（基础数学专业论文）单位球面sm1中的blaschke等参超曲面.pdf

摘要 设z ：m m - 4s ”是单位球面铲中无脐点的浸入子流形，它有四个基本的m s b i u s 不变量，m 6 b i u s 度量g ，m s b i u s 形式西，b l a s e h k e 张量a 和m s b i u s 第二基本形式b 这些不变量对于研究m s b i u s 子流形几何是重要且关键的特别地，它与共形微分几何 中的一些有趣问题密切相关，如w i l h n o r e 超曲面( 特别是w i l l m o r e 曲面) ( 参见文献 1 ，2 ，2 2 1 3 ，1 4 】) 本文能够对单位球面s 刑。中带有三个不同b l a s c h k e 特征根，其中一个是单根的情 况进行分类，而且给出了单位球面s 6 中的b l a s c h k e 等参超曲面的完整分类具体研究 内容如下： 第一章，介绍单位球面s 仇+ 1 上超曲面的m s b i u s 不变量，并提出本文所要讨论的问 题 第二章，我们主要借助文献 9 中的思想方法，对s 仇“中带有三个不同b l a s c h k e 特 征根，其中一个是单根的情况进行分类，并给出了其分类定理的证明，其分类定理叙述 如下： 。 澎定理1 2 1 设z ：m m - - - + s m + l 是带有三个不同b l a s c h k e 特征根，其中一个是单根 的等参超曲面，那么z 局部m s b i u s 等价于 ( 1 ) 例3 2 中浸入超曲面c s s ( p ，q ，7 ) ，其中p ，口，r 是常数，或 ( 2 ) s 4 中带有三个主曲率的c a f t a n 非极小等参超曲面，即标准v e r o n e s e 浸入曲面 x ：s 2 ( 怕) - - - + s 4 的一个具有常数半径的非极小管状超曲面，或 ( 3 ) 例3 3 中的极小浸入超曲面，其中k = 3 ，坑： 矗js 4 ( r ) 是带有三个主曲率 肛1 ：p 2 ，p 3 的非极小的c a r t a n 等参超曲面，l q ：肛2 ，p 3 满足入，上i = 击， i 1 ，2 ，3 在m = 5 的情况下，如果z 有三个不同的b l t l _ s c h k e 特征根，则这三个不同的b l a s c h k e 特征根至少有一个是单根，从而我们有下面的推论： 黑 握迨! ：至：2 z ：m 5 一s 6 足一个具有三个不同b l a s c h k e 特征根的b l a s c h k e 等参超 曲面，那么z 局部m 6 b i u s 等价于 ( 1 ) 例3 2 中给出的超曲面c s s ( p ，q ，r ) ，其中，n = 5 ，p ，q ，r 为常数，或 ( 2 ) 例3 3 中给出的超曲面，其中m = 5 k = 3 ，且疥：m los 4 ( r ) 是带有三个主 曲率f 上1 ，肛2 ，z 3 的非极小的c a f t a n 等参超曲面，肛1 ，肛2 ，“3 满足a 胁= 去，i l ，2 ，3 翌注记1 2 3 在证明定理1 2 1 的过程中，我们已经证明了s 州1 中带有三个不同b l a s c h k e 特征根，其中一个是单根的等参超曲面一定是m s b i u s 等参的 第三章，简要列举一些有关b l a s c h k e 等参超盐面的典型例子 第四章，根据第二章的主要定理，着重研究单位球面中带有四个不同b l a s c h k e 特征 根的b l a s c h k e 等参超曲面，再由文献 3 5 ，2 1 ，1 9 】，我们能够给出单位球面s 6 中b l a s c h k e 等参超曲面的一个完整的分类定理，并给出了其分类定理的证明，其分类定理叙述如下： 霉定理1 2 4 设z ： ，5 _ s 6 是b l a s c h k e 等参超曲面，那么z 局部m s b i u s 等价于下 r _ ，_ _ - _ - _ ，一 。 面的超曲面之一： ( 1 ) 单位球面s 6 中具有常数量曲率的极小浸入超曲面； ( 2 ) r 6 中具有常数量曲率的极小浸入超曲面在共形映射盯下的象； ( 3 ) 日6 中具有常数量曲率的极小浸入超曲面在共形映射7 - 下的象； ( 4 ) s 6 中的标准环面s k ( r ) s 5 一k ( 舟) ，其中r 0 ，k = 1 ，2 ，3 ，4 ； ( 5 ) r 6 中的标准柱面s k ( r ) 瓞5 一k 在仃下的象，其中r 0 ，k = 1 ，2 ，3 ，4 ； ( 6 ) h 6 中的标准柱面s kr ) h 5 _ k ( 一南) 在7 - 下的象，其中r 0 ，k = 1 ，2 ，3 ，4 ； ( 7 ) 例3 3 中给出的极小超曲面，其中m = 5 ，k = 2 ，3 ，4 ，a = 0 ； ( 8 ) 例3 4 中给出的非极小超曲面，其中m = 5 ，k = 2 ，3 ，4 ，入= 0 ； ( 9 ) 例3 2 中给出的超曲面c s s ( p ，口，r ) ，其中m = 5 ，p ，q ，7 为常数； ( 1 0 ) 例3 3 给出的超曲面，其中m = 5 ，k = 3 ，r 0 ，且雪1 是s 4 ( r ) 中带有三个主 曲率的c a r t a n 等参超曲面； ( 1 1 ) 例3 3 给出的超曲面，其中仇= 5 ，k = 4 ，r 0 ，且雪1 是s 5 ( r ) 中带有四个主 曲率的等参超曲面 畏垄猩! ：亚在证明定理1 2 4 的过程中，我们已经得到s 6 中具有四个不同b l 嬲c l l k e 特征根的b l a s c h k e 等参超曲面一定是m s b i u s 等参的由注记1 2 5 ，我们还能得到如下 定理： 里壅垄! ：至：垒单位球面s 6 中具有超过两个b l a s c h k e 特征根的所有b l a s c h k e 等参超曲 面一定是m s b i u s 等参的 关键词：m s b i u s 形式、b l a s c h k e 特征根、b l a s c h k e 张量、m s b i u s 度量、m s b i u s 第 二基本形式 1 一 i v 1 再， a b s t r a c t s u p p o s ez ：m m - - ys ni sa i li m m e r s e ds u b m a n i f o l di nt h es p h e r es nw i t h o u tu m b i l i c a l p o i n t s t h e nzh a sf o u rb a s i cm f b i u si n v a r i a n t so fz ，t h a ti s ，t h em s b i u sf o r mb ， m 6 b i u sf o r m 西，b l a u s c h 呻 o ft h e s ei n v a x i a n t si sc r u c i a l aa n dt h em s b i u ss e c o n df u n d a m e n t a lf o r mb s t u d y a n di m p o r t a n ti nt h em 6 b i t mg e o m e t r yo fs u b m a n i f o l d s i n p a r t i c u l a r ，i ti sc l o s e l yr e l a t e dt os o m ei n t e r e s t i n gt o p i c si nc o n f o r m a ld i f f e r e n t i a lg e o m e tr y , f o re x a m p l e ，w i l l m o r eh y p e r s u r f a c e s ( e s p w i l l m o r es u r f a c e s ) ( s e e 【l i2 ，2 2 ，1 3 ，1 4 】) i n t h i sp a p e r ，w ea x ea b l et og i v eac l a s s i f i c a t i o no fb l a s c h k ei s o p a r a m e t r i ch y p e r s u r f a c e sw i t ht h r e ed i s t i n c tb l a s c h k ee i g e n v a l u e so h eo fw h i c hi ss i m p l e i np a r t i c u l a r ，w e c a na l s 。g i v ea c 。m p l e t e c l a s s i f i c a t i o n 。fb l a s c h k ei s o p a r a m e t r i ch y p e r s u r f 哆nt h e u n i t s p h e r e 铲t h es p e c i f i c sa sf o l l o w ： i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ei n t r o d u c em 6 b i u si n v a x i a n t so fh y p e r s u r f a c 0a n d v i k = 1 ，2 ，3 ，4 ； ( 6 ) t h ei m a g eu n d e r1 - o fas t a n d a r dc y l i n d e rs k ( r ) h 5 - k ( 一南) i nh 6f o rs o m e r 0a n dk = l ，2 ，3 ，4 ； ( 7 ) o n eo ft h em i n i m a lh y p e r s u r f a c 每i ne x a m p l e3 3w i t hm = 5 ，k = 2 ，3 ，4a n d 入= 0 ： ( 8 ) o n eo ft h en o n m i n i m a lh y p e r s u r f a c t i ne x a m p l e3 4w i t hm = 5 ，k = 2 ，3 ，4a n d 入= 0 ： ( 9 ) o n eo ft h eh y p e r s u r f a c e sc s s ( p ，q ，r ) g i v e ni ne x a m p l e3 2w i t hm = 5 a n ds o m e c o n s t a n t sp ，q ，r ； ( 1 0 ) o n eo ft h eh y p e r s u r f a c e sa si n d i c a t e di ne x a m p l e3 2w i t hm = 5 ，k = 3a n d s o m er 0 ，w h e r e 雪1i so n eo ft h ec a r t a n si s o p a r a m e t r i ch y p e r s u r f a c e si ns 4 ( 7 ) w i t h t h r e ep r i n c i p a lc u r v a t u r e s ； ( 1 1 ) o n eo ft h eh y p e r s u r f a c e si ne x a m p l e3 3w i t hm = 5 ，k = 4a n ds o m er 。 0 ， w h e r e 雪li so n eo ft h ei s o p a r a m e t r i ch y p e r s u r f a c e si ns 5 ( 7 ) w i t hf o u rp r i n c i p a lc u r v a t u r e s r e m a r k1 2 5i np r o v i n gt h e o r e m1 2 4 w eh a v ei nf a c tp r o v e dt h a ta n yb l a s c h k e 、，、，_ 、- ，- 一 一 一一一 i s o p a r a m e t r i ch y p e r s u r f a c 6 j ns 6w i t he x a c t l yf o u rd i s t i n c tb l a s c h k ee i g e n v a l u e sm u s tb e m 6 b i u si s o p a r a m e t r i c o nt h eb a s i so fr e m a r k1 2 5 ， t h e o r e m ： ， w ec a na l s oo b t a i nt h ef o l l o w i n g - 簟t k 里! 塾旦q ! 曼里! ：至：曼a ub l a s c h k ei s o p a r a m e t r i ch y p e r s u r f a c e si nt h es i x - s p h e r es 6w i t h j p - ，一 m o r et h a nt w od i s t i n c tb l a s c h k ee i g e n v a l u e sa r en e c e s s a r i l ym 6 b i u si s o p a r a m e t r i c k e yw o r d s ：m 6 b i u sf o r m ，b l a s c h k ee i g e n v a l u e ，b l a s c h k et e n s o r ，m 6 b i u sm e t r i c ， m s b i u ss e c o n df u n d a m e n t a lf o r m 零 v i i i 摘要 a b s t r a c t 第章 1 1 1 2 1 3 绪论 背景知识 提出问题 预备知识 目录 i v 第二章s m “中具有三个不同b l a s c h k e 特征根，其中一个是单根的b l a s c h k e 等 参超曲面的分类 1 1 2 1s m + 1 中具有三个不同b l a s c h k e 特征根，其中一个是单根的b l a s c h k e 等 参超曲面1 1 2 2 主要定理的证明2 6 第三章一些典型例子 第四章s 6 中b l a s c h k e 4 1s 6 中带有四个不 4 2 主要定理的证明 参考文献 致谢 独创性声明 关于论文使用授权的说明 2 7 等参超曲面的分类 3 3 同b l a s c h k e 特征根的b l a s c h k e 等参超曲面3 3 4 9 5 1 5 5 5 7 5 7 i x l - - 一 x 第一章绪论 在这一章中，主要介绍一下相关的理论背景，提出本文所要研究的问题，并给出一 些相关的预备知识 。 1 1 背景知识 设x ：m m _ 铲是单位球面铲中不含脐点的浸入子流形，那么z 有四个基本的 m s b i u s 不变量，即m s b i u s 度量g ，m s b i u s 形式圣，b l a s c h k e 张量a 和m s b i u s 第二基本 形式b ( 参见 2 7 】) 这些不变量的研究与共形微分几何中的一些有趣课题，如w i l l m o r e 超曲面( 特别是w i l l m o r e 曲面) 是密切相关的( 参见【1 ，2 ，4 ，2 2 ，1 3 ，1 4 】) 这些年，我们 已经获得了很多重要的结果在这些结果中，有一些是子流形中带有特殊m 6 b i u s 不变 量的非常有意思的分类定理，例如，对s m “中具有平行m s b i u s 第二基本形式的所有浸 入超曲面的分类强已参观 6 ) ，m s b i u s 等参超曲面的分类定理( 参见 5 ，9 ，1 0 ，1 1 ，2 1 】) 另一方面，因为b l a s c h k e 张量a 是除m s b i u s 第二基本形式b 以外的又一重要的 m s b i u s 不变量，所以我们也应该把b l a s c h k e 张量a 看作m s b i u s 子流形几何的一个重 要组成部分而做进一步的研究，在这一方面，我们也有了一些非常漂亮的结果，例如，对 b l a s c h k e 张量分别线性依赖m s b i u s 度量和m s b i u s 第二基本形式的超曲面的分类( 参见 2 3 ，1 6 】) ，对m s b i u s 迷向子流形的一般化分类( 参见 2 6 】) ，对具有平行b l a s c h k e 张量超曲 面的分类( 参见 17 】) 为了将这些结果一般化，在文献 2 0 和 2 8 中，我们又得到了关于 这个所谓的”仿b l a s c h k e 张量”d a ：= a + a b ，其中入为常数的分类定理，进而，为了能 取到所有带有常b l a s c h k e 特征根的子流形，假设圣三0 它是个自然的条件，近年来， 在这个合理假设下，已取得了一系列有价值的结果，( 参见 6 ，7 ，8 ，2 1 ，2 3 ，2 4 ，2 5 ，1 7 ，2 6 】) ， 另外，例如，在文献【4 ，1 2 ，1 5 也能发现一些结果 众所周知，m s b i u s 等参超曲面与d u p i n 超曲面密切相关例如，所有的m s b i u s 等 参超曲面都是严格意义上的d u p i n 超曲面，且所有的带有两个不同主曲率的d u p i n 超曲 面( 也就是d u p i n 四次圆纹曲面【3 3 】) 是m s b i u s 等参的、f i t e l l w z 进一步，在文献 3 4 中，单位球面中关于g 且带有超过三个不同的主曲率是m s b i u s 等参的当且仅当它是带 有常m s b i u s 曲率的d u p i n 超曲面( 参见 3 l 】) 1 单位球面s ”+ 1 中的等参超曲面 在超曲面情况下，b 的特征根叫做m s b i u s 主曲率，a 的特征根相应的被叫做z 的 b l a s c h k e 特征根下面对m s b i u s 等参超曲面和b l a s c h k e 等参子流形的定义分别在文献 2 1 】和 1 9 】中第一次被正式介绍： 定义1 1 1 设z ：m m _ 铲是单位球面酽中不含脐点的浸入子流形，如果m s b i u s 形式西和所有的b l a s c h k e 特征根都是常数，则x 就称作驴+ p 中的”b l a s c h k e 等参子流 形” 因此，在单位球面中去找所有b l a s c h k e 等参子流形的分类，特别是b l a s c h k e 等参超 曲面的分类，是非常有意思的到现在为止，一些特殊而重要的情况在文献 1 8 ，【1 9 】和 2 6 】中已经考虑清楚了，实际上，文献【2 6 】和文献 17 分别对m s b i u s 迷向子流形和具有 平行b l a s c h k e 张量的超曲面进行了分类，在 1 8 和 19 】中，分别对s 4 和s 嗅有两个不 同b l a s c h k e 特征根的b l a s c h k e 等参超曲面和所有的b l a s c h k e 等参超曲面进行了分类， 实际上，下面这个定理已经被证明了，其中共形映射盯，7 同1 3 中( 1 3 1 ) 和( 1 3 2 ) 的 定理1 1 2 1 7 1 设z ：m m s m “( m 2 ) 是不含脐点的浸入子流形，如果z 的 b l a s c h k e 张量a 是平行的，那么下面的情况之一成立： ( 1 ) z 是m s b i u s 迷向的，则z 局部m s b i u s 等价于 ( 1 a ) s m “宰具有常数量曲率的极小浸入超曲面，或 ( 1 6 瓜甲“中具有数量曲率的极小浸入超曲面在盯下的象，或 ( 1 c ) 日m “中具有数量曲率的极小浸入超曲面在丁下的象 ( 2 ) z 具有平行的m s b i u s 第二基本形式b ，则x 局部m s b i u s 等价于 ( 2 0 ) s 州。1 中的标准环面s k ( r ) s m k ( c i = ) ，其中7 0 ，k ，或 ( 2 6 ) r m + 1 中的标准柱面s k ( r ) r m k 在仃下的象，其中r 0 ，k ，或 ( 2 c ) h m + 1 ( 一1 ) 中的标准柱面s ( r ) 日m k ( 一需1 ) 在7 - 下的象，其中r 0 ，k + ，或 ( 3 ) 于 2 c s s ( p ，q ，r ) ，其中p ，q ，r 是常数 m s b i u s 第二基本形式b ，则x 局部m s b i u s 等价 ( 3 n ) 例3 3 给出的极小超曲面，其中入= 0 ，或 第一章绪论 ( 3 6 ) 例3 4 给出的非极小超曲面，其中入= 0 定理1 1 3 1 s 】设z ：m m _ s m + 1 ( m 2 ) 是具有两个不同b l a s c h k e 特征根的 b l a s c h k e 等参超曲面，那么下面两种情况之一成立： ( 1 ) z 是具有两个不同m s b i u s 主曲率的m s b i u s 等参超曲面，则z 局部m s b i u s 等 价于 ( 1 a ) s m + 1 中的标准环面s kr ) s m 一( 再) ，其中r 0 ，k + ，或 ( 1 6 ) 巧妒+ 1 中的标准柱面s kr ) r m k 在共形映射盯：r m + 1 _ s m + 1 下的象， 其中7 0 ，k + ，或 ( 1 c ) h m “中的标准柱面s k ( r ) h m k ( 一t 专) 在共形映射7 - ：日m “_ s m + 1 下的象，其中7 0 ，k + ； ( 2 ) z 具有三个不同m s b i u s 主曲率，则z 局部m s b i u s 等价于 ( 2 0 ) 例3 3 给出的极小超曲面，其中入= 0 ，或 ( 2 6 ) 例3 4 给出的非极小超曲面，其中a = 0 定理1 1 4 【1 8 】设z ：m 3 _ s 4 是b l a s c h k e 等参超曲面，那么下面情况之一成立： ( 1 ) z 是m s b i u s 迷向的，则z 局部m s b i u s 等价于下面的一个开部分： ( 1 0 ) 具有常数量曲率的极小浸入超曲面z ：m 3 一s 4 ，或 ( 1 b ) 具笮数量曲率的极小浸入超曲面z ：m 3 _ r 4 在仃下的象，或 ( 1 c ) 具椴量曲率的极小浸入超曲面z ：m 3 _ h 4 在7 下的象； ( 2 ) z 具有两个不同的b l a s c h k e 特征根，则z 局部m s b i u s 等价于 ( 2 n ) s 4 中的标准环面s kr ) xs 3 一k ( 日) ，其中r 0 ，k = 1 ，2 ，或 ( 2 6 ) 酞4 中的标准柱面s kr ) x 瞅一k 在共形微分同胚盯：r 4 一s 4 下的象，其中 r 0 ，k = 1 ，2 ，或 ( 2 c ) h 4 ( 一1 ) 中的标准柱面s k ( 7 ) h 3 一k ( 一t 南) 在共形微分同胚7 ：日4 一s 4 下的象，其中r 0 ，k = 1 ，2 ，或 ( 2 d ) 例3 3 给出的极小超曲面，其中入= 0 ，仇= 3 ，k = 2 ，或 ( 2 ，) 例3 4 给出的非极小超曲面，其中a = 0 ，m = 3 ，k = 2 ； ( 3 ) z 具有三个不同的b l a s c h k e 特征根，则z 局部m s b i u s 等价于 ( 3 a ) 例3 2 中的超曲面c s s ( 1 ，1 ，r ) ，其中r 去，或 3 单位球面s ”+ 1 中的等参超曲面 ( 3 6 ) 标准v e r o n e s e 极小浸入曲面x ：s 2 ( 锈) 一s 4 的一个具有常数半径的非极小 管状超曲面( 参见例3 1 和注记3 1 ) 定理1 1 5 1 9 】设z ：m 4 一伊是b l a s c h k e 等参超曲面，则x 局部m s b i u s 等价于 ( 1 ) s 5 中具有常数量曲率的极小超曲面，或 ( 2 ) r 5 中具有常数量曲率的极小超曲面在o r 下的象，或 ( 3 ) 日5 中具有常数量曲率的极小超曲面在7 - 下的象，或 ( 4 ) s 5 中的标准环面s k ( 7 ) xs 4 - k ( v q - r 2 ) ，其中r 0 ，k = 1 ，2 ，3 ，或 ( 5 ) r 5 中的标准柱面s k ( r ) x 瓞4 一k 在仃下的象，其中r 0 ，k = 1 ，2 ，3 ，或 ( 6 ) h 5 中的标准柱面s k ( r ) xh 4 一k ( 一南) 在7 下的象，其中7 0 ，k = 1 ，2 ，3 ，或 ( 7 ) 例3 3 给出的极小超曲面，其中入= 0 ，m = 4 ，k = 2 ，3 ，或 ( 8 ) 例3 4 给出的非极小超曲面，其中入= 0 ，m = 4 ，k = 2 ，3 ，或 ( 9 ) s 5 中的超曲面c s s ( p ，g ，r ) ，其中p + g = 2 ，3 ，( p ，g ，r ) ( 1 ，1 ，去) ( 参见例3 2 ) ， 或 ( 1 0 ) 例3 5 中童：n 3xr + - r 5 在仃下的象，虿：n 3 _ s 4c 酞5 是带有三个不同 主曲率的非极小的c a f t a n 超曲面，其中孟的定义如下：叠( p ，t ) = 坊( p ) ，t r + ， ( 1 1 ) s 5 中带有四个不同主曲率的欧氏非极小等参超曲面 由定理1 1 2 和定理1 1 3 ，我们得到如下定理： 定理1 1 6 【2 6 删设x ：m m s m + 1 ( m 2 ) 是具有不超过两个不同b l a s c h k e 特 征根的b l a s c h k e 等参超曲面，盯，7 - 分别是由( 1 3 1 ) 和( 1 3 2 ) 式定义的共形映射，则z 一定局部m 6 b i u s 等价于下列情况之一： ( 1 ) s m + 1 中具有常数量曲率的极小浸入超曲面； ( 2 ) r m “中具有常数量曲率的极小浸入超曲面在盯下的象，或 ( 3 ) h m “中具有常数量曲率的极小浸入超曲面在7 - 下的象，或 ( 4 ) s m + 1 中的标准环面s k ( ? ) xs m 一彤( 舟) ，其中7 ( 0 ，1 ) ，k 是1 k m 一1 的正整数； ( 5 ) r 刑。1 中的标准柱面s kr ) 咿一k ，其中r 0 ，k 是1 k m 1 的正整 第一章绪论 ( 6 ) h m + 1 中的标准柱面s k ( r ) h m k ( 一丽1 ) 在7 下的象，其中r 0 ，k 是 1 k m 一1 的正整数； ( 7 ) 例3 3 中的极小超曲面，其中入= o ； ( 8 ) 例3 4 中的非极小超曲面，其中a = 0 或。嚣篡邈邀一篇要= 芸 中一个是单根，则z 一定是m s b i u s 等参的 1 2 提出问题 上一节，我们给出了s m + 1 ( m 4 ) 的各种情况的分类定理峙巧么我们能否对s m + ，( m 5 ) 中且多于两个不同b l a s c h k e 特征根的b l a s c h k e 等参超曲面进行分类呢? 本文第二章主要是针对s m + ，( m 5 ) 南带有三个不同b l a s c h k e 特征根，其中一个 是单根的所有的b l a s c h k e 等参超曲面进行分类，其分类定理叙述如下： 定理1 2 1 设z ：m m _ s m + 1 是带有三个不同b l a s c h k e 特征根，其中一个是单根 的b l a s c h k e 等参超曲面，那么z 局部m s b i u s 等价于 ( 1 ) 例3 2 中c s s ( ；，q ，r ) ，其中p ，口，7 为常数，或 ( 2 ) s 4 中带有三个不同主曲率的c a r t a n 非极小等参超曲面，即标准v e r o n e s e 极小 浸入z ：s 2 ( 4 5 ) _ 的一个具有常数半径的非极小管状超曲面，或 ( 3 ) 例3 3 中的超曲面，其中k = 3 ，坑：m _ s 4r ) 是带有栏个主曲率p 1 ，肛2 ，肛3 的非极小的c a r t a n 等参超曲面，p 1 ，p 2 ，肛3 满足a 地= 刁1 ， i 1 ，2 ，3 当m = 5 时，若旗有三个不同b l a s c h k e 特征根的b l a s c h k e 等参超曲面，那么这三 个b l a s c h k e 特征根中至少有一个是单根因此，我们有如下的推论： 推论1 2 2 设z ：m 5 一s 6 是带有三个不同b l a s c h k e 特征根的b l a s c h k e 等参超曲 面，那么z 局部m s b i u s 等价于 ( 1 ) 例3 2 中c s s ( p ，q ，7 ) ，其中m = 5 ，p ，口，7 为常数，或 ( 2 ) 例3 3 中的超曲面，其中m = 5 ，k = 3 ，历：m i _ s 4r ) 是带有育三个主曲率 肛1 ，肛2 ，p 3 的非极小的c a r t a n 等参超曲面，此时p 1 ，肛2 ，弘3 满足入地= 击，i 1 ，2 ，3 5 单位球面s ”+ 1 中的等参超曲面 注记1 2 3 在证明定理1 2 1 的过程中，实际上，我们已经证明了所有带三个不同 b l a s c h k e 特征根，其中一个是单根的b l a s c h k e 等参超曲面一定是m s b i u s 等参的( 参见 命题2 1 3 ) ，这是下面问题的一个琏解 问题 1 9 ：设z ：m m s m “是具有超过两个不同b l a s c h k e 特征根的b l a s c h k e 等 参超曲面，那么z 一定是m s b i u s 等参的吗?j 一个越解对于在s m “中分类b l a s c h k e 等参超曲面问题的解决起冷重要的作用 在文献 1 9 】中上述问题的一些特睇吾毫誊解已经给出，至今没有发现新的例子 第二章中已对m = 5 ， 况给出了一个分类，文献 1 z ：m 5 _ s 6 带有四个不同 本文第四章针对上述情 面的完整的分类定理，具体 定理1 2 4 设z ：m 5 _ s 6 是b l a s c h k e 等参超曲面，那么x 局部m s b i u s 等价于下 面的超曲面之一： ( 1 ) s 6 中具有常数量曲率的极小浸入超曲面，或 ( 2 ) r 6 中具有常数量曲率的极小浸入超曲面在共形映射盯下的象，或 ( 3 ) 日6 中具有常数量曲率的极小浸入超曲面在共形映射7 下的象，或 ( 4 ) s 6 中的标准环面s kr ) s 5 一k ( 日) ，其中7 0 ，k = 1 ，2 ，3 ，4 ，或 ( 5 ) r 6 中的标准柱面s k ( 7 ) r 5 一k 在仃下的象，其中r 0 ，k = 1 ，2 ，3 ，4 ，或 ( 6 ) h 6 中的标准柱面s k ( r ) 日弘k ( 一南) 在7 下的象，其中7 0 ，k = 1 ，2 ，3 ，4 ， a 戥 ( 7 ) 例3 3 给出的极小超曲面，其中m = 5 ，入= 0 ，k = 2 ，3 ，4 ，或 ( 8 ) 例3 4 给出的非极小超曲面，其中m = 5 ，a = 0 ，k = 2 ，3 ，4 ，或 ( 9 ) s 5 中的超曲面c s s ( p ，q ，r ) ，其中p ，q ，r 为常数( 参见例3 2 ) ，或 ( 1 0 ) 例3 3 中的超曲面，其中m = 5 ，k = 3 ，7 0 ，这里坑是s 4 中带有三个不同 主曲率的c a r t a n 超曲面，或 ( 1 1 ) 例3 3 中的超曲面，其中m = 5 ，k = 3 ，r 0 ，这里历是s 5 中带有四个不同 主曲率的等参超曲面 6 第一章绪论 注记1 2 5 在证明定理拶的过程中，我们实际上已经证明了s 6 中带有四个不同 b l a s c h k e 特征根的所有b l a s c h k e 等参超曲面一定是m s b i u s 等参的( 参见命题4 1 1 ) ，给 出了前面提到问题的又一正解从而我们有下述定理成立： 定理1 2 6s 6 中所有具有超过两个不同b l a s c h k e 特征根的b l a s c h k e 等参超曲面一 定是m s b i u s 等参的 1 3 预备知识 设伊( 7 ) 是半径为r 的n 一维标准球面，p 是伽维欧氏空间，日n ( c ) 是具有常曲 率c ( c o ) ， r ，三酞xr - 1 是具有标准洛伦兹内积的洛伦兹空间，其中标准洛伦兹内积( ，) 1 定义 如下： ( y ，y ) 1 = 一y o 晶+ y 1 y i ，秒= ( y o ，y 1 ) ，y 7 = ( 编，i ) 廷， 是自然数这里“”表示敷_ 1 上的标准欧氏内积为简便起见，令 s n = s n ( 1 ) ，h 几= h n ( 一1 ) 衅表不s “甲弟一个坐杯分量为止的半球，为| s 么网个称准：共彤微分同胚仃：帔“_ s n ( 一1 ，o ) ) 和7 ：h n _ 碑分别定义如下： 巾) = ( 再1 - 砰l u p ，南) ，u 贮 ( 1 3 1 ) 丁( 可) = ( 三y o ，蠢) ，y = ( 灿- ) 日nc 咩1 ( 1 3 2 ) 设z ：m m _ s n 是无脐点的浸入子流形，h 和h = 上m t r h 分别表示z 的第二基本 形式和平均曲率向量场定义 p = ( 当1 2 一m i m i ) i ，y 刊) ， ( 1 3 3 ) 7 单位球面s 刑- 中的等参超曲面 则y ：m m _ 畔+ 2 是m m 到洛伦兹空间r ? + 2 的一个浸入，称作z 的一个提升( 或 m s b i u s 位置向量) ，( 1 3 3 ) 式定义的p 被称作z 的m s b i u s 因子 定义 四+ 1 = y = ( y o ，y ) r 1 + 1 ；( y , y i = 0 ，y o o ) 若o ( n + 1 ，1 ) 是g l ( n + 2 ；r ) 在畸+ 2 中保持标准洛伦兹内积( ，) l 的洛伦兹群， 则存在0 ( n + 1 ，1 ) 的一个子群0 + + 1 ，1 ) ，其定义如下： o + ( n + 1 ，1 ) = t o ( n + 1 ，1 ) ；t ( 四+ 1 ) c 四+ 1 ) ( 1 3 4 ) i | 定理1 3 1 【2 7 】分别具有m 5 b i u s 位置向量矿的两个子流形z ，圣：m m 一铲是 m s b i u s 等价的当且仅当有一个t 0 + ( n + 1 ，1 ) 使得y = t ( y ) ，根据定理1 3 1 ，诱导度量g = y ( - ，1 = p 2 d x d x 是m m 上具有洛伦兹内积( ，) 1 的一个m 5 b i u s 不变黎曼度量鼎参见文献 3 】和 2 7 】) ，被称作z 的m s b i u s 度量 利用向量值函数y 和拉普拉斯算子( 关于度量g ) ，定义另一个重要的向量值函数 n ：m m _ r ? + 2 如下： = 一示1 y 一熹( a y , a y l 蟛(132m 5 ) m 7 、 则( n ，n l = 0 ，( n ，y ) 1 = 1 设y _ m m 是平凡洛伦兹丛m m r ? + 2 关于洛伦兹内积( ，) 1 的向量子丛，其中 m m 畔+ 2 有如下的一个向量丛分解： m m 畔+ 2 = r yo r no y , ( t m m ) ov( 1 3 6 ) 则y 称作浸入z 的m s b i u s 法丛 现在，令t 上m m 是浸入z ：m m _ 伊的法丛，则x 的平均曲率向量场日定义了 如下的一个丛同胚，：t 上m m _ y ： f ( e ) = ( 日e ，( 日e ) x + e ) ，v e t 上m 仇( 1 3 7 ) 显然，保持t 上m m 和y 上的内积和普通联络不变 为简便起见，在此部分，我们将使用下面的指标惯用记法： 8 第一章绪论 1 i ，j ，k ，m ，m + 1 q ，y ，n ( 1 3 8 ) 、气 映于诱导度量d x d x 的任一局部单位正交标架场记作 e t ) ，其对偶基底为 伊) ，z 的任 一单位正交法标架场记作( e a ) ，令 巨= p - 1 e ，u i = 矽i ，既= f ( e 。) ， ( 1 3 9 ) 则 晟) 是关于m s b i u s 度量9 的局部单位正交标架场， u ) 是其对偶基底， 鼠) 是 m 6 b i u s 法丛y _ m m 的局部单位正交标架场根据 2 6 和 2 7 ，基本的m 6 b i u s 不变量 西，a 和b 有下列的局部表达式： 其中 圣= 凹u i 既，a = a i j w ，b = b i w 鼠， ( 1 3 1 0 ) 凹= - - p 一2 ( 霹+ ( 蝎一日q 5 0 ) e j ( 1 。g p ) ) ， 如= 一p 一2 ( ( 1 唧) 圹e i ( 1 唧) 勺( 1 。gp ) 一日q h 0 ) 一争2 ( i 弛g p l 2 1 + 1 日1 2 ) 如， 磁= p _ 1 ( 一日q 如) ， 这里“，i ”表示关于诱导度量如出沿e i 方向的协变微分 ( 1 3 1 2 ) ( 1 3 1 3 ) 注记1 3 2 对于无脐点的浸入牙：m m _ r n ( 面：m m _ h 竹) ，m 6 b i u s 因子卢( 卢) ， m s b i u s 不变度量雪( 雪) 和其他m s b i u s 不变量蚕，a 一，b 一( 毒，a 。，b 。) 有类似的定义特别 地，圣，b 一相应的分量回，凰( 毋，岛) 和( 1 3 1 1 ) k 1 3 3 3 ) 有同样的表达式，a 的分 量五莳( a 的分量a 巧) 和( 1 3 1 2 ) 有稍微不同的表达形式： 而 锄= - p 一2h e s s 巧( 1 。g f i ) 一邑( 1 。g 卢) 勺( 1 。g 卢) 一曰n 无弓) 一争2 ( i dl 哪j 2 + i - a 1 2 ) 如 ( 1 3 1 2 7 ) 锄= 一卢一2 h e s 8 0 ( 1 。g 5 ) 一邑( 1 。g t s ) 否j ( 1 。g 5 ) 一膏a 元豸) 一2 1 p 卅( | d l o g 卢1 2 + 1 + i z - ? 1 2 ) 如 ( 1 3 1 2 ) 9 单位球面s m + 1 中的等参超曲面 注记1 3 3 对于这些定义，共形微分同胚口和7 - 分别保持相应的m s b i u s 不变量雪， 蚕，a ，廖和雪，蚕，a 。，b 一不变细节参见文献 2 6 】中的相关例子 尼州，分别表舭i u s 度量9 氟标架场 最而黎曼曲率张量和r i c c i 张量， k 表示标准m s b i u s 数量曲率，则下面的恒等式成立( 【27 】) ： t r a = 去( 1 + m 2 n t r b = 磁b = o ， 吲2 = ( ) 2 = 等， ( 1 3 1 4 ) 础= ( 蟛啄一兹睇) + a i t s j k a i k s j l + 如七如一如z ( 1 3 1 5 ) 进而，如果四，a i j k ，b 昌南分别是圣，a ，b 关于标架场 最) 和 鼠) 的分量，则下 面的r i c c i 恒等式成立( 【2 7 】) ： 一啄= ( 砩a 幻一a 舰) ， a i j k a i 幻= ( 磁凹一彤四) ， b 琶k b 氛j = 6 幻c 鼍一6 诋c ； ( 1 3 1 6 ) ( 1 3 1 7 ) ( 1 3 1 8 ) 特别地，如果m s b i u s 形式垂三0 ，则b l a s c h k e 张量a 和m s b i u s 第二基本形式b 是c o d a z z i 张量，即v a 和v b 是对称张量 对( 1 3