（基础数学专业论文）关于c2中有界域上的逆紧全纯映射.pdf

中文摘要 摘要 本文主要研究c 2 中有晃域上的逆紧全纯跌射理论，全文共分三章。 第一章介绍了关于逆紧全纯映射方面的知识，特另i j 是拟凸域上逆紧全纯映 射的知识。概述了时下c ”中有界域上逆紧全纯映射领域的各个研究子课题， 主要包括逆紧全纯映射的刚性、正则性、存在性、分类及表达式，还有分支轨 迹的分布状况等。同时扼要地介绍了一些背景知识及研究现状。 第二章详细地综述了关于c 2 中几类具有对称性的域上逆紧全纯映射的研究 进展现状。首先给出几类具有对称性的域：r e i n h a r d t 域，圆形域，h a r t o g s 域， 准圆形域的定义及性质，然后较为详细地阐述c 2 中上述几类域上的逆紧全纯 映射的研究进展现状，包括这几类域上的逆紧全纯映射的分支轨迹和刚性定理 等。最后给出关于c 2 中具有横截t - a c t i o n 的域上逆紧全纯映射的分支轨迹的结 果。 第三章致力于研究c 2 中某类h a r t o g s 域上的逆紧全纯自映射，从考察它 的分支轨迹入手，证明了其刚性定理成立，即逆紧全纯自映射必定为全纯自同 构。此类域是c 2 中的光滑有界拟凸完全的h a r t o g s 域，且它的边界上具有无限 型点。第一节叙述了这一章的主要定理，并说明了研究此类h a r t o g s 域上逆紧 全纯自映射的意义。第二节给出主要引理及部分引理的证明。第三节则是主要 定理的证明。 域。 关键词：有晃域，逆紧全纯映射，刚性，分支轨迹，r e i n h a r d t 域，h a r t o g s i i i 英文摘要 a b s t r a c t t h i st h e s i sd e a l sw i t hs o m es u b j e c t sa b o u tp r o p e rh o l o m o r p m cm a p p i n g so f b o u n d e dd o m a i n si nc 2 i tc o n s i s t so ff o u rc h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r , s o m ef u n d a m e n t a l k n o w l e d g eo f p r o p e r h o l o m o r p h i cm a p p i n g s i si n t r o d u c e d e s p e c i a l l ys o m ek n o w l e d g eo fp r o p e rh o l o m o w h i cm a p p i n g so fp s e u d o c o n v e xd o m a i n si si n t r o d u c e d s o m es u b j e c t so ft h et h e o r yo fp r o p e rh o l o m o r p h i c m a p p i n g so fb o u n d e dd o m a i n si n a r cs u m m a r i z e d f o ri n s t a n c e t h er i g i d i t yt h e o r y o f p r o p e r h o l o m o r p h i c m a p s ，t h e b o u n d a r yr e g u l 撕t y o f p r o p e r h o l o m o r p h i c m a p s ，a n d c l a s s i f i c a t i o no f p r o p e rh o l o m o r p h i cm a p s ，e t c ，a l la r et r e a t e d a tt h es a m et i m e ，s o m e b a c k g r o u n da n dc u r r e n ts t u d ys i t u a t i o na r eb r i e f l yi n t r o d u c e d i nc h a p t e r2 ，t h ed e v e l o p m e n to ft h et h e o r yo np r o p e rh d o m o r p h i cm a p p i n g so f d o m a i n sw i t hs y m m e t r i e si nc 2i ss u r v e y e di nd e t a i l w eg i v et h ed e f i n i t i o n sa n d p r o p e n i e so fs o m es y m m e t r i cd o m a i n sc o n s i s to fr e i n h a r d td o m a i n ，e i r c u l a rd o m a i n h a r - t o g sd o m a i na n dq u a s i - c i r e u l a rd o m a i n t h e nw es u r v e yt h ec u r r e n ts t u d ys i t u a t i o no f p r o p e rh o l o m o r p h i cm a p so ft h es y m m e t r i cd o m a i n sa b o v e ，i n c l u d i n gt h er i g i d i t yt h e o r ya n dt h eb r a n c hl o c u so fp r o p e rh o i o m o r p h i cm a p s a tl a s t ，s o m et h e o r i e sa b o u tt h e b r a n c hl o c u so fp r o p e rh o l o m o r p m cm a p so ft h ed o m a i nw i t ht - a c t i o na l es h o w e d i nc h a p t e r3 ，t h er i g i d i t yt h e o r yo fp r o p e rh o l o m o r p h i cs e l f - m a p p i n g so fs o m e h a r t o g sd o m a i n si nc 2i ss t u d i e d t h ed o m a i n sc o n t a i ns o m ei n f i n i t et y p ep o i n t so i l t h e b o u n d a r y i t i s p r o v e d t h a t e v e r y p r o p e r h o l o m o r p h i cs e l f - m a p p i n g s o f s u c h h a r t o g s d o m a i n sm u s tb ea na u t o m o r p h i s m i nt h ef i r s ts e c t i o n ，w es h o wt h em a i nr e s u l ta n d e x p l a i nt h ev a l u eo ft h er e s e a r c h t h em a i nl e m m a sa n dt h ep r o o f sa r eg i v e ni ns e c t i o n 2 t h ep r o o fo ft h em a i nr e s u l ti sp r o v e di ns e c t i o n3 k e yw o r d s ： b o n d e dd o m a i n ，d o p e rh o l o m o r p h i cm a p p i n g s ，r i g i d i t y , b r a n c hl o c u s ，r e i n h a r d td o m a i n ，h a r t o g sd o m a i n 一i v 版权使用授权声明 学位论文版权使用授权书 本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，同意如下 各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存学 位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、扫描、数字化或其它手段保存 论文；学校有权提供目录检索以及提供本学位论文全文或者部分的阅览服务； 学校有权按有关规定向国家有关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在 不以赢利为目的的前提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术 活动。 学位论文作者签名： 年月日： 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用本授权书。 指导教师签名： 年月日 学位论文作者签名： 年月 日 论文原创性声明 同济大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工作 所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含 任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉 及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学 位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 一i i 一 签名： 年月 日 第一章绪论 第一章绪论 1 1 逆紧全纯映射的基础知识 两个拓扑空间x 和y 之间的连续映射，：x l ，称为是逆紧的( p r o p e r ) ， 如果对y 中的任意紧子集k ，s - 1 ( k ) 也是x 的一个紧子集 对复空间之间逆紧映射的研究起源于五、六十年代s t e i n 和r e m m e r t 的工 作最著名的是如下r e m m e r t 逆紧映射定理： 定理1 1 1【1 7 】如果，：x l ，是复空间之间的逆紧全纯映射，s c x 是x 的复子簇，则s ( s ) 是y 的复予簇 如果x 和l ，都是s t e i n 空间，s c x 是x 的k 维不可约复子簇，则s ( s ) 是y 的后维不可约复子簇此外，存在一个无处稠密的子簇y 真包含于，( s ) ， 使得f ( s ) v 和s f - 1 ) 都是复流形，而且限制映射 ，：s f - 1 ( y ) 一f ( s ) v 是一个有限层全纯覆盖射影 关于复子簇的知识，在r u d i n 3 3 】的第十四章中有较为详细的介绍 复子簇可如下定义： 设q c c n 为开集，一个子集y c n 称为q 的一个复子簇，如果y 在q 中 ( 相对) 闭；且对每个点p q ，有一个邻域p ) cq 和在u ( p ) 上全纯的函 数 ，r ，使得 y n ( p ) = z q ： ( z ) = = ( z ) = 0 ) 复子簇又被叫做子簇，解析簇等，它具有如下性质： ( 1 ) q 和o 都是q 的子簇 ( 2 ) 若q c c ，则q 的非空真子簇恰好是q 的离散子集 ( 3 ) 若h 和都是q 的子簇，则n v 2 和u 也是q 的予簇 ( 4 ) 若y q ，则q y 在q 中稠密 ( 5 ) q y 连通 一 一 第一章绪论 ( 6 ) 若y 是q 的非空子簇，而且不存在非空子簇x l ，恐使得v = x l u j 已，则称y 是不可约子簇 ( 7 ) 若q 的子簇y 是( 相对q ) 紧的，则y 也是c ”的子簇 从1 9 7 0 年代起，人们开始研究逆紧全纯映射 f ：d 1 _ d 2 ， 其中d 。和d 2 分别是c ”和c 中的有界域研究课题包括竹= n 的情形和 i 2 n 的情形注意当n n 时，必定是n 1 ) 中光滑有界域上的逆紧全纯自映射必定为全纯自同构 对逆紧全纯映射的刚性的研究可分为两大部分，一部分是对逆紧全纯自映 射的刚性的研究，另一部分是对不同域之间逆紧全纯映射的刚性的研究 ( 1 ) 自映射的刚性 对单位球t 3 cc ”m 1 ) ，1 9 7 7 年，a l e x a n d e r 在【4 】中完全证明了玩上 刚性猜想成立，即白0 上的任意逆紧全纯自映射一定是全纯自同构对拟凸域 情形，p i n 6 u k 3 2 等完全证明了强拟凸域上该刚性猜想成立对具有实解析边 一5 一 第一章绪论 界的拟凸域，刚性猜想也己证明更一般地，h u a n g 和p a n 1 9 】证明了具有实解 析边界有界域上的逆紧全纯自映射若光滑延拓到边界，则必定为全纯自同构 对某些具有对称性的域，如r e i n h a r d t 域、圆形域、h a r t o g s 域等，这个刚性猜 想也获得了一定程度的解决。关于这些具有对称性的域的知识，我们将在第二 章中给出较为详细的介绍 尽管对刚性猜想的肯定回答很多，但是在不光滑情形确实也有其不成立例 子众所周知，单位圆盘上的逆紧全纯自映射都是有限b l a s c h k e 乘积 m ) 彰旦嚣，肌豫 据此，下面的定理说明多圆柱类型的域上逆紧全纯自映射也不一定都是自同 构 定理1 2 1【2 6 如果q 1 ，q 。c c ，d i ，d 。c c 都是有界域，而且 f ：q l xq n d lx x 玩 是逆紧全纯映射，则存在一个置换盯& 及逆紧全纯映射 f j ：q 一一d j ， 使得 f ( z l ，) = ( f l ( z # o ) ) ，厶( ( 。) ) ) ( 2 ) 不同域之间逆紧全纯映射的刚性 强拟凸域之间的逆紧全纯映射必定是双全纯的【1 5 ，3 1 ，3 2 而且从光滑有 界强拟凸域出发的逆紧全纯映射都必定是局部双全纯的，更甚者，其目标域必 定也是强拟凸域 另一方面，也有很多不同域之间的非双全纯逆紧映射的例子定理1 2 1 就 说明多圆柱类型的域之间的逆紧全纯映射不一定是双全纯的 2 逆紧全纯映射的正则性 研究逆紧全纯映射的正则性即研究什么样的域上逆紧全纯映射可以光滑( 连续，全纯) 延拓到边界? 与之相关的一个猜想如下： 一6 一 第一章绪论 猜想：设d 1 和d 2 是c ”中光滑有界域，则任一逆紧全纯映射，：d l 一上) 2 都 可以光滑地延拓到d 1 的边界o d l 这个猜想一度是逆紧全纯映射领域的中心问题之一，至今还未完全解决 如果这个猜想是正确的，那么( c o d l ) co d 2 ，于是我们就能利用d 1 和d 2 的 边界不变量为研究逆紧全纯映射领域的其他问题提供帮助 3 逆紧全纯映射的存在性 对c “中的任意有界域d ，其上总是存在逆紧全纯自映射，最平凡的就是 恒等映射但是给定两个不同的有界域d t 和d 2 ，判定是否存在逆紧全纯映射 ，：d - 一d 2 ，这就并非易事对这个问题存在与不存在的例证都很多 举个简单的例子： q l = ( z ，w ) c 2 ：iz 1 2 + i w l 4 1 ) ， q 2 = ( z ，w ) c 2 ：iz 1 2 + i w l 2 2 ) 上的逆紧全纯 一7 一 第一章绪论 自映射已经完全分类清楚了广义拟椭球和广义h a r t o g s 三角形上逆紧全纯映 射的分类也已清楚此外，不等维单位球之间映射的分类问题一直受到人们的 关注 5 逆紧全纯映射的分支轨迹的分布状况 人们研究逆紧全纯映射分支轨迹的目的往往不是单为了研究分支轨迹本 身，很多时候我们从研究逆紧全纯映射分支轨迹入手来研究逆紧全纯映射的刚 性设f ：d 1 一z ) 2 是逆紧全纯映射，若= d ，则，是双全纯的利用这种 方法来证明刚性定理的文章很多，散见于【9 ，1 0 ，1 8 ，2 4 】等 一8 一 第二章关于c 2 中具有对称性的域上的逆紧全纯映射 第二章关于c 2 中具有对称性的域上的逆紧全纯映射 在这一章中我们将要研究关于c 2 中几类具有对称性的域上的逆紧全纯映 射首先我们要介绍几类具有对称性的域的定义及性质，然后较为详细地阐述 c 2 中上述几类域上的逆紧全纯映射的研究进展现状，包括这几类域上的逆紧全 纯映射的分支轨迹和刚性定理等最后我们研究c 2 中具有横截t - a c t i o n 的域上 的逆紧全纯映射的分支轨迹 2 1 几类具有对称性的域的介绍 1 r e i n h a r d t 域 定义2 1 1 qcc n 中的域称为r e i n h a r d t 域，如果对v z q ，w = ( 口l ，如，o n ) r ”，有( e 1 2 1 ，e i 0 2 2 , 2 ，e 溉) q 如果( 1 ) 0 f l ；( 2 ) q 是连通的则称q 为正常的r e i n h a r d t 域 进一步，如果对比q ，及一切l 九i 1 ，都有( a l z l ，, x 2 2 2 ，k 磊) q ，则称q 为完全的r e i n h a r d t 域 由p a n 3 0 】可知，如果q 是c “中拟凸的r e i n h a r d t 域，且包含0 点，那么 q 就一定是完全的r e i n h a r d t 域 2 圆形域 定义2 1 2 qcc n 中的域，如果对v z q ，w r ，有 ( e 讲z l ，e 硼勿，e 谢) q ，则称q 为圆形域 如果对v z q ，对vai 1 ，有( a 。l ，a 勿，a ) q ，则称q 为完全 圆形域 由r e i n h a r d t 域和圆形域的定义可以看出，r e i n h a r d t 域一定是圆形域，但反 之不然例如极小球： b + = 。c “：iz1 2 + i 。zi 1 ) 其中iz1 2 = i 忍1 2 , iz 2i = 麓2 鼠是圆形域，但不是r e i n h a r d t 域 一0 一 第二章关于c 2 中具有对称性的域上的逆紧全纯映射 3 h a r t o g s 域 定义2 1 3 qcc n 中的域，如果对v z q ，v 0 r ，有 ( z l ，乩e 胡) q ，则称q 为h a r t o g s 域 如果对v z q ，对viai 1 ，有( z l ，一，磊一1 ，a 磊) q ，则称q 为完全 h a r t o g s 域 事实上，在第二节中将要提到的广义h a r t o g s 三角形并非h a r t o g s 域，而是 r e i n h a r d t 域 4 准圆形域 定义2 1 4 f 2cc ”中的域，p = 0 1 ，仡，) z ”，如果对v 。 q ，v o r ，有( e 却t 钆e 锄勿，e i o p n z n ) q ，则称q 为准圆形域 事实上准圆形域类包括了圆形域和h a r t o g s 域由定义可看出，当p 1 = 仡一p n 1 时，此准圆形域即为圆形域；当p l ，砘，中有一个数不 为0 ，其余数全为0 时，此准圆形域即为h a r t o g s 域 2 2 对称性域上的逆紧全纯映射的研究现状 在这一节中我们要较为详细地阐述c 2 中具有对称性的域上的逆紧全纯映 射研究进展现状首先介绍c ”中具有对称性的域上的逆紧全纯映射的一些结 果，这些结果相应的在c 2 中也成立然后我们介绍只在c 2 中成立的一些结 果 在口中，关于r e i n h a r d t 域，p a n 2 8 】证明了中光滑有界拟凸有限型 r e i n h a r d t 域上逆紧全纯自映射有刚性定理成立此处所说的有限型是指此域的 l e v i 行列式在边界消失的阶数是处处有限的，即r 处处有限同时，p a n 2 8 1 在c 2 中找到一个例子说明即使l e v i 行列式零点的阶数在某些边界点可能达 到无穷时，刚性定理也成立，此后，h a m a d a 2 1 】则在c “中找到了这样的例 子p a n 2 9 】证明了妒中光滑有界d a n g e l o 有限型r e i n h a r d t 域上逆紧全纯自 映射有刚性定理成立在文【8 】中，b e r t e l o o t 证明了 中具有俨边界的有界 完全r e i n h a r d t 域刚性定理成立注意文b e r t e l o o t 8 】中研究的r e i n h a r d t 域没有 要求一定是拟凸域最近，c h e r t 和p a n 1 3 】证明了c ”中具有俨边界且包含0 一1 0 一 第二章关于c 2 中具有对称性的域上的逆紧全纯映射 点的有界r e i n h a r d t 域上逆紧全纯自映射有刚性定理成立此外，p a n 在【3 0 】中 证明了c n 中光滑有界r e i n h a r d t 域上逆紧全纯自映射有刚性定理成立，此结果 中的r e i n h a r d t 域没有拟凸性和有限型的要求，是一个很一般的r e i n h a r d t 域 上述文献在研究过程中都是从考察分支轨迹的结构入手，然后证明 = 0 ，从而得到刚性定理成立关于分支轨迹的结构，有下面的结果： 定理2 2 1【1 9 】设q 和d 是c “中光滑有界且具有实解析边界的域，且q 是 r e i n h a r d t 域如果f ：q d 是逆紧全纯映射，那么，的分支轨迹只可能出现 在坐标超平面上 定理2 2 2【2 8 】设q 和d 是c ”中光滑有界拟凸域如果q 是有限型r e i n h a r d t 域，f ：q d 是逆紧全纯映射，那么f 的分支轨迹只可能出现在坐标超 平面上 定理2 2 3【3 0 1 设，是c “中具有俨边界的有界r e i n h a r d t 域q 的逆紧全纯 自映射，如果巧o ，那么存在一整数m n ，使得 m v i = u h j ， j = l ，( h j ) = 马， f - i ( 玛) = 屿 其中毋= q f l 刁= o ) ，j = 1 ，m 以上是c “中关于r e i n h a r d t 域的一些结果，由于圆形域和h a r t o g s 域在对 称性上相对r e i n h a r d t 域要弱，因此在这两类域上的研究会更困难一些，现有的 结果不多p a n 2 0 研究了c ”中一类较特殊的h a r t o g s 域，这类域如下定义： 设q = z = ( z ，) c “：i 1 2 + ( z 7 ) o ) 是c ，中的光滑有界拟凸域， 其中砂( z ) 是c ”1 中的实值函数设d = z c ”1 ：( z ) 1 时的广义h a r t o g s 三角形 q ( p ，口) = ( z ，叫) c ”+ m ：iz ii 铂 1 ，m 1 时广义h a r t o g s 三角形之间逆紧全纯映射 ，：q ，口) 一q ，一) 存在的充分必要条件陈志华【2 】则找到了p ，( r + ) “，吼一( r + ) m ，n 1 ，m 1 时广义h a r t o g s 三角形q 0 ，口) ，q ，g ，) 之间逆紧全纯映射存在的充要 条件，韩静【3 】则给出了关于两个这类域之间逆紧全纯映射的分类结果事实 上，广义拟椭球和广义h a r t o g s 三角形都是r e i n h a r d t 域此外，o u r i m i 2 7 】则 在一个具体的非r e i n h a r d t 域的圆形域一极小球上证明了其逆紧全纯自映射的 刚性定理 接下来我们来看c 2 中具有对称性的域上的逆紧全纯映射研究进展现状 关于r e i n h a r d t 域，l a n d u c c i 2 4 】考虑了d 为c 2 中光滑有界拟凸完全r e i n h a r d t 域且其弱拟凸边界点完全落在坐标超平面时的情况，证明了在这种域上有 刚性定理成立此文中对所研究的域加上其弱拟凸边界点完全落在坐标超平面的 条件，目的是为了控制分支轨迹的结构b e r t e l o o t 和p i n 6 u k 7 】以及l a n d u c c i 和 s p i r o 2 3 1 讨论了c 2 中的有界完全r e i n h a r d t 域，其结论是：双圆柱是c 2 中唯一 一个允许存在非自同构之逆紧全纯自映射的有界完全r e i n h a r d t 域 关于准圆形域，现在已知的结论有，c 2 中有限型光滑有界拟凸完全圆形域 【9 】9 和c 2 中有限型光滑有界拟凸准圆形域【1 0 上逆紧全纯自映射有刚性定理成 一1 2 第二章关于c 2 中具有对称性的域上的逆紧全纯映射 立，后者事实上包含了前者以及同样条件下的一般圆形域和h a r t o g s 域两文 的研究方法同样是通过考察分支轨迹的结构入手的，都运用了复动力系统的相 关知识，特别是关于吸引域的知识两文中关于分支轨迹结构的一些定理比较 有启发性，介绍如下，其中设c 2 中的点为( z ，叫) ，e = q n 叫= o 定理2 2 4【1 0 】设f ：q d 是c 2 中有限型光滑有界拟凸域间的逆紧全纯映 射如果q 是完全h a r t o g s 域，那么存在z l ，z 2 ，e ，使得 n c u 。= 磊) u 叫= o ) 1 = l 受上述定理的启发，我们在第三章中对某类h a r t o g s 域得到了类似的结论 定理2 2 5【1 0 】设，：q d 是c 2 中有限型光滑有界拟凸域间的逆紧全纯映 射如果q 是不完全h a r t o g s 域，那么存在魂，z , z ，使得 定理2 2 6【1 0 设，：q d 是c 2 中有限型光滑有界拟凸域间的逆紧全纯映 射如果q 是0 ，q ) 型准圆形域，那么存在p l ，沈，使得 聆= u ( 五，；、q w d ：a c ) t a f t i = 1 其中p i = ( 名，l l j i ) 舰 定理2 2 7【9 】设f ：q d 是c 2 中有限型光滑有界拟凸域间的逆紧全纯映 射如果q 是完全圆形域，那么诈一定是有限个圆盘的集合 此外，p a n 1 8 研究了c 2 中某类具有特殊条件的h a r t o g s 域上逆紧全纯自映 射的刚性，所得结果将在第三章中提及 2 3c 2 中具有横截t - a c t i o n 的域上的逆紧全纯映射 先介绍t - a c t i o n 和t - a c t i o n 在点p 横截的概念关于t - a c t i o n 的知识散见于 f 9 ，1 0 ，1 4 】等 定义2 3 1设n 是c 2 中的光滑有界域s 1 表示单位圆周，且s 1 有李群结 构a u t ( f 2 ) 为q 的全纯自同构群设毋：s 1 一a u t ( 2 ) ：t 一也是一个连续， 一1 3 一 qn ， 麓 | z ，【 u m c瞻 第二章关于c z 中具有对称性的域上的逆紧全纯映射 非常数的同胚映射，记的像为妒( s 1 ) = t a u t ( f 2 ) 设 山：tx q q ：( 也，z ) 一也( z ) 则也就是q 上的t a c t i o n 定义2 3 2若q 上的t - a c t i o n 有如下两个性质，则称t a c t i o n 在p 是点横 截 ( 1 ) 群作用t q q 光滑延拓到tx q q ( 2 ) 对点p a q ，由映射唧：t a q ：0 一伽( p ) 诱导的切映射 d ( 怖) ：正t 一耳a q 之像不在点p 的全纯切空间笮a f 2 中 若q 上的t - a c t i o n 在a q 的每点处都横截，那么就称q 有横截的t - a c t i o n 事实上，圆形域和h a r t o g s 域都是具有t - a c t i o n 的域对圆形域来说，t - a c t i o n 即为 t q _ q ：0 x ( z ，叫) _ ( e i o z ，e i o 伽) 对h a r t o g s 域来说，t - a c t i o n 即为 t f t _ q ：0x ( z ，叫) 啼( z ，e i o l o ) 最近c o f f m a n 和p a n 1 4 】得到了如下关于c 2 中具有横截t - a c t i o n 的域上逆 紧全纯映射的分支轨迹结构的结果 定理2 3 1 1 4 】设q 是c 2 中具有横截t - a c t i o n 的有限型光滑有界拟凸域，d 是c 2 中另一光滑有界拟凸域，：q d 是逆紧全纯映射，w 是的一个不 可约分支那么形n a q 的包含z o 点的连通分支等于轨道妒。( t ) 事实上，由文【1 4 】可知对上述定理中q 的条件作部分修改后仍可以得到一 样的结果，这就是文 1 4 】给出的关于t - a c t i o n 在a q 上局部横截情况下的一个 结果，如下： 定理2 3 2【1 4 】设q 是c 2 中满足条件r 且具有t - a c t i o n 的光滑有界拟凸域， 设z o 御是有限型点，且t - a c t i o n 在z 0 点处局部横截，设d 是c 2 中另一光 滑有界拟凸域如果，：q d 是逆紧全纯映射，是巧的一个不可约分支 使得z o 彬n a n ，那么彬f l a q 的包含z - 0 点的连通分支等于轨道妒。( r ) 一1 4 第二章关于c 2 中具有对称性的域上的逆紧全纯映射 上述定理中q 不要求所有边界点都是有限型的，也不要求所有边界点处都 具有横截的t - a c t i o n ，只要局部的有一边界点是有限型，且这一点处具有横截的 t - a c t i o n 正因为这个特点，上述定理将被应用到第三章的问题研究中 一1 5 第三章c 2 中某类h a r t o g s 域的逆紧全纯自映射 第三章 c 2 中某类h a r t o g s 域的逆紧全纯自映射 3 1 引言 本章将研究c 2 中某类h a r t o g s 域上的逆紧全纯自映射，从考察它的分支轨 迹入手，证明了其刚性定理成立，即逆紧全纯自映射必定为全纯自同构此类 域是光滑有界拟凸完全的h a r t o g s 域，且它的边界上具有无限型点 为了便于叙述，首先说明本章中要用到的有关符号和概念 设q 是c 2 中光滑有界完全的h a r t o g s 域，即对v ( 。，伽) q ，对坝， 0 有 o k p ( a ，w ) o z 。= 0 更进步，若设p = r ( 1 - i i z 一啦1 2 ，l 训2 ) = 0 ，则以p 为定 义函数的域仍是h a r t o g s 域，且对每个啦，“= 1 ，) ，有对任意整数k 0 ， 矿p ( a i ，伽) a = 0 成立 文【1 8 】讨论了c 2 中边界可能会出现无限型点的h a r t o g s 域上逆紧全纯自映 射的刚性，其结果如下： 定理3 1 2设q = l 训2 + ( z ) 0 有矿( 翔) = 0 则q 的逆紧全纯自映射是全纯自同构 事实上，由文【1 8 】的引理2 可知，对文 1 8 】中所研究的h a r t o g s 域q ，a q n 们= o ) 都是强拟凸点，所以本文的结果包含并推广了文 1 8 】的结果 3 2 主要引理 引理3 2 1 设q 是c 2 中的光滑有界拟凸完全h a r t o g s 域，p ( z ，w ) 是q 的一 个定义函数定义 r ( z ，w ) = p ( 。，w ) d o ， j 0 则r 也是q 的定义函数 证明： 对v ( z ，埘) 使得p ( z ，w ) = 0 ，由于n 是c 2 中的光滑有界拟凸完全 h a r t o g s 域，那么p ( z ，伽) = 0 ，则r ( z ，叫) = 詹”p ( z ，e 胡w ) d o = 0 反过来， 对v ( z ，w ) 使得r ( z ，伽) = 0 ，可证得p ( z ，w ) = 0 否则，若p ( z ，w ) 0 ，不 妨设p ( z ， t o ) 0 ，由于q 是c 2 中的光滑有界拟凸完全h a r t o g s 域，那么 p ( z ，e 柙删) 0 ，则r ( z ，w ) = 后”p ( z ，e 徊w ) d o 0 下证对v ( z ，w ) a n ，v r l ( 。) 0 即证亿( z ，w ) 与( z ，w ) 不能全为0 令z = z + i y ，w = + i v 在r 4 中( z ，彬) 为( z ，y ，t ，口) ，( z ，e i o 彬) 为 ( z ，y ，u c o s o - v s i n 0 ，u s i n o + v c o s o ) ，因为p 是n 的定义函数，所以v p ( z ，彬) 0 即 v 比。= ( 塞，等，裳，笔) k ”，。0 由于q 是光滑有界拟凸完全h a r t o g s 域，那么对点( z ，y ，u c o s 一口s i n 0 ，u s i n 0 + 一1 7 c 0 8 口) ，可由点( z ，y ，口) 固定z ，暑旋转0 角得到点( z ，y ，u c o s o v s i n 0 ，札s i n + v c o s o ) 处的法向量，可由点( z ，y ，t ，t ，) 处的法向量旋转0 角 得到又由于v p = ( 塞，器) ，鑫= 孙1 瓦0 + i 品) ，矗= j ( 亳+ t 岳) 则 塞( z ，e 静似) = 塞( z ，伽) ，器( z ，e 珀叫) = e i o 器( z ，叫) 因为p 是实函数，所以 裳叫) = 塞( 2 ，毗皂( 孙一甜老( 删) 那么 ，2 丌r 2 f 如( z ，w ) = 儿( z ，e 胡w ) d o = 以( z ，w ) d o = 2 ，r p = ( z ，叫) ， ( z ，w ) = ( z ，e 讲w ) d o = p w ( z ，w ) e 棚e “9 d o = 2 1 r p 。( z ，叫) 所以v r = 2 ，r v p