（基础数学专业论文）基本超几何级数的算子方法、cauchy方法与反演技巧.pdf

大连理工大学博士学位论文 摘要 基本超几何级数，又称q 级数，在组合分析、特殊函数以及数论等领域起着 重要而又特殊的作用，并且广泛地应用于统计学理论和物理等方面本文的主要内 容是利用修正的c a u c h y 方法、算子方法和组合反演技巧来发现和证明一些基本超 几何级数求和公式和变换公式，其中包含一些著名的公式，如q - s a a l s c h i i z 求和公 式、b a i l e y 的6 妒6 求和公式和非终止的w a t s o n 变换公式等作为其特殊情况本文共 分四章 第一章首先回顾超几何级数与基本超几何发展的历史，然后引进一些必要的概 念和记号 第二章讨论c a u c h y 方法的应用通过对c a u c h y 方法的推广，我们得到修正的 c a u c h y 方法，采用这个方法分别得到两个双边的3 怕和4 妒4 基本超几何级数的求和 公式、单边3 2 级数和双边3 咖级数的两个四项求和变换公式和两个五项求和变 换公式，它们包括许多已有的结果为特例，如非终止的q - s a a l s c h f i t z 求和公式、b a i l e y 的v e r y - w e l l - p o i s e d 双边级数6 求和公式、非终止的w a t s o n 变换公式和一些关于 单边3 2 级数的变换公式等 第三章采用算子方法研究基本超几何级数我们推广了两个q 积分形式的变 换公式和两个有关基本超几何级数的恒等式，还得到q - p f a f f - s a a l s c h i i t z 公式、q - c h u - v a l l d e r m o n d e 恒等式和基本超几何级数中一个有关3 屯级数的三项变换公式等的形 式推广 第四章结合反演技巧和级数重排的方法研究基本超几何级数我们发现了两类 新的基本超几何级数求和变换公式，其中一类的特殊情况包含在q - d o u g a l l 的求和公 式中，另一类的特殊情况是著名的r o g e r s - r a m a n u j a n 恒等式 关键词：基本超几何级数；c a u c h y 方法；算子方法；反演技巧；求和公式；变换公式 t h eo p e r a t o rm e t h o d ，c a u c h ym e t h o da n di n v e r s i o n t e c h n i q u ef o rb a s i ch y p e r g e o m e t r i cs e r i e s a b s t r a c t b a s i ch y p e r g e o m e t r i cs e r i e s ( a l s oc a l l e dq - s e r i e s ) p l a y sa l li m p o r t a n ta n ds p e c i a lr o l e i nc o m b i n a t o r i a la n a l y s i s ，s p e c i a lf u n c t i o n sa n dn u m b e rt h e o r y , a n di s w i d e l ya p p l i e di n s t a t i s t i c sa n dp h y s i c se t c t h em a i nc o n t e n to ft h i st h e s i si st of i n da n dp r o v es o m e s u m m a t i o na n dt r a n s f o r m a t i o nf o r m u l a eo fb a s i ch y p e r g e o m e t r i cs e r i e sb yt h em o d i f i e d c a u c h ym e t h o d ，o p e r a t o rm e t h o da n di n v e r s i o nt e c h n i q u e s ，w h i c hi n c l u d em a n yw e l l - k n o w nr e s u l t sa ss p e c i a lc a s e s ，f o re x a m p l e ，g s a a l s c h f i t zs u m m a t i o nf o r m u l a ，b a i l e y s 6 幽s u m m a t i o nf o r m u l a ，n o n - t e r m i n a t i n g 舌s o nt r a n s f o r m a t i o nf o r m u l aa n dr o g e r s - r a m a n u j a ni d e n t i t i e se t c t h et h e s i sc o n s i s t so ff o u rc h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w ef i r s tl o o kb a c kt h eh i s t o r yo fh y p e r g e o m e t r i cs e r i e sa n db a s i c p e r g e o m e t r i cs e r i e s ，a n dt h e ni n t r o d u c es o m en e c e s s a r yc o n c e p t sa n dn o t a t i o n s c h a p t e r2c o n t r i b u t e st h ec a u c h ym e t h o d v i ag e n e r a l i z i n gt h ec a u c h ym e t h o dw e o b t a i nan e wm e t h o d ，c a l l e dt h em o d i f i e dc a u c h ym e t h o d b ym e a n so ft h i sm e t h o dw e e s t a b l i s ht w ob i l a t e r a l3 咖a n d4 讥s e r i e ss u m m a t i o nf o r m u l a e ，t w of o u r - t e r ms u m m a t i o n a n dt r a n s f o r m a t i o nf o r m u l a ef o ru n i l a t e r a l3 2 - s e r i e sa n db i l a t e r a l3 矽3 一s e r i e s ，a n dt w of i v e - t e r ms u m m a t i o na n dt r a n s f o r m a t i o nf o r m u l a ef o ru n i l a t e r a l3 2 一s e r i e sa n db i l a t e r a l3 妒3 s e r i e s ，w h i c hc o n t a i nm a n yk n o w nr e s u l t sa st h e i rs p e c i a lc a s e s ，s u c ha sn o n t e r m i n a t i n g q s a a l s c h f i t zs u m m a t i o nf o r m u l a ，b i l a t e r a l6 讥s e r i e ss u m m a t i o nf o r m u l ao fb a i l e y , n o n - t e r m i n a t i n gw a t s o nt r a n s f o r m a t i o nf o r m u l aa n ds o m et r a n s f o r m a t i o n so f3 2 - s e r i e se t c c h a p t e r3c o n t r i b u t e st h eo p e r a t o rm e t h o d b yu s i n gt h i sm e t h o dw eo b t a i nt w og e n - e r a l i z e dt r a n s f o r m a t i o nf o r m u l a eo fq - i n t e g r a lf o r m ，t w oi d e n t i t i e so fb a s i ch y p e r g e o m e t r i c s e r i e s ，a sw e l la sf o r m a le x t e n s i o n sf o rq - p f a f f - s a a l s c h i i t zf o r m u l a ，q - c h u - v a n d e r m o n d e i d e n t i t ya n dat h r e e - t e r mt r a n s f o r m a t i o nf o r m u l ao f3 2 一s e r i e s i nc h a p t e r4 ，b yt h ei n v e r s i o nt e c h n i q u ea n dt h es e r i e sr e a r r a n g e m e n t ，w ef i n dt w o k i n d so ft r a n s f o r m a t i o nf o r m u l a eo ft h eb a s i ch y p e r g e o m e t r i cs e r i e s o n eo ft h e mc o n t a i n s as p e c i a lc a s eo fq - d o u g a l ls u m m a t i o nf o r m u l a ，t h eo t h e ri n c l u d e st h ef a m o u sr o g e r s - r a l n a n u j a ni d e n t i t i e sa ss p e c i a lc a s e s k e y w o r d s ：b a s i ch y p e r g e o m e t r i cs e r i e s ；c a u c h y sm e t h o d ；o p e r a t o rm e t h o d ；i n v e r s i o n t e c h n i q u e ；s u m m a t i o nf o r m u l a ；t r a n s f o r m a t i o nf o r m u l a i i i 独创性说明 作者郑重声明：本博士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论 文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理工 大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料与我一同工作的同志对 本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意 作者签各 大连理工大学学位论文版权使用授权书 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权 使用规定”，同意大连理工大学保留1 并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印 件和电子版，允许论文被查阅和借阅本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保 存和汇编学位论文 作者签名： 导师签名： 7 5 大连理工大学博士学位论文 1 绪论 基本超几何级数，又称q 一级数，在组合分析、特殊函数以及数论等领域起着 重要而又特殊的作用，并且广泛地应用于统计学和物理学等方面( 见a n d r e w s 6 】， f 7 1 ) ，a n d r e w s - a s k e y - r o y 【8 】) 基本超几何级数的求和公式与变换公式是这个领域的 重要内容，发现和证明求和公式与变换公式一直是基本超几何级数研究的主要课题 之一产生新的求和公式和变换公式的方法有很多种，如：c a u c h y 方法、组合反演、 计算机代数的w z 方法、微分算子及围线积分等等 本文的主要内容是利用修正的c a u c h y 方法、算子方法和组合反演技巧来发现 和证明一些基本超几何级数求和公式和变换公式，其中包含一些著名的公式，如 q - s a a l s c h i i z 求和公式、b a i l e y 的6 妒6 求和公式、非终止的w a t s o n 变换公式和r o g e r s - r a m a n u j a n 恒等式等作为其特殊情况 1 1历史背景 一个超几何级数是形如几的级数，满足c o = 1 且相连的项之比为其求和指 标的有理函数，即 c n + 1p ( n ) i2 丽c nv 【几j 其中p 和q 是多项式如果这两个多项式是可以完全分解的，则这个比值可以记做 c n + 1( 礼+ n 1 ) ( 佗+ a 2 ) ( 几十a p ) i2 万再丽再习_ _ 百疆孤再面 ( 其中分母中出现因子佗+ 1 是出于历史的原因) ，而整个级数可记做 m 局pa l , - , a p iz ：= 峰薹蹀警船以 1 基本超几何级数的算子方法、c a u c h y 方法与反演技巧 这里要求6 1 1 ，b 口为非负整数 把a o ，a 1 ，a p 和b 1 b 口分别称为分子参量和分母参量， ( o ) n ：= a ( a + 1 ) ( a + 几一1 ) = r ( a + n ) r ( a ) 称为。的n 次升阶乘，这里的r 函数是利用e u l e r 积分给出的：当n ( x ) 0 时， r ( z ) = 铲u x - - 1 e d u 超几何级数的历史可以追溯到1 6 5 5 年，j o h nw a l l i s 在他的著作( ( a r i t h m e t i c a i n f i n i t o r u m ) ) 中第一次使用了超几何的( h y p e r g e o m e t r i c ) ”术语在接下来的一个半 世纪中，很多数学家研究了超几何级数的最简单情形 z f l 【0 b ；c ；z 】：= z f lp ：= 壹糌扩 n = 0 、。， 称为g a u s s 超几何级数e u l e r 曾经给出了这类级数的很多结果，例如，著名的关系式 2 f 1 【一礼，6 ；c ；z 】= ( 1 一z ) 。+ n 一62 f 1 c + 礼，c 一6 ；c ；2 】 1 7 6 9 年，e u l e r 【3 1 ，v 0 1 1 2 ，p p 2 2 1 2 3 0 】还给出2 f l a ，6 ；c ；z 超几何级数的一个重要的 积分表示形式 。日 n ，! lz = 揣，j 。0 1 t b - 1 ( 1 一t ) 。一6 1 ( 一t z ) 一口疣 1 7 7 0 年，v a n d e r m o n d e 给出了如下的二项式定理推广形式 z f l - n , b ；c ；1 ，= 型氅等锚掣 事实上，这个结果最早由十三世纪中国数学家朱世杰所发现( a s k e y 【9 ，c h a p t e r7 】) ， 故后来被人称为c h u - v a n d e r m o n d e 求和定理1 8 1 2 年g a u s s 证明了2 f 1 a 6 ；c ；名】超几 何级数中变量z = l 时的求和公式( 现称为g a u s s 求和定理，见 1 0 ，5 1 2 】和【5 9 ，1 7 】) 2 日 。：l1 = 取r ( i c ) r i ( c 乒- 两a - b ) ， 其中缎( c - a - b ) 。( 1 1 1 ) 1 8 3 6 年，k u m m e r 得到如下重要结果 z f l a , b ，一6i - 1 = 等揣 2 大连理工大学博士学位论文 这个公式后来被称为k u m m e r 定理他还证明了二阶微分方程 2 ( 1 d 2 y + c 一( 1 + 。+ 6 ) z 夏d y 一。的= o 的解是g a u s s 超几何级数2 f a ，6 ；c ；z ，而且还指出一共有二十四个这种类型的解， 后被称为k u m m e r2 4 解 使用f 一函数的围线积分表示超几何级数的思想来自于p i n c h e r l e 和r i e m a n n ，后 来m e l l i n 和b a r n e s 发展并完善了这一思想例如，b a r n e s 在【1 2 】用围线积分的形式 表示了g a u s s 超几何级数 z = 揣熹仁堕絮岩型( 叫 而且，b a r n e s 还给出了k u m m e r 二十四个函数的积分表示，并且证明了g a u s s 定理 的积分模拟 熹f 啦+ s ) 即+ s ) r ( c _ s ) r ( d _ s ) 拈堕哿嵩器茅幽 这期间还有一些数学家采用了很多方法来推广g a u s s 级数c l a u s e n ( 1 8 2 8 ) 首先 用增加参数个数的方法扩展g a u s s 超几何级数的概念，并研究了三个分子参量两个 分母参量的一类级数接下来，一般形式的超几何级数的很多著名求和定理逐渐地 由s a a l s c h i i t z ( 1 8 9 0 ) ，d i x o n ( 1 9 0 3 ) 和d o u g a l l ( 1 9 0 7 ) 等给出 超几何级数还可以在两个方向上推广，一是让级数在正负两个方向上求和，这 就产生了双边超几何级数( d o u g a l l ，1 9 0 7 ) ；二是增加变量的个数，产生多变量超几何 级数，如1 9 2 6 年，a p p e l l 研究了含有两个变量的二重级数，称为a p e l l 级数b a i l e y 和w h i p p l e 在二十世纪初期的一系列论文中完成了整个超几何级数的彻底分析和完 善，b a i l e y 1 0 】在1 9 3 5 年出版了他的专著( ( g e n e r a l i z e dh y p e r g e o m e t r i cs e r i e s ) ，作为对 b a i l e y 著作的补充和完善，s l a t e r 【5 9 】于1 9 6 6 年了出版了( g e n e r a l i z e dh y p e r g e o m e t r i c f u n c t i o n s ) 基本超几何级数，又称g - 级数，是通常的超几何级数的g 模拟，其定义也与 超几何级数类似我们还记得一个超几何级数n 的每个相连的项之比鱼警是n 的有理函数而当里警是q “的有理函数时，则称这个级数为基本超几何级数显然， 当q 一1 时，基本超几何级数就成为普通的超几何级数因此，基本超几何级数是 通常的超几何级数的推广 3 基本超几何级数的算子方法、c a u c h y 方法与反演技巧 基本超几何级数的研究开始于1 7 4 8 年，当时e u l e r 在研究正整数n 的分拆数 p ( n ) 的生成函数时，得到这样的基本超几何级数公式 薹o o 咖胪= 志= 南击击 ( 1 1 2 ) 但只有在差不多一百年之后，当h e i n e 得到了g a u s s 的2 f 1 超几何级数的q 一形式之 后，基本超几何级数才逐渐形成独立的研究方向1 8 4 6 年，h e n i e 定义了一个基数 a q ：= ( 1 一q a ) ( 1 一g ) ，这里q 和口都是实数或复数使用这个概念，又定义g a u s s 的 一般超几何级数2 f 1 的g - 模拟为 其中，( q ；q ) o ：= l ，( n ；q ) n ：= ( 1 一o ) ( 1 一a q ) ( 1 一a q 铲1 ) ，( n = 1 ，2 ) 在文章 【4 3 】、 4 4 】、 4 5 】中，他相继得到了2 1 的求和公式和变换公式、二项式定理的q 一模 拟、j a c o b i 的三重积公式以及其它的有关幂级数、，y 函数和多函数的一些公式的g - 模拟等 十九世纪到二十世纪，r o g e r s ，j a c k s o n ，d i x o n ，d o u g a l l ，s a a l s c h f i t z ，w h i p p l e ，w a t s o n ，b a i l e y 和d a u m 等数学家们的研究工作对基本超几何级数的发展起到重要作用， 而t h o m a e 【6 4 】和r o g e r s 5 5 】【5 6 】的工作起到了主导的作用到1 9 世纪后期，j a c k s o n 开始系统地研究基本超几何级数理论，发表了几十篇文章，研究发展了q 微分、q 积分理论并用之推导出了由d i x o n ，d o u g a l l ，s a a l s c h f i t z ，w h i p p l e 和其他人发现的超 几何级数的求和公式和变换公式的q 模拟，以及其它一些新的漂亮的恒等式在 1 9 3 0 年到1 9 5 0 年期间，b a i l e y 在超几何级数和基本超几何级数方面也得到了很多 重要结果一些数学家称b a i l e y 的最大贡献是他发现了b a i l e y 变换，至今还有很多 数学工作者在不断给出这个变换的应用b a i l e y 还得到关于j a c k s o n 的8 7 求和公式 的非终止推广和w a t s o n 的8 7 级数及平衡的4 3 级数变换公式的推广这种形式的 推广现在仍可见于各种文献中 在上世纪五十年代，s e a r s ，c a r l i t z ，h a h n 和s l a t e r 都对基本超几何级数的发展做 出了卓越的贡献s e a r s 推导了3 2 级数、平衡的4 九级数和v e r y - w e l l - p o i s e dn + 1 如级 数的几个变换公式；w a t s o n 和s l a t e r 从围线积分的观点了发展了基本超几何级数的 理论在这个理论逐步完善的同时，双边基本超几何级数理论也逐步地形成大约在 六十年代左右，a g a r w a l 和s l a t e r 分别出版了他们各自在基本超几何级数方面的专 著也是这一时期，a n d r e w s 开始了他在数论方面的研究，从此人们看到了基本超几 4 大连理工大学博士学位论文 何级数的求和公式与变换公式在分拆理论的作用在七十年代中期，他同a s k e y 总 结了传统的研究方法，而且发展了新的技巧和工具，指出了q 级数的许多应用，使 得基本超几何级数这一领域在理论上更加成熟此外，印度的天才数学家r a m a n u j a n 在基本超几何级数方面做出了重要的贡献由于b e r n d t 对r a m a n u j a n 的遗稿的系 统研究，使得全世界拥有大量基本超几何级数的追随者a a l n a i l u j 8 2 - 1 的1 妒1 求和公 式( 见 5 7 】) 被认为是双边基本超几何级数中最著名的公式之一很多著名数学家 给出了这个公式的各种不同的证明，例如：h a h n 4 2 ，j a c k s o n 【4 7 ，a n d r e w s 【4 】 5 】和 i s m a i l 【4 6 ，还有一些证明方法我们可以在参考文献【3 ， 8 】，【1 8 】和【3 4 】中找到正是 由于以上这些数学家们的工作，基本超几何级数理论方面的研究至今还是一个非常 活跃的领域 1 2 基本超几何级数的基本定义和符号 假定 r ，则对所有的z c 级数收敛； ( i i ) 如果s r ，则当z = 0 时级数收敛； ( i i i ) 如果s = r ，则当 1 时级数收敛 定义1 4 ：对于单边基本超几何级数 m 拆m ：寄1 ：= 薹篙锱班 如果b i b 2 b r = q a o a l a r ，且z = q ，那么我们称r + 1 办为平衡的；如果a o 。a l ，a r 中至少一个是q m ，仇= 0 ，1 ，并且q 0 ，那么，我们称基本超几何级数，+ 1 办为 终止的( t e r m i n a t i n g ) ；如果o t 玩= q a o ，i = l ，2 ，r ，并且a i 中有g 俪和一g 俪，那 么，我们称基本超几何级数件1 办为v e r y - w e l l - p o i s e d 我们对v e r y - w e l l p o i s e d ( 列平 衡) 基本超几何级数，+ 1 拆使用标准记号，即 r r + 1 坼( 嘶n 3 ，。4 0 棚，z ) ：= r + 1 办1 0 0 ，g 湍：- - 一q 俪v 丽， q n o a 3 a , 3 ，q 0 0 a 4 。, 4 ，：, 咖a r 。， 下边我们给出双边基本超几何级数及其相关定义 定义1 5 ：设h ) o 和 幻圬：1 是复数序列，满足条件a i q m 和6 j q ，其中 仇n 和佗n 0 对所有的i = 1 ，2 ，7 和j = l ，2 ，s ，则我们定义以z 为变量的 双边基本超几何级数为 地阮a l , a 岵2 , ： 叫一n 曼器等黜州c 砒r 6 大连理工大学博士学位论文 定理1 2 ：双边基本超几何级数，妒。的收敛条件为：令a ：= a l a 2 a ，和召：= b l b 2 b 。，则对于死= l 召a i 和i q i s ，则当z = 0 时级数收敛； ( i i i ) 如果r = s ，则当冗 l 时级数收敛 定义1 6 ：对双边基本超几何级数r 饥，当r = s 时，由定义可得到 。也黔：；外z ：一n 曼焉鬻以 如果a l b l = a 2 b 2 = = a r b r ，则称级数，略为列平衡( w e l l - p o i s e d ) ；如果，办是列平衡 ( w e l l p o i s e d ) 并且0 1 = - - 2 2 = q b l = - q b 2 ，则称，妒r 为特殊列平衡( v e r y - w e l l - p o i s e d ) 下边的一些有关q 阶乘的恒等式将在后边的论文中经常用到 ( 口；g ) n = ( q l n o ；g ) ( 一n ) n q ( n ) 2 ( n 口一n ；口) n = ( q a ；q ) 竹( 一n ) n q 一( ”；1 、 ( a q - n ；q ) 惫= 黼口一n 膏 = 7 黑( 一n ) 一七g ( 2 主1 、一凡七 = 一i 一，i 仃、z ( q l - n o ；g ) 七、叫1 2 涨( 。蜘g 卜肌 = ( o ；口) n ( a q 铊；q ) k 一( o ；q ) k ( a q k ：口) 几 一 ( o ；口) n 一 ( n ；g ) n ( o ；q ) k 。 ( o ；g ) 。( a q n ；q ) k ( n ；q ) 2 k 。 = ( a ；q 2 ) n ( a g ；q 2 ) n = ( n ；g ) n ( 一口；g ) n 7 d 彩 9 印回力 黟 鲫d 幺 2 互 z 互 互 z 互 互 j l l l l l l l l l 2 2 l l 七 七 七 惫 膏 缸 q q 棘 机 m 机 m 椭眺魄 航 珧n 痂 赫 吣钿 n g n 8 奄 奄 (口 ( ( g 2 ( 2 q 二， 0 大连理工大学博士学位论文 2 c a u c h y 方法与基本超几何级数恒等式 c a u c h y 【1 7 】在给出著名的j a c o b i 的三重积恒等式的第二个证明时引进了一种 从终止的单边基本超几何级数恒等式导出双边的基本超几何级数恒等式的方法，后 来被人称为c a u c h y 方法b a i l e y 【1 1 ，第3 节和第6 胡和s l a t e r 【5 9 ，第6 2 胡也在 他们的研究工作中使用过同样的方法最近c h e n f u 2 2 】和j o u h e t 【4 8 进一步应用 这种技巧，从非终止的单边级数推导出双边的基本超几何级数我们在这些工作的 基础上，对这种方法加以推广，解决了一类在变换过程中出现非收敛的从而不能求 极限的情况，在这里称之为修正的c a u c h y 方法，大致步骤如下：对于序列q ( 佗) ， 0 k + 。，假定如下条件成立 ( a ) 当n 一。时，q n ( n ) _ o ； ( b ) l 血几。q 2 n ( n ) 存在且不为零； ( c ) 对任意的七n o ，l i m n 。q 惫+ 2 n ( 几) 存在 那么我们可以把相应的非终止级数表成如下形式 在上面的等式中，如果每一个级数满足适当的收敛条件，令佗_ 。，就会得到 一些新的变换公式我们将在下面各节中详尽地描述如何将修正的c a u c h y 方法应 用于一些已有的变换公式，从而得到一些新的求和与变换公式 2 1两个新的有关3 砂3 和4 砂4 双边基本超几何级数求和公式 在本节，我们用修正的c a u c h y 方法得到了两个双边基本超几何级数的变换公 式，它们包含了几个非常重要的基本超几何级数恒等式作为特殊情况，其中包括非 9 ，= v0 q 量 十 nq “脚 i l 凡c = 脚 基本超几何级数的算子方法、c a u c h y 方法与反演技巧 终止的q - s a a l s c h f i z 求和公式、b a i l e y 的特殊列平衡( v e r y - w e l l p o i s e d ) 6 妒6 求和公式和 非终止的w a t s o n 变换公式等 2 1 1 3 妒3 双边基本超几何级数求和公式 g a s p e r 和a a h m a n 在基本超几何级数( 【3 7 ，a p p e n d i xi i 2 5 ) 一书中给出b a i l e y 对一个非终止的j a c k s o n 的8 7 求和公式的推广 引理2 1 ：( b a i l e y ) 8 7 卜据- 一q 讧v - 石，n 易岫易郇易如q 虎。易小；司 b ( a q ，c ，d ，e ，f ，b q o ，b q c ，b q d ，b qe ，b q f ；g ) 。 o ( a q b ，a q c ，a q d ，叼e ，a q f ，b c a ，b d a ，b e a ，6 ，o ，b 2 q a ；q ) o 。 8 7 6 2 口q 6 m v d , - - 6 b q 讧，6 猫b g c c a 6 9 , b d 触a , b 龇e a 砌, b f 孙a ；q ( a q ，b a ，a q c d ，a q c e ，a q c f ，a q d e ，a q d f ，a q e f ；g ) 0 0 ( a q c ，a q d ，a q e ，a q f ，b c a ，b d a ，b e a ，b f a ；g ) 其中q a 2 = b c c i e f 对该引理采用修正的c a u c h y 方法研究，可以得到一个关于3 砂3 求和公式的一 个漂亮结果下边我们详述具体的运算步骤：首先，对于上边引理采用变量替换 ( 注意到以上变换保持条件q a 2 = b c d e f 不变) ，则引理2 1 中等式的左端等于 令 虽l a q _ 2 竹+ 2 七 ( a q 一鼽，b ，c ，d ，q - 2 n e ，q - 2 n ，；g ) 七 台l a q 吨n ( g ，q l - 2 n a b ，q l - 2 n a c ，q l - 2 n a d ，q a e ，口o 加) 毛” q 咖) = 下1 - a q - 2 n + 2 k 丽高每纂赫篆丽一 则有 q 如，= 舞羔镏蒜n + l 巍n + 岗l n + l n 1 0 ( 2 1 1 ) 、i、，j o e ， 轨轨轨 一 一 一 q g g 大连理工大学博士学位论文 ，、r、 1 一a q 2 凡 ( b c ，d q a ，q e ，q f ；g ) 2 n 2 n 。而百面瓦刀巧瓦刁i 丽 。，、 1 一a q 2 2 七( 6 ，c ，d ，q a ，q e ，q f ；q ) 2 几 +2n2、阿(qqaeqaf,ba,ca,da；q)2n ， ( n q 加b q 2 n c ，q 2 n d ，e ，；q ) k 。七 “( q 2 n + l ，q 2 n + l a e ，q 2 叶l a f ，q a b ，q a c ，q a d ；q ) k 容易验证： ( a ) l i m ( n ) = 0 ， n - - 0 0 ( b 1 竹l 。i m 。q 。n ( 凡) _ 一瓦面( b , c 丽, d , 砺q a 而, q e 习, q 习f ；q 万) o o 磊， ( c ) l i mq 七+ 2 n ( n ) = 一 礼- 0 0 ( ( 6 c ，d ，q a ，q e ，q f ；q ) ( a ，e ，；q ) k q 惫 i 丽i 7 7 刀o ，c a i d a ；孑ka ( q a b ，q a c ，q a d ；q ) k 即满足修正的c a u c h y 方法的三个条件应用修正的c a u c h y 方法可得到 令n 一。并注意条件q a 2 = b c d e f ，可得到 e q ( 2 2 勘) 刮2 6 ，g 。店口易，l 而相应的引理2 1 中等式的右端为 1 ( b 。c ，d ，g n 口e ，q f ；口) 。 q；qja1(1q。,。q1。a。e。,。q。a。f。,。b。a。1。,1c。a。,。d。a。；。q。)c。 x 3 妒3 g 易6 ，g 。：；口n f dg ；q b ( q l 一2 礼n 疋d q - 2 n e ，q _ 2 n f ，q l + 2 n b a q b c ，q b d q l + 2 n b e 二望! 二竺! 型塑 a q 一2 n ( q l 一2 t i a b ，q 1 一抽a c ，q l - - 2 n a a ，q a e ，q a f ，q 2 ”b c n ，q 2 n b d a ，6 e o ，b f a ，q l + 2 n b 2 a ；q ) z 。 州7 9 2 帕n b 2 讧a , b ，q v l + n 6 v 讧- d , - ，6 b 9 1 + q l + 吖n v n ，石的, b c , q 2 6 n q d b c ，a 6 , q 1 + q 2 n ：b 咏d a ，的b e z 协a , b f ，nl q ；q ( a q l 一鼽，q 2 扎6 n a q l 2 n c d ，a q c e ja q c f ，a q d e ，a q d f ，a q l + 2 n e f ；g ) 。 ( n q l 2 z c ，a q l - - 2 n d ，a q e ，a q f ，q 2 n b c a ，q 2 n b d o ，6 e o ，b f a ；g ) 。 令几一。，可得到 b ( q a 1 a ，c d ，e q e ，f ，q f ，q b c q b d ；口) 。 a ( q a b b a q a c , c a ，q a d ，d a ，q a e q a f 6 e n ，b f a ；g ) 3 z 6 b 口e 6 ，a c 。, b q f 6 ，d ag；q+1里!：；兰三乡丢；乡善j；孚：差乡ij_；兰乡三手；兰；兰!警 他 孙+ q + 0 q 仃脚 = a4 q d 基本超几何级数的算子方法、c a u c h y 方法与反演技巧 经过化简，就得到如下结果 定理2 1 ： 3 忱lg n 7 6 ，g o c ：g 左膨i 州l =n船锱警吲26cdb dq eq f ； a q eq a h t l i “ ( g o ，c ， ， 口) o o “甜z i 一 ，l q +云b万习(q雨,a币,e,f丽,qb万c,可qb币d；q丽)。s z 良b e a ，, b f a q b cq b dg 9 1o ( 6 ，g n 6 ，g o c ，g n d ，6 e n ，6 ，o ；口) o o 一6 甲。l ， y y 1 ( q ，b a ，c d a ，o ，q a c d ，q a c e ，q a c f q a d e ，q a d f ；g ) 。o ( b ，c ，d ，q e ，q f ，q a c ，q a d ，b e a ，b f a ；q ) 。 其中q a 2 = b c d e f 在定理2 1 中，两边同理乘以( 6 ；口) o o ，然后令b _ 1 ，则有 n 一。( q a e , q a f ，1 a c a ，d a ；g ) 。1 ( n ，e ，g c ，q d ；q ) 。 ( q a ，c ，d ，q e q f ；g ) o 。 。口( q a q a c q a d ，e a ，f o ；口) 。( 1 a ，c d a ，o ，q a c d ，q a c e ，q a c f ，q a d e ，q a d f ；q ) ( c ，d ，q e ，q f ，q a c ，q a d e a ，f a ；g ) o o 然后在恒等式的两端同时乘上世垫纽纽巡警象孚坐姓( 注意条件凹2 = 以e ，) ， 经过化简可得到 0 = a ( q a e ，q a f ，c a ，d a ，q a c ，q a d ，e a ，i a ；q ) 一( c ，d ，e ，q c ，q d ，q e ，q f ；g ) 。 + ( c d a ，a ，q a ，q a c d ，q a c e ，q a d e ，d e a ，c e a ；口) o o 令s ( a ，玩c ，d ) = ( o ，q a ，b ，g 6 ，c ，q c ，d ，q d ；q ) o o ，我们重新得到一个基本的0 函数恒等 式，它等价于 3 7 】中的e x 2 1 6 ( i ) 推论2 2 ： s ( c ，d ，e ，) 一s ( a ，以o ，c e a ，d e a ) = a s ( c a ，d a e n ，f a ) 在定理2 1 中令e _ b ，_ c ，b _ q a e 和c _ q a f ，则重新得到下面的有关非 终止的平衡级数的恒等式 1 2 大连理工大学博士学位论文 推论2 3 ( 3 7 ，a p p e n d i xi i 2 4 】) ： 3 砂z 。矧g g + 而( q 诼e , a 葡, b , c , 面q f e 丽；q ) 。石 3 庐2 。g e g b q z e e ，, g c ，q e 口ig；g=i(五q石7e；,jf舌；a7,；fj：；b7,f丽c；q)oo 2 1 2 4 妒4 双边基本超几何级数求和公式 g a s p e r 和p t a h m a l l 在基本超几何级数【3 7 ，a p p e n d i xi i i 3 9 】中给出b a i l e y 的 一个四项1 0 9 变换公式 引理2 4 ：( b a i l e y ) 。9 l m 口名：- 一q 讧v 伍，, 口易瓦。