（基础数学专业论文）投影型插值的新的特殊性质及其在高次有限元中的应用.pdf

湖南师范大学2 0 0 5 届硕士学位论文 摘要 本文在函数的l o b a t t o 展开和投影型插值理论基础上进一步研究 r 投影型插值的特殊性质，并证明该新型插值方法为高次有限元计 算中的最佳插值方法 首先，本文提出了一个新的误差估计模型一一投影型插值的逐 点误差估计，此估计的插值次数k 可以动态增加并准确地给出误差 系数与的关系。 其次，本文给出了误差多项式m ( 。) 的递推计算方法，并绘出其 逼近曲线，直观地反映了投影型插值的一致逼近性 最后，本文得到了一个新的结论即投影型插值是高次有限元计 算中的最佳插值，并通过变系数两点边值问题的数值算例验证了这 一结论，此结论为有限元解的误差估计提供了一个新方法。 关键词：投影型插值，有限元：最佳插值；逐点误差估计 i i 湖南师范大学2 0 0 5 届硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，s o m en e w s p e c i a lp r o p e r t i e so ft h ep r o j e c t i o n t y p ei n t e r p o l a t i o na r es t u d i e db a s e d0 nt h el o b a t t oe x p a n s i o n o ft h ef u n c t i o na n dt h eo r i g i n a l t h e o r yo ft h ep r o j e c t i o nt y p e i n t e r p o l a t i o n a n di t i s p r o v e dt h a tt h en e wt y p ei n t e r p o l a t i o n i st h eo p t i m a li n t e r p o l a t i o ni nt h ec a l c u l u so fh i g h d e g r e ef i n i t e e l e m e n t s f i r s t l y ，an e we r r o re s t i m a t em o d e l - - p o i n t w i s ee r r o r e s t i - m a t eo ft h ep r o j e c t i o nt y p ei n t e r p o l a t i o ni s p r e s e n t e d t h ed e - g r e eo fi n t e r p o l a t i o np o l y n o m i a l 七c a ni n c r e a s ed y n a m i c a l l ya n d t h er e l a t i o nb e t w e e ne r r o rc o e f f i c i e n t sa n dki ss h o w e da c c u r a t e l y s e c o n d l y , a r e c u r s i v ec a l c u l a t i o nm e t h o da n dt h ea p p r o x i m a - t i o nc u r v eo fe r r o rp o l y n o m i a 1a k ( z ) a r eg i v e nf l u t ；w h i c hs h o w t h eu n i f o r ma p p r o x i m a t i o no fp r o j e c t i o nt y p ei n t e r p o l a t i o n f i n a l l y l an e wr e s u l ti so b t a i n e dt h a tt h ep r o j e c t i o nt y p e i n t e r p o l a t i o ni st h eo p t i m a li n t e r p o l a t i o ni nt h ec a l c u l u so fh i g h d e g r e e f i n i t ee l e m e n t s ，w h i c hi sv e r i f i e db yan u m e r i c a le x a m p l ef o r v e r i a b l ec o e f f i c i e n t st w o p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m t h u sa n e wm e t h o df o rt h ee r r o re s t i m a t i o no ft h ef i n i t ee l e m e n ts o l u t i o n i sp r o p o s e d k e y w o r d s ：f i n i t ee l e m e n t ，p r o j e c t i o ni n t e r p o l a t i o n ，o p t i r e a li n t e r p o l a t i o n ，p o i n t w i s ee r r o re s t i m a t e 湖南师范大学2 0 0 5 届硕士学位论文 第一章绪言 函数的插值与逼近理论曾经是且仍然是近现代数学发展的主要 方向之一【1 j ，也是计算数学中十分基本又重要的内容早在1 8 、 1 9 世纪，函数的插值逼近理论就初步形成了人们对函数及其几何 图形进行理论上的研究或是为了某些实际应用时，通常以某种较为 简单又具有较好性质的函数来对所研究的函数进行某种近似随着 计算机的发展，如何采用数值方法更好地实现函数的逼近，既刺激 了相关的函数插值方法的研究，同时也促进了函数插值逼近理论的 自身发展 2 4 。 时至今日，函数插值已有丰富的数学理论除了拉格朗日( l m g r a n g e ) 插值、牛顿( n e w t o n ) 插值、埃尔米特( h e r m i t e ) 插值，1 9 9 4 年 林群和朱起定【3 ，9 ，1 5 】提出了一种新型的函数插值即投影型插值 投影型插值因具有更好的函数逼近性得到人们的广泛关注和应用。 近年来，人们在研究工作中利用投影型插值这个有力工具已取得了 较丰富的研究成果林群和朱起定利用投影型插值研究有限元的预 处理和后处理取得很好的理论结果。z h i m i nz h a n g 1 0 ，1 1 ，1 2 】从理论 上证明了恢复导数的强超收敛性张铁 2 2 ，2 3 ，2 0 】运用投影型插值研 究了一维问题有限元的超收敛性质。朱起定与赵庆华【3 ，1 6 】利用投影 型捕值方法研究有限元的自适应处理问题给出了有限元解的一个校 正勰且获得每个单元上的整体强校正结果朱起定与孟令雄【2 5 ，2 6 l 将投影型插值运用于二维问题，解决了前人未解决的一些超收敛问 题。朱起定与赖军将【1 7 ，2 7 ，2 8 l 利用投影型插值考虑一维变系数问 题的有限元强校正问题给出了有限元强超逼近定理及其证明且获得 高2 阶的超收敛数值结果 本文在函数的l o b a t t o 展开和投影型插值理论基础上进一步研究 了投影型插值的一些新的特殊性质，并将投影型插值运用于高次有 限元中得到的一个新的重要结论即投影型插值是有限元计算中的最 优插值。本文叙述了如下一些内容： 第二章介绍了两类多项式系即l e g e n d r e 多项式系和l o b a t t o 多 项式系，它们是研究投影型插值的基础 湖南师范大学2 0 0 5 届硕士学位论文 第三章在函数的l o b a t t o 展开基础上给出投影型插值的定义和 其性质。 第四章第一节利用特征函数的f o u r i e r 展开和l e g e n d r e 多项式 的正交性等一些泛函分析基本工具准确得到一个重要的误差估计即 投影型插值的逐点误差估计，从理论上证明了投影型插值的一致逼 近性。第二节具体地给出了误差多项式( 。) 的递推计算和曲线图， 从而直观地表明了投影型插值的一致逼近性。 第五章我们将投影型插值运用于高次有限元计算理论中得到 新的重要的结论即 “一i , u l l i l u - “h l l ，5 m 。i 札一“l 。 此定理表明投影型插值i k u 是函数“的有限元最佳插值，我们可用 投影型插值误差u t k u 来估计有限元解误差u 一铲，且由定理4 1 可准确得出u i i u 的逐点误差 第六章考虑一个变系数两点边值问题，数值算例结果与我们 的理论分析完全一致，而且我们给出了高次。元和一次l a 密a n g e 元 的有限元误差曲线图，通过对比更直观地表明投影型插值是最佳插 值。 在数值计算中常采用l a g r a n g e 插值来做函数逼近：给定区间【n ，b 】 中k4 - 1 个不同的节点 a 2 x o ，x l c 9 2 x 作内积，l 2 ( e ) 可以作正交展开 l = ( l ，i o ) 。l o + ( l ，1 1 ) 。1 1 + ( l ，1 2 ) 。f 2 + - + ( l ，f 。) 。l 。+ = “l ( x ) t o + u 2 ( x ) l l + u 3 ( z ) 2 2 + - + “k + 1 ( 茁) k + ( 3 2 ) 利用p a r s e r v a l 等式得 u ( z ) - u ( x 。一h e ) = ( u 7 ，厶) 。= 0 。“。+ 1 ( 茹) j - - - o 即得到l o b a t t o 展开式 其中 u ( 。) = z y a x ) ( 3 3 ) 岛= ( 2 h 。) 一 “( z 。一h o ) 风= 、压( “( 料九。) 一”( x o - k ) ) ( 3 4 ) 岛= 一1 ，( j 2 ) l u t湖南师范大学2 0 0 5 届硕士学位论文 投彩型插值的定义 算子 * 叫k 阶投影型插值算子，如果 k i k u ( x ) = 岛( z ) ( 3 5 ) j = o 投影型插值算子的性质 算子i t 具有如下性质： 1 ) i k 是单元e 上的k 阶插值算子，且 1 1 “一 k “0 m 。，。a ，适+ 1 m ? “；一； o i u l k + 。肌。 其中c 与”，h e 无关，但与k 有关 2 ) 2 h ( z 。4 - h e ) = ( 。士h e ) 附注：这里的误差估计是在“w 叭一( e ) 条件下作的，条件要求 很高，要求“的所有导数一致有界才能保证 l u l u 。一o ，( k o o ) 我们将在下面证明，在u h 1 ( e ) 的条件下，也能确保| | u i k u h o 。一 ( 一o 。) 湖南师范大学2 0 0 5 届硕士学位论文 1 1 第四章投影型插值的逐点误差估计及误差多项式的曲线 本章首先运用特征函数的f o u r i e r 展开和l e g e n d r e 多项式的正交 性等一些泛函分析基本工具准确得到一个非常重要的误差估计即投 影型插值的逐点误差估计，然后具体地给出了误差多项式凡( z ) 的 递推计算及其曲线。 4 1 投影型插值的逐点误差估计 以往考虑插值误差估计时，插值次数k 是固定的，误差系数与 有关但没有具体给出它们之间的函数关系。本章研究的投影型插值 的逐点误差估计的创新之处就在于插值次数是可以动态增加的而 v t 已准确给出了误差系数与之间的关系 定理4 1 如果z e ，则有 u ( $ ) 一i k u ( z ) i 茎v 嘶。i r n f ( 。) i u x 1 1 ，e ( 4 1 ) 出酬 嬲黔k 扎w如果如果u 。e w k 。( 4 2 ) 其中m ( 嚣) = 。一z 。+ k 一名。i u j ( x ) 1 2 = 跺1 | “。( z ) 1 2 在e 上一 致收敛于0 证明在讨论投影型插值误差时，我们从特征函数l 出发，由 于l l 2 ( e ) ，将其作l e g e n d r e 正交展开： l = ( l ，b ) 。b = 屿+ - ( 。) f j j = oj = o 由0 的正交性； 。o 凸 扣一也+ k ) = i i l | | 3 ，。= 屿+ ，( z ) 1 2 = i 屿o ) 1 2 ( 43 ) j = o j = l 1 2 湖南师范大学2 0 0 5 届硕士学位论文 我们定义多项式： o 。 a * ( z ) = 。一。+ k 一i ( z ) 1 2 = i u j ( x ) 1 2 ( 4 4 ) j = lj = k + l 其次由定义 = i 凳州岛屿( 硎 曼、墨一+ ，岍o ) 1 2 嚣t + ll 岛1 2 = 、f 0 一钆+ h e ) 一；1 f 屿0 ) 1 2 l t = 研可1 u t * “h s 而i n f x r ( 。) j u x i 】。 ( 4 1 ) 证毕由( 4 1 ) 和( 1 1 ) 可得 “( z ) 一缸u 扛) i 厕i n f x e r ( 。) i “一x i l ，。 i n f x e r ( 。) i “一x i l ，。，。 、，伍元j 丽i n f 。 - l ( e ) 1 i 一x i i o ，。，。 0 ，系数a j 适当光滑，对应变分问题是：找 i a 嘲( ，) 1 使 a ( u ， ) = ，( ) ，v 口喇( n 其中： n ( 珏，v ) = a 2 7 x n v + 。i “ + 锄珏胡如 显然a ( u ，w ) 满足以下三个条件： ( t ) a ( u ，”) 是硪瑶上的双线性型 ( 2 ) i n ( “，”) j m i l u l l l l l vl 1 1 ( 3 ) n ( “，u ) 口j j 牡i i 其中m ，“只与方程的系数有关且可事先确定 假定”“k 是u 的有限元解，满足 n ( ，u ) = ，( w ) ，v v 其中为分片七次有限元空间 引理5l m x ) fsv 司口1 1 1 1 0 。i ，物硪t o , l j l ；相帅矿；而k 小讹瑞【o ) 1 其中；1 + ；2 1 证明由于。h o i i o ，1 】，得v ( o ) = v ( 1 ) = o ，则有 巾忙m 小邶炉i 0 2 叭圳蚓历瓜而 ( 5 2 ) ( 5 3 ) 1 6 湖南师范大学2 0 0 5 届硕士学位论文 即i u ( z ) is 扣m ，m ， 以下证明( 5 3 ) 因为”( z ) 一( ；十：) ”( z ) = 所以 v 石l v l l ，阢 硪【o ，1 】 ； ( 。) + ；”( z ) ，其中；1 + i 1 = l ；撕1 0 ，叫+ ；以= j 刚 即) i ；扣1 0 ，司+ ；以。i ，v v h i 0 ，1 1 故 推论5 1 在引理5 1 的条件下有 l i , 1 1 0 。 0 u u l i o ， 川l ，讹h i 【0 ，1 】 l t t u h h 讹罐1 0 ，1 】 i “一i k u l l ，y v h i 【o ，1 证明由( 5 3 ) 取p = q = j 1 则有 即 ( 54 ) 证毕。 u ( $ ) l 扣。1 0i + 、f 五叫 ( 一0 + 1 一z ) ( ( i u l l ，【0 。】) 2 + ( i i l ，陋，1 i ) 2 ) i 。( 圳扣i 叩l i i 。疋竿i 丽 一踹d 一旷 呱一e i l口，vi + ! q 沁舭俐h 卜叱 忡炯 4 5 6 嫡 湖南师范大学2 0 0 5 届硕士学位论文 1 7 由于u h i o ，1 1 ，“月0 【o ，1 】，所以“一“h i 【d ，b 1 义由( 54 ) 得 i l t 上一h o 。，s ；l “一“一1 ， ( 55 ) 证毕，同理可证( 5 ，6 ) b l 理5 2l “一i k u 1sl 一u “1 1 证明由第三章函数的l o b a t t o 展开可知 ( i k u ) = ( “，l j - 1 ) t j 一- = ( u ，姚 j = lj = o 即( i k “) 是”7 在r 一，( e ) 中的最佳逼近所以 l “一 k “h = 一( i k u ) i o ，。 i n f x p c 一1 ( 。) i l 一x l l o ，。 i i u 7 一( u h ) i i o ，。= l “一u h i l 。 即u i k u 1 ，。i u u h l l ，。 于是得 i t 一i k u l lsi 一u “1 1 弓i 理5 3 “一钍“ ls 譬| f n l 缸川1 证明由n ( u 1 ”) 满足的三个条件可得 陋一u 6 腊 即i l u 一”“i i - 兰警0 u “u ) i | 1 引理5 3 证毕。 冯r 一 | 一0 毋 芦 | i 一咄 一 一 钍 u u “ h h h u u 一 一 一 u 钍 u 扣扣黝 一 = 一 1 8 湖南师范大学2 0 0 5 届硕士学位论文 定理5 1 l “一i s c u l l l l 札一u h l i l 丝迈2i u i k u h 证明由引理5 2 ，引理5 3 和( 5 6 ) 可得： i u 一钆“1 1sl 一u h l l l i u u h i i l = 警l u 一 驯i 【0 1 1 1 + l “一“1 警i u 一“睦o 。+ i “一如u l s 警、( 1 + ；) l u t * 训i 警、1 + ；l “一i ；u l l 即 l u - 洲。 i i u 一硼t 墨m 。v 。 亏i u - i = u l - 定理证毕。 结论：由定理5 1 表明i k u 是函数u 的最佳插值，我们可用“一“u 来估计有限元解误差u u h ，而n ( z ) 一i * u ( z ) 的逐点估计可由定理4 1 准确得出，所以我们可用( “一缸u ) ( z ) 来代替对( u u 6 ) ( z ) 的研究。 定理5 2 i l u 一“h l l o ，。警孚i u t b u l l 证明由( 5 5 ) 和定理5 1 可得 即 ”u 。 0 ，使 如如果黜：u e w k 。 ( 5 7 ) 曲 队一 曲 k 一 近om枷丝， l一2；12 一 一 一 镭 湖南师范大学2 0 0 5 届硕士学位论文 1 9 其中h = m a x 2 h 。) ，a ( 。) 为z 点所在单元的误差函数。 这个命题与数值算例的结果相符，但至今尚未得到理论证明，有待 进一步研究。 湖南师范大学2 0 0 5 届硕士学位论文 2 1 第六章数值实验 由于高次l a g r a n g e 元存在很多致命的弱点，所以本文介绍一种 有更好逼近性的高次有限元新算法。设五是区间，= ( o ，1 ) 的一个一 致剖分：0 = 茁o x l - x s - 1 = l ，e = i x i _ l ，嚣。】：= 【z 。一h ，z 。+ 。】， 2 h ，= h i = 鼢一x i _ l , h = 7 r m x ( h i ) ，v hc 嘲( n ) 为磊上分片次多项式构 成的有限元空间： k = u e ( o ，l 】) ： i 。r ( e ) ) 我们采用新的形函数伽，p t ，妒z ，是限制在每个单元e 上的k 次多项式它们的形式如下： 妒。= 半 一凡8 o 一茁。 妒l 2t 忱= 咄( i 2 ) 这种有限元称为k 次u 型元，它不同于通常的k 次l a g r a a g e 元 与k 次l a g r a n g e 元摆比，它有以下优点； 1 ) 基函数简单 2 ) 极易编成程序，用于计算 以下是采用新算法所得到的数值算例结果。 考虑如下的两点边值问题： 卜y 甸忙“功，i n k ( o ，1 ) ， ( 6 1 ) i “( o ) = ( 1 ) = 0 、 其中a 2 ( z ) = e 。，口1 = 3 + 护，a o = 2 一s i n ( z ) ，( z ) 是对应于真解“= e 。一( e 1 ) z 一1 的某个函数在致剖分网格上分别固定s = 3 和 k = l 解以上方程以下是采用新算法得到的误差表 表1 ，8 = 3 ，k 增加 ( k ，8 )| | u 一矿。工作量( 秒) ( 1 ，3 ) 5 7 5 e - 0 0 25 4 2 8 0 ( 2 ，3 ) 2 6 5 e - 0 0 36 2 3 9 0 ( 3 ，3 ) 7 ，1 2 e 0 0 57 8 1 1 0 ( 4 ，3 ) 1 _ 7 1 6 4 e 0 0 68 6 4 3 0 ( 5 ，3 ) 3 3 8 4 2 e - 0 0 81 0 2 2 5 0 ( 6 ，3 ) 6 0 9 9 7 e _ 0 0 1 01 2 3 3 7 0 ( 7 ，3 ) 1 0 1 0 9 e - 0 0 1 11 4 6 2 1 0 ( 8 ，3 ) 3 5 4 0 9 e _ 0 0 1 21 6 ，4 0 3 0 表2 , k = l ，s 增加 ( k ，8 )0 u 一“o 。工作量( 秒) ( 1 ，3 ) 5 7 5 e _ 0 0 25 4 2 8 0 ( 1 ，5 ) 1 6 9 e _ 0 0 27 1 8 0 0 ( 1 ，1 0 ) 3 7 5 e 0 0 39 5 2 4 0 ( 1 ，1 5 ) 1 6 3 e - 0 0 31 1 2 0 6 0 ( 1 ，2 0 ) 8 9 2 3 4 e - 0 0 41 3 2 3 9 0 ( 1 ，3 0 ) 3 8 e - 0 0 41 5 6 9 3 0 ( 1 ，4 0 ) 2 1 7 5 9 e _ 0 0 41 8 6 8 8 9 ( 1 ，5 0 ) 1 3 8 5 8 e - 0 0 42 3 4 2 4 0 l ( 1 ，6 0 ) 9 2 5 0 8 e _ 0 0 52 6 3 3 7 0 i ( 1 ，7 0 ) 5 9 8 6 0 e - 0 0 52 9 2 2 5 6 ( 1 ，8 0 ) 3 ，5 0 0 e - 0 0 53 2 1 6 7 0 l ( 1 ，9 0 ) 1 5 3 2 0 e _ 0 0 53 5 0 1 5 0 l ( 1 ，1 0 0 ) 7 4 8 3 6 e - 0 0 63 9 1 6 6 0 同样对应上面两点边值问题， 时，在一致剖分网格上分别用s ： 是相应的误差表 当真解为非光滑函数“= x o 6 一。 3 和k = 1 解以上方程表3 ，表4 表3 ，s = 3 ，k 增加 ( k ，8 )l i u 一矿。工作量( 秒) ( 1 ，3 ) 1 3 5 e _ 0 0 15 9 4 8 0 ( 2 ，3 ) 6 5 e 0 0 26 3 6 9 0 ( 3 ，3 ) 4 o e - 0 0 27 0 1 3 0 ( 4 ，3 ) 2 8 l e _ 0 0 289 4 3 0 ( 5 ，3 ) 2 2 伊0 0 21 0 ，3 4 5 0 ( 6 ，3 ) 1 7 8 e - 0 0 21 2 0 2 7 0 ( 7 ，3 ) 1 5 4 e 1 0 0 21 4 4 6 1 0 ( 8 ，3 ) 1 3 2 e - 0 0 21 6 8 1 4 0 表4 ，k = 1 ，s 增加 ( k ，s )l i “一“。工作量( 秒) ( 1 ，7 ) 6 9 e - 0 0 28 0 5 2 0 ( 1 ，9 ) 5 7 e - 0 0 288 4 2 0 ( 1 ，1 1 ) 5 o e - 0 0 21 0 0 0 5 0 ( 1 ，1 5 ) 4 1 e - 0 0 21 2 8 3 8 0 ( 1 ，2 5 ) 2 8 e - 0 0 21 4 7 2 1 0 ( 1 ，3 0 ) 2 5 5 e - 0 0 21 5 ，8 5 3 0 ( 1 ，5 0 ) 1 8 4 e 0 0 22 32 8 3 0 ( 1 j 8 0 ) 13 8 e - 0 0 23 22 7 6 0 从以上数值试验可看出： ( 1 ) 当s 固定，k 逐次增加时，i l u u h 。的精确程度急速提 高，这与我们的理论估计相符 ( 2 ) 高次l a g r a n g e 元因为基函数非常复杂无法实现计算，但换成 “高次元即可很简单地实现计算 ( 3 ) 高次u 有限元与一次l u g r a n g e 元的结果相比较不仅精度高而 且效率显著提高 ( 4 ) 实验计算结果与定理4 1 的估计完全一致 ( 5 ) 锃一铲的收敛情况可以用u 一 t 札来估计，与定理5 1 的内容相 一致 以上结论既是对非光滑解也是一样。 2 4 湖南师范大学2 0 0 5 届硕士学位论文 以下是高次u 元和一次l a g r a n g c 元的有限元误差曲线图。 圈2 图3 图2 ，图3 是对应于光滑解u = 矿一( e 一1 ) x 一1 分别取k = 8 ，s = 3 和 ，= 1 ，s = 1 0 0 的误差曲线。 湖南师范大学2 0 0 5 届硕士学位论文2 5 图4 图5 图4 ，图5 是对应于非光滑解u = x “6 一茁分别取k = 8 ，8 = 3 和 k = 1 8 = 8 0 的误差曲线以上误差曲线图更直观地说明高次u 元与 一次l a g r a n g e 元相比不仅精度高而且效率高 湖南师范大学2 0 0 5 届硕士学位论文 2 7 第七章总结与展望 本文在函数的l o b a t t o 展开基础上给出了投影型插值的定义，并 在原有理论基础上进一步研究了投影型插值的一些新的特殊性质和 将投影烈插值运用于高次有限元中得到的一些新的结论，从而更好 地论证了投影型插值是函数插值方法中的最优插值。这在理论上和 应用上都有很重要的意义正如文 3 】所说，。有了最优插值，可对 有限元作后处理，产生更高阶的逼近” 本文主要运用了如下一些思想与方法：函数的l o b a t t o 展开，投 影型插值及性质，基函数的正交性，函数的最佳逼近。 以上我们解决的是一维投影型插值问题。但是，我们也意识到， 真正具有重大意义、迫切需要解决而且研究更为困难的是二维直至 多维问题。所以，继续探讨高维投影型插值的性质及其在有限元中 的应用将会是作者今后一段时间内极具挑战性的工作! 湖南师范大学2 0 0 5 届硕士学位论文 2 9 参考文献 1 1 1 冈察洛夫，函数插补与逼近理论，科学出版社，1 9 5 8 ，1 - 3 3 5 f 2 1 s u s a n n e c ，b r e n n e r l ，r i d g w a ys c o t t ，t h em a t h e m a t i c a lt h e o r yo ff i n i t ee l e - m e n tm e t h o d s ，s p r i n g - v e r l a g ，1 9 9 8 【3 】林群，朱起定，有限元的预处理与后处理理论，上海科技出版社，上海， 1 9 9 4 【4 1 林群，严宁宁，高效有限元构造与分析，河北大学出版社，保定，1 9 9 6 1 5 】l ，b w a h l b i n ，s u p e r c o n v e r g e n c ei ng a l e r k i nf i n i t ee l e m e n tm e t h o d s ，l e c t u r e n o t e si nm a t h e m a t i c s ，1 6 0 5 ，s p r i n g e r ，b e r l i n ，1 9 9 5 【6 】6 陈传淼，黄云清，有限元高精度理论，湖南科技出版社，长沙，1 9 9 5 7 7m ，k r i z e k ，p _ n e i t t a a n m a k ia n dr s t e n h e r g ( e d s ) ，f i n i t ee l e m e n tm e t h o d s ： s u p e r c o n v e r g e n c e ，p o s t p r o c e s s i n g ，a n da p c a t e r i o r ie s t i m a t e s ，l e c t u r en o t e s i np u r ea n da p p l i e dm a t h e m a t i c ss e r i e s ，v o l 1 9 6 ，d e k k e r ，i n c ，n e wy o r k ， 1 9 9 7 【8 】q l i n ，n y a na n da z h o u ，ar e c t a n g l et e s tf o ri n t e r p o l a t e df i n i t ee l e m e n t s ， f r o c s y s s c i 8 z s y s e n g r g ，g r e a tw a l lc u l t u r ep u b l c o ，t t o n gk o n g ，1 9 9 1 ， 2 1 7 2 2 9 j 9 】朱起定林群，有限元超收敛理论，湖南科技出版社，长沙 1 9 8 9 1 0 jz h i m i n z h a n g ，u l t r a c o n v e r g e n c eo f t h ep 8 _ t c hr e c o v e r yt e c h n i q u e ，m a t h e m a t i c s o fc o m p u t a t i o n ，6 5 ( 1 9 9 6 ) ，1 4 3 1 1 4 3 7 f 11 jz h i m i n z h a n g , u 】t r a c o n v e r g e n c eo ft h ep a t c hr e c o v e r yt e c h n i q u ei i ，m a t h e - m a t i c so fc o m p u t a t i o n ，6 9 ( 2 0 0 0 ) ，1 4 1 1 5 8 【1 2 lz h i m i n z h a n g ，f i n i t e e l e m e n t s u p e r c o n v e r g e n ta p p r o x i m a t i o n f o ro n e - d i m e n s i o n a ls i n g u b r l yp e r t u r b e dp r o b l e m s ，n u m e r i c a lm e t h o d sf o rp a r t i a ld i f - f e r e n t i a le q u a t i o n s ，1 8 ( 2 0 0 2 ) ，3 7 4 - 3 9 5 f j 3 l 张铁，导数小片插值恢复技术与超收敛性，计算数学，2 3 ( 2 0 0 1 ) ，1 - 8 i 1 4 】q d z h ua n d q h z h a o ，s p rt e c t m i q u e a n df i n i t ee l e m e n tc o r r e c t i o n ，n u m e r m a t h ，9 6 ( 2 0 0 3 ) ，1 8 5 - 1 9 6 i 1 5 i 朱起定，有限元超收敛后处理理论( 湖南师范大学讲义) ，2 0 0 3 ， 1 6 1 赵庆华，一维问题有限元逼近的强超收敛性，湖南师范大学硕士毕业论 文，2 0 0 2 【1 7 1q d z h ua n dj j l a i ，au l t r a c o n v e r g e n c ec o r r e c t e ds c h e m ef o rf i n i t ee l e m e n t m e t h o do fv a r i a b l ec o e f f i c i e n t st w o - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ，2 0 0 3 ( s u b - ：竺：塑童塑墼查兰! ! ! ! 垒璺耋兰竺竺圭 m i t t e d ) 1 8 lj r c a n n o na n dy p l i n n o n c l a s s i c a lh 1p r o j e c t i o na n dg a l e r k i nm e t h o d s f o rn o n l i n e a rp a r a b o l i ci n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，c a c o o ，2 5 ( 1 9 8 8 ) ，1 8 7 2 0 1 19 1 张铁，发展型积分一微分方程的有限元方法，东北大学出版社，沈阳， 2 0 0 1 2 【】1 t z h a n g ，t h es t a b i l i t ya n da p p r o x i m a t i o np r o p e r t i e so fr i t z - v o l t e r r ap r o j e c t i o na n da p p l i c a t i o n ，n u m e r m a t h j o fc h i n e s eu n i v ，6 ( 1 9 9 7 ) ，5 7 - 7 6 21 1 y p l i n ，v t h o r n & a n dl b w a h l b i n ，r i t z - v o l t e r r ap r o j e c t i o no ff i n i t ee l e - m e n ts p a c e sa n da p p l i c a t i o nt oi n t e