（应用数学专业论文）具功能性反应的两种群模型的定性分析.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 本学位论文利用常微分方程定性理论的基本方法，研究了具功能性反应函数的食饵 一捕食者两种群模型的生态系统的平衡点的全局稳定性，极限环的存在性和唯一性在第 一章里介绍了两种群的食饵一捕食者系统的研究现状及研究意义、预备知识和本文的主 要研究工作第二章研究了一类具有相互干扰的食饵一捕食者两种群模型的平衡点的渐 近性质，解的有界性，给出了系统的唯一正平衡点的全局稳定性及极限环的存在唯一性 的充分条件第三章研究了一类食饵具有线性密度制约，功能反应函数为非线性函数的 食饵一捕食者两种群模型，对模型的平衡点的性态进行了全面的定性分析，得到了系统 不存在闭轨线、正平衡点全局稳定、极限环存在唯一的充分条件第四章研究了一类食 饵的密度制约，功能反应函数均为非线性函数的食饵一捕食者两种群模型，通过对系统 的全面定性分析，得到了系统不存在闭轨线、正平衡点全局稳定、极限环存在唯一的充 分条件第五章里讨论了一类被开发的食饵一捕食者两种群模型，研究了模型的平衡点的 性态，全局稳定性，极限环的存在性及唯一性，获得了一系列较为完整的结论 关键词：密度制约；功能反应函数；平衡点；全局稳定性；极限环 q u a l i t a t i v ea n a l y s e so f t w o p r e d a t o r p r e ym o d e l sw i t hf u n c t i o n r e s p o n s e a b s t r a c t i nt l u st h e s i s ，b yu s i n gt h eq u a l i t a t i v et h e o r yo fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，w es t u d y t h eg l o b a ls t a b i l i t yo fe q u i l i b r i u m ，e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fl i m i tc y c l ef o rap r e d a t o r - p r e y m o d e lw i 也s u b l i n e a rf u n c t i o n a lr e s p o n s ef u n c t i o n i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ei n t r o d u c et h e d r e s e n tr e s e a r c h ，i t ss i g n i f i c a n c e ，a n dp r e - r e s e a r c hk n o w l e d g e s o m eb a s i ct h e o r i e so f t h e q u a l i t a t i v ea n ds t a b i l i t yt h e o r yo fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o na r eg i v e n - i nc h a p t e r2 ，w e d i s c u s st h eg l o b a ls t a b i l i t yo fp o s i t i v ee q u i l i b r i u m ，e x i s t e n c eo fl i m i tc y c l ef o rag e n e r a l p r e d a t o r - p r e ym o d e lw i t hf u n c t i o n a lr e s p o n s ef u n c t i o n n u m e r i c a l s i m u l a t i o n sv m f vt h e t h e o r e t i c a la n a l y s e s c h a p t e r3m a i n l yd e a l sw i t hac l a s so fp r e d a t o r 。p r e y m o d e lw i t h s u b l i n e a rf u n c t i o n a lr e s p c i n s ef u n c t i o n w ed e d u c es o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n se n s u n n g s t a b i l i t yo fe q u i l i b r i u m ，n o n e x i s t e n c e ，e x i s t e n c e a sw e l ia su m q u e n e s so ft h el i m i tc y c l e a r o u n dt h ep o s i t i v ee q u i l i b r i u m n l ea i mo fc h a p t e r4i st os t u d yap r e d a t o r 。p r e ym o d e lw i t h s u b l i n e a rf u n c t i o nr e s p o n s ef u n c t i o na n ds u b l i n e a rd e n s i t yc o n t r o lf u n c t i o n s o m er e s u l t s d e a l i n gw i 血s t a b i l i t yo fe q u i l i b r i u m ，n o n e x i s t e n c e ，e x i s t e n c ea sw e l l a su m q u e n e s so ft h e l i m i tc y c l ea r o t m dt h ep o s i t i v ee q u i l i b r i u mo ft h em o d e la r eo b t a i n e d i nt h el a s tc h a p t e r ，w e c o n s i d e rap r e d a t o r - p r e ym o d e lw i t hs u b l i n e a rf u n c t i o n a lr e s p o n s e ，s u b l i n e a rd e n s i t yc o n t r o l f u n c t i o na n dc o n s t a n ts t o c k i n gr a t e 1 1 1 ep r o p e r t i e so fe q u i l i b r i u m ，e x i s t e n c ea n du m q u e n e s s o ft h el i m i tc y c l ea r o u n dt h ep o s i t i v ee q u i l i b r i u mi n v e s t i g a t e d o u rr e s u l t sp r o v ea n de x t e n d s o m ee x i s t i n gr e s u l t s k e yw o r d s ：d e n s i t yc o n t r o l ；f u n c t i o n a lr e s p o n s ef u n c t i o n ；e q u i l i b r i u m ；g l o b a ls t a b i l i t y ；l i m i t c y c l e i i 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外， 本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请 学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献 均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文题目：县功自2 性厦座鲍西独登搓型鲍定性 作者签名：丝差翌日期：盟年上月盟日 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间 论文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅学校有权 保留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将本 学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印、或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 学位论文题目：县墟能：睦屋廛的西盘登搓型鲍友：眭金堑 作者签名： 茎厶堡孳日期：丝丛年互月二j ! 日 导师签名：垂t 彰耻日期：名雌年也月上l 日 大连理工大学硕士学位论文 1绪论 1 1 问题研究的背景及意义 种群生态学是生态学中的一个重要分支，也是与人们的生产及生活最密不可分的学 科之一人与其它生物共同生活在这个地球上，为了满足人类自身的生存与发展的需要， 我们就要对各种生物资源进行合理的开发与科学的管理我们对种群生态学进行研究， 一方面是要对种群的发展变化有定量的分析与预测，另一方面是在人为的因素的影响 下，对种群的发展趋势进行定性分析，使其既可以维持生态系统的平衡，又可以满足人 类自身的发展需要，这对于我们实行可持续发展战略有着非常重要的作用因此，我们 对种群生态学的研究，在经济学和生物学方面都有着重要的理论和现实意义 种群生态学的主要研究对象之一是食饵一捕食者两种群模型自上世纪六十年代以 来，此类模型在国内外已引起众多数学家和生态学家的广泛关注到上世纪八十年代， 对食饵一捕食者两种群模型的研究取得了较大的进展【1 1 食饵一捕食者两种群模型的根本价值在于它来自于现实又应用于现实，而许许多多 的现实问题往往都可归结为常微分方程的数学模型因此，常微分方程定性理论与稳定 性理论 1 2 - 1 7 就成了研究该类模型的最重要的数学工具之一由于常微分方程定性理论与 平面几何紧密的结合在一起，从而形成了处理平面系统的一系列独特的数学方法近年 来，有关利用常微分方程定性理论研究生态系统的文献已大量涌现，并陆续出版了一系 列的专著 1 2 - i s ，广泛的应用背景促进了这一理论迅速而深入的发展 1 2 食饵一捕食者两种群模型 经典的描述两种群生长过程的食饵一捕食者模型是a j l a t k a 和v v o l t e r r a 分别各 自建立的其模型的一般形式是 鲁= x ( d q 一6 1 y ( f ) ， ( 1 1 ) d 掰y = y ( f ) - 口2 + 6 2 石( 吼 其中x ( f ) 和y ( f ) 分别表示食饵和捕食者的数量，口l ，6 l ，a 2 ，6 2 都是正的常数，q 是在没 有捕食者时食饵的增长率，b l 是捕食者的捕食率，口：是在没有捕食者时食饵自身的死亡 率，6 2 是食饵转化为捕食者的转化系数 具功能性反应的两种群模型的定性分析 对于一个确定的地域而言，在没有捕食者时，食饵也是不能无限制地增长，即一个 确定的地域对单种群有一个最大的容纳量，描述单种群生长过程的数学模型是所谓的 l o g i s t i c 方程 o ” 竺；= x ( r ) 口一缸( f ) ， ( 1 2 ) 口r 其中口是种群的内禀增长率，等是地域对种群的容纳量 6 系统( 1 1 ) 是一个比较简单的l a t k a - v o l t e r r a 模型，它建立的过程中没有考虑种群 的密度制约因素如果考虑密度制约，设在没有其它种群干扰时，种群的增长适合 l o g i s t i c 方程( 1 2 ) ，即在方程( 1 1 ) 的两个方程中，分别加上一项与种群规模成正比的 密度制约项，从而两种群相互作用的l a t k a v o l t e r r a 模型的一般形式可写成 其中b l 与c 2 分别反映两种群的密度作用因素，当b ic ：是不同时为零的正数时为密度制 约，当b ic ：同时为零时为非密度制约，关于上述各模型的研究结果可参阅文献 1 4 ，1 8 2 1 在食饵一捕食者两种群模型中，具功能性反应的互相干扰的食饵一捕食者两种群模型 是一类非常重要的并具有广泛背景的模型，它的一般形式是 其中z ( f ) 表示食饵种群在时刻r 的密度，y ( t ) 表示捕食者种群在时刻f 的密度，函数 g ( x ) 为食饵种群的增长率，9 ( z ) 是捕食者种群的功能性反应函数，m ( o 0 是生物种群的变换系数当所= 1 时，即可得到如下的功 能反应函数的模型 3 、如 0 d y “ q 气 一 一 d 力 攻 x 6 h 1 + 一 b 旷 电 力 d 娟 灭 = = 出一西方一衍 1 p 一 、乃 册 d 吵 枷 啪 砌 0 o 妒 m c y + 一 ” ) ，f 嘞 “ 玫 “ l 一 烈 卜 r f 加 畎 = = 出一卉砂一西 大连理工大学硕士学位论文 对模型( 1 5 ) ，许多数学工作者对具各种不同的功能反应函数进行了研究，如文献 3 1 1 】等h o l l i n g 在文 3 】以及f r e e d m a n 和w o l k o w i c z 在文 1 1 】中给出了功能性反应函数 应满足的条件，最常见的功能性反应函数有以下几种： ( 1 ) 9 i ( x ) ：j 饯，o z x o ； 【( 巯， x 而 ( 2 ) 妒( z ) = 等； l 十x ( 3 ) 妒( z ) ：# 鲁； l 十a ( 4 ) 9 ( x ) ：- ； l 十m x 十c 暇 对以上四种不同的功能反应所对应的食饵捕食者两种群模型，国内外许多数学工 作者进行卓有成效的研究，见文f 3 1 1 ，2 3 3 5 但我们注意到已有的文献多是在所= 1 时 的情况，而对于当0 朋 1 时的模型( 1 4 ) 的研究相对较少，同时对于食饵或捕食者的 相对增长率为其它非线性函数，功能性反应函数亦为非线性函数，如缈( x ) = 舡4 ( 0 a 0 ，t 0 ) 时，平衡点为稳定( 不稳定) 结点； 当d o ， 0 ，t = 0 时，平衡点 为中心 定义3 1 2 1 4 1 设( ，y o ) 是系统( 1 1 0 ) 的平衡点，作平移变换： 考= x x o ，7 7 = y y o 得到关于( 善，刁) 的微分系统： d 讲考= a l l 善+ a 1 2 r + ( p 1 1 考2 + 2 p 1 2 考1 7 + p 2 2 r 2 + 一 ( 1 1 3 ) d r ：口2 1 考+ 口2 2 町+ ( g l l 考2 + 2 q 1 2 髻7 7 + 9 2 2 叩2 + ) a t 其中0 1 1 = p ；( x o ，) ，0 1 2 = g ( j c o ，y o ) ，a 2 1 = 或( x o ，儿) ，a 2 2 = 彰( x o ，儿) 变换后系统( 1 1 3 ) 以( 0 , 0 ) 为平衡点，舍去方程( 1 1 3 ) 中的非线性项， 数线性系统： j 考= a 1 1 喜+ a 1 2 r 【，j = 口2 1 考+ a 2 2 r 称系统( 1 1 4 ) 为系统( 1 1 0 ) 在平衡点( x 0y 。) 处的线性近似系统 得到一个常系 ( 1 1 4 ) 而 托 ， 2 吒 + + 而 五 q = i i 出一衍砂一出 具功能性反应的两种群模型的定性分析 定义40 4 生态系统( 1 1 0 ) 中使半= 尸( x ，y ) = 0 的曲线称为水平等倾线，使 a l 掣= q ( x ，y ) = 0 的曲线称为垂直等倾线 a l 定义50 4 二维系统( 1 9 ) 满足初始条件t = 0 时x = x o 的解 z 毫仍 o ) 三9 ( f ，x o ) 9 ( f ，x o ) 是时间t ( t r 1 ) 与初值x o ( x o r 2 ) 的函数，取值在r2 内，我们把过点x o 的解 9 ，( z o ) 称为系统( 1 1 0 ) 的流，或称为系统( 1 1 0 ) 的轨线 定义6n 2 1 若存在时间序列t 。) ，当，z _ o d 时，f 。寸+ ( 硼) ，使得 l i m q ( t 。，工o ) = i 则称i 为自治系统( 1 9 ) 过x o 点的轨线9 ，( x o )e o ( a ) 极限点，缈( f ，x o ) 的c o ( a ) 极限点的全体称为9 ( r ，x o ) 的q ( 爿) 极限集，记作q r 0 ( 彳，。) 定义7 1 1 2 】孤立的闭轨线叫作极限环 定义8 t h l 设有直线段，n ，cd ，若其上( 包括两端点) 没有系统( 1 1 0 ) 的奇点 和轨线相切的切点，则称，为系统( 1 1 0 ) 的无切线段 定义9 【1 4 】若系统( 1 1 0 ) 在其极限环f 外侧( 内侧) 足够小邻域内的轨线均以r 为 q 极限集，则称r 为外( 内) 稳定极限环；若均以r 为彳极限集，则称r 为外( 内) 不 稳定环；若i 既外稳定( 不稳定) 又内稳定( 不稳定) ，则称r 为稳定( 不稳定) 极限 环；若r 的一侧稳定另一侧不稳定，则称r 为半稳定极限环 定义1 05 m 设( 而，y 。) 是系统( 1 1 0 ) 的平衡点，如果对( ，甄) 的任一邻域u ，存 在( x o ，y o ) 的一个属于u 的邻域u 。，使系统( 1 1 0 ) 的每一条轨线 ( r ) ，y ( 啪，若有 ( x ( o ) ，j ，( o ) ) u ，则对一切f 0 ，有( x ( f ) ，y ( f ) ) u ，则称平衡点( 秭，甄) 是稳定的；否 则就称为不稳定的如果( 而，) 稳定，并且有 l i m ： 7 一l 少( ，) ，ji ，j 就称平衡点( 而，儿) 是渐近稳定的 定义1 1 。1 2 - 1 4 1 若系统( 1 1 0 ) 的平衡点( x o ，) 是渐近稳定的，且邻域u 是全空间， 则称平衡点( 而，) 是系统( 1 1 0 ) 的全局渐近稳定点 大连理工大学硕士学位论文 1 4 2 常微分方程基本定理 对于二维自治系统 李：尸( 训)一= 尸l ly ) d t 。 d y ，：q ( x ，y ) d t 。 ( 1 1 5 ) 其中尸( 墨y ) ，q ( x ，y ) c 1 ( 形) ，区域形犬2 ，( x o ，y o ) 形是系统( 1 1 5 ) 的平衡点 引理1p 4 ( b e n d i x s o n 判断) 如果在某单连通区域g 内 一o p 上塑 缸 勿 不变号，则系统( 1 1 5 ) 在g 内无闭轨 引理2p 4 ( b e n d i x s o n - d u l a c 判断) 如果在单连通区域g 内存在函数 b ( x ，y ) 0 c 1 ( g ) ，且有连续的偏导数，使得 _ o ( b p ) + 掣o ( o ) ，( w ) g ， c o y 且不在g 的任一子区域内恒为零，则系统( 1 1 5 ) 不存在全部位于g 内的闭轨线和具有 有限个奇点的奇异闭轨线 引理3 t 1 4 1 ( p o i n c a r e - b e n d i x s o n 环域定理) 如果d 是由两条简单的闭曲线c 1 和c 2 所围成的环域，q 为内环，c ：为外环，q 与c ：没有交点，环域d 满足： ( i ) d 的闭包不含系统( 1 1 5 ) 的平衡点； ( i i ) 从q ，c ，上出发的一切轨线，当t 增加( 减少) 时都进入环域d 内 则d 内至少存在环绕着c ，的一条内稳定( 内不稳定) 极限环和一条外稳定( 外不稳定) 极限环，这两条极限环也可能重合成一条绕c ，的稳定( 不稳定) 极限环 引理4 【1 4 1( 张芷芬惟一性定理) 设有系统 其中f ( x ) = f ( x ) 若有下列条件成立： ( 1 ) 厂( x ) ，g ( x ) c ( ，佃) ，g ( z ) 满足l i p s c h i t z 条件； xf一 砷 毗 贴 = = 出一出砂一出 具功能性反应的两种群模型的定性分析 ( 2 ) 当x 0 时，x g ( x ) o ，g ( ) = 悃，g ( x ) = 【g ( u ) d u ； 一 ( 3 ) 嚣分另i j 在区i 司( 训间帅) 内不下降，且当喇 。，从而曲缈i = 忐是经过原 点d ( o ，0 ) 且是单调上升的：对食饵种群等倾线y 2 = ( 七一工) ( 彳+ z ) ，有y ( 尼) = 0 ， y ( o ) ：尘譬 o ，故二等倾线在d 内有唯一的交点，即系统( 2 2 ) 在d 内存在唯一的 正平衡点e ( x ，y ，) ，且满足方程组： 具功能性反应的两种群模型的定性分析 卜，分去办。 3 ， + 惫= o 显然有而 0 ，) ， 0 时，e ( x 1 ，y 1 ) 是系统( 2 2 ) 不稳定的焦结点，其中 6 = 2 r x l ( 七一a 一2 x 1 ) 一出( 彳+ x i ) ，y = 彳( 尼一x 1 ) 一( k 一彳一2 x 1 ) x 1 证明：( i ) 显然得证 ( i i ) 系统( 2 2 ) 在e ( 而，y 1 ) 点的j a c o b i 矩阵为： je =，一孕一南呼1 一踽a x l y r2 a ，一- - - - - - - 一一1 ，一一 七 ( + x 1 ) 2 。 2 ( 彳+ x 1 ) f l a y l d 似+ 而) 2 2 州e 吖一一k 一丽m2 2 上 ( 彳+ 置) 川1 ；r x l ( k - a - 2 x , ) 一一d o ， 2 k ( a + x 1 )2 ( a + 而) 因此e ( 一，y 。) 是稳定的焦结点 ( i i i ) t r j 。：r x l ( k - a - 2 一x , ) 一鱼：一 o ， 。 k ( a + 五) 2 2 k ( a + 五) d e t ，。：一堕使刿+ 墼：吐 0 ， c 2 k ( a + 而) 2 ( a + x 1 ) 32 ( k 一而) ( 彳+ j c l ) 3 从而e ( x 。，y 。) 是不稳定的焦结点 2 3 系统的稳定性 定理1系统( 2 2 ) 的切正初始条件的解有界 大连理工大学硕士学位论文 证明：设z = z ( f ) ，y = y o ) 是从d 中任一点( ，y 。) 出发的解，过点a ( k ，o ) 作直线x = k 交e ( x ，y ) = 。于点b ( 七，向) ( 其中办= 孑尝筹寻) ；过点b 作直线y = j 1 2 交y 轴于点c ， 显然在闭折线a b c o a 内只有唯一的正平衡点e ( x l ，y 1 ) ( 如图2 1 ) o a ，d c 是系统( 2 2 ) 的轨线段；在线段么b 上：i d x l ：七= 一百a k 笔y 2 0 时，系统( 1 ) 在正平衡点e ( x ，y 。) 的外围存在稳定的极限环 硼加詈一觜棚加丽3 x 一丽d r 旷州舢 = 嚣 星型墼生垦壁塑堕登登堡型塑塞丝坌堑 定理5 ：若6 0 ，) ， 0 ，且函数，( z ) 在( 0 ，而) ，( x ，栅) 中单调不减，则系统( 2 2 ) 在 正平衡点e ( x 。，y ) 的外围存在唯一的极限环 证明：由定理4 知在正平衡点e ( x ，y 。) 的外围存在稳定的极限环 令j ，= 二( 七一x ) ( 彳+ x ) 一j ，三( y 仍记为y ) ，则系统( 2 2 ) 变为 a 托 垂躲一摊旷坝胁，一焘，( 2 4 老= c 等一争去c h m 删一罴， 令x = x 一而( x 仍记为x ) ，则系统( 2 4 ) 变为 鱼：垡( 兰羔盟v d t 4 + x + x l 。 ( 2 5 ) 老一坼蝎胪地蝴 于是系统( 2 2 ) 的正平衡点e ( x 】，y 。) 对应系统( 2 5 ) 的平衡点o ( o ，0 ) ，令x = g ( “) ，使 ( “) 满足 o 时，0 坠 o 且是连续可微的，所以满足方程( 2 6 ) 的f ) 存在且唯一， 从而系统( 2 4 ) 可化为： d h 焉。y ， e y ：一日 f ( “) + 五】y 一三 ( “) + 而 ， 口v 若令厂 ) = 研 ( 甜) + 而】，g ( “) = 三 ( “) + 而】，则( 2 7 ) 变成： ( 2 8 ) 就是l i e n a r d 方程 如 2y ， a t 老一m 沪蹴 ( 2 7 ) ( 2 8 ) 大连理工大学硕士学位论文 孥dt + m ) 塑d t + g ( 班o z。、。 作l i e n a r d 变换z ，= l ，v - - f g ( t ) d t ，则( 2 9 ) 变成l j e n a r d 方程组： = 一v r 厂( 材) 幽， = g ) ， ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 逐时系统( 2 2 ) 在区域d 的正平衡点e ( x l ，y i ) 对应于鲫平面上的原点o ( o ，0 ) ，极限环 可能出现的区域o x 佃对应到删平面上使一而 g ( “) + 的半平面“l u 0 由图1 知，当0 工 0 ，于是当x 0 ，且x x 1 时， ( x - - x 。) 三( x ) 0 ，所以g ) g ) = 一一) l ( x ) 0 ，即 o ，卯) o ，从而当洲时矧咖。；期小。， 即当u 1 材 悯时，u 与 0 2 。- i 己g ( u ) = f g ( 甜) a u ，下面证明有g ( u 1 ) = 佃，g ( + ) = 悯 因g ( “t ) = r 1g ( 材) 如= r 1 三 g ( “) + 而】幽2 三( x ) 乏孑出2f 1 一( 瑚乏 出， 由图1 知，当0 而时，有三( z ) o ，由 无穷积分的敛散判别法，知积分r 三( x ) 鱼兰发散到+ o 。，即g ( + ) ：+ o 。 3 。证明( 上黑) 7 0 ，除在z 而外，即z ，= o 外因为z ：f ( 材) + 一是单调增加函数( 由于 “加是 o ) ，叉因舰班器= 嚣，所以钢舳不减函数则舞为 不减函数，故当“o 时，( z 黑) o 由张芷芬定理知，在鲫平面上，围绕d ( o ，o ) 的极 具功能性反应的两种群模型的定性分析 限环是惟一的，于是对应于砂平面上的区域d 上的正平衡点e ( x ，y ，) 的外围存在惟一的 极限环 大连理工大学硕士学位论文 3 具功能性反应的食饵一捕食者两种群模型的稳定性 在食饵捕食者模型( 1 4 ) 中，我们对两种群捕食模型的一般形式作了改进，本章节研 究的模型如下： d x ，、b x y a d t2 工口一卅一赢 ( 3 1 ) a vc x y = 一，y + 二- ， 斫 “ 1 + c o x 其中a , b ，c ， ，r 2 ，口均为具有一定生物意义的正的常数，且a 1 由生态学的实际意义，我们仅在d = ( x ，y ) l x - o ，y o 进行讨论，并记 b - ( x ，y ) l x o ，y 0 对模型( 3 1 ) 作时间变换d t = ( 1 + r e x ) d r ，这里1 + c o x 0 ，则系统( 3 1 ) 有如下 的等价形式： 其中a 】= a c o - r , ，a 2 = 国 o ，a 3 = c r 2 c o 再作变换i ：鱼z ，歹：f 鱼1 。y ，万：厂2 咖，仍记( i ，歹，f ) 为( 工，少，) ，则系统( 3 2 ) 化成： 吒l 吒 其中，6 1 ：一a o ，6 2 ：旦不定号，6 3 ：旦孕 o 。 乃 玛 。 丐 3 1 平衡点分析 企j 尸( x ，y ) = x ( 6 l + 如x 一岛x 2 一y a ) = 0 ， 。【q ( x ，y ) = y ( x 一1 ) = 0 ， 则有 ( i ) 当6 l + 6 2 6 3 o 时，系统( 3 3 ) 有2 个平衡点伙0 ，0 ) ，彳( 而，o ) ，其中 o 厶o d 、乃 口 砂 一z口一 x x 吃 q 一 + z 伊 色 x y = = 出一办咖一出 y xp l l y 一 ， ：一 力 x l 如 炳 叫 q z = 如 d + 一 轨圳 “ = = 出一西方一防 具功能性反应的两种群模型的定性分析 工。= 垒学，且满足6 】+ b 2 x l 一6 3 工? = 。； ( i i ) 当6 1 + 6 2 6 3 0 时，系统( 3 3 ) 有3 个平衡点o ( o ，0 ) ，彳( 而，0 ) ，b ( 1 ，y o ) ，其中 上 y o = ( b 1 + 6 2 6 3 ) 4 引理l 关于系统( 3 3 ) 的平衡点，我们有如下结论： ( 1 ) o ( o ，0 ) 为鞍点； ( 2 ) 当6 l + 6 2 6 3 0 时，彳( 为，0 ) 为鞍点，且而 1 ； ( 3 ) 当b l + 6 2 6 3 0 且吃 0 且6 2 2 b 3 时，b ( 1 ，y o ) 为不稳定的焦( 结) 点 证明：系统( 3 3 ) 的j a c o b i 矩阵为 j = 8 pa p 玉 砂 地o q 良 砂 一f ，6 1 + 2 b 2 x 一3 6 3 2 2 一y a ly c ，。它d = l 乞二i = 一岛。，而：峄b2+ffb；+4b,b3 垒巫巫 6 2 + f 6 2 2 6 3 2 2 j 32 6 3 若6 2 2 6 3 ，而 垒专葛垫1 ，若6 2 垒二乏象二鱼= 1 ， 于是，我们有 眈以= 1 6 1 + 2 如君一3 岛彳五：，f = ( 6 l + 2 b 2 x a 一3 6 3 # ) ( 五- 1 ) = 一( 6 l + 6 3 # ) ( 而- 1 ) 。， z b = b l + 2 6 j 一3 6 3 一蝣 = 6 1 + 2 如一3 6 3 一( 岛+ 也一玩) = 6 2 2 b 3 ， ( 3 ) 当b l + 6 2 6 3 0 且6 2 0 ，r r b 0 且6 2 2 6 3 时，d p 乩 0 ，r r b 0 ， 因此b ( 1 ，) 为系统的不稳定的焦( 结) 点 3 2 闭轨线的不存在性 定理1 当b l + 6 2 6 3 0 且6 2 0 且 2 岛时，则系统( 3 3 ) 围绕正平衡点曰( 1 ，y o ) 的外围 至少存在一个稳定的极限环 证明：厶兰x = 0 ，厶暑y = 0 是系统( 3 3 ) 的轨线 作直线厶三x 一五= 0 ，则有 亟i：鱼f 础| ( 3 3 ) d ti 工= 而 = 一五y a 0 ) 所以厶为系统( 3 3 ) 的无切直线，系统( 3 3 ) 穿过厶的轨线从右到左 作直线段厶= x + y k = 0 ，其中1 x 1 ) 因此，当1 x 而时，总存在充分大的七值，使堕a z1 f 0 3 ) 。所以厶为系统( 3 3 ) 的无 切直线，系统( 3 3 ) 穿过厶的轨线从右到左 直线岛与直线石= l 交于点( 1 ，k 一1 ) ，过此点作直线厶- y = 七一1 ，( 0 工 2 b a 时，b ( 1 ，y o ) 为系统( 3 3 ) 的不稳定 大连理工大学硕士学位论文 的焦( 结) 点，由p o i n c a r e b e n d i x s o n 环域定理，系统( 3 3 ) 围绕正平衡点b ( 1 ，y 0 ) 至 少存在一个稳定的极限环 o l ， 1 a ( x 1 o ) 图3 1系统( 3 3 ) 的方向场 f i g 3 1t h ed i r e c t i o nf i e l do f t h es y s t e m ( 3 3 ) 定理4当6 1 + 6 2 6 3 0 且6 2 2 b 3 时，则系统( 3 3 ) 围绕正平衡点b ( 1 ，) 的外围 存在唯一稳定的极限环 证明：极限环的存在性由定理3 可得，下面我们证明极限环的唯一性 对系统( 3 3 ) 作如下变换： x = 甜+ 1 ，y = y o e ”，d r = ( 1 + u ) d t ，则系统( 3 3 ) 可化成： _ d u ：一，( 材) 一9 ( v ) ， d t ( 3 4 ) _ d v ：g ) ， d f 其中，( “) = y ；+ 6 j ( “+ 1 ) 2 6 i ( “+ 1 ) 一6 l ， = y o ( e - 1 ) ，g ( 甜) = 鬲u ， f ( u ) = f ( “) = 2 6 3 ( 1 + 材) 一6 2 ， ) = r 她) 咖= f ，挚2 一l n ( 1 删 1 ) g ( 列) 在( 一1 ，恂) 满足l i p s c h i t z 条件，当 一1 时， 昭( “) ：兰 o ，g ( 佃) = 佃，g ( - i + 0 ) = + o o ： 2 ) 9 ( 帕) = 佃，4 ( - o o ) = 一蝠，咖7 ( 1 ，) = a y o e 叫 0 ，妒( 1 ，) 在，佃) 单调增加； 3 )f ( 0 ) = 0 ，f ( o ) = 2 玩一6 2 o ，( 材0 ) 由张芷芬唯一性定理知，系统( 3 4 ) 在z s - - ( x ，y ) l x o ，y 0 内围绕正平衡点 b ( 1 ，y o ) 存在唯一稳定的极限环 3 4 系统的生态学意义 ( 1 ) 当b l + 如一6 3 o 且6 2 0 时，且6 2 2 6 3 时，则系统( 3 3 ) 围绕正平衡点b ( 1 ，y 。) 存在 唯一稳定的极限环意味着食饵和捕食者种群的密度最终在平衡位置b ( 1 ，) 的周围呈 周期性振荡 附注在系统( 3 1 ) 中，若取口= 1 ，则有文献 6 的相关结论； 大连理工大学硕士学位论文 4 食饵具非线性密度制约的功能反应模型的定性分析 j 鲁= z c 口一缸j ，- z ；= 尸c x ，y ， 。4 2 ， i 瓦d y = k e y ( - 卢+ x j ) 羽砒 其中卢：导 0 令p 卜口- 舻_ 矿- o 则系统( 4 2 ) 在g 内可能存在的平衡点为彳( 吾，。) ，b ( 卢3 ，卢2 ( 口一筇) ) 当口印 时，有一个平衡点彳( 吾，。) ；当口 即时，有二个平衡点彳( 亭，。) ，口c 卢3 ，卢2 。一印m 一 具功能性反应的两种群模型的定性分析 二二二二二二= = 二二二二 ：愕弦一二) 1 l三咖专拓( 邛+ x ；) j 对平衡点彳( 吾，。) ，我们有 d e t d 月= 口 j 口 b o 妇( 一p + i a ) = 一三眈口( 一卢+ 詈) ， 乃以= 一詈+ k e (