光学的发展，又陆续出版 了一些相关专著 2 1 , 2 2 , 2 3 】。 结构最简单的波导是由三层均匀介质组成的，中间的介质层称为芯层或薄膜层，上 下两侧介质分别称为封装层和衬底层【2 ”。薄膜层的介电常数要比两侧介质的介电常数 大，使得光束能够集中在薄膜层中传播，从而起到波导作用。这种波导通常称为平面波 导或薄膜波导。除了平面波导，常见的还有用于光纤传输的介质圆波导，本文的研究对 象就是平面波导。当薄膜层为多层的复合材料时，就构成多层介质波导问题。由于光波 传输技术的发展和工程的需要，分层介质的波导问题受到了广泛的关注。近年来，分层 介质波导相关的文献和著作1 2 5 础1 也很多，其中在著作【2 8 】中作者系统地讨论了从三层介 质材料到五层介质材料的平面波导问题。 光波在本质上是一种电磁波，讨论光波导的最基本理论就是电磁场的理论方法。电 姚征：辛体系算法在波的传播与振动问题中的应用 磁场方程的h a m i l t o n 形式( 连同其l a g r a n g e 形式) 很早就已出现，根据电磁波导的h a m i l t o n 体系，辛分析可用于任意各向异性材料，而且便于处理不同区段的界面条件。横向的电 场和磁场构成了对偶向量。从而分离变量、h a m i r o n 算子矩阵本征值问题、共轭辛正交 归一关系、本征解的展开定理等整套理论，可以适用于各种波导的课题 1 5 , 2 9 , 3 0 1 。光波属 于电磁波，基于h a m i l t o n 体系的波导分析和辛算法同样适用于分析光波。通过将分层介 质光波导问题引入至i j h a m i l t o n 体系下，可利用变分原理和辛几何算法求出原问题的本征 值，进而可分析其本征值的能带【3 1 , 3 2 特性。但薄膜层内的介质种类越多得到的本征值方 程也就越复杂，要处理好这个问题就要用到子结构法和本征值计数 3 3 3 】。把每一层介质 都看作一个子结构，利用本征值计数来计算整体结构的本征值。但介质是连续体，为了 精确计算需要把每层介质刨分成无限小的薄膜，如果直接用有限元计算会遭遇计算量太 大的问题。这时候利用精细积分方法【3 ，3 9 1 与扩展的w i t t r i e k - w i l l i a m s 算法【4 5 1 就可以快 速准确地解决该问题；不仅可以计算任意层数的复杂结构，而且不会遗漏任何本征值。 非线性现象广泛存在于自然界中，线性行为只是在平衡状态附近的近似结果。随着 半导体技术和复合材料的发展，非线性问题的研究引起越来越多的重视。非线性光学是 在激光被发现后于2 0 世纪6 0 年代开始发展起来的一门新兴学科1 4 6 枷l ，并已成为近代科学 前沿最为活跃的领域之一。近年来随着信息科学的迅速发展，国内外对一些非线性光学 器件的制作与应用开展了广泛的研究，而对这些器件的研究也正是建立在非线性光波导 模式理论的基础上。k e i g oi i z u k a 在他的著作 4 9 中对非线性多层介质的光波导作了讨 论。分析发现，在非线性k e r r y 料构成的薄膜层内波函数以椭圆函数 5 0 , 5 1 】的形式传播， 在进行分析计算时的迭代运算需要对不同的椭圆函数进行大量的计算。而要解决好椭圆 函数的计算问题还需要利用精细积分方法。 1 3 2 浅水孤波问题的发展现状 中国沿海有广阔的大陆架及浅海区，中国所管辖的海域有近三百万平方公里( 相当 于中国陆地国土的三分之一) 。但中国现阶段总体海洋开发程度低，并存在着对某些资 源的浪费和环境的破坏。就沿海十五米等深线以内的十三万平方公里浅海和滩涂面积而 言，目前只利用了百分之五左右，因此，海洋和海岸带的浅海区存在巨大的发展潜能。 由于浅海的水深很小，所以波动主要以浅水波为主。要想进一步开发和利用中国的浅海 资源，浅水波的理论研究和分析是很重要的。 浅水波的理论和方程p 2 ，5 3 , ”研究历史悠久，但主要是在e u l e r 坐标系下进行研究。 其中著名的k d v 浅水波方程就是在e u l e r 坐标系下导出的。k d v 方程之所以著名是因 为该方程成功地解释了r u s s e l l 在1 8 3 4 年发现的浅水波孤立波。随后经过一个多世 纪的发展，孤子理论及其应用被逐渐发展完善并成为非线性问题的重要分支【5 5 5 6 , 5 7 1 。随 大连理工大学博士学位论文 着大量的文献著作的问世，描述不同孤波现象的方程也发展出数十种【5 8 5 9 1 。但浅水波 k d v 方程仍然是最常见的方程之一，并受到广泛重视。因为k d v 方程除了可以描述浅 水波，也是其他很多领域中孤波现象的模型：如在长波小振幅近似下，可描写的磁流体 波的运动；非谐振晶格的振动；等离子体离子声波；弹性杆中纵向色散波；液、气混合 态压力波；管底下部流体的转动；低温非线性晶格的声子波包的热激发等【5 9 1 。 孤立子理论自1 9 6 5 年对孤立子( s o l i t o n s ) 命名之后，得到迅猛的发展。究其原因是孤 波现象无所不在，从涡旋星系的密度波、等离子体、分子系统、超导j o s e p h s o n 结、磁 学、流体力学以及基本粒子等都与孤子有关。经过发展，各个领域中的各种孤子方程相 继被建立、发展和完善；求解非线性孤波方程的各种解析方法和数值解法相继被发现， 发展和成熟，如逆散射法、h i r o