（基础数学专业论文）关于vague集的若干性质研究.pdf

摘要 v a g u e 集和f u z z y 集是模糊数学研究的主要对象，而v a g u e 集是f u z z y 集的进一步 的推广和发展。本文分析f u z z y 集的一些重要概念和性质，通过类比的方法定义了v a g u e 集一些基本概念，进而得出了v a g u e 集的一些重要性质和新的结果。 主要结果如下： 1 研究了v a g u e 集的代数性质，证明出v a g u e 集关于交、并和补运算构成一个拟布 尔代数，通过研究v a g u e 集和f u z z y 集与经典集合的关系，得出了v a g u e 集的分解定 理和表现定理。 2 研究了v a g u e 集理论应用，介绍v a g u e 集的模糊熵。通过比较现有的一些v a g u e 集的模糊熵的计算方法，指出它们的一些不足，并给出一种新的v a g u e 熵的计算方法， 再通过实例说明了这种新的方法更具合理性。 关键词 v a g u e 集，拟布尔代数，模糊熵，分解定理，表现定理 a b s tr a c t v a g u es e t sa n df u z z ys e t sa l et h em a i nt a r g e t so ff u z z ym a t h e m a t i c s v a g u es e t sa l ef u r t h e r p r o m o t i o na n dd e v e l o p m e n to ff u z z ys e t s t h i sp a p e ra n a l y z e san u m b e ro fi m p o r t a n t d e f i n i t i o n sa n dp r o p e r t i e so ff u z z ys e t s ，a n dd e f i n e ss o m eb a s i cc o n c e p t so fv a g u es e t s t h e n w eo b t a i nan u m b e ro fi m p o r t a n tp r o p e r t i e sa n dn e wr e s u l t so fv a g u es e t s m a i nr e s u l t sa r ea s f o l l o w s ： 1 t h ea l g e b r a i cp r o p e r t i e so ft h ev a g u es e t sa r es t u d i e d w ep r o v et h a tt h ev a g u es e t sw i t h t h eo p e r a t i o n so f j o i n ，i n t e r s e c t i o na n dc o m p l e m e n tf o r maq u a s i - b o o l e a na l g e b r a w eo b t a i n t h ed e c o m p o s i t i o nt h e o r e ma n dt h er e p r e s e n t a t i o nt h e o r e mo fv a g u es e t s ，b yc o m p a r i n gt h e r e l a t i o n s h i po fv a g u es e t sa n df u z z ys e t s 2 t h ea p p l i c a t i o n so ft h ev a g u es e t sa l es t u d i e d b yc o m p a r i n gs o m eo ft h ee x i s t i n g c a l c u l a t i n gm e t h o d so ft h ef u z z ye n t r o p yo fv a g u es e t s ，a n dp o i n t i n go u tt h a ts o m eo f t h e i r d e f i c i e n c i e s ，w eg i v ean e wc a l c u l a t i n gm e t h o do ft h ef u z z ye n t r o p yo fv a g u es e t s a n d t h r o u g hs o m ee x a m p l e s ，w ef r e dt h a tt h en e w m e t h o di sm o r er e a s o n a b l e k e yw o r d s v a g u es e t s ，q u a s i - b o o l e a na l g e b r a , f u z z ye n t r o p y , d e c o m p o s i t i o nt h e o r e m , r e p r e s e n t a t i o n t h e o r e m 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：磕红 指导教师签名：系之生 弘f 口年6 月j1 日 ) 。j 。年6 月if 日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研 究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和 致谢的地方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果，也不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己 在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 址磊 上。i 。年6 月f1 日 两北大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1引言 1 1 1v a g u e 集理论的提出 1 9 6 5 年，z a d e h t l l 在他的奠基性论文f u z z ys e t s 中首次提出了模糊集的理论，创立了 模糊集合论，并在此基础上形成了- - t - j 新的学科一模糊数学，这在当时产生了巨大的 反响，同时也引起国内外许多学者的关注。1 9 7 1 年，r o s e n f e l d a 1 4 6 将模糊集理论应用 到群上，提出了模糊群概念，并形成模糊数学的一个重要分支一模糊代数学，f u z z y 集 理论在随后的几十年，经过不断地完善和发展，并在许多领域得到广泛的应用和发展。 同时它的不足也引起了人们的注意，如f u z z y 集是单一的隶属函数，不能同时表示支持 和反对的证据。为此g a u 2 】在1 9 9 3 年提出v a g u e 集的概念，在一个v a g u e 集a 中，用一 个真隶属度函数( x ) 和一个假隶属度无( x ) 来分别表示隶属度的界，这两个界构成 【o ，1 】的子区间n ( x ) ，1 - f a ( x ) 。v a g u e 集作为模糊集的扩展，v a g u e 集的思想认为每 个元素的隶属度都可以分成支持和对立两个方面，也就是由真隶属度t a ( x ) 和假隶 属度六( x ) 构成。如果我们把任意一个元素x 和一个v a g u e 集看成一个映射，那么 v a g u e 集的真隶属度就等价于同一度t a ( x ) ，假隶属度就等价于对立度厶( 工) ，而 1 - - t a ( x ) 一六( x ) 恰恰对应于差异度，它表示了x 对于v a g u e 集的犹豫程度。 1 1 2 v a g u e 集和经典集合，f u z z y 集之间的区别与联系 集合论是由德国数学家康托( g c a n t o r ) 于1 8 9 5 年创立的，他的重要思想方法之一 就是概括原则。所谓的概括原则是指任给一个性质s ，便能把满足性质s 的对象，也仅 由性质p 的对象汇集在一起构成一个集合，用符号来表示就是：a = 口l s ( 口) ，其中口表 示么的任何一个元素，s ( 口) 表示口具有性质s ，概括原则可以写成( v 口) ( 口a s ( 口) ) 。 康托对集合曾作过这样的描述：“把一些明确的，彼此有区别的，具体的或想象中抽象 的东西看成一个整体，叫做集合 。在这里康托要求的集合的那些对象是确定的，彼此 有区别的，即构成集合的性质尸必须是界限分明，也即是真就是真，假就是假，形成一 种二值逻辑。这种二值逻辑有着重要的意义，但也给数学自身的发展带来了很大的局限 性。在现实中很多概念是没有明确外延的，例如：“胖子 这样一个概念。著名的秃头悖 论揭示这样一个矛盾。 第一章绪论 公设若具有力根头发的人是秃子，则具有刀+ 1 根头发的人亦秃。 基于这个公设，我们证明秃头悖论：任何人都是秃子。 证明：采用数学归纳法 ( 1 ) 仅有一根头发的人是秃子； ( 2 ) 假定有胛根头发的人是秃子； ( 3 ) 由公设，便知有刀+ 1 根头发的人也是秃子。 由归纳法原理，得出结论：任何人都是秃子。 这个悖论出现的原因，在于数学归纳法是以康托的集合论为基础的数学方法，而“秃头 是个模糊概念，用一个精确概念处理一个f u z z y 集概念显然是不合理的。 下面介绍一下经典集合和f u z z y 集的隶属函数。 定义1 1 1 1 4 5 l ：设u 是一个给定的论域，v a p ( v ) ，由集合彳可确定一个从u 到 o ，l 的映射 巳：uj o ，1 ， 1 1 ，ca u i - - - ) c a2 t o ；7 ； 称为集合彳的特征函数，它在”处的值巳0 ) 称为u 对彳的隶属度。当u a 时，隶属度 为l ，表示, 绝对地属于彳，当, 仨a 时，隶属度为0 ，表示u 绝对地不属于彳。而f u z z y 集推广了经典集合的特征函数，使元素与集合的之间的简单的“属于与“不属于一变 成一定程度的属于。所以f u z z y 集推广了普通集合的特征函数作出了如下定义： 定义1 1 2 1 4 5 1 ：给定了论域u 上的一个f u z z y 集a 是指：对任何 u ，都指定了一 个j l l a 0 ) 【o ，1 】与之对应，它叫作z f 对彳的隶属度，即构造了一个映射： p 彳：u 一【0 ，1 】， u h j l l 爿0 ) 这个映射成为彳的隶属函数。 正如经典集合完全由特征函数所刻画一样，f u z z y 集也完全由隶属函数所刻画。特 别当月p ) = o ，1 ) 时，t z _ 便蜕化为一个经典集合的特征函数，f u z z y 集便蜕化为一个经 典集合么= 函u k 一= l 因此经典集合是f u z z y 集的特殊情况。 f u z z y 集的隶属度是单值的，它既包含了支持u u 的证据，也包含了反对“u 的 证据，它不可能只表示其中一个，更不可能同时表示支持和反对的证据，g a u 2 在1 9 9 3 2 两北大学硕上学位论文 年提出v a g u e 集的概念，即用一个真隶属函数f 和一个假隶属函数六来描述v a g u e 集， v a g u e 集的主要特征是它同时给出了支持和反对的证据，体现了介于支持和反对的犹豫 性。例如：设么为一个v a g u e 集， 乙( x ) ，1 一无( x ) = 【o 4 ，0 7 】，可知f 一= o 4 ， 兀= 1 - 0 7 = 0 3 ，1 一一厶= 0 3 ，此时v a g u e 集么可解释为：对象x 属于集合彳的程 度为0 4 ，不属于集合么的程度为0 3 ，未知度为0 3 。我们可以用投票模型解释它：即 赞成票为4 票，反对票3 票，弃权票为3 票。这使得v a g u e 集在处理模糊信息比f u z z y 集有更强的表示能力，更具有灵活性。在这里若未知度1 一乙一无= o ，即乙+ 无= 1 时， 此时v a g u e 集就蜕化成f u z z y 集，因此可以看出f u z z y 集是v a g u e 集的特殊情况。 1 1 3 v a g u e 集理论及其应用 v a g u e 集理论作为f u z z y 集理论的推广和扩展，它和f u z z y 集一样主要基于人类思 维一分为二的看待事物，既从正面立场看问题，又从反面立场看问题。该理论认为在人 类在考虑问题时应该从正反两方面同时进行考虑，并且还具有不确定性分析。因而要采 用两种隶属度加以认识。肯定隶属度是从正面立场看问题得到的支持程度，否定隶属度 是从反面立场看问题得到的反对程度。 v a g u e 集理论作为一种处理模糊、不精确问题新的数学工具，现已得到了广泛的发 展和应用，例如在数据挖掘【1 9 1 ，机器学 2 9 1 ，近似推理【3 l 】，决策分析【3 2 】，医疗诊断系 统3 3 1 ，人工智能，都得到了一定的应用。 1 1 4 本文知识介绍 本文在现有v a g u e 集理论方面的基础上，对v a g u e 集的代数性质和v a g u e 集的模 糊熵作出进一步的研究。本文共分为四章，第一章是绪论，主要介绍v a g u e 集理论的 产生和主要基础知识；第二章主要介绍v a g u e 集的代数性质，其中得出v a g u e 集的代 数结构是一个拟布尔代数；第三章还研究v a g u e 集和经典集合的关系，得到分解定理 和表现定理；第四章介绍v a g u e 集理论应用分别介绍的v a g u e 集的模糊熵。其中第二， 三和第四章是本文的主要工作。 1 2 预备知识 下面我们介绍一下v a g u e 集的一些基本概念和定义。 定义1 2 1 【3 】：令u 是一个讨论的( 对象) 空间，其中任意一个元素用x 表示，u 上 的一个v a g u e 集彳用一个真隶属度函数乙( x ) 和一个假隶属度函数( x ) 表示，( x ) 是 第一章绪论 从支持x 的证据得出x 的隶属度的下界，无( x ) 则是反对石的证据所得出的否定隶属度的 下界，t a ( x ) 和无( x ) 将区间 o ，1 】中的一个实数与u 中的每一个点联系起来，即： ( x ) ：u 专【o ，1 】，无( x ) ：uj 【o ，1 】，其中乙( x ) + f a ( x ) a 且( 甜) 卢 为彳的a ，卢一强截集。 显然锄，锄都是u 上的普通集，即厶，a o p p ( u ) 即c “，= ：lz 出嚣留爹 定义1 2 8 口8 】：设论域u = u 1 “：， ，a 为u 上的一个v a g u e 集， 彳= 已( ) ，1 - f a ( u , ) l u ，4 为a 的真隶属度集，4 为么的假隶属度集，4 与4 分 ，掌l 别表示如下：4 = e t a ( u ，) 吩，4 = ( 1 一无( “f ) ) 1 = 1i = l 第三章v a g u e 集的分解定理和表现定理 第二章v a g u e 集的代数性质 模糊数学的创始人z a d e h 将经典集合的隶属函数的二值逻辑推广到一定程度上属于 的多值逻辑，即隶属函数的取值范围由 o ，1 推广到区间【o ，1 】，并首次提出了f u z z y 集理 论。经过后来很多学者的不懈努力，f u z z y 集已形成了比较完备的知识理论体系，在解 决一些由模糊性引起不确定实际问题也有了一定的应用。v a g u e 集作为处理不确定信息 所提出得一种全新的集合理论，它是f u z z y 集的进一步推广和发展，它的代数性质和代 数结构有待人们进一步地探讨和研究。本章介绍了f u z z y 集的一些相关知识和理论，然 后在现有文献中定义的一些v a g u e 集的运算法则的基础上，给出了v a g u e 集的一些新的 运算规律，并由这些运算规律总结出了v a g u e 集的代数结构，得出v a g u e 集关于交、并 和补运算形成一个拟布尔代数。 2 1 f u z z y 的基本理论 定义2 1 1 h 5 3 论域u 上的一个f u z z y 集彳是指：对任意的x u ，都有一个数p 【0 ，1 】 与它对应，它叫做工对a 的隶属度( d e g r e eo fm e m b e r s h i p ) ，即构造了一个映射： j l l ：uh 【0 ，1 】， zh p g ) 这个映射被称为彳的隶属函数( m e m b e r s h i pf u n c t i o n ) 。f u z z y 集彳有时也称为模糊 子集j 特别地当p ) = 0 ，1 时，蜕化成一个经典集合的特征函数。于是彳便蜕化成一 个经典集合彳= x u k j g ) = ，) 设u 的所有模糊集合记为f 妙) ，称它为u 的模糊幂集。u 的所有经典集合记为 尸p ) ，称为u 的幂集。显然p 妙) ，妙) f u z z y 集的表示方法大致有三种： ( 1 ) z a d e h 的记法。若u 为有限集合或可数集合，则j 可表示为： j = 掣； 6 雨北j ：学硕i 二学位论文 ( 2 ) 模糊向量形式。若给u 的元素规定一个顺序，则么可表示为： j = ( j b x j k 卜，j k ) ) ； ( 3 ) 积分形式。若u 为无限不可数集，则五可表示为： j ：掣 。 x 以上的求和与积分符号不是表示通常意义下的求和与积分，它们仅表示u 中的元素x 与 其隶属度彳g ) 之间的对应关系。 下来我们看看f u z z y 集合的运算。 定义2 1 2 4 5 1 设4 ，b f ( v ) ，如果对任意的x u ，彳g ) 8 ( x ) ，称爿包含于b ，并 记为a b ；若asb 且b a ，则称彳与b 相等，记为a = b 显然，a = b 彳g ) = b g ) ， v x u 定义2 1 3 4 5 1 设j ，云f p ) ，设模糊集j u 云，j n 云，j l 分别为： ( j u 云 g ) = j g ) v 云g ) ； ( j n 云) g ) = j g ) 云g ) ； ag ) = 1 一么g ) ，对垤u a u b ，a n b ，a 分别称为a ，b 的并集和交集，a 称为a 的余集。 引理2 1 4 4 5 1f u z z y 集的交，并，余运算具有下列性质： ( 1 ) 幂等律j u j ：a 。，a na 。：a ； ( 2 ) 交换律j u 三：b u a ，j n 云：b n a ； ( 3 ) 结合律( j u 云) u 6 = j u ( 云u 6 ) ， ( j n 云) n 6 = 五n ( 云n 6 ) ； 7 蒡三章v a g u e 集的分解定理和表现定理 ( 4 ) 吸收律五n ( j u 云) = a ，j u ( j n 云) = j ； c 5 ，分配律五n ( 云u a ) = ( j n 云) u ( j n 云) ， j u ( 云n 6 ) = ( j u 云) n ( j u 6 ) ； ( 6 ) 0 - 1 律a u 妒= a ，4 n 妒= 妒，a u u = u ，a n u ；a ； c 7 ，复原律( j c c = j ( j c c = j ； ( 8 ) 对偶律( 五u 云) c = j c n 云c ，( a n b ) c = j c u 云c ； 2 2 v a g u e 集的基本概念与代数性质 下来我们通过现有定义的v a g u e 集的基本概念，讨论一下v a g u e 集的运算性质和代 数结构。 定义2 2 1 【3 】：令u 是一个讨论的( 对象) 空间，其中任意一个元素用x 表示，u 上 的一个v a g u e 集彳用一个真隶属度函数( x ) 和一个假隶属度函数六( x ) 表示，( x ) 是 从支持x 的证据得出x 的隶属度的下界，无( x ) 则是反对x 的证据所得出的否定隶属度的 下界，( x ) 和无( x ) 将区间【o ，1 】中的一个实数与u 中的每一个点联系起来，即： ( x ) ：u 一 o ，1 】，无( x ) ：u 一【o ，1 】，其中乙( x ) + 无( x ) 1 设彳为一个v a g u e 集，当u 是离散时，彳= ( 薯) ，1 - f a ( x , ) x ，五u ， 当u 连续时彳= j 乙( x ) ，1 - f 月( x ) 妇 在下面的讨论中，我们也用如下集合的形式表示v a g u e 集： 彳= ( 工) ，1 一无( 工) x u ) 相应的，我们也用如下形式表示f u z z y 集： f ： l z ( x ) x f ) ， 例如：在论域u = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 上的f u z z y 集可以表示为： 0 1 ，0 2 5 2 ，0 5 3 ，0 7 5 4 ，1 5 ； 而v a g u e 集则可表示为：么= 【o ，0 1 ，【o 2 ，0 3 2 ，【o 4 ，0 6 3 ，【o 7 ，0 8 4 ，【l ，1 】5 8 西北人学硕上学位论文 定义2 2 2 t 8 1 ：设爿是v a g u e 集，则a 的余集彳c 定义为： 。( x ) = 无( x ) ，l 一无。( x ) = 1 一r ( x ) ( 便于讨论将上面的式子分别写成如下形式：7 ，= 六，1 一厶= 1 一t a ) 。 定义2 2 3 t 8 】：设彳，b 是v a g u e 集，称么和b 相等，即彳= b 是指： t a = t b ，1 一厶= 1 一厶 定义2 2 4 【7 】：设彳，b 是v a g u e 集，称彳包含于曰，即a 互b 是指： t a t b ，1 一无1 一厶 定义2 2 5 1 7 1 ：设两个v a g u e 集彳和b 的交集为c ，即c = 彳n b 其真假隶属度函数 分别为： t c = m i n g ，t b ， 1 一层= r i l i i l l 一无，1 一兀) = l m a x 厶，厶 定义2 2 6 【7 】：设两个v a g u e 集彳和b 的并集为c ，即c = 彳u b 其真假隶属度函数 分别为： 乞= m a x 6 ，t b ， l 一五= m a x 1 - f a ，1 一兀 = 1 一m a ) 【 无，兀 定理2 2 7 ：设a ，b ，c 是v a g u e 集，则关于“u ”，“n ，“c 的下列性质是成 立的： ( a ) 交换律：a n b = b n a ，a u b = b u a ； ( b ) 结合律： a u ( b u c ) = ( 彳u b ) u c ， 彳n ( b n c ) = ( 么n b ) n c ； ( c ) 分配律： 彳u ( b n c ) = ( 彳u b ) n ( 4 u c ) ， a n ( b u c ) = ( 彳n b ) u ( 彳n c ) ； ( d ) 幂等性：a u a = a ，an a = a ( e ) 吸收率：彳u ( 彳n c ) = a ， 4 n ( , 4 u c ) = a ； ( f ) d em o r g a n l a w s ： ( 彳nb ) c = 彳cub c ，( 4 ub ) c = 彳cn b c ； 9 第三章v a g u e 集的分解定理和表现定理 ( g ) i n v o l u t i o n ：( a c ) c = 彳； 证明：在这里仅证( b ) ，( c ) ，( e ) ( b ) 。t a u ( 口u c ) - - m a x t 一，t s u c ) = m a x t a ，m a x t 口，名 ) = m a x t a ，t b ，t c ， t ( a u b ) u c = m a x t a u b ，t c = m a ) ( m a ) 【 乙，如) ，t c = 删 ，乙，t c ) ， r 一， 彳u ( s u c l 一( 一u s ) u c l 一无u ( 烈j c ) = m a x 1 一无，i 一厶u c ) = n 瞰 1 一无，m a x 1 - f s ，1 - f c = m a x 1 - f a ，1 一兀，l 一左) ， 1 一石眦) u c = m a ) 【 1 一无1 - l = m a x m a x i - f a ，l 一厶 ，i - l = n 1 a ：x 1 - l ，1 一兀，1 一石) 结合律成立。 ( c ) 。n c = r a m t , ，t c ， t a “占n c ) = m a x t a ，m a n t b ，乞) 。岣= m a x t a ， ，乙u c = m a x t a ，岛 ， f ( u 占) n ( 彳u c ) = 加曲 m a ) ( ， ，m a x t a ，乞) 由t x ，乞的关系可分为o t - - 种情况讨论： 当f c 岛时，u 【占n c ) = ，f ( _ ) n ( u c ) = ； 当t c t a 时，f ，t u ( 口n c ) = 乙，气_ u b ) n ( u c ) = 乙； t a 乞乙时，u ( 口n c ) = t ，气一凹) n ( 一u c ) = 乞 ， 一r a u ( b n c l 一( a u b ) n ( a u c ) 又由1 一u ( b n c ) = m a ) 【 1 一无，i - a n c = m 觚 1 一厶，m i n 1 - f b ，1 - f c = r a i n m a x 1 - f a ，l - a ，m a x ( 1 - l ，1 一五) 当l 一五 i - 兀i - 以时， 得：l 一u ( 口眦) = 1 一厶，1 一五彳) n ( u c ) = 1 一无 1 0 西北大学硕：士：学位论文 当1 一疋1 一无 l - f 口时， 得：1 一无u ( 口n c ) = l 一六，l 一五) n ( 爿) = 1 一无。 当1 一无 1 - f c l - f 口时， 得：l 一无u ( 口n c ) = 1 一z ，l 一彳) n ( 一v c ) 2 l z 分配律是成立的。 ( e ) u ( n f ) = m a x t 爿，n c ) = m a x t ，m i n , _ ，乞) ， 1 - f a “_ n c ) = 蚴 l 一无，l 一无n c ) = m a x l 一六，m i n 1 - f 爿，1 - f c 若名，1 一五 1 - 六， t a u ( n c ) = t x ，1 一无“_ n c ) 21 一无 若t x f c ，l 一无 1 - 五， 也可得u ( n c ) = ，1 一f a v 似n c ) = 1 一六 吸收律是成立的。 定理2 2 8 ：设论域u = 五，x 2 ，矗 ，定义u 上v a g u e 集y 非空，在v 中定义两个二 元合成“n ”“u ”，它满足命题( a ) ，( b ) ，( d ) ，( e ) 现在y 中定义关系“”如a b 是指 an b = a ( 或彳u b = b ) 则是一个偏序关系。【厂上的全体v a g u e 集记为v ( v ) ，则偏 序集( y ( u ) ，) 是一个格，在这个格中彳n b 正是 彳，b ) 的最大下界，彳u b 是 么，b ) 的最 小上界。 定理2 2 9 ：设u 上v a g u e 集矿非空，则( y ( u ) ，u ，n ) 形成一个完全分配格。其中最 小上界是盟4 ，最大下晃是q 4 ，最小元是【o ，0 】，最大元是【1 ，1 】。 i e l 2 ，e 1 2 在v a g u e 集中下面这些性质是不成立的： 彳n 彳c = o = 【o ，0 】，彳u 彳c = l = 【l ，1 】 例如：a = 【o 2 ，0 4 】，则彳c = 【o 6 ，0 8 】 而彳n 彳c = o 2 ，0 4 】 o ，o 】， a u a c = 【o 6 ，0 8 】【1 l 】 故v a g u e 集不是一个有余格。 第三章v a g u e 集的分解定理和表现定理 定义2 2 1 0 2 1 ：一个代数称为拟布尔代数( 彳，u ，n ，) 是指如果( 彳，u ，n ) 是一个分配格 且有最大元，“ 是彳上的一个一元运算且满足如下条件： ( 1 ) 对v a a ，口= 口， ( 2 ) 对v 口，b a ，( a u b ) = ( 口) n ( b ) 定理2 2 1 1 ：设u 上v a g u e 集y 非空，则代数结构( y ( u ) ，u ，n ，c ) 构成一个拟布尔代 数。 1 2 西北大学硕士学位论文 第三章v a g u e 集的分解定理和表现定理 对于众多的模糊现象，我们常常需要作出一个明确的判断，需要有一座桥梁来把模 糊集和经典集合沟通起来。截集在模糊集和经典集的转化过程中就起了非常重要的连接 作用。对于f u z z y 集来说，我们如果选定一个“阈值 a ( o - 诅l ( “) c 7 1 a 2 ，无( “) 届展 u 鸣2 戌 j 鸣。岛鸣：如 同理v “鸣。岛，乙( 甜) a 。a 2 ，无( 甜) 尼- a ，无c ( “) a ，( u ) 0 2 , 届 a 2 ，属 a ：，无( 甜) 届 a ：，屈 殷j 气9 如岛冬o - - - 2 岛 定理3 3 4 ：i 当a o ，”1 时，屯= 。q ，肛； ( 当允1 彬。时，冬2a ，彤。 证明：( i ) 当a o ，甜l 时，对于【o ，1 】中满足a 卢的任意实数a 口 有：2 龟2 丸，于是a a ，p a ，无( x ) a，oe o ，帅e 【o ，1 1 印，、7 讹。f 1 j , # e 1 0 , i j ( 卢) ( x ) a ， 时p ( x ) l a 】，卢【o ，1 】) a ，风 如风( x ) a 且n o o 岛( x ) 允，卢。 j u 或h o o 氏( x ) a ，卢 a ( x ) = a i i l f p ( x ) 陲【o ，1 】，卢【o ，1 】) 卢 ( x ) = 卢 j 4 ( x ) = 枷。】( ) ( x ) ；l ， 4 ( x ) 2 o s o , l 。1 ( ) ( x ) 饥 即：t a ( x ) a ，厶( x ) t = ，x = ，三sa x 再由分解定理，即得( 1 ) ，( 2 ) 。 定理3 4 3 ：设彳矿( u ) ，日是论域u 上的一个集合套，记4 = a e 【o 1 j ，u q 。a h a , ， 4 2 州。孤 1 】吼，则如钆 1 9 第明章v a g u e 集的模糊墒 第四章v a g u e 集的模糊熵 v a g u e 集作为f u z z y 集的推广和扩展，v a g u e 集提供的信息量不光来自f u z z y 集本 身的模糊性，而且还包括v a g u e 集本身所包含的未知性1 一一以。这就使得我们对于 v a g u e 集模糊熵的研究相对f u z z y 集有一定的难度。许多学者提出了v a g u e 集不同的模 糊熵度量方法，然而都有一定的不足。例如：文献【7 】提出v a g u e 集的约束条件，但在 讨论模糊集与未知性描述极不准确。如：【0 2 ，0 8 】，【0 5 ，0 5 】即：= 无两者的模糊熵 都为1 ，显然这是不符合直觉的。文献 1 2 】虽认识到模糊性与未知性同v a g u e 集的联系， 但没有明确给出模糊性的度量。本章将从模糊性和未知性两方面与v a g u e 集的相互关系 出发，提出一种新的v a g u e 集的模糊熵定义及计算方法，通过证明和实例分析得出它更 具合理性。 4 1 现有一些v a g u e 集的模糊熵的计算方法 我们先看看现有文献的一些v a g u e 集的模糊熵的计算方法： 方法1 ：构造+ 无函数，由文献川给出e ( 么) 2 吉善( 1 一层( ( 薯) ，无( ) ) ) 其中层化，以) 是关于r 一+ 无的函数。如：b ( 工，y ) = + 六，乓( x ，y ) = ( 乙+ 无) ”， 乓( x ，y ) = 化+ 以) p 1 + 方法2 ：文献【8 】定义v a g u e 集模糊熵： , - e i t u 卜六( ) i + 死u ，) e ( 么) = 一 甩+ 隙) 一无( 坼) i + 死u ，) 方法3 ：文献【1 川定义的v a g u e 集的模糊熵熵： 拧+ 窆乃( ) 一窆阻坼) 2 一无( ) 2 | e ( 么1 = 与l j 掣- - 二 力+ 7 t a ( ) + i ( ) 2 一无( ) 2 i 方法4 ：文献定义的v a g u e 集的模糊熵： e ( 彳) = 去喜吉 ( 一( 乙( ) 一无( q ) ) ) 2 + ( 一乙( ) 一无( ) ) 2 方法5 ：文献【1 2 】定义的v a g u e 集的模糊熵： 两北大学硕上学位论文 即) ：去喜型毕墼剑 4 2 现有v a g u e 集的模糊熵的缺陷 方法l 没有足够认识到模糊性和未知性对v a g u e 集的模糊熵的影响，文献【9 1 0 1 2 1 均有 所述。例如：方法l 说【o 5 ，0 5 】与【o 2 ，0 2 】的模糊熵都等于0 ，这其实没有考虑到模糊性 对其熵的贡献。 方法2 3 的不足：由文献8 1 川定义的v a g u e 的模糊函数知 o 5 ，0 5 】，【0 2 ，0 8 】模糊熵 都等于l 。即只要= 六，此时的模糊熵最大，这种仅用模糊性决定模糊熵的做法实质 上没有考虑到未知度对模糊熵的贡献。 方法4 的不足：在构造模糊熵时，人为的将模糊性和未知性在v a g u e 集的模 糊熵比例定为l ：l ，其不足在文献【1 2 1 均有所述。 方法5 虽然充分认识到模糊性和未知性对模糊熵的影响，但是没有给出对模糊性的 一个明确度量。 4 3 一种新的v a g u e 集的模糊熵 定义4 3 1 ：v a g u e 集的未知度记为t 4 ，它等于l 亿+ 无) ，它的数值反映了我们对 未知信息了解多少。 定义4 3 2 - v a g u e 集的核记为s ，它等于i 一z i ，它的数值表示支持和反对两方 面力量对比程度。 v a g u e 熵的一般约束条件： 约束1 ：e ( 彳) = 0 时当且仅当彳为经典集合； 约束2 ：v a g u e 熵的最大值为1 时当且仅当么= 【o ，1 lx y ) ； 约束3 ：当未知度一定时，熵随核的增大而减小； 约束4 ：当核一定时，熵随未知度的增大而增大； 约束5 ：一个v a g u e 集的模糊熵和它的补集的模糊熵是相等的 即e ( 彳) = e ( 彳c ) 根据以上约束条件可以引入v a g u e 集的模糊熵的公理化定义： 定义4 3 3 ：称函数e ：y ( u ) 一【o ，1 】为v a g u e 集彳的模糊熵，如果其满足如下条件： 2 l 鹑网章v a g u e 集的模糊熵 ( 1 ) e ( 彳) = o 对v 难u ，a = 【o ，o 】或【1 ，1 】； ( 2 ) e ( 彳) = 1 营v “u ，a = 【o ，1 】； ( 3 ) 若乃= ，当h - l l i 一厶l 时，则有e ( 彳) e ( s ) ； ( 4 ) 若i 一无l = k 一兀 当乃 ! 塾二f 垒二五 3 e ( 彳) e ( b ) ( 4 ) 当l 一无i 一定时，乃【0 , 1 】，考虑关于死函数，e ( a ) 是关于乃递增的。 ( 5 ) e ( j ) ：三二掣：三二垄掣：e ( 彳) 定理4 3 5 ： 设论域u = 五，屯，矗) ，v a g u e 集彳= k ( ) ，1 - f a ( x , ) l x ，定义 掣 砌) = 昙喜e ( 啸) ) = 去喜坚掣，则即) 为彳的岫集的模黼 证明：容易验证满足定义9 中的五条条件。 j i l t s ! j 4 3 6 ：设论域u ： 五，t ，矗 ，彳：窆 ( 葺) ，1 一无( 誓) 薯为u 上的一个 v 细e 集，则有：去喜石爿( 五) e ( 彳) 1 一去喜配2 ( ) i i e l t 刃由定理3 知对比u ，有： 砌) ( 小丝丞掣 因为：( f 爿( ) 一无( ) ) 2 l 乙( 薯) 一无( ) | 3 z r 4 ( 薯) ， 即：五( 彳) ( ) 万一( 薯) ， 故有：( 么)